Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas.

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1 3 Cálculo as Vigas 3.1 Introução Dano seqüência ao projeto o eiício exemplo, partiremos agora para o cálculo e imensionamento as vigas Ações As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são eterminaas através e teorias e cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F F k F γ F k S ou, em estruturas e comportamento linear, F F k S k S γ S k. No caso a lexão simples, tem-se: F M Resistências As resistências são eterminaas através e teorias apropriaas, a partir os aos a seção transversal e as características mecânicas os materiais. No caso a lexão simples tem-se, como aos: ck (resistência o concreto); yk (resistência a armaura); e imensões relativas a seção transversal (concreto e armaura). Através e teoria apropriaa etermina-se o momento resistente último, M u Veriicações e Segurança Existe segurança aequaa quano é veriicaa a conição: M M u. Por razões e economia, az-se M M u. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 1

2 3.1.4 Tipos e Ruptura na Flexão Em geral, tem-se o seguinte tipo e ruptura: se A s 0, ou muito pequena ruptura rágil (brusca) por tração no concreto; se A s or muito grane (pequena eormação ε s ) ruptura rágil (brusca) por esmagamento o concreto comprimio; e se A s or aequaa ruptura úctil (com aviso), com escoamento a armaura e acompanhaa e intensa issuração a zona tracionaa 3.2 Hipóteses e Cálculo na Flexão Para o imensionamento usual as vigas em concreto armao, eve-se respeitar as seguintes hipóteses e cálculo: a) Manutenção a seção plana ; As seções A e B passam para A e B, quano letias, permaneceno planas conorme a igura a seguir: b) Aerência pereita entre concreto e armaura; Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a eormação a armaura ε s é amitia igual à eormação a ibra e concreto ε c, junto a esta armaura. c) Tensão no concreto nula na região a seção transversal sujeita a eormação e alongamento; ) Diagramas tensão-eormação (e cálculo) no aço aço e ureza natural: este aço apresenta patamar e escoamento conorme a igura 1. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 2

3 σ s yk y arctg E s iagrama e Figura.1 E s kn/cm 2 yk valor característico a resistência a armaura corresponente ao patamar e escoamento (resistência característica no escoamento) γ s 1,15 (coeiciente e poneração a resistência a armaura) y yk / γ s valor e cálculo a resistência a armaura corresponente ao patamar e escoamento ε y y / E s eormação corresponente ao início o patamar e escoamento Os aços esta categoria são os seguintes: ε y 0,010 ε s TIPO yk (kn/cm 2 ) y (kn/cm 2 ) ε y CA ,74 0,00104 CA ,83 0,00132 CA40A 40 34,78 0,00166 CA50A 50 43,48 0,00207 Os aços são esignaos pela sigla CA (Concreto Armao), seguio a resistência característica no escoamento em kn/cm 2. aço encruao (CA50B e CA60B) σ s yk y A B iagrama e arctg E s 0,002 ε y 0,010 ε s Figura.2 Até o ponto A (limite e proporcionaliae), tem-se iagrama linear; entre A e B, amitese iagrama em parábola o 2 o grau; e, além o ponto B, um patamar. Amite-se que o iagrama tensão-eormação na armaura seja o mesmo, na tração e na compressão. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 3

4 e) Diagramas tensão-eormação (e cálculo) no concreto iagrama parábola-retângulo 0,85 c σ c patamar parábola o 2 o 0,002 0,003 5 Figura e.1 ε c t t ) γ c 1,4 (coeiciente e poneração a resistência o concreto) c ck / γ c 0,85 : coeiciente para consierar a quea e resistência o concreto para cargas e longa uração (eeito Rusch) iagrama retangular simpliicao k c M u x 0,8x A s eormação e estao limite Figura e.2 x altura a zona comprimia, meia a partir a bora comprimia k 0,85, quano a largura a zona comprimia não iminui em ireção à bora comprimia (seção retangular); em caso contrário usar 0,80. ) Domínios e Deormação, O estao limite último convencional ocorre quano o iagrama e eormação passa por um os ois pontos, A ou B, na ig. 1). A 0,0035 D2 x 23 M u x 34 2 h A s 4 D 4 D3 3 B ε y 0,010 Figura.1 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 4

5 Seno: altura útil a seção istância o CG a armaura à bora comprimia x altura a zona comprimia (meia a partir a bora comprimia) Diz-se que o iagrama e eormação o tipo 2 está no omínio e eormação 2 quano a altura a zona comprimia obeece à conição: x x 23 0,0035 / (0, ,010) 0,259 Por sua vez, o iagrama e eormação encontra-se no omínio 3 e eormação quano a altura a zona comprimia obeece à conição: x 23 x x 34 0,0035 / (0, ε y ) Analogamente, o iagrama e eormação está no omínio 4 quano: x 34 x. A seção que atinge o ELUlt. nos omínios D 2 e D 3 é ita sub-armaa ou normalmente armaa. Quano o ELUlt. é atingio no D 4, a seção é ita superarmaa. Trata-se e situação antieconômica, pois a armaura não é exploraa na sua plenitue. Procura-se evitar o imensionamento neste omínio. 3.3 Dimensionamento à Flexão Seção Retangular à Flexão A seção retangular com armaura simples é caracterizaa a seguinte orma: a zona comprimia a seção sujeita a lexão tem orma retangular; a barras que constituem a armaura está agrupaa junto à bora tracionaa e poe ser imaginaa concentraa no seu centro e graviae b 0,85 c h A s M u x 0,8x ε u R c R s 0,4-0,4x σ s Resultantes as tensões: no concreto: na armaura: R c 0,85 c b 0,8 x 0,68 b x c R s A s σ s ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 5

6 Equações e equilíbrio: Força: R c R s ou 0,68 b x c A s σ s (1) Momento: M u R c (-0,4 x) ou M u R s ( - 0,4 x) Substituino o valor as resultantes e tensão, vem: Ou M u 0,68 b x c ( - 0,4 x) (2) M u A s σ s ( - 0,4 x) (3) Nos casos usuais e imensionamento, tem-se b, c e az-se M u M (momento letor solicitante em valor e cálculo). Normalmente, poe-se aotar 0,9 h. Dessa orma, a equação (2) nos ornece o valor e x: M x 125, , b Com o valor e x, tem-se o omínio e eormação corresponente, poeno ocorrer as seguintes situações: c I) omínio 2, one x x 23 0,259 ; e σ s y II) omínio 3, one x 23 x x 34 0,0035 / (0, ε y ); e σ s y III) omínio 4, se x x 34 ; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmaa; esta alteração poe ser obtia a seguinte orma: aumentano-se h (normalmente, b é ixo pois epene a espessura a paree one a viga é embutia); aotano-se armaura upla. Obs.: o aumento a resistência o concreto ( ck ), também permitiria ugir o omínio 4. Para a situação aequaa e peça sub-armaa tem-se, σ s y. Assim, a equação (3) nos ornece M M As σ ( 0,4x) ( 0,4x) Seção T s Para o cálculo e uma viga e seção T, eve-se inicialmente eterminar uma largura que contribui para resistir ao esorço solicitante. Esta largura e contribuição a mesa, b, mostraa na igura a seguir. y ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 6

7 b 0,85 c h 0,8 0,85 c b 1 b w M u ε u A s Figura One: one b 1 8 h (6h a/10 b 2/2 para laje em balanco) l em viga isostatica a 0,75l em vao extremo e viga contínua 0,6l em vao interno e viga contínua seno l o vão corresponente a viga. Se a altura comprimia (0,8 x) or menor ou igual à espessura a laje (h ), tem-se uma seção retangular com armaura simples, já vista. Quano x or maior o que h, a orma a zona comprimia (sujeita à tensão 0,85 c ) tem a orma e um T. A análise a seção poe ser eita como se inica a seguir. M u x 0,85 c 0,8x R c R cw b h ε u R s A s b w Figura O problema poe ser equacionao subiviino a zona comprimia em retângulos (1 e 2). As resultantes e tensão sobre as partes 1 e 2 valem: Resultante o concreto na aba colaborante: R c 0,85 c (b - b w ) h (1) Resultante o concreto na alma: R cw 0,85 c b w (0,8 x) (2) ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 7

8 A equação e equilíbrio e momento ornece: M u M M c + M cw R c ( - h / 2) + M cw ou M cw M - R c ( - h / 2) Este momento eve ser resistio pela parte 2 que é uma seção retangular b w por. Portanto x 1,25 1 M 1 0,425b cw 2 w c Com a posição a linha neutra, obtém-se a resultante o concreto na alma, R cw, através e (2). A equação e equilíbrio e orça permite escrever: R s A s y R c + R cw De one se obtém a área e aço, As, necessária para resistir ao esorço solicitante Seção Retangular com Armaura Dupla Quano se tem, além a armaura e tração A s, outra A s posicionaa junto à bora oposta comprimia, iz-se que se tem seção com armaura upla. Normalmente, ela é empregaa para se conseguir uma seção sub-armaa sem alterar as imensões a seção transversal. A armaura comprimia A s introuz uma parcela aicional na resultante e compressão permitino, assim, aumentar a resistência a seção. Seja o esquema e cálculo mostrao a seguir: ε c 0,4 h A s M x ε s R c R s A s R s b Figura Equilíbrio e orça: R s R c + R s A s σ s 0,68 b x c + A s σ s (a) ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 8

9 Equilíbrio e momento: M R c ( - 0,4 x) + R s ( - ) M 0,68 b x c ( - 0,4 x) + A s σ s ( - ) (b) Tem-se uas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, A s e A s (pois, as tensões nas armauras epenem e x). Costuma-se aotar um valor e x (naturalmente, menor ou igual a x 34 ), por exemplo, x /2. Dessa orma, poem ser eterminaas as armauras A s e A s como se inica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a ecomposição mostraa na igura seguinte. ε c ε c M w x 0,4x R R s c A s M x ε s - - A s1 R s1 A s b Rs2 Figura Conorme se inica na igura acima, poe ser eterminaa a primeira parcela o momento resistente, esignaa por M w : M w 0,68 b x c ( - 0,4 x) e R s1 M w / ( - 0,4 x). Como σ s y (peça sub-armaa), tem-se A s1 R s1 / y. Assim, ica conhecia a parcela restante o momento resistente Também, M R s ( - ) A s σ s ( - ) e M R s2 ( - ) A s2 σ s ( - ) M M - M w. que permitem eterminar as áreas restantes e armaura, A s2 e A s. R s R s2 M / ( - ) e A s2 R s2 / y. O cálculo e A s, requer a eterminação a tensão σ s. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 9

10 Com x x, tem-se, no omínio 3, ε c 0,0035 e no omínio 2: ε c 0,010 x / ( x) (por semelhança e triângulos). Logo: ε s ε c (x - ) / x que permite obter σ s (no iagrama σ x ε a armaura). Finalmente: A s R s / σ s e A s A s1 + A s Dimensionamento ao Cisalhamento Moelo Simpliicao para o Comportamento a viga (treliça básica e Mörsch) O panorama e issuração, que se implanta na viga por ocasião a ruptura, sugere um moelo em orma e treliça para o seu esquema resistente (ig ). Esta treliça é constituía e banzos paralelos ao eixo a viga (banzo superior comprimio e concreto, e banzo inerior tracionao corresponente à armaura longituinal e lexão), iagonais comprimias e concreto inclinaas e 45 o (bielas iagonais) e penurais corresponentes à armaura transversal. Esta armaura é, em geral, constituía e estribos istanciaos e s e posicionaos ao longo a viga, perpenicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituías por orças concentraas equivalentes aplicaas aos nós a treliça. p s s p. s R c 45 z R s viga real moelo Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 10

11 Os esorços na treliça múltipla poem ser estimaos através e uma treliça mais simples, isostática, ig , ita treliça clássica ou treliça e Mörsch. Caa penural nesta treliça representa (z/s) estribos, a treliça original, o mesmo ocorreno com a iagonal comprimia. z R c 45 z/1,1 R s Figura Do equilíbrio o ponto J, ig , tem-se: R sw V e R V 2 cw z R c R cw V R s R cw R sw V J R sw V R cw R s R s1 R s1 R s Figura a) Tensão méia na iagonal comprimia (biela comprimia e concreto) z z b w h 1 Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 11

12 Conorme a igura acima (Figura ), poe-se escrever que a tensão méia na biela comprimia é aa através e: σ cw R V 2 2 cw V V 2 τ, seno τ o b h z o. w 1 bwz b z w b w 2 Como z /1,15, tem-se, também: one σ cw τ w R V 2 2V 2V V cw 23, 23, τ b h z b z b w 1 w w b b w w 2 115, V b. w w b) Tensão méia no estribo estrib z z φ t A s1 s Figura Seno A sw a área total corresponente a um estribo, tem-se para o estribo usual e 2 ramos: A sw 2 A s1 (A s1 área a seção a armaura o estribo). Conorme a ig , tem-se: ou σ σ R sw sw z z A b sw w sw s A R z s A sw sw sw s V V Asw 115, s b V τ 115, sw b A 115, ρ w bs w w V sw b z A w bs w V A s τ ρ 115, 115, w w sw o w V Asw s b b w w ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 12

13 one: z / s número e estribos no comprimento z e viga e ρ w A b s w taxa geométrica e armaura transversal. w Dimensionamento a) Veriicação o Concreto Amite-se que a segurança e uma viga ao cisalhamento esteja eviamente atenia quano τ τ 03, (não maior o que 4,5 MPa) w wu c Com, V τ w (V γ V) b w De resultaos e análises experimentais, permite-se consierar na lexão simples: τ c 015, (em MPa). ck b) Cálculo os Estribos Dessa orma, atribuino à tensão e tração nos estribos o valor yw, eles poem ser quantiicaos através a expressão: ρ w 115, τ w yw τ c One yw 43,48 kn/cm 2 para os aços CA Arranjos as armauras Também para o imensionamento ao cisalhamento eve-se respeitar as seguintes conições: a) Armaura transversal mínima (estribo mínimo) 0, 14% para o CA50 / CA60 ρ w min 0, 25% para o CA25 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 13

14 A este estribo mínimo correspone uma orça cortante V*. V* bw ( yw ρwmin + τc). 1,61 b) Tipo e estribo Normalmente, utiliza-se estribo e 2 ramos (para b w 40 cm) e estribos e 4 (ou mais) ramos se b w > 40 cm. c) Diâmetro os estribos (φ t ) 5 mm φ t b w 12 ) Espaçamento os estribos (s) Recomena-se obeecer às seguintes conições: 30 cm / 2 s 21φ ( CA25) 12φ ( CA50 / 60) As uas últimas conições são aplicaas quano se tem armaura comprimia e lexão (A s ). e) Cobertura o iagrama e orça cortante Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, aotano-se estribos uniormes por trechos e viga. Desta orma, resulta a cobertura em egraus o iagrama e orça cortante; caa egrau corresponeno a um trecho e estribo constante. A ig ilustra este proceimento. Para vigas usuais e eiícios, poe-se aotar, em caa vão, 3 trechos: um central corresponente à armaura mínima (ρ wmin e V*), e mais ois trechos, ajacentes aos apoios o vão com estribos calculaos para as respectivas orças cortantes máximas. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 14

15 trecho com ρ wmin V* V* Fig Seções próximas aos apoios Nas proximiaes os apoios, a quantiae e armaura e cisalhamento poe ser menor o que aquele inicao pelo cálculo usual. Este ato ocorre porque parte a carga (próxima aos apoios) poe se irigir iretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armaura transversal. A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo a armaura transversal, quano a carga e a reação e apoio orem aplicaas em aces opostas a peça, comprimino-a: no trecho entre o apoio e a seção situaa à istância h/2 a ace este apoio, a orça cortante oriuna e carga istribuía poerá ser consieraa constante e igual à esta seção (ig ); p h h/2 h/2 h/2 iagrama e V iagrama e V corrigio Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 15

16 a orça cortante evia a uma carga concentraa aplicaa a uma istância a (a 2 h) o centro o apoio poerá, neste trecho e comprimento a, ser reuzia a multiplicano-se por 2 h, ig a P h V V re V [a / (2 h)] Figura Convém risar que estas reuções só poem ser eitas para o cálculo a armaura transversal. A veriicação o concreto (τ w ) eve ser eita com os valores originais, sem reução Armaura e Costura nas Abas as Seções Transversais Normalmente, as abas as seções transversais estão submetias a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) as seções as vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armao, uma armaura e costura. Em vigas usuais e eiícios, poem ocorrer uas situações one estas armauras são necessárias, ig A primeira situação correspone às seções os vãos com abas comprimias e seções T (lexão nos vãos as vigas normais) e, a outra, às seções e apoios internos as vigas contínuas, one a armaura e lexão é istribuía também nas lajes (abas tracionaas). p b armauras área comprimia na lexão Seção 2 - Apoio Seção 1 - Vão Seção 1 - Vão área comprimia na lexão Seção 2 - Apoio armauras e lexão Figura Situações usuais ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 16

17 a) Aba comprimia A ig apresenta a situação típica corresponente à seção T submetia à lexão. b 0,85 c x R c ε z A s R s Fig Aba comprimia Consiere-se a aba lateral e imensão b, ig b b R c +R c b R +R R c τ o h R Figura A orça cortante para eterminação a armaura transversal a aba necessária é aa por: V b b V Da expressão e cisalhamento, tem-se que: τ o b b V hz V V 115, (a) hz h ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 17

18 Comparano-se a expressão o cisalhamento usual e viga (conorme o moelo a treliça clássica): τ o, V, 115 b w com a expressão (a), poe-se concluir que ela permite imaginar a orça cortante V atuano na seção ictícia e imensões h x. Logo, a armaura transversal, necessária no moelo a treliça clássica, é aa por: ρ τ o yw one ρ A h s seno A s a área total e armaura transversal a aba (armaura e costura) por uniae e comprimento, ig h A s Figura Normalmente, aota-se a armaura obtia esta maneira, como seno suiciente para garantir a segurança a ligação entre a aba e a alma a viga. Por im, eve-se também veriicar: V 1) 03, c (veriicação a compressão na biela iagonal) h 2) ρ 0,14% (taxa mínima e armaura transversal para o CA50/60). b) Aba tracionaa A ig apresenta a situação usual, corresponente a seções e apoio interno e vigas contínuas (momento letor tracionano a bora superior), com armaura tracionaa e lexão istribuía, também, nas abas. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 18

19 parte a armaura e lexão, posicionaa numa aba lateral (A s ) armauras e costura R s área comprimia na lexão armauras lexão (A s ) e 0,8 M z R c Consiere-se a aba inicaa na ig Figura Aba tracionaa R s +R s R s +R s R s z τ o h R c R s Figura Aba lateral A cortante e cálculo resultante na aba consieraa é aa pela expressão mostraa a seguir: A s V A V s one: A s área a seção e armaura e lexão contia na aba. Analogamente ao caso anterior, tem-se que: τ o A s A s V V 115 (b) V hz hz h Comparano-se a expressão o cisalhamento usual e viga (conorme o moelo a treliça clássica) com a expressão (b), poe-se concluir que ela permite imaginar a orça cortante V atuano na seção ictícia e imensões h x. Logo, a armaura transversal, necessária no moelo a treliça clássica, é aa por: ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 19

20 ρ τ o yw one ρ A h s seno A s a área total e armaura transversal a aba (armaura e costura) por uniae e comprimento. Normalmente, aota-se a armaura obtia esta maneira, como seno suiciente para garantir a segurança a ligação entre a aba e a alma a viga. Deve-se, também, veriicar 1) e V h 03, (veriicação a compressão na biela iagonal) c 2) ρ 0,14% (taxa mínima e armaura transversal para o CA50/60) Armaura e Suspensão Normalmente, os apoios as vigas são constituíos pelos pilares. Neste caso, iz-se que os apoios são o tipo ireto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios o tipo inireto. Quano as reações são aplicaas junto à ace superior a viga e apoio, não existe a necessiae e armaura e suspensão. Esta situação é ilustraa na h h a viga i viga e Figura Viga e pequena altura apoiaa sobre uma viga e grane altura A ig mostra, para o caso e viga e altura (h) maior o que a a viga e apoio (h a ), a necessiae e armaura e suspensão para a reação total, isto é, Z R. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 20

21 viga e apoio h a h Figura Vigas altas. viga Numa situação intermeiária, ilustraa na ig , observa-se à necessiae e suspener apenas parte a reação, uma vez que o restante poe ser transerio para a treliça, que simula a viga e apoio, através o esquema usual. h a h Figura Vigas e altura intermeiária Seno R a reação e apoio, a orça e suspensão poe ser estimaa em Z R (h / h a ) R One: h altura a viga apoiaa h a altura a viga e apoio. A armaura e suspensão será aa por A susp Z / yw. A armaura e suspensão A susp poe ser istribuía na zona e suspensão, junto ao cruzamento as vigas, conorme a igura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 21

22 h a / 2 h a / 2 viga e apoio h / 2 viga apoiaa Figura Zona e suspensão Deve-se observar que a zona e suspensão já contém alguns estribos normais as vigas. Estes estribos poem ser contaos na armaura e suspensão. 3.5 Dimensionamento à Torção Torção e Equilíbrio e Torção e Compatibiliae O momento torçor em vigas usuais e eiícios poe ser classiicao em ois grupos: momento torçor e equilíbrio (ig ) e momento torçor e compatibiliae (ig ). A l a+b a b c P B A l p c B P P.c T B P.c.a / l mp.c 2 /2 T A P.c.b / l T A m l / 2 T B m.l / 2 Figura Torção e equilíbrio ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 22

23 T B T A T.b / l A P B A T A a R T b R B P T B -T.a / l Figura Torção e compatibiliae Torção e Saint Venant Consiere-se um trecho e viga e seção retangular sujeito a momento torçor T (ig ). As extremiaes A e B apresentam rotações em sentios opostos e as seções transversais eixam e ser planas. Diz-se que há empenamento a seção evio à torção. Quano a torção ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torção e Saint Venant e aparecem tensões e cisalhamento na seção transversal que, naturalmente, equilibram o momento torçor aplicao. T T T T Figura Normalmente, as vigas estão sujeitas a restrições parciais ao livre empenamento por causa as intererências as lajes, outras vigas e pilares e apoio, Desse moo, aparecem tensões normais (longituinais) aicionais que se somam às tensões evias à lexão. Nas vigas e concreto armao, essas tensões aicionais costumam ser pequenas e tenem a iminuir com a issuração o concreto (estáio II). Essas restrições ao empenamento provocam, também, pequenas alterações nas tensões e cisalhamento e Saint Venant. Normalmente, esprezam-se essas alterações provenientes o impeimento parcial o empenamento. Assim, o imensionamento à torção poe ser eito conorme a teoria e torção e Saint Venant. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 23

24 3.5.3 Arranjo Usual as Armauras Usualmente, aota-se a isposição as armauras compostas e estribos e barras longituinais que, além a aciliae construtiva, se mostrou bastante aequaa para resistir à torção. Os estribos evem apresentar espaçamentos pequenos e as barras longituinais evem ser istribuías uniormemente ao longo o perímetro a seção transversal. Também evem ser observaas as seguintes recomenações: a) armaura longituinal iâmetro a armaura longituinal maior ou igual ao iâmetro o estribo (não menor o que 10 mm); garantir uma ancoragem eetiva as barras longituinais, junto às extremiaes o trecho sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo a barra; istribuição uniorme a armaura longituinal no perímetro a seção. b) armaura transversal (estribos) s t b / 2 h / 3 20cm Dimensionamento A viga e concreto armao eve ser imensionaa para resistir integralmente ao momento torçor e equilíbrio. O momento torçor e compatibiliae que aparece junto ao cruzamento as vigas (apoios iniretos) é, normalmente, pequeno e poe ser ignorao. a) Veriicação o concreto Deve-se ter τ t τ tu 0,22 c (não maior o que 4 MPa). Na presença simultânea e orça cortante eve-se veriicar também: τ τ w wu τ t + 1. τ tu b) Estribos A s s1 t φ T 2A y e y. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 24

25 c) Armaura longituinal A sl u φ y T 2A e y 3.6 Veriicação em Serviço Toos os cálculos e veriicações os estaos limites e serviço evem ser eetuaos no Estáio II. Portanto, az-se necessário eterminar o prouto e rigiez como também o momento e inércia nesse Estáio, conorme é apresentao a seguir: a) Seção Retangular com Armaura Simples Seja : E s α e, Ec One o móulo e eormação o aço (Es) ixao em Mpa e o móulo e eormação o concreto tomao através a expressão a seguir: E 0, ,5 (MPa). c ck + A posição a linha neutra resultante é calculaa através e: x A s α b e 2b A α s e Em seções retangulares com armaura simples, o prouto e rigiez EI II é calculao através e: EI AE( xz ) c II s s One z - 3 x, e acoro com a igura a seguir: h A s b ε c x M ε s Figura σ c σ s x/3 Rc z-x/3 Rs ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 25

26 Diviino ambos os termos por E c, tem-se que: I II A b) Seção Retangular com Armaura Dupla s α ( x)( x / 3) e Na conição e armaura upla, tem-se o seguinte panorama mostrao na igura a seguir: h A' s ' ε' s A s b M ε c Figura x ε s R' s σ s σ c x/3 R c z-x/3 Rs A posição a linha neutra é eterminaa através e: x e( + ) 2 1 α ρ ρ ' α ρ + ρ e ρ + ρ ' ' ' ρ + ρ ' one ρ ' A ' s b Com ela, obtém-se as seguintes expressões: Prouto e rigiez à lexão no Estáio II: E I A E ( x)( x/ 3) + A ' E ( x/ 3 ')( x ') c II s s s s Momento e Inércia no Estáio II: I 3 bx + A α ( x) + A α ( x ) II s e s e c) Seção T com Armaura Simples A equação e equilíbrio nos leva à seguinte expressão a posição a linha neutra: 2 2 b x h w + [( b b ) h + A α ] x ( b b ) A α 0 w s e w s e 2 2 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 26

27 Com ela, poemos também eterminar o momento e inércia no Estáio II, através e: I II bx ( b b x h )( w ) A α ( x) s e Veriicação as Flechas a) Flecha e carga e curta uração (a q ) q* 0,7 q Por exemplo, para carga istribuía uniorme, a lecha no meio o vão é aa por: a q q * l E I c II 4 Em emais situações (carga concentraa, estrutura em balanço, etc.) poem ser obtias através as reerências bibliográicas aotaas neste curso, lembrano que o prouto e rigiez eve ser aquele calculao no Estáio II. O mesmo eve ser consierao constante em too o vão, e igual ao valor corresponente no ponto e momento letor máximo. b) Flecha e carga e longa uração (a g ) a g a go(1 + 2ξ), com a go igual à lecha imeiata para a carga g calculaa conorme escrito acima, e ξ x. As lechas, assim eterminaas, evem ser limitaas a: a q l / 500; a g + a q l / 300. Conorme a NBR-6118, para as vigas usuais e eiícios e seção retangular e T, consieram-se atenias as veriicações e lecha quano ψ l ψ 2 3 (altura útil) one ψ 2 1,0 nas vigas biapoiaas, 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastaos, 0,5 nos balanços. ψ 3 17 para o aço CA50, 25 para o aço CA25. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 27

28 3.6.2 Veriicação a Fissuração Seguno a NBR-6118, a issuração é consieraa nociva quano a abertura as issuras na superície o concreto ultrapassa os seguintes valores (w lim ): a) 0,1 mm para peças não protegias (peças sem revestimento), em meio agressivo; b) 0,2 mm para peças não protegias, em meio não agressivo; c) 0,3 mm para peças protegias (peças revestias). Supõe-se que, com razoável probabiliae, a conição acima ocorra quano se veriicam simultaneamente as seguintes esigualaes: e 1 φ σ w 10 2η 0, 75 E b w η b s s 4 ρ 1 3φ σ 0,75 E tk r + 45 > w lim 2 s s >w lim Com: A s ρ r A cr ; M σ s, com x calculao no Estáio II; A s ( x / 3) η b coeiciente e conormação a armaura (1 em barras lisas e entre 1,5 a 1,8 nas barras e alta aerência) Deine-se A cr (área crítica) a área equivalente e concreto tracionao envolvio na issuração conorme ilustra a igura a seguir: c < 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ A cr 7,5φ c < 7,5φ 7,5φ a 7,5φ (a < 15 φ) Determinação a Área Crítica ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 28

29 3.7 Arranjo as Armauras Aerência, Ancoragem e Emenas Introução Consiere-se a armaura mergulhaa na massa e concreto, conorme mostra a ig l b Z l b1 τ b Z A s y Figura 1.1 Se o comprimento mergulhao no concreto l b or pequeno, a barra poerá ser extraia o concreto por tração; se este comprimento or superior a um valor particular l b1, será possível elevar a orça e tração até escoar esta armaura. Diz-se que a armaura está ancoraa no concreto. Este valor l b1 é chamao e comprimento mínimo e ancoragem reto sem gancho e extremiae. O enômeno envolvio na ancoragem e barras é bastante complexo e está ligao à aerência, entre o concreto e a armaura, em uma região micro-issuraa o concreto vizinho à barra. O eeito global a aerência é composto por: a) aesão (eeito e cola); b) atrito e escorregamento e c) engrenamento mecânico entre a superície (irregular) a armaura com o concreto. O escorregamento envolvio em b) ocorre junto às issuras, igamos numa visão microscópica e, portanto, localizaa. Numa visão macroscópica, como na teoria usual e lexão, amite-se a aerência pereita entre os ois materiais. Esta consieração torna-se razoável pois ao longo a istância envolvia na análise e uma seção, a orem a imensão a seção transversal a peça, incluem-se várias issuras que acabam mascarano os escorregamentos localizaos junto às issuras iniviuais Moelo para eterminação o comprimento e ancoragem l b1 Para a avaliação e l b1, costuma-se utilizar o moelo inicao na igura 2.1. Assim, 2 πφ Z A τ π φ l 4 resultano φ l b 1 4 τ s y y bu b1 y bu ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 29

30 τ bu l b1 Z A s y Figura 2.1 A tensão última e aerência τ bu é unção a posição a armaura ao longo a altura e concretagem a peça; a inclinação esta armaura; a sua conormação supericial (barras lisas e barras e alta aerência com mossas e saliências); e a resistência o concreto ( ck ). A consieração as uas primeiras variáveis é eita através o conceito e zonas e aerência: zona e boa aerência (zona I) e zona e aerência prejuicaa (zona II) Zonas e aerência A igura 2.2 apresenta as situações corresponentes às zonas I e II. Zona I h Zona II h 30 cm 30 cm h > 30 cm h 60 α > 45 o 30 cm h > 60 Figura 2.2 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 30

31 A aerência epene, principalmente, e um bom envolvimento a armaura pelo concreto. A vibração o concreto provoca a movimentação a água, em excesso na mistura, para as partes superiores a peça. Esta água tene a icar presa, em orma e gotículas, junto às aces ineriores as armauras (partes sólias em geral). Com o tempo aparecem no seu lugar vazios que iminuem a área e contato a barra com o concreto. Isto justiica o ato as barras horizontais posicionaas nas partes superiores as peças estarem em conições prejuicaas e aerência (zona II, ou e aerência prejuicaa); em contraposição, as partes ineriores as peças constituem zonas e boa aerência (zona I). Quano a espessura a peça é pequena (h 30 cm, para inaliae prática) a quantiae e água e exuação é pequena, e não chega a reuzir em emasia a aerência. armaur gotas e água acumulaas Figura 2.3 vazio eixao pelas gotas á Valores e τ bu a) Zona I (e boa aerência) - barras lisas: τ bu 028, ( MPa) c - barras e alta aerência: τ bu 3 042, ( MPa) 2 c Alguns valores e l b1 : ck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a. aer.) 13,5 63 φ 58 φ φ 54 φ φ 47 φ 20 ### 44 φ b) Zona II (zona e aerência prejuicaa) Estimam-se os comprimentos e ancoragem para a zona II como seno 50% superiores aos corresponentes à zona I. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 31

32 Nota 1: normalmente, a armaura eetivamente utilizaa (A s,e ) é maior o que a calculaa (A s,calc ou simplesmente, A s ). Neste caso, o comprimento e ancoragem poe ser reuzio como se inica a seguir: l b lb1 / 3 As, calc lb1 10φ Ase, 10 cm Nota 2: nas barras comprimias, o comprimento mínimo e ancoragem l bc 1 poe ser estimao através a expressão aotaa para as barras tracionaas; para este cálculo, eve-se utilizar a tensão eetiva e compressão. O valor obtio eve, aina, obeecer às seguintes conições: l bc 1 06, l 10φ 15 cm b Utilização e ganchos paronizaos nas extremiaes a barra tracionaa Os ganchos permitem reuzir o comprimento e ancoragem. Poe-se aotar as seguintes reuções sobre os valores e l b1 (sem ganchos): a) barras lisas: 15 φ lb1, c/ gancho lb1 15φ b) barras e alta aerência:10 φ lb1, c/ gancho lb1 10φ. l b1-15 φ - bar. lisas l b1-10 φ - bar. e alta l b1 Figura 3.1 Nota 1: as barras lisas tracionaas e iâmetro φ > 6,3 mm evem ser utilizaas sempre com ganchos e extremiae. Nota 2: as barras comprimias evem ser utilizaas sem ganchos e extremiae Comprimentos e ancoragem e eixes e barras As armauras e concreto armao poem ser agrupaas em eixes e 2 ou 3 barras. Poe-se estimar o comprimento e ancoragem e um eixe e barras, com base nas expressão utilizaa para barras isolaas, substituino-se o iâmetro a barra pelo iâmetro equivalente o eixe (φ e ). O valor obtio eve ser aumentao e 20% no caso e eixe e uas barras e, e 33% para mais e uas barras. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 32

33 φ e φ n n número e barras no eixe. n 2 n Armaura transversal nas ancoragens No comprimento e ancoragem e uma barra (ou eixe), eve ser isposta armaura transversal e costura ao longo o terço extremo este trecho, capaz e resistir a esorço igual a 40% o esorço transmitio pela barra ancoraa; toas as barras que cruzam o plano e possível issuração, no trecho e ancoragem, poerão ser consieraas naquela armaura. Em geral, esta armaura transversal é constituía pelos ramos horizontais os próprios estribos a viga. l b1 A st l b1 / 3 Além isso, logo epois as extremiaes as ancoragens e barras comprimias everá haver armaura transversal estinaa a proteger o concreto contra os eeitos o esorço concentrao na ponta, a qual será imensionaa para resistir a um quinto o esorço ancorao, poeno nela ser incluíos os estribos aí existentes Armauras mergulhaas no concreto Quano a armaura mergulhaa na massa e concreto or solicitaa à eormação maior ou igual a ε y (através a aerência), poe-se imaginar o iagrama e tensão mostrao na igura 6.1. Assim, a tensão cresce ese 0, junto à extremiae a barra, até y na seção istante l b1 aquela extremiae. iagrama e tensão amitia para barra 1 σ s l b1 y barra 1 1 Figura 6.1 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 33

34 Emenas por traspasse A necessiae e emenas poe ocorrer, por exemplo, em peças e grane vão que ultrapassa o comprimento máximo (e abricação) as armauras e concreto armao. Em geral, estas emenas poem ser eitas por: traspasse, sola ou luva prensaa. É muito utilizaa a emena por traspasse por ser simples e ispensar a utilização e equipamentos especiais. Consiste em superpor as extremiaes, a serem emenaas, em uma extensão ita comprimento e emena ( l v ). l v l v Conorme a NBR-6118, o comprimento e emena poe ser einio em unção o comprimento e ancoragem l b através a seguinte expressão: l v ψ 5 l. b Figura 7.2 Emenas por traspasse one ψ 5 epene a istância transversal (a) entre eixos e emenas mais próximas na mesma seção e a proporção e barras emenaas na mesma seção. Os valores e ψ 5 são einios no ítem a citaa Norma. Consieram-se como na mesma seção transversal as emenas que se superpõem ou cujas extremiaes mais próximas estejam aastaas e menos que 0,2 l v. l v < 0,2 l v Figura emenas consieraas na mesma seção Ao longo o comprimento e emena evem ser ispostas as armauras transversais e costura, previstas junto às ancoragens e barras. Os ramos horizontais os estribos poem servir para esta inaliae. l v ψ 5 l b A st A st l v / 3 l v / 3 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 34

35 Valores e ψ 5 : Distância transversal entre emenas (a) 1/5 > 1/5 1/4 a 10 φ 1,2 1,4 a > 10 φ 1,0 1,1 ψ 5 Proporção e barras emenaas na mesma seção transversal > 1/4 1/3 1,6 1,2 > 1/3 1/2 1,8 1,3 > 1/2 2,0 1,4 φ a 2 φ Proporção e barras emenaas na mesma seção Bitola S gk > S qk S gk S qk φ η b 1,5 η b < 1,5 η b 1,5 η b < 1,5 12,5 toas 1/2 1/2 1/4 > 12,5 toas (*) 1/2 (**) 1/4 1/2 1/4 (*) - Se houver só uma camaa e armaura (**) - Se houver mais e uma camaa e armaura As barras comprimias poem toas ser emenaas na mesma seção Alojamento as Armauras A área As a armaura necessária para resistir a um momento letor M, numa aa seção e viga, é conseguia agrupano-se barras conorme as bitolas comerciais isponíveis. Geralmente, aotam-se barras e mesmo iâmetro φ. Uma as hipóteses básicas o imensionamento e peças submetias a solicitações normais é a a aerência pereita. Para a garantia esta aerência é unamental que as barras sejam pereitamente envolvias pelo concreto; por outro lao, a armaura eve ser protegia contra a sua corrosão; para isso aota-se um cobrimento mínimo e concreto para estas armauras. A igura mostra a isposição usual com armauras isolaas entre si. Eventualmente, poe-se aotar armaura ormaa por eixes e 2 ou 3 barras. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 35

36 porta estribos estribo c c cobrimento mínimo a armaura φ t armauras e pele e h φ e v A s 3 a camaa 2 a c Figura A tabela apresenta as bitolas usuais e armauras e concreto armao. φ (mm) 3, , , A s1 (cm 2 ) 0,08 0,125 0,2 0,31 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0 5 Tabela φ iâmetro nominal (mm) As1 área nominal a seção transversal e uma barra em cm2 Os valores e cobrimento mínimo recomenao pela NBR-6118 são os seguintes: a) concreto revestio com argamassa e pelo menos 1 cm e espessura: c(cm) elemento estrutural 0,5 lajes no interior e eiícios 1,0 parees no interior e eiícios 1,5 pilares e vigas no interior e eiícios 1,5 lajes e parees ao ar livre 2,0 pilares e vigas ao ar livre ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 36

37 b) concreto aparente c(cm) elemento estrutural 2,0 interior e eiícios 2,5 ao ar livre c) concreto em contato com o solo: c 3 cm Nota: em solo não rochoso recomena-se um lastro (camaa aicional em contato com o solo) e pelo menos 5 cm e espessura com consumo e 250 kg e cimento por m 3. ) peça e concreto em ambiente ortemente agressivo: c 4 cm. e) quano, por qualquer razão, c > 6 cm, eve-se utilizar uma ree complementar entro os limites anteriormente inicaos. Para alojamento as armauras, sem emenas, eve-se procurar proceer conorme inicao abaixo: e h φ 2cm 12, φ agr φ ; e v 2cm 05, φ agr Brita brita 1 brita 2 φ agr 9,5 a 19 mm 19 a 25 mm one φ iâmetro a barra φ agr iâmetro máximo o agregao c φ t b s φ t c φ e v e h c b w Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 37

38 Na ocasião e emenas, eve-se procurar alojar as armauras como mostrao na igura abaixo (igura ): > 2 φ > φ > 2 φ > φ Figura Quano ocorrer uma istribuição em mais e três camaas, eve-se prever a partir a quarta camaa, espaço aequao para a passagem o vibraor (igura ). acesso p/vibraor φ vibr + 1 cm 4 a Figura Nota: se bw > 60 cm, prever mais acessos para o vibraor (amitino-se a eiciência o vibraor entro e um raio e aproximaamente 30 cm). Para alojar barras em eixes e 2, 3 ou 4 barras, eve-se proceer e acoro com as regras o item 4, substituino-se o iâmetro as barras φ pelo iâmetro equivalente ao eixe e barras n 2 n 3 n 4 φ eq φ n one n n o e barras no eixe. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 38

39 Detalhes complementares: a) armaura e lexão alojaa junto à ace superior a seção (igura ) φ vib + 1 Figura Nota: prever espaço para passagem o vibraor. b) armaura junto à bora com abas tracionaas (igura ) Recomena-se istribuir parte a armaura e tração nas abas tracionaas eviamente ligaas à alma a viga através e armauras e costura. A s1,φ 1 h /10 φ vib + 1 cm A s2,φ 2 h /10 A sw A s A sw + A s1 + A s2 Figura c) vigas altas (h > 60 cm) Posicionar as armauras e pele (A sl ) conorme inicao na igura A sl 0,05% b w h (e caa lao) / 3 30 cm entre 6 e 20 Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 39

40 3.7.3 Decalagem Devio à issuração iagonal, existe, então, uma translação (ecalagem) para o lao esavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, ica evienciaa a presença e orça e tração na armaura, apesar e ser nulo o momento letor. Este eeito explica a possibiliae e ocorrência e ruptura por escorregamento a armaura sobre os apoios extremos a viga. A igura a seguir nos ornece um exemplo e um iagrama ecalao. p a l M /z iagrama e orça resultante no banzo i a l a l Figura A NBR6118 usa a seguinte expressão: a l (1,5 1,2η)x 0,5x one η é a taxa e cobertura ; η 1 - τ τ c τc 1,15 τ w Na prática, em vigas, poemos aotar a l 0, Ancoragem nos Apoios Amite-se que a segurança esteja garantia pela veriicação as uas conições seguintes: a) A armaura eve estar eviamente ancoraa para garantir, junto à ace interna o apoio, a resultante e tração igual a: R s,apo, R s,apo, V (a l / ) V / 2; R + 5,5 φ 6cm V ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 40

41 b) Na ocasião e gancho e extremiae as barras evem estener-se, a partir a ace interna o apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 φ) 6 cm, one φ é o iâmetro a barra e r o seu raio e obramento paronizao (para o aço CA50: r 2,5 φ quano φ <20; e r 4 φ para φ 20); neste caso, quano o cobrimento lateral as barras na região o apoio or maior ou igual a 7 cm e a carga aciental q não or reqüente, é suiciente veriicar apenas esta conição Cobertura o Diagrama e M Translaao O trecho a extremiae a barra e tração, consierao como e ancoragem, tem início na seção teórica one sua tensão σ s começa a iminuir (o esorço a armaura começa a ser transerio para o concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10φ além o ponto teórico e tensão σ s nula, não poeno em nenhum caso ser inerior ao comprimento necessário estipulao no capítulo reerente à ancoragem as barras. Assim, na armaura longituinal e tração as peças solicitaas por lexão simples, o trecho e ancoragem a barra tem início no ponto A (igura ) o iagrama e orças R st M / Z, eslocao o comprimento a l. Se a barra não or obraa, o trecho e ancoragem eve prolongar-se além e B, no mínimo 10φ. Se a barra or obraa, o início o obramento poe coinciir com o ponto B. (ver igura ). Figura ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 41

42 3.8 Esquemas Estruturais Esorços Finais e Dimensionamento em Vigas e Eiícios Os esorços inais e imensionamento evem conter as envoltórias e solicitações. A istância entre as envoltórias, máxima e mínima, epene, basicamente, o valor relativo a carga aciental. Em vigas e eiícios, normalmente, a parcela variável as cargas representa menos e 30 % o total. Nestas conições, em geral, não há necessiae e se eterminar às envoltórias e solicitações porque seus valores se aproximam aqueles obtios para a carga total; é suiciente, pois, a eterminação os iagramas e estao corresponente à carga total atuante na viga. Por outro lao, como se amite o comportamento elástico linear, poe-se eterminar primeiro as solicitações corresponentes aos valores característicos as cargas, que multiplicaos pelos coeicientes e poneração as ações (γ ) permitem einir as solicitações em valores e cálculo utilizaas nos imensionamentos e nas veriicações Vãos Teóricos a Viga Os vãos teóricos são utilizaos no cálculo os esorços solicitantes. Quano as larguras os pilares e apoio orem menores o que PD / 5 (PD pé ireito), o vão teórico poe ser tomao como a istância entre os centros os apoios, não seno necessário aotar valores maiores que: a) em viga isolaa: 1,05 l o ; b) em vão extremo e viga contínua: o vão livre acrescio a semi-largura o apoio interno e e 0,03 l o, Seno l o o vão livre (istância entre as aces internas os apoios). Quano a largura o pilar e apoio or maior o que PD/5 poe-se engastar o vão, num ponto interno ao pilar, à istância h/2 10 cm a ace. Nas vigas em balanço, o vão teórico é o comprimento que vai a extremiae até o centro o apoio, não seno necessário consierar valores superiores a 1,03 vezes o comprimento livre Eeito o Pilar e extremiae Aproximações permitias pela NBR-6118 O eeito o pilar e extremiae poe ser estimao através o moelo constituío e três barras convergentes (vão e extremiae a viga e lances ajacentes, superior e inerior, o pilar) consieraos toos eles engastaos nas extremiaes opostas. ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 42

43 Quano não se izer o cálculo exato a inluência a soliarieae os pilares com a viga, eve ser consierao, nos apoios externos, momento letor igual ao momento e engastamento pereito multiplicao por: r r r vig vig vig r in + r r + r + r r + r in sup in in in sup + r + r + r sup sup sup (na viga) (no tramo superior o pilar) (no tramo inerior o pilar) one r i é a rigiez o elemento i no nó consierao. Os pilares internos são, normalmente, pouco solicitaos à lexão. Em certas situações (e vãos e carregamentos, signiicativamente, ierentes entre vãos ajacentes), o moelo primário, e articulação pereita junto aos pilares internos, poe superavaliar o eeito e um vão carregao sobre os emais, aliviano em emasia os momentos positivos nestes vãos. Pilares internos relativamente rígios atenuam estes eeitos e evem ser eviamente consieraos. Para este eeito, no processo usual e cálculo, costuma-se comparar os momentos positivos nos vãos, eterminaos sob a hipótese os pilares internos serem rígios à lexão, com aqueles corresponentes ao moelo primário, aotano-se o que or maior. Dessa orma, amite-se que esteja coberta a situação real Consierações o Projeto e Revisão a NBR-6118/200 O projeto e revisão a norma sugere que o vão eetivo e uma viga seja calculao como: l e l 0 + a 1 + a 2 Os parâmetros a 1 e a 2 poem ser calculaos conorme o esquema mostrao abaixo: h l o l o t t ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 43

44 a) Apoio e vão extremo: a i o menor e b) Apoio e vão intermeiário: a i 1/2 t 1/ 2 1/ 2 t h Esquema Estrutural para o Eiício Exemplo Para o cálculo as vigas o eiício exemplo, será usao o esquema estrutural mostrao a seguir. A análise consiste em consierar trechos e elementos lineares pertencentes à região comum ao cruzamento e ois ou mais elementos como elementos rígios (nós e imensões initas), a maneira como se ilustra na igura seguinte ( ). Pé ireito Ver etalhe I Pé ireito L eixo o pilar L eixo o pilar Figura Detalhe I: Trecho livre Trecho rígio h 1 h 2 h 1 /2 h 2 /2 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 44

45 3.9 Aplicação ao Eiício Exemplo Cálculo a V Esquema Estrutural ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) 2 ( 7 ) ( 8 ) 5 ( 9 ) ( 10 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) Cálculo a mesa colaborante: V1a: a l x 4,785 3,589m 4 4 b 1 < 0,10 a 0,359m 8 h 8 x 0,10 0,80m 0,5 b 2 0,5 x 4,32 2,16m Portanto, b 1 0,359m Barra A (m 2 ) I (m 4 ) 1 0,1235 3,715E-4 2 0,1235 3,715E-4 3 0,2090 2,107E-4 4 0,2090 2,107E-4 5 0,0800 2,667E-4 6 0,0800 2,667E-4 7 0,1404 4,000E ,000 10, ,000 10, ,1403 4,000E-3 ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 45

46 3 3 - V1b: a l x 4,775 3,581m 4 4 b 1 < 0,10 a 0,358m 8 h 8 x 0,10 0,80m 0,5 b 2 0,5 x 5,645 2,823m Portanto, b 1 0,358m Carregamentos Verticais 1.52 kn/m kn/m 1.26 kn/m kn/m Esorços evio ao Vento kn.m kn.m kn.m kn.m Envoltória e Esorços Para a envoltória e esorços, consieramos a seguinte combinação: F 1,4 F g + 1,4 F q + 1,4*0,8*F vento ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 46

47 Viga V1 x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2 0,000-7,100-0,700-36,420 36,420-51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,877 0,479 5,200 0,500-28,463 28,463-23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,677 0,957 14,100 1,400-20,506 20,506-1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,477 1,436 19,500 2,000-12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383-5,583 1,914 21,500 2,200-4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323-16,643 2,393 19,900 2,000 3,366-3,366 34,430 26,890-6,800-0,700 15,610 6,983-27,983 2,871 15,000 1,500 11,323-11,323 35,782 10,418-14,000-1,400 15,610-4,077-39,043 3,350 6,500 0,700 19,280-19,280 31,674-11,514-21,200-2,100 15,610-15,137-50,103 3,828-5,400-0,500 27,238-27,238 22,246-38,766-28,500-2,900 15,610-26,477-61,443 4,307-20,700-2,100 35,195-35,195 7,498-71,338-35,700-3,600 15,610-37,537-72,503 4,785-39,500-3,900 43,152-43,152-12, ,090-42,900-4,300 15,610-48,597-83,563 5,060-51,900-5,200 47,725-47,725-26, ,392-47,100-4,700 15,610-55,037-90,003 5,060-51,300-4,400-44,859 44, ,222-27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,360 5,335-39,200-3,400-40,717 40, ,243-14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,060 5,813-20,700-1,800-33,525 33,525-69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,420 6,290-5,600-0,500-26,333 26,333-38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,780 6,768 6,200 0,500-19,142 19,142-12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,140 7,245 14,600 1,200-11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,500 7,723 19,600 1,700-4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700-5,140 8,200 21,300 1,800 2,434-2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060-15,780 8,678 19,700 1,700 9,626-9,626 40,741 19,179-6,900-0,600 14,214 5,420-26,420 9,155 14,700 1,300 16,817-16,817 41,235 3,565-13,900-1,200 14,214-5,220-37,060 9,633 6,400 0,500 24,009-24,009 36,550-17,230-20,900-1,800 14,214-15,860-47,700 10,110-5,300-0,400 31,201-31,201 26,965-42,925-28,000-2,400 14,214-26,640-58, Dimensionamento à Flexão a) M -51,710 knm b w 19 cm 51 cm ck 20 MPa x 5,75 cm < x 34 0,628 x 51 32,03 cm A s 2,44 cm 2 (4Φ10) l b 34 Φ 34 cm OBS: O cálculo e l b será mostrao aiante. b) M -133,392 knm b w 19 cm 51 cm ck 20 MPa x 16,24 cm < x 34 0,628 x 51 32,03 cm A s 6,89 cm 2 (4Φ16) l b 38 Φ 61 cm ES-013 Exemplo e um projeto completo e eiício e concreto armao ata:set/2001 l. 47