Flexão composta: análise comparativa REBAP vs. EC2

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1 BE2008 Enontro Naional Betão Etrutural 2008 Guimarãe 5, 6, 7 de Novembro de 2008 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 Eduardo B. Pereira 1 J. Sena-Cruz 2 RESUMO No ontexto atual naional, o dimenionamento de etrutura de betão armado tem ido maioritariamente efetuado em onformidade om a norma naional, o Regulamento de Etrutura de Betão Armado e Pré-Eforçado (REBAP) [1]. Com a aprovação, no paado reente, do Euroódigo 2 (EC2) [2] a nível europeu, antevê-e que em breve lhe eja atribuído o etatuto de norma naional, atravé da publiação de um texto idêntio. Em termo gerai o EC2, quando omparado om o REBAP, apreenta diferença oniderávei na forma e no onteúdo que e reperutem no dimenionamento da etrutura de betão armado. Perante ete enário torna-e imperioo efetuar etudo omparativo entre a dua norma ao mai diferente nívei. O ao partiular do dimenionamento à flexão ao nível da eção tranveral em elemento etruturai lineare, que tem por bae a hipótee de Navier-Bernoulli (eçõe plana ante e apó a deformação), reorre a lei tenõe-extenõe de álulo do materiai interveniente: o betão e o aço. A propota do REBAP e do EC2 para definir eta lei ão ligeiramente diferente. Em trabalho anteriore [3] demontrou-e que a diferença obtida no dimenionamento de eçõe retangulare à flexão imple adoptando a dua regulamentaçõe (REBAP e EC2) ão marginai. No preente trabalho pretende-e avaliar a mema diferença, ma deta feita para o ao em que o elemento etrutural e enontra ujeito a flexão ompota. Dete modo, o objetivo é o de analiar a influênia da diferença que exitem entre o REBAP e o EC2 ao nível do diagrama tenõe-extenõe de álulo para o materiai betão e aço, no dimenionamento de eçõe retangulare à flexão ompota. No preente trabalho dereve-e o etudo omparativo efetuado, aim omo a prinipai onluõe obtida. PALAVRAS-CHAVE Flexão ompota; Euroódigo 2; REBAP; Seçõe retangulare. 1 2 ISISE, Univeridade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Guimarãe, Portugal. eduardo.pereira@ivil.uminho.pt ISISE, Univeridade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Guimarãe, Portugal. jena@ivil.uminho.pt

2 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 1. INTRODUÇÃO O regulamento que no próximo ano irá vigorar em Portugal, o Euroódigo 2 (EC2) [2], reomenda a utilização de relaçõe tenõe-extenõe de álulo quer para o betão quer para o aço, diferente da propota pelo REBAP [1]. Com bae numa análie expedita, é poível verifiar que, em termo teório, para uma mema eção tranveral ujeita a eforço de ompreão, verifia-e um aumento da apaidade reitente até um máximo de era de 18% quando utiliza o EC2 em detrimento do REBAP. Contudo, interea analiar a ituaçõe orrente de projeto. Tal análie torna-e ainda mai importante e atendermo ao fato de, no último tempo, e ter verifiado um aumento ignifiativo do uto do aço [4]. O preente trabalho tem omo objetivo avaliar a diferença, em termo de neeidade de armadura para uma eção tranveral que e enontra ujeita a flexão ompota. Foram etuda eçõe retangulare duplamente armada, tendo ido deduzida a expreõe analítia adimenionai apliávei a todo o domínio e toda a lae de reitênia do betão e do aço. No preente trabalho apreenta-e a formulação analítia deenvolvida e a análie efetuada, bem omo a prinipai onluõe. 2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 2.1 Materiai Betão Para a determinação da reitênia à flexão última de eçõe de betão armado o EC2 propõe trê lei ditinta para a relaçõe tenõe-extenõe, σ -, de álulo do betão à ompreão. No preente trabalho utilizou-e a relação tenõe-extenõe definida pela Eq (1) e (2) (ver Fig. 1(a)). n σ = α fd 1 1 e 0 2 (1) 2 σ = α fd e 2 u2 (2) em que f d é valor de álulo da tenão de rotura do betão à ompreão, n é o expoente da Eq. (1), 2 é a extenão neeária para e atingir a tenão de rotura do betão à ompreão e u2 é a extenão última. σ σ EC2 αf d f yd REBAP E h 0 2 u2 E 0 ud f yd /E 10 (a) (b) Figura 1. Relaçõe tenõe-extenõe para o betão à ompreão (a) e para o aço à ompreão e à tração (b). O valore do parâmetro n, 2 e u2 dependem da lae do betão e enontram-e indiado no Quadro 3.1 do EC2 [2]. O preente etudo retringiu-e apena a betõe até à lae C50/60. Neta 2

3 Enontro Naional Betão Etrutural 2008 Eduardo Pereira e J. Sena-Cruz iruntânia n = 2, 2 = 2.0 e u2 = 3.5. Quanto ao valor de α o EC2 ugere que ete eja unitário. Aim, no preente trabalho oniderou-e α = 1. Para a lae de betão em etudo, a relação tenõe-extenõe propota pelo REBAP é dada pela Eq (1) e (2) om α = 0.85 [1] Aço O EC2 propõe o doi tipo eguinte de diagrama tenõe-extenõe de álulo para a armadura de betão armado: diagrama bi-linear om o egundo ramo horizontal. Com a adopção dete diagrama não é neeário verifiar a extenão limite, o que repreenta uma alteração ignifiativa à prátia naional; diagrama bi-linear, om o egundo ramo inlinado até uma extenão limite ud (ver Fig. 1(b)). O delive do egundo ramo é definido pelo ponto ( yd, f yd ) e ( uk, kf yd ); em que: f yd e yd ão o valore de álulo da tenão de edênia e a orrepondente extenão de edênia, repetivamente; uk é o valor araterítio da extenão na arga máxima; ud é o valor de álulo da extenão na arga máxima, que e aumiu er igual a 90% do valor araterítio da extenão última, i.e., 0.9 uk ; E o módulo de elatiidade do aço igual a 200 GPa; k o oiente entre o valore araterítio da tenão de rotura (f tk ) e da tenão de edênia (f yk ) à tração; E h o módulo de elatiidade do egundo ramo inlinado. No Quadro 1 apreentam-e o valore que ete parâmetro aumem para a lae de aço etudado no preente trabalho. Aço S400 S500 Quadro 1. Propriedade do aço de aordo om EC2. f yk f yd yd uk ud k E h Clae [MPa] [MPa] [ ] [ ] [ ] [-] [MPa] B C B C No preente trabalho adoptou-e o diagrama bi-linear, om o egundo ramo inlinado até uma extenão limite ud, defindo pela Eq. (3). E e 0 yd σ = (3) fyd + Eh ( yd ) e yd ud O REBAP propõe, para o aço, o diagrama tenõe-extenõe de álulo bi-linear om o egundo ramo horizontal até uma extenão limite igual a 10. Aim, para que a Eq. (3) eja apliável ao REBAP, ud = 10 e E h = Hipótee de álulo A determinação da reitênia à flexão última de eçõe de betão armado baeia-e na eguinte hipótee/onvençõe: hipótee Navier-Bernoulli, i.e. a eçõe mantêm-e plana; a extenão na armadura, em tração ou em ompreão, é a mema da do betão que a envolve; a reitênia do betão à tração é ignorada; a tenõe no betão omprimido ão obtida a partir do diagrama tenõe-extenõe de álulo, araterizado atravé da Eq (1) e (2); a tenõe na armadura de betão armado ão obtida a partir do diagrama de álulo araterizado pela Eq. (3); o domínio admiível de ditribuiçõe de extenõe é o repreentado na Fig. 2; a tenõe de ompreão ão poitiva e a de tração ão negativa; o momento poitivo provoam traçõe na fibra inferiore da eção tranveral; 3

4 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 a origem da profundidade da linha neutra, x, é definida ao nível da fibra uperior. Conideram-e profundidade da linha neutra poitiva abaixo deta fibra. 2.3 Formulação analítia O preente trabalho etá irunrito ao ao de eçõe retangulare de dimenõe b h duplamente armada, endo a área de armadura junto à fae inferior e uperior deignada por A e A, repetivamente (ver Fig. 2). O problema da flexão ompota reume-e ao etabeleimento da equaçõe de equilíbrio, em termo de força e momento fletore, e de ompatibilidade de deformaçõe. A etratégia para realizar a análie paou pela dedução da expreõe analítia adimenionai da equaçõe relativa ao diferente domínio. Refira-e ainda que a expreõe deduzida e aqui apreentada ão totalmente genéria, podendo er apliada a toda a lae de betão definida no EC2. Para tal foi neeário definir o eguinte onjunto de parâmetro, que e paa de eguida a derever. O valor reduzido do valor de álulo do eforço normal e do momento fletor reitente ão dado pela Eq (4) e (5), repetivamente. NRd ν = (4) b h fd M Rd μ = 2 (5) b h f d Figura 2. Ditribuiçõe de extenõe admiívei no etado limite último. A perentagem meânia de armadura é definida pela Eq. (6). A f yd A + A fyd ω = = b h f b h f d d A Eq (7), (8) e (9) definem, repetivamente, a altura reduzida da linha neutra, a altura reduzida do entro de gravidade da eção ao eixo da armadura e a razão entre a área da armadura de ompreão e a armadura de tração. ξ = x h (7) λ = h 2 a h (8) ( ) γ = A A O Domínio 1, i.e., de tração imple, é definido pela Eq. (10a) e (10b). Neta equaçõe, repreentam a tenão normal na armadura infeior e uperior, repetivamente. σ e (6) (9) σ 4

5 Enontro Naional Betão Etrutural 2008 Eduardo Pereira e J. Sena-Cruz σ 1 σ γ ν = ω + ; μ = 0 (10a) fyd 1+ γ fyd 1+ γ (10b) O Domínio 1-2 (tração ompota), em que apena a armadura ontribuem para a apaidade reitente, é definido pela Eq. (11a) e (11b). σ 1 σ γ σ 1 σ γ ν = ω + ; μ = ω λ (11a) fyd 1+ γ fyd 1+ γ fyd 1+ γ fyd 1+ γ (11b) A partir do Domínio 2-3, o betão paa a ontribuir para a apaidade reitente. Nete domínio o equilíbrio é definido atravé da Eq (12) e (13). Na Eq. (13), Y G repreenta a poição do entro de gravidade da reultante de ompreão no betão. n+ 1 1 a ξ 2 h ud ξ σ γ σ ν = ξ ω ud n a ξ fyd γ 1 fyd γ 1 (12) h n+ 1 1 a ξ 2 h ud ξ μ = ξ 1 1 ( 1 ξ + Y 2 G ) + ud n a ξ h (13) σ γ σ ω λ + fyd γ + 1 fyd γ + 1 O Domínio 3-4 é definido atravé da Eq (14) e (15). Neta equaçõe, repreenta a extenão do betão na fibra uperior. 2 n 2 σ γ σ ν = ξ + ξ + ω n+ 1 fyd γ + 1 fyd γ + 1 (14) 2 n n+ 1 μ = ξ ξ + ξ + n ( n 2)( n 1) n + + (15) σ γ σ ξ 1 ξ ω λ fyd γ + 1 fyd γ + 1 O Domínio 4-5 é araterização pelo fato de e atingir a extenão máxima, u2, na fibra mai omprimida. Nete domínio, a equaçõe de equilíbrio ão definida atravé da Eq. (16) e (17). 2 n u2 2 σ γ σ ν = ξ + ξ + ω u2 n+ 1 u2 fyd γ + 1 fyd γ + 1 (16) 2 n n+ 1 μ = ξ ξ + ξ + u2 n+ 1 2 u2 2 ( n 2)( n 1) n + + (17) u2 2 1 u2 2 σ γ σ ξ 1 ξ + ω λ + u2 2 u2 fyd γ + 1 fyd γ + 1 A partir do Domínio 5-6 a eção de betão fia totalmente omprimida. Nete ao, a Eq (18) e (19) derevem o omportamento da eção nete domínio. n k γ σ 1 σ ν = 1 k + k 1 + ω n + (18) ( n 1)( ξ 1 k ) 1+ γ fyd γ + 1 f + + yd 5

6 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 n 1 k 2 n 1 ( 1 k ) 2 ( n+ 2)( ξ 1+ k) μ+ ν = + 1 k k n k k 1 n ( n+ 1)( ξ 1+ k ) (19) n k γ σ a 1 σ a 1 + ω 1 n + ( n 1)( ξ 1 k ) 1+ γ fyd h 1+ γ fyd h + + O Domínio 6 ulmina om toda a eção totalmente omprimida, em etado de ompreão pura. Nete ao, a expreõe que derevem o omportamento da eção ão a eguinte: σ 1 σ γ ν = 1+ ω + ; μ = 0 (20a) fyd 1+ γ fyd 1+ γ (20b) 2.4 Implementação Na onepção do algoritmo omputaional foram riada dua etrutura prinipai. Na primeira, dediada à elaboração de tabela, o álulo da profundidade da linha neutra e da perentagem meânia de armadura é efetuado para diferente valore do momento reduzido, omeçando pelo valor zero e ontinuando om inremento ontante. O dado iniiai dete problema ão a relaçõe a/h e γ = A A, a lae de reitênia do betão, o tipo de aço e o valor do eforço axial reduzido. A olução da equaçõe de equilíbrio é obtida utilizando o método de Newton-Raphon, já que a inógnita etá definida impliitamente. Na egunda etrutura, dediada à elaboração do ábao, parte-e do valor da poição da linha neutra e da perentagem meânia de armadura para obter o pare de valore momento reduzido v eforço axial reduzido, que etão definido expliitamente para todo o domínio, endo dete modo a olução do problema obtida diretamente. Outro dado do problema ão, omo anteriormente, a relaçõe a/h e γ = A A, a lae de reitênia do betão e o tipo de aço. 3. ANÁLISE COMPARATIVA A utilização de diferente preupoto em termo do omportamento tenõe-extenõe do materiai que ompõem o betão armado terão, ertamente, impato na dimenõe reultante do álulo em projeto a adoptar para o doi materiai, betão e aço. Atualmente, a bibliografia da epeialidade é abundante em elemento e doumentação que apoia a atividade de dimenionamento da eçõe em betão armado baeada na antiga regulamentação (REBAP), om ábao e tabela para diferente ao, e om expreõe mai ou meno empíria para o pré-dimenionamento eonómio do elemento etruturai em betão armado. O memo não e pode dizer, no momento, em relação ao novo preupoto que emanam do EC2, endo eao nete ontexto o elemento de apoio à atividade de álulo da eçõe em betão armado. Nete entido, importa pereber qual o impato da apliação do novo preupoto de álulo em vário ontexto. No que e refere ao ao de flexão ompota, eta análie não é imple, vito que o ritério de reitênia etá dependente de doi eforço em imultâneo, o eforço axial e o momento fletor. Por ete motivo, paree importante efetuar a análie omparativa em quetão no ontexto do diagrama de interação momento reduzido v eforço axial reduzido, e é om ete intuito que e elaboraram o diagrama da Fig. 3. 6

7 Enontro Naional Betão Etrutural 2008 Eduardo Pereira e J. Sena-Cruz Figura 3. Diagrama de interação momento reduzido v. eforço axial reduzido para diferente perentagen meânia de armadura e diferente lae de aço, atendendo ao preeito regulamentare do REBAP e do EC2. Relaçõe A /A oniderada: 0,0; 0,5; 1,0 e 2,0. 7

8 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 No preente ontexto, a influênia da alteração do diagrama tenõe-extenõe do materiai betão e aço na reitênia da eção é avaliada proedendo-e à realização de quatro diagrama de interação ditinto, para a relaçõe γ = A Ade 0,0 a 2,0. Em ada um dete diagrama é apreentada a urva de interação apena para a ituação em que a eção é não armada, e para a ituação em que a perentagem meânia de armadura é 0,5. Com ete proedimento pretende-e implifiar o mai poível o diagrama, apreentando apena a urva para ete doi valore repreentativo, i.e., a ituação em que a eção é não armada, e a ituação em que e adopta um valor intermédio da perentagem meânia de armadura, entre o que ão mai omun na prátia (de 0,0 a 1,0), em que no entanto e pera a noção da variação do omportamento da urva apreentada para outra perentagen meânia de armadura. Nete ontexo, analia-e a influênia da diferença etabeleida para a propriedade do betão e do aço entre a dua regulamentaçõe, deignando-e por A400 e A500 o ao em que e utiliza o oefiiente para o betão α = 0.85 e o diagrama tenõe-extenõe elátio-perfeitamente pátio om rotura impota pela extenão limite de 10 para o aço, de aordo om o preonizado pelo REBAP. Por S400B, S400C, S500B e S500C deignam-e a ituaçõe em que e admite α = 1.0 para o betão e, repetivamente, e admite um diagrama de omportamento para o aço da lae S400 e S500 om endureimento, dependendo a forma do ramo de endureimento da lae de dutilidade (B ou C), de aordo om a informação ontante do Quadro 1. Analiando o quatro diagrama repreentado na Fig. 3 pode obervar-e que, em termo gerai, o apeto típio da urva de interação eforço axial-momento é preervado, e não é ignifiativamente alterado om a introdução da alteraçõe no omportamento do materiai anteriormente referida. Em termo da influênia da propriedade do betão verifia-e que, omo eria de eperar, o eu efeito é prinipalmente evidente no quadrante de ompreõe, ainda que também eja viível na ituaçõe em que o eforço de ompreão é menor ou memo de tração, à medida que aumenta o momento fletor reduzido. Para eçõe não armada, ete efeito aumenta quae proporionalmente om o aumento do eforço axial reduzido. Para eçõe armada e em armadura de ompreão, ete efeito omeça a er evidente para eçõe om pequeno eforço de tração, e à medida que aumenta a ompreão o eu efeito vai-e aentuando, atingindo um máximo, obviamente, para o eforço máximo de ompreão. À medida que aumenta a perentagem de armadura de ompreão verifia-e que ete efeito aminha na direção do aumento do eforço de ompreão, ignifiando ito que o efeito e evidenia a partir de valore do eforço axial reduzido ada vez mai elevado. Torna-e portanto evidente que a alteração do valor de α = 0.85 para α = 1.0 é relevante fundamentalmente no quadrante da ompreõe, e tanto mai relevante quanto maior o valor do eforço axial reduzido (ompreão), e quanto maior a perentagem de armadura de ompreão. Quanto à influênia da alteração do omportamento tenõe-extenõe do aço verifia-e que, também omo eria de eperar, o eu efeito é prinipalmente evidente no quadrante de traçõe, na região do máximo eforço de tração. No ao em que não exite armadura de ompreão, ete efeito é partiularmente evidente na região do eforço máximo de tração, verifiando-e que à medida que e aminha dede o ponto onde e atinge o máximo momento reduzido e na direção do aumento do eforço de tração, o aumento da dutilidade do aço onduz ao ignifiativo aumento da apaidade reitente, omo onequênia de um ramo de endureimento mai prolongado e de uma tenão última mai elevada do diagrama de tenõe-extenõe do aço. Neta ituação aite-e, no ontexto do domínio 45 (ver Figura 2), à redução da profundidade da linha neutra, e dete modo, dando-e a rotura pelo betão, o inremento da reitênia relativamente à ituação em que e onidera regime perfeitamente pátio (REBAP) aumenta gradualmente até e atingir o limite do domínio e a onequente alteração da ondição de rotura, de exeo de deformação no betão para exeo de deformação no aço. Depoi de e atingir o eforço máximo de tração, e na ituação em que não exite armadura de ompreão, o omportamneto do aço deixa de er relevante para o omportamento da eção já que apena a tenão de rotura é relevante e não a forma do diagrama tenõe-extenõe, o que explia o fato de a urva de interação paar a er a mema para todo o tipo de aço. Com a exitênia e aumento da perentagem de armadura de ompreão, e obervando o orrepondente 8

9 Enontro Naional Betão Etrutural 2008 Eduardo Pereira e J. Sena-Cruz diagrama na Fig. 3, a diferença do tipo de aço paa a er também relevante na zona deendente da reitênia à tração, verifiando-e no entanto um deréimo da importânia que ete efeito aume. Em todo o ao verifia-e também que, em geral, não exite diferença ignifiativa entre o reultado obtido om aço de diferente reitênia, ito num ontexto de análie em termo de variávei adimenionai. Em todo o diagrama verifia-e que a urva de interação do aço de idêntia lae de dutilidade e diferente reitênia aumem, em geral, a mema forma, alvo pontuai exepçõe, om detaque para o ponto onde e atinge o momento fletor máximo e para o ponto onde e atinge o eforço axial máximo, revelando o aço de menor reitênia melhor deempenho (no ontexto adimenional). Para tentar tornar mai lara a interpretação de todo ete reultado, proedeu-e à elaboração do gráfio da Fig. 4, onde e repreentam, para alguma da lae de aço e da perentagen de armadura de ompreão, uma análie da diferença, da neeidade de armadura para diferente pare de eforço axial-fletor adimenionai. Eta neeidade de armadura foi definida atravé da Eq. (21). ωec 2 ( μ) ωrebap ( μ) (21) ω μ REBAP ( ) Figura 4. Repreentação da variação da neeidade de armadura REBAP v EC2, para dua relaçõe de A /A, no quadrante da ompreõe (ν 0). Obervando o diagrama de Fig. 4 pode-e ontatar, mai uma vez, que em termo gerai não exite diferença ignifiativa entre o reultado que e obtêm quando e faz variar a lae de reitênia do aço. A urva orrepondente a aço de diferente lae de reitênia etão prátiamente obrepota, para a mema lae de dutilidade. Quanto à eonomia de armadura, em termo gerai verifiam-e ubtaniai perentagen de eonomia para valore do momento reduzido mai baixo. Ete valore reduzem-e om o aumento do eforço de flexão, ma aparentemente onvergem para valore, ainda aim, batante elevado. Atendendo à variação do eforço axial reduzido, não exite uma tendênia ontante, ma é evidente uma inferior eonomia para o ao de flexão imple (ν = 0) e a tendenia para uma maior eonomia para valore moderado do eforço de ompreão. 4. CONCLUSÕES Em termo gerai, poder-e-á afirmar que a alteraçõe propota pela nova regulamentação de etrutura de betão armado não afetam dratiamente o reultado do dimenionamento da eçõe. No entanto, e atendendo ao reente aumento do preço da matéria prima e à neeidade ada vez mai premente de moderar a exploração do reuro naturai, a diferença enontrada podem jutifiar um uidado uplementar na exploração de todo o intrumento que a nova regulamentação 9

10 Flexão ompota: análie omparativa REBAP v. EC2 oloa ao dipor do engenheiro no entido de aproveitar toda a eonomia que dete modo é diponibilizada no dimenionamento. Em erto ao, a eonomia poível é batante ignifiativa, detaando-e a ituaçõe em que o eforço de ompreão é moderado. 5. AGRADECIMENTOS O autore dete trabalho manifetam um epeial agradeimento ao Eng. Pedro Soua pela olaboração pretada na fae iniial dete projeto. REFERÊNCIAS [1] REBAP. 1983, Regulamento de Etrutura de Betão Armado e Pré-Eforçado. Imprea Naional Caa da Moeda, Liboa. [2] Euroode , Euroode 2: Deign of onrete truture - Part 1-1: General rule and rule for building. Comité Européen de Normaliation (CEN), EN :2004: E, Bruel. [3] SENA-CRUZ, J.M.; LOURENÇO, P.B. - Flexão imple: análie omparativa REBAP v. EC2. Ata da 4 a Jornada Portuguea de Engenharia de Etrutura, Laboratório Naional de Engenharia Civil, Liboa, p. [4] Diponível em WWW: 31 de Julho de