VERIFICAÇÃO DA ENCURVADURA LATERAL DE VIGAS DE SECÇÃO VARIÁVEL

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1 VI Conferene on Steel and Composite Constrution Centro Cultural Vila Flor, Guimarães, Portugal 4-5 November, 011 VERIFICAÇÃO DA ENCURVADURA LATERAL DE VIGAS DE SECÇÃO VARIÁVEL Liliana arques a,*, Luís Simões da Silva b, Rihard Greiner e Carlos Rebelo d a,b,d ISISE, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Coimbra Institute for Steel Strutures, Gra Universit of Tehnolog, Austria Resumo. O Euroódigo 3 fornee um onjunto de metodologias para verifiação da estabilidade de elementos e estruturas portiadas. Relativamente a elementos não uniformes, partiularmente om seção variável, surgem diversas difiuldades não existindo orientações para as ontornar. Neste artigo analisa-se o aso de vigas de seção variável: (i modelo analítio para enurvadura lateral de vigas de alma linearmente variável om momento fletor onstante e validação numéria do mesmo; (ii estudo paramétrio numério englobando vários ângulos de variação; (iii omparação e disussão dos resultados analítios e numérios om as metodologias presentes nos regulamentos. 1 Introdução A análise de elementos não uniformes em geral (não lineares; om seção variável; ontraventamentos distribuídos assimetriamente; arregamentos não uniformes; et. apresenta várias difiuldades. Por não existirem ainda metodologias validadas ou orientação no que respeita a este tipo de elementos, o dimensionamento dos mesmos aaba por se efetuar de um modo bastante onservativo. Algumas das difiuldades são referidas de seguida: A forma e amplitude das imperfeições (geométrias e materiais nem sempre são de simples definição. Além do mais, as amplitudes sugeridas no EC3, parte 1-1 [1] foram alibradas para elementos lineares e prismátios, tendo em onta uma forma sinusoidal; Curva de enurvadura: Considere-se, por exemplo, uma viga de seção variável na qual a relação h/b (altura/largura varia de tal modo que a urva de enurvadura varia ao longo da mesma viga. Como já referido, além dos fatores de imperfeição não terem sido alibrados para estes asos, por questões de segurança, onsidera-se a urva assoiada ao fator de imperfeição mais ondiionante, podendo tornar a verifiação demasiado onservativa; Definição da lasse da seção. A lasse da seção poderá variar ao longo de um elemento, o que poderá levar a um dimensionamento demasiado seguro, ao ser onsiderado um troço ondiionante a nível de lasse, mas não a nível de esforços internos. Existe a possibilidade de, através de um proesso iterativo e tendo em onta esforços de primeira

2 VI Congresso de Construção etália e ista e segunda ordem, determinar a seção ondiionante. No entanto, este proedimento não é de todo prátio e, por isso, não apliável; Proedimentos disponíveis para verifiação da estabilidade: na sua maioria estão disponíveis fórmulas para álulo de argas rítias elástias de vários tipos de elementos não uniformes. No entanto, a sua apliação em onjunto om as metodologias do EC3-1-1 não está validada. Em [] é proposto um método de verifiação para o aso de olunas sujeitas a enurvadura no plano (aso em que a inéria variável apresenta mais influênia om esforço axial onstante. Todo o estudo é fundamentado analitiamente por um modelo para olunas de seção variável, onsistente om o modelo analítio de Arton-Perr para olunas de seção uniformes, o mesmo que esteve na base de alibração da láusula do EC3-1-1 para olunas. Neste artigo sugere-se uma metodologia análoga para vigas de seção variável sujeitas a momento onstante, eventualmente extensível a outros tipos de arregamento de momento fletor. odelo analítio para enurvadura lateral de vigas de seção variável.1 Introdução Considere-se uma viga de seção variável simplesmente apoiada om ondições de forquilha (empenamento livre e rotações impedidas. Para o desenvolvimento de um modelo analítio para verifiação da estabilidade de vigas de seção variável, proedeu-se do seguinte modo: odelo para torção (uniforme e não uniforme de vigas de seção variável (Seção.; Teoria de ª ordem para vigas-oluna sujeitas a esforço axial, N, e momento fleto,, onstantes. As equações para enurvadura por flexão fora do plano e enurvadura por torção são apresentadas (Seção.3; Com base nas equações anteriores, obtém-se expressões para as imperfeições no aso de vigas e, onsequentemente, para os esforços de ª ordem (Seção.4; Finalmente, adoptando um ritério de edênia, o modelo analítio é apresentado. Uma dedução mais detalhada pode ser enontrada em [3]. É onsiderada a teoria das peças prismátias para álulo das tensões normais, assumindo que o erro é despreável para os ráios de variação analisados [5]. O efeito das tensões de orte é também despreado aqui.. Torção de vigas de seção variável A resistênia à torção é dada pela soma das omponentes de torção de empenamento (T W e torção uniforme (T T. A dedução detalhada da Eq. (1 é apresentada em Trahair, 197 [4]. T T T T G T GI T ( h( V I h I h W W I ( E E h( h h( T W sup sup h( (... h( Na Eq. (1 I T e I W representam a onstante de torção e empenamento respetivamente, ϕ( o ângulo de rotação, h( a altura, e E e G os módulos de elastiidade longitudinal e transversal, respetivamente. Note-se ainda que surge, para o aso de seção variável, uma omponente adiional de torção provoada pelo bimomento sup devida à inlinação dos banos, omo representado na Fig. 1. (1

3 VI Congresso de Construção etália e ista 3 ½ dh/dx V sup sup x V inf inf.3 Equações difereniais para vigas-oluna ½ dh/d Fig. 1: Esforço de orte e momento na viga As equações difereniais para vigas oluna sujeitas a enurvadura por flexão fora do plano e enurvadura por torção estão representadas nas Eq. ( e (3, respetivamente. i s representa o raio de giração dado por i s =(I +I /A, em que I e I são os momentos de inéria em torno do eixo forte e frao, respetivamente, e A a área da seção. A onvenção de sinais onsiderada está representada na Fig., sendo que esforços de ompressão são onsiderados positivos. E I v Nv EI v Nv 0 ( T ( m G 0 ( ( W ( ( ( W I x x E x h x h x E h( T t v N i I h s 0 I h h( (3,v x,ϕ,w Fig. : Convenção de sinais.4 Imperfeições iniiais, equações difereniais e esforços de ª ordem para vigas Desenvolvendo as expressões anteriores, é possível obter uma relação entre a deflexão v e a rotação ϕ, dada por: N r v (4,, r, Na Eq. (4, N r,, e r, são os arregamentos rítios elástios, respetivamente para enurvadura fora do plano e enurvadura lateral. Substituindo as quantidades v e ϕ na Eq. (4 por v 0 e ϕ 0, respetivamente, obtem-se analogamente uma relação a forma iniial imperfeita da viga, de aordo om o modo de enurvadura.

4 4 VI Congresso de Construção etália e ista Após algumas manipulações das Eq. ( e (3, onsiderando a relação definida na Eq. (4 e imperfeições iniiais v 0 e ϕ 0, obtém-se finalmente as equações difereniais para vigas de alma linearmente variável: N r,, v 0 0 (5 r, v v 0 De onde se pode obter v e ϕ: r, 0 v 0 0 r, r, N r,, N r, r,, Os esforços de ª ordem resultantes, respetivamente (momento em torno do eixo frao e W (momento de empenamento, podem finalmente ser alulados através das seguintes relações: (6 EI EI v EI N EI r,, r, r, r, (7.5 Critério de edênia e grau de utiliação Considerando uma distribuição elástia de tensões para definição da edênia, o grau de utiliação ε em ada seção é definido pela raão entre as forças apliadas e a orrespondente resistênia. W e W são os módulos de resistênia à flexão, e I w /ω max o módulo de resistênia ao empenamento, em que ω max =h.b/4. (8 W f W f I max f O desenvolvimento da Eq. (8, tendo em onta os esforços de ª ordem definidos na Eq. (7, resulta em: Em que: χ ( A( x ( x e 0 ( 1 ( x W x ( x N r,, h( 1 ( ( r, h min x EI x r, A( W ( x N ( ( r,, r, hmin W x A x 1 N r,, Fator de redução para enurvadura lateral definido por ( x ( x E (9, / (, R, Ed x em que α E é definido pelo multipliador do arregamento que ondu ao arregamento máximo;, R ( Esbeltea normaliada para enurvadura lateral, definida por ; r,

5 VI Congresso de Construção etália e ista 5 r, omento rítio elástio do elemento de seção variável em ausa; N r,, Esforço axial rítio elástio do elemento de seção variável em ausa; δ' r,hmin ( ª derivada do desloamento do modo rítio ao nível de h=h min. ξ Fator de ponderação geométria definido de modo a se poder onsiderar a amplitude e 0, onsistente om a formulação para olunas de seção onstante (EC Baseia-se numa relação entre o desloamento rítio no topo da alma e ao nível h=h min, alulada na seção em que a deformada do modo rítio é máxima. Numa dada seção rítia x=x, o grau de utiliação é máximo e de valor ε=1 para um determinado multipliador do arregamento α E. Considerando Na seção x=x, ε apresenta o formato: ( x 1 1 A( x e 0 ( x 0. (10 W ( x ( x ( x 1 ( x N r,, h( x 1 ( x r, h min ( x EI ( x r, ( x 0. ( x N r,, r, h min 1 N ( r,, uniform beams x Fator Ponderação ( x ( x non uniform Surge um fator β(x que representa a omponente de imperfeição devido à variação da seção. Surge ainda um fator de ponderação geométrio adiional devido à função da rotação em vigas de seção variável relativamente à rotação da seção prismátia. O fator de imperfeição generaliada η uniform beams ( é onsistente om o fator derivado em [5] para vigas de seção onstante. Assim, e de modo a manter a onsistênia om o modelo analítio, onsiderar-se-á o fator de imperfeição α alibrado neste mesmo trabalho, dado por ( x beams (11 W, el( x (1 W ( x de aordo om as tensões residuais onsideradas para seções laminadas. Note-se que em [5] foi desenvolvida uma metodologia para a verifiação de vigas de seção onstante analitiamente fundamentada, uma ve que no presente regulamento a formulação existente foi essenialmente alibrada em função de resultados numérios e adaptada diretamente a partir da láusula de verifiação para olunas. Finalmente, o grau de utiliação ε ilustra-se na Fig.. Para resolução da Eq. (11, r, e δ r,hmin foram obtidos numeriamente através de uma análise elástia bifuraional (LBA. A resolução desta equação é iterativa uma ve que existem inógnitas, x e α E. ε I e ε representam as omponentes do grau de utiliação orrespondentes aos esforços de 1ª e ª ordem, respetivamente. Na Fig. 3, a loaliação rítia situa-se em x 0.35L, em que ε(=1., el

6 6 VI Congresso de Construção etália e ista ε_(i ε_( ε_tot = ε_(i + ε_( -δ r,hmin ε ( x [m] Fig. 3: Curvatura δ r,min e grau de utiliação ε 3 odelo numério Para este estudo foi onsiderado um modelo de elementos finitos utiliando o programa Abaqus, versão 6.10 [6]. Relativamente às imperfeições geométrias das análises GNIA, as mesmas apresentam uma amplitude de e 0 =L/1000 proporional ao modo global de enurvadura, ver Fig. 4. Foram também onsideradas distribuições de tensões residuais relativas a seções laminadas (adopção de uma amplitude de 0.5f onservativamente. Fig. 4: odo global de enurvadura 4 Estudo paramétrio 3.1 Definição Foi realiado um estudo paramétrio englobando mais de 350 simulações numérias em elementos de asa, tendo sido realiadas análises GNIA bem omo LBA. Enontra-se esquematiado na Tabela 1:

7 VI Congresso de Construção etália e ista 7 Ráio de variação γ=h max /h min Tabela 1: Estudo paramétrio Esbeltea normaliada Seção de referênia, Rk ( x0 / (i.e. om h min ( x0 100x100x10x10 (h=b=100 mm; t f =t w =10 mm r, Ed 3. etodologia A resistênia será representada através de urvas de enurvadura em função da esbeltea relativa da seção que apresenta menor resistênia no que di respeito aos esforços de 1ª ordem. Para o aso de momento fletor onstante, esta seção é a seção mínima para todos os asos (representada por x 0. A Eq. (13 apresenta o fator de redução χ(x 0 e x. ( x ( x / ( x 1 ( 0, Rk 0, Ed 0 E ; ( x ( E r r, Rk ( x0 /, Ed ( x0 1 A loaliação rítia x será também obtida através da resolução da Eq. (11. Para omparação dos resultados analítios, os resultados numérios da análise GNIA também serão extraídos. A resistênia orresponderá ao máximo fator de arga e a seção rítia é obtida através da análise da loaliação om maior extensão negativa para o máximo fator de arga. Finalmente, as seguintes metodologias para onsideração da loaliação rítia x e imperfeição generaliada η ilustram-se na Tabela. Note-se que as metodologias designadas por x0_a e x0_b orrespondem à apliação do étodo Geral do EC3-1-1, láusula São analisadas ambas as urvas de enurvadura a e b para seções laminadas, respetivamente para h/b e h/b> (que poderão oexistir numa mesma viga de seção variável. A metodologia designada por x0_[5] poderá interpretar-se também por uma apliação do étodo Geral mas já om a imperfeição generaliada para seções uniformes desenvolvida em [5] e analitiamente fundamentada. Finalmente, em (resolução da Eq. (11é onsiderada a loaliação rítia, x, bem omo o fator de imperfeição adiional para seção variável, β(x. etodologia Tabela : etodologias para análise da estabilidade Loaliação α ondiionante x0_a x h/b 0.1 (urva a 0 ( x 0 0. x0_b x h/b> 0.34 (urva b 0 ( x 0 0. x0_[5] x 0 W, el( x ( 0 ( W, el( x x x ( 0 x x W, el( x W, el( x ( x GNIA x - - η ( x ( x 0. ( x

8 8 VI Congresso de Construção etália e ista 3.3 Resultados 4..1 Validação do modelo analítio A Fig. 4 ompara os resultados do modelo analítio om o modelo numério. Observam-se diferenças máximas de 4%. Está também representada a atual urva de enurvadura b do EC3-1-1 (fator de imperfeição α =0.34, a qual deverá ser onsiderada para vigas de seção laminada om h/b. As diferenças ultrapassam os 30% e onfirmam a neessidade de desenvolver regras adequadas para elementos de seção variável. Observe-se também que o modelo numério omeça a divergir do modelo analítio (ultrapassando a arga rítia elástia para esbelteas elevadas. O modelo numério onverge para a resistênia pl,, ou seja, devido à elevada rotação da viga, o momento apliado iniialmente em torno do eixo de maior inéria passa a ser apliado em torno do eixo de menor inéria. Trata-se de um omportamento pósrítio que pode ser despreado, uma ve que tais níveis de esbeltea não são prátios. 1. χ (x 0 α E GNIA EC3 (α=0.34 Euler pl,(x0/ed x /L λ (x λ (x a.1 Resistênia, γ= a. Seção rítia, γ= 1. χ (x 0 GNIA x /L GNIA α E 1.0 EC3 (α= Euler 0.8 pl,(x0/ed λ (x GNIA λ (x 0 b.1 Resistênia, γ=4 b. Seção rítia, γ=4 Fig. 5: Resultados do modelo analítio 4.. Influênia da variação da seção A variação do ráio de variação γ=h max /h min é ilustrada na Fig. 6. Observa-se que o aumento de resistênia vai sendo menos signifiativo para maiores valores de γ. Relativamente à loaliação rítia relativa, x /L é possível verifiar (Fig. 7 que a mesma vai apresentado valores mais baixos om o aumento de γ. Para uma mesma variação da seção γ, a x /L tende a estabiliar para valores de esbeltea ( x 0.

9 VI Congresso de Construção etália e ista 9 χ(x 0 α E γ =1 γ =1. γ =1.5 γ = γ =4 γ =6 EC3 (α=0.34 Euler λ (x 0 Fig. 6: Variação da resistênia om γ x /L γ =1 γ =1. γ =1.5 γ = γ =4 γ = λ (x 0 Fig. 7: Variação da loaliação rítia om γ 4..3 Comparação om outras metodologias Na Fig. 8 são omparadas, para γ=3, as várias metodologias da Tabela. Verifia-se que o modelo analítio arateria om bastante preisão o fenómeno de variação da seção, o que é onseguido através da onsideração da loaliação rítia x e do fator adiional β, omo se pode observar através dos resultados de x0_[5], nos quais não são onsiderados estes parâmetros. Finalmente, observa-se que a apliação do étodo Geral do EC3-1-1 onsiderando as urvas a e b, leva respetivamente a diferenças de 6% e 34% relativamente ao modelo numério.

10 10 VI Congresso de Construção etália e ista χ (x 0 α E x0_a x0_b x0_[5] GNIA pl, (xd / Ed Euler λ (x 0 Fig. 8: Comparação om outras metodologias, γ=3 5 Conlusões Neste artigo desenvolveu-se um modelo analítio para verifiação da estabilidade de vigas om alma linearmente variável. Observou-se uma elevada oerênia do modelo analítio relativamente ao modelo numério. Verifiou-se a neessidade de alibrar expressões para a loaliação da seção rítia de dimensionamento, x, e para um fator adiional de imperfeição, β(x. Bem assim, numa fase seguinte proeder-se-á à alibração dos fatores relevantes menionados e à adaptação do mesmo modelo para outras distribuições de momento fletor atuante. Referênias [1] CEN, European Committee for Standardiation, EN :005, Euroode 3: Design of steel Strutures Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings, Brussels, Belgium (005. [] arques, L.; Taras, A.; Simões da Silva, L.; Greiner, R.; Rebelo, C. Development of a Consistent Bukling Design Proedure for ered Columns, Journal of Construtional Steel Researh (em publiação, 011. [3] arques, L. and Simões da Silva, L., Development of a onsistent design proedure for lateral-torsional bukling of tapered beams, Tehnial Committee 8, ECCS, Doument TC , Lisbon, Portugal, June 3rd (011, working paper. [4] Kitipornhai S. and Trahair, N.S., Elasti Stabilit of ered I-Beams, Journal of the Strutural Division Proeedings of the Amerian Soiet of Civil Engineers ST3, pp (197. [5] Taras, A.; Greiner, R., "New design urves for lateral-torsional bukling Proposal based on a onsistent derivation", Journal of Construtional Steel Researh, 66 (5, pp (010. [6] Abaqus, v.6.10, Dassault Sstems/Simulia, Providene, RI, USA (010.