CONSIDERAÇÕES SOBRE O USO DA RIGIDEZ EQUIVALENTE PARA VIGAS E PILARES NAS ANÁLISES NÃO-LINEARES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

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1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O USO DA RIGIDEZ EQUIVALENTE PARA VIGAS E PILARES NAS ANÁLISES NÃO-LINEARES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Mônia Maria Emereniano Bueno 1 Guilherme Sales Soares de Azevedo Melo 2 Resumo: Este trabalho tem omo objetivo estudar a apliação em projetos da riidez equivalente de vias e pilares de pórtio om o intuito de simular a não-linearidade físia para análises de seunda ordem lobal em estruturas de onreto armado. Para este estudo foi desenvolvido um exemplo analítio de um edifíio apresentando o passo a passo do proesso de álulo utilizado nas análises. Palavras-have: Não-linearidade físia. análise não-linear aproximada. riidez. Introdução A avaliação da sensibilidade das estruturas aos efeitos de seunda ordem lobal é obriatória, sejam elas de pequena ou rande omplexidade. Esta onsideração está ada vez mais inserida na realidade dos esritórios de projeto e isso se deve ao desenvolvimento dos sistemas omputaionais, que vêm evoluindo de forma sinifiativa e são influeniados diretamente pela inorporação desses tipos de análises em seus proessamentos. O omportamento não-linear é aquele araterizado por uma relação de nãolinearidade entre o arreamento apliado e a resposta estrutural. Na análise de estruturas de onreto armado o material apresenta uma relação não-linear entre tensões e deformações e a estrutura em questão sofre uma mudança de posição no espaço que influenia nos desloamentos finais e esta influênia será maior quanto mais alto for o nível de arreamento atuante. Pode ser introduzido nas análises de forma simplifiada ou refinada e de aordo om a NBR6118:2014 deve ser obriatoriamente onsiderado. O omportamento não-linear é aquele araterizado por uma relação de não-linearidade entre o arreamento apliado e a resposta estrutural. O resultado onsiderando esses dois aspetos é que a resposta enontrada será diferente daquela obtida por proessamento elástio-linear. Páina207 1 Professor, Instituto Federal de Eduação Ciênia e Tenoloia de Goiás; Doutor; mo.bueno@mail.om 2 Professor, Universidade de Brasília; Doutor; melo@unb.br

2 Não-linearidades Páina208 Os efeitos não-lineares podem ser divididos quanto à sua natureza em efeitos devidos à mudança de posição da estrutura no espaço, denominados não-linearidade eométria (NLG) e aqueles referentes ao omportamento do material, onheidos por não-linearidade físia (NLF). Cada um olabora om uma parela no omportamento não-linear, no entanto estes não podem ser separados pois atuam de forma onjunta e são intrínseos à resposta estrutural. Análises não-lineares são essenialmente métodos de álulo iterativos, devido à natureza dos problemas, tanto a NLF quanto a NLG são alteradas de aordo om o nível de tensão atuante e este se modifia ao lono da análise. Apesar do uso ada vez mais inorporado aos proessos de álulo de análises não-lineares, métodos simplifiados bem fundamentados foram desenvolvidos e testados durante muito tempo e ainda são bastante apliados omo alternativa a análises riorosas, desde que respeitadas suas limitações. Na NBR 6118:2014 o proesso aproximado para avaliar os efeitos de seunda ordem lobais utilizando o z, oefiiente que relaiona o momento de tombamento (primeira ordem) da estrutura om o momento devido ao arreamento apliado na mesma já om os desloamentos horizontais, é uma forma de álulo simplifiada indiada que sinaliza se a edifiação deve levar em onta esses efeitos na análise estrutural. Nas análises aproximadas utiliza-se métodos simplifiados para a não-linearidade eométria nos quais é essenial que se faça uma previsão orreta da influênia da não-linearidade físia dos elementos omponentes, ou seja, é preiso levar em onta a perda de riidez da estrutura devido ao omportamento não-linear dos materiais. Quanto mais próximo o valor adotado esteja da riidez efetiva da estrutura, mais preisos serão os resultados. Estes proessos simplifiados para análise não-linear são de extrema utilidade prátia para o projeto de edifíios em onreto armado, desde que se onheça seus respetivos ampos de apliação e sua preisão, uma vez que ailizam o desenvolvimento do projeto estrutural sem perda sinifiativa na preisão dos resultados. Mesmo diante da failidade que os proessamentos omputaionais ofereem atualmente, os métodos aproximados para onsideração das nãolinearidades ontinuam desempenhando um papel importante no desenvolvimento de projetos na enenharia, forneendo bons resultados em análises iniiais de

3 lançamento estrutural em relação ao seu omportamento quanto aos efeitos de seunda ordem. Edifíio Exemplo Para verifiar as onsiderações de não-linearidades no álulo de estruturas retiuladas dentro da análise estrutural foi desenvolvido um exemplo de uma estrutura simples, modelada utilizando pórtios planos assoiados para ombinações de arreamentos e onsiderações de riidez do Estado Limite Último. Os álulos iniiais de arreamentos, suas ombinações e avaliação da estabilidade lobal foram realizados utilizando planilhas eletrônias e para determinação dos esforços soliitantes internos foi usado o software eduaional Ftool- Two Dimensional Frame analysis, versão 2.12, desenvolvido por Luiz Fernando Martha, da PUC Rio, por proporionar análises estruturais om pórtios planos. Desrição do Edifíio O edifíio adotado nas análises foi o Edifíio Exemplo, uja planta baixa está representada na Fiura 1. Trata-se de uma edifiação de uso omerial omposta por um pavimento-tipo om duas repetições e uma obertura. Todos os níveis possuem a mesma planta de forma e as distânias de piso a piso são onstantes e iuais a 4,00m, resultando na altura total de 12,00m, omo indiado no orte esquemátio da Fiura V301 20/50 P1 P2 P V302 20/50 P7 L1 L6 P8 L2 L7 P9 V303 20/50 Páina P13 P14 Fiura 1- Detalhe em planta do Edifíio Exemplo, dimensões em entímetros P15

4 COB m TIP m TIP m Fundaao Páina Fiura 2- Corte esquemátio do Edifíio Exemplo e aço CA-50; Critérios Gerais Os ritérios importantes pressupostos na análise e dimensionamento são: Todos os elementos da edifiação são de onreto armado om f k 25MPa O módulo de elastiidade do onreto onsiderado orresponde a Ei 5600 fk MPa. Modelo Estrutural A estrutura foi modelada utilizando pórtios planos assoiados, liados entre si por barras ríidas que tem apenas a função de ompatibilizar os desloamentos horizontais em ada nível entre os pórtios. Esta solução foi utilizada devido às suas araterístias de simetria, tanto eométria quanto de arreamentos e pela possibilidade de realizar análise onjunta de aras vertiais e horizontais de forma efiiente. Os pilares foram onsiderados enastados na base da edifiação e, devido à simetria, o modelo utilizado possui apenas 3 pórtios omo apresentado nas Fiuras 3 e 4.

5 Fiura 3- Modelo de pórtios planos assoiados utilizado no Edifíio Exemplo PÓRTICO 1 V301 20/50 P1 P2 P3 P4 P5 P6 L1 L2 L3 L4 L5 PÓRTICO 2 V302 20/50 P7 P8 P9 P10 P11 P12 L6 L7 L8 L9 L10 PÓRTICO 3 V303 20/50 P13 P14 P15 P16 P17 P18 L11 L12 L13 L14 L15 V304 20/50 P19 P20 P21 P22 P23 P24 L16 L17 L18 L19 L20 V305 20/50 P25 P26 P27 P28 P29 P30 Fiura 4- Identifiação em planta dos pórtios representados no modelo de análise estrutural Páina211 V307 20/50 L21 V308 20/50 L22 V309 20/50 L23 V310 20/50 L24 V311 20/50 L25 V312 20/50 V306 20/50 P31 P32 P33 P34 P35 P36

6 Carreamento As aras vertiais adotadas foram ompostas por parelas permanentes e aidentais de aordo om as araterístias e om o uso do pavimento e determinadas para ada tipo de elemento estrutural. Para determinar o arreamento de vento atuante no Edifíio Exemplo foram utilizados os dados apresentados na Tabela 1. Tabela 1- Dados utilizados para a determinação do arreamento de vento Parâmetro V 0 Desrição Veloidade básia do vento 35 m/s S 1 Fator toporáfio 1,00 Valor utilizado Cidade de Brasília Terreno plano Ruosidade do terreno Cateoria III Terreno plano om obstáulos S 2 Dimensões da edifiação Classe A Edifiação om a maior dimensão até 20m S 1 2 0,941,0 z 10 Por treho Calulado para ada altura (z) do pavimento S 3 Fator estatístio 1,00 Edifíio omerial om alto fator de oupação Cax e Cay Coefiiente de arrasto para Do ábao para vento de L 1 L 2 1,00 1,04 ada direção baixa turbulênia: h L 1 0,6 Foi onsiderado também arreamento horizontal provoado pelo desaprumo dos elementos vertiais utilizando os dados: altura total da edifiação de H=12m, número de prumada de pilares n=6 e valor adotado para é referente a estruturas 1, min de nós móveis. Como , 0033, para o álulo de a. 1 1, min 1 Páina212 Os efeitos das imperfeições eométrias das estruturas de ontraventamento podem ser onsiderados através da apliação de forças horizontais diversos níveis da estrutura, onde do edifíio. H F nos F vi é a força vertial total introduzida no andar i Seundo a NBR 6118:2014 o desaprumo e o vento não devem ser superpostos nas análises lobais. Entre os dois deve ser onsiderado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido através do que provoa o maior momento total na base de onstrução. Para isso, foi realizada análise omparativa dos momentos erados na base da edifiação (Tabela 2) onluindo que o vento é o mais desfavorável e por isso ele foi utilizado omo arreamento horizontal apliado ao Edifíio Exemplo. i a vi

7 Tabela 2- Cálulo dos momentos na base do Edifíio Exemplo em função dos arreamentos horizontais de vento e desaprumo lobal TRECHOS z i [m] Vento Desaprumo F [kn] M eq [knm] H i [kn] M eq [knm] Térreo 0,00 23,44 0,00 13,01 0,00 1 4,00 46,88 187,52 13,01 52,04 2 8,00 53,84 430,72 13,01 104, ,00 29,18 350,16 10,49 125,88 ΣM base 968,40 ΣM base 282,00 Combinações de Carreamento Após a definição das ações atuantes na estrutura foram definidas duas ombinações últimas normais a fim de onsiderar a atuação simultânea dos arreamentos horizontal e vertial. Foi onsiderada a formulação de seurança apresentada em da NBR 6118:2014 em que se alulam os efeitos de seunda ordem das aras majoradas de f, que posteriormente são majorados de f 3, om f 3 f 3 1, 1. Para o Edifíio Exemplo os asos de arreamento utilizados estão apresentados nas equações 1 e 2, respetivamente Combinação 1 e Combinação 2. Onde 1,4 1,4 1,4 Sd, tot 1,1 S Fk Fq 1k 0, 6 Fq 2 1,1 1,1 1,1 1,4 1,4 1,4 Sd, tot 1,1 S Fk 0,7 Fq 1k Fq 2 1,1 1,1 1,1 Fq 1 representa as ações de sobreara e k q k k k F 2 a ação do vento. (1) (2) Análise da Estabilidade Global A avaliação da estabilidade lobal da estrutura foi realizada através do Páina213 oefiiente z. Ele foi determinado a partir dos resultados da análise linear de primeira ordem da estrutura para ada aso de arreamento, adotando-se os valores de riidez indiados na NBR 6118:2014 para estruturas retiuladas de no mínimo quatro andares: EI 0, 4E i I EI se 0, 8E i I. Vias: se ; Pilares:

8 Apesar destes valores não serem indiados para estruturas om 3 pavimentos, eles foram utilizados omo valores iniiais para a análise iterativa realizada a seuir. A Tabela 3 apresenta os álulos realizados para determinação do z onsiderando a Combinação 1, assim omo a Tabela 4 apresenta a Combinação 2. TRECHOS zi [m] Tabela 3- Cálulo de z para a Combinação 1 Combinação 1 1 ordem 2 ordem F H,k [kn] M 1k [knm] M 1d [knm] F V,d [kn] Desl. h [m] M 2d [knm] Térreo ΣM base ΣM base z 1.06 TRECHOS zi [m] Tabela 4- Cálulo de z para a Combinação 2 Comb2 1 ordem 2 ordem F H,k [kn] M 1k [knm] M 1d [knm] F V,d [kn] Desl. h [m] M 2d [knm] Térreo 0,00 23,43 0,00 0, ,98 0, ,00 1 4,00 46,86 187,44 262, ,98 0, ,96 2 8,00 53,83 430,64 602, ,98 0, , ,00 29,19 350,28 490, ,98 0, ,06 ΣM base 1355,70 ΣM base 70,29 z 1,05 Páina214 de nós fixos. Pelos valores de z enontrados, pode-se onluir que o Edifíio Exemplo é Foi realizada também a análise P do Edifíio Exemplo por ser um proesso mais refinado de onsideração na NLG. Ele onsiste em um álulo iterativo que em suas etapas transforma o efeito dos desloamentos suessivos em forças horizontais equivalentes H i. No entanto a onsideração da NLF também é feita

9 através da redução da riidez e os valores 0,4E i I para vias e 0,8E i I para pilares foram adotados novamente, assim omo no álulo do z. O ritério de parada definido foi o de inremento nos valores de desloamento enontrados. O proesso é finalizado quando o arésimo determinado em uma iteração seja menor do que 0,05m. Os resultados enontram-se nas Tabelas 5,6 e 7. Tabela 5- Análise P : Valores de H i para a primeira iteração Análise iniial Comb1 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,4923 0, , , ,12 2,5152 1, , , ,82 4,4098 0,9473 Térreo 6 0, ,0000 h= 4,00 m Comb2 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,8208 0, , , ,12 4,1974 1, , , ,82 7,3461 1,5743 Térreo 6 0, ,0000 Páina215

10 Tabela 6- Análise P : Valores de H i para a seunda iteração 1 a Iteração Comb1 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,5077 0, , , ,12 2,6167 1, , , ,82 4,5998 0,9915 Térreo 6 0, ,0000 h= 4,00 m Comb2 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,8455 0, , , ,12 4,3658 1, , , ,82 7,6652 1,6497 Térreo 6 0, ,0000 Tabela 7- Análise P : Valores de H i para a tereira iteração 2 a Iteração Comb1 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,5087 0, , , ,12 2,6190 1, , , ,82 4,6106 0,9958 Térreo 6 0, ,0000 h= 4,00 m Comb2 Andar Nó u i [m] u [m] F i [kn] H i tot [kn] H i pórtio [kn] , , ,42 0,8332 0, , , ,12 4,3382 1, , , ,82 7,6401 1,6510 Térreo 6 0, ,0000 Páina216 O proesso foi finalizado na seunda iteração, pois os inrementos nos desloamentos da primeira para a seunda iteração foram muito pequenos, menores que o valor estabeleido omo ritério de parada.

11 Dimensionamento da Estrutura Para determinar a riidez das peças é neessário realizar o dimensionamento da estrutura e hear às armações finais de todos os elementos, onsiderando para isto a envoltória de arreamentos, pois dessa forma as armaduras enontradas atendem a todas as ombinações possíveis de arreamentos externos. Nos asos de estruturas om eometria e arreamento simétrios (omo o Edifíio Exemplo) a envoltória erada tem forma simétria, pois o diarama de esforços para o vento em um sentido e no sentido ontrário também apresentam resultados simétrios. Nesta etapa foram utilizados os resultados do proessamento não-linear eométrio pelo proesso redução de riidez da NBR6118:2014. P já realizado e a NLF foi levada em onta através da O resultado da taxa de armadura média do dimensionamento de vias está apresentado nas tabelas 8 e 9. Para definição de utilizou-se a equação 3 (CRESPO, 2002) que será neessária na determinação da riidez equivalente de vias da estrutura. Sendo 0,15 0,15 0, 70 ( Erro! A B C Nenhum texto om o estilo espeifiado foi enontrado no doumento.) A e B as taxas de armadura referentes aos extremos de ada vão das vias e C a taxa de armadura referente ao meio do vão. Páina217

12 Tabela 8- Resultado dos proessamentos para as vias dos pavimentos tipo A VÃO C B V01/V06/ V07 / V / 3/ 4 5 0,16% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,17% 0,18% 0,17% V02/V03/ V04/ V05/ V08/ V09/ V10/ V11 VÃO 1 2 / 3/ 4 5 A B 0,24% 0,31% 0,31% 0,31% 0,31% 0,24% C 0,16% 0,16% 0,16% 0,19% 0,20% 0,19% Tabela 9- Resultado dos proessamentos para as vias da obertura A VÃO C B V401/V406/ V407 / V / 3/ 4 5 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% V402/V403/ V404/ V405/ V408/ V409/ V410/ V411 VÃO 1 2 / 3/ 4 5 A C B 0,16% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,16% 0,16% 0,16% 0,16% 0,17% 0,18% 0,17% O dimensionamento de pilares também foi realizado onsiderando a flexão omposta oblíqua e os resultados enontram-se na tabela a seuir. Tabela 10- Dimensionamento dos pilares do Edifíio Exemplo Páina218 P1/.../P6/P8/.../P11/P14/.../P17/P20/.../ P23/P26/.../P29/P31/.../P36 Lane 1 4φ12,5 Lane 2 4φ12,5 Lane 3 4φ12,5 P7/ P12/ P13/ P18/ P19/ P24/ P25/ P30 4φ12,5 4φ12,5 4φ16

13 Determinação da Riidez Equivalente Para obter valores de riidez equivalente serão apliados nas vias e pilares do Edifíio Exemplo as equações sueridas no trabalho de Crespo (2002) e Oliveira (2004), que se baseiam na norma brasileira. Crespo (2002) apresenta uma relação entre e taxa de armadura média e valores de redução de riidez para tramos de vias. Em seus estudos a autora onluiu que é preferível trabalhar om valores variáveis de redução de riidez de vias do que um únio valor para o espetro de vias usuais. Ela india omo proposta final o valor de 0, 3 para 0,75% e um valor que varia de 0, 3 eq a 0,7 para 0,75% 2,55%, sendo a taxa de armadura de tração no meio do vão. Utilizando os resultados de Crespo (2002) e onsiderando que a taxa média de armadura das vias do Edifíio Exemplo variou entre 0,16% e 0,20%, o valor indiado para a redução de riidez é 0, 3. eq A riidez média de pilar foi alulada utilizando os ábaos de Oliveira (2004) através de. Para as araterístias eométrias dos pilares do Edifíio Exemplo utilizou-se o ábao B10 e os resultados estão na tabela 11. eq Páina219

14 Tabela 11- Cálulo da riidez média utilizando os ábaos de Oliveira (2004) N. de PILAR Lane Seção b h d' d'/h f n m w k EI s [knm²] EI i [knm²] EI s /EI i barras 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,02 0, , ,00 0,19 P1/ P6/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,04 0, , ,00 0,15 P31/ P36 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,0 0,03 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,04 0, , ,00 0,27 P2/ P5/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,03 0, , ,00 0,19 P32/ P35 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,01 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,04 0, , ,00 0,27 P3/ P4/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,03 0, , ,00 0,19 P33/ P34 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,01 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,05 0, , ,00 0,19 P7/ P12/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,05 0, , ,00 0,19 P25/ P30 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,06 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,5 0,07 0, , ,00 0,46 P8/ P11/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,05 0, , ,00 0,27 P26/ P29 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,02 0, , ,00 0,19 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,5 0,07 0, , ,00 0,46 P9/ P10/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,04 0, , ,00 0,27 P27/ P28 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,02 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,05 0, , ,00 0,19 P13/ P18/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,2 0,05 0, , ,00 0,19 P19/ P24 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,06 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,5 0,07 0, , ,00 0,46 P14/ P17/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,04 0, , ,00 0,27 P20/ P23 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,02 0, , ,00 0,15 1 B ,00 0,10 4 1,25 0,5 0,07 0, , ,00 0,46 P15/ P16/ 2 B ,00 0,10 4 1,25 0,3 0,04 0, , ,00 0,27 P21/ P22 3 B ,00 0,10 4 1,25 0,1 0,02 0, , ,00 0,15 De aordo om os trabalhos de Khuntia e Ghosh (2004a) e (2004b) nos quais o ACI 318:11 está baseado, a determinação da riidez equivalente depende dos fatores taxa de armadura e relação b d para vias e da taxa de armadura, relação e h e taxa de arreamento axial P u P0 para os pilares. Para efeito de omparação os resultados das equações propostas nos trabalhos destes autores foram alulados para o Edifíio Exemplo e estão apresentados nas tabelas a seuir. Porém foi feita uma adaptação na determinação da ara última de pilares, pois se utilizou as bases da norma brasileira para seu álulo. Páina220

15 Tabela 12- Determinação da riidez equivalente de vias de aordo om Khuntia e Ghosh (2004a) VIGA /06/07/12 TIPO 0,16% 0,24% 0,43 0,17 02/03/04/05/ 08/09/10/11 PAVIMENTO rítio TIPO 0,16% 0,31% 0,43 0,18 01/06/07/12 COB 0,16% 0,16% 0,43 0,16 02/03/04/05/ 08/09/10/11 COB 0,16% 0,24% 0,43 0,17 b d EI e E I Páina221 Tabela 13- Determinação da riidez equivalente de pilares de aordo om Khuntia e Ghosh (2004a) PILAR LANCE e h [kn] P [kn] P u P0 EI e E I P1/ P6/ P31/ P36 P2/ P5/ P32/ P35 P3/ P4/ P33/ P34 P7/ P12/ P25/ P30 P8/ P11/ P26/ P29 P9/ P10/ P27/ P28 P13/ P18/ P19/ P24 P14/ P17/ P20/ P23 P15/ P16/ P21/ P22 Pu 0 1 0,55% 0, ,16 0,58 2 0,55% 0, ,10 0,50 3 0,55% 0, ,04 0,23 1 0,55% 0, ,30 0,58 2 0,55% 0, ,19 0,63 3 0,55% 0, ,08 0,67 1 0,55% 0, ,29 0,59 2 0,55% 0, ,19 0,63 3 0,55% 0, ,08 0,67 1 0,55% 0, ,25 0,60 2 0,55% 0, ,16 0,56 3 0,89% 0, ,06 0,17 1 0,55% 0, ,52 0,50 2 0,55% 0, ,34 0,58 3 0,55% 0, ,16 0,65 1 0,55% 0, ,51 0,50 2 0,55% 0, ,33 0,58 3 0,55% 0, ,15 0,65 1 0,55% 0, ,25 0,60 2 0,55% 0, ,16 0,57 3 0,89% 0, ,06 0,15 1 0,55% 0, ,49 0,51 2 0,55% 0, ,32 0,58 3 0,55% 0, ,15 0,65 1 0,55% 0, ,49 0,52 2 0,55% 0, ,32 0,58 3 0,55% 0, ,15 0,65 Khuntia e Ghosh (2004a) reomendam na onlusão de seu trabalho que as análises de primeira e seunda ordem de pórtios devem ser iniialmente feitas

16 onsiderando 0,35EI para vias e 0,70EI para pilares, o que orresponde a vias om 1% de taxa de armadura e pilares om 1,5%, e h 0, 20 e P 0 0, 40. No entanto após apliar as equações propostas são alulados novos valores para P u EI e e deve-se verifiar se os resultados enontrados apresentam diferenças maiores do que 15% em relação àqueles assumidos iniialmente. Caso isso oorra é neessário realizar nova análise onsiderando omo riidez iniial os últimos resultados enontrados. Seundo o ACI o momento de inéria a ser utilizado em análise elástia de seunda ordem (já sem o fator de redução 0, 875 ) tem intervalo de valores definido a ser utilizado: Vias: 0,29I I 0, 6I ; k Pilares: 0,4I I 1, 0I Considerando as reomendações do ACI 318:11, omo o EI e de vias variou entre 0,16 e 0,18 E o valor final equivalente a ser adotado deve ser 0,29E I. Em I relação aos pilares os resultados apontam valores que variam entre 0,6 e 0,7 E, om alumas exeções para elementos om rande exentriidade e baixa ara axial que onduziram a resultados entre 0,15 e 0,23 E. Será adotado o valor de 0,60E I, baseado na média dos resultados enontrados. Analisando as vias do Edifíio Exemplo pode-se pereber que sua baixa taxa de armadura leva a baixos valores de riidez equivalente, fato omprovado pela base das formulações usadas. Tanto o trabalho de Crespo (2002) omo o ACI 318:11 impõem omo limite inferior para riidez equivalente de vias valores vinulados a taxas de armadura de 0,75% e reomendam pratiamente os mesmo valores (0,3 e 0,29 respetivamente). No aso dos pilares as taxas de armadura muito baixas ontribuíram para valores reduzidos de riidez equivalente, assoiada à exentriidade presente nesses elementos, levando a resultados que não serão onsiderados, pois a tipoloia dos elementos não foi adequada à análise. O resumo dos resultados está na tabela 14. I I Páina222

17 Tabela 14- Resumo dos valores de riidez equivalente determinados para o Edifíio Exemplo Vias EI Pilares Iniial 0,4 0,8 e E I Crespo(2002) / Oliveira (2004) 0,3 _ ACI 318:11 0,29 0,6 Nova Análise e Dimensionamento da Estrutura Para omparar om os resultados enontrados foi realizado novo dimensionamento do Edifíio Exemplo utilizando a modelaem de pórtio espaial e determinação da riidez equivalente por análise não-linear mais refinada. O arreamento das lajes foi onsiderado através do modelo de relha e os ritérios erais apresentados ontinuam os mesmos assim omo o arreamento adotado om suas ombinações. Para este novo dimensionamento foi utilizado o prorama de álulo estrutural CAD/TQS versão que possibilita a nova modelaem e análise nãolinear pretendida. O Edifíio Exemplo modelado omo pórtio espaial está representado na Fiura 5. Páina223 Fiura 5- Modelo de pórtio espaial do Edifíio Exemplo

18 Na verifiação da estabilidade lobal foi enontrado o valor de 1, 07, próximo ao 1,06 e 1,05 enontrados na primeira análise, sendo o vento a ação onsiderada nos álulos por erar maior momento na base da edifiação do que o momento erado pela imperfeição eométria lobal. O proesso de determinação da riidez equivalente de forma mais refinada parte da estrutura já dimensionada, ou seja, om eometria e armadura dos elementos estruturais definidas. Nesta nova análise as barras que representam vias e pilares no pórtio espaial são disretizadas em um número maior de elementos (onsiderado aqui 0,5m o omprimento máximo para ada semento) e om isso o pórtio espaial do Edifíio Exemplo passou de um modelo om 504 nós e 648 barras para 2520 nós e 2664 barras. Para ada barra, é determinado o diarama momentourvatura de onde se obtém o valor da riidez EI orrespondente. Como foram onsideradas duas ombinações de arreamento e o vento deve ser apliado nas duas direções e dois sentidos, é alulada a riidez EI para ada ombinação, ada direção e ada sentido de vento, resultando em 8 valores de riidez alulados para ada barra. Pela simetria eométria e de arreamentos, este álulo pode ser reduzido para determinação de dois valores apenas: Combinação 01 + vento, Combinação 2+ vento. análise Determinados os valores orrespondentes de EI para ada barra, é feita a P da estrutura melhor disretizada utilizando os novos valores de riidez obtidos dos diaramas momento-urvatura ou momento-normal-urvatura. Os resultados finais são novos esforços soliitantes internos e novos desloamentos para a estrutura. Esta análise indiou que todas as barras passaram, ou seja, o dimensionamento iniial utilizando 0,4E i I para vias e 0,8E i I para pilares levou a uma solução que atende à análise estrutural mais refinada. Baseado neste proesso é possível obter valores representativos da riidez de vias e de pilares. O resultado enontrado para vias foi de 0,11EI e para pilares 0,80EI, alulado através de valores médios daqueles provenientes da análise de ada z Páina224 elemento. Para efeito omparativo serão determinados novamente os valores de riidez equivalente om base nos trabalhos de Khuntia e Ghosh (2004a) e Crespo (2002), relativos ao novo dimensionamento realizado.

19 Utilizando as reomendações de Crespo (2002) a riidez equivalente pode ser alulada em função das taxas de armadura dos apoios e do meio do vão, determinando. Os valores enontram-se nas tabelas a seuir. Tabela 15- Determinação da taxa de armadura média para vias finais 01/ 06/ 07/ 12 V01/V06/ V07 / V12 VÃO 1 2 / 3/ 4 5 0,24% 0,24% 0,24% Tabela 16- Determinação da taxa de armadura média para vias do tipo finais 02/ 03/ 04/ 05/ 08/ 09/ 10/ 11 V02 /V03 /V04 /V05 /V08 /V09 /V10 /V11 VÃO 1 2/ ,31% 0,27% 0,26% 0,31% Tabela 17- Determinação da taxa de armadura média para vias da obertura finais 02/ 03/ 04/ 05/ 08/ 09/ 10/ 11 V02/V03/ V04 / V05/ V08/ V09/ V10/ V11 VÃO 1 2 / 3/ 4 5 0,30% 0,26% 0,30% Como os valores de variaram entre 0,24% e 0,31% a riidez equivalente de vias de aordo om o trabalho de Crespo (2002) é 0,3EI. Utilizando as equações de Khuntia e Ghosh (2004a), são apresentadas as tabelas 18 e 19. Tabela 18- Determinação da riidez equivalente de vias de aordo om Khuntia e Ghosh (2004a) VIGA PAVIMENTO rítio + - b d EI 01/06/07/12 TIPO/ COB 0,24% 0,24% 0,43 0,18 02/03/04/05/ 08/09/10/11 TIPO 0,31% 0,37% 0,43 0,21 02/03/04/05/ 08/09/10/11 COB 0,31% 0,31% 0,43 0,20 e E I Páina225

20 Tabela 19- Determinação da riidez equivalente de pilares de aordo om Khuntia e Ghosh (2004a) PILAR LANCE e h [kn] P [kn] P u P0 EI e E I P1/ P6/ P31/ P36 P2/ P5/ P32/ P35 P3/ P4/ P33/ P34 P7/ P12/ P25/ P30 P8/ P11/ P26/ P29 P9/ P10/ P27/ P28 P13/ P18/ P19/ P24 P14/ P17/ P20/ P23 P15/ P16/ P21/ P22 Pu 0 1 0,55% 0, ,15 0,65 2 0,55% 0, ,10 0,62 3 0,55% 0, ,04 0,49 1 0,55% 0, ,08 0,48 2 0,55% 0, ,18 0,59 3 0,55% 0, ,29 0,60 1 0,55% 0, ,26 0,61 2 0,55% 0, ,17 0,63 3 0,55% 0, ,07 0,48 1 0,55% 0, ,28 0,60 2 0,55% 0, ,18 0,60 3 0,55% 0, ,07 0,54 1 0,55% 0, ,52 0,50 2 0,55% 0, ,34 0,60 3 0,55% 0, ,16 0,64 1 0,55% 0, ,47 0,52 2 0,55% 0, ,31 0,61 3 0,55% 0, ,15 0,64 1 0,55% 0, ,26 0,61 2 0,55% 0, ,16 0,63 3 0,55% 0, ,07 0,14 1 0,55% 0, ,48 0,52 2 0,55% 0, ,31 0,61 3 0,55% 0, ,15 0,65 1 0,55% 0, ,43 0,53 2 0,55% 0, ,28 0,62 3 0,55% 0, ,13 0,66 Da mesma forma que na análise anterior os resultados apontam para 0,29E I no aso de vias, devido ao limite inferior do intervalo apresentado no ACI 318:11 e 0,60E I nos pilares, baseado na média dos resultados enontrados. Ainda foram determinados valores baixos para riidez equivalente de pilares em situações similares às anteriores, elementos om rande exentriidade e baixa ara axial, om valores omo 0,14 e 0,48 E. I Considerações Finais Páina226 Com o trabalho realizado pode-se onluir que estudo da riidez equivalente é essenial pra apliação dos métodos simplifiados da onsideração das nãolinearidades nas estruturas de onreto armado e o uso destas formulações aproximadas é de fundamental importânia na análise estrutural.

21 O desenvolvimento do Edifíio exemplo ilustrou bem omo a NLF está inserida nas análises, porém as araterístias eométrias e de arreamento de todos os elementos estruturais deste edifíio levaram a baixas taxas de armadura e om isso utilizou-se sempre valores assoiados ao limite inferior de armaduras. O resumo dos resultados está apresentado na tabela 20. Os valores enontrados representam valores médios. Tabela 20- Resumo dos valores de riidez equivalente determinados para o novo dimensionamento do Edifíio Exemplo Vias EI Pilares Iniial 0,4 0,8 Crespo 0,3 - e E I ACI 318:11 Análise NLFG 0,29 0,6 0,11 0,8 Aradeimentos Ao CNPq- Conselho Naional de Desenvolvimento Científio e Tenolóio pela bolsa de doutorado onedida ao primeiro autor. À TQS Informátia Ltda. pela disponibilização do software ao Prorama de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de Brasília para desenvolvimento do trabalho e à sua equipe ténia pelo suporte na utilização do prorama. Referênias ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de onreto Proedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, AMERICAN CONCRETE INSTITUTE COMMITTEE 318. Buildin ode requirements for strutural onrete and ommentary. Farminton Hills, MI, Páina227 BUENO, M. M. E. Estudo de valores aproximados de riidez equivalente para vias e pilares para análises não-lineares lobais em estruturas de onreto armado de pequeno porte f. Tese (Doutorado) Universidade de Brasília, Brasília, CRESPO, S. L. F. Estudo de valores da riidez equivalente de tramos de vias de onreto armado para análises não-lineares f. Dissertação (Mestrado) - Esola Politénia da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2002.

22 KHUNTIA, M.; GHOSH, S. K. Flexural stiffness of reinfored onrete olumns and beams: analytial approah. ACI Strutural Journal. Vol 101, n. 3, p , May- June 2004a. KHUNTIA, M.; GHOSH, S. K. Flexural stiffness of reinfored onrete olumns and beams: experimental verifiation. ACI Strutural Journal. Vol 101, n. 3, p , May-June 2004b. OLIVEIRA, P. H. A. S. Proesso aproximado para onsideração da não-linearidade físia de pilares em onreto armado f. Dissertação (Mestrado) - Esola Politénia, Universidade de São Paulo, São Paulo, Páina228