UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL RAPHAEL RIBEIRO SANTOS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL RAPHAEL RIBEIRO SANTOS ANÁLISE DE PÓRTICOS COM INCORPORAÇÃO DE CONDENSAÇÃO ESTÁTICA FEIRA DE SANTANA - BA 21

2 RAPHAEL RIBEIRO SANTOS ANÁLISE DE PÓRTICOS COM INCORPORAÇÃO DE CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Monografia apresentada à disiplina TEC 174 PROJETO FINAL II, omo parte dos requisitos neessários para a obtenção de seus réditos. Orientador: Prof. Dr. José Mário Feitosa Lima Co-orientador:Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama FEIRA DE SANTANA - BA 21

3 RAPHAEL RIBEIRO SANTOS ANÁLISE MATRICIAL DE PÓRTICOS COM INCORPORAÇÃO DE CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Monografia apresentada à disiplina TEC 174 PROJETO FINAL II, omo parte dos requisitos neessários para a obtenção de seus réditos. Feira de Santana, 13 de agosto de 21. Orientador: Prof. Dr. José Mário Feitosa Lima Universidade Estadual de Feira de Santana Co-orientador: Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama Universidade Estadual de Feira de Santana Prof. Dr. Anderson de Souza Matos Gadéa Universidade Estadual de Feira de Santana Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes Lima Universidade Estadual de Feira de Santana

4 Dedio este trabalho a toda a minha família

5 AGRADECIMENTOS Gostaria de agradeer primeiramente a Deus, por está sempre presente na minha vida, dando-me saúde, paz, sabedoria, guiando-me pelos aminhos ertos. À minha Família, aos meus pais Raimundo Reis e Iara Ribeiro, a minha irmã Nathalya por todo arinho, onfiança e esforço para que pudesse hegar até aqui. A minha namorada, amiga e ompanheira Isys por sempre areditar em mim e estar ao meu lado. A panelinha por todos os momentos vividos juntos e a ajuda que reebi ao longo desse urso. Aos meus velhos amigos que estiveram ao meu lado sempre me apoiando, a voês o meu muito obrigado. Ao meu amigo e Professor José Mário Feitosa Lima, por ter me ajudado ao longo desse urso sempre areditando no meu potenial e me inentivando a me tornar um engenheiro melhor. Ao meu Professor e o-orientador Koji de Jesus Nagahama por ter me ajudado a esrever este trabalho. A todos os professores que repassaram seus onheimentos om total dediação durante todo meu proesso de formação aadêmia. A Universidade Estadual de Feira de Santana por me proporionar toda uma infra-estrutura para os meus estudos e também a todos aqueles que direta ou indiretamente me ajudaram ao longo desta aminhada. OBRIGADO!!!

6 RESUMO O projeto estrutural parte de uma onepção teória da estrutura e termina om a doumentação que possibilita a sua onstrução. São inúmeras e muito omplexas as etapas de um projeto estrutural sendo a análise estrutural a fase em que se realiza o estudo do omportamento da estrutura, om a determinação de esforços internos e externos, tensões orrespondentes, bem omo de seus desloamentos e deformações. No Brasil existe uma arênia de programas eduaionais (om ódigo aberto) para análise estrutural. Em geral, o aluno reém formado passa diretamente dos fundamentos teórios para a utilização de programas omeriais, na maioria das vezes sem onheer sua estrutura interna. Este trabalho tem por objetivo apliar o Método da Rigidez na análise matriial de pórtios espaiais inluindo a possibilidade de ondensação estátia dos desloamentos, gerando assim uma ferramenta omputaional para essa análise. Tal ferramenta foi implementada em linguagem FORTRAN 77. Por fim é apresentada a validação dos resultados por meio de problemas ujas soluções analítias são onheidas, ou ainda para outros problemas que dispunham de soluções numérias apresentadas na literatura. Palavras-have: Pórtio Espaial; Condensação Estátia; Método da Rigidez.

7 ABSTRACT The strutural design inlude sine theoretial oneption of struture to douments that permit its onstrution. There are many stages of a strutural projet and they are omplex too muh so that the strutural analysis is the phase where the study of behavior of struture is done, with the determination of intense and extern efforts, orrespondents tensions, as well the displaements and deformation. In Brazil there is a lak of eduation programs (Open soure) to strutural analysis. In general, the newly formed student passes from theoretial fundaments to uses of ommerial programs many times without know its internal struture. This work aims to do build the appliation of Method of Rigid in matrix analysis 3D frame inluding the possibility of stati ondensation of displaements establishing a omputational tool for this analysis. This tool has been implemented in FORTRAN 77 language. The validation of results is presented through problems where analyti solutions are known or to other different problems that had numerial solutions found in literature. Keywords: Spae Frames; Stati Condensation; Method of Rigid.

8 LISTA DE SÍMBOLOS E VARIÁVEIS FTOOL - Two-dimensional Frame Analysis Tool PUC-Rio - Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro Tegraf/PUC-Rio - Tenologia em Computação Gráfia /Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro CNPq - Conselho Naional de Desenvolvimento Científio e Tenológio GL - graus de liberdade X - Coordenada global na direção de X Y - Coordenada global na direção de Y Z - Coordenada global na direção de Z x - Coordenada loal na direção de x y - Coordenada loal na direção de y z - Coordenada loal na direção de z Fx - Vetor Força na direção de x Fy - Vetor Força na direção de y Fz - Vetor Força na direção de z Mx - Vetor Força Momento na direção de x My - Vetor Força Momento na direção de y Mz - Vetor Força Momento na direção de z D j - Desloamento j segundo o sistema de referênia global d ik - Desloamento k no elemento i segundo o sistema de referênia loal xj - Desloamento horizontal do nó j yj Desloamento vertial do nó j θj - Rotação do nó j A Ação atuante na mola D Desloamento da mola S - Rigidez da mola [S] - Matriz de Rigidez da estrutura não restringida; {D} - Vetor de Desloamentos nodais da estrutura; {A} - Vetor de Ações nodais da estrutura.

9 [SMD] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema global [RT] - Matriz de Rotação do elemento, que depende de sua orientação; [RT] - Transposta da Matriz de Rotação do elemento; [SM] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema loal. {AC} - Vetor de argas ombinadas {Ag} - Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema global de oordenadas; {AL} - Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema loal de oordenadas; {A RL } - vetor das reações na estrutura restringida {AR} - Vetor de reações na estrutura real; {ARL} - Vetor de reações na estrutura restringida; {AM} - Ações de extremidade de membro na estrutura real; {AML} - Ações de extremidade de membro na estrutura restringida. i Identifiador do elemento J - Nó iniial K - Nó final L - Comprimento do elemento I - Momento de inéria da seção transversal Ax - Área da seção transversal Ix - Momento de inéria na direção de x Iy - Momento de inéria na direção de y Iz - Momento de inéria na direção de z G - Módulo de elastiidade transversal Jw - Desloamento w na extremidade esquerda NGL - Número de graus de liberdade por nó NN - Número do nó W - Índie que india desloamento K - Sub-matriz dos graus de liberdade que serão ondensados Kpp - Sub-matriz dos graus de liberdade que permaneerão Kp e Kp - Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influênia da ondensação estátia d - Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que serão ondensados dp - Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que permaneerão

10 r - Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que serão ondensados rp - Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que permaneerão Cx - Co-seno diretor do membro na direção x Cy - Co-seno diretor do membro na direção y Cz - Co-seno diretor do membro na direção z E - Módulo de elastiidade ν - Coefiiente De Poisson R= Matriz de Rotação α - Ângulo existente entre os eixos prinipais de inéria no sistema loal e o eixo vertial do sistema global da estrutura RT - Matriz de Transformação de Rotação

11 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Estrutura unidimensional - viga e pilares. Fonte: Figueiredo (21) Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (21) Figura 2.3: Estrutura tridimensional - bloos de fundação. Fonte: Figueiredo (21) Figura 2.4: Exemplos de estruturas retiuladas planas. Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 2.5: Exemplos de estruturas retiuladas espaiais. Fonte: Gere e Weaver (1987)...24 Figura 2.6: Sistema global e loal de oordenadas de um pórtio plano. Fonte: Rovere (25) Figura 2.7: Desloamentos globais e loais...31 Figura 2.8: Pórtio plano Figura 2.9: Quatro níveis de abstração para uma estrutura na análise estrutural. Fonte: Martha (2) Figura 2.1: Estrutura real e o seu modelo estrutural...34 Figura 2.11: Parâmetros nodais utilizados na disretização pelo Método da Rigidez. Fonte: Martha (2) Figura 3.1: Mola linearmente elástia...37 Figura 3.2: Elemento de viga om 2 graus de liberdade por nó...41 Figura 3.3: Imposição dos desloamentos unitários D1 e D Figura 3.4: Imposição dos desloamentos D3 e D Figura 3.5: Regra da orrespondênia...45 Figura 3.6: Viga ontínua...45 Figura 3.7: Graus de liberdade da estrutura...46 Figura 3.8: Elementos de viga utilizados na modelagem graus de liberdade dos elementos 46 Figura 3.9: Matriz de rigidez de treliça gerada a partir da matriz de rigidez de pórtio Figura 3.1: Desontinuidades pariais. Fonte: Gere e Weaver (1987)...48 Figura 3.11: Viga om rotula apliada a direita....5

12 Figura 3.12: Digrama de bloo para a análise de estruturas retiuladas...54 Figura 3.13: Ações de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 3.14: Rotação de um membro de pórtio espaial em torno do eixo x. Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 3.15: Membro de pórtio espaial inlinado. Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 4.1: Exemplo 1. Fonte: Vasonellos Filho (1986) Figura 4.2: Exemplo 2.Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 4.3: Numeração de nós e de membros do exemplo 2. Fonte: Gere e Weaver (1987)...65 Figura 4.4: Numeração de Nós. Fonte: Guerra (29) Figura 4.5: Numeração de membros (Pilares). Fonte: Guerra (29) Figura 4.6: Numeração de Membros (Vigas). Fonte: Guerra (29) Figura 4.7: Exemplo 4. Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 4.8a: Exemplo 5 (treliça plana). Fonte: Gere e Weaver (1987)...73 Figura 4.8b: Exemplo 5 (treliça plana). Fonte: Gere e Weaver (1987)...73 Figura B.1: Rotação de eixos para um membro de pórtio espaial. Fonte: Gere e Weaver (1987)...85

13 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1: Estruturas Retiuladas Caraterístias Gerais. Fonte: Rovere (25) Tabela 3.1: Regra da orrespondênia: GL da estrutura orrespondente ao GL dos elementos...46 Tabela 4.1: Exemplo 1-dados...61 Tabela 4.2: Exemplo 1 Desloamentos nodais...62 Tabela 4.3: Exemplo 1 Reações de apoio...63 Tabela 4.4: Exemplo 1 Ações de extremidade de membro Tabela 4.5: Exemplo 2 dados...65 Tabela 4.6: Exemplo 2 Desloamentos nodais...66 Tabela 4.7: Exemplo 2 Reações de apoio...66 Tabela 4.8: Exemplo 2 Ações de extremidade de membro Tabela 4.9: Exemplo 3 - Dados...69 Tabela 4.1: Comparação de resultados para as Vigas...7 Tabela 4.11: Comparação de resultados para os Pilares...7 Tabela 4.12: Forças axiais dos membros...72 Tabela 4.13: Exemplo 5 dados...74 Tabela 4.14: Informação dos nós para a treliça...74 Tabela 4.15: Informação dos membros para a treliça...74 Tabela 4.16: Ações apliadas nos nós...75 Tabela 4.17: Exemplo 5 Desloamentos nodais...75 Tabela 4.18: Exemplo 5 Reações de apoio...76 Tabela 4.19: Exemplo 5 ações de extremidade de membro Tabela D.1: Prinipais variáveis utilizadas no programa...125

14 LISTA DE QUADROS Quadro 3.1: Simbologias Básias Diagrama de Bloos...53

15 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES RELEVÂNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO OBJETIVO DO ESTUDO Objetivo Geral Objetivos Espeífios METODOLOGIA ESTRUTURAÇÃO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA MODELAGEM ESTRUTURAS RETICULADAS Divisão da Estrutura em Elementos Tipos de Estruturas Retiuladas Sistema de Coordenadas Graus de Liberdade Caraterístias Graus de Liberdade no Sistema Loal Condições de Equilibro Condições de Compatibilidade de Desloamentos ANÁLISE ESTRUTURAL Modelo Estrutural Modelo Disreto ANÁLISE MATRICIAL DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTIR DO METÓDO DA RIGIDEZ RESUMO DO MÉTODO DA RIGIDEZ RIGIDEZES DE MEMBRO PRISMÁTICO DE PÓRTICOS ESPACIAIS REGRA DA CORRESPONDÊNCIA Introdução Exemplo - Elementos de viga CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Introdução Formulação da Condensação Estátia Linear Exemplo FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL Diagrama de Bloos...53

16 3.5.2 Operações Entrada de dados Cálulos Preliminares Montagem da Matriz de Rigidez Montagem do Vetor de Carga Condições de Contorno Cálulo dos Resultados Saída de Dados ESTUDO DE CASOS EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO CONSIDERAÇÕES FINAIS...78 REFERÊNCIAS...79 APÊNDICE A FORMATO PADRÃO DO ARQUIVO DE ENTRADA...8 APÊNDICE B CÁLCULO DO ÂNGULO α...84 B.1 CÁLCULO DO ÂNGULO α...85 APÊNDICE C MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE...89 APÊNDICE D LISTAGEM DO PROGRAMA D.1 INTRODUÇÃO D.2 SPACE FRAME D.2.1 Desrição do Programa D.2.2 Variáveis do Programa D.2.3 Listagem D.2.4 Exemplo de Utilização...16

17 17 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES De aordo om Martha (2), desde a déada de 196 o omputador tem sido utilizado na análise estrutural, embora iniialmente somente pelos institutos de pesquisa e universidades. Segundo Rovere (23), o avanço omputaional das últimas déadas possibilitou o desenvolvimento de programas omputaionais para análise estrutural de estruturas ontínuas e retiuladas. Neste sentido, foram desenvolvidos programas omeriais omo ANSYS, SAP 2, ABAQUS e MSC NASTRAN, om base no método dos elementos finitos. Ressalta-se, no entanto, que somente nas últimas déadas foram inorporados nesses programas rotinas de pré e pós-proessamento para geração automátia de malhas e ontorno de tensões. A análise de estruturas pode ser vista atualmente omo uma simulação omputaional do omportamento de estruturas. Martha (2) afirma que não se onebe atualmente exeutar as tarefas de análise estrutural, mesmo para o aso de estruturas retiuladas, sem o uso de omputador e de omputação gráfia. Segundo Rovere (23), existe, no entanto, uma arênia de programas eduaionais para análise estrutural. O aluno de graduação passa diretamente dos fundamentos teórios para a utilização desses programas omeriais, sem onheer, na maioria, das vezes sua estrutura interna. Pode-se itar, omo um dos pouos exemplos de programa eduaional para análise estrutural no Brasil, o programa FTOOL (Twodimensional Frame Analysis Tool), para estruturas retiuladas planas desenvolvido iniialmente através de um projeto de pesquisa integrado, oordenado por Marelo Gattass,professor do Departamento de Informátia da PUC-Rio e diretor do Grupo de Tenologia em Computação Gráfia (Tegraf/PUC-Rio). Esse projeto teve o apoio do CNPq (Conselho Naional de Desenvolvimento Científio e Tenológio). Atualmente o professor responsável por esse programa é Luiz Fernando Martha (2), do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

18 RELEVÂNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO Segundo Martha (2), a Engenharia Estrutural trata do planejamento, projeto, onstrução e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho e lazer. O projeto estrutural tem omo objetivo a onepção de uma estrutura que atenda à sua função primária, sem olapsar e deformar, ou vibrar, exessivamente, satisfazendo questões de segurança, ondições de utilização, ondições eonômias, estétia, questões ambientais, ondições onstrutivas e restrições legais. O resultado final do projeto estrutural é a espeifiação da estrutura de forma ompleta, isto é, abrangendo todos os seus aspetos gerais, tais omo loação, e todos os detalhes neessários para a sua onstrução. Portanto, o projeto estrutural parte de uma onepção geral da estrutura e termina om a doumentação que possibilita a sua onstrução. São inúmeras e muito omplexas as etapas de um projeto estrutural. Entre essas ita-se a previsão do omportamento da estrutura de tal forma que a mesma possa atender satisfatoriamente às ondições de segurança e de utilização para as quais foi onebida. A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que se realiza o estudo do omportamento da estrutura. Esse omportamento pode ser expresso por diversos parâmetros, tais omo ampos de tensões, deformações e desloamentos da estrutura. De uma maneira geral, a análise estrutural tem omo objetivo a determinação de esforços internos e externos, tensões orrespondentes, desloamentos e deformações da estrutura que está sendo projetada. Segundo Gere e Weaver (1987), na resolução de problemas sem auxílio de ferramentas omputaionais, pode-se gerar matrizes de forma onveniente sem perda de efiiênia. Contudo, as estruturas grandes e omplexas exigem a solução de um imenso número de equações, sendo neessária para a sua solução a utilização de omputadores. Num programa omputaional é neessário manipular toda a informação sobre a estrutura e suas argas de uma maneira organizada. Deste modo, deve-se desenvolver um proedimento formalizado que permita a um omputador proessar grande quantidade de informação por um proedimento de rotina. De aordo om Gere e Weaver (1987), a ondensação estátia ou desontinuidade nos membros depende da natureza geral da estrutura retiulada, em vigas, por exemplo, só são de importânia desontinuidades de esforço ortante e momento fletor.

19 19 Essa ferramenta possibilita o programa de pórtio espaial simular qualquer tipo de estrutura retiulada, ontemplando portando o estudo e análise de treliças, pórtios om tirantes e grelhas. 1.3 OBJETIVO DO ESTUDO Objetivo Geral Disponibilizar uma ferramenta omputaional para dar suporte ao ensino e análise de estruturas retiuladas Objetivos Espeífios a) Apresentar uma formulação teório-omputaional para a análise de pórtios espaiais, baseando-se no Método da Rigidez; b) Determinar, através do software desenvolvido, os desloamentos (translações e rotações), reações de apoio e ações de extremidade de membros de pórtios espaiais; ) Apliar o Método da Rigidez na análise matriial de pórtios espaiais, inorporando ondensação estátia. 1.4 METODOLOGIA Com base no objetivo de apresentar uma ferramenta omputaional para a análise de estruturas retiuladas, definiu-se os seguintes passos: (i) Iniialmente é feita uma revisão bibliográfia para a ompreensão da importânia e domínio do objeto de estudo. Neste sentido, são apresentados os tipos de estruturas retiuladas e suas arateristias, introduzindo oneitos fundamentais.(ii) Posteriormente sãodisutidas as várias fases de um programa omputaional para a análise de estruturas pelo método da rigidez. (iii) Por fim, apresenta-se a formulação inerente à ondensação estátia.

20 2 A ferramenta omputaional é baseada no Método da Rigidez, e é implementada através da linguagem de programação FORTRAN 77. A esolha desta linguagem deve-se, prinipalmente a fáil implementação e sua ampla utilização nos meios aadêmios e ientífios. Para validação dos resultados foram utilizados problemas om soluções onheidas, ou ainda outros om soluções numérias geradas através de programas omeriais. 1.5 ESTRUTURAÇÃO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O trabalho está dividido em 5 apítulos, sendo este primeiro o que ontém as onsiderações iniiais, a justifiativa, relevânia do trabalho, os objetivos bem omo a definição do esopo e organização deste. No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfia onde são abordadas a onepção estrutural de pórtios e os seus orrespondentes modelos de representação. Um resumo do método da rigidez mostrando diagrama de bloo para a análise de pórtios espaiais é apresentado no apitulo 3 ao tempo que se define ondensação estátia apresentando sua orrespondente formulação. A verifiação do programa aqui gerado é realizada no apitulo 4 através da omparação dos resultados om os obtidos através da literatura disponível que utilizam ténias onvenionais. O Capítulo 5 apresenta as onlusões finais e sugestões para a ontinuidade deste trabalho.

21 21 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 MODELAGEM Segundo Soriano (1993), a análise estrutural trata do omportamento das hamadas estruturas ou sistemas estruturais, formados de omponentes adequadamente interligados, deformáveis e apazes de reeber e transmitir esforços. Para Rovere (25), a primeira etapa da análise estrutural onsiste em estabeleer o modelo estrutural a ser adotado. Nesse sentido, as estruturas podem ser tratadas globalmente, ou divididas em diversos elementos. Com relação a suas dimensões, as estruturas podem ser lassifiadas em unidimensionais, laminares e tridimensionais. De um modo geral, as estruturas são ompostas de uma ou mais peças, sendo estas ligadas entre si e ao meio exterior. O onjunto formado por estas peças deve ser estável, ou seja, deve ser apaz de reeber as soliitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas soliitações externas enontrarão seu sistema estátio equilibrante (SÜSSEKIND, 1981). A estrutura é dita unidimensional quando uma dimensão predomina em relação às outras duas. São em geral denominadas barras, ujo eixo, que pode ser reto ou urvo, supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal têm-se omo exemplo as vigas e pilares (vide figura 2.1). Figura 2.1: Estrutura unidimensional - viga e pilares. Fonte: Figueiredo (21). A estrutura é laminar quando duas dimensões predominam em relação à tereira. Têm-se omo exemplo as hapas, as lajes, as plaas e as asas, nas quais a espessura é bem menor do que suas outras dimensões (vide figura 2.2).

22 22 Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (21). Por fim, a estrutura é tridimensional quando nenhuma dimensão é predominante. É o aso de bloos de fundação e alguns tipos de barragens (vide figura 2.3). Figura 2.3: Estrutura tridimensional - bloos de fundação. Fonte: Figueiredo (21). 2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS Divisão da Estrutura em Elementos Segundo Gere e Weaver (1987), ada estrutura retiulada omposta é onstituída por membros ligados entre si por pontos nodais, denominados nós. Portanto, nós de uma estrutura retiulada são os pontos de interseção dos membros, assim omo os pontos de apoio e extremidades livres da estrutura. De aordo om Rovere (25), as ações e desloamentos de uma estrutura são sintetizados nos nós, resultando em um sistema de equações algébrias de equilíbrio, de forças

23 23 ou momentos, assoiados a esses nós. Ainda segundo esse autor, uma estrutura om N nós, tendo M graus de liberdade (GL) em ada nó, resultará em um sistema de N M equações algébrias, inluindo-se as direções restringidas por vínulos Tipos de Estruturas Retiuladas Conforme Süssekind (1981), a maioria das estruturas é onstituída por barras, sendo denominadas de estruturas retiuladas. O estudo estátio das barras pode ser feito onsiderando-a representada pelo seu eixo (lugar geométrio dos entros de gravidade de suas seções transversais). Caso o eixo das diversas barras que ompõe a estrutura estejam ontidos em um mesmo plano tratar-se-á de uma estrutura plana, aso ontrário, tratar-se-á de uma estrutura espaial (SÜSSEKIND, 1981). As estruturas retiuladas podem ser lassifiadas em: Vigas Treliça o Plana o Espaial Pórtio o Plano o Espaial Aros Grelha Cabos, esoras e/ou tirantes As vigas são estruturas ompostas de barras retas ou urvas que estão ontidos em um plano em que a flexão é preponderante. (vide figura 2.4.a). Uma treliça plana é idealizada omo um sistema de membros existentes num plano e ligados entre si por rotulas, formando malhas triangulares. Todas as forças apliadas são onsideradas omo atuando no plano da estrutura, e todos os binários externos têm seus vetores-momento normais ao plano. As argas podem onsistir em forças onentradas apliadas nos nós, assim omo argas que atuam nos próprios membros (vide figura 2.4.b). Um pórtio plano é onstituído por membros existentes em únio plano tendo eixos de simetria nesse plano. As forças que atuam num

24 24 pórtio e os desloamentos do pórtio estão no mesmo plano da estrutura; todos os binários que atuam no pórtio têm seus vetores-momento normais ao plano (vide figura 2.4.). Os aros são elementos lineares urvos em que as forças normais de ompressão são preponderantes, agindo ou não simultaneamente om esforços soliitantes de flexão, ujas ações estão ontidas em seu plano. Figura 2.4: Exemplos de estruturas retiuladas planas. Fonte: Gere e Weaver (1987). A grelha é uma estrutura onstituída de barras retas, todas ontidas em únio plano em que todas as forças são normais ao plano da estrutura e todos os binários têm seus vetores no plano da grelha (vide figura 2.5.a). Treliça espaial é idêntia a uma treliça plana, exeto que os membros podem ter qualquer direção no espaço. As forças que atuam numa treliça tridimensional podem ter direções arbitrarias, mas qualquer binário que atue num membro deve ter seu veto- momento perpendiular ao eixo da barra. A razão desta exigênia é que um membro de uma treliça é inapaz de suportar um momento torsor, vide figura 2.5.b (GERE e WEAVER 1987). Figura 2.5: Exemplos de estruturas retiuladas espaiais. Fonte: Gere e Weaver (1987).

25 25 O tirante e o abo são elementos unidimensionais em que as forças normais de tração são preponderantes. A esora é um elemento unidimensional retilíneo em que as forças normais de ompressão são preponderantes. Os pórtios espaiais são o tipo mais geral de estruturas retiuladas, visto que não há restrições na posição dos nós, direções dos membros ou direções das argas. Os membros individuais de um pórtio espaial podem suportar forças axiais internas, binários torsores, binários fletores em ambas as direções prinipais da seção transversal, bem omo forças ortantes em ambas as direções prinipais da seção transversal, vide figura 2.5. (GERE e WEAVER 1987) Sistema de Coordenadas A estrutura é definida em relação a um sistema global de oordenadas (X, Y, Z) e os elementos em relação a um sistema loal (x, y, z). Os três eixos artesianos são perpendiulares entre si e formam um sistema destrógiro (satisfazem a regra da mão direita). No sistema loal, o eixo loal x oinide om o eixo longitudinal da barra, passando pelo entróide da seção, e o sentido positivo deste eixo é definido pela inidênia dos nós no elemento (Em geral o eixo vertial da seção é denominado eixo y e o horizontal eixo z (vide figura 2.6). Figura 2.6: Sistema global e loal de oordenadas de um pórtio plano. Fonte: Rovere (25).

26 Graus de Liberdade O exesso de ações desonheidas relativamente às que podem ser enontradas pelo equilíbrio estátio é designado por redundante estátio. O número de tais redundantes representa o grau de indeterminação estátia da estrutura. No método da rigidez, os desloamentos nodais da estrutura são as quantidades desonheidas. Por isso, o segundo tipo de indeterminação onheida omo indeterminação inemátia, torna-se importante. Quando a estrutura está submetida a ações, ada nó terá desloamentos sob a forma de translação e rotações, dependendo da onfiguração da estrutura; estes desloamentos nodais desonheidos são as quantidades inemátias indeterminadas, sendo por vezes designados redundantes inemátias. O seu número representa o grau de indeterminação inemátia da estrutura.

27 Caraterístias Graus de Liberdade no Sistema Loal A tabela a seguir apresenta as prinipais araterístias onsideradas na modelagem de elementos estruturais retiulados. Perebese que o pórtio espaial é a estrutura retiulada mais abrangente e omplexa entre os retiulados apresentados. Tabela 2.1: Estruturas Retiuladas Caraterístias Gerais. Fonte: Rovere (25). ESTRUTURA GRAUS DE LIBERDADE GEOMETRIA Viga 2 GL por nó: estrutura plana em que o eixo translação longitudinal das barras (x) está paralela a y e ontido no eixo XY e é sempre rotação em paralelo ao eixo X. O eixo y da seção torno de z transversal das barras deve ser um eixo de simetria de maneira a garantir que as barras não sofram torção; os eixos da seção transversal serão assim eixos prinipais de inéria e o entro de gravidade oinidirá om o entro de torção da seção. Grelha 3 GL/nó: translação paralela a z e rotação em torno de x e de y estrutura plana (plano XY) omposta de barras ontínuas que se intereptam mutuamente. LIGAÇÕES CARGAS DEFORMAÇÕES ESFORÇOS as barras são em geral rigidamente ligadas entre si. as forças apliadas podem ser onentradas ou distribuídas e situam-se no plano XY (que oinide om o plano xy das barras). Os binários apliados devem ter seus vetores-momento (seta dupla) normais ao plano XY (paralelos ao eixo Z). ao ontrário do pórtio plano, todas as forças atuam normalmente ao plano XY e todos os binários têm seus vetores (seta dupla) no plano da grelha (XY). atendidas as ondições aima, os elementos de viga se deformarão no plano xy, não sofrendo torção nem flexão fora do plano. As deformações por flexão predominam e no aso de vigas longas, em que a relação altura da seção(h) / omprimento do vão (l) for pequena, pode-se desprezar o efeito da força ortante. As deformações axiais não serão onsideradas. a viga estará submetida a esforço ortante e momento fletor; não será onsiderado o esforço axial. No aso da viga estar submetida a esforço axial signifiativo, esta deve ser tratada omo pórtio plano predominante por flexão de flexão, torção e ortante. (deformações por torção e por isalhamento são seundárias). Considera-se que ada barra tem dois eixos de simetria na seção transversal, um está no plano XY e o outro paralelo a direção Z. Isto implia em que os esforços de momento torçor e fletor ajam independentemente e também implia que as barras se deformem por flexão na direção Z. ontinua

28 28 ontinuação ESTRUTURA GRAUS DE LIBERDADE GEOMETRIA LIGAÇÕES CARGAS DEFORMAÇÕES ESFORÇOS as forças apliadas podem ser onentradas ou distribuídas e situam-se no plano XY. Os binários apliados devem ter seus vetores momento (seta dupla) normais ao plano XY (paralelos ao eixo Z). Pode haver forças apliadas diretamente nos nós ou nas barras, mas não pode haver binários apliados diretamente nos nós (apenas nas barras). as deformações axiais predominam; pode haver também deformação por flexão, mas a de isalhamento será sempre desprezada. se só houver forças apliadas diretamente nos nós e forças axiais ao longo das barras, as barras estarão submetidas apenas a esforço axial. Se houver forças transversais e binários ao longo das barras haverá esforço ortante e momento fletor também (obtidos onsiderando-se as barras omo vigas bi-apoiadas). as deformações axiais predominam; pode haver também deformação por flexão, mas a de isalhamento será sempre desprezada. se só houver forças apliadas diretamente nos nós e forças axiais ao longo das barras, as barras estarão submetidas apenas a esforço axial. Se houver forças transversais e binários ao longo das barras haverá esforço ortante e momento fletor também (obtidos onsiderando-se as barras omo vigas bi-apoiadas). Treliça Plana 2 GL/ nó : estrutura plana em que o eixo translação longitudinal das barras (x) está paralela a x e ontido no plano XY e pode ter uma ay orientação arbitrária em relação ao eixo X. as barras são artiuladas, ou seja, ligadas entre si por rótulas. Treliça Espaial (3 GL/ nó: idêntia à treliça plana, exeto que as translação barras podem ter qualquer direção no paralela a x, espaço. y, z as barras são ligadas entre si por rótulas. Continua

29 29 ontinuação ESTRUTURA GRAUS DE LIBERDADE GEOMETRIA LIGAÇÕES Pórtio Plano 3 GL/ nó: translação paralela a x e a y e rotação em torno de z estrutura plana onstituída de barras prismátias, situadas no plano XY, om orientação arbitrária em relação ao eixo X. Assim omo nas vigas, onsidera-se que o eixo vertial (y) da seção transversal das barras é um eixo de simetria e, portanto, y e z são eixos prinipais de inéria. as barras são em geral rigidamente ligadas entre si. Pórtio Espaial 6 GL/ nó: translação paralela a x, y, e z e rotação em torno de x, y, z tipo de estrutura mais geral, não há restrição na posição dos nós, barras ou direções das argas. No entanto onsidera-se que a seção transversal tem dois eixos de simetria (eixos prinipais) de forma a não oorrer interação entre flexão e torção. as barras são em geral rigidamente ligadas entre si. CARGAS DEFORMAÇÕES omo nas vigas, as de flexão, axial e ortante. forças atuam no plano XY e binários atuam perpendiularmente ao plano XY (direção Z). ESFORÇOS as deformações por flexão predominam e oorrem no plano XY. Consideram-se as barras longas; desprezam-se, portanto, as deformações por isalhamento As deformações por flexão e axial são onsideradas independentemente uma da outra (nas estruturas lineares não haverá interação entre esforço axial e flexão). por flexão, axial e por torção; no axial, de torção, esforço ortante nas duas aso de barras longas pode-se direções prinipais e também de flexão nas desprezar a deformação por duas direções prinipais. isalhamento.

30 Condições de Equilibro Para um determinado arregamento apliado todas as estruturas devem ser apazes de alançar um estado de equilíbrio estável. Esta ondição de equilíbrio deve ser satisfeita pela estrutura omo um todo ou por qualquer porção isolada desta. Em um orpo livre submetido a diferentes ações, a resultante de todas as ações pode ser uma força, um binário, ou ambos. Se o orpo livre está em equilíbrio estátio, a força e momento resultante são ambos zero. Um vetor no espaço tridimensional pode ser deomposto em três omponentes segundo direções mutuamente ortogonais, tais omo as direções X, Y e Z. Se o vetor-força resultante é nulo, então suas omponentes também devem ser iguais a zero, podendo-se, portanto, adotar as seguintes equações de equilíbrio estátio: F x F y F Nestas equações Fx, z (2.1.a) F e y F z são as somas algébrias das omponentes segundo as direções X, Y, e Z, respetivamente, de todos os vetores-força atuando no orpo livre. De modo idêntio, se o vetor-momento resultante é igual a zero, as equações de equilíbrio estátio são M onde M x, M y x e M M z y M z (2.1.b) são as somas algébrias dos momentos em relação aos eixos X, Y, e Z, respetivamente, de todos os binários e forças que atuam no orpo livre. As seis equações 2.1 representam as equações de equilíbrio estátio para ações em três dimensões. Podem ser apliadas a qualquer orpo livre, bem omo à estrutura ompleta, uma parte da estrutura, um únio membro, ou um nó da estrutura (GERE e WEAVER, 1987).

31 Condições de Compatibilidade de Desloamentos Segundo Gere e Weaver (1987) em uma análise de determinada estrutura, além das ondições de equilíbrio, deve-se atender as ondições de ompatibilidade. De aordo om Martha (1993), ompatibilidade signifia que os desloamentos e deformações das várias partes da estrutura são onsistentes. Isso expressa à exigênia de que todas as partes da estrutura deformada devem permaneer ajustadas, unidas, ligadas, durante todos os estágios de arregamento. Em outras palavras, onforme observa Gere e Weaver(1987)estas ondições asseguram a ontinuidade dos desloamentos ao longo da estrutura. No aso dos elementos estruturais onstituídos por barras, a hipótese de deformação da barra mantendo a seção transversal plana, implia na existênia de ompatibilidade no interior das mesmas. Assim, deve-se garantir a ompatibilidade nas junções das barras e, desta forma, garantir a ompatibilidade no interior de toda a estrutura. Para exemplifiar as relações que garantem a ompatibilidade nodal onsidere a estrutura da figura 2.7. Figura 2.7: Desloamentos globais e loais. As ondições de ompatibilidade nos nós das barras podem ser expressas por: d14 d12 D1 d15 d 22 D 2 d16 d 32 D 3 d 24 d 34 D 4 d 52 d 35 D 5 d 62 d 36 D 6 (2.2)

32 32 onde D j é o desloamento j segundo o sistema de referênia global d ik é o desloamento k no elemento i segundo o sistema de referênia loal Estas ondições partem do prinipio de que as junções entre as barras são totalmente rígidas, isto é, tanto a translação quanto a rotação são iguais nas duas extremidades da junta. Estas ondições são hamadas de ondições internas de ompatibilidade de desloamentos (MARTHA, 1993). Além das ondições de ompatibilidade interna, os desloamentos também devem ser ompatíveis om as ondições de apoio da estrutura. Estas são as ondições externas de ompatibilidade de desloamentos. No aso da estrutura dafigura2. 7, em onjunto om a figura 2.8, tais ondições resultam em: Figura 2.8: Pórtio plano. d11 D 7 d12 D 8 d13 D 9 d13 D1 d 32 D11 d 33 D12 (2.3)

33 ANÁLISE ESTRUTURAL Segundo Gere e Weaver (1987) os métodos de análise de flexibilidade e rigidez são onsiderados as teorias mais fundamentais e universais entre todas as disponíveis. Esses dois métodos omplementares são espeialmente apropriados para uma formulação matriial e, onseqüentemente, álulo utilizando omputadores. Ainda segundo esse autor, a análise matriial torna possível um tratamento unifiado do tema, além de proporionar meios efiientes de desrever as várias etapas na análise, de modo que essas sejam mais failmente programadas para um omputador. A análise estrutural moderna trabalha om quatro níveis de abstração para a estrutura que está sendo analisada, tal omo indiado na figura 2.9. O primeiro nível de abstração é o do mundo físio, isto é, representa-se a estrutura real tal omo é onstruída. Figura 2.9: Quatro níveis de abstração para uma estrutura na análise estrutural. Fonte: Martha (2) Modelo Estrutural Conforme Martha (2), o segundo nível de abstração da análise estrutural é o modelo analítio que é utilizado para representar matematiamente a estrutura analisada. Esse modelo é hamado de modelo estrutural, ou modelo matemátio, e inorpora todas as teorias e hipóteses feitas para desrever o omportamento da estrutura para as diversas soliitações. A riação do modelo estrutural de uma estrutura real é uma das tarefas mais importantes da análise estrutural. Essa tarefa pode ser bastante omplexa, dependendo do tipo de estrutura e da sua importânia. Na onepção do modelo estrutural é feita uma idealização do omportamento da estrutura real em que se adota uma série de hipóteses simplifiadoras. De aordo om Feodosiev (1977), as hipóteses básias são:

34 34 Os materiais serão supostos ontínuos (ausênia de imperfeições, bolhas et.), homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais propriedades em todas as direções); eixo longitudinal, sobre o plano neutro, não tem deformação; Todas as seções normais permaneem planas e normais ao eixo enurvado após a deformação (hipótese das seções planas); Qualquer deformação da seção normal no seu próprio plano é desprezada; material está no regime elástio linear; As deformações e as rotações são onsideradas pequenas perante a unidade. A Figura 2.1 mostra um exemplo de um modelo estrutural bidimensional para o pórtio de um galpão industrial. Figura 2.1: Estrutura real e o seu modelo estrutural. Observa-se na figura 2.1 que os elementos estruturais do galpão (vigas e olunas) apareem representados por linhas. A informação tridimensional das barras fia representada por propriedades globais de suas seções transversais, tais omo área e momento

35 35 de inéria. Portanto, no aso de estruturas retiuladas, a onsideração da geometria do modelo é uma tarefa simples: os eixos das barras definem os elementos do modelo estrutural Modelo Disreto De aordo om Martha (2), o tereiro nível de abstração utilizado na análise estrutural é o do modelo disreto. Esse modelo é onebido dentro das metodologias de álulo dos métodos de análise. Em geral, os métodos de análise utilizam um onjunto de variáveis ou parâmetros para representar o omportamento de uma estrutura. Nesse nível de abstração, o omportamento analítio do modelo estrutural é substituído por um omportamento disreto, em que soluções analítias ontínuas são representadas pelos valores disretos dos parâmetros adotados. A passagem do modelo matemátio para o modelo disreto é denominada disretização. Martha(2) afirma que os tipos de parâmetros adotados no modelo disreto dependem do método utilizado. Na solução pelo Método da Rigidez ou dos Desloamentos, para estruturas retiuladas, a solução disreta é representada por valores de desloamentos e rotações nos nós (pontos de enontro das barras), tal omo indiado na figura Esses parâmetros são denominados desloabilidades. No exemplo da figura2. 11, as desloabilidades são os desloamentos horizontais dos nós superiores, xc e xd, os desloamentos vertiais desses nós, yc e yd, e as rotações dos nós livres ao giro, θb, θc e θd. Figura 2.11: Parâmetros nodais utilizados na disretização pelo Método da Rigidez. Fonte: Martha (2).

36 36 Na figura 2.11, a onfiguração deformada da estrutura (elástia mostrada em esala ampliada) representa a solução ontínua do modelo matemátio. Os valores das desloabilidades nodais representam a solução disreta do problema. Nesse tipo de metodologia baseada em desloamentos, a solução ontínua pode ser obtida por interpolação dos valores disretos dos desloamentos e rotações nodais, onsiderando também o efeito da arga distribuída na barra horizontal.

37 37 3 ANÁLISE MATRICIAL DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTIR DO METÓDO DA RIGIDEZ 3.1 RESUMO DO MÉTODO DA RIGIDEZ O método da rigidez, ou método dos desloamentos, amplamente utilizado em programações automátias, é onsiderado o mais importante método de análise de estruturas. As inógnitas primárias no método da rigidez são desloamentos, que são obtidos por meio de resolução de um sistema de equações lineares algébrias de equilíbrio, deduzidas utilizando o prinípio da superposição. Esses desloamentos são denominados graus de liberdade e seu número, grau de indeterminação inemátia (SORIANO e LIMA 26). No método da rigidez, uma estrutura inematiamente determinada é obtida alterando a estrutura real de modo que os desloamentos desonheidos da estrutura real sejam iniialmente nulos e em seguida assumam valores unitários. Esta estrutura restringida denomina-se sistema prinipal (GERE e WEAVER 1987). Segundo Gere e Weaver (1987), as relações que existem entre as ações e os desloamentos desempenham um papel importante na análise estrutural. Um modo onveniente de exprimir essas relações é por meio de equações de ação e desloamento. Tais equações podem ser obtidas onsiderando a mola linearmente elástia mostrada na figura 3.1. Figura 3.1: Mola linearmente elástia A ação A omprimirá a mola produzindo desse modo um desloamento D da extremidade da mola. A relação entre A e D pode ser expressa por uma equação de desloamento do seguinte modo: A S D (3.1) Nesta equação, S é a rigidez da mola, a qual é definida omo a ação neessária para produzir um desloamento unitário. A rigidez é expressa em unidades de força por

38 38 unidade de omprimento.a relação itada aima é valida para qualquer estrutura linearmente elástia submetida a uma únia ação (GERE e WEAVER, 1987). Estendendo a análise, para as demais estruturas retiuladas, as equações de equilíbrio da estrutura no sistema global de referênia podem ser esritas então, sob a forma matriial (GERE e WEAVER 1987): [S].{D}= {A} (3.2) onde [S] Matriz de Rigidez da estrutura não restringida; {D} Vetor de Desloamentos nodais da estrutura; {A} Vetor de Ações nodais da estrutura. A matriz de rigidez da estrutura não restringida [S] é formada a partir da matriz de rigidez de ada elemento, no sistema global, somando-se os oefiientes orrespondentes aos mesmos graus de liberdade: [S] = [S MD ] (3.3) onde [SMD] Matriz de Rigidez do elemento no sistema global, sendo que a matriz de ada elemento no sistema global é obtida da seguinte forma: [S MD ] = [R T ]'.[S M ].[R T ] onde [RT] Matriz de Rotação do elemento, que depende de sua orientação; [RT] Transposta da Matriz de Rotação do elemento; [SM] Matriz de Rigidez do elemento no sistema loal. (3.4)

39 39 Se uma estrutura tem N nós, e ada nó tem M graus de liberdade, a equação (3.2) resultante terá N M equações. A matriz de rotação [RT] está definida adiante através da equação (3.27 e 3.25). O vetor de argas ombinadas {AC} é formado pela soma dos efeitos do vetor de argas apliadas diretamente nos nós, {A}, om os efeitos do vetor de argas nodais equivalente a ações apliadas nos elementos sendo o ultimo, obtido invertendo-se as reações de ada elemento: {A C } = {A} - {A RL } ; (3.5) {A RL } = {A g } e {A g } = [R T ]'.{AL } (3.6) sendo onde {ARL} Vetor de reações na estrutura restringida; {Ag} Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema global de oordenadas; {AL} Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema loal de oordenadas; [RT] Transposta da Matriz de Rotação do elemento; O vetor das reações na estrutura restringida {A RL } é a soma dos oefiientes (que orrespondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura) dos elementos que onorrem no mesmo nó. Em seguida deve-se impor as ondições de ontorno, enontrando-se o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida anulando os graus de liberdade restringidos na estrutura real: {A RL } + [S].{D} = {A} (3.7)

40 4 Para finalizar os álulos, resolve-se o sistema de equações (3.7) e obtém-se o vetor de desloamentos: [S].{D} = {A} - {A RL } (3.8) {D} = [S] -1.{A - A RL } (3.9) No presente trabalho foi adotado, para a resolução do sistema de equações, o Método de Eliminação de Gauss, que permite a análise de um número ilimitado de graus de liberdade. No entanto, o programa gerado om base nessa formulação foi limitado a 3 graus de liberdade. A partir dos desloamentos alulados om (3.9) determinam-se as reações de apoio AR (forças e binários nas direções de X, Y e Z), as quais são aluladas utilizando a equação (3.1). {A R } {A RL } [S RD ] {D} (3.1) onde {AR} Vetor de reações na estrutura real; A matriz SRD é uma sub-matriz retangular de S que ontém ações orrespondentes às restrições dos apoios, devidas aos valores unitários dos desloamentos orrespondentes aos graus de liberdade. Finalmente, as ações de extremidade de membro para ada membro são aluladas substituindo a matriz de rigidez de membro [SM]i para os eixos de membro e a forma apropriada da matriz de transformação de rotação [RT] ital qual se apresenta na equação (3.11). {A M }i = {A ML }i [S M ]i [R T ]i.[d] i (3.11)

41 41 onde {AM} Ações de extremidade de membro na estrutura real; {AML} Ações de extremidade de membro na estrutura restringida. 3.2RIGIDEZES DE MEMBRO PRISMÁTICO DE PÓRTICOS ESPACIAIS Seja o elemento de viga om 2 graus de liberdade por nó omo mostrado na Figura 3.2, ujo sistema loal oinide om o sistema global. Figura 3.2: Elemento de viga om 2 graus de liberdade por nó O elemento (i) (Figura 3.2) é delimitado pelo nó iniial J e nó final K, define-se ainda para esse elemento o omprimento Le o momento de inéria da seção transversal I. O vetor de desloamentos nodais do elemento é dado pela equação (3.12) e a matriz de rigidez do elemento no sistema loal é expressa pela equação (3.13): D1 D {D M } = 2 D 3 D 4 S11 S12 S S 22 {S M } = 21 S31 S32 S 41 S 42 (3.12) S13 S 23 S33 S 44 S14 S 24 S34 S 44 (3.13) Para se obter os oefiientes da matriz de rigidez, SMij, iniialmente fixam-se as extremidades do elemento e libera-se o valor unitário de um dos desloamentos, a exemplo D 1 1 (Figura 3.3a); impõe-se em seguida D2 = 1 (Figura 3.3b).

42 42 Figura 3.3: Imposição dos desloamentos unitários D1 e D2 Prossegue-se assim om os desloamentos D3 e D4(D3 = 1 e D4 = 1), onforme figura 3.4. Figura 3.4: Imposição dos desloamentos D3 e D4 Todos os oefiientes de rigidez SMij podem ser alulados pelo Método das Forças ou podem ser enontrados por equilíbrio, sabendo-se que Sij = Sji (matriz de rigidez simétria). Impõe-se iniialmente D2 =1 e, pelo Método das Forças, têm-se que S22 4EI 2EI e S42 L L Por equilíbrio tem-se que M J e Fy 6EI 6 EI 4 EI 2 EI S 32 L 2 e S12 2 L L L L Analogamente, ao se impor D4 = 1 tem-se que S44 equilíbrio obtêm-se os oefiientes 4EI 2EI e S24 e, por L L

43 43 S 43 S34 6EI 6EI e S41 S L L Lembrando da simetria obtém-se que: S23 S32 6EI 6EI e S21 S L L Da Figura 3.3a, obtêm-se por equilíbrio os oefiientes S21 M F Y 6EI 6EI, S L L j 12 EI 6 EI 6 EI, S L 2 L L L, S11 S31 12EI L2 Da Figura 3.4a obtêm-se por equilíbrio os oefiientes S23 6EI 6EI S L L 12EI 12 EI 6 EI 6 EI S 31 S L 3 S33 S13 3 L L L L Portanto a matriz de rigidez do elemento de viga no sistema loal é SM 4X 4 12EI L3 6EI 2 L 12EI L3 6EI 2 L 6EI L2 4EI L 6EI 2 L 2EI L 12EI L3 6EI 2 L 12EI L3 6EI 2 L 6EI L2 2EI L 6EI 2 L 4EI L

44 44 Esta matriz de rigidez é singular, e onseqüentemente não inversível. É neessário restringir o elemento para resolver o seu sistema de equações de equilíbrio. Os oefiientes da diagonal de [SM] são sempre positivos. Para este elemento (viga) a matriz de rigidez no sistema loal oinide om o global. De maneira análoga obtêm-se os oefiientes para um elemento de pórtio espaial, onforme mostrado através da matriz abaixo extraída de Gere e Weaver (1987). EA X L SM EA X L 12EI Z 3 L L2 12EI Z L3 4EI Y L 4EI Z L 6EI Y L2 L 6EI Z 2 L 6EI Y EA X L 3 6EI Z 12EI Y GI X L L2 12EI Z 6EI Y L2 L3 L3 6EI Z 12EI Y 2 L 6EI Y 2 L EA X L 6EI Z L2 6EI Z L2 12EI Z L3 GI X L 2EI Y L 2EI Z L 6EI Z L2 12EI Y L3 6EI Y L2 GI X L 2EI Y L 6EI Y L2 12EI Y 3 L 6EI Y L2 GI X L 2 4EI Y L 6EI Y L 6EI Z L2 2EI Z L 6EI 2Z L 4EI Z L Onde Ax é a área da seção transversal, Ix, Iy e Iz os momentos de inéria na direção de x, y e z respetivamente e G o módulo de elastiidade transversal. 3.3 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA Introdução Segundo Rovere (25), a regra da orrespondênia relaiona a numeração dos desloamentos das extremidades dos elementos ({ug}), om a numeração dos desloamentos nodais da estrutura ({D}). Em ada elemento (i) os desloamentos são numerados de 1 a 2 NGL/nó (NGL/nó = número de graus de liberdade por nó):

45 45 Figura 3.5: Regra da orrespondênia Com o fim de se ter uma notação apliável ao desenvolvimento de programas, é neessário relaionar os desloamentos de extremidade aos desloamentos dos nós por meio de um sistema apropriado de indexação. Um sistema que torna isso possível assoia o número de graus de liberdade ao número do nó, uma vez que as translações em partiular estão numeradas antes das rotações, segue em todos os asos a orientação dos eixos, sendo numerados os desloamentos na direção de X, Y e Z para as translações e rotações respetivamente. jw NGL NN ( NGL W) (3.14) sendo Jw Desloamento w na extremidade esquerda NGL Número de graus de liberdade por nó NN Número do nó W Índie que india desloamento De forma análoga é feita para a extremidade k do elemento i Exemplo - Elementos de viga Seja a viga ontínua mostrada na figura 3.6, ujo número de graus de liberdade por nó é igual a dois. Figura 3.6: Viga ontínua

46 46 A figura 3.7 mostra a numeração dos graus de liberdade de ada nó segundo o referenial global. Já na figura 3.8 os graus de liberdade são mostrados segundo o referenial loal. Figura 3.7: Graus de liberdade da estrutura Figura 3.8: Elementos de viga utilizados na modelagem graus de liberdade dos elementos Analisando as figuras 3.7 e 3.8 determina-se a regra da orrespondênia dos graus de liberdade no sistema de referenia loal para o sistema de referenia global, mostrada na tabela 3.1 e nas matrizes abaixo: Tabela 3.1: Regra da orrespondênia: GL da estrutura orrespondente ao GL dos elementos Elemento j K 2J -1 2J 2K-1 2K [SG]1= (1) (2) (3) (4) ug X 4 X 5 X 6 X 3 X X X X 4 3 X X X X 5 4 X X X X 6 [SG]2=

47 47 [SG]3= [SG]4= X +X 4 +X +X 5 X X 6 X X X X X+ X+ 5 X X X+ X Segundo Rovere (25), os oefiientes da matriz de rigidez da estrutura não restringida são formados a partir dos oefiientes das matrizes de rigidez no sistema global de ada elemento, usando-se a regra da orrespondênia e somando-se os oefiientes que orrespondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura nos nós onde onorrem os elementos. Na análise de pórtios espaiais, o sistema de numeração a ser adotado para membros e nós é o mesmo que foi disutido anteriormente, sendo onsideradas todas as deformações axiais, por flexão e por torção. Os desloamentos desonheidos nos nós são de seis tipos, nomeadamente as omponentes de translação de nó em X, Y e Z, bem omo as rotações segundo X, Y e Z(GERE e WEAVER, 1987).

48 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Introdução A ondensação estátia é um proedimento que permite a liberação de graus de liberdade, tornando possível, a partir da matriz de rigidez de elemento de pórtio, por exemplo, analisar estruturas retiuladas om omportamento de treliças, omo exemplo extremo (vide figura 3.9), ao passo que se pode liberar graus de liberdade. Figura 3.9: Matriz de rigidez de treliça gerada a partir da matriz de rigidez de pórtio. Os símbolos nas figuras 3.1 (a, b,, d) indiam a impossibilidade de transmitir esforço ortante, momento fletor, força axial e torção respetivamente. Destas impossibilidades de transmitir ações resultam desontinuidades nos desloamentos de translação ou rotação. A ondensação estátia permite a análise de estruturas que possuem tais desontinuidades, uma vez que as matrizes de rigidez dos elementos afetados pela desontinuidade possuem mais graus de liberdade por nó do que uma viga e menos do que um pórtio, fato extremamente omplexo de se realizar apenas tentando ompatibilizar matrizes de rigidez de elementos distintos. Figura 3.1: Desontinuidades pariais. Fonte: Gere e Weaver (1987).

49 Formulação da Condensação Estátia Linear Segundo Assan (1999) para realizar a ondensação estátia, onsidera-se o sistema de equações de equilíbrio montado da seguinte maneira: K K p K p d r K pp d p rp (3.15) onde K Sub-matriz dos graus de liberdade que serão ondensados K pp Sub-matriz dos graus de liberdade que permaneerão Kp e K p Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influênia da ondensação estátia d Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que serão ondensados d p Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que permaneerão r Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que serão ondensados rp Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que permaneerão Da parte superior do sistema de equações (3.15), tem-se que: K d K p d p r (3.16) d K 1 r K 1 K p d p (3.17) Operando om a parte inferior do sistema, obtém-se: K p d K pp d p rp (3.18)

50 5 Substituindo na equação (3.18) o vetor d dado em (3.17), resulta o seguinte sistema de equações: K pp K p K 1 K p d p rp K p K 1 r que pode ser reduzido a: K pp d p r p (3.19) 1 K pp K pp K p K K p (3.2) sendo: a matriz de rigidez ondensada é 1 r p rp K p K r (3.21) o vetor de argas nodais equivalentes ondensado. Nesse ponto abe ressaltar que os valores de desloamentos nos nós eliminados do sistema podem ser obtidos posteriormente pela equação (3.15) Exemplo O exemplo mostrado a seguir mostra o proesso para obtenção da matriz de rigidez ondensada. A viga mostrada na figura 3.11 tem um omprimento L igual a 4m, modulo de deformação longitudinal E igual a 2 GPa e inéria I igual a 4,5 1 4 m². A arga que atua uniformemente distribuída ao longo viga ujo seu valor é igual a 1 kn. Figura 3.11: Viga om rotula apliada a direita.

51 51 12EIz L3 6EI z 2 SM L 12EIz L3 6EIz L2 6EIz L2 4EIz L 6EIz 2 L 2EIz L 12EIz L3 6EI 2z L 12EIz L3 6EI 2z L 6EIz L2 2EIz L 6EI 2z L 4EIz L A matriz de rigidez de membro de viga apresentada no item 3.2 é mostrada aima, substituindo os dados da questão obtêm-se: Para a resolução do problema deve-se iniialmente reordenar a matriz de rigidez do elemento até se obter a forma apresentada na equação 3.15, onde os termos da matriz assoiados ao grau de liberdade liberado devem estar posiionados na primeira linha e primeira oluna da matriz. A reordenação da matriz é realizada om um grau de liberdade de ada vez respeitado a ordem da numeração sendo que para o grau seguinte a matriz a se reordenada e o resultado obtido pela primeira reordenação. A matriz reordenada é mostrada abaixo Identifiando os termos da equação 3.15 tem-se: K 9 K pp

52 52 K p K p Calulando a inversa da Sub-matriz dos graus de liberdade que serão ondensados K tem-se: K 1,11E - 7 Substituindo os termos na equação 3.2 tem-se: 1 K pp K pp K p K K p K pp (3.2) ,11E Resolvendo a equação obtêm a matriz de rigidez ondensada mostrada abaixo FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL Resume-se em quatro etapas básias o desenvolvimento de um programa de análise estrutural: Dados do problema - entender as relações existentes entre os dados que são relevantes para o problema, riando uma estrutura lógia dos dados; Cálulos preliminares - deidir que transformações serão efetuadas sobre os dados no algoritmo para resolver o problema;

53 53 Codifiação - Esrita do ódigo fonte do programa om o uso de uma Linguagem de Programação; Depuração - Verifiação do omportamento e orreção - avaliar se o programa satisfaz as espeifiações do problema Diagrama de Bloos Com base na formulação matriial apresentada anteriormente para o método da rigidez onstruiu-se um programa seguindo o diagrama de bloo esquematizado na figura Cada símbolo mostrado no quadro 3.1 representa uma instrução, sendo esta uma operação que deve ser exeutada pelo omputador. Quadro 3.1: Simbologias Básias Diagrama de Bloos

54 54 Figura 3.12: Digrama de bloo para a análise de estruturas retiuladas Operações O diagrama de bloo mostrado na figura 3.12 estabelee a seqüênia de operações neessárias para análise de um pórtio. A seguir são desritas as operações básias.

55 Entrada de dados A operação de entrada de dados lê, armazena e esreve os dados da estrutura. No APÊNDICE A mostra um arquivo no formato padrão, apresentando um roteiro om as prinipais informações que serão lidas sendo desrito om detalhes no item 3.2 do APÊNDICE C Cálulos Preliminares Nessa operação o omprimento L de ada barra, visto anteriormente, pode ser alulado através da seguinte equação: X L X j Yk Yj Z k Z j 2 k 2 2 (3.22) Os o-senos diretores do membro Cx, Cy e Cz, podem ser alulados a partir das oordenadas das extremidades dos membros (nós j e k, onforme figura 3.2): Cx Cy Cz Xk X j L Yk Yj L Zk Z j (3.23) L O Módulo de elastiidade transversal, ou Módulo Transversal, representado pela letra G, é definido em função do módulo de elastiidade (E) e do oefiiente de Poisson (v) através da equação (3.24). G E 2 1 (3.24) A figura 3.1 mostra as ações de extremidades onsideradas em elementos que estão engastados, sujeitos a varias ondições de arga. Os momentos são positivos no sentido anti-horário respeitando a regra da mão direita, e as forças sendo orientadas om o eixo y.

56 56 Todas as fórmulas dadas na figura 3.13 podem ser deduzidas integrando a equação diferenial para flexão de uma viga. O método da flexibilidade também pode ser empregado para a obtenção das fórmulas. Figura 3.13: Ações de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987).

57 57 Para o álulo das ações de extremidade as argas devem ser apliadas loalmente. A matriz R mostrada abaixo pode ser usada para relaionar os dois onjuntos ortogonais das omponentes de um vetor arga na direção dos eixos loais e dos eixos da estrutura. Cx C C os C sen x y z R 2 2 Cx Cz C x C y sen C z os C 2x C 2z Cy C 2x C 2z os C 2x C 2z sen Cz C y C z os C x sen 2 2 Cx Cz C y C z sen C x os C 2x C 2z (3.25) Esta matriz de rotação está expressa em função dos o-senos diretores do membro e do ângulo α que orresponde ao ângulo existente entre os eixos prinipais de inéria no sistema loal e o eixo vertial do sistema global da estrutura (ver figura 3.14). Figura 3.14: Rotação de um membro de pórtio espaial em torno do eixo x. Fonte: Gere e Weaver (1987) Montagem da Matriz de Rigidez A matriz de rigidez SM mostrada no item 3.3 orresponde às rigidezes do membro de um pórtio espaial segundo os eixos loais. Porém, em geral, um membro de um pórtio espaial pode ter seus eixos prinipais em direções oblíquas, tal omo é indiado na figura Nestes asos, a matriz SM deverá ser transformada na matriz SMD, sendo esta uma matriz orrespondente às rigidezes do membro utilizando omo eixos de referênia os eixos

58 58 da estrutura (GERE e WEAVER, 1987). Porém, em todos os asos antes de transformar a matriz de rigidez de membro segundo os eixos loais nos eixos da estrutura, deve ser feita a ondensação estátia dos elementos, sendo portando K pp, matriz de rigidez ondensada, a matriz que será transformada. Figura 3.15: Membro de pórtio espaial inlinado. Fonte: Gere e Weaver (1987). A matriz K pp (12 X 12) será transformada na matriz SMD (12 X 12) através de uma matriz de transformação de rotação segundo a equação (3.26): [SMD ] = [R T ]'.[Kpp ].[R T ] (3.26) R RT (3.27) sendo RT: R R R

59 Montagem do Vetor de Carga Após a determinação da matriz de rigidez do nó, a etapa seguinte onsiste em onsiderar as argas sobre a estrutura, omo se menionou anteriormente no resumo do método da rigidez. É onveniente trabalhar iniialmente, e em separado, as argas nodais e as argas de membro. A razão para assim proeder é que as argas nodais não preisam de transformação para serem usadas na solução, mas as argas sobre os membros serão levadas em onsideração alulando as ações de engastamento que produzem. Estas ações de engastamento podem então ser transformadas em argas nodais equivalentes e ombinadas om as argas nodais reais sobre a estrutura para produzir o vetor de argas ombinadas AC onforme a equação (3.4). A formação do vetor de argas nodais equivalentes é feita pela equação (3.5). Em resumo, vê-se que o vetor de argas ombinadas AC é omposto omo se segue apresentado na equação 3.4. {A C } = {A} - {A RL } (3.4) Condições de Contorno As ondições de ontorno do problema devem ser impostas sobre o sistema de equações definido na equação (3.8). Essas ondições são os vínulos que podem ser impostos ao sistema de duas formas: (i) A primeira alternativa para esse problema é eliminar do sistema de equações a linha e a oluna do grau de liberdade restringido, sendo feito portando um reordenamento dos graus de liberdade do sistema. (ii) A segunda alternativa onsiste em impor o valor zero ao desloamento restringido, zerando a linha e a oluna referente a esse grau de liberdade, e em seguida atribui-se o valor 1 (um) a esse grau de liberdade.

60 Cálulo dos Resultados Completa-se a análise, alulando os desloamentos nodais D (translações e rotações nas direções de X, Y e Z), utilizando a equação 3.8. As ações de extremidade são aluladas em seguida utilizando a equação 3.1. Finalmente, as reações de apoio são aluladas pela equação 3.9 para ada grau de liberdade restringido segundo os eixos globais Saída de Dados A operação de saída de dados é desrita om detalhes no item 5 do APÊNDICE C, sendo apresentado no item D.2.4 do APÊNDICE D um arquivo de saída padrão.

61 61 4 ESTUDO DE CASOS Nesse apítulo, apresentam-se alguns resultados de estruturas retiuladas obtidas om o programa aqui onstruído (SPACE FRAME). Mostra-se, iniialmente, o exemplo 1 de uma grelha. Em seguida analisa-se um pórtio espaial (exemplo 2). O exemplo 3trata de outro pórtio espaial que apresenta resultados obtidos om base em um software omerial. Por fim são apresentados dois exemplos de treliças, inorporando a ondensação estátia. Todos os exemplos que serão apresentados foram mantidos om as unidades originais apresentadas pelos orrespondentes autores. Para analisar as estruturas informa-se iniialmente todos os dados que definem a sua geometria, as inidênias dos nós nos elementos e suas propriedades, tanto geométrias quanto as meânias dos materiais e as suas vinulações. Em seguida informam-se os arregamentos apliados nos nós, e nos elementos. Toda a entrada de dados é feita através de um arquivo padrão que possui um abeçalho para a orientação do usuário (vide APÊNDICE A). O programa tem omo arquivos de saída os resultados das análises, que são visualizados em forma de texto. 4.1 EXEMPLO 1 Calular os esforços nas extremidades das barras da grelha da figura 4.1a. As barras são de aço e têm suas seções transversais iguais à mostrada na figura 4.1b. Os dados estão na tabela 4.1. Tabela 4.1: Exemplo 1-dados E=21 t/m 2 G=84 t/m2 Inéria em relação ao eixo x 2 (Ax) = 116 m (Ix)=24389 m4 Inéria em relação ao eixo Inéria em relação ao eixo y z 4 (Iy) =16259 m (Iz) =16259 m4 Área da seção transversal

62 62 Figura 4.1: Exemplo 1. Fonte: Vasonellos Filho (1986). Esse exemplo foi apresentado por Vasonellos Filho (1986), ujo resultados estão omparados nas tabelas 4.2 à 4.4: Tabela 4.2: Exemplo 1 Desloamentos nodais. (VASCONCELLOS FILHO, 1986) SPACE FRAME DR % NÓ A B C A B C TRANS. X (m),%,%,% TRANS. Y (m),%,%,% TRANS. Z (m) -, , 483,% -,4%,% ROT.X (rd),13125,13118,% -,5%,% ROT.Y (rd),81933,81911,% -,3%,% ROT.Z (rd) A B C,%,%,%

63 63 Tabela 4.3: Exemplo 1 Reações de apoio. (VASCONCELLOS FILHO, 1986) SPACE FRAME DR % NÓ A B C A B C FORÇA X (t),%,%,% FORÇA Y (t),%,%,% FORÇA Z (t) 5,832 2,168 5,832 2,168,%,%,% MOMENTO X (t.m) -89,63-382,3-89,58-382,2 -,6%,% -,3% MOMENTO Y (t.m) -818,1 273,1-818, 273,1 -,1%,%,% MOMENTO Z (t.m) A B C,%,%,% Tabela 4.4: Exemplo 1 Ações de extremidade de membro. (VASCONCELLOS FILHO, 1986) SPACE FRAME MEMBRO AM1 (t) AM2 (t) AM3 (t) AM4 (t.m) AM5 (t.m) AM6 (t.m) AM7 (t) AM8 (t) AM9 (t) AM1 (t.m) AM11 (t.m) AM12 (t.m) DR % ,%,%,%,% 5,832-2,168 5,832-2,168,%,% -89,63 77,22-89,58 77,17 -,6% -,6% -818,1 43,9-818, 43,9 -,1%,%,%,%,%,%,%,% -2,832 2,168-2,832 2,168,%,% 89,63-77,22 89,58-77,17 -,6% -,6% -481,7 463,4-481,6 463,3 -,2% -,2%,%,%

64 64 Este exemplo, retirado de Vasonellos Filho (1986), objetivou validar o programa desenvolvido neste trabalho. Comparando-se os resultados obtidos no exemplo utilizando o programa om os resultados forneidos por Vasonellos Filho (1986), observase uma diferença menor que 1%, portanto omprovando o bom funionamento do programa. 4.2 EXEMPLO 2 A figura 4.2 mostra o esquema estrutural de um pórtio espaial om três membros, quatro nós, seis graus de liberdade (no nó A) e dezoito restrições (seis em ada um dos ponto B, C e D). O pórtio está arregado no nó A om uma força P na direção negativa de z e om um binário PL/4 no sentido negativo de x. Além disso, uma força de valor P que atua na direção negativa de z é apliada no meio do membro AB, e uma força P que atua na direção negativa de y é apliada no meio do membro AD. Figura 4.2: Exemplo 2. Fonte: Gere e Weaver (1987). Todos os membros deste exemplo têm um plano prinipal que ontêm o ponto p indiado na figura 4.2. O ponto p loaliza-se no plano ontendo os nós B, C e D (isto é, o plano xy). Qualquer ponto na linha pa (exeto o ponto A) será sufiiente para definir os plano prinipais dos membros neste problema. Uma vez que um plano prinipal para o membro AB é paralelo ao eixo y, o ângulo α é tomado omo zero para este membro. Para os membros AC e AD, os planos prinipais são loalizados dando as oordenadas do ponto p.

65 65 A figura 4.3 mostra a estrutura om todos os nós restringidos. Também aparee na figura um sistema de numeração para membros, nós e desloamentos. Figura 4.3: Numeração de nós e de membros do exemplo 2. Fonte: Gere e Weaver (1987). Portanto, para a entrada de dados será neessário espeifiar os ângulos α para os membros AC e AD que são iguais a 1.27 rad (vide APÊNDICE B): Os demais dados do exemplo 2 estão na tabela 4.5: Tabela 4.5: Exemplo 2 dados E=1. ksi P=5 kpis G=4. ksi L=96 in Área da seção transversal Inéria em relação ao eixo x (Ax)= 9 in² Inéria em relação ao eixo y (Ix)=64 in4 Inéria em relação ao eixo z (Iy)=28 in4 (Iz)=8 in4 Os resultados apresentados pela literatura para o exemplo 2 são omparados om os do SPACE FRAME nas tabelas 4.6 à 4.8:

66 66 Tabela 4.6: Exemplo 2 Desloamentos nodais. (GERE e WEAVER, 1987) SPACE FRAME NÓ 1 TRANS. X (in) -,2176 -,2181,23%,%,%,% TRANS. Y (in) -,462 -,462,%,%,%,% TRANS. Z (in) -,1674 -,522 -,522,%,%,%,%,187 -,4495 -,4495,%,%,%,% ROT.X (rd) ROT.Y (rd) ROT.Z (rd) DR % , ,%,%,%,%,187,%,%,%,% Tabela 4.7: Exemplo 2 Reações de apoio. (GERE e WEAVER, 1987) SPACE FRAME 4 DR % NÓ FORÇA X (kip) -,41 3,7-3,29 -,41 3,7-3,29,%,%,%,% FORÇA Y (kip) -2,98 2,61 5,37-2,98 2,61 5,37,%,%,%,% FORÇA Z (kip) 7,1 1,51 1,48 7,1 1,5 1,48,%,% -,66%,% MOMENTO X -134,64 (kip.in) -8,18-63,93-134,64-8,18-63,93,%,%,% MOMENTO Y (kip.in) -14,6 28,39-16,89-14,6 28,39-16,88,%,%,% -,6% MOMENTO Z (kip.in) -9,34-3,62-98,43-9,34-3,62-98,43,%,%,%,%,%

67 67 Tabela 4.8: Exemplo 2 Ações de extremidade de membro. (GERE e WEAVER, 1987) MEMBRO SPACE FRAME DR % 2 3 AM1 (kip) 3,59 4,74 3,21 3,59 4,74 3,21,%,%,% AM2 (kip) AM3 (kip) AM4 (kip.in) AM5 (kip.in) AM6 (kip.in) AM7 (kip) AM8 (kip) AM9 (kip) AM1 (kip.in) AM11 (kip.in),18,48,18,18,48,18,%,%,%,41 -,13 1,68,41 -,13 1,68,%,%,% 6,7 8,8-3, 6,7 8,8-3,,%,%,% -32,49 7,61-5,18-32,49-84, 27,62-24,96-84, 27,62-24,96,%,%,% -6,59-4,74-5,95-6,59-4,74-5,95,%,%,% 3,82 -,48 1,5 3,82 -,48 1,5,%,%,% -,41,13 2,32 -,41,13 2,32,%,%,% -6,7-8,8 3, -6,7-8,8 3,,%,%,% -16,23 15,39 16,59-134,64 57,44-51,86-134,64 57,44-51,86,%,%,% AM12 (kip.in) 7,61-5,18,%,%,% -16,23 15,39 16,59,%,%,% Este exemplo possibilitou verifiar, mais uma vez, a validade do programa implementado, pois os resultados obtidos apresentaram pequena variação quando omparado om os resultados forneidos por (GERE E WEAVER 1987). Além disso, outra finalidade onstatada neste exemplo é verifiar o bom funionamento das sub-rotinas de rotações mostrando a onfiabilidade do programa.

68 EXEMPLO 3 Segundo Guerra (29), o Eberik é um software omerial foado no desenvolvimento de estruturas de onreto armado, sua análise é feita por meio do método da rigidez. Guerra (29) faz a omparação entre os resultados obtidos para a estrutura mostrada na figura 4.4 om o programa Pórtio 3D. Porém, para omparar os resultados om os obtidos pelo software Eberik foi neessário desabilitar uma série de onsiderações durante sua análise tais omo: ação do vento na estrutura, imperfeições globais, redistribuição de esforços através da redução de ações em alguns elementos, não linearidade físia e apoios elástios. Com o intuito de verifiar se o software desenvolvido está funionando orretamente será feita uma omparação om os dois resultados. A figura 4.4 mostra a numeração dos nós da estrutura e nas figura 4.5 e 4.6 é mostrada a numeração dos membros da estrutura. Figura 4.4: Numeração de Nós. Fonte: Guerra (29).

69 69 Figura 4.5: Numeração de membros (Pilares). Fonte: Guerra (29). Figura 4.6: Numeração de Membros (Vigas). Fonte: Guerra (29). Dados: Tabela 4.9: Exemplo 3 - Dados Membro 1 ao ao 32 E (KN/m²) G (KN/m²) Ax (m²) Ix (m4) Iy (m4) Iz (m4) 1,96E-2 5,41E 5 3,2E 5 3,2E 5 4,2E-2 1,94E-4 6,86E 5 3,15E 4 Os arregamentos atuantes na estrutura: Observação: O peso espeífio do onreto será onsiderado igual a 25KN/m³: Pilares: Apenas Peso Próprio; Carga nos Pilares = (,14m) (,14m) (25KN /m³) =,49KN / m Vigas: Peso Próprio + Cargas Adiionais (2, KN/m)

70 7 Peso Próprio = (,14m) (,3m) (25KN / m³) = 1,5KN / m Carga nas vigas = 1,5KN / m + 2,KN /m = 3,5K /m As omparações om os resultados obtidos estão nas tabelas 4.1 e 4.11: Tabela 4.1: Comparação de resultados para as Vigas Membro Nó Nó J Nó K Nó J Nó K Nó J Nó K Nó J Nó K Nó J Nó K Nó J Nó K Nó J Nó K Axial (kn),23,24,24,3 -,31 EBERICK Momento Corte (kn.m) (kn) 1,2 5,3-1,2 5,3 1,1 5,3-1,1 5,3,9 5,3 -,9 5,3,19 5,3 -,19 5,3,2 4,33-2,51 5,73 1,8 2,48-9,5 7,58 1,98 9,6-5,3 Torção (kn.m),1,19 PÓRTICO 3D / SPACE FRAME Axial Momento Corte Torção (kn) (kn.m) (kn) (kn.m) 1,2 5,3,24-1,2 5,3 1,1 5,3,24-1,1 5,3,9 5,3,24 -,9 5,3,19 5,3 -,19 5,3,2 4,33,3-2,51 5,73 1,8 2,48 -,3,1-9,5 7,58 1,98 9,6,19-5,3 Tabela 4.11: Comparação de resultados para os Pilares PÓRTICO 3D / EBERICK SPACE FRAME Membro FX FX (kn) (kn) 1 21,67 21, ,67 21, ,19 29, ,19 29, ,45 47, ,45 47,52 7-1,98-1,9 8-1,98-1,9 9-14,52-14, ,52-14, ,81-23, ,81-23,82 DR %,28%,28%,21%,21%,15%,15% -,73% -,73%,7%,7%,4%,4%

71 71 Os resultados obtidos pelo programa Pórtio 3D foram os mesmos obtidos pelo programa proposto. Analisando a tabela 4.1 e 4.11 pode-se verifiar que os dois programas geram resultados muito próximos para as ações atuando nos membros quando omparados om software omerial Eberik, mostrando assim sua potenialidade. O SPACE FRAME possibilita ao usuário obter os esforços para o dimensionamento de uma viga analisada omo um pórtio ou isolada, alterando e manipulando a estrutura de uma maneira simples. Os próximos dois exemplos analisam estruturas retiuladas om omportamento de treliça plana a partir da matriz de rigidez de elemento de pórtio espaial objetivando validar a implementação da ondensação estátia. 4.4 EXEMPLO 4 Neste exemplo (GERE e WEAVER. 1987) pede-se determinaras forças axiais em todos os membros da treliça (vide figura 4.7). Supondo que L=2 ft, E onstante para todos os membros, a área dos membros 1, 2 e 3 sendo 4, in², a área de todos os outros membros,2 in², e P=3 kips. Figura 4.7: Exemplo 4. Fonte: Gere e Weaver (1987). A omparação om os resultados obtidos está na tabela 4.12:

72 72 Tabela 4.12: Forças axiais dos membros Membro Forças Axiais (kip) (Gere e Weaver, 1987) -14,14-19,1-28,28,9 12,86-1,28 2,9 1, 1,9 2, Forças Axiais (kip) (SPACE FRAME) -14,14-19,1-28,28,9 12,86-1,28 2,9 1, 1,9 2, DR %,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% Da mesma forma que o exemplo anterior, este também tem omo objetivo validar o programa desenvolvido neste trabalho. Comparando os resultados obtidos no exemplo utilizando o programa om os resultados forneidos por Gere e Weaver (1987), verifia-se que o software SPACE FRAME está gerando resultados orretos e onfiáveis. Esse exemplo trás uma partiularidade até então não apresentada pelos exemplos anteriores, duas barras se ruzando, o SPACE FRAME onsidera os membros omo independentes, não riando portanto um nó no ruzamento entre os membros, diferentemente do FTOOL, que em sua análise ria nós nos ruzamento dos elementos não podendo portanto essa estrutura ser analisada pelo software FTOOL. 4.5 EXEMPLO 5 Neste exemplo (GERE e WEAVER. 1987), a treliça plana mostrada na figura 4.8a está restringida nos pontos C e D por apoios artiulados que impedem as translações em ambas as direções x e y. As argas sobre a treliça onsistem em argas nodais, e em argas de membro. Os números dos membros são mostrados na figura 4.8b e estão indiados em írulos adjaentes aos membros, os números dos nós sendo indiados por números adjaentes aos nós. O sistema de numeração para os desloamentos nodais é representado por números adjaentes às setas que indiam as direções positivas dos possíveis desloamentos.

73 73 Figura 4.8a: Exemplo 5 (treliça plana). Fonte: Gere e Weaver (1987) Figura 4.8b: Exemplo 5 (treliça plana). Fonte: Gere e Weaver (1987)

74 74 Dados: Tabela 4.13: Exemplo 5 dados E=2e9 u.f/u.a P=1e3 u.f Área da seção transversal (Ax)= 1 u.a L=1 u. As oordenadas para todos os nós da estrutura estão dadas na tabela 4.14 em função do omprimento L. A tabela 4.14 dá a lista de restrições para a estrutura, onde o numero inteiro 1 na lista de restrições india que existe uma restrição, e o número zero que não há restrições. Tabela 4.14: Informação dos nós para a treliça Coordenadas Nó Lista de restrições x y x y 1,8L 2,6L,8L ,6L 1 1 A tabela 4.15 ontém a informação para os membros da treliça da figura 4.8b. Os números dos membros, números dos nós e áreas da seção transversal. Tabela 4.15: Informação dos membros para a treliça Membro Nó j Nó k Área Comprimento 1 1 2,6Ax,6L 2 3 4,6Ax,6L 3 3 1,8Ax,8L 4 4 2,8Ax,8L Ax L Ax L As argas apliadas na estrutura apareem na Figura 4.8a. As que estão apliadas nos nós são mostradas na tabela 4.16.

75 75 Tabela 4.16: Ações apliadas nos nós Nó Força na direção x Força na direção y P P Os resultados apresentados pela literatura para o exemplo 5 são omparados om os do SPACE FRAME nas tabelas 4.17 à Por se tratar de um problema literal os valores apresentados não possuem unidades sendo respeitado apenas a ordem de grandeza segundo os valores adotados para o problema: Tabela 4.17: Exemplo 5 Desloamentos nodais. NÓ (GERE e WEAVER, 1987) SPACE FRAME DR % TRANS. 5,E-6 5,3E-6,E+,E+ 5,E-6 5,3E-6,E+,E+ % % % % X TRANS. 2,1E-6-2,E-6,E+,E+ 2,1E-6-2,E-6,E+,E+ % % % % Y TRANS.,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % Z ROT.X,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % ROT.Y,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % ROT.Z,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % %

76 76 Tabela 4.18: Exemplo 5 Reações de apoio. NÓ (GERE e WEAVER, 1987) SPACE FRAME DR % FORÇA X,E+,E+ -2,9E+4-2,1E+4,E+,E+ -2,9E+4-2,1E+4 % % % % FORÇA Y,E+,E+ -5,7E+4 7,7E+4,E+,E+ -5,7E+4 7,7E+4 % % % % FORÇA Z,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % MOMENTO,E+,E+ X,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % MOMENTO,E+,E+ Y,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % MOMENTO,E+,E+ Z,E+,E+,E+,E+,E+,E+ % % % % Tabela 4.19: Exemplo 5 ações de extremidade de membro. DR % SPACE FRAME (GERE e WEAVER, 1987) MB. AM1 AM2 AM3 AM4 AM5 AM6 AM7 AM8 AM9 AM1 AM11 AM12 1-6,1E+3-2,E+4,E+,E+,E+,E+ 6,1E+3 2,E+4,E+,E+,E+,E+ 2,E+ 1,E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 3-4,2E+4 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 4,2E+4 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 4 4,5E+4 5,E+3,E+,E+,E+,E+ -3,5E+4 5,E+3,E+,E+,E+,E+ 5 2,7E+4,E+,E+,E+,E+,E+ -2,7E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 6-3,2E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 3,2E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 1-6,1E+3-2,E+4,E+,E+,E+,E+ 6,1E+3 2,E+4,E+,E+,E+,E+ 2,E+ 1,E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 3-4,2E+4 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 4,2E+4 1,E+4,E+,E+,E+,E+ 4 4,5E+4 5,E+3,E+,E+,E+,E+ -3,5E+4 5,E+3,E+,E+,E+,E+ 5 2,7E+4,E+,E+,E+,E+,E+ -2,7E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 6-3,2E+4,E+,E+,E+,E+,E+ 1,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 2,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 3,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 4,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 5,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 6,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,% 3,2E+4,E+,E+,E+,E+,E+

77 77 Comparando-se os resultados obtidos no exemplo utilizando o programa om os resultados forneidos por Gere e Weaver (1987), onlui-se que tais resultados são orretos e onfiáveis, sendo portanto o SPACE FRAME uma ferramenta de fáil utilização que permite analisar pórtios espaiais (determinar os desloamentos dos nós, as reações de apoio e as ações de extremidade de membro da estrutura). Além disso, outra finalidade onstatada neste exemplo é a apresentação de uma estrutura om desontinuidade de momento, as rótulas mostradas na figura 4.8a indiam a impossibilidade de transmitir momento. Outras impossibilidades de transmitir ortante, força axial e torção assim omo as ombinações destas são possíveis pelo SPACE FRAME.

78 78 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os exemplos apresentados neste trabalho permitiram validar o programa desenvolvido. Deve-se destaar que a importânia deste trabalho pode ser estimada pelo fato de atualmente quase não existem softwares eduaionais (om ódigo aberto) que permitam o álulo de estruturas retiuladas. Além da manipulação do modelo, o aprendizado é failitado na medida em que o usuário pode modelar diversas estruturas de uma maneira simples e om resultados imediatos. O usuário tem a possibilidade de analisar o omportamento mais real da viga modelada om um elemento de pórtio espaial omprovando que o efeito das forças axiais na flexão das barras é desprezível quando as forças axiais (quer tração, quer ompressão) não são grandes. O SPACE FRAME não elimina a neessidade do aprendizado do álulo manual. Desta forma, o aluno adquire sensibilidade em relação ao omportamento estrutural. O uso sistemátio de programas para resolver estruturas, ofereendo resultados desde esforços até o dimensionamento, podem reduzir esta sensibilidade do aluno om relação ao omportamento das estruturas. Além de ser usado para o ensino, o programa se mostra bastante efiiente na verifiação dos esforços e desloamentos. espera-se que outros pesquisadores venham a se interessar pelo assunto e dar ontinuidade ao desenvolvimento do programa. As melhorias que poderiam ser inorporadas no programa são as seguintes: Interfae Gráfia, efeito de temperatura e realques, apoios inlinados e elástios, membros não-prismátios e por fim riação de sub-rotinas que permitam dimensionar os membros do pórtio espaial utilizando diferentes materiais omo o onreto armado, a madeira e o aço.

79 79 REFERÊNCIAS ASSAN, Aloisio Ernesto. Método dos elementos finitos: primeiros passos. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, p FEODOSIEV, V. Resistênia dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, p FIGUEIREDO, Ana Maria Gontijo. Meânia para Engenheiros (Notas de Aula) Estruturas: Noções Básias. Disponível em: < Aessado em: 14 de julho 21. GERE, James M; WEAVER, William.Analise de estruturas retiuladas. Rio de Janeiro: Guanabara, p ISBN (Broh.) GUERRA, Mauríio. Desenvolvimento de um software para a análise de pórtios espaiais utilizando o método da rigidez. 28. Projeto de pesquisa (Graduação em Engenharia) Curso de graduação em Engenharia Civil, UNOCHAPECÓ, Chapeó, p. MARTHA, Luiz Fernando. MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS. Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro PUC-Rio. Departamento de Engenharia Civil. Rio de Janeiro, RJ, 2. Disponível em: < Aessado em: 11 de janeiro 21. ROVERE, Henriette Lebre La; Shneider, Alizeu Franiso. ANEST- Programa Eduaional para Análise de Estruturas Retiuladas.XIV Simpósio Brasileiro de Informátia na Eduação - NCE - IM/UFRJ 23. ROVERE, Henriette Lebre La; Moraes, Poliana Dias de. ANÁLISE ESTRUTURAL II. PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO PET. Universidade Federal de Santa Catarina. Centro Tenológio. Departamento de Engenharia Civil. Florianópolis; p SORIANO, H.L; Lima, S.S. Análise de Estruturas em Computadores: Estruturas Retiuladas, Vol. I, sded; Cadernos Didátios UFRJ, Rio de Janeiro, RJ; p SORIANO, Humberto Lima e Lima, Silvio de Souza. Análise de Estruturas Método das Forças e Método dos Desloamentos 2ª Edição. Rio de Janeiro: Editora Ciênia Moderna Ltda., p SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural. Rio de Janeiro: GLOBO, 1981.V. 1: Estruturas Isostátias. VASCONCELLOS FILHO, Alebíades de. Teoria das Estruturas: Método dos desloamentos, proesso de Cross, tabelas. Belo Horizonte: Esola de Engenharia UFMG, p

80 8 APÊNDICE A FORMATO PADRÃO DO ARQUIVO DE ENTRADA

81 81 Nesse apêndie mostra-se a possibilidade de montagem de um arquivo no formato padrão. Para isso é apresentado um roteiro básio om as prinipais informações a serem lidas pelo SPACE FRAME. Roteiro: COMENTÁRIO: Esta seção é a primeira existente no arquivo e deve onter qualquer tipo de informação relevante. NOME DA ESTRUTURA ANALISADA Nome da estrutura analisada. NUMERO DE NÓS DA ESTRUTURA Número de nós da estrutura. COORDENADAS NODAIS DA ESTRUTURA COORD.X COORD.Y COORD.Z Coordenadas x, y e z separadas por espaço. NUMERO DE ELEMENTOS DA ESTRUTURA Número de elementos que ompõe a estrutura. INCIDÊNCIA DOS ELEMENTOS DA ESTRUTURA NOj NOk Inidênia dos elementos que ompõe a estrutura.nó iniial e nó final. NUMERO DE TIPOS DE MATERIAIS DA SEÇÃO Número de materiais que ompõe a estrutura. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS E v Módulo de elastiidade e Coefiiente de Poisson separados por espaço. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS DOS ELEMENTOS Rótulo identifiador do tipo de material do elemento. NUMERO DE SEÇÕES Quantidade de seções distintas de barra existentes na estrutura. PROPRIEDADES GEOMETRICAS AREA Ix Iy Iz Identifiador da seção área (Ax), Ix, Iy, Iz separados por espaço.

82 82 PROPRIEDADES GEOMETRICAS DOS ELEMENTOS Rótulo identifiador do tipo de seção do elemento. NUMERO DE ELEMENTOS COM EIXOS ROTACIONADOS EM RELACAO AOS EIXOS DA ESTRUTURA Número de elementos om eixos rotaionados em relação aos eixos da estrutura. ROTACAO DAS SEÇÕES DOS ELEMENTOS ELEM. ALFA Número do elemento e ângulo α em radianos separados por espaço. NUMERO DE ELEMENTOS COM GRAUS DE LIBERDADE LIBERADOS (CONDENSADOS) Número de elementos om graus de liberdade ondensados. GRAUS LIBERADOS DOS ELEMENTOS / = IMPEDIDO 1 = LIVRE ELEM Rj1 Rj2 Rj3 Mj1 Mj2 Mj3 Rk1 Rk2 Rk3 Mk1 Mk2 Mk3 Elemento ondensado. Condensação ( = impedido 1 = livre) para ada grau de liberdade. OBS: Cabe observar que em programas omeriais de elementos finitos a regra estabeleida é 1 para impedido e para livre. QUANTIDADE DE NÓS COM RESTRIÇOES Número de nós om 1 ou mais restrições. RESTRIÇOES NODAIS / = IMPEDIDO 1 = LIVRE NO u w v rotx roty rotz. Nó vinulado. Vinulação ( = impedido 1 = livre) para ada grau de liberdade. NUMERO DE CASOS DE CARREGAMENTO NODAL Número de arregamentos nodais. CASOS DE CARREGAMENTO NODAL NO Fx Fy Fz Mx My Mz Nó soliitado. Carregamentos: Fx, Fy, Fz, Mx, My e Mz NUMERO DE CASOS DE CARGA PONTUAL NO ELEMENTO Número de agas pontuais nos elementos. CASOS DE CARREGAMENTO PONTUAL EIXOELEM. a Fx Fy Fz Rótulo identifiador do Eixo (G=global L=loal). Elemento soliitado. Distânia de apliação (tomado sempre em relação ao eixo loal). Carregamentos: Fx, Fy e Fz.

83 83 NUMERO DE CASOS DE CARGA DISTRIBUIDA NO ELEMENTO Número de arregamentos distribuídos que soliitam a estrutura. CASOS DE CARREGAMENTO DISTRIBUIDO EIXO ELEM. a Qx Qy Qz Rótulo identifiador do Eixo (G=global L=loal). Elemento soliitado. Distânia de apliação (tomado sempre em relação ao eixo loal). Carregamentos: Qx, Qy e Qz. NUMERO DE CASOS DE MOMENTO APLICADO NO ELEMENTO Número de agas momento. CASOS DE MOMENTO APLICADO EIXO ELEM. a Mx My Mz Rótulo identifiador do Eixo (G=global L=loal). Elemento soliitado. Distânia de apliação (tomado sempre em relação ao eixo loal). Carregamentos: Mx, My e Mz.

84 84 APÊNDICE B CÁLCULO DO ÂNGULO α

85 85 B.1 CÁLCULO DO ÂNGULO α No exemplo 2 (Gere e Weaver, 1987) apresentado no apitulo 4 o ângulo α do problema e definido a partir de um ponto arbitrário P no plano xm-ym onforme mostrado na figura B.1. Entende-se, no entanto, que para o usuário final do SPACE FRAME a ompreensão dessa rotação fia mais lara om o ângulo dado em radianos, portanto nesse apêndie é mostrado o proedimento para o álulo do ângulo α. Supõe-se que são dadas as oordenadas x, y e z deste ponto (denominadas xp, yp e zp). Uma vez que os eixos da estrutura xs,ys e zs têm sua origem na extremidade j do membro, as oordenadas do ponto p em relação aos eixos da estrutura são designadas por xps, yps e zps. Também é mostrado na figura 3.11 o ponto p juntamente om o ângulo de rotação α. Figura B.1: Rotação de eixos para um membro de pórtio espaial. Fonte: Gere e Weaver (1987)

86 86 Coordenadas do Ponto P COORD.X COORD.Y COORD.Z Para o elemento 2 Coordenadas do Nó 1 COORD.X COORD.Y COORD.Z Coordenadas do Nó 3 COORD.X COORD.Y COORD.Z x ps x p x j y ps y p y j z ps z p z j Cx=.73 Cy=.55 Cz=.41 x p Cx x ps Cy y ps Cz z ps x p x p y p y p CxCy Cx 2 Cz 2 x ps Cx 2 Cz 2 y ps y p CyCz Cx 2 Cz 2 z ps

87 87 Cz z p y p Cx Cz 2 2 x ps Cx Cx Cz 2 2 z ps z p arsen rad Para o elemento 3 Coordenadas do Nó 1 COORD.X COORD.Y COORD.Z Coordenadas do Nó 4 COORD.X COORD.Y COORD.Z 256 x ps x p x j y ps y p y j z ps z p z j Cx=.73 Cy= -.55 Cz= -.41 x p Cx x ps Cy y ps Cz z ps x p x p 29.55

88 88 y p y p CxCy Cx Cz 2 x ps Cx 2 Cz 2 y ps CyCz Cx 2 Cz 2 z ps y p z p y p Cz Cx 2 Cz 2 x ps Cx Cx 2 Cz 2 z ps z p arsen rad

89 89 APÊNDICE C MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE

90 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL SPACE FRAME MANUAL DO USUÁRIO FEIRA DE SANTANA BA 21 Raphael Ribeiro Santos 1 ; José Mario Feitosa Lima 2 ; Koji de Jesus Nagahama 3 1. Graduando em Engenharia Civil, Universidade Estadual de Feira de Santana, phael_rs@yahoo.om.br 2. Orientador, Departamento de Tenologia, Universidade Estadual de Feira de Santana, lima.jml@gmail.om 3. Co-Orientador, Departamento de Tenologia, Universidade Estadual de Feira de Santana, kjnagahama@gmail.om

91 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO RESUMO DO MÉTODO DA RIGIDEZ CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Introdução Formulação da Condensação Estátia Linear Exemplo SISTEMA DE COORDENADAS NUMERAÇÃO DOS NÓS NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS CRIAÇÃO E MANIPULAÇÃO DA ESTRUTURA CRIAR UM NOVO ARQUIVO Arquivo de Entrada Arquivo de Saída DADOS Tarefas Prévias Iniiais Geometria Propriedades dos Elementos Condensação Estátia Vinulação Carregamentos Cargas Nodais Carregamento Pontual Casos de Carregamento Distribuído Casos de Momento Apliado no Elemento Utilizando Vários Casos de Carregamento ANALISAR RESULTADOS INICIAIS GEOMETRIA PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS CONDENSAÇÃO ESTÁTICA VINCULAÇÃO CARREGAMENTOS AÇÕES DE EXTREMIDADE DESLOCAMENTOS ESFORÇOS REAÇÕES ERROS ENTRADA DE DADOS VINCULAÇÃO...32 REFERÊNCIAS...33

92 AUTORIA SPACE FRAME Raphael Ribeiro Santos Graduando em Engenharia Civil Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Departamento de Tenologia Colegiado de Engenharia Civil Avenida Transnordestina s/n, bairro Novo Horizonte, CEP Feira de Santana Bahia - BRASIL Tel.: (75) phael_rs@yahoo.om.br José Mario Feitosa Lima Professor Adjunto Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Departamento de Tenologia Colegiado de Engenharia Civil Avenida Transnordestina s/n, bairro Novo Horizonte, CEP Feira de Santana Bahia - BRASIL Tel.: (75) lima.jml@gmail.om Koji de Jesus Nagahama Professor Titular Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Departamento de Tenologia Colegiado de Engenharia Civil Avenida Transnordestina s/n, bairro Novo Horizonte, CEP Feira de Santana Bahia - BRASIL Tel.: (75) kjnagahama@gmail.om

93 VISÃO GERAL O SPACE FRAME é um programa que se destina ao ensino do omportamento estrutural de pórtios espaiais. Seu objetivo básio é ajudar no ensino e álulo de estruturas retiuladas. A ferramenta omputaional é baseada no Método da Rigidez, e é implementada através da linguagem de programação FORTRAN 77. A esolha desta linguagem deve-se, prinipalmente a fáil implementação e sua ampla utilização nos meios aadêmios e ientífios. Do seu objetivo básio deorre a neessidade do SPACE FRAME ser uma ferramenta simples, unindo uma entrada de dados simples para uma efiiente riação e manipulação do modelo aliados a uma análise da estrutura rápida. Esta versão do programa é aadêmia e de uso irrestrito para fins de ensino e pesquisa. A responsabilidade pelo uso e avaliação dos resultados obtidos desta ferramenta é exlusiva do usuário, fiando as instituições e os autores aqui menionados isentos de quaisquer responsabilidades legais ou de qualquer outra natureza. O usuário é responsável por toda ou qualquer onlusão feita om o uso do programa. Não existe nenhum ompromisso de bom funionamento ou qualquer garantia.

94 5 1 INTRODUÇÃO De aordo om Martha (2), desde a déada de 196 o omputador tem sido utilizado na análise estrutural, embora iniialmente somente pelos institutos de pesquisa e universidades. Segundo Rovere (23), o avanço omputaional das últimas déadas possibilitou o desenvolvimento de programas omputaionais para análise estrutural de estruturas ontínuas e retiuladas. Neste sentido, foram desenvolvidos programas omeriais omo ANSYS, SAP 2, ABAQUS e MSC NASTRAN, om base no método dos elementos finitos. Ressalta-se, no entanto, que somente nas últimas déadas foram inorporados nesses programas rotinas de pré e pós-proessamento para geração automátia de malhas e ontorno de tensões. A análise de estruturas pode ser vista atualmente omo uma simulação omputaional do omportamento de estruturas. Martha (2) afirma que não se onebe atualmente exeutar as tarefas de análise estrutural, mesmo para o aso de estruturas retiuladas, sem o uso de omputador e de omputação gráfia. Segundo Rovere (23), existe, no entanto, uma arênia de programas eduaionais para análise estrutural. O aluno de graduação passa diretamente dos fundamentos teórios para a utilização desses programas omeriais, sem onheer, na maioria, das vezes sua estrutura interna. Pode-se itar, omo um dos pouos exemplos de programa eduaional para análise estrutural no Brasil, o programa FTOOL (Two-dimensional Frame Analysis Tool), para estruturas retiuladas planas desenvolvido iniialmente através de um projeto de pesquisa integrado, oordenado por Marelo Gattass, professor do Departamento de Informátia da PUC-Rio e diretor do Grupo de Tenologia em Computação Gráfia (Tegraf/PUC-Rio). Esse projeto teve o apoio do CNPq (Conselho Naional de Desenvolvimento Científio e Tenológio). Atualmente o professor responsável por esse programa é Luiz Fernando Martha (2), do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

95 6 2 FORMULAÇÃO 2.1 RESUMO DO MÉTODO DA RIGIDEZ O método da rigidez, ou método dos desloamentos, amplamente utilizado em programações automátias, é onsideradoo o mais importante método de análise de estruturas. As inógnitas primárias no método da rigidez são desloamentos, que são obtidos por meio de resolução de um sistema de equações lineares algébrias de equilíbrio, deduzidas utilizando o prinípio da superposição. Esses desloamentos são denominados graus de liberdade e seu número, grau de indeterminação inemátia (SORIANO e LIMA 26). No método da rigidez, uma estrutura inematiamente determinada é obtida alterando a estrutura real de modo que os desloamentos desonheidos da estrutura real sejam iniialmente nulos e em seguida assumam valores unitários. Esta estrutura restringida denomina-se sistema prinipal (GERE e WEAVER 1987). Segundo Gere e Weaver (1987), as relações que existem entre as ações e os desloamentos desempenham um papel importante na análise estrutural. Um modo onveniente de exprimir essas relações é por meio de equações de ação e desloamento. Tais equações podem ser obtidas onsiderando a mola linearmente elástia mostrada na figura 2.1. Figura 2.1: Mola linearmente elástia A ação A omprimirá a mola produzindo desse modo um desloamentoo D da extremidade da mola. A relação entre A e D pode ser expressa por uma equação de desloamento do seguinte modo: A S D (2.1) Nesta equação, S é a rigidez da mola, a qual é definida omo a ação neessária para produzir um desloamento unitário. A rigidez é expressa em unidades de força por unidade de omprimento.a relação itada aima é valida para qualquer estrutura linearmente elástia submetida a uma únia ação (GERE e WEAVER, 1987). Estendendo a análise, paraa as demais estruturas retiuladas, as equações de equilíbrio da estrutura no sistema global de referênia podem ser esritas então, sob a forma matriial (GERE e WEAVER 1987): [S].{D}={A} (2.2) onde [S] Matriz de Rigidez da estrutura não restringida; {D} Vetor de Desloamentos nodais da estrutura; {A} Vetor de Ações nodais da estrutura.

96 7 A matriz de rigidez da estrutura não restringida [S] é formada a partir da matriz de rigidez de ada elemento, no sistema global, somando-se os oefiientes orrespondentes aos mesmos graus de liberdade: [S] = [S MD ] (2.3) onde [S MD ] Matriz de Rigidez do elemento no sistema global, sendo que a matriz de ada elemento no sistema global é obtida da seguinte forma: [SMD] =[RT ]'.[SM ].[RT ] (2.4) onde [R T ] Matriz de Rotação do elemento, que depende de sua orientação; [R T ] Transposta da Matriz de Rotação do elemento; [S M ] Matriz de Rigidez do elemento no sistema loal. Se uma estrutura tem N nós, e ada nó tem M graus de liberdade, a equação (2.2) resultante terá N M equações. O vetor de argas ombinadas {A C } é formado pela soma dos efeitos do vetor de argas apliadas diretamente nos nós, {A}, om os efeitos do vetor de argas nodais equivalente a ações apliadas nos elementos sendo o ultimo, obtido invertendo-se as reações de ada elemento: {A RL sendo C } ={A}-{A }; (2.5) {A RL } = {A g } e {A g } = [R T ]'.{A L} (2.6) onde {A RL } Vetor de reações na estrutura restringida; {A g } Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema global de oordenadas; {A L } Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema loal de oordenadas; [R T ] Transposta da Matriz de Rotação do elemento; O vetor das reações na estrutura restringida } {A RL é a soma dos oefiientes (que orrespondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura) dos elementos que onorrem no mesmo nó.

97 8 Em seguida deve-se impor as ondições de ontorno, enontrando-se o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida anulando os graus de liberdade restringidos na estrutura real: {A RL }+[S].{D}={A} (2.7) Para finalizar os álulos, resolve-se o sistema de equações ( 2.7) e obtém-se o vetor de desloamentos: [S].{D} ={A}-{ARL } (2.8) -1 {D} =[S].{A - A RL } (2.9) No presente trabalho foi adotado, para a resolução do sistema de equações, o Método de Eliminação de Gauss, que permite a análise de um número ilimitado de graus de liberdade. No entanto, o programa gerado om base nessa formulação foi limitado a 3 graus de liberdade. A partir dos desloamentos alulados om ( 2.9) determinam-se as reações de apoio A R (forças e binários nas direções de X, Y e Z), as quais são aluladas utilizando a equação (2.1). {AR} {ARL } [SRD] {D} onde (2.1) {A R } Vetor de reações na estrutura real; A matriz S RD é uma sub-matriz retangular de S que ontém ações orrespondentes às restrições dos apoios, devidas aos valores unitários dos desloamentos orrespondentes aos graus de liberdade. Finalmente, as ações de extremidade de membro para ada membro são aluladas substituindo a matriz de rigidez de membro [S M ] i para os eixos de membro e a forma apropriada da matriz de transformação de rotação [R T ] ital qual se apresenta na equação (2.11). {A } ={A } [S ] [R M i ML i M i T ].[D] i i (2.11) onde {A M } Ações de extremidade de membro na estrutura real; {A ML } Ações de extremidade de membro na estrutura restringida.

98 9 2.2 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Introdução A ondensação estátia é um proedimento que permite a liberação de graus de liberdade, tornando possível, a partir da matriz de rigidez de elemento de pórtio, por exemplo, analisar estruturas retiuladas om omportamento de treliças, omo exemplo extremo (vide figura 2.2), ao passo que se pode liberar graus de liberdade. Figura 2.2: Matriz de rigidez de treliça gerada a partir da matriz de rigidez de pórtio. Os símbolos nas figuras 2.3 (a, b,, d) indiam a impossibilidade de transmitir esforço ortante, momento fletor, força axial e torção respetivamente. Destas impossibilidades de transmitir ações resultam desontinuidades nos desloamentos de translação ou rotação. A ondensação estátia permite a análise de estruturas que possuem tais desontinuidades, uma vez que as matrizes de rigidez dos elementos afetados pela desontinuidade possuem mais graus de liberdade por nó do que uma viga e menos do que um pórtio, fato extremamente omplexo de se realizar apenas tentando ompatibilizar matrizes de rigidez de elementos distintos. Figura 2.3: Desontinuidades pariais. Fonte: Gere e Weaver (1987) Formulação da Condensação Estátia Linear Segundo Assan (1999) para realizar a ondensação estátia, onsidera-se o sistema de equações de equilíbrio montado da seguinte maneira: K K p K K p pp d d p r r p (2.12)

99 1 onde K Sub-matriz dos graus de liberdade que serão ondensados K Sub-matriz dos graus de liberdade que permaneerão pp K p e K p Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influênia da ondensação estátia d Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que serão ondensados d Sub-vetor dos desloamentos assoiado aos graus de liberdade que permaneerão p r Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que serão ondensados r Sub-vetor das argas nodais assoiada aos graus de liberdade que permaneerão p Da parte superior do sistema de equações (2.12), tem-se que: K d K p d p r (2.13) d K r 1 K 1 K p d p (2.14) Operando om a parte inferior do sistema, obtém-se: K p d K pp d p r p (2.15) Substituindo na equação ( 2.18) o vetor d dado em ( 2.17), resulta o seguinte sistema de equações: 1 1 K pp K pk K p d p rp K pk r que pode ser reduzido a: K pp d p sendo: r p (2.16) K pp K pp K p K 1 K p (2.17) a matriz de rigidez ondensada é r p r p K p K r 1 (2.18) o vetor de argas nodais equivalentes ondensado. Nesse ponto abe ressaltar que os valores de desloamentos nos nós eliminados do sistema podem ser obtidos posteriormente pela equação (2.12).

100 Exemplo O exemplo mostrado a seguir mostra o proesso para obtenção da matriz de rigidez ondensada. A viga mostrada na figura 2.4 tem um omprimento L igual a 4m, modulo de 4 deformação longitudinal E igual a 2 GPa e inéria I igual a 4,51 m². A arga que atua uniformemente distribuída ao longo viga ujo seu valor é igual a 1 kn. Figura 2.4: Viga om rotula apliada a esquerda. S M 12EIz 3 L 6EIz 2 L 12EI 3 L 6EIz 2 L z 6EIz 2 L 4EIz L 6EI 2 L 2EIz L z 12EI 3 L 6EIz 2 L 12EIz 3 L 6EIz 2 L z 6EIz 2 L 2EIz L 6EI 2 L 4EIz L z A matriz de rigidez de membro de viga é mostrada aima, substituindo os dados da questão obtêm-se: Para a resolução do problema deve-se iniialmente reordenar a matriz de rigidez do elemento até se obter a forma apresentada na equação 2.12, onde os termos da matriz assoiados ao grau de liberdade liberado devem estar posiionados na primeira linha e primeira oluna da matriz. A reordenação da matriz é realizada om um grau de liberdade de ada vez respeitado a ordem da numeração sendo que para o grau seguinte a matriz a se reordenada e o resultado obtido pela primeira reordenação. A matriz reordenada é mostrada abaixo. Identifiando os termos da equação 2.12 tem-se:

101 12 K K pp K p tem K p Calulando a inversa da Sub-matriz dos graus de liberdade que serão ondensados se: K 1,11E- 7 K Substituindo os termos na equação 2.17 tem-se: K pp K pp K p K 1 K p (2.17) K pp ,11E Resolvendo a equação obtêm a matriz de rigidez ondensada mostrada abaixo SISTEMA DE COORDENADAS De aordo om Rovere (25), a estrutura é definida em relação a um sistema global de oordenadas (X, Y,Z) e os elementos em relação a um sistema loal (x,y,z). Os três eixos artesianos são perpendiulares entre si e formam um sistema destrógiro (satisfazem a regra da mão direita). No sistema loal, o eixo loal x oinide om o eixo longitudinal da barra, passando pelo entróide da seção, e o sentido positivo deste eixo é definido pela inidênia dos nós no elemento (Em geral o eixo vertial da seção é denominado eixo y e o horizontal eixo z (vide figura 2.2).

102 13 Figura 2.5: Sistemas global e loal de oordenadas de um pórtio plano. 2.4 NUMERAÇÃO DOS NÓS Nós de uma estrutura retiulada são os pontos de interseção dos membros, assim omo os pontos de apoio e extremidade livres dos membros. Convém numerar os nós seqüenialmente om o fim de failitar a geração de oordenadas nodais. A numeração dos nós é gerada automatiamente em ordem resente entrada das oordenadas. No exemplo apresentado tem-se 7 nós. seguindo a ordem de 2.5 NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS As estruturas retiuladas são divididas em elementos ligados entre si por pontos nodais denominados nós, aonde se supõem onentradas todas as forças de ligação entre elementos. Todas as barras também devem ser numeradas, onforme mostra a figura 2.5, onvém numerar-se as barras seqüenialmente om o fim de failitar a geração de elementos ou barras. No exemplo apresentado tem-se 8 elementos.

103 14 3 CRIAÇÃO E MANIPULAÇÃO DA ESTRUTURA 3.1 CRIAR UM NOVO ARQUIVO Arquivo de Entrada Para riar um novo arquivo de entrada de dados deve ser forneido pelo usuário o nome do arquivo (o nome deve ter no máximo 3 arateres) na janela apresentada onforme mostra a figura 3.1 (o programa irá riar um arquivo Nome ); para que o arquivo seja aberto diretamente pelo bloo de notas o usuário deve inserir no final do nome a extensão.txt ( Nome.txt) Arquivo de Saída Figura 3.1: Tela Iniial Arquivo de Entrada Para riar um novo arquivo de saída de dados deve ser forneido pelo usuário o nome do arquivo (o nome deve ter no máximo 3 arateres) na janela apresentada onforme mostra a figura 3.2 (o programa irá riar um arquivo Nome ); para que o arquivo seja aberto diretamente pelo bloo de notas o usuário deve inserir no final do nome a extensão.txt ( Nome.txt).

104 15 Figura 3.2: Tela Iniial Arquivo de Saída Nota: Se, para erto arquivo de saída o SPACE FRAME já foi exeutado, o arquivo de saída será apagado e será reesrito om base nos dados do novo arquivo de entrada orrespondente a estrutura. 3.2 DADOS Este item possui sete subitens: Tarefas Prévias, Iniiais, Geometria, Propriedades dos Elementos, Condensação Estátia, Vinulação e Carregamentos Tarefas Prévias Ao iniiar a análise de uma estrutura o usuário deverá realizar algumas etapas prévias: A primeira destas etapas, omo mostra a figura 3.3, o usuário deverá numerar os nós e os membros da estrutura em questão. A figura 3.3 mostra também a segunda tarefa do usuário que é listar os membros definindo quais os nós iniiais (Nó J) e finais (Nó K) dos mesmos. Cabe ressaltar que esta numeração é aleatória, ou seja, a ritério do usuário.

105 16 Figura 3.3: Numeração de nós e de membros (GUERRA, 29) Abaixo é mostrado o arquivo de entrada padrão do SPACE FRAME.

106 17 Exemplo 1: Entrada de Dados - Viga bi-engastada om a presença de releases Iniiais Esse subitem possibilita definir um omentário sobre a estrutura e o nome dado a mesma. O omentário deve ser feito em uma únia linha.

107 Geometria Nesse subitem deve-se entrar om os nós e os elementos da estrutura. O usuário deve definir primeiro o numero de nós, para inserir um nó da estrutura é neessário que sejam informadas suas oordenadas em relação aos eixos globais. Para estruturas tipo viga, a únia oordenada a ser informada é a oordenada X. As estruturas tipo pórtio plano e grelha são definidas om as oordenadas X e Y. Já para as estruturas de pórtios espaiais são neessárias as oordenadas X, Y e Z. Após definir o numero de nós o usuário deve definir o numero de elementos e sua inidênia nesse ampo definem-se: nó iniial e nó final. O nó iniial do elemento será a origem dos eixos loais do elemento. Não é neessário que a entrada de dados seja feita seqüenialmente desde que seja forneida a inidênia de todos os elementos Propriedades dos Elementos Este sub-item possibilita definir Propriedades da Seção e Material dos elementos. Num primeiro momento o usuário deve definir o número de tipos diferentes de materiais dos elementos. No ampo seguinte são definidos os dados referentes ao tipo de material do elemento. Nesse ampo deve ser informado o módulo de elastiidade e o oefiiente de Poisson. Todas as informações devem estar em unidades oerentes, pois os resultados serão função destas unidades. Após estabeleer os tipos de matérias o usuário deve atribuir a ada elemento as propriedades anteriormente definidas sendo atrelado a ada elemento a propriedade por meio do numero que representa a ordem de entrada dos dados. A entrada de dados deve ser feita seqüenialmente. Num segundo momento são definidos os dados referentes à seção o usuário deve indiar o numero de propriedades geométrias. No ampo seguinte são definidos os dados referentes a seção do elemento. Nesse ampo deve ser informado a área e os momentos de inéria da seção (I x, I y e I z ). Todas as informações devem estar em unidades oerentes, pois os resultados serão função destas unidades.

108 19 No aso de pórtios espaiais, além da área e dos momentos de inéria da seção (I x, I y e I z,) deve-se forneer também o ângulo ( ) que o eixo prinipal de inéria no sistema loal do elemento faz om o eixo vertial do sistema global da estrutura, onforme mostra a figura 3.4. Não é neessário que a entrada de dados seja feita seqüenialmente, o usuário deve forneer o elemento e o ângulo () em radianos. Figura 3.4: Ângulo de Rotação (GUERRA, 29)

109 Condensação Estátia Vinulação Nesse subitem são definidas as ondições de ontorno dos nós da estrutura. Num primeiro momento o usuário deve definir a quantidade de nós om restrições. No ampo seguinte delaram-se as os nós vinulados e as direções restringidas, atribuindo o valor (zero) as direções dos nós onsideradas impedida e 1 (um) as direções onsideradas livres. Para o aso de estruturas planas pode-se ter três opções de restrição: Translação em X, Translação em Y e Rotação em Z. Já para estruturas espaiais: Translação em X, Y e Z e Rotação em X, Y e Z. Para evitar a instabilidade gerada pelo arregamento o usuário deve restringir em pelo menos um dos nós da estrutura os graus de liberdade, impedindo que a estrutura se mova Carregamentos O subitem arregamento permite ao usuário fazer a análise da estrutura submetida a diferentes arregamentos Cargas Nodais Nesse ampo são definidas as argas apliadas diretamente nos nós. Deve-se forneer o número do nó arregado e o valor da arga na direção atuante, respeitando a onvenção de sinais dos eixos do sistema global da estrutura, onforme mostra a Figura 2.5. Não é neessário que a entrada de dados seja realizada segundo uma seqüênia numéria dos nós, desde que sejam espeifiados todos os nós arregados Carregamento Pontual Nesse ampo são definidas as argas apliadas diretamente nos elementos. Deve-se forneer o número do elemento arregado e o valor da arga na direção atuante, o usuário tem a opção de apliar a arga segundo os eixos globais atribuindo ao ampo a letra G ou segundo aos

110 21 eixos loais atribuindo a letra L,respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura 2.5. A distânia a de apliação da força é tomada a partir do nó iniial do elemento que representa a origem dos eixos loais do elemento. Independente se a arga for apliada segundo os eixos globais ou loais a distânia a é sempre tomada segundo os eixos loais. O usuário pode inserir mais de uma arga onentrada por elemento, basta repetir o proedimento desrito aima. Não é neessário que a entrada de dados seja realizada segundo uma seqüênia numéria dos elementos, desde que sejam espeifiados todos os elementos arregados Casos de Carregamento Distribuído Nesse ampo são definidos os asos de arregamento distribuído apliados diretamente nos elementos. Deve-se forneer o número do elemento arregado e o valor da arga na direção atuante, o usuário tem a opção de apliar a arga segundo os eixos globais atribuindo ao ampo a letra G ou segundo aos eixos loais atribuindo a letra L,respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura 2.5. A distânia a de apliação da força é tomada a partir do nó iniial do elemento que representa a origem dos eixos loais do elemento. Independente se a arga for apliada segundo os eixos globais ou loais a distânia a é sempre tomada segundo os eixos loais. O usuário pode inserir mais de uma arga distribuída por elemento, basta repetir o proedimento desrito aima. Não é neessário que a entrada de dados seja realizada segundo uma seqüênia numéria dos elementos, desde que sejam espeifiados todos os elementos arregados Casos de Momento Apliado no Elemento Nesse ampo são definidos os asos de momento apliado diretamente nos elementos. Devese forneer o número do elemento arregado e o valor do vetor momento na direção atuante, o usuário tem a opção de apliar o vetor momento segundo os eixos globais atribuindo ao ampo a letra G ou segundo aos eixos loais atribuindo a letra L,respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura 2.5. A distânia a de apliação da força é tomada a partir do nó iniial do elemento que representa a origem dos eixos loais do elemento. Independente se a arga for apliada segundo os eixos globais ou loais a distânia a é sempre tomada segundo os eixos loais. O usuário pode inserir mais de um vetor momento por elemento, basta repetir o proedimento desrito aima. Não é neessário que a entrada de dados seja realizada segundo uma seqüênia numéria dos elementos, desde que sejam espeifiados todos os elementos arregados Utilizando Vários Casos de Carregamento O programa SPACE FRAME oferee ao usuário a possibilidade de analisar uma estrutura submetida a diferentes asos de arregamento. Para failitar o entendimento desse reurso, este será demonstrado utilizando-se um segundo exemplo, o pórtio plano mostrado na figura abaixo, ujas propriedades estão apresentadas no quadro a seguir.

111 22 FIGURA 3.5: Pórtio Plano - Caso de Carregamento 1 + FIGURA 3.6: Pórtio Plano - Caso de Carregamento 2 =

112 23 FIGURA 3.7: Pórtio Plano - Caso de Carregamento Resultado Final

113 24 4 ANALISAR Após a entrada de dados passa-se para a etapa de análise da estrutura. No aso de erros na entrada de dados deve-se retornar ao item Dados para serem efetuadas as devidas modifiações. No aso de serem feitas modifiações, o usuário deve gravar o arquivo de dados modifiado sobre o existente antes de re-analisar a estrutura. 5 RESULTADOS Os resultados estão disponíveis no arquivo de saída definido pelo usuário que pode ser visualizado, editado ou impresso por programas editores de texto. Este arquivo está no mesmo diretório do programa SPACE FRAME. Serão utilizados os arquivos de saída da viga do exemplo 1 para exemplifiar a saída dos resultados. Todos os resultados estão em unidades oerentes om as unidades e sistema de oordenadas adotados para os dados de entrada da estrutura. Este item possui dez subitens: Iniiais, Geometria, Propriedades dos Elementos, Condensação Estátia, Vinulação, Carregamentos, Ações de extremidade, Desloamentos, Esforços e Reações Abaixo é mostrado o arquivo de saída padrão do SPACE FRAME.

114 25

115 26

116 INICIAIS Exemplo 1: Resultados-Viga bi-engastada om a presença de releases Esse sub-item lista o nome dado a estrutura. 5.2 GEOMETRIA Lista as araterístias referentes à estrutura, tais omo: oordenadas nodais, numero de graus de liberdade, inidênia dos elementos e omprimento dos elementos.

117 PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS Este sub-item lista as araterístias dos elementos: propriedades geométrias e dos materiais de ada tipo de seção transversal.

118 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA Este subitem lista graus de liberdade liberados dos elementos. Onde os graus de liberdade onsiderados impedidos são indiados por (zero) e 1 (um) os graus livres. 5.5 VINCULAÇÃO Este subitem lista os vínulos da estrutura om meio exterior. Onde as direções dos nós onsideradas impedida são indiadas por (zero) e 1 (um) as direções onsideradas livres. 5.6 CARREGAMENTOS O subitem lista as argas nodais equivalentes a argas apliadas nos elementos para ada aso de arregamento.

119 3 5.7 AÇÕES DE EXTREMIDADE O subitem lista as ações de extremidade equivalentes a argas apliadas nos elementos biengastados para ada aso de arregamento. As ações de extremidade são listadas segundo os EIXOS LOCAIS, respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura DESLOCAMENTOS Lista os desloamentos nodais para ada grau de liberdade. Os desloamentos nodais são listados segundo os EIXOS GLOBAIS, respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura 2.5.

120 ESFORÇOS Lista os esforços nos elementos, em ada grau de liberdade dos nós de sua extremidade, para todos os asos de arregamento. Os esforços são listados segundo os EIXOS LOCAIS, respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura REAÇÕES Lista as reações nos nós, em ada direção restringida por vínulo, para todos os asos de arregamento. As reações são listadas segundo os EIXOS GLOBAIS, respeitando a onvenção de sinais dos eixos, onforme mostra a Figura 2.5.

121 32 6 ERROS 6.1 ENTRADA DE DADOS A entrada de dados foi feita de forma errônea, verifique se o numero de nós, elementos, vinulação e argas é maior ou menor do que a quantidade real. Essa tela também é mostrada ao se riar um novo arquivo. Figura 6.1: Erro na entrada de dados. 6.2 VINCULAÇÃO A estrutura está instável. Para evitar a instabilidade gerada pelo arregamento o usuário deve restringir em pelo menos um dos nós da estrutura os graus de liberdade, impedindo que a estrutura se mova. A tela mostra o numero do grau de liberdade em que o erro oorreu. Figura 6.2: Erro na vinulação da estrutura.