Resistência dos Materiais

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1 Resistência dos Materiais Prof. Antonio Dias Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 1

2 Objetivos deste capítulo Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido. Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido. Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 2

3 Condições de equilíbrio do corpo rígido Como mostra a Figura, este corpo está sujeito a um sistema externo de força e momento de binário que é o resultado dos efeitos das forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de contato causadas pelos corpos adjacentes. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 3

4 Condições de equilíbrio do corpo rígido O sistema de força e momento de binário que atuam sobre um corpo podem ser reduzidos a uma força resultante e um momento de binário resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro ou fora do corpo. Se essa força e momento de binário resultantes são ambos iguais a zero, então dizemos que o corpo está em equilíbrio. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 4

5 Condições de equilíbrio do corpo rígido Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como: Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio; elas são também suficientes. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 5

6 Condições de equilíbrio do corpo rígido Considere a soma dos momentos em relação a algum outro ponto, como o ponto A na Figura abaixo: Precisamos de: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 6

7 Equilíbrio em duas dimensões Consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um corpo rígido se situa em, ou pode ser projetado para, um único plano e, além disso, quaisquer momentos de binário atuando sobre o corpo são direcionados perpendicularmente a esse plano. Esse tipo de sistema de força e binário é frequentemente referido como um sistema de forças bidimensional ou coplanar. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 7

8 Equilíbrio em duas dimensões Por exemplo, Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 8

9 Diagramas de corpo livre O diagrama de corpo livre é um esquema da forma do corpo, que o representa isolado ou livre de seu ambiente, ou seja, um corpo livre. Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de corpo livre é de primordial importância para a resolução de problemas em mecânica. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 9

10 Reações de apoio Vamos analisar os vários tipos de reações que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares. Como regra geral: Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então, uma força é desenvolvida no corpo nessa direção. Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 10

11 Reações de apoio Por exemplo, vamos considerar três maneiras na qual um membro horizontal, como uma viga, é apoiado na sua extremidade. Um método consiste de um rolete ou cilindro. Como esse suporte apenas impede que a viga translade na direção vertical, o rolete só exercerá uma força sobre a viga nessa direção. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 11

12 Reações de apoio A viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um pino. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 12

13 Reações de apoio Aqui, o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção ϕ e, portanto, o pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 13

14 Reações de apoio Para fins de análise, geralmente é mais fácil representar essa força resultante F por suas duas componentes retangulares F x e F y. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 14

15 Reações de apoio A maneira mais restritiva de apoiar a viga seria usar um apoio fixo. Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 15

16 Reações de apoio Para fazer isso, uma força e momento de binário devem ser desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 16

17 Reações de apoio Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 17

22 Reações de apoio Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte sequência de fotos: O cabo exerce uma força sobre o suporte, na direção do cabo. O suporte rocker para esta viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte esteja livre para se expandir e contrair devido às mudanças de temperatura. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 22

23 Reações de apoio Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte sequência de fotos: Esta viga mestra de concreto está apoiada sobre a base que deve agir como uma superfície de contato lisa. Esta construção utilitária é suportada por pinos no alto da coluna. As vigas de solo desta construção são soldadas e, portanto, formam conexões fixas. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 23

24 Forças internas As forças internas que atuam entre partículas adjacentes em um corpo sempre ocorrem em pares colineares de modo que tenham a mesma intensidade e ajam em direções opostas (terceira lei de Newton). Como essas forças se cancelam mutuamente, elas não criarão um efeito externo sobre o corpo. É por essa razão que as forças internas não devem ser incluídas no diagrama de corpo livre se o corpo inteiro precisa ser considerado. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 24

25 O peso e o centro de gravidade Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional, cada uma de suas partículas possui um peso específico. O sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico. Essa força resultante é chamada de peso W do corpo, e a posição de seu ponto de aplicação, de centro de gravidade. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 25

26 Modelos idealizados Quando um engenheiro realiza uma análise de força de qualquer objeto, ele considera um modelo analítico ou idealizado correspondente que fornece resultados que se aproximam o máximo possível da situação real. Para isso, escolhas cuidadosas precisam ser feitas de modo que a seleção do tipo de apoio, o comportamento do material e as dimensões do objeto possam ser justificados. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 26

27 Modelos idealizados Os dois casos a seguir ilustram o que é necessário para desenvolver um modelo adequado. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 27

28 Procedimentos para análise Desenhe a forma esboçada Mostre todas as forças e momentos de binário Identifique cada carga e dimensões Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 28

29 Pontos importantes Nenhum problema de equilíbrio deve ser resolvido sem antes desenhar o diagrama de corpo livre, a fim de considerar todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo. Se um suporte impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então o suporte exerce uma força sobre o corpo nessa direção. Se a rotação é impedida, então o suporte exerce um momento de binário sobre o corpo. Estude a Tabela 5.1. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 29

30 Pontos importantes As forças internas nunca são mostradas no diagrama de corpo livre, já que elas ocorrem em pares colineares iguais, mas opostos e, portanto, se cancelam. O peso de um corpo é uma força externa e seu efeito é representado por uma única força resultante que atua sobre o centro de gravidade G do corpo. Momentos de binário podem ser colocados em qualquer lugar no diagrama de corpo livre, já que são vetores livres. As forças podem agir em qualquer ponto ao longo de suas linhas de ação, já que são vetores deslizantes. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 30

31 Equações de equilíbrio As condições para o equilíbrio em duas dimensões são: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM O = 0 Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 31

32 Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio Dois conjuntos alternativos de três equações de equilíbrio independentes também podem ser usados. Um desses conjuntos é ΣF x = 0 ΣM A = 0 ΣM B = 0 Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 32

33 Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio Para provar que essas equações oferecem as condições para o equilíbrio, considere o diagrama de corpo livre da chapa mostrada na figura abaixo: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 33

34 Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio Todas as forças no diagrama de corpo livre podem ser substituídas por uma força resultante equivalente F R = Σ F, atuando no ponto A, e um momento de binário resultante M RA = ΣM A : Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 34

35 Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio Além disso, para que F R satisfaça ΣF x = 0, ela não pode ter qualquer componente ao longo do eixo x e, portanto, F R precisa ser paralela ao eixo y. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 35

36 Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio Um segundo conjunto alternativo de equações de equilíbrio é: ΣM A = 0 ΣM B = 0 ΣM C = 0 Aqui é necessário que os pontos A, B e C não estejam na mesma linha. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 36

37 Procedimentos para análise Diagrama de corpo livre Estabeleça os eixos coordenados x, y em qualquer orientação apropriada. Desenhe uma forma esquemática do corpo. Mostre todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo. Rotule todas as cargas e especifique suas direções em relação ao eixo x ou y. O sentido de uma força ou momento de binário de intensidade desconhecida mas com uma linha de ação conhecida pode ser assumido. Indique as dimensões do corpo necessárias para calcular os momentos das forças. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 37

38 Procedimentos para análise Equações de equilíbrio Aplique a equação de equilíbrio de momento em relação a um ponto (O) localizado na interseção das linhas de ação das duas forças desconhecidas. Assim, os momentos dessas incógnitas são iguais a zero em relação a O, e uma solução direta para a terceira incógnita pode ser determinada. Ao aplicar as equações de equilíbrio de força, oriente os eixos x e y ao longo das linhas que fornecerão a decomposição mais simples das forças em suas componentes x e y. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 38

39 Procedimentos para análise Equações de equilíbrio Se a solução das equações de equilíbrio produzir um escalar negativo para uma intensidade de força ou momento de binário, isso indica que o sentido é oposto ao que foi presumido no diagrama de corpo livre. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 39

40 Membros de duas e três forças Membros de duas forças Um membro de duas forças possui forças aplicadas em apenas dois de seus pontos. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 40

41 Membros de duas e três forças Membros de duas forças Para que qualquer membro de duas forças esteja em equilíbrio, as duas forças agindo sobre o membro precisam ter a mesma intensidade, agir em direções opostas e ter a mesma linha de ação direcionada ao longo da linha que une os dois pontos onde essas forças atuam. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 41

42 Membros de duas e três forças Membros de três forças O equilíbrio de momentos pode ser satisfeito apenas se as três forças formarem um sistema de forças concorrentes ou paralelas. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 42

43 Restrições e determinação estática Para garantir o equilíbrio de um corpo rígido, é necessário não apenas satisfazer as equações de equilíbrio, mas também o corpo precisa estar adequadamente fixo ou restrito por seus suportes. Restrições redundantes Quando um corpo possui suportes redundantes, ou seja, mais suportes do que o necessário para mantê-lo em equilíbrio, ele se torna estaticamente indeterminado. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 43

44 Restrições e determinação estática Por exemplo: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 44

45 Restrições impróprias Ter o mesmo número de forças reativas desconhecidas que equações de equilíbrio disponíveis nem sempre garante que um corpo será estável quando sujeito a uma determinada carga. Por exemplo, Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 45

46 Restrições impróprias Outra maneira em que a restrição imprópria leva à instabilidade ocorre quando as forças reativas são todas paralelas: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 46

47 Restrições impróprias Em alguns casos, um corpo pode ter menos forças reativas do que equações de equilíbrio que precisem ser satisfeitas. O corpo, então, se torna apenas parcialmente restrito. Por exemplo, Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 47

48 Pontos importantes Sempre desenhe o diagrama de corpo livre primeiro quando resolver qualquer problema de equilíbrio. Se um suporte impede a translação de um corpo em uma direção específica, então o suporte exerce uma força sobre o corpo nessa direção. Se um suporte impede a rotação em relação a um eixo, então o suporte exerce um momento de binário sobre o corpo em relação a esse eixo. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 48

49 Pontos importantes Se um corpo está sujeito a mais reações desconhecidas do que equações de equilíbrio disponíveis, então o problema é estaticamente indeterminado. Um corpo estável exige que as linhas de ação das forças reativas não interceptem um eixo comum e não sejam paralelas. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Cap.05 49