RAIMUNDO FAGNER DE FREITAS KOCHEM

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL RAIMUNDO FAGNER DE FREITAS KOCHEM DIMENSIONAMENTO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR SUBMETIDOS À FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO CAMPO MOURÃO 015

2 RAIMUNDO FAGNER DE FREITAS KOCHEM DIMENSIONAMENTO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR SUBMETIDOS À FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA Trabalho de Conlusão de Curso de graduação, apresentado à disiplina de Trabalho de Conlusão de Curso, do urso superior de Engenharia Civil da Universidade Tenológia Federal do Paraná UTFPR, omo requisito parial para a obtenção do título de Baharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Ms. Angelo Giovanni Bonfim Corelhano. CAMPO MOURÃO 015

3 Ministério da Eduação Universidade Tenológia Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Diretoria de Graduação e Eduação Profissional Departamento Aadêmio de Construção Civil Coordenação de Engenharia Civil TERMO DE APROVAÇÃO Trabalho de Conlusão de Curso DIMENSIONAMENTO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR SUBMETIDOS Á FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA por Raimundo Fagner de Freitas Kohem Este Trabalho de Conlusão de Curso foi apresentado às 9h do dia 9 de Junho de 015 omo requisito parial para a obtenção do título de ENGENHEIRO CIVIL, pela Universidade Tenológia Federal do Paraná. Após deliberação, a Bana Examinadora onsiderou o trabalho aprovado. Prof. Ms. Angelo Giovanni B. Corelhano ( UTFPR ) Prof. Dr. Leandro Waidemam ( UTFPR ) Orientador Prof. Dr. Marelo Rodrigo Carreira ( UTFPR ) Responsável pelo TCC: Prof. Me. Valdomiro Lubahevski Kurta Coordenador do Curso de Engenharia Civil: Prof. Dr. Marelo Guelbert A Folha de Aprovação assinada enontra-se na Coordenação do Curso.

4 Dedio este trabalho aos meus pais Daria e Dério om amor e gratidão, por não medirem esforços para que eu hegasse até esta etapa em minha vida.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por ter iluminado o meu aminho e ser a minha base onde enontro forças. Aos meus pais Daria e Dério, por serem exemplos de garra, perseverança e por nuna me deixarem desistir, dando forças para hegar até aqui, mesmo a distânia tornaram-se presentes nos piores e melhores momentos, durante o perurso da jornada aadêmia. Aos meus irmãos Laurimar, Riardo e Renato que sempre estiveram ao meu lado me apoiando. A minha namorada Bruna Angela, que sempre areditou no meu trabalho e sempre me inentivou a ontinuar em frente mesmo quando isso signifiasse fiar longe ou perder horas de sua ompanhia. Amo voê. Aos meus amigos, pela força e umpliidade, por terem ompartilhado vários momentos omigo, que jamais serão esqueidos. Ao professor Angelo Giovanni pelos seus ensinamentos e pela orientação deste trabalho. A todos os professores que ontribuíram para a minha formação aadêmia. Muito obrigado a todos.

6 Porque qualquer homem, mesmo perfeito, entre os homens, não será nada, se lhe faltar a sabedoria que vem de vós. Sabedoria 9:6

7 RESUMO KOCHEM, Raimundo Fagner de F. Dimensionamento de pilares esbeltos de onreto armado om seção transversal retangular submetidos à flexão oblíqua omposta p. Trabalho de Conlusão de Curso (Baharelado em Engenharia Civil) Universidade Tenológia Federal do Paraná. Campo Mourão, 015. O estudo das estruturas de onreto armado tem mostrado que o omportamento não linear dos materiais aço e onreto tem grande influênia no dimensionamento dos elementos de uma estrutura. Devido a difiuldade para o dimensionamento desses elementos, surgiu então a neessidade da informatização dos proessos de álulo. Neste sentido o presente trabalho tem por objetivo prinipal desenvolver um ódigo omputaional, apaz de dimensionar pilares esbeltos de onreto armado om seção retangular submetido à flexão obliqua omposta. O ódigo de dimensionamento foi feito seguindo a norma NBR 6118 (ABNT, 014). Para verifiar a qualidade do ódigo foram omparados os resultados om os da literatura. Podese onluir que o ódigo teve resultados satisfatórios, visto que houve uma diferença aeitável entre os mesmos. Palavras-have: Dimensionamento. Pilares esbeltos. Conreto armado.

8 ABSTRACT KOCHEM, Raimundo Fagner F. Desing of slender olumns of reinfored onrete with retangular setion subjeted to bending oblique omposed p. Trabalho de Conlusão de Curso (Baharelado em Engenharia Civil) Universidade Tenológia Federal do Paraná. Campo Mourão, 015. The study of reinfored onrete strutures has shown that the non-linear behavior of steel and onrete materials greatly influenes the design of the elements of a struture. Due to the great work for the alulation of these elements, then ame the need for omputerization alulation proedures. Therefore, the present work has the main objetive to develop a omputer ode apable to dimension slender olumns of reinfored onrete with retangular setion subjeted to the omposite oblique bending. The design ode was made by following the NBR 6118 (ABNT, 014). To hek the ode quality were ompared the results with the literature. It an be onluded that the ode has proved satisfatory sine there was an aeptable differene between them. Keywords: Design. Slender olumns. Reinfored onrete.

9 LISTA DE QUADROS Quadro 1 Resultados da distribuição de momentos em torno do eixo x Quadro Resultados da distribuição de momentos em torno do eixo y Quadro 3 Resultados do pilar Quadro 4 Resultados do pilar Quadro 5 Resultados do pilar Quadro 6 Comparação entre os métodos para o pilar Quadro 7 Comparação entre os métodos para o pilar

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Posição dos pilares em edifíios Figura Diagrama tensão deformação do aço Figura 3 Diagrama tensão deformação do onreto Figura 4 Domínios de deformação Figura 5 Linha elástia de uma viga fletida Figura 6 Linha elástia do pilar padrão... 0 Figura 7 Dados do pilar Figura 8 Dados do pilar Figura 9 Dados do pilar Figura 10 Dados do pilar

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 3 OBJETIVOS OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICATIVA REFERENCIAL TEÓRICO CONSIDERAÇÕES SOBRE PILARES CLASSIFICAÇÕES DOS PILARES Quanto à sua posição Pilares Intermediários Pilares de Extremidade Pilares de Canto Quanto à Sua Função Estrutural Pilar de Contraventamento Pilares Contraventados Quanto à sua esbeltez segundo a NBR 6118 (ABNT, 014) Pilares urtos ( λ λ1) Pilares medianamente esbeltos ( λ 1 < λ 90 ) Pilares esbeltos ( 90 < λ 140 ) Pilares muito Esbeltos ( λ 00 ) CONCEITOS BÁSICOS Linearidade e Elastiidade Não Linearidade Físia Não Linearidade Geométria Comportamento do Aço Comportamento do Conreto Fluênia Domínios de Deformação Equação Diferenial da Linha Elástia Pilar Padrão MÉTODOS Pilar Padrão om Curvatura Aproximada Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r Diagrama M-1/r Esforços Resistentes da Seção Rigidez da Seção Distribuição de Deformações Verifiação do Estado Limite Último Dimensionamento à Flexão Composta Obliqua RESULTADOS E DISCUSSÕES Pilar Padrão om Curvatura Aproximada e Pilar Padrão Rigidez κ Aproximada Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r Comparação entre os métodos

12 7 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 4 APÊNDICE A Interfae Visual do Programa P-Dim APÊNDICE B Fluxograma do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada APÊNDICE C Fluxograma do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada APÊNDICE D Fluxograma do Diagrama M-1/r... 47

13 3 1 INTRODUÇÃO O estudo das estruturas de onreto armado tem mostrado que o omportamento não linear físio e geométrio tem grande influênia no dimensionamento de tais estruturas. Essas não linearidades podem gerar a perda de rigidez da estrutura e arésimo de esforços. Tanto a não linearidade dos materiais, aqui hamada de não linearidade físia quanto a não linearidade geométria tem grande importânia no dimensionamento de alguns elementos ou da estrutura omo um todo. Com isso, é neessário a onsideração das não linearidades no dimensionamento dessas estruturas. Nos pilares as não linearidades podem ser onsideradas de forma aproximada ou rigorosa. A não linearidade físia de forma aproximada pode ser onsiderada através da urvatura aproximada ou da rigidez κ aproximada. A onsideração de forma rigorosa é feita utilizando o diagrama M-1/r, através dele é possível obter a rigidez real do elemento. Para a onsideração da não linearidade geométria de forma aproximada utiliza-se o pilar-padrão. Já para a onsideração rigorosa da não linearidade geométria usa-se os método P-. Atualmente a norma brasileira de dimensionamento de onreto armado NBR 6118 (ABNT, 014) Projeto de Estruturas de Conreto Proedimento dispõe de quatro métodos de álulo para o dimensionamento de pilares em onreto armado em função da esbeltez: Pilar Padrão om Curvatura Aproximada, Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada, Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama (M-N-1/r) e o Método Geral. Os métodos aproximados possuem solução analítia direta e representam o omportamento dos pilares até erto limite de esbeltez. Os dois útimos métodos, mais refinados e não dispõe de expressões om solução analítia, tornando inviável o álulo manual. Devido ao grande trabalho para o álulo desses elementos, surgiu então a neessidade de automatizar estes proessos. A solução enontrada foi a implementação omputaional dos proessos de álulo. Deste modo, o presente trabalho tem por objetivo prinipal desenvolver um ódigo omputaional, apaz de dimensionar pilares esbeltos de onreto armado om seção retangular submetido à flexão obliqua omposta.

14 4 OBJETIVOS.1 OBJETIVO GERAL Desenvolver um ódigo omputaional apaz de dimensionar pilares esbeltos em onreto armado om seção retangular de aordo om a NBR 6118 (ABNT, 014), utilizando os métodos do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada, Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada e Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama (M-N- 1/r).. OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Implementar uma rotina omputaional para dimensionar pilares retangulares submetidos à Flexão Obliqua Composta pelo método do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada; - Implementar uma rotina omputaional para dimensionar pilares retangulares submetidos à Flexão Obliqua Composta pelo método do Pilar Padrão om κ Aproximada; - Implementar uma rotina omputaional para dimensionar pilares retangulares submetidos à Flexão Obliqua Composta pelo método do Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r; - Comparar os resultados obtidos om exemplos da literatura para validação do ódigo omputaional; - Apresentar uma revisão literária a respeito dos métodos de álulo;

15 5 3 JUSTIFICATIVA Os métodos de análises das estruturas vem permitindo representar melhor o seu omportamento meânio, isso proporiona elementos ada vez mais esbeltos. Porém estas análises são rigorosas e trabalhosas, assim o dimensionamento se torna inviável manualmente. A análise não linear de elementos de onreto armado esta ada vez mais onstante no dimensionamento das estruturas. Atualmente existem vários softwares que disponibilizam essa e outros tipos de análises. A utilização da análise não linear no dimensionamento de estruturas de onreto armado é importante devido ao omportamento do onreto armado ser não-linear, om isso a simulação do omportamento de uma estrutura é mais realista. Nos métodos de álulo que utilizam a análise não linear os resultados obtidos são muito mais realistas, tornando a estrutura mais eonômia. Visando otimizar o proesso de dimensionamento dos elementos estruturais surgiu a ideia de informatizar esses proessos de álulo. Assim o presente trabalho visa implementar uma ferramenta omputaional que auxilie no dimensionamento de pilares esbeltos de onreto armado om seção retangular, utilizando os métodos do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada, Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada e Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r.

16 6 4 REFERENCIAL TEÓRICO 4.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE PILARES Os pilares geralmente estão assoiados ao sistema laje-viga-pilar e formam os pórtios, que nos edifíios são os responsáveis por resistir às ações vertiais e horizontais, além de garantir a estabilidade global da estrutura. A NBR 6118 (ABNT, 014) estabelee que, independente da forma da seção transversal, os pilares não devem apresentar dimensões menores que 19 m, porém, em asos espeiais permite-se a utilização de medidas entre 14 m e 19 m, desde que no dimensionamento se multiplique os esforços finais de álulo por um oefiiente adiional γ n. 4. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES 4..1 Quanto à sua posição Os pilares podem ser lassifiados de aordo om a sua posição que oupam em planta, omo: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de anto Pilares Intermediários Geralmente enontram-se no interior do pavimento, onde vigas apoiam-se em seus quatro lados fazendo om que o momento fletor resultante devido às ações vertiais seja pratiamente nulo, sendo assim, admite-se que seja submetido a uma ompressão entrada.

17 7 Este tipo de lassifiação só faz sentido para uma análise através de modelos simplifiados, em uma análise tridimensional onsiderando a ação do vento ertamente oorrerão momentos fletores no pilar Pilares de Extremidade Loalizado no ontorno do pavimento, admite-se que o pilar de extremidade é submetido à flexão normal omposta quando onsideradas apenas às ações vertiais Pilares de Canto Loalizado nos vérties do pavimento, além da força normal de ompressão, onsideram-se os momentos transmitidos pelas vigas, portanto, admite-se que o pilar de anto é submetido à flexão oblíqua omposta. A Figura 1 ilustra a lassifiação dos pilares quanto a sua posição. Figura 1 Posição dos pilares em edifíios. Fonte: Fuso (1981).

18 8 4.. Quanto à Sua Função Estrutural Pilar de Contraventamento São pilares que assoiados a vigas e lajes formam painéis de ontraventamento do tipo pórtio ou pilares parede isolados que formam painéis paredes. São responsáveis por resistir aos esforços oriundos da força horizontal do vento e das ações gravitaionais. Os elementos de ontraventamento são onstituídos por pilares de grandes dimensões (pilares-parede ou simplesmente paredes estruturais), por treliças ou pórtios de grande rigidez, núleos de rigidez, et. (BASTOS, 005, p.11) 4... Pilares Contraventados São pilares pouo rígidos, mas om suas extremidades pratiamente indesloáveis no plano horizontal devido ao efeito do ontraventamento dado pelos painéis de ontraventamento Quanto à sua esbeltez segundo a NBR 6118 (ABNT, 014) O índie de esbeltez λ dos pilares é dado pela relação: l e I λ = om i = (1) i A

19 9 Sendo: l e o omprimento equivalente. i o raio de giração. I o momento de ineria da seção de onreto. A a área da seção transversal de onreto. A esbeltez limite λ 1 orresponde ao valor de esbeltez no qual os efeitos de segunda ordem omeçam a ausar redução na resistênia do pilar no Estado Limite Último. A esbeltez limite é dada pela seguinte expressão: Onde. e1 5 +1,5. λ h 1 =, om 35 λ 1 90 () α e 1 / h exentriidade de primeira ordem; b α b oefiiente que depende da distribuição de momentos no pilar; Segundo a NBR 6118 (ABNT, 014) os esforços loais de º ordem em elementos isolados podem ser desprezado quando o índie de esbeltez λ for menor que o valor limite λ Pilares urtos ( λ λ1) O índie de esbeltez é menor que a esbeltez limite para a dispensa dos efeitos de segunda ordem.

20 Pilares medianamente esbeltos ( λ < λ 90 ) 1 São aqueles para os quais podem ser onsiderados os efeitos de segunda ordem por proessos aproximados, a não linearidade geométria pode ser avaliada através do método do pilar padrão, e a não linearidade físia de aordo om o método da rigidez aproximada ou urvatura aproximada Pilares esbeltos ( 90 < λ 140 ) É obrigatório a onsideração dos efeitos de º ordem, a não linearidade geométria pode ser avaliada através do método do pilar padrão, e a não linearidade físia deve ser avaliada através de diagramas Momento Normal Curvatura (M N 1/r) Pilares muito Esbeltos ( λ 00 ) O efeito de segunda ordem deve ser onsiderado, a NBR 6118 (ABNT, 014) exige a onsideração de proessos rigorosos para a verifiação do estado limite de instabilidade, onde a não linearidade geométria é avaliada através do proesso P-, por exemplo, e a não linearidade físia através de diagramas Momento Normal Curvatura (M N 1/r). A NBR 6118 (ABNT, 014) permite que o índie de esbeltez seja maior que 00 para postes ou pilares desde que a força normal seja menor que 10% de A f. d

21 CONCEITOS BÁSICOS Linearidade e Elastiidade Segundo Silva (01) elastiidade é a apaidade que um material possui de retornar à sua forma iniial quando ações sobre ele são retiradas, já a linearidade é dada pela relação linear entre a tensão e deformação Não Linearidade Físia De aordo om Araújo (011) a não linearidade físia é uma araterístia de ada material que gera uma não linearidade entre tensão e deformação. O onreto apresenta esse omportamento para qualquer estágio de arregamento apliado e quando o mesmo enontra-se fissurado há um aumento dessa desproporção. Já no aço, isso oorre somente quando o limite de esoamento é ultrapassado. Em estruturas de onreto armado a não linearidade físia está relaionada om a perda de rigidez dos elementos, suas prinipais ausas são a fissuração do onreto, o deslizamento das armaduras, a plastifiação dos materiais e a fluênia do onreto. (SILVA, 01) Não Linearidade Geométria A não linearidade geométria é resultado da influênia dos desloamentos nos esforços finais, prinipalmente o momento fletor. Na NBR 6118 (ABNT, 014) é hamada de efeito de º ordem. No álulo dos esforços soliitantes de uma

22 1 estrutura deve-se utilizar sua onfiguração deformada, pois proporiona valores de esforços mais realistas (BORGES, 1999). Segundo a NBR 6118 (ABNT, 014) item 15., esses efeitos são relevantes quando apresentam um arésimo superior a 10% nos esforços soliitantes da estrutura Comportamento do Aço O aço é uma liga de ferro e arbono om outros elementos adiionais, os teores de arbono variam de 0,18% a 0,5%. Tem grande apliação na engenharia pelas seguintes araterístias: dutilidade; inombustibilidade; failidade de ser trabalhado; resistênia à tração, ompressão, flexão e torção; resistênia a impato, abrasão e desgaste. (PINHEIRO, 010) A NBR 6118 (ABNT,014) adota o diagrama simplifiado mostrado na Figura para o álulo dos estados limites de serviço e estado limite último, para aços om ou sem patamar de esoamento. Figura Diagrama tensão deformação do aço. Fonte: NBR 6118 (014). A NBR 6118 (ABNT, 014) estabelee que para aço lasse A, os limites de deformações são fixados em 10 para o alongamento espeifio máximo e 3,5 para o enurtamento espeifio máximo.

23 Comportamento do Conreto O onreto é o resultado da assoiação por mistura em quantidades adequadas de imento, água, agregado miúdo e agregado graúdo e por vezes aditivos. Suas propriedades meânias e térmias são iguais em todas as direções, apresenta boa resistênia à ompressão e baixa resistênia à tração, porém, seu omportamento é frágil e rompe om pequenas deformações (PINHEIRO, 010). Para onretos om f k 50 MPa a análise no Estado Limite Último pode ser feita utilizando o diagrama tensão-deformação idealizado pela NBR 6118 (ABNT, 014) mostrado na Figura 3. Figura 3 Diagrama tensão deformação do onreto. Fonte: NBR 6118 (014). O diagrama é omposto por uma parábola de segundo grau om variando de zero a, om ordenada de 0,85 f d e 3,5., e de um treho reto om variando entre

24 Fluênia As deformações nos materiais oasionadas por temperatura elevadas ou tensões meânias apliadas onstantemente por um longo período de tempo são hamadas de fluênia, esse fenômeno pode aarretar numa redução da vida útil de uma peça (CALLISTER, 007). A deformação lenta (fluênia) do onreto exere influênia na deformabilidade de estruturas de onreto armado, pois se soma à deformação imediata oorrida no instante da apliação das tensões. (SILVA, 01, p.47) Segundo Giongo (009) a fluênia do onreto ( parelas de deformação, a rápida ( a ) é omposta por duas ) que é irreversível e a lenta que se ompõe por mais duas parelas, uma irreversível ( f ) e outra reversível ( d ). Dai vem a seguinte expressão: Ou seja: = a + f + d (3),tot = + = ( 1+ ϕ) (4) Com: ϕ = ϕ + ϕ + ϕ (5) a f d Sendo: ϕ a é o oefiiente de fluênia rápida; ϕ f é o oefiiente de deformação lenta irreversível; ϕ d é o oefiiente de deformação lenta reversível;

25 Domínios de Deformação O domínio de deformações mostrado na Figura 4 apresenta as diversas situações que o diagrama de deformações de álulo pode assumir, para a determinação da resistênia de álulo de uma dada seção é neessário onsiderar em qual desses domínios a mesma se enontra. O Estado Limite Último de ruptura é definido na situação de álulo pelas deformações espeifias de álulo do onreto e da armadura. (FUSCO, 1981) Figura 4 Domínios de deformação Fonte: Fuso (1981)

26 16 Reta a: Tração uniforme. O estado limite último é atingido por deformação plástia exessiva da armadura. Toda a seção esta sujeita à mesma deformação; Domínio 1: Tração não uniforme. Toda seção esta traionada. O estado limite último é atingido por deformação plástia exessiva da armadura sd esta fora da seção transversal; = 10. A linha neutra Domínio : Flexão simples ou omposta sem ruptura do onreto a ompressão e om máximo alongamento permitido na armadura seção transversal; sd = 10. A linha neutra orta a Domínio 3: Flexão simples ou omposta om ruptura do onreto a ompressão = 3,5 e esoamento da armadura. A linha neutra orta a seção transversal; Domínio 4: Flexão simples ou omposta om ruptura do onreto a ompressão = 3,5 o aço traionado sem atingir a tensão de esoamento. A linha neutra orta a seção transversal; Domínio 4a: Flexão omposta om armaduras omprimidas e pequena região do onreto traionada. A linha neutra orta a seção transversal na região do obrimento da armadura menos omprimida; Domínio 5: Flexo-ompressão. Compressão não uniforme om toda a seção de onreto omprimida. A linha neutra não orta a seção transversal; Reta b: Compressão uniforme. Toda a seção esta sujeita ao mesmo enurtamento. A linha neutra não orta a seção transversal;

27 Equação Diferenial da Linha Elástia Considera-se uma viga bi-apoiada mostrada na Figura 5. Antes da apliação de uma arga P, o eixo longitudinal da viga é reto, após o arregamento o eixo sofre uma flexão e torna-se urvo. A urva ABC é denominada linha elástia. (TIMOSHENKO, 199) O dθ ρ A v ds P B x x m 1 m dx y Figura 5 Linha elástia de uma viga fletida Fonte: Adaptado Timoshenko (199) Admitido que o material obedeça à Lei de Hooke, a urvatura em uma seção genéria é expressa pela seguinte equação: 1 M = ρ EI (6) Segundo Timoshenko (199) para estabeleer a relação entre a urvatura k e a equação da linha elástia, onsidera-se dois pontos, m 1 e m a uma distânia ds um do outro. Em ada um desses pontos, traça-se uma normal à tangente da urva. Admitindo que a tangente à linha elástia no ponto m 1 faça uma ângulo θ om o eixo x, e no ponto m o ângulo é θ dθ. Dai tem-se que ds = ρdθ e que

28 18 1/ ρ = d θ / ds. Logo a urvatura k é igual a taxa de variação do ângulo θ, em relação à distania s, medida ao longo da linha elástia. 1 κ = = ρ dθ ds (7) Na maioria das apliações prátias as linhas elástias são muito ahatadas devido às pequenas deflexões que a viga sofre, e tanto o ângulo θ quanto a inlinação da urva são muito pequenas, assim pode-se admitir que: ds dx e dv θ tg θ = (8) dx Onde v é a deflexão da viga a partir da sua posição iniial. Substituindo essas expressões em (7), tem-se 1 d θ d v κ = = = (9) ρ dx dx Combinado om a equação (6), tem-se: d v = dx M EI (10) Que é a equação diferenial básia para a linha elástia de uma viga fletida. Porém quando a linha elástia de uma viga tem grande inlinação, não é possível admitir simplifiações dadas pela equação (8), deve-se então utilizar a expressão exata, relaionando a inlinação ' v om o ângulo de rotação θ do eixo da viga. tg θ = v' ou θ = artg v ' (11)

29 19 Assim, 1 κ = = ρ dθ = ds ' d ( artgv ) dx (1) Como ds + = dx dv, vem ds = [ ] 1/ dx 1 dy + = 1+ ( ' ). (13) 1 v dx Como d dx ' v" ( artgv ) =, (14) ' 1+ ( v ) Tem-se 1 κ = = ρ dθ = ds v" [ 1+ ( v' ) ] 3. (15) Podemos desonsiderar o termo (v ' ) pois é muito pequeno, assim à equação simplifiada da linha elástia, que tem a seguinte forma: 1 = ρ d θ = ds v" (16) Pilar Padrão Como itado neste trabalho a NBR 6118 (ABNT, 014) permite o uso métodos aproximado no dimensionamento de pilares. O método do pilar padrão para

30 0 pilares de seção retangulares submetidos à flexão oblíqua pode ser utilizado nas duas direções prinipais quando λ < 90. Segundo Pinheiro (010) por definição, o pilar padrão é um pilar em balanço om distribuição de urvaturas que provoque na sua extremidade livre uma fleha a dada pela seguinte equação: l a = 0,4. r base le 1 =. 10 r base (17) A linha elástia do pilar mostrada na Figura 6 é onsiderada senoidal e expressa pela equação (18). Figura 6 Linha elástia do pilar padrão Fonte: Pinheiro (010) π y = a. sen. x l (18) Assim, tem-se: ' π π y = a.. os. x l l e '' π π y = a.. sen. x l l (19)

31 1 Como: 1 d y dx r (0) Para a x = l, tem-se: 1 r = ( y ) '' x= l x= l l π = a. (1) Assim, a fleha máxima é: e l 1 a =. () π r x= l No aso de um pilar em balanço, tem-se: le 1 a =. 10 r base (3) O momento de ordem pode ser obtido através da equação (4). M, base = N. a (4) Substituindo (3) em (4), tem-se: le 1 M, base = N.. (5) 10 r base

32 5 MÉTODOS Para o dimensionamento dos pilares foi implementado uma rotina omputaional na linguagem Pasal, utilizando a IDE Integrated Development Enviromment Lazzarus seguindo as reomendações de álulo da NBR 6118 (ABNT, 014). A interfae visual do programa enontra-se disponível no Apêndie A deste trabalho. 5.1 Pilar Padrão om Curvatura Aproximada O método do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada é utilizado para pilares om λ 90, seção onstante e armadura simétria e onstante ao longo de seu eixo. Ele onsidera a não linearidade geométria de forma aproximada, supondo que a deformada da barra possa ser representada por uma urva senoidal. A não linearidade físia é onsiderada através da expressão aproximada da urvatura na seção mais rítia. A urvatura na seção rítia é avaliada pela expressão: Sendo: 1 0,005 0,005 = r h.( ν + 0,5) h om N = A. f h a altura da seção na direção onsiderada; ν a força normal adimensional; N d a força normal de álulo; A a área da seção de onreto; d ν (6) f d a resistênia a ompressão de álulo do onreto; d

33 3 O momento total máximo é obtido através da seguinte expressão: Sendo: M d, A l 1 = α (7) 10 r e M d, tot b. M 1d, A + N d.. M 1d, A 1 o valor de álulo do momento de 1 ordem; α b o oefiiente que depende da distribuição de momentos no pilar; l e o omprimento equivalente; 1 a urvatura na seção rítia; r N d a força normal de álulo; Com o valor do momento total alulado é neessário alular os esforços adimensionais, eles são obtido pelas seguintes expressões: N = A. f d ν (8) d Sendo: µ o momento adimensional; ν a normal adimensional; M d, tot µ = (9) A. h. f d deste trabalho. O fluxograma deste método de álulo enontra-se disponível no Apêndie B

34 4 5. Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada O método do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada é utilizado para pilares om λ 90, seção onstante e armadura simétria e onstante ao longo de seu eixo. A não linearidade geométria é onsiderada supondo que a deformada da barra possa ser representada por uma urva senoidal. Porém a não linearidade físia é onsiderada através da expressão aproximada da rigidez. A rigidez adimensional é dada pela expressão: M Rd, tot κ = ν. h N d N d om ν = (30) A. f d O momento total máximo é alulado utilizando a seguinte expressão: α M b 1d, A M d, tot = M 1d, A λ κ ν (31) O álulo do momento total só é possível através de tentativas, uma vez que é neessário o valor da rigidez κ para o álulo do momento total M d, tot, e para o álulo da própria rigidez κ utiliza-se o valor do M d, tot. Porém no aso de dimensionamento esse proesso reai em uma formulação direta dada pela seguinte expressão: A. M Sd tot + B. M Sd, tot + C, = 0, onde A = 5. h N d. le B = h. N d 5. h. α b. M 1, da (3) 30 C = N d. h. α b. M 1d, A M b + b 4. a. = (33) a Sd, tot.

35 5 Com o valor do momento total alulado e utilizando as equações (8) e (9) itadas no item 5..1 deste trabalho obtemos os esforços adimensionais. O fluxograma da rotina deste método de álulo enontra-se disponível no Apêndie C deste trabalho. 5.3 Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r O método do Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r é apliável apenas para pilares om λ 140. Ele onsidera a não linearidade geométria através do método do pilar padrão, supondo que a deformada da barra seja uma urva senoidal. Porém a não linearidade físia é onsiderada através da urvatura da seção rítia, essa urvatura é proveniente do diagrama M-1/r. O álulo do momento total é feito utilizando a seguinte expressão: α bm 1d, A EI se M d, tot = om κ = (34) λ A. h. f 1 d 10. κ ν Diagrama M-1/r O diagrama M-1/r é utilizado para onsiderar a não linearidade físia de forma rigorosa no dimensionamento de elementos de onreto armado. A onstrução do diagrama só é viável através de ódigos omputaionais ou planilhas eletrônias uma vez que é neessário um grande quantidades de operações matematias. O proesso de onstrução pode variar onforme a bibliografia utilizada, porém as ideias fundamentais são as mesmas. Neste trabalho foi adotada as equações utilizadas por Mendes Neto (009). Na onstrução do diagrama deve-se atentar-se a verifiação das deformações nos materiais e os limites de deformações deve respeitar os domínios

36 6 de deformações. Primeiro se obtém o valor do momento resistente último ( M ) utilizando a tensão do onreto om σ σ d =1,10 f d, M r /1, 10 e N r /1, 10 momento resistente último. d = 0,85 f d. Então se onstrói o diagrama om, obtendo as urvaturas sem ultrapassar o valor do Deve-se fazer algumas observações para que não haja qualquer dúvida ou equívoo ao deorrer do trabalho. Quando as deformações assumirem valores negativos signifia que estas estão sofrendo um alongamento, e quando positivas um enurtamento. Por uma questão de failidade os valores das deformações são representadas em por mil, isto é, quando se tem uma deformação = na verdade seu valor real é 0,00. O fluxograma do proesso de onstrução do diagrama enontra-se disponível no Apêndie D deste trabalho. r 5.3. Esforços Resistentes da Seção Para desenvolver o diagrama é neessário alular os esforços resistentes da seção de onreto armado, ele é a soma do esforço resistente da armadura e o esforço resistente do onreto. Assim temos: N = N + N (35) r r s s M = M + M (36) Os esforços resistentes da armadura são obtidos pelos seguintes somatórios: n N s = σ. A (37) i= 1 si si M s = n i= 1 σ. y. A (38) si si si

37 7 Onde. σ si é a tensão no CG da amada das barras; A si é a área de aço total da amada i ; y si é a distânia entre o CG da amada de aço e o CG da seção; A tensão σ si é dada pela seguinte expressão: Onde. σ = α( ). f (39) α ( si ) é o adimensional da tensão do aço; f yd é a tensão de esoamento do aço; si si yd ondições: O álulo do adimensional da tensão α ) é dado pelas seguintes ( si 1 yd α( ) = yd (40) yd 1 yd Onde. é a deformação da amada de aço; yd é a deformação limite do aço; A deformação si da amada é dado por: Sendo. = + k. si 0 y (41) si 0 é a deformação em um ponto da seção.

38 8 k é a urvatura da seção. Os esforços resistentes do onreto são obtidos pelas seguintes ondições. N b I 0 ; = k σ ( 0 ) A ; t b b = b (4) M b ( I I ); t b = k (43) 0; b = b Onde. t é a deformação no topo da seção. b é a deformação na base da seção. expressões: A deformação no topo e na base da seção é obtida pelas seguintes Onde. = + k. t 0 y (44) t = + k. b 0 y (45) b y t é a distânia do CG da seção ao topo da seção. y b é a distânia do CG da seção ate base da seção. O diagrama tensão-deformação de álulo do onreto é dado pelas seguintes ondições: 0 0 (4 ) σ ( ) = σ d 0 (46) 4 σ d

39 9 Sua derivada é dada por < = 0 ) ( 0 0 σ d ou D (47) Os valores de 0 I e 1 I é dado pelas diferenças. ) ( ) ( b t I I I = (48) ) ( ) 1( 1 1 b t I I I = (49) O álulo de 0 I e 1 I é feito através das seguintes ondições: = ) ( 0 σ σ d d I (50) = ) ( 3 1 σ σ d d I (51) Rigidez da Seção A rigidez de uma seção de onreto pode ser expressa pela seguinte matriz.

40 30 R = D( ) dxdy D( ) ydxdy D( ) ydydx EA ˆ = D( ) y dxdy ES ˆ ES ˆ EI ˆ (5) Que é a matriz de rigidez. Análogo aos esforços resistentes a rigidez da seção também pode ser alulada separadamente. Assim tem-se que. R = R s + R (53) seguir. Para o aço podemos alular suas rigidez através dos somatórios dado a EA ES s s = = n i= 1 n i= 1 D D si si. A (54) si si. y. A (55) si EI s = n i= 1 D si. y A (56) si. si Onde da seguinte expressão: D si é a derivada da tensão na amada de aço e é alulada através ' D = α ( ). f (57) si si yd ' O valor de α ( ) é alulado através das seguintes ondições. si 0 ' α ( ) = 1 yd A rigidez do onreto é obtida pelas seguintes ondições. yd yd (58) EA b J 0 ; = k D ( 0 ) A ; t b b = b (59)

41 31 ES b ( J I ); t 1 0 b = k (60) 0; b = b EI b [( J ( I 3 k = 3 bh D ( 0 ) ; 1 1 I 0 0 )]; t b b = b (61) Onde. J ) n n ( ) = σ ( t ).( 0 (6) J = J ) J ( ) (63) n n ( t n b Após o alulo das rigidezes separadas do aço e do onreto podemos soma-las obtendo então: Eˆ A = EA ˆ + Eˆ (64) A s Eˆ S = ES ˆ + Eˆ (65) S s Eˆ I = EI ˆ + Eˆ (66) I s Substituindo as expressões (63), (64) e (65) em (5), o determinante da matriz das rigidezes é: R ˆ ˆ ˆ = EA. EI ( ES) (67) Distribuição de Deformações A distribuição de deformações deve ser é atualizada a ada interação, isso é feito através das seguintes expressões:

42 3 [ EI ˆ ( N N ) ES ˆ ( M M )] d r d r (68) R [ ES ˆ ( N N ) + EA ˆ ( M M )] 1 k k + d r d r (69) R Verifiação do Estado Limite Último É neessário fazer a verifiação da distribuição de deformações da seção, isto é, se a distribuição de deformações não ultrapassa os valores limites. Essa verifiação deve ser feita a ada interação. Para isso utiliza-se as seguintes ondições. = menor entre (, ) (70) min b t = maior entre (, ) (71) max b t min 10 (7) 3,5 (73) max 4 max min (74) É neessário também verifiar a rigidez da seção, pois se a mesma assumir valores muito próximos de zero signifia que a seção transversal não resiste aos esforços apliados. Assim temos a seguinte ondição. R > t (75) Onde t é um valor próximo de zero. O fluxograma para onstrução do diagrama M-1/r enontra-se disponível no Apêndie D deste trabalho Dimensionamento à Flexão Composta Obliqua Segundo a NBR 6118 (ABNT, 014) item nas situações de flexão oblíqua, simples ou omposta, pode se adotada a aproximação dada pela expressão:

43 33 Onde. M Rd, x e Rd y M M Rd, x Rd, xx α M + M Rd, y Rd, yy α = 1 M, são os momentos resistentes de álulo em FCO, (76) om N = N ; Rd Sd M Rd, xx e Rd yy o mesmo valor de M, são os momentos resistentes de álulo em FCN, om N Rd ; α é o fator de forma, para seção retangulares α =1, ;

44 34 6 RESULTADOS E DISCUSSÕES Para verifiar a preisão do programa foram testados alguns exemplos da literatura. Os resultados obtidos são mostrados nos itens a seguir: 6.1 Pilar Padrão om Curvatura Aproximada e Pilar Padrão Rigidez κ Aproximada. Para validar os resultados do programa para os métodos do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada e Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada foi omparado os resultados obtidos pelo programa P-Dim om os exemplos da seção 15 do livro Comentários Ténios e Exemplos de Apliação NB-1, publiado pelo IBRACON (007). O pilar utilizado é mostrado na Figura 7. Ele tem seção transversal retangular 0 m x 60 m, bi-apoiado om omprimento equivalente l e = 3, 0m e submetido a uma força normal de álulo N sd =. 100kN. O onreto possui resistênia araterístia a ompressão de f k = 30MPa. =.100 y 60 x 0 Figura 7 Dados do pilar. Fonte: Adaptado IBRACON (007)

45 35 Os quadros 1 e apresentam as distribuições de momentos utilizados e os resultados obtidos pelo programa P-Dim e os obtidos pelo IBRACON (007). Mx (kn.m) Curvatura Aproximada Rigidez κ Aproximada Ibraon Topo Base µ topo µ entro µ base µ topo µ entro µ base µ topo µ entro µ base ,0453 0,059 0,059 0,0453 0,0195 0,059 0,0454-0, ,0453 0,059 0,059 0,0453 0,0195 0,059 0,0454 0,0195 0, ,0453 0,059 0,059 0,0453 0,0195 0,059 0,0454 0,0195 0,059 Quadro 1 Resultados da distribuição de momentos em torno do eixo x. My (kn.m) Curvatura Aproximada Rigidez κ Aproximada Ibraon Topo Base µ topo µ entro µ base µ topo µ entro µ base µ topo µ entro µ base ,097 0,1786 0,1166 0,097 0,0863 0,1166 0,097-0, ,1786 0, ,118 0, ,118 0, ,097 0,1786 0,1166 0,097 0,1669 0,1166 0,097 0,1670 0,1167 Quadro Resultados da distribuição de momentos em torno do eixo y. Comparando os resultados obtidos no P-Dim utilizando o método do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada om os da IBRACON (007) a disrepânia é muito pequena, em muitos asos os resultados são ate iguais, isso sé dá ao fato dos exemplos resolvidos pela IBRACON (007) que também utiliza o método do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada. Quando omparado os resultados obtidos no P-Dim utilizando o método do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada om os da IBRACON (007) há um diferença onsiderável, isso se deve ao fato de que o método da urvatura aproximada é mais onservador que o da rigidez aproximada.

46 36 6. Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r. Para o método do Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r Curvatura Aproximada foi omparado os resultados obtidos pelo programa P-Dim om os exemplos da apostila do urso Cálulo de Pilares de Conreto Armado, publiado pela ABECE (014). O primeiro pilar utilizado é mostrado na Figura 8. Ele tem seção transversal retangular 65 m x 5 m, obrimento de 3 m, estribo om diâmetro de 5 mm, biapoiado om omprimento equivalente l e = 6, 4 m esta submetido a uma força normal de álulo N sd = 840 kn. O onreto possui resistênia araterístia a ompressão de f k = 0 MPa, o aço é do tipo CA50. A onfiguração da armadura é 6 barras de 1,5 mm. 48 kn.m kn.m CA50 6φ1,5 Figura 8 Dados do pilar 1. Fonte: Adaptado ABECE (014) O quadro 3 apresenta os resultados obtidos pelo programa P-Dim e os obtidos pela ABECE (014).

47 37 P-Dim ABECE Diferença (%) Momento Resistente último (kn.m) 80,0 84,0 5,0 Curvatura (m -1 ) 0,0156 0,0167 7,0 Momento total máximo (kn.m) 57,70 61,0 5,7 Quadro 3 Resultados do pilar 1. O segundo pilar utilizado é mostrado na Figura 9. Ele tem seção transversal retangular 65 m x 35 m, obrimento de 3 m, estribo om diâmetro de 5 mm, biapoiado om omprimento equivalente l e = 7, 5 m e está submetido a uma força normal de álulo N sd = 300 kn. O onreto possui resistênia araterístia a ompressão de f k = 0 MPa, o aço é do tipo CA50. A onfiguração da armadura é 1 barras de 0,0 mm kn.m CA50 1φ0 0 kn.m Figura 9 Dados do pilar. Fonte: Adaptado ABECE (014) O quadro 4 apresenta os resultados obtidos pelo programa P-Dim e os obtidos pela ABECE (014).

48 38 P-Dim ABECE Diferença (%) Momento Resistente último (kn.m) 141,0 135,0 4,4 Curvatura (m -1 ) 0,0041 0,00401,74 Momento total máximo (kn.m) 116,0 118,1 1,81 Quadro 4 Resultados do pilar. O tereiro exemplo utilizado é do livro Conreto Estrutural Avançado, de Mendes Neto (009). O pilar utilizado é mostrado na Figura 10. Ele tem seção transversal retangular 0 m x 3 m, obrimento de 4 m, estribo om diâmetro de 5 mm. Esta submetido a uma força normal de álulo N sd = 1.165, 7 kn. O onreto possui resistênia araterístia a ompressão de f k = 30 MPa, o aço é do tipo CA50. A onfiguração da armadura é 6 barras de 10,0 mm. Figura 10 Dados do pilar 3. Fonte: Adaptado Mende Neto (009) O quadro 5 apresenta os resultados obtidos pelo programa P-Dim e os obtidos por Mendes Neto (009).

49 39 P-Dim Mendes Neto (009) Diferença (%) Momento Resistente Último (kn.m) 34,09 34,0 0,6 Curvatura (m -1 ) 0, , ,0 Quadro 5 Resultados do pilar 3. Comparando os resultados do P-Dim om os exemplos da ABECE (014) nota-se que houve pequenas diferenças. Com isso, o desempenho do programa se mostrou satisfatório. Quando omparamos o P-Dim om exemplos do Mendes Neto (009) o programa mostrou melhor desempenho, om diferenças que não hegam nem a 1%. Como menionado neste trabalho, a onstrução do diagrama pode variar onforme a bibliografia utilizada, porém, as ideias fundamentais são as mesmas. Isso explia a diferença nos resultados, uma vez que a metodologia utilizada neste trabalho é de Mendes Neto (009) e o software usado pela ABECE (014) é o TQS. Sendo assim os resultados obtidos são satisfatórios. 6.3 Comparação entre os métodos. Para uma omparação entre os métodos apresentados neste trabalho foram dimensionados os pilares 1 e pelos três métodos, os resultados são mostrados nos quadros 6 e 7.

50 40 Momento total (kn.m) Pilar Padrão om Curvatura Aproximada 88,0 Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada 74,1 Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r 61,0 Quadro 6 Comparação entre os métodos para o pilar 1. Momento total (kn.m) Pilar Padrão om Curvatura Aproximada 8,0 Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada 11,0 Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r 118,1 Quadro 7 Comparação entre os métodos para o pilar. Analisando os quadros 6 e 7 pode-se notar que a maneira om que se onsidera as não linearidade nos elementos pode superestimar os esforços finais. Os métodos Pilar Padrão om Rigidez Aproximada e o om Curvatura Aproximada por onsiderarem a não linearidade de forma não rigorosa tiveram valores de momentos totais muito além do que o Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r. Se ompararmos somente os métodos aproximados o Pilar Padrão om Curvatura Aproximada se mostrou o mais onservador, obtendo momentos totais om diferença que hega ate 18%.

51 41 7 CONCLUSÃO Ao longo dos anos, a Engenharia Civil tem desenvolvido métodos de análise ada vez mais preisos, porém omplexos e inviável de utiliza-los manualmente. Assim a solução enontrada foi a informatização dos métodos de álulo. A riação do P-Dim também tem omo objetivo ontribuir para o desenvolvimento de novos programas na área do dimensionamento de pilares de onreto armado. Os métodos do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada e o método do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada possuem solução direta e representam bem a estrutura ate erto limite de esbeltez. A onsideração das não linearidades é de forma não rigorosa o que torna os valores de esforços maiores que métodos mais refinados. A omparação entre os resultados obtidos pelo programa e a literatura mostrou disrepânias muito pequenas, e em alguns aso essas diferenças foram zero. O método do Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r não possui solução direta, a não linearidade geométria é onsiderada através do pilar padrão e a não linearidade físia pela urvatura na seção mais rítia obtida pelo diagrama M-1/r. A onstrução do diagrama só é viável om o auxilio de ódigos omputaionais ou planilhas eletrônias uma vez que é neessário um grande quantidades de operações matemátias. A omparação entre os resultados obtidos pelo programa P-Dim om exemplos mostrou-se satisfatório. Desse modo, o método do Pilar Padrão Aoplado ao Diagrama M-1/r mostrose mais preiso entre os três métodos omparados. Mesmo sendo de grande trabalho o desenvolvimento de programas voltados para a área da engenharia, gera grandes benefíios, omo a redução no tempo de exeução dos álulos e também a minimização dos erros.

52 4 8 REFERÊNCIAS Kimura, A. Cálulo de Pilares de Conreto Armado. São Paulo, SP: ABECE, 014. ARAÚJO, José Milton. Pilares esbeltos de onreto armado. Parte 1: Um modelo não linear para analise e dimensionamento. Revista Teoria e Pratia na Engenharia Civil, Rio Grande, n. 18, p.81-93, nov Disponível em: < >. Aesso em: 0 Nov ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Conreto - Proedimentos. Rio de Janeiro, 014. BASTOS, Paulo Sergio dos Santos et al. Pilares de Conreto Armado. Bauru, 005. BORGES, Ana Claudia Leão. Análise de pilares esbeltos de onreto armado soliitados a flexo-ompressão oblíqua f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Esola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 00. Disponível em:< >. Aesso em: 30 Nov CALLISTER JR, Willian D. Ciênia e Engenharia de Materiais: Uma Introdução. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Ténios e Científios S. A., 00. FUSCO, P. B. Estruturas de Conreto: Soliitações Normais. Rio de Janeiro. LTC Livros Ténios e Científios S. A., GIONGO, José Samuel dos Santos. Conreto Armado: Introdução e propriedades dos materiais. São Carlos, 009. IBRACON. Comentarios Tenios e Exemplos de Apliaçao da NB-1 NBR- 6118:003 Projeto de Estruturas de Conreto - Proedimentos. São Paulo, SP: Ibraon, p.

53 43 MENDES NETO, F. Conreto Estrutural Avançado: Análise de Seções Transversais Sob Flexão Normal Composta. São Paulo. Pini, 009. PINHEIRO, Libânio Miranda et al. Fundamentos do onreto e projeto de edifíios. São Carlos, 010. SILVA, Aline Alessandra E.F. Contribuição ao estudo da não-linearidade físia em vigas de onreto armado f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 011. Disponível em: < rta%c3%a7%c3%a3o%0de%0mestrado.pdf >. Aesso em: 15 Out TIMOSHENKO, Stephen. Meânia dos Sólidos. 1 ed. Rio de Janeiro. LTC Livros Ténios e Científios S. A., 1994.

54 APÊNDICE A Interfae Visual do Programa P-Dim 44

55 45 APÊNDICE B Fluxograma do Pilar Padrão om Curvatura Aproximada Iníio Cálulo da Esbeltez λ, expressão (1) Cálulo da Esbeltez Limite λ1, expressão () Verifiação de Ordem (λ<λ1) Cálulo da Curvatura Aproximada, expressão (6) Cálulo do Momento Total, expressão (7) Cálulo da Normal Adimensional, expressão (8) Cálulo do Momento Adimenional, expressão (9) Fim

56 46 APÊNDICE C Fluxograma do Pilar Padrão om Rigidez κ Aproximada Iníio Cálulo da Esbeltez λ, expressão (1) Cálulo da Esbeltez Limite λ1, expressão () Verifiação de Ordem (λ<λ1) Cálulo da Rigidez κ Aproximada, expressão (30) Cálulo do Momento Total, expressão (31) Cálulo da Normal Adimensional, expressão (8) Cálulo do Momento Adimenional, expressão (9) Fim

57 47 APÊNDICE D Fluxograma do Diagrama M-1/r Iníio 0=0 ; k=0 si, σsi, Dsi, Ns, Ms, expressões (41),(39),(57),(37) e (38) t, b, σ, D, N, M, expressões (44),(45),(46),(47),(4) e (43) Não Nr<Nd 0=0+ 0, expressão (68) k=k+ k, expressão (69) Não Deformaçoes obedeem o ELU? Calular EI, ES, EA, expresses (66), (65) e (64) R < t Não Sim Fim