CAPÍTULO VI ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE N RD E e O PARA DETERMINADO a

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1 CAPÍTULO VI ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE N RD E e O PARA DETERMINADO a

2 6. Análise da Relação Entre N Rd e e o para Determinado a 6.. Introdução Um processo iterativo muito repetitivo na determinação das deformações correspondentes ao terno de solicitações N Sd, M Sxd e M Syd, é o da determinação da deformação ε o que corresponda a uma força normal resistente igual à força normal solicitante (N Rd = N Sd ) sendo dada a inclinação da linha neutra(α). Essa pesquisa algumas vezes é feita no estado limite último, onde se impõe uma segunda deformação (ε c,máx, ε x5 ou ε s,lim ) que caracterize o estado limite último. Neste caso a curvatura é dada por: r α ε = c, máx v ε máx o com ε cmáx = ε cu (6.) r α ε = v x5 máx ε o x 5 com ε x5 = ε c (6.) ou ε o ε = r d v α s s, mín máx com ε s,mín = ε su (6.3) A figura 6. esclarece os termos utilizados nas expressões acima. A expressão que fornecer o menor valor determina a curvatura. εc,máx=ε cu εc,máx εc,máx vmáx εx5=ε c x5 h α εo εo εo ds εs,mín,= εsu Figura 6. - Diagramas de deformações que definem a curvatura para dado ε o no Estado Limite Último VI -

3 Para o diagrama de deformações definido por ε o e por /r α, resultam determinados os esforços internos resistentes N Rd, M Rxd e M Ryd conforme o capítulo 5. A seqüência do processo iterativo é seguir arbitrando valores para α e ε o e calculando os esforços internos resistentes até que se tenha N Rd = N Sd, M Rxd = M Sxd e M Ryd = M Syd. Outras vezes as solicitações N Sd, M Sxd e M Syd não levam a seção ao estado limite último. Neste caso, não se tem definida uma segunda deformação para determinar a curvatura. O procedimento que está sendo adotado neste trabalho é, por tentativas encontrar o valor de uma variável k curv que multiplicada pela curvatura do estado limite último forneça uma curvatura que corresponda ao momento resistente total igual ao momento solicitante total. Esses momentos são: M = M + M (6.4) Sd Sxd Syd M = M + M (6.5) Rd Rxd Ryd É de se destacar do que foi exposto acima que para se determinar a seção deformada se tem três incógnitas fundamentais, todas obtidas por tentativas em processos iterativos. Essas três incógnitas fundamentais são: a) inclinação da linha neutra, α; b) deformação longitudinal no centro de esforços, ε o e c) curvatura, /rα. Na seqüência deste capítulo é analisada a relação entre a deformação ε o e a força normal resistente, N Rd, para que se possa estabelecer um critério para criar o processo iterativo para, dado α, obter ε o correspondente à N Rd = N Sd. Ainda será considerado neste capítulo que a curvatura ou é a do estado limite último ou outro valor que neste capítulo será considerado conhecido. Nos capítulos seguintes serão analisados: a) a relação entre a inclinação α da linha neutra e a inclinação θ do eixo de solicitação; b) critério para determinar a curvatura (/r α ) que corresponda ao momento M Rd = M Sd. 6.. No Estado Limite Último VI -

4 Os esforços resistentes no Estado Limite Último serão calculados com base nas definições dos domínios de deformações da NBR 68:004. A figura 6. define esses domínios. d Alongamentos Encurtamentos ε c ε cu B a x 5 d C b h A 4a ε s,lim Figura 6. Definição dos domínios de deformação da NBR 68:004. ε yd Segundo a NBR 68:004: ε c =,0 %o ε cu = 3,5 %o ε s,lim = -0%o Na figura 6. se chamou x 5 a ordenada do ponto de deformação ε c na passagem do domínio 4a para o domínio 5, fazendo referência ao domínio 5. Com ε cu = 3,5 %o, resulta x 5 = 3/7h. Considere-se a seção transversal indicada na figura 6., com as quatro armaduras indicadas. As figuras 6.4, 6.5 e 6.6 mostram a variação da força normal reduzida (ν), no estado limite último para aquelas quatro armaduras, em função da deformação ε o, para três inclinações da linha neutra (α=0 ; 30 e 45 ) VI - 3

5 hx = 38 cm hy = 9 cm hy cobrimento = 3 cm Armadura : 0 φ 0 mm (ρ =,09%) Armadura : 0 φ.5 mm (ρ =,70%) hx Armadura : 0 φ 6 mm (ρ =,77%) Armadura : 0 φ 0 mm (ρ = 4,35%) Concreto C0 - Aço CA 50A Figura 6.3 Seção transversal retangular com quatro considerações de armadura para construção do diagrama ν x ε o.,500,000,500,000 0,500 0,000-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0,500 -,000 -,500 r=,09 r=,70 r=,77 r=4,35 Figura 6.4 Diagrama ν x ε o para a seção da figura 6. com α = 0 graus. VI - 4

6 ,500,000,500,000 0,500 0,000-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0,500 -,000 -,500 r=,09 r=,70 r=,77 r=4,35 Figura 6.5 Diagrama ν x ε o para a seção da figura 6. com α = 30 graus.,500,000,500,000 0,500 0,000-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0,500 -,000 -,500 r=,09 r=,70 r=,77 r=4,35 Figura 6.6 Diagrama ν x ε o para a seção da figura 6. com α = 45 graus. Da observação desses diagramas percebe-se quatro pontos singulares que são destacados na figura 6.7, genérica. Esses pontos são os de transição entre os VI - 5

7 domínios e, e 3, 3 e 4 e finalmente entre os domínios 4a e 5. A figura 6.8 salienta a transição entre os domínios 4a e 5. A observação desses pontos singulares indica que um processo iterativo para encontrar o valor de ε o que corresponda a uma determinada força normal N Rd = N Sd, de modo que se tenha otimizada a velocidade de convergência do processo, pode ser ) Calcular as forças N Rd para cada ponto de transição de domínio de deformação; ) Verificar em que intervalo entre pontos singulares se encontra a solução; 3) Calcular a força normal para o ponto médio desse intervalo; 4) Criar o processo iterativo com interpolação através da equação da parábola do segundo grau no intervalo determinado.,4 Lim Dom. 4/5, 0,8 Lim. Dom. 3/4 0,6 Lim Dom. /3 0,4 0, 0-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0, Lim Dom./ -0,4-0,6 Figura 6.7: Diagrama ν e o de uma seção retangular, para α = 0. Limites entre os domínios de deformação. VI - 6

8 ,3,, 0,9 0,8 0,7 Lim. dom. 4/5 0,6,4,6,8 Figura 6.8 Diagrama ν e o com α = 0. Limite entre os domínios 4 e 5. A seguir são ilustrados alguns diagramas ν x e o para a seção em L representada na figura cm 40 cm 50 cm 4 φ 6 mm 5 cm Concreto: f ck = 30 MPa γ c =,4 Aço: f yk = 500 MPa γ s =,5 Armadura: As = 8 cm ρ =,49% Figura 6.9 Exemplo de seção em L para construção de diagramas ν - ε o VI - 7

9 ,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0, -0,4-0,6 Figura 6.0 Diagrama ν e o para o Estado Limite Último, da seção em L, para α = -45.,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0, -0,4-0,6 Figura 6. Diagrama n e o para o Estado Limite Ultimo, da seção em L, para α = 0. VI - 8

10 ,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0, -0,4-0,6 Figura 6. Diagrama ν e o para o Estado Limite Ultimo, da seção em L, para α = Para uma curvatura menor que a do Estado Limite Último Em diversas situações se tem as seções de um pilar solicitadas por esforços que não as levam ao Estado Limite Último. Normalmente somente a seção mais solicitada é dimensionada naquele estado e as demais têm a mesma armadura embora os esforços solicitantes sejam menores. A figura 6.3 ilustra uma seção para a qual se mostra o diagrama de deformações no estado limite último com curvatura (/r α ) ELU com ε c,máx = ε cu e com curvatura /r α = K curv.(/r) ELU com ε c,máx < ε cu. A figura 6.4 apresenta um gráfico ν - ε o, onde cada curva corresponde a uma curvatura dada por: /r α = K curv.(/r) ELU (6.6) onde: (/r) ELU é a curvatura no Estado Limite Último para dado ε o K curv é um fator que pode variar de zero a /r α é a curvatura adotada para a seção. VI - 9

11 Observa-se que a variação de N Rd com ε o permanece do mesmo tipo que no estado limite último, de modo que, o processo iterativo pode ser o mesmo. Y V LN E.S. N R ε c,máx =ε cu ε c,máx < ε cu θ X (+) (+) h α CE α U//LN ε o ε o (-) (-) ε c,min ε c,min /r α =(/r α ) ELU /r α =K curv.(/r α ) ELU Figura 6.3 Diagramas de deformação para curvaturas (/r α ) ELU do estado limite último com ε c,máx = ε cu e /r α = K curv.(/r) ELU com ε c,máx < ε cu. Seção Transversal: Y 30 cm 60 cm θ E.S. X L.N α,5 0,5 0-8,0-7,5-7,0-6,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0-0,5 fck = 30 MPa; γc =,4 fyk = 500 MPa; γs =,5 As 4 Φ ; ω = 0,60 Kcurv= Kcurv=0,8 Kcurv=0,6 Kcurv=0,4 Kcurv=0, Kcurv=0, Kcurv=0,05 - d /hy = 0,5 α = 45 Figura 6.4: Diagrama ν e o para curvaturas dadas por /r = k curv.(/r) ELU VI - 0