P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO COMPOSTA

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1 U C R S ONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO COMOSTA rof. Almir Schäffer ORTO ALEGRE MAIO DE 2006

2 1 FLEXÃO COMOSTA 1- Notações principais As = área da seção da armadura Ac = área da seção de concreto e, ex, ey = excentricidades e1, e1x, e1y = excentricidades de 1 a ordem e2, e2x, e2y = excentricidades de 2 a ordem e1 min, e1 x min, e1 y min = excentricidades mínimas de 1 a ordem N = força normal M, Mx, My = momentos M1, M1x, M1y = momentos de 1 a ordem M2, M2x, M2y = momentos de 2 a ordem M1 min, M1 x min, M1 y min = momentos mínimos de 1 a ordem M1d, M1xd, M1yd = momentos de cálculo de 1 a ordem M2d, M2xd, M2yd = momentos de cálculo de 2 a ordem ν e µ = esforços solicitantes relativos (adimensionais) ρ = taxa geométrica de armadura ω = taxa mecânica de armadura

3 2 2- Generalidades Na seção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão composta quando na mesma atuam, simultaneamente: - uma força normal (N); - um momento fletor (M); e - uma força cortante (V). No caso particular da força cortante ser nula, a solicitação de flexão composta é chamada também de tração ou compressão excêntrica. Considere-se uma força normal atuando na seção transversal de um pilar com excentricidade e (Fig. 1a). ara transladar esta força, de seu ponto de aplicação para o centro de gravidade da seção, é necessário acrescentar o momento M = N. e (1) que resulta da translação (Fig. 1b). As solicitações representadas nas figuras 1a e 1b são equivalentes. a) b) N e N M S G S G Eixo do pilar Eixo do pilar FIGURA 1 Quando a excentricidade da força normal é pequena, toda a seção transversal do pilar é comprimida (Figs. 2a e 2b). ara excentricidades maiores, uma parte da seção é comprimida e a outra é tracionada (Fig. 2c).

4 3 a) N b) e N c) e N S G S G S G FIGURA 2 O plano que contém o momento fletor é chamado plano de solicitação (S). A solicitação de flexão composta pode ser classificada, de acordo com a direção do traço S sobre a seção transversal da peça, em: - reta (ou normal); e - desviada (ou oblíqua). A solicitação é reta quando o traço S coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção (Figs. 3a e 3b). A solicitação é desviada quando o traço S não coincide com nenhum dos dois eixos (Fig. 3c). a) b) c) Y Y=S Y S G e X=S G e X e ey G ex X FIGURA 3

5 4 3- Cálculo de seções solicitadas por flexão composta 3.1- Taxas de armadura São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura: - a taxa geométrica de armadura; e - a taxa mecânica de armadura. A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da armadura e a área da seção do concreto que a envolve. ρ = A s Ac A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve. N A sd ω = = N A cd s c Dividindo membro a membro a eq. (2) pela (3), obtém-se a relação existente entre as duas taxas de armadura.. f. f yd cd (2) (3) ρ = ω. f f cd yd (4) 3.2- Uso de ábacos (diagramas de interação) O dimensionamento de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta, é, em geral, um problema bastante complexo. ara simplificar a solução destes problemas, na prática, podem ser usados ábacos (também chamados diagramas de interação) preparados para este fim. Os ábacos mais usados no nosso meio técnico são, provavelmente, os que estão publicados nos livros do Montoya [1] e do feil [2]. Na figura seguinte apresenta-se um destes ábacos. ara entrar no ábaco deve-se calcular previamente os esforços relativos

6 5 e ν = N d A. f c cd (5.1) Md Nd. e e µ = = = ν. (5.2) A. f. h A. f. h h c cd c cd Estes esforços são as coordenadas de um ponto (ν, µ) do ábaco. Marcando este ponto (ν, µ) no ábaco obtém-se ω. Conhecido ω calcula-se ρ com a equação (4) e em seguida A s com a equação (2). = 1,0 = 0,5 = 0,0 O FIGURA 4 Se ω < 0 então nenhuma armadura é necessária, devendo-se no entanto usar uma armadura mínima; se ω > 1 então é necessário aumentar a seção de concreto. Existem ábacos para diferentes tipos de seções transversais de pilares (retangular, circular, duplo T, etc...), para diferentes resistências de aço e para diferentes disposições de armaduras nas seções (no caso da seção retangular, armadura igual nos quatro cantos, igual em dois lados, igual nos quatro lados, etc...). Exemplos. Ver exercícios 1, 2 e 3 no polígrafo de exercícios.

7 Solução aproximada para solicitações desviadas Dada a complexidade da solução dos problemas de flexão composta em seções de concreto armado, recorre-se, na falta de soluções mais precisas, à soluções aproximadas. Uma destas soluções, para solicitações desviadas, procedente da Resistência dos Materiais, é apresentada a seguir (ver também NBR 6118, item ). A verificação de uma seção solicitada por uma força normal N atuando com excentricidades ex e ey (Fig. 5a) pode ser substituída pelas verificações desta seção para duas solicitações retas, numa das quais a força normal N atua com uma excentricidade ex o (Fig. 5b) e na outra com uma excentricidade ey o (Fig. 5c), sendo ex o e ey o maiores que ex e ey (respectivamente) satisfazendo a seguinte condição: ex ex o + ey ey 1 (6) o a) b) c) Y e ey G ex Y Y ey o X G ex o X G X FIGURA 5 As excentricidades ex o e ey o podem ser escolhidas de várias maneiras diferentes, devendo no entanto satisfazer a condição (6). Algumas possibilidades são as seguintes: 1 a solução: Arbitrar o valor de ex o e calcular o valor de ey o com a equação (6).

8 7 2 a solução: Escolher exo = 2. ex (7.1) eyo = 2. ey (7.2) Estes dois valores satisfazem sempre a condição (6). 3 a solução: Escolher ex = ey = ex + ey (8) o Estes dois valores também satisfazem sempre a condição (6). o A 3 a solução é particularmente interessante para peças de seção quadrada cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados, porque, neste caso, como as duas solicitações retas são iguais entre si, é necessário fazer uma só verificação. No caso de peças de seção retangular cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados também é possível fazer uma só verificação escolhendo ou então ey exo = ex + hy. hx (9.1) ex eyo = ey + hx. hy (9.2) Exemplos. Ver exercícios 4 e 5 no polígrafo de exercícios Hipóteses básicas No cálculo de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta, são feitas as seguintes hipóteses básicas (ver também NBR 6118, item ): a) as seções transversais planas antes da deformação permanecem planas após a deformação (hipótese das seções planas);

9 8 b) o diagrama tensão deformação do concreto é o diagrama parábola-retângulo; as tensões de tração no concreto são nulas (Fig. 6a); a) b) c 0,85.fcd s fyd yd yd 0 0,002 0,0035 fyd FIGURA 6 c) o diagrama tensão-deformação do aço é o diagrama reta-retângulo, tanto na compressão como na tração (Fig. 6b); d) o estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto ou quando o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento plástico limite do aço. ara calcular as tensões no concreto e no aço, em função da deformação específica, de acordo com os diagramas de cálculo anteriores, podem ser criadas as funções (programas de computador) σc = σc ( ε) (10.1) e σs = σs ( ε) (10.2) respectivamente. O encurtamento de ruptura do concreto ( ε R ) é calculado, em função do encurtamento da fibra menos comprimida de concreto ( ε 2 ) como segue.

10 9 Se ε 2 0, então ε R = 0, 0035 (11.1) senão se ε 2 0, 002 senão ε R = 0, , 75. ε 2 (11.2) ε R = 0, 002 (11.3) O alongamento plástico limite do aço ( ε L ) é dado por: ε L = 0, 010 (12) 3.5- Soluções numéricas (programas de computador) Generalidades As soluções numéricas usadas nos problemas de flexão composta são baseadas em processos iterativos. Estes processos iterativos envolvem quantidades enormes de operações aritméticas, que, para serem realizadas, requerem o uso de programas de computador. A seguir descreve-se a solução usada no programa FlexãoComposta, desenvolvido para o dimensionamento da armadura de seções de concreto armado, retangulares, solicitadas por flexão composta. A solução usada foi escolhida em função da simplicidade e em função segurança que apresenta na convergência do processo iterativo Convenção de sinais No programa FlexãoComposta foi usada a seguinte convenção de sinais: N = força normal (+ = compressão; - = tração) Mx e My = momentos fletores (+ = compressão no I quadrante) ε = deformação específica (+ = encurtamento; - = alongamento) φ x e φ y = rotações específicas (+ = encurtamento no I quadrante)

11 Deformação específica num ponto genérico da seção Quando são conhecidos (dados) a deformação específica no centro de gravidade da seção ( ε g ) e as rotações específicas da seção em relação aos eixos X e Y ( φ x e φ y ), a deformação específica num ponto genérico (x,y) da seção pode ser calculada com a equação (Figs. 7a e 7b) ε = ε + φ. x + φ. y (13) g y x a) b) Y Myd Nd O Mxd x y X Nd G Myd g S S' y x S'' FIGURA Esforços resistentes da seção Conhecidos (dados) ε g, φ x e φ y, os esforços resistentes da seção são calculados como segue: a) Seção de concreto A área da seção de concreto é dividida num certo número (nc) de pequenas áreas Ac i (Fig. 8a). Quanto menores estas áreas, mais precisos os resultados.

12 11 a) b) Y xc i Ac yc i i Y xs i ys i As i O X O X FIGURA 8 A deformação específica no elemento genérico Ac i é dada por εc = ε + φ. xc + φ. yc (14) i g y i x i e a tensão de cálculo, neste elemento, conforme a equação (10.1), por σc = σc ( εc ) (15) i i Os esforços resistentes provenientes deste elemento genérico da seção de concreto são dados por Nci = Aci.σ ci (16.1) Mxc Myc = Nc. yc (16.2) i i i = Nc. xc (16.3) i i i e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de concreto, por Nc = Nc i (17.1) Mxc Myc = Mxc i (17.2) = Myc i (17.3) (i = 1, nc)

13 12 b) Seção de aço A área da seção de aço é distribuída, na seção da peça, num certo número (ns) de barras de áreas As i (Fig. 8b). A deformação específica na barra genérica As i é dada por εs = ε + φ. xs + φ. ys (18) i g y i x i e a tensão de cálculo, nesta barra, conforme a equação (10.2), por σs = σs ( εs ) (19) i i dados por Os esforços resistentes provenientes da barra genérica da seção de aço são Nsi = Asi.σ si (20.1) Mxs Mys = Ns. ys (20.2) i i i = Ns. xs (20.3) i i i e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de aço, por Ns = Ns i (21.1) Mxs Mys = Mxs i (21.2) = Mys i (21.3) (i = 1, ns) c) Soma Os esforços resistentes totais são dados pela soma dos esforços resistentes do concreto e do aço: Nr = Nc + Ns (22.1) Mxr = Mxc + Mxs (22.2) Myr = Myc + Mys (22.3) Estes esforços resistentes são evidentemente funções de ε g, φ x e φ y.

14 Condições de equilíbrio ara que exista equilíbrio na seção é necessário que os esforços resistentes de cálculo sejam iguais aos esforços solicitantes de cálculo, isto é: Nr Mxr Myr = Nd (23.1) = Mxd (23.2) = Myd (23.4) ara satisfazer estas condições de equilíbrio, os valores das variáveis ε g, φ x e φ y, devem ser escolhidos convenientemente Algorítmo O algorítmo usado no programa FlexãoComposta, para o cálculo da taxa de armadura necessária para a seção de uma peça de concreto armado solicitada por flexão composta foi o seguinte: a) escolhe-se a seção de concreto e a distribuição da armadura nesta seção; b) escolhe-se uma taxa geométrica de armadura (a mais alta permitida pela norma ou a mais alta que se pretende usar); no programa foi usado ρ = 0, 08 ; c) calcula-se as áreas das seções das barras da armadura de acordo com a distribuição escolhida em a); com isto as seções de concreto e de aço ficam completamente determinadas; d) calcula-se ε g, φ x e φ y de tal modo que sejam satisfeitas as condições de equilíbrio dadas pelas equações (23); para tal foi usada uma combinação dos processos iterativos de Newton-Raphson (para sistemas de equações não lineares) e de Gauss (para sistemas de equações lineares diagonais); e) calcula-se as deformações específicas máxima e mínima do concreto ( ε 1 e ε 2 ) e do aço ( ε 3 e ε 4 ); f) se ε ε 1 R e ε ε 4 L então o estado limite último não foi alcançado; diminui-se ρ, fazendo ρ = ρ ρ ( ρ = 0, 001, por exemplo) e reinicia-se o processo em c); senão passa-se ao passo seguinte;

15 14 g) o estado limite último foi alcançado; se ρ = 0, 08 então é necessário aumentar a seção de concreto; senão, a taxa de armadura necessária para a seção é ρ + ρ. 4- ilares 4.1- Generalidades Os pilares são peças que trabalham principalmente à compressão. Exemplos de pilares: pilares de edifícios, de pontes, de teatros, ginásios de esportes, estádio de futebol, etc. Como normalmente a força de compressão não é centrada na seção, a solicitação dos pilares é, geralmente, de flexão composta com compressão (ou de compressão excêntrica) Classificação dos pilares de edifícios Os pilares de edifícios podem ser classificados, de acordo com a posição que ocupam no edifício, em planta, em (Fig. 9): canto extremidade intermediário viga FIGURA 9

16 15 - pilares de canto; - pilares de extremidade; e - pilares intermediários Momentos nos pilares de edifícios Num pórtico de edifício, carregado apenas com cargas verticais aplicadas nas vigas, as deformações se apresentam, aproximadamente, conforme se mostra na figura seguinte FIGURA 10 Nos pilares intermediários (como o pilar 2 por exemplo) os giros dos nós geralmente são pequenos e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós, também são pequenos, podendo ser desprezados. Consequentemente, a solicitação dos pilares intermediários é de compressão simples (ou muito próxima desta). Nos pilares de extremidade (como o pilar 1, por exemplo), os giros dos nós são consideráveis e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós, também são consideráveis (Figs. 10 e 11). Conseqüentemente a solicitação dos pilares de extremidade é de flexão composta reta.

17 16 NA MA VA A M N V B VB MB NB FIGURA 11 Já os pilares de canto estão sujeitos à momentos em relação aos dois eixos principais de inércia da seção e, portanto, a solicitação dos pilares de canto é de flexão composta desviada. Nos pilares de extremidade os momentos nos nós podem ser calculados, de modo aproximado, com um esquema de cálculo simplificado (Fig. 12), obtido a partir da observação de que a) os momentos nos pilares se anulam aproximadamente no centro dos pilares (Figs. 10 e 11), onde, então, podem ser imaginadas rótulas e b) a viga, no pilares intermediários, não gira, onde, então, pode ser imaginado um engaste perfeito. sup 2 inf 2 vig FIGURA 12

18 17 O cálculo aproximado é o seguinte (ver também NBR 6118, item , c): Coeficientes de rigidez das peças (viga, pilar superior e pilar inferior): r vig 4.I vig = (24.1) vig r sup r inf.i = 6.I = 6 sup sup inf inf (24.2) (24.3) r = rvig + r + r sup inf (24.4) Momento de engastamento perfeito da viga no nó do pilar de extremidade: M =... (25) Momentos nas extremidades das peças: M M r + r vig =. sup inf (26.1) r sup M M r sup =. r (26.2) M inf inf = M. r r (26.3) Nos pilares de canto as fórmulas anteriores podem ser aplicadas nas duas direções principais Momento mínimo A excentricidade de 1 a ordem a considerar no cálculo dos pilares não pode ser menor que a mínima dada por (NBR 6118, item ) e1 = 0, , 03. h (27) min onde e1 min e h (h = altura da seção na direção considerada) são medidas em metros.

19 18 A consideração desta excentricidade mínima, admite-se, cobre os efeitos das imperfeições locais nos pilares (desaprumos e falta de retilineidade dos eixos dos pilares). A norma não fornece nenhuma informação sobre como esta excentricidade deve ser considerada no cálculo. arece, no entanto, que ela deve ser considerada, separadamente, primeiro numa direção principal da seção e depois na outra. Isto significa que os pilares devem ser verificados para duas hipóteses diferentes de solicitação excêntrica, a saber: a) a força normal atuando com excentricidades ex e1x = ey Maior (e1y; e1y b) a força normal atuando com excentricidades ex Maior (e1x; e1x = ey e1y min min ) ) (28.1) (28.2) 5- Disposições normativas 5.1- Dimensões das seções A menor dimensão da seção transversal de um pilar (b), qualquer que seja sua forma (Fig. 13), não pode ser menor que 19 cm (NBR 6118, item ), isto é: a b a b b 19 cm (29.1) FIGURA 13 É necessário observar também (NBR 6118, item ):

20 19 a 5. b (29.2) 5.2- Armaduras longitudinais mínima e máxima As armaduras longitudinais mínima e máxima dos pilares são dadas por (NBR 6118, item ): Nd Asmin = Maior (0,4%.A c; 0,15. ) f (30.1) As max yd = 8%. A (30.2) O limite máximo aplica-se inclusive na região das emendas das barras. c 5.3- Bitola da armadura longitudinal O diâmetro das barras da armadura longitudinal não pode ser menor que 10 mm nem maior que 1/8 da menor dimensão da seção (NBR 6118, item ), isto é: φ 10 mm (31.1) φ b 8 (31.2) 5.4- Distribuição transversal da armadura longitudinal Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra da armadura longitudinal em cada vértice (Figs. 14a e 14b); em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas no perímetro (Fig. 14c) (NBR 6118, item ). a) b) c) FIGURA 14

21 Espaçamento transversal da armadura longitudinal O espaçamento transversal (e) da armadura longitudinal deve atender aos seguintes limites (NBR 6118, item ): e Maior (20mm; φ;1,2.dma) (32.1) e Menor (40cm; 2.b) (32.2) (DMA = dimensão máxima do agregado) 5.6- Estribos A bitola ( φ t ) e o espaçamento (e t ) da armadura transversal deve atender aos seguintes limites (NBR 6118, item ): φ φ t Maior (5mm; ) (33.1) 4 e t Menor (20cm; b;12. φ (CA 50)) (33.2) 5.7- roteção da armadura longitudinal contra a flambagem Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20.φ t dos cantos (Fig. 15), desde que neste trecho de comprimento 20.φ t não existam mais de duas barras (NBR 6118, item ). 20. φ t 20.φ t FIGURA 15 suplementares. ara barras não protegidas contra a flambagem é necessário prever estribos

22 21 6- Efeitos de 2 a ordem (locais) 6.1- Definições Os momentos (excentricidades) de 2 a ordem são os acréscimos de momentos (excentricidades) provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas (Fig. 16). a) e1 b) e1 e2 ~ M1 M1+M2 FIGURA 16 No estudo dos pilares a norma usa um chamado comprimento equivalente de um pilar ( e ) que pode ser determinado como segue (ver também NBR 6118, itens 15.6 e ): a) para pilares vinculados nas suas duas extremidades (Fig. 17a): = Menor ( ; h) (34.1) e o + b) para pilares engastados numa extremidade e livres na outra (Fig. 17b): =.Menor ( ; 0,5.h) (34.2) e 2 o +

23 22 a) b) ilar h o ilar h o FIGURA 17 O índice de esbeltez de um pilar (conforme definição da resistência dos materiais) é dado por: a) para a seção qualquer b) para a seção retangular c) para a seção circular λ = e i λ = 3, 46. e h λ = 4. e d (35.1) (35.2) (35.3) 6.2- Excentricidade de 2 a ordem Se o índice de esbeltez de um pilar for inferior à 35, os efeitos locais de 2 a ordem não precisam se considerados (NBR 6118, item ); se estiver entre 35 e 90, os efeitos locais de 2 a ordem podem ser determinados por métodos aproximados (NBR 6118, item ).

24 23 Dentre os métodos aproximados o mais simples de usar é o chamado método do pilar-padrão com curvatura aproximada (NBR 6118, item ). De acordo com este método, a excentricidade de 2 a ordem a ser considerada é dada por 2 e 1 e2 =. (36) 10 r sendo que a curvatura do pilar pode ser avaliada por 1 0, 005 0, 005 = (37) r h.( ν + 0, 5) h Usando o limite superior da curvatura dado pela equação (37) e substituindo este valor na equação (35), resulta : 2 e e2 = h Esta equação permite calcular a excentricidade de 2 a (38) ordem de modo aproximado, porém simples e favorável à segurança. Se for desejada precisão maior, então deve-se usar as equações (36) e (37). As excentricidades finais obtém-se somando esta excentricidade de 2 a ordem às excentricidades dadas pelas equações (28).