Dimensionamento Direto de Pilar Esbelto, Concretos C20 a C90

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1 Dimensionamento Direto de Pilar Esbelto, Concretos C0 a C90 Roberto Buchaim Celso Pissinatti Resumo O presente trabalho mostra o dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado em flexão composta normal, por intermédio de programa eletrônico, de seções retangulares com armadura dupla e simétrica. Aplica-s teoria da curvatura aproximada, a qual tem a vantagem de obter diretament armadura do pilar sem necessidade de iteração e sem o cálculo prévio do momento solicitante total. Esse momento, igual ao momento resistente do Estado Limite Último, resulta da soma dos momentos de primeira e de segunda ordem, esse último decorrente da ação da força axial de compressão e da esbeltez do pilar. O enfoque está na descrição do programa eletrônico, desenvolvido especificamente para os casos de pilares biarticulados e em balanço, abrindo-se também a possibilidade de dimensionamento da seção transversal para a atuação combinada da força normal de compressão e do momento de flexão, seja qual for sua origem. Além da consideração de concretos dos grupos de resistência (0 MPa f ck 50 MPa) e (55 MPa f ck 90 MPa), esse último introduzido na NBR 68: 04, corrige-s deformada do pilar, usualmentdmitida como senoidal, de modo a levar em conta a distribuição de momentos de flexão de primeira ordem e das respectivas curvaturas ao longo da altura do pilar. Eliminam-se, com isso, erros no momento solicitante que podem chegar aos extremos + 5% e 6,7% nos casos de carga usuais. Palavras-chave: pilar esbelto, seção retangular, curvatura aproximada, correção da deformada. Introdução O dimensionamento de pilar esbelto, pertencente a pórtico espacial (edifícios, galpões industriais, pontes) pressupõe sua análise global, hajam ou não efeitos de segunda ordem. Na sequência examina-se localmente o lance do pilar sujeito aos momentos de extremidade e eventualmente às cargas transversais ao seu eixo (Figura ) Uma ação que deve ser incluída, mas apenas na análise loca no subsequente dimen sionamento, refere-se à imperfeição geométri ca do lance, ou falta de retilineidade, quantificada como in dica a NBR 68: 04, no item e Figura., por meio do ângulo θ do qual se obtém a excentricidade com θ, sujeita ao valor mínimo h 30, onde l é o comprimento equivalente do pilar. Ambas as condições estão dadas no MC 00, item e e no Code SIA 6:003, item O lance com momentos de extremidade geralmente diferentes é transformado equivalentemente no pilar padrão, por definição fletido em curvatura simples e simétrica em relação à seção média. Essa transformação, cf. item 5.8.(a) da mesma norma, se faz com o coeficiente α b, de modo que em ambas as extremidades passa a atuar α b, tracionando cada qual a mesma face do pilar. O coeficiente α b é dado pela seguinte equação: α b 0,6 + 0,4 (M Bd ) 0,4 () onde: é o momento de extremidade de maior módulo, ou seja, M Bd, e é considerado positivo, enquanto M Bd pode ser positivo ou negativo, de mo - do que o quociente M Bd é positivo smbos os momentos tracionarem a mesma face do pilar, e negativo em caso contrário. Base Teórica do Dimensionamento Uma vez transformado o lance real no pilar padrão pode-splicar a teoria que segue, resumidamente Prof. Dr. Departamento de Estruturas do Centro de Tecnologia e Urbanismo da Universidade Estadual de Londrina, robbuch@uel.br Formando em Engenharia Civil, Universidade Estadual de Londrina, celsopissinatti@hotmail.com

2 Roberto Buchaim, Celso Pissinatti Figura Pilar real fletido em curvatura assimétrica transformado no pilar padrão. 4 descrita, na qual se indicam os detalhes incluídos no programa eletrônico. O método da cur vatura aproximada refere-so ramo descendente da curva de in teração entre momento de flexão e força normal no es tado limite último, formado pelos domínios 4 e 5, em que possivelmente se incluem a maioria dos pi lares de edifícios, e mesmo pilares de pontes e de galpões industriais, se considerados em balanço. O referido ramo descenden te é linearizado entr divisa dos domínios 3 e 4 compressão pura. Da mesma forma a curvatura da seção é linearizada nesse mesmo intervalo da força normal, entre o valor correspondente ao momento do fim da divisa dos domínios 3 e 4, pela expressão adimensional seguinte, e o valor nulo da compressão pura: κ y 03 h ε yd, f yd 435 MPa, r δ CA 50, Es MPa () ε yd 0 3 f yd Es, δ d h Para que os resultados sejam fiéis à solução mais precisa, o cobrimento das camadas drmadura deve ser tal qu armadura comprimida esteja também em escoamento na divisa dos domínios 3 e 4, para o aço CA-50 fica garantido pela seguinte condição: δ d h (ε cu ε yd ) (ε cu ) (3) As deformações específicas quí aparecem são assim definidas: encurtamento último do concreto: ε cu 3,5 se f ck 50 MPa, ε cu [, ( 90 f ck 00 ) 4 ] 50 MPa < f ck, 50 MPa < f ck 90 MPa, deformação do aço no início do patamar de escoamento: ε yd f yd E s, com f yd f yk γ s, no caso E s 0 GPa, f yk 500 MPa, γ s,5. Para f ck 50 MPa a razão entre cobrimento ltura δ d h pode chegar até 0,0, para 50 MPa < f ck 90 MPa o quociente decresce com f ck e diminui a 0,0 para f ck 90 MPa. O momento resistente do ELU no ramo descendente da curva de interação é posto então em função da força normal, no intervalo entr força normal da divisa 3/4 forca normal de compressão pura, notando-se que na divisa 3/4 a força normal resistente é exclusivament da seção de concreto apenas, pois as forças na seção metálica são iguais em intensidade mas têm sentidos opostos, verificada a expressão (3). Em termos adimensionais o momento resistente no ramo descen dente se escreve: + ω μ d [μ c,3 4 + ω d,tot (0,5 δ )] d,tot ν d + ω d,tot ω d,tot A s,tot bh f yd 0,85 f cd Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07, (4)

3 Dimensionamento Direto de Pilar Esbelto, Concretos C0 a C90 O momento solicitante total na seção central do pilar padrão é igual à soma do momento total de primeira ordem e do momento de segunda ordem, resultante do efeito da esbeltez do pilar, dado pelo produto da força normal pela excentricidade causada por deformação de flexão de seu eixo, ou seja: M Sd,tot M d + M d N Sd + α b + q d 8 Nessa expressão, tem-se: + H d 4 excentricidade por falta de retilineidade: θ + N Sd (5) (0,05 + 0,03 h), h em metros, com θ 300 para pilar biarticulado 00 le 00 e θ para pilar em balanço; 00 momento de primeira ordem (para as ações cf. Figura ) M d N Sd + α b + q d + H 8 d 4 excentricidade de segunda ordem (produzida por momento fletor) l e e c ( ro ) Em termos adimensionais divide-s expressão (5) por 0,85f cd bh, donde: 0-3 μ Sd,tot μ d + μ d μ d + c ν Sd μ d ν Sd κ 0 M d 0,85 f cd bh N Sd 0,85 f cd bh 0 3 h + ω d,tot ν r κy d o + ω d,tot κ0 Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07 h (6) A curvatura da seção central do pilar padrão é r e seu valor adimensional κ0 o 03 h. A constante r o c, que em primeira aproximação pode ser igualada a 0, é corrigida para levar em consideração os carregamentos qutuam em cada caso particular; onde: c α d π + ( α d ) N Sd N d,cr, N d,cr π (EI) sec l e n d, i M i n M d, i i C i (7) n é o número de casos de carga em questão; M d,i momento de flexão máximo de primeira ordem do i-ésimo carregamento; (EI) sec M Sd,tot r bh 3 (0,85 f cd ) μ Sd,tot κ 0 é a rigidez secante da seção; c i coeficiente correspondento i-ésimo carre gamento, dependente da distribuição de curvatura de primeira ordem ao longo da barra. Na barra biapoiada, sujeita à ação de: altura l b (a) falta de retilineidade, com a excentricidade máxima da deformada senoidal c i π ; (b) carga uniformemente distribuída q d em toda altura equivalente c i 9,6; (c) força horizontal H d concentrada na seção média do pilar c i ; (d) momentos M 0d iguais nas extremidades, tracionando a mesma face do pilar c i 8. Na barra em balanço, engastada na base e de : (e) falta de retilineidade, com a excentricidade máxima da deformada senoidal c i π ; (f) carga uniformemente distribuída q d em toda altura c i 6; (g) força horizontal H d concentrada no topo do pilar c i ; (h) momento M 0d aplicado no topo c i 8. A igualdade dos momentos resistente e solicitante leva à solução do problema, determinando a taxa mecânica da armadura para a dada força normal solicitante: b κ c κ ω d, tot μ c,3/4 A y μ d + ( ν Sd ) (0,5 δ ) (0,5 δ ) [ μ c,3/4 A y ] ( ν Sd ) ( ) μ d (0,5 δ ) -bκ + bκ 4cκ (8) 5

4 Roberto Buchaim, Celso Pissinatti Nessas expressões tem-se: ω dmín 0,5ν d 0,4% f yd / ( 0,85 f cd ) (9a) 6 A y (0-3 c) ν Sd κy, com κ h y da expressão (). A y é o momento de segunda ordem para ν Sd ν c,3/4 ; ν c,3/4,μ c,3/4 : força norma momentos de flexão normalizados de seção de concreto, calculados com o bloco retangular de tensões para a profun didade de LN na divisa dos domínios 3 e 4. Como se vê, o momento solicitante total inclui o efeito de segunda ordem local. Entretanto, esse momento não é necessariamente determinante. De fato, se ocorrer M Sd,tot <, a armadura deve ser calculada para esse último, o que só se decidpós obter o momento solicitante total. Além disso, há duas outras consi derações a fazer no dimensionamento, a saber: () conform NBR 68:04, item , o lance deve ser verificado para a ação da força normal N Sd e do momento mínimo M d,min N Sd (0,05+0,03h),h em metros, atuando nas duas extremidades e tracionando a mesma face do pilar (αb ), sem nenhuma outra ação adicional (nem falta de retilineidade, nem cargas transversais ou eventuais momentos de extremidade ob tidos na análise). Novamente, aqui também é necessário o cálculo de M Sd,tot, por causa da esbeltez do lance; () a armadura predominante obtida de um dos três dimensionamentos anteriores deve ser comparada com a mínima exigida pela NBR 68:04, cf. Equação (9a). E se essa armadura prevalecer, calculamse adicionalmente os correspondentes momento resistente rigidez secante. Em resumo, há quatro verificações a fazer no lance considerado. 3 Orientações para Uso do Programa (a) Convenção de sinais: todos os dados de entrada do programa são positivos, exceto o momento de extremidade M Bd que é positivo se tracionar a mesma face que, ou negativo, em caso contrário. (b) O pilar esbelto deve ter índice de esbeltez, λ ( / h) não superior a 90. A obrigatoriedade de consideração do ramo descendente da curva de interação M d ( N ) no ELU é dada pela condição N d Sd N c,3/4 ou ν Sd ν c,3/4. A condição obrigatória referento cobrimento, cf. inequação (3), aço CA-50, δ d h ( ε ε ) ( ε ), é usualmente satisfeita para os casos cu yd cu da prática. Essa restrição está inclusa no programa. (c) Taxas drmadura mínima e máxima consideradas: 4% ω dmáx 8% f / ( 0,85 f ) (9b) yd cd Para a taxa máxima, há as opções de 4% (emendas por traspasse) e 8% (sem emendas por traspasse). (d) O programa não faz distinção entre pilar esbelto e não esbelto (efeito de segunda ordem local desprezível). Usualmente considera-se efeito de segunda ordem local se o momento solicitante total resultante das ações e da esbeltez do pilar superar em 0% o momento máximo de primeira ordem na seção central do pilar padrão, i.e., se M Sd,tot, M d. (e) Em pilar esbelto o programa considera sempre a excentricidade por falta de retilineidade, com variação senoidal no lance, tomando o maior valor dentre os dois seguintes: máx (θ, 30 h ) (f) O método transforma o lance real do pilar biarticulado (fletido com momentos iguais ou desiguais nas suas extremidades) no pilar padrão (fletido com momentos iguais nas extremidades de valores α b, tracionando ambos a mesma face, e momento máximo no centro do lance), por meio do coeficiente α b 0,6 + 0,4 M Bd 0,4, com M Bd. Ver (a). No pilar em balanço é desnecessário levar em conta α b, pois para os carregamentos considerados no programa correção da curvatura, já se tem o pilar padrão. (g) O programa considera as limitações da geometria da seção, cf. NBR68: 04, item 3..3, (b,h) 40 mm e (área bh) mm. Se ocorrer b ou h no intervalo (40 mm, 90 mm), majoram-spenas no dimensionamento as solicitações pelo coeficiente adicional γ n. Esse fato é considerado internamente no programa, com o cálculo de γ n que majora a força norma as ações aplicadas no lance. Logo o usuário não precisa fornecer as ações majoradas adicionalmente por γ n. (h) Na planilha Seção dimensiona-s seção, também penas nos domínios 4 e 5, para o momento solicitante total, M d, nas mesmas condições anteriores, equivalent ter-se esbeltez nula. Caso a seção seja superabundante em área e/ou resistência, dimensionase para N Sd e o momento mínimo M d,min N Sd (0,05 + 0,03h), h em metros, respeitando-sinda a armadura mínima. (i) O dimensionamento do pilar biarticulado é condicionado pelo máximo momento de flexão solici- Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07

5 Dimensionamento Direto de Pilar Esbelto, Concretos C0 a C90 Figura Exemplo, dimensionamento de pilar biapoiado. Figura 3 Exemplo, dimensionamento de pilar em balanço. tante, seja (momento de máximo módulo entre os momentos atuantes nas extremidades), seja o momento M Sd,tot da seção central do pilar padrão, pois ao maior deles corresponderá a maior armadura, para a mesma força normal, donde para fazer a escolha entre M Sd,tot e é preciso calcular antes M Sd,tot. (j) Além das duas verificações de (i), o programa considera o dimensionamento, com efeito local de esbeltez, para a força normal N Sd e o momento mínimo estabelecido na NBR 68:04, item , M d,min N Sd (0,05 + 0,03h), h em metros, aplicado nas duas extremidades do lance, tracionando ambos a mesma face do pilar, ou na extremidade livre do Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07 balanço. Mas nesse caso não se incluem a excentricida de por falta de retilineidade e qualquer outra ação. Às três verificações de (i) e (j), junta-se finalment da armadura mínima. Se essa armadura prevalecer, o programa calcula também o momento resistente rigidez secante correspondentes. (k) O programa desenvolvido para fins educacionais está disponívem 6 TRU 08 Construções Concreto Estrutural II, item 4.. As Figuras, 3 e 4 mostram a aplicação do exposto. 7

6 Roberto Buchaim, Celso Pissinatti 4 Exemplo 3 Considere-se o lance de um pilar biarticulado de comprimento equivalente 3 m, sujeito à carga axial N Sd 40, kn os momentos de extremidade 04,9 knm e M Bd 0 knm. Dados: b/h 600; 400 mm, d /h 0,0, CA-50, f ck 40 MPa, 0,85 f cd 4,9 MPa, com os esforços do concreto ν c,3/4 0,45; μ c,3/4 0,4 na divisa dos domínios 3 e 4 pede-se: (a) mostrar que o método da curvatura aproximada splica; (b) transformar o lance em questão no pilar padrão, e obter o momento de primeira ordem, incluindo-se o efeito de falta de retilineidade. (c) calcular a armadura, dupla e simétrica, disposta nas faces maiores, em número de barras f6 ou f0. (a) Aplicabilidade do método Índice de esbeltez: λ h ,4 Força normal no ramo descendente do diagrama de interação: 40, ν d 4, ,4 0,69 ν c,3/4 0,45 Condição de escoamento da armadura comprimida também nos domínios 4 e 5: d CA 50, 0,0 0,0, f h ck MPa (b) Pilar padrão 0 α b 0,6 + 0,4 04,9,9 knm θ , 0,6, α b 0,6 04,9 θ rad 00 O momento de ª. ordem obtido para a seção central do pilar padrão é superior ao momento M dmin 40, (0,05 + 0,03 0,40) 08,6 knm, e já se podnteci par que esse momento mínimo, somado com o respec tivo momento de segunda ordem, não deve prevalecer no dimensionamento. Esse fato é testado pelo programa. Em geral não se podfirmar que um prepondera sobre o outro, porqu distribuição do momento mínimo ao longo do lance é a mais desfavorável (c i 8), ao passo que o momento de primeira ordem no pilar padrão pode decorrer dções com diferentes distribuições ao longo do lance (c cf. Equação (7)). (c) Armadura: em primeira aproximação adota-s constante c 0 Com κ y 0-3 A y c ν d h ε yd δ x,07 x 0,0 5,75 κ y 0-3 0,69 56,5 5,75 0,00, os coeficientes de (8) são dados 0 por: c κ b κ μ c,3/4 A y μ d + ( ν Vd ) (0,5 δ ) (0,5 δ ) 0,4 0,00 0, ,3 0,4 0,4 [ μ c,3/4 A y ] ( ν d ) ( ) μ d (0,5 δ ) 0,3798 0,4 0,00 0,3 ( 0,45) 0,076 0,036 0,4 A taxa mecânica da armadura resulta igual a: ω d,tot b + b 4c κ κ κ máx,5 0,4 ; 0,0075 m, NSd e a 53,6 knm Momento de primeira ordem na seção central: M d,9 + 53,6 76,5 knm total: 0,3798 0, x 0,036 0,0544 Momento resistente igual ao momento solicitante 8 76,5 μ d 4, ,4 0,076 + ω μ d [μ c,3 4 + ω d,tot (0,5 δ )] d,tot ν d + ω d,tot Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07

7 Dimensionamento Direto de Pilar Esbelto, Concretos C0 a C90,0544 0,69 [0,4 + 0,03 0,4],0544 0,45 0,457 0,6049 0,088 Logo, o momento solicitante total é M Sd,tot 0,088 4, ,4 05,6 knm. Notar que: (a) μ d 0,088 μ,6, e há efeito de segunda ordem local não desprezível, mesmo d 0,076 sendo λ 6 < 35. Essa conclusão é válida se não prevalecer a armadura mínima, ver adiante. (b) O programa calcula interativament constante c de (7), e obtém c 8,658, cf. se vê na Figura 4. Como já se mostrou antes (ver as Referências), a correção dessa constante se faz calculando-s taxa mecânica e os respectivos valores do momento resistente e da rigidez secante. Com essa última, obtém-se de (7) novo valor da constante c, e o cálculo é reiterado até haver concordância entre dois valores sucessivos dessa constante. Na extremidade A tem-se 04,9 knm. Esse momento no caso é praticamente coincidente com M Sd,tot. Caso > M Sd,tot, o programa dimensionaria a armadura para a combinação N Sd,, com A y 0, μ d μ Ad 0,088. Entretanto, a taxa obtida ainda não prevalece, pois a seção exigrmadura mínima, dada pela Equação (9a): ω d,tot,mín 0,5 ν d 0,5 0,69 0,035 > > 0,4% 435 0,07 > 0,0544 4,86 A s,tot,mín 435 ω d,tot,mín 0,035 4, A s,tot,mín 386,8 mm 4f6 Momento resistente igual ao solicitante total que cau saria na seção a armadura mínima, é: + ω μ d [μ c,3 4 + ω d,tot (0,5 δ )] d,tot ν d + ω d,tot [0,4 + 0,035 0,4],035 0,69,035 0,45 0,65 x 0,6347 0,05, ou M d,max 44,7 knm. A curvatura correspondente é: κ y 03 h + ω d,tot ν d κy r 0 + ω d,tot 5,75 0,6347 3,846 A rigidez secante correspondente vem a ser: μ (EI) sec M Sd,tot r bh 3 Sd,tot (0,85 f cd ) κ 0 0, ,86 3,846 Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07 Figura 4 Exemplo, resultados do programa. 9

8 Roberto Buchaim, Celso Pissinatti Nmm 98 knm (@ 9783 knm na Figura 4). A Figura 4 mostra a solução pelo programa Curva tura-v... 5 Referências Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Pro jeto de estruturas de concreto Procedimento: NBR 68: 04. Rio de Janeiro, RJ, 04. BUCHAIM, R., Gonçalves, D. N. Método da curvatura aproximada em pilares esbeltos de concreto armado. ABECE Informa 0 Jan/Fev, 03. BUCHAIM, R. Pilar esbelto dlta resistência: Exemplo de dimensionamento. In ABNT NBR 68: 04. Comentários e Exemplos de Aplicação. Ibracon, 05. ISBN BUCHAIM, R., Concreto Estrutural: Fundamentos e Pro jeto. Flexão Simples e Composta Normal, Pilares Es beltos, C0 a C90. Editora da Universidade Estadual de Londrina, EDUEL, 06. ISBN , e ISBN (EBOOK) Londrina, Pr. Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP. MODEL CODE 00. Final draft. Volumes and. Bulletins 65 and 66. March, 0. KIMURA, A. E., dos Santos, L. A., França, R. L. S. Pi lares. Exemplos dplicação dos conceitos da seção 5. Em Prática Recomendada IBRACON. Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-. NBR 68: Engenharia Estudo e Pesquisa. ABPE, v. 7 - n. - p jan./jun. 07