CAPÍTULO XI VALIDAÇÃO DO PROGRAMA DESENVOLVIDO

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1 CAPÍTULO XI VALIDAÇÃO DO PROGRAMA DESENVOLVIDO XI-0

2 11. desenvolvido 11. Apresentação do programa Introdução Ao longo deste trabalho foi desenvolvido um programa de computador para análise de seções transversais, de forma qualquer, conforme as figuras 4.1 e 4.2, solicitadas à flexão oblíqua composta. O programa também faz a verificação da estabilidade considerando os efeitos de segunda ordem de pilares engastados em uma extremidade e livre na outra e pilares bi-apoiados conforme a figura É admitido carregamento transversal tanto na direção x quanto na direção y. Nd Nd MBd MBd HBd B B q L q L A A MAd a) Pilar engastado - livre b) Pilar bi - apoiado Figura 11.1 Esquemas de pilares: a) Engastado livre; b) Bi apoiado. As cargas positivas têm os sentidos indicados na figura Análise de seções transversais Para a análise de seções transversais o programa apresenta as seguintes possibilidades: a) Esforços resistentes dados: ε o, α e h α /r α ; b) Esforços resistentes dados: ε o, h x /r x, h y /r y ; XI - 1

3 c) Momentos resistentes dados: α, h α /r α e N d ; d) Esforços resistentes dados: θ, ε o e h α /r α ; e) Esforços resistentes dados: α, x/h α para o Estado Limite Último; f) Momentos resistentes dados: α e N Sd para o Estado Limite Último; g) Esforços resistentes dados: θ e x/h α para o Estado Limite Último; h) Momentos resistentes dados: θ e N Sd, para o Estado Limite Último; i) Diagrama α - θ sendo dados: i1) N Sd para o Estado Limite Último; i.2) ε o para o Estado Limite Último; i.3) ε o e h α /r α ; i.4) ε o e kcurv i.5) N Sd e K curv ; j) Diagrama ν - ε o dados: kcurv e α; k) Diagrama M Rxd - M Ryd no Estado Limite Último para dado N d ; l) Diagrama "M xd - M yd - α - K curv " para dado N Sd ; m) Diagrama Momento-Curvatura dados N Sd e a, θ, M Sxd ou M Syd ; n) Diagrama κ - θ ; o) Determinação das curvaturas correspondentes a N Sd, M Sxd e M Syd Análise de pilares Para a análise de pilares o programa apresenta as seguintes possibilidades: a) Pilar engastado na base e livre no topo (figura 11.1.a); b) Pilar bi-apoiado (figura 11.1.b) Geração de exemplos Seção retangular XI - 2

4 Com a finalidade de verificar os resultados fornecidos pelo programa foi gerada a tabela Utilizaram-se para a análise o concreto C25, o aço CA-50, seção retangular de 60 cm x 30 cm com 12 barras de 20 mm, cobrimento da armadura longitudinal de 3,5 cm. Naquela tabela foram arbitrados os valores de α, ε c,máx e ε s,máx. Os valores de ε o, h α, d s, h α /r α, h x /r x, h y /r y e x LN foram calculados pelas fórmulas abaixo: Y h α d s x LN ε c ds (senα+cos α) h y CE α X ε c,máx ε=2%o σ c σ c,máx d s d s h x ε o R cd ε s,i R st,i ε s,máx R st,1 Figura 11.2 Esquemas de seção transversal, com o diagrama de deformações e de tensões no concreto (n x =4, n y =2). n x = número de barras associadas aos lados de comprimento h x n y = número de barras associadas aos lados de comprimento h y Barras associadas aos vértices = 4 Número de barras = 2.(n x + n y ) + 4 h α = h y.conα + h x.senα (11.1) XI - 3

5 d s = h α - d s.(senα + cosα) (11.2) ( ε ε ) h α c, máx s, máx hα. rα d s = (11.3) ε o = ε c,máx - 0,5.(h α /r α ) (11.4) h r h r x x y y hx hα =.. senα (11.5) h r α α hy hα =.. senα (11.6) h r α α ε x. c, máx LN = d s (11.7) ε c, máx ε s, máx Os valores dos esforços resistentes N Rd, M Rxd e M Ryd e da inclinação do eixo de solicitação θ, foram obtidos através da rotina indicada no item a. Para cada uma das rotinas dos itens b, c, e d as entradas de dados são diferentes e para cada uma delas os resultados confirmam os valores correspondentes da tabela para todos os exemplos. Com as rotinas dos itens e, f, g e h foram confirmados mais uma vez os valores da tabela que correspondem ao Estado Limite Último. Essa análise, embora ainda não garanta a exatidão dos resultados, garante a consistência entre as rotinas envolvidas. Uma vez que se comprovem os valores da tabela 11.1 se terá confirmado a validade dos resultados fornecidos pelas rotinas a a h. A verificação dos esforços resistentes N Rd, M Rxd e M Ryd, foi feita comparando-se esses valores com os obtidos com o programa FOCMC desenvolvido na dissertação de mestrado do Prof. França USP/SP. XI - 4

6 Tabela 11.1 Resultados obtidos do programa de flexão composta oblíqua para seção retangular. GERAÇÃO DE DADOS PARA TESTE DO PROGRAMA DE FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 01/março/2.006 Concreto: Aço: C25 CA 50 fck = 25 Mpa fyk = 500 Mpa?c = 1,4?s = 1,15 ec1 = 2,00 eyd = 2,07 ec,lim = 3,50 es,lim = 10,00 Fluência = 0 Es = 210 GPa Seção: Armadura: Retangular 16 F 20 hx = 60 cm As,1F = 3,1416 cm2 hy = 30 cm As,total = 50,27 cm2 cobrim = 3,5 cm ds' = 4,5 cm2 nx' = 4 ny' = 2 h y ds' ds Y h x nx' a ny' X LN ha = hy.con(alfa) + hx.sen(alfa) XLN = (EpsonCmax/(EpsonCmax - EpsonSmax)).ds ds = ha - ds'.(sen(alfa)+cos(alfa)) Os valores das colunas A, B e C foram arbitrados de modo a se obter combinações de deformações no E.L.U. e fora dele. Fora do E.L.U. se tem combinações de deformações considerando: ha/ra = ha.(epsoncmax - EpsonSmax)/ds 3,5 > ec,max > 2 e 2 > ec,max > 0 e 2 > es,max > 0, 0 > es,max > -2,07 e -2,07 > es,max > -10 Epson0 = EpsonCmax - 0,5.(ha/ra) As colunas D à J foram calculadas nesta planilha pelas fórmulas indicadas. As colunas K, L, M e N foram copiadas da planilha "a-1". hx/rx = (hx/ha).(ha/ra).sen(alfa) Esforços e deformações positivos são de compressão e negativos de tração. hy/ry = (hy/ha).(ha/ra).cos(alfa) Para o concreto foi considerado o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118/2003 XI-5

7 Tabela 11.1 Continuação. A B C D E F G hx/rx I J K L M N a ec,max es,max eo ha/ra ha ds hx/rx hy/ry XLN/ha NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 0 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 30,000 25,500 0,000 0, ,23 0,01 0,01 0,79 0 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 30,000 25,500 0,000 0, ,65 0,01 0,01 0,79 0 2,5000 0,5000 1,3235 2,353 30,000 25,500 0,000 2,353 1, ,61 0,01 123,90 0,00 0 2,0000 0,5000 1,1176 1,765 30,000 25,500 0,000 1,765 1, ,83 0,01 106,42 0,00 0 1,0000 0,5000 0,7059 0,588 30,000 25,500 0,000 0,588 1, ,62 0,01 43,74 0,00 0 3,5000 0,0000 1,4412 4,118 30,000 25,500 0,000 4,118 0, ,26 0,01 172,76 0,00 0 3,0000 0,0000 1,2353 3,529 30,000 25,500 0,000 3,529 0, ,55 0,01 174,42 0,00 0 2,0000 0,0000 0,8235 2,353 30,000 25,500 0,000 2,353 0, ,48 0,01 155,17 0,00 0 1,0000 0,0000 0,4118 1,176 30,000 25,500 0,000 1,176 0, ,26 0,01 94,27 0,00 0 3,5000-1,8000 0,3824 6,235 30,000 25,500 0,000 6,235 0, ,42 0,01 266,55 0,00 0 3,0000-1,8000 0,1765 5,647 30,000 25,500 0,000 5,647 0, ,75 0,01 263,44 0,00 0 2,0000-1,8000-0,2353 4,471 30,000 25,500 0,000 4,471 0, ,48 0,01 216,09 0,00 0 1,0000-1,8000-0,6471 3,294 30,000 25,500 0,000 3,294 0, ,41 0,01 140,20 0,00 0 3,5000-2,0700 0,2235 6,553 30,000 25,500 0,000 6, , ,60 0,01 277,32 0,00 0 3,0000-2,0700 0,0176 5,965 30,000 25,500 0,000 5,965 0, ,89 0,01 273,53 0,00 0 2,0000-2,0700-0,3941 4,788 30,000 25,500 0,000 4,788 0, ,78 0,01 222,83 0,00 0 1,0000-2,0700-0,8059 3,612 30,000 25,500 0,000 3,612 0, ,45 0,01 147,08 0,00 0 3,5000-5,0000-1, ,000 30,000 25,500 0,000 10,000 0, ,21 0,01 259,28 0,00 0 3,0000-5,0000-1,7059 9,412 30,000 25,500 0,000 9,412 0, ,66 0,01 234,16 0,00 0 2,0000-5,0000-2,1176 8,235 30,000 25,500 0,000 8,235 0, ,29 0,01 176,31 0,00 0 1,0000-5,0000-2,5294 7,059 30,000 25,500 0,000 7,059 0, ,78 0,01 107,08 0,00 0 3, ,0000-4, ,882 30,000 25,500 0,000 15,882 0, ,24 0,01 192,05 0,00 0 3, ,0000-4, ,294 30,000 25,500 0,000 15,294 0, ,91 0,01 167,95 0,00 0 2, ,0000-5, ,118 30,000 25,500 0,000 14,118 0, ,40 0,01 115,75 0,00 0 1, ,0000-5, ,941 30,000 25,500 0,000 12,941 0, ,44 0,01 59,41 0,00 XI - 6

8 Tabela 11.1 Continuação. A B C D E F G hx/rx I J K L M N a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 22,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 50,677 44,798 0,000 0, ,23 0,01 0,01 0,79 22,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 50,677 44,798 0,000 0, ,65 0,01 0,01 0,79 22,5 2,5000 0,5000 1,3688 2,262 50,677 44,798 1,025 1,237 1, ,26 112,36 63,17 60,65 22,5 2,0000 0,5000 1,1516 1,697 50,677 44,798 0,769 0,928 1, ,32 97,32 54,89 60,58 22,5 1,0000 0,5000 0,7172 0,566 50,677 44,798 0,256 0,309 1, ,97 40,04 22,88 60,25 22,5 3,5000 0,0000 1,5203 3,959 50,677 44,798 1,794 2,165 0, ,47 161,64 91,99 60,36 22,5 3,0000 0,0000 1,3031 3,394 50,677 44,798 1,538 1,856 0, ,75 166,98 95,19 60,31 22,5 2,0000 0,0000 0,8688 2,262 50,677 44,798 1,025 1,237 0, ,79 147,81 84,23 60,32 22,5 1,0000 0,0000 0,4344 1,131 50,677 44,798 0,513 0,619 0, ,96 89,12 51,30 60,07 22,5 3,5000-1,8000 0,5022 5,996 50,677 44,798 2,716 3,279 0, ,06 280,70 163,79 59,74 22,5 3,0000-1,8000 0,2850 5,430 50,677 44,798 2,460 2,970 0, ,64 268,75 155,79 59,90 22,5 2,0000-1,8000-0,1494 4,299 50,677 44,798 1,948 2,351 0, ,97 214,65 119,82 60,83 22,5 1,0000-1,8000-0,5837 3,167 50,677 44,798 1,435 1,732 0, ,90 129,35 69,16 61,86 22,5 3,5000-2,0700 0,3495 6,301 50,677 44,798 2,855 3, , ,96 290,12 168,70 59,82 22,5 3,0000-2,0700 0,1323 5,735 50,677 44,798 2,599 3,137 0, ,80 276,66 158,90 60,13 22,5 2,0000-2,0700-0,3021 4,604 50,677 44,798 2,086 2,518 0, ,25 219,43 120,94 61,14 22,5 1,0000-2,0700-0,7365 3,473 50,677 44,798 1,574 1,899 0, ,05 134,92 71,88 61,95 22,5 3,5000-5,0000-1,3078 9,616 50,677 44,798 4,357 5,259 0, ,98 263,28 149,00 60,49 22,5 3,0000-5,0000-1,5250 9,050 50,677 44,798 4,100 4,950 0, ,22 236,15 131,35 60,92 22,5 2,0000-5,0000-1,9594 7,919 50,677 44,798 3,588 4,331 0, ,84 165,95 88,99 61,80 22,5 1,0000-5,0000-2,3937 6,787 50,677 44,798 3,075 3,712 0, ,56 97,80 49,36 63,22 22,5 3, ,0000-4, ,272 50,677 44,798 6,919 8,352 0, ,45 166,99 82,79 63,63 22,5 3, ,0000-4, ,706 50,677 44,798 6,663 8,043 0, ,17 140,29 66,98 64,48 22,5 2, ,0000-4, ,575 50,677 44,798 6,151 7,424 0, ,27 85,64 39,57 65,20 22,5 1, ,0000-5, ,444 50,677 44,798 5,638 6,806 0, ,00 37,50 17,40 65,13 XI - 7

9 Tabela 11.1 Continuação. A B C D E F G hx/rx I J K L M N a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 45 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 63,640 57,276 0,000 0, ,23 0,01 0,01 0, ,2000 1,2000 1,2000 0,000 63,640 57,276 0,000 0, ,65 0,01 0,01 0, ,5000 0,5000 1,3889 2,222 63,640 57,276 1,481 0,741 1, ,21 160,29 36,65 77, ,0000 0,5000 1,1667 1,667 63,640 57,276 1,111 0,556 1, ,44 139,50 32,57 76, ,0000 0,5000 0,7222 0,556 63,640 57,276 0,370 0,185 1, ,51 57,74 13,66 76, ,5000 0,0000 1,5556 3,889 63,640 57,276 2,593 1,296 0, ,52 227,91 52,36 77, ,0000 0,0000 1,3333 3,333 63,640 57,276 2,222 1,111 0, ,76 238,22 53,88 77, ,0000 0,0000 0,8889 2,222 63,640 57,276 1,481 0,741 0, ,67 212,81 49,86 76, ,0000 0,0000 0,4444 1,111 63,640 57,276 0,741 0,370 0, ,76 128,90 30,55 76, ,5000-1,8000 0,5556 5,889 63,640 57,276 3,926 1,963 0, ,10 422,53 85,43 78, ,0000-1,8000 0,3333 5,333 63,640 57,276 3,556 1,778 0, ,31 404,75 84,65 78, ,0000-1,8000-0,1111 4,222 63,640 57,276 2,815 1,407 0, ,22 315,76 71,54 77, ,0000-1,8000-0,5556 3,111 63,640 57,276 2,074 1,037 0, ,17 184,15 45,29 76, ,5000-2,0700 0,4056 6,189 63,640 57,276 4,126 2, , ,15 436,90 89,18 78, ,0000-2,0700 0,1833 5,633 63,640 57,276 3,756 1,878 0, ,87 414,58 87,68 78, ,0000-2,0700-0,2611 4,522 63,640 57,276 3,015 1,507 0, ,33 320,37 73,81 77, ,0000-2,0700-0,7056 3,411 63,640 57,276 2,274 1,137 0, ,65 191,85 46,96 76, ,5000-5,0000-1,2222 9,444 63,640 57,276 6,296 3,148 0,371-97,66 396,01 87,88 77, ,0000-5,0000-1,4444 8,889 63,640 57,276 5,926 2,963 0, ,44 351,07 82,30 76, ,0000-5,0000-1,8889 7,778 63,640 57,276 5,185 2,593 0, ,64 242,25 59,56 76, ,0000-5,0000-2,3333 6,667 63,640 57,276 4,444 2,222 0, ,21 140,22 34,53 76, , ,0000-4, ,000 63,640 57,276 10,000 5,000 0, ,82 236,33 68,27 73, , ,0000-4, ,444 63,640 57,276 9,630 4,815 0, ,97 193,22 58,50 73, , ,0000-4, ,333 63,640 57,276 8,889 4,444 0, ,89 116,42 37,73 72, , ,0000-5, ,222 63,640 57,276 8,148 4,074 0, ,70 54,23 19,65 70,08 XI - 8

10 Tabela 11.1 Continuação. A B C D E F G hx/rx I J K L M N a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 67,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 66,913 61,034 0,000 0, ,23 0,01 0,01 0,79 67,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 66,913 61,034 0,000 0, ,65 0,01 0,01 0,79 67,5 2,5000 0,5000 1,4037 2,193 66,913 61,034 1,816 0,376 1, ,61 192,52 17,56 84,79 67,5 2,0000 0,5000 1,1778 1,644 66,913 61,034 1,362 0,282 1, ,34 170,02 16,43 84,48 67,5 1,0000 0,5000 0,7259 0,548 66,913 61,034 0,454 0,094 1, ,37 70,68 6,92 84,40 67,5 3,5000 0,0000 1,5814 3,837 66,913 61,034 3,179 0,658 0, ,89 271,93 26,30 84,48 67,5 3,0000 0,0000 1,3555 3,289 66,913 61,034 2,725 0,564 0, ,04 282,22 26,07 84,72 67,5 2,0000 0,0000 0,9037 2,193 66,913 61,034 1,816 0,376 0, ,04 259,31 24,89 84,52 67,5 1,0000 0,0000 0,4518 1,096 66,913 61,034 0,908 0,188 0, ,40 157,69 15,35 84,44 67,5 3,5000-1,8000 0,5947 5,811 66,913 61,034 4,814 0,997 0, ,42 484,81 38,01 85,52 67,5 3,0000-1,8000 0,3688 5,262 66,913 61,034 4,360 0,903 0, ,41 474,78 37,61 85,47 67,5 2,0000-1,8000-0,0830 4,166 66,913 61,034 3,451 0,715 0, ,96 386,85 35,16 84,81 67,5 1,0000-1,8000-0,5349 3,070 66,913 61,034 2,543 0,527 0, ,01 236,52 24,34 84,12 67,5 3,5000-2,0700 0,4467 6,107 66,913 61,034 5,059 1, , ,15 504,63 39,76 85,49 67,5 3,0000-2,0700 0,2208 5,558 66,913 61,034 4,605 0,954 0, ,63 490,60 39,31 85,42 67,5 2,0000-2,0700-0,2310 4,462 66,913 61,034 3,697 0,766 0, ,60 396,27 36,62 84,72 67,5 1,0000-2,0700-0,6829 3,366 66,913 61,034 2,788 0,577 0, ,55 246,32 25,63 84,06 67,5 3,5000-5,0000-1,1594 9,319 66,913 61,034 7,720 1,599 0, ,67 486,70 39,07 85,41 67,5 3,0000-5,0000-1,3853 8,771 66,913 61,034 7,266 1,505 0,342-59,60 442,46 39,80 84,86 67,5 2,0000-5,0000-1,8372 7,674 66,913 61,034 6,358 1,317 0, ,43 316,62 33,23 84,01 67,5 1,0000-5,0000-2,2890 6,578 66,913 61,034 5,449 1,129 0, ,43 184,52 21,27 83,42 67,5 3, ,0000-3, ,800 66,913 61,034 12,261 2,539 0, ,35 339,58 39,65 83,34 67,5 3, ,0000-4, ,252 66,913 61,034 11,807 2,445 0, ,29 286,87 38,17 82,42 67,5 2, ,0000-4, ,156 66,913 61,034 10,899 2,257 0, ,70 183,72 28,30 81,24 67,5 1, ,0000-5, ,060 66,913 61,034 9,991 2,069 0, ,00 95,21 15,48 80,76 XI - 9

11 Tabela 11.1 Continuação. A B C D E F G hx/rx I J K L M N a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 90 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 60,000 55,500 0,000 0, ,23 0,01 0,01 0, ,2000 1,2000 1,2000 0,000 60,000 55,500 0,000 0, ,65 0,01 0,01 0, ,5000 0,5000 1,4189 2,162 60,000 55,500 2,162 0,000 1, ,11 219,98 0,01 90, ,0000 0,5000 1,1892 1,622 60,000 55,500 1,622 0,000 1, ,66 201,11 0,01 90, ,0000 0,5000 0,7297 0,541 60,000 55,500 0,541 0,000 1, ,63 84,00 0,01 90, ,5000 0,0000 1,6081 3,784 60,000 55,500 3,784 0,000 0, ,66 313,31 0,01 90, ,0000 0,0000 1,3784 3,243 60,000 55,500 3,243 0,000 0, ,32 322,01 0,01 90, ,0000 0,0000 0,9189 2,162 60,000 55,500 2,162 0,000 0, ,78 303,19 0,01 90, ,0000 0,0000 0,4595 1,081 60,000 55,500 1,081 0,000 0, ,99 185,55 0,01 90, ,5000-1,8000 0,6351 5,730 60,000 55,500 5,730 0,000 0, ,92 524,21 0,01 90, ,0000-1,8000 0,4054 5,189 60,000 55,500 5,189 0,000 0, ,01 515,85 0,01 90, ,0000-1,8000-0,0541 4,108 60,000 55,500 4,108 0,000 0, ,69 450,85 0,01 90, ,0000-1,8000-0,5135 3,027 60,000 55,500 3,027 0,000 0, ,95 294,49 0,01 90, ,5000-2,0700 0,4892 6,022 60,000 55,500 6,022 0, , ,72 546,09 0,01 90, ,0000-2,0700 0,2595 5,481 60,000 55,500 5,481 0,000 0, ,36 535,61 0,01 90, ,0000-2,0700-0,2000 4,400 60,000 55,500 4,400 0,000 0, ,81 465,70 0,01 90, ,0000-2,0700-0,6595 3,319 60,000 55,500 3,319 0,000 0, ,08 308,99 0,01 90, ,5000-5,0000-1,0946 9,189 60,000 55,500 9,189 0,000 0, ,10 528,33 0,01 90, ,0000-5,0000-1,3243 8,649 60,000 55,500 8,649 0,000 0, ,22 507,08 0,01 90, ,0000-5,0000-1,7838 7,568 60,000 55,500 7,568 0,000 0, ,54 402,49 0,01 90, ,0000-5,0000-2,2432 6,486 60,000 55,500 6,486 0,000 0, ,65 253,29 0,01 90, , ,0000-3, ,595 60,000 55,500 14,595 0,000 0, ,38 445,95 0,01 90, , ,0000-4, ,054 60,000 55,500 14,054 0,000 0, ,53 415,61 0,01 90, , ,0000-4, ,973 60,000 55,500 12,973 0,000 0, ,52 300,93 0,01 90, , ,0000-4, ,892 60,000 55,500 11,892 0,000 0, ,08 176,78 0,01 90,00 XI - 10

12 A seguir são mostradas algumas entradas de dados e os correspondentes resultados fornecidos pelo programa. Esses valores podem ser encontrados na tabela Todos os resultados foram conferido através do programa FOC desenvolvido junto com os trabalhos da dissertação de mestrado do Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França. Figura 11.3 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a seção retangular. Figura 11.4 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.b seção retangular. XI-11

13 Figura 11.5 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c seção retangular. Figura 11.6 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d seção retangular. XI - 12

14 Figura 11.7 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e seção retangular. Figura 11.8 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f seção retangular. XI - 13

15 Figura 11.9 Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g seção retangular Seção em L A tabela 11.2 mostra os resultados da verificação do programa para uma seção em L. Da mesma forma que para a seção retangular, foram arbitrados os valores de α, ε c,máx e ε s,máx. Os valores de ε o, h α, d s, h α /r α, h x /r x, h y /r y e x LN foram calculados pelas expressões 11.1 a Os esforços resistentes N Rd, M Rxd e M Ryd foram calculados pela rotina indicada no item 11.1.a acima. Todos os valores indicados na tabela foram confirmados pelas rotinas 11.1.b a 11.1.h. Algumas entradas de dados e correspondentes resultados estão indicados nas figuras a XI - 14

16 Tabela 11.2 Resultados obtidos do programa de flexão composta oblíqua para seção em L. GERAÇÃO DE DADOS PARA TESTE DO PROGRAMA DE FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA Seção em L b Concreto: Aço: x Y C25 CA 50 fck = 25 Mpa fyk = 500 Mpa?c = 1,4?s = 1,15 ec1 = 2,00 eyd = 2,07 n3' ec,lim = 3,50 es,lim = 10,00 h y n1 n4 Fluência = 0 Es = 210 GPa Seção: Armadura: Em L 14 F 12,5 hx = 50 cm As,1F = 1,22718 cm2 n1 = 2 hy = 30 cm As,total = 17,1806 cm2 n2 = 0 bx = 14 cm cobrim = 3,5 cm n3 = 1 by = 14 cm ds' = 4,125 cm n4 = 2 nx' = 4 n5 = 0 ny' = 2 n6 = 3 ds' ds n6 h x 01/março/2.006 X a LN b y ha = hy.con(alfa) + hx.sen(alfa) XLN = (EpsonCmax/(EpsonCmax - EpsonSmax)).ds ds = ha - ds'.(sen(alfa)+cos(alfa)) Os valores das colunas A, B e C foram arbitrados de modo a se obter combinações de deformações no E.L.U. e fora dele. Fora do E.L.U. se tem combinações de deformações considerando: ha/ra = ha.(epsoncmax - EpsonSmax)/ds 3,5 > ec,max > 2 e 2 > ec,max > 0 e 2 > es,max > 0, 0 > es,max > -2,07 e -2,07 > es,max > -10 Epson0 = EpsonCmax - 0,5.(ha/ra) As colunas D à J foram calculadas nesta planilha pelas fórmulas indicadas. As colunas K, L, M e N foram copiadas da planilha "a-1". hx/rx = (hx/ha).(ha/ra).sen(alfa) Esforços e deformações positivos são de compressão e negativos de tração. hy/ry = (hy/ha).(ha/ra).cos(alfa) Para o concreto foi considerado o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118/2003 XI-15

17 Tabela 11.2 Continuação. A B C D E F G H I J K L M a ec,max es,max eo ha/ra ha ds hx/rx hy/ry XLN/ha NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 0 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 30,000 25,875 0,000 0, ,06 0,00 0,00 0,00 0 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 30,000 25,875 0,000 0, ,03 0,00 0,00 0,00 0 2,5000 0,5000 1,0033 2,319 30,000 25,875 0,000 2,319 1, ,10-39,29 42,60-42,68 0 2,0000 0,5000 0,8775 1,739 30,000 25,875 0,000 1,739 1, ,09-34,48 36,94-43,02 0 1,0000 0,5000 0,6258 0,580 30,000 25,875 0,000 0,580 1, ,87-15,97 16,19-44,60 0 3,5000 0,0000 0,8808 4,058 30,000 25,875 0,000 4,058 0, ,34-55,12 60,99-42,11 0 3,0000 0,0000 0,7549 3,478 30,000 25,875 0,000 3,478 0, ,63-54,59 60,05-42,28 0 2,0000 0,0000 0,5033 2,319 30,000 25,875 0,000 2,319 0, ,47-48,16 52,57-42,49 0 1,0000 0,0000 0,2516 1,159 30,000 25,875 0,000 1,159 0, ,10-29,58 32,25-42,53 0 3,5000-1,8000-0,4663 6,145 30,000 25,875 0,000 6,145 0, ,31-75,02 72,19-46,10 0 3,0000-1,8000-0,5921 5,565 30,000 25,875 0,000 5,565 0,539 97,01-70,48 69,34-45,47 0 2,0000-1,8000-0,8437 4,406 30,000 25,875 0,000 4,406 0,454-70,45-52,23 55,25-43,39 0 1,0000-1,8000-1,0954 3,246 30,000 25,875 0,000 3,246 0, ,14-27,78 32,32-40,69 0 3,5000-2,0700-0,6683 6,458 30,000 25,875 0,000 6,458 0,542 70,47-75,17 73,16-45,78 0 3,0000-2,0700-0,7942 5,878 30,000 25,875 0,000 5,878 0,510 14,85-69,96 70,30-44,86 0 2,0000-2,0700-1,0458 4,719 30,000 25,875 0,000 4,719 0, ,23-51,59 55,61-42,85 0 1,0000-2,0700-1,2974 3,559 30,000 25,875 0,000 3,559 0, ,32-27,90 32,94-40,27 0 3,5000-5,0000-2,8610 9,855 30,000 25,875 0,000 9,855 0, ,54-55,41 60,77-42,36 0 3,0000-5,0000-2,9868 9,275 30,000 25,875 0,000 9,275 0, ,00-47,97 54,42-41,40 0 2,0000-5,0000-3,2385 8,116 30,000 25,875 0,000 8,116 0, ,99-30,64 38,31-38,65 0 1,0000-5,0000-3,4901 6,957 30,000 25,875 0,000 6,957 0, ,00-11,80 19,00-31,83 0 3, ,0000-6, ,652 30,000 25,875 0,000 15,652 0, ,66-28,89 40,14-35,75 0 3, ,0000-6, ,072 30,000 25,875 0,000 15,072 0, ,82-23,69 34,47-34,50 0 2, ,0000-6, ,913 30,000 25,875 0,000 13,913 0, ,67-12,67 22,00-29,94 0 1, ,0000-7, ,754 30,000 25,875 0,000 12,754 0, ,26-1,27 8,41-8,59 XI - 16

18 Tabela 11.2 Continuação. A B C D E F G H I J K L M a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 22,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 33,074 27,684 0,000 0, ,06 0,00 0,00 0,00 22,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 33,074 27,684 0,000 0, ,03 0,00 0,00 0,00 22,5 2,5000 0,5000 1,3911 2,389 33,074 27,684 1,382 2,002 1, ,97 17,13 22,54 37,24 22,5 2,0000 0,5000 1,1683 1,792 33,074 27,684 1,037 1,502 1, ,62 14,71 20,27 35,97 22,5 1,0000 0,5000 0,7228 0,597 33,074 27,684 0,346 0,501 1, ,88 4,91 9,72 26,83 22,5 3,5000 0,0000 1,5594 4,181 33,074 27,684 2,419 3,504 0, ,82 31,99 29,80 47,03 22,5 3,0000 0,0000 1,3366 3,584 33,074 27,684 2,073 3,003 0, ,44 31,67 31,34 45,30 22,5 2,0000 0,0000 0,8911 2,389 33,074 27,684 1,382 2,002 0, ,40 27,98 29,29 43,69 22,5 1,0000 0,0000 0,4455 1,195 33,074 27,684 0,691 1,001 0, ,47 17,52 18,72 43,10 22,5 3,5000-1,8000 0,5613 6,332 33,074 27,684 3,663 5,306 0, ,15 51,43 48,84 46,48 22,5 3,0000-1,8000 0,3386 5,734 33,074 27,684 3,318 4,806 0, ,57 47,11 47,61 44,70 22,5 2,0000-1,8000-0,1070 4,540 33,074 27,684 2,626 3,804 0, ,65 33,85 37,54 42,04 22,5 1,0000-1,8000-0,5525 3,345 33,074 27,684 1,935 2,803 0,299-93,58 19,04 19,03 45,01 22,5 3,5000-2,0700 0,4116 6,654 33,074 27,684 3,850 5, , ,92 52,17 50,01 46,21 22,5 3,0000-2,0700 0,1889 6,057 33,074 27,684 3,504 5,076 0, ,89 47,15 48,21 44,36 22,5 2,0000-2,0700-0,2567 4,862 33,074 27,684 2,813 4,075 0, ,16 33,61 37,22 42,09 22,5 1,0000-2,0700-0,7022 3,668 33,074 27,684 2,122 3,074 0, ,40 20,19 18,59 47,37 22,5 3,5000-5,0000-1, ,155 33,074 27,684 5,875 8,510 0,345 51,35 36,95 45,55 39,04 22,5 3,0000-5,0000-1,4357 9,557 33,074 27,684 5,529 8,009 0,314-81,42 31,69 39,43 38,79 22,5 2,0000-5,0000-1,8813 8,363 33,074 27,684 4,838 7,008 0, ,29 21,80 24,61 41,54 22,5 1,0000-5,0000-2,3268 7,168 33,074 27,684 4,147 6,007 0, ,65 15,89 9,04 60,35 22,5 3, ,0000-3, ,128 33,074 27,684 9,331 13,516 0, ,74 15,67 25,85 31,23 22,5 3, ,0000-4, ,531 33,074 27,684 8,985 13,015 0, ,82 13,83 19,86 34,85 22,5 2, ,0000-4, ,336 33,074 27,684 8,294 12,014 0, ,12 12,03 8,23 55,64 22,5 1, ,0000-5, ,141 33,074 27,684 7,603 11,013 0, ,09 11,38-1,25 96,31 XI - 17

19 Tabela 11.2 Continuação. A B C D E F G H I J K L M a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 45 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 45,255 39,421 0,000 0, ,06 0,00 0,00 0, ,2000 1,2000 1,2000 0,000 45,255 39,421 0,000 0, ,03 0,00 0,00 0, ,5000 0,5000 1,3259 2,296 45,255 39,421 1,794 1,076 1, ,24 39,88 7,54 79, ,0000 0,5000 1,1194 1,722 45,255 39,421 1,345 0,807 1, ,02 36,98 5,91 80, ,0000 0,5000 0,7065 0,574 45,255 39,421 0,448 0,269 1, ,43 15,50 2,85 79, ,5000 0,0000 1,4454 4,018 45,255 39,421 3,139 1,883 0, ,63 59,27 13,10 77, ,0000 0,0000 1,2389 3,444 45,255 39,421 2,691 1,614 0, ,17 64,26 10,86 80, ,0000 0,0000 0,8259 2,296 45,255 39,421 1,794 1,076 0, ,04 63,57 6,82 83, ,0000 0,0000 0,4130 1,148 45,255 39,421 0,897 0,538 0, ,18 41,63 3,32 85, ,5000-1,8000 0,3887 6,084 45,255 39,421 4,753 2,852 0, ,13 123,64 0,64 89, ,0000-1,8000 0,1822 5,510 45,255 39,421 4,305 2,583 0, ,36 121,36-2,34 91, ,0000-1,8000-0,2307 4,362 45,255 39,421 3,408 2,045 0, ,68 98,14-5,23 93, ,0000-1,8000-0,6437 3,214 45,255 39,421 2,511 1,507 0, ,23 54,50-3,11 93, ,5000-2,0700 0,2302 6,394 45,255 39,421 4,996 2, , ,69 128,79-1,63 90, ,0000-2,0700 0,0237 5,820 45,255 39,421 4,547 2,728 0, ,51 124,65-4,09 91, ,0000-2,0700-0,3892 4,672 45,255 39,421 3,650 2,190 0,428 94,59 98,59-5,72 93, ,0000-2,0700-0,8022 3,524 45,255 39,421 2,753 1,652 0, ,79 55,46-3,16 93, ,5000-5,0000-1,4898 9,758 45,255 39,421 7,623 4,574 0, ,39 126,17-15,21 96, ,0000-5,0000-1,6963 9,184 45,255 39,421 7,175 4,305 0, ,10 112,21-14,01 97, ,0000-5,0000-2,1093 8,036 45,255 39,421 6,278 3,767 0, ,88 77,30-11,01 98, ,0000-5,0000-2,5222 6,888 45,255 39,421 5,381 3,229 0, ,22 44,97-9,44 101, , ,0000-4, ,498 45,255 39,421 12,108 7,265 0, ,79 77,46-11,05 98, , ,0000-4, ,924 45,255 39,421 11,659 6,996 0, ,36 64,58-9,67 98, , ,0000-5, ,776 45,255 39,421 10,762 6,457 0, ,82 41,42-7,71 100, , ,0000-5, ,628 45,255 39,421 9,865 5,919 0, ,15 23,80-6,46 105,20 XI - 18

20 Tabela 11.2 Continuação. A B C D E F G H I J K L M a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 67,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 51,552 46,162 0,000 0, ,06 0,00 0,00 0,00 67,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 51,552 46,162 0,000 0, ,03 0,00 0,00 0,00 67,5 2,5000 0,5000 1,2689 2,234 51,552 46,162 2,001 0,497 1, ,57 55,63-4,43 94,56 67,5 2,0000 0,5000 1,0767 1,675 51,552 46,162 1,501 0,373 1, ,64 51,42-4,47 94,97 67,5 1,0000 0,5000 0,6922 0,558 51,552 46,162 0,500 0,124 1, ,81 21,67-1,47 93,90 67,5 3,5000 0,0000 1,3455 3,909 51,552 46,162 3,502 0,870 0, ,18 86,44-7,20 94,76 67,5 3,0000 0,0000 1,1533 3,350 51,552 46,162 3,002 0,746 0, ,94 90,42-8,89 95,62 67,5 2,0000 0,0000 0,7689 2,234 51,552 46,162 2,001 0,497 0, ,24 86,71-9,88 96,51 67,5 1,0000 0,0000 0,3844 1,117 51,552 46,162 1,001 0,249 0, ,63 55,91-6,77 96,91 67,5 3,5000-1,8000 0,2375 5,919 51,552 46,162 5,304 1,318 0, ,44 153,06-27,61 100,23 67,5 3,0000-1,8000 0,0453 5,360 51,552 46,162 4,803 1,194 0, ,22 148,56-26,28 100,03 67,5 2,0000-1,8000-0,3391 4,244 51,552 46,162 3,803 0,945 0, ,12 121,59-20,11 99,39 67,5 1,0000-1,8000-0,7236 3,127 51,552 46,162 2,802 0,696 0, ,46 72,43-12,08 99,47 67,5 3,5000-2,0700 0,0713 6,220 51,552 46,162 5,574 1, , ,37 157,05-28,22 100,19 67,5 3,0000-2,0700-0,1209 5,662 51,552 46,162 5,074 1,261 0, ,13 151,78-26,54 99,92 67,5 2,0000-2,0700-0,5053 4,545 51,552 46,162 4,073 1,012 0,440 71,31 123,16-20,33 99,38 67,5 1,0000-2,0700-0,8898 3,428 51,552 46,162 3,072 0,764 0, ,14 74,53-12,73 99,69 67,5 3,5000-5,0000-1,7323 9,492 51,552 46,162 8,506 2,114 0,369-84,79 148,06-28,38 100,85 67,5 3,0000-5,0000-1,9245 8,934 51,552 46,162 8,006 1,990 0, ,51 135,35-25,16 100,53 67,5 2,0000-5,0000-2,3090 7,817 51,552 46,162 7,005 1,741 0, ,51 97,54-17,88 100,39 67,5 1,0000-5,0000-2,6934 6,701 51,552 46,162 6,004 1,492 0, ,92 55,88-11,85 101,97 67,5 3, ,0000-4, ,076 51,552 46,162 13,509 3,357 0, ,16 103,84-17,63 99,64 67,5 3, ,0000-5, ,518 51,552 46,162 13,009 3,233 0, ,04 88,64-15,10 99,67 67,5 2, ,0000-5, ,401 51,552 46,162 12,008 2,984 0, ,78 58,43-10,82 100,50 67,5 1, ,0000-5, ,284 51,552 46,162 11,008 2,736 0, ,39 33,75-8,19 103,64 XI - 19

21 Tabela 11.2 Continuação. A B C D E F G H I J K L M a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd? (graus) ( ) ( ) ( ) ( ) (cm) (cm) ( ) ( ) ( ) (kn) (kn.m) (kn.m) (graus) 90 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 50,000 45,875 0,000 0, ,06 0,00 0,00 0, ,2000 1,2000 1,2000 0,000 50,000 45,875 0,000 0, ,03 0,00 0,00 0, ,5000 0,5000 1,2198 2,180 50,000 45,875 2,180 0,000 1, ,54 71,11-16,70 103, ,0000 0,5000 1,0399 1,635 50,000 45,875 1,635 0,000 1, ,40 64,86-14,50 102, ,0000 0,5000 0,6800 0,545 50,000 45,875 0,545 0,000 1, ,93 27,09-5,32 101, ,5000 0,0000 1,2597 3,815 50,000 45,875 3,815 0,000 0, ,66 112,21-29,22 104, ,0000 0,0000 1,0798 3,270 50,000 45,875 3,270 0,000 0, ,12 114,01-28,95 104, ,0000 0,0000 0,7198 2,180 50,000 45,875 2,180 0,000 0, ,73 106,02-25,18 103, ,0000 0,0000 0,3599 1,090 50,000 45,875 1,090 0,000 0, ,52 67,46-15,44 102, ,5000-1,8000 0,1076 5,777 50,000 45,875 5,777 0,000 0, ,18 168,34-40,68 103, ,0000-1,8000-0,0724 5,232 50,000 45,875 5,232 0,000 0, ,09 163,34-38,10 103, ,0000-1,8000-0,4323 4,142 50,000 45,875 4,142 0,000 0, ,78 139,26-30,75 102, ,0000-1,8000-0,7922 3,052 50,000 45,875 3,052 0,000 0, ,65 88,18-20,09 102, ,5000-2,0700-0,0652 6,071 50,000 45,875 6,071 0,000 0, ,81 173,15-41,51 103, ,0000-2,0700-0,2452 5,526 50,000 45,875 5,526 0,000 0, ,69 167,64-38,93 103, ,0000-2,0700-0,6051 4,436 50,000 45,875 4,436 0,000 0,451 54,66 142,27-31,63 102, ,0000-2,0700-0,9650 3,346 50,000 45,875 3,346 0,000 0, ,84 91,53-21,33 103, ,5000-5,0000-1,9407 9,264 50,000 45,875 9,264 0,000 0,378-35,37 155,32-32,30 101, ,0000-5,0000-2,1206 8,719 50,000 45,875 8,719 0,000 0, ,39 146,55-29,79 101, ,0000-5,0000-2,4806 7,629 50,000 45,875 7,629 0,000 0, ,21 113,80-22,83 101, ,0000-5,0000-2,8405 6,540 50,000 45,875 6,540 0,000 0, ,00 69,53-15,13 102, , ,0000-5, ,714 50,000 45,875 14,714 0,000 0, ,06 122,23-23,28 100, , ,0000-5, ,169 50,000 45,875 14,169 0,000 0, ,79 110,73-21,13 100, , ,0000-5, ,079 50,000 45,875 13,079 0,000 0, ,73 79,43-15,76 101, , ,0000-6, ,989 50,000 45,875 11,989 0,000 0, ,76 48,19-11,02 102,89 XI - 20

22 Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a seção em L Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a seção em L. XI-21

23 Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c seção em L. Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d seção em L. XI - 22

24 Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e seção em L. Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f seção em L. XI - 23

25 Figura Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g seção em L Flexão Composta Normal Em sua dissertação de mestrado o professor França apresenta a Tabela A3.1 Moment-curvature for Φ = 0 and Φ = 2, rectangular section, corner reinforcmente; e s = 0,2%, d /h = 0.1 publicada no apêndice 3 do Boletim n. 123 do CEB, aqui reproduzida na tabela h d d ε yd = e s,ceb = 0,2% E s = 200 GPa σ c x ε c : parábola-retângulo f c = 0,85.f cd ω = A s.f yd / A c.f c ν = N d / A c.f c b µ = M d / A c.h.f c d /h = 0,10 Figura Seção retangular com armadura nos cantos (4 barras). Essa tabela fornece os valores de momentos reduzidos (µ) para a seção retangular com armadura só nos cantos conforme a figura em função das curvaturas XI - 24

26 dadas na tabela por a = 1000.h/r, da taxa mecânica de armadura (ω), da força normal reduzida (ν) e do coeficiente de fluência (Φ) do concreto. Ressalta-se que o CEB-FIP utiliza para tensão máxima do concreto f c = 0,85.f cd inclusive para o cálculo das grandezas ν, µ e ω conforme está indicado na figura Na tabela 11.4 encontram-se os resultados fornecidos pelo programa desenvolvido neste trabalho para os mesmos dados utilizados pelo CEB-FIP, com Φ = 0. Observese entretanto que: ω o = ω o,tot = 2.ω CEB (12.8) pois o Boletim calcula esse valor apenas para a metade da armadura existente. Na confecção da tabela 11.4 pelo programa desenvolvido neste trabalho utilizou-se: b = 25 cm, h = 50 cm, d = 0,10h = 5 cm, concreto C25 (f ck = 25 MPa), γ c = 1,4 e θ = 0, aço com f yk = 460 MPa, γ s = 1,15. Entretanto, os resultados independem desses valores. O coeficiente de fluência é φ = 0 Da comparação dos resultados encontrados nas duas tabela observa-se quase total coincidência dos valores. Na tabela 11.5 são mostrados os resultados obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho. Também neste caso, da comparação dos resultados encontrados nas duas tabelas para φ = 2, observa-se quase total coincidência dos valores. XI - 25

27 Tabela 11.3 Momentos reduzidos (µ), seção retangular, armadura nos cantos, para coeficiente de fluência Φ = 0 e Φ = 2. XI-26

28 Tabela Momentos reduzidos (µ), seção retangular, armadura nos cantos, para coeficiente de fluência Φ = 0. Resultados obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho. MOMENTOS REDUZIDOS - SEÇÃO RETANGULAR, ARMADURA NOS CANTOS, d'/h = 0,10 Fluencia = 0 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 13,00 14,02 14,13 9,42 7,07 5,81 5,10 4,50 4,01 3,59 2,90 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 13,57 14,31 14,13 9,42 7,07 5,89 5,33 4,83 4,38 3,99 3,64 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 13,90 14,48 14,13 9,42 7,07 5,94 5,48 5,06 4,67 4,31 3,97 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 14,10 14,58 14,13 9,42 7,07 5,97 5,59 5,23 4,88 4,56 4,25 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = ELU - MI = (h/r)u = 14,24 14,64 14,13 9,42 7,07 5,99 5,66 5,35 5,05 4,75 4,47 XI-27

29 Tabela Momentos reduzidos (µ), seção retangular, armadura nos cantos, para coeficiente de fluência Φ = 2. Resultados obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho. MOMENTOS REDUZIDOS - SEÇÃO RETANGULAR, ARMADURA NOS CANTOS, d'/h = 0,10 Fluencia = 2 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 13,63 14,88 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 12,92 11,92 11,01 9,82 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 14,09 14,92 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,23 12,52 11,84 11,19 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 14,32 14,94 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,39 12,85 12,32 11,80 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = , ELU - MI = (h/r)u = 14,46 14,95 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,49 13,05 12,62 12,20 W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, h/r 1000.MI = ELU - MI = (h/r)u = 14,55 14,96 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,56 13,19 12,83 12,47 XI - 28

30 11.4. Momento de 1ª Ordem Disponível na Flexão Composta Normal Na análise de pilares, que são essencialmente comprimidos, as solicitações totais de flexão em cada seção são compostas de duas parcelas: a) momentos de primeira ordem; b) momentos de segunda ordem. A segunda parcela depende fundamentalmente da esbeltez do pilar. Quanto mais esbelto, maiores serão os deslocamentos transversais devidos aos momentos de primeira ordem e conseqüentemente a força normal, inicialmente centrada, adquire uma excentricidade em cada seção. Essa excentricidade da força normal produz um acréscimo de momento que faz aumentar os deslocamentos e novamente os momentos. Se a seção transversal do pilar tiver capacidade resistente suficiente, os acréscimos de deslocamentos em cada iteração serão cada vez menores, convergido para um valor final. Se não, o pilar irá à ruptura por instabilidade. Na flexão normal composta, em pilares com momentos fletores de primeira ordem constantes ao longo de seu comprimento, é possível determinar o valor máximo permitido desse momento para que somado aos momentos de segunda ordem não leve o pilar à ruptura por instabilidade. Esse momento de primeira ordem é chamado momento disponível. Na dissertação de mestrado do Prof. França é apresentada uma tabela, retirada do Boletim n o 123 do CEB-FIP, que fornece os momentos reduzidos disponíveis em função da força normal reduzida, da taxa mecânica de armadura e da esbeltez do pilar. Essa tabela está reproduzida na tabela A tabela 11.7 apresenta os valores obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho. Comparando os valores das duas tabelas observa-se que os resultados fornecidos pelo programa desse trabalho são quase coincidentes com os do Boletim do CEB- FIP. A confecção da tabela utilizando o programa desenvolvido neste trabalho seguiu a seguinte seqüência. 1) Criada a Sub CEBTabelaA35 XI - 29

31 ν = Nsd A.0,85. f c cd Obtenção do momento de primeira ordem (M 1 ) disponível pelo processo do Pilar Padrão: A curva M 1/r será construída com a determinação de N pontos relacionando momento solicitante curvatura correspondente. Na figura a reta t, paralela à reta dos momentos de 2ª ordem, é tangente à curva µ - h/r. O momento crítico de instabilidade e a curvatura crítica são dados pela ordenada e abscissa respectivamente do ponto de tangência da reta t à curva µ - h/r. A reta t tem o mesmo coeficiente angular m o da reta que define os momentos de 2ª ordem. A equação da reta t é: µ = µ 1 + m o.h/r, onde µ 1 é o momento reduzido de 1ª ordem disponível para o pilar. O momento crítico de instabilidade pelo processo do Pilar Padrão será obtido com a ajustagem de uma parábola do 2º grau envolvendo três pontos consecutivos da curva M-1/r. A equação da parábola é dada por: M = a + b.k + c.k 2 µ Coef. Angular m(j-1) Coef. Angular m(j) Reta b Coef. Angular = mb reta t j-1 j 1 j+1 n 1 Reta 2ª.ordem Coef. Angular = m2o M1a ordem h/r Reta a Coef. Angular = ma Figura Diagrama momento-curvatura. Obtenção do momento de 1ª ordem disponível. XI - 30

32 Sendo (M 1, K 1 ); (M 2, K 2 ) e (M 3, K 3 ) as coordenadas dos três pontos, se tem o sistema de três equações a três incógnitas: M j-1 = a + b.k j-1 + c.k j M j = a + b.k j + c.k j M j+1 = a + b.k j+1 + c.k j+1 2 Matricialmente se pode escrever M j-1 1 K j-1 K j-1 2 a M j = 1 K j K j 2 b M j+1 1 K j+1 K j+1 2 c [M] = [K].[D] O determinante da matriz [K] é 1 K j-1 K j-1 2 Delta = 1 K j 2 K j 1 K j+1 K j+1 2 Delta = K j.k j K j+1.k j K j-1.k j K j.k j-1 2 K j-1.k j K j+1.k j Os outros determinantes envolvidos na solução do sistema de equações são: M j-1 K j-1 K j-1 2 DeltaA = M j K j 2 K j M j+1 K j+1 K j+1 2 DeltaA = M j-1.k j.k j M j.k j+1.k j M j+1.k j-1.k j M j+1.k j.k j-1 2 M j.k j-1.k j M j-1.k j+1.k j 1 M j-1 K j-1 2 DeltaB = 2 M j 2 K j 3 M j+1 K j+1 2 DeltaB = M j.k j M j+1.k j M j-1.k j M j.k j-1 2 M j-1.k j M j+1.k j XI - 31

33 1 K j-1 M j-1 DeltaC = 1 K j M j 1 K j+1 M j+1 DeltaC = K j. M j+1 + K j+1. M j-1 + K j-1. M j K j. M j-1 K j-1. M j+1 K j+1. M j A solução do sistema de equações para determinar os coeficientes a, b e c é DeltaA a = ; Delta DeltaB b = ; Delta c = DeltaC Delta Chamando de m 2o o coeficiente angular da reta que representa a relação entre os momentos de segunda ordem e as curvaturas no processo do Pilar Padrão, de m a o da reta tangente à curva na origem (reta a) e de m b o da reta tangente à curva na extremidade correspondente ao E.L.U. (reta b), se tem: Se m 2o > m a então se terá Peça Instável O programa assumirá M 2 = 9999 O momento de 1ª ordem disponível será: M 1 = 0 Curvatura crítica: C K = 0 Momento Total Crítico: M K = 0 Se m 2o < m b então se terá Peça Estável Momento de 2ª ordem: M 2 = m 2o * Curv. do ELU Momento de 1ª ordem: M 1 = M ELU M 2 Se m a < m 2o < m b então Para j variando de j = 2 à j = N m(j-1) = [Mom(j,1) Mom(j-1,1)] / [Curv(j,1) Curv(j-1,1)] m(j) = [Mom(j+1,1) Mom(j,1)] / [Curv(j+1,1) Curv(j,1)] Repetir até se ter m(j) < m 2o XI - 32

34 Ajustar uma parábola do 2º graus pelos pontos (j-1), j e (j+1) Mom = a + b.curv + c.curv 2 (momentos em função da curvatura) O coeficiente angular da tangente à curva no ponto de abscissa Curv é dado por m = b + 2.c.Curv A curvatura crítica C K é a abscissa que corresponde ao ponto de tangência, na curva M-1/r, de uma reta paralela à do Pilar Padrão e será dada por: C K = (m 2o b) / (2.c) O momento total crítico é dado por: M tot,cri = a + b.c K + c.c 2 K. Assim, o momento de segunda ordem do processo do Pilar Padrão será M 2 = m 2o.C K e o momento de primeira ordem disponível M 1 = M tot,cri M 2 A seguir são comparados resultados obtidos pelo programa computacional desenvolvido neste trabalho com resultados apresentados pelo CEB-FIP. A tabela A3.5 daquele código apresenta valores do momento de primeira ordem disponíveis em pilares de seção retangular com armadura distribuída uniformemente nos quatro lados para L e /h variando de zero a 40, taxa mecânica de armadura (ω) variando de zero à 0,5 e força normal reduzida (ν) variando de zero à 1,9. É de se destacar que para os valores de ω o CEB-FIP contabiliza apenas a metade da armadura diferentemente do que costumamos fazer em nosso país. Assim, onde para o CEB-FIP se tem taxa ω nós consideramos 2ω. Além disso existe a diferença na consideração da resistência de cálculo do concreto, o que leva as seguintes equivalências de expressões: XI - 33

35 Expressões do CEB-FIP Expressões da NBR 6118:2004 equivalentes às do CEB-FIP f c f = 0,85 γ ck c f cd = f γ ck c ϖ = A. f s A. f c yd c ϖ = c A. f s yd A.0,85. f cd ν = Nd A. f c c ν = c N d A.0,85. f cd µ = M d A. h. f c c µ = M d A. h.0,85. f c cd Para a confecção da tabela 11.7 foram considerados: seção retangular com b = 50 cm e h = 25 cm, armadura com 28 barras (uma junto a cada vértice, mais seis barras distribuídas em cada lado), d /h = 0,10 e portanto d = 2,5 cm, concreto com f ck = 25 MPa, γ c = 1,4, aço com f yk = 460 MPa, E s = 200 GPa, γ s = 1,15. XI - 34

36 Tabela 11.6 Momentos disponíveis em pilares solicitados por momento de primeira ordem constante, seção retangular, armadura distribuída uniformemente nos quatro lados CEB-FIP. XI-35

37 Tabela 11.7 Momentos disponíveis de 1ª ordem, seção retangular, armadura distribuída uniformemente nos quatro lados (28 barras) Processo do Pilar Padrão Resultados do programa desenvolvido neste trabalho. Momentos Reduzidos de 1a. Ordem Disponíveis - Deção Retangular - Armadura Uniformemente Distribuida no 4 lados (28 barras) NI = NSd / (Ac*AlfaC*fcd) Le/h w 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0 0,0 0 0,044 0,079 0,104 0,118 0,121 0,114 0,097 0,070 0, ,2 0,083 0,119 0,147 0,165 0,175 0,175 0,164 0,149 0,130 0,103 0,070 0, ,4 0,158 0,189 0,210 0,225 0,232 0,231 0,217 0,201 0,184 0,162 0,136 0,105 0,070 0, ,6 0,231 0,254 0,272 0,283 0,289 0,287 0,273 0,255 0,237 0,217 0,194 0,168 0,139 0,104 0,069 0, ,8 0,299 0,318 0,332 0,342 0,346 0,344 0,330 0,311 0,292 0,272 0,250 0,227 0,201 0,172 0,139 0,104 0,069 0, ,0 0,362 0,380 0,392 0,399 0,403 0,400 0,388 0,368 0,348 0,327 0,306 0,284 0,259 0,233 0,205 0,173 0,139 0,104 0,069 0, ,0 0,000 0,037 0,066 0,086 0,097 0,099 0,090 0,072 0,044 0, ,2 0,083 0,107 0,128 0,142 0,149 0,145 0,133 0,118 0,099 0,072 0,042 0, ,4 0,158 0,177 0,192 0,200 0,204 0,201 0,184 0,166 0,147 0,126 0,100 0,070 0,042 0, ,6 0,231 0,243 0,253 0,259 0,261 0,256 0,238 0,218 0,198 0,177 0,153 0,127 0,098 0,068 0,042 0, ,8 0,299 0,307 0,314 0,318 0,318 0,312 0,295 0,273 0,251 0,229 0,206 0,181 0,155 0,126 0,096 0,068 0,042 0, ,0 0,362 0,370 0,374 0,376 0,375 0,368 0,352 0,329 0,305 0,282 0,259 0,235 0,209 0,182 0,154 0,124 0,095 0,067 0,042 0, ,0 0,000 0,034 0,055 0,061 0,064 0,058 0,045 0,022 0, ,2 0,083 0,089 0,095 0,097 0,090 0,084 0,074 0,059 0,037 0, ,4 0,158 0,151 0,151 0,150 0,140 0,121 0,107 0,093 0,075 0,052 0,029 0, ,6 0,231 0,215 0,210 0,205 0,193 0,169 0,147 0,128 0,112 0,092 0,069 0,045 0,024 0, ,8 0,299 0,280 0,270 0,261 0,246 0,224 0,194 0,170 0,148 0,130 0,109 0,086 0,060 0,040 0,021 0, ,0 0,362 0,343 0,329 0,318 0,300 0,280 0,246 0,216 0,191 0,168 0,149 0,126 0,103 0,077 0,055 0,035 0,018 0, ,0 0,000 0,025 0,036 0,039 0,030 0, ,2 0,083 0,065 0,055 0,050 0,045 0,032 0, ,4 0,158 0,122 0,105 0,080 0,061 0,049 0,035 0, ,6 0,231 0,181 0,157 0,130 0,095 0,070 0,055 0,038 0, ,8 0,299 0,242 0,211 0,184 0,147 0,107 0,077 0,058 0,040 0,020 0, ,0 0,362 0,304 0,267 0,235 0,199 0,154 0,115 0,084 0,063 0,043 0,022 0, ,0 0,000 0,015 0,016 0,016 0, ,2 0,083 0,040 0,032 0,025 0, ,4 0,158 0,094 0,048 0,035 0,020 0, ,6 0,231 0,146 0,092 0,047 0,031 0, ,8 0,299 0,201 0,146 0,086 0,045 0,028 0, ,0 0,362 0,257 0,198 0,135 0,068 0,041 0,023 0, XI-36

38 Como outro exemplo para a comparação dos resultados fornecidos pelo programa será utilizada a seção estrela vazada, utilizado por Forni e ilustrada na figura abaixo. Dados: Concreto: C15 f ck = 15 MPa, γ c = 1,4 Aço: CA 50B f yk = 500 MPa, γ s = 1,15 Armadura: 111 φ 16 mm XI-37

39 Tabela 11.8 Esforços últimos para a seção Estrela Vazada França XI-38