Christiana Mauricio Niskier. Ferramenta gráfico - interativa para o projeto de vigas de edifícios em concreto armado. Dissertação de Mestrado

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1 Christiana Mauriio Niskier Ferramenta gráfio - interativa para o projeto de vigas de edifíios em onreto armado Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada omo requisito parial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Conentração: Estruturas. Orientadores: Marta de Souza Lima Velaso Luiz Fernando C. R. Martha Rio de Janeiro Setembro de 004

2 Christiana Mauriio Niskier Ferramenta gráfio - interativa para o projeto de vigas de edifíios em onreto armado Dissertação apresentada omo requisito parial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC- Rio. provada pela Comissão Eaminadora abaio assinada. Profa. Marta de Souza Lima Velaso Presidente / Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Luiz Fernando C. R. Martha Co-Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Profa. Cláudia R. Eboli UFRJ Prof. Tulio N. Bittenourt EPUSP Prof. Giuseppe B. Guimarães Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Ténio Científio PUC-Rio Rio de Janeiro, 13 de Setembro de 004.

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e dos orientadores. Christiana Mauriio Niskier Graduou-se em Engenharia Civil, ênfase em Estruturas, pela PUC-Rio Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro em Desenvolveu seu trabalho de pesquisa om ênfase em onreto armado. Niskier, Christiana Mauriio Fiha atalográfia Ferramenta gráfio interativa para o projeto de vigas de edifíios em onreto armado / Christiana Mauriio Niskier ; orientadores: Marta de Souza Lima Velaso, Luiz Fernando C. R. Martha. Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil f. : il. ; 9,7 m Dissertação (mestrado) Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inlui referênias bibliográfias. 1. Engenharia ivil Teses.. Conreto armado. 3. Ferramenta gráfia. 4. Vigas. 5. Projeto estrutural. I. Velaso, Marta de Souza Lima. II. Martha, Luiz Fernando Campos Ramos. III. Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 64

4 gradeimentos Á professora e orientadora Marta de Souza Lima Velaso, pelos relevantes onheimentos transmitidos e pelo onvívio e amizade desenvolvida ao longo deste trabalho. o o-orientador Luiz Fernando Martha, pelos onheimentos transmitidos na área de estruturas e pela paiênia, amizade e apoio durante o urso. os professores que partiiparam da bana eaminadora. Á minha família pelo inentivo durante toda a minha vida, em espeial pela minha mãe e pelo meu pai, por sempre estar ao meu lado em todos os momentos. o meu noivo e ompanheiro, Carlos Eduardo Mansur pelo inentivo, arinho e ompreensão impresindíveis para a realização deste trabalho. os olegas Paola, nderson, leandre e Renato pelo inentivo à onlusão deste trabalho e por ompreenderem a minha ausênia e isolamento quando na redação final desta dissertação. Em espeial aos amigos e também olegas Marela Torno Lopes, Marélia, Maros rruda e Fernando Ramires que auiliaram e motivaram o desenvolvimento deste trabalho. À seretária na Roo, pelo apoio e atenção ao longo do urso. Á CPES e a PUC-Rio pelo apoio finaneiro. Deus, por permitir tudo isso.

5 Resumo Niskier, Christiana Mauriio; Velaso, Marta de Souza Lima; Martha, Luiz Fernando C. R. Ferramenta Gráfio-Interativa para o Projeto de Vigas de Edifíios em Conreto rmado. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia Civil, Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro. O presente trabalho visa ao desenvolvimento de uma ferramenta gráfia interativa para a modelagem e dimensionamento de vigas de edifíios de onreto armado seguindo as presrições da nova norma brasileira NBR 6118, 003. Como base, utilizou-se o programa FTOOL, que se destina ao ensino do omportamento estrutural de pórtios planos. O método de dimensionamento utilizado para as seções de onreto submetidas à fleão é o de Ferreira da Silva Jr., relativo às zonas de soliitação. Para que esta nova ferramenta fosse inorporada ao programa FTOOL, este teve que sofrer algumas modifiações, tais omo a definição do material onreto armado, om os diversos tipos e propriedades para o onreto e para o aço; e a definição de seções transversais típias de vigas de onreto armado (retangular, T, L e I), inluindo posiionamento da armadura e obrimento. O resultado que o programa desenvolvido oferee são dois diagramas: um deles ontendo as armaduras longitudinais superior e inferior, aluladas para ada par de valores de momento fletor e esforço normal; e outro de armadura transversal, alulada para ada valor de força ortante. lém dos dois diagramas de armadura, ainda eistem dois modos de resultado da análise de dimensionamento: armadura neessária e armadura adotada. Palavras-have Conreto rmado, Ferramenta Gráfia, Vigas, Projeto Estrutural.

6 bstrat Niskier, Christiana Mauriio; Velaso, Marta de Souza Lima; Martha, Luiz Fernando C. R. (dvisors). Interative Graphi Tool for the Design of Reinfored Conrete Beams. Rio de Janeiro, p. MS. Dissertation Civil Engineering Department, Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro. The present work desribes the development of an interative graphis tool for modeling and design reinfored onrete building beams, following the new Brazilian ode NBR 6118, 003. The graphis tool is based on the FTOOL software, whih is an eduational tool for two-dimensional frame strutural behavior. The design method used for reinfored onrete setions submitted to fleural loading is the one of Ferreira da Silva Jr., in relation to loading zones. In order to inorporate this new tool into FTOOL, some modifiations were made, suh as the definition of the reinfored onrete material, with several types and properties for onrete and steel; and the definition of typial ross setions properties of reinfored onrete beams (retangle, T-shape, L-shape and I- shape), inluding positioning of strutural reinforement and over. s a result, the developed program offers two diagrams: one ontaining top and bottom longitudinal steel area, alulated for eah pair of values of bending moment and aial fore; and another of transversal steel area, alulated for eah value of shear fore. In addition to these two steel area diagrams, there are two ways for visualizing the design results: neessary and adopted reinforement. Key-words Reinfored Conrete, Graphi Tool, Beams, Struture Design.

7 Sumário Lista de Figuras...10 Lista de Tabelas...14 Lista de Símbolos...15 Lista de breviaturas Introdução Objetivos Revisão Bibliográfia Desrição Global / Esopo...6 Dimensionamento de Vigas de Edifíios de Conreto rmado Introdução...7. Hipóteses Básias Domínios de Deformação Parâmetros dimensionais Seção Retangular Seção Retangular Vazada Equações de Compatibilidade Limites entre Domínios Resultante de Compressão do Conreto Resultante de Compressão do Conreto para Seção Retangular Resultante de Compressão do Conreto para Seção Retangular Vazada Estado Limite Último (ELU) Fleão Composta Reta Dimensionamento om rmadura em Duas Bordas Zonas de Soliitação Determinação de β Equações de Equilíbrio Equações de Equilíbrio para Zona Equações de Equilíbrio para Zona B...56

8 Equações de Equilíbrio para Zona C Equações de Equilíbrio para Zona D Equações de Equilíbrio para Zona E Equações de Equilíbrio para Zona O Limites entre as Zonas Determinação da Zona de Soliitação Valores Limites para rmaduras Longitudinais de Vigas Metodologia de Cálulo Dimensionamento à Força Cortante Cálulo da Resistênia Verifiação da Compressão Diagonal do Conreto Cálulo da rmadura Transversal Dimensionamento da rmadura Transversal rmadura Mínima Espaçamento entre os Estribos Dealagem e noragem da rmadura Longitudinal Implementação Computaional Introdução Estrutura de Dados Implementação de Materiais e Seções Transversais em POO Material Conreto rmado Seções Transversais de Vigas de Conreto rmado Verifiações Realizadas para o Dimensionamento e Presrições da NBR 6118, Modifiações na Interfae Gráfia lgoritmo de Dealagem e noragem da rmadura Longitudinal Eemplos de Validação e nálise de Resultados Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo 4...1

9 5 Conlusão Sugestões para Trabalhos Futuros Referênias Bibliográfias neo...133

10 Lista de Figuras Figura.1 Diagrama tensão-deformação para o onreto, adaptada da BNT NBR 6118, 003 [3]...9 Figura. Diagrama tensão-deformação para o aço, adaptada da BNT NBR 6118, 003 [3]...9 Figura.3 Domínios de deformações, adaptada da BNT NBR 6118, 003 [3] Figura.4 Regiões de deformação, adaptada de SNTOS [4]...3 Figura.5 rmadura em duas bordas seção, deformações, tensões e resultantes, adaptada de SNTOS [4]...33 Figura.6 Parâmetros reduzidos adimensionais para o dimensionamento...33 Figura.7 Parâmetros relaionados a seção retangular vazada, adaptado de SNTOS [4]...37 Figura.8 Parâmetros reduzidos adimensionais de uma seção retangular vazada...37 Figura.9 Deformações na região I, adaptada de SNTOS [4]...40 Figura.10 Deformações na região II, adaptada de SNTOS [4]...41 Figura.11 Deformações na região III, adaptada de SNTOS [4]...4 Figura.1 Resultante R e sua posição, adaptada de SNTOS [4] Figura.13 Enurtamento mínimo ε 0, adaptada de SNTOS [6]...45 Figura.14 Enurtamento ε, adaptada de SNTOS [4]...48 Figura.15 Dimensionamento, adaptada de SNTOS [5] Figura.16 Zonas de soliitação, adaptada de SNTOS [5]....5 Figura.17 Relação entre os domínios de deformação e as zonas de soliitação, adaptada de BRBOS [7] Figura.18 Esforços soliitantes e resistentes zona Figura.19 Esforços soliitantes e resistentes zona B Figura.0 Esforços soliitantes e resistentes zona C Figura.1 Esforços soliitantes e resistentes zona D Figura. Esforços soliitantes e resistentes zona E Figura.3 Esforços soliitantes e resistentes zona O Figura.4 Limite entre as zonas de soliitação, adaptada de KEFER [1] Figura.5 Trehos para pesquisa da zona, adaptada de SNTOS [4] Figura.6 Diagrama de armadura longitudinal desloado de a l Figura.7 Posições de boa e de má aderênia, adaptada de RÚJO [10]...7 Figura.8 Cobertura da envoltória de momentos fletores, adaptada da BNT NBR 6118, 003 [3]...74 Figura 3.1 Eemplo de uma subdivisão do R, adaptada de FERRZ [1]....76

11 Figura 3. s nove relações de adjaênia entre vérties, arestas e faes, adaptada de FERRZ [1] Figura 3.3 Relações de adjaênia epliitamente armazenadas em uma estrutura baseada em arestas, adaptada de FERRZ [1] Figura 3.4 Estrutura de dados HED, adaptada de FERRZ [1] Figura 3.5 Usos de uma aresta, adaptada de FERRZ [1] Figura 3.6 Estrutura de dados de atributos do FTOOL, adaptada de KEFER [1]...81 Figura 3.7 Classes relativa ao material...84 Figura 3.8 Interfae gráfia para seleção de um novo material...84 Figura 3.9 Parâmetros do material onreto armado Figura 3.10 Tipos de aço...86 Figura 3.11 Classes relativas às seções transversais Figura 3.1 Interfae gráfia para seleção de seções transversais...88 Figura 3.13 Parâmetros das seções transversais referentes ao dimensionamento de vigas de onreto armado Figura 3.14 Diâmetros da armadura longitudinal inferior ( φ l1 ) e superior ( φ l )...89 Figura 3.15 Diâmetros da armadura transversal ( φ t ) e espaçamentos Figura 3.16 Espaçamento mínimo das barras, adaptada de RÚJO [15]....9 Figura 3.17 Posição do entróide da armadura...93 Figura 3.18 Janela de onfiguração de unidades e formatos de valores numérios...94 Figura 3.19 Botão para aessar o módulo de dimensionamento de onreto armado. 95 Figura 3.0 Submenu responsável pelo dimensionamento de onreto armado...95 Figura 3.1 Resultados ao longo da barra, de aordo om o passo (Step) estipulado. 98 Figura 3. Resultados de ada passo (Step) mostrados no diagrama...98 Figura 3.3 Eemplo de uma adeia de arestas...99 Figura 3.4 Sentido desfavorável do diagrama de armadura Figura 3.5 Esquema do algoritmo de detalhamento da armadura longitudinal adotada em um vão Figura 4.1 Viga V 1 orte do Eemplo Figura 4. Geometria e arregamento da viga V 1 do Eemplo Figura 4.3 Largura de mesa olaborante Figura 4.4 Seção transversal da viga V 1 do Eemplo 1 (em m ) Figura 4.5 Diagramas de esforços soliitantes do Eemplo Figura 4.6 Diagramas de armadura neessária do Eemplo Figura 4.7 Valor da armadura transversal neessária a uma distânia de d / da fae dos apoios (Eemplo 1) Figura 4.8 Diagramas de armadura adotada do Eemplo Figura 4.9 Diagrama de armadura longitudinal adotada om barras grupadas de ino em ino para a armadura superior e quatro em quatro para a inferior

12 Figura 4.10 Esquema estrutural de um pórtio plano do edifíio de dois andares que ontém a viga V S1 (Eemplo ) Figura 4.11 Diagramas de esforços soliitantes do pórtio plano do Eemplo Figura 4.1 Diagramas de armadura neessária do pórtio plano do Eemplo Figura 4.13 Diagramas de armadura adotada do pórtio plano do Eemplo Figura 4.14 Esquema estrutural e arregamento da viga V S1, isolada do pórtio plano do Eemplo Figura 4.15 Diagramas de esforços soliitantes da viga isolada do Eemplo Figura 4.16 Diagramas de armadura neessária da viga isolada do Eemplo Figura 4.17 Diagramas de armadura adotada da viga isolada do Eemplo Figura 4.18 Pórtio plano representando os dois últimos andares de um edifíio (Eemplo 3) Figura 4.19 Seções transversais das vigas do Eemplo Figura 4.0 Diagramas de esforços soliitantes para o pórtio do Eemplo Figura 4.1 Diagramas de armadura neessária para o pórtio do Eemplo Figura 4. Seções transversais em L do Eemplo Figura 4.3 Diagramas de armadura neessária para seção em L do Eemplo Figura 4.4 Diagramas de armadura adotada para o pórtio do Eemplo Figura 4.5 Modelo para viga isolada do Eemplo Figura 4.6 Diagramas de esforços soliitantes para a viga do Eemplo Figura 4.7 Diagramas de armadura neessária para a viga do Eemplo Figura 4.8 Diagrama de armadura longitudinal neessária para seção L do Eemplo Figura 4.9 Diagramas de armadura adotada do Eemplo Figura 4.30 Esquema estrutural do pórtio da viga V 3 do Eemplo Figura 4.31 Seção transversal da viga V 3 do Eemplo Figura 4.3 Diagramas de esforços soliitantes do Eemplo Figura 4.33 Diagramas de armadura neessária do Eemplo Figura 4.34 Diagramas de armadura adotada do Eemplo Figura 4.35 Modelos para viga: apoiado e engastado (Eemplo 4) Figura 4.36 Diagramas de esforços soliitantes para as vigas apoiada e engastada do Eemplo Figura 4.37 Diagramas de armadura neessária do Eemplo Figura 4.38 Diagrama de armadura longitudinal adotada do Eemplo Figura 4.39 Diagrama de armadura transversal adotada do Eemplo Figura.1 Planta de forma do teto tipo do edifíio Figura. Carregamento da viga V Figura.3 Carregamento da viga V Figura.4 Carregamento da viga V Figura.5 Carregamento da viga V

13 Figura.6 Carregamento da viga V Figura.7 Carregamento da viga V Figura.8 Carregamento da viga V

14 Lista de Tabelas Tabela.1 Taas mínimas de armadura de fleão para vigas...64 Tabela. Valores para o oefiiente η Tabela.3 Valores para o oefiiente η...7 Tabela.4 Valores para o oefiiente η Tabela 3.1 Coefiientes de minoração...85 Tabela 3. Cobrimento nominal...91 Tabela.1 ltura das lajes Tabela. Dimensões das vigas Tabela.3 Dimensões dos pilares Tabela.4 Cargas nas lajes ( kn / m ) Tabela.5 Cargas das lajes nas vigas Tabela.6 Cargas na viga V ( kn / m ) Tabela.7 Cargas na viga V 6 ( kn / m ) Tabela.8 Cargas na viga V 5 ( kn / m ) Tabela.9 Cargas na viga V 4 ( kn / m ) Tabela.10 Cargas na viga V 3 ( kn / m ) Tabela.11 Cargas na viga V 7 ( kn / m ) Tabela.1 Cargas na viga V 1 ( kn / m )

15 Lista de Símbolos Romanos Área da seção a Distânia de R à borda mais próima da seção a Distânia entre os pontos de momento fletor nulo adotada Área de aço adotada no projeto Área da seção transversal φ,l Área da seção da barra esolhida para armadura longitudinal φ,t Área da seção da barra esolhida para armadura transversal a l Comprimento de dealagem ne Área de aço eigida pelo álulo (área neessária) r r Área da seção retangular heia de mesmo ontorno eterno ou mesmo perímetro a Distânia de R, r à borda superior s1 s Área da armadura longitudinal inferior Área da armadura longitudinal superior s,min rmadura mínima neessária para o dimensionamento à fleão spm rmadura transversal neessária por unidade de omprimento sw Área da seção transversal dos estribos sw,min rmadura mínima da seção transversal dos estribos v Área do retângulo vazio a Distânia de R, v à borda superior do retângulo vazio b v b 1 b b 3 Largura da seção no nível y Largura da aba a partir da fae da alma fitíia, aso eista uma viga onseutiva Distânia entre as faes das almas fitíias onseutivas Largura da aba a partir da fae da alma fitíia, aso não eista uma viga onseutiva

16 b 4 b w b f 1 Distânia entre a fae da alma fitíia e a etremidade da laje Largura da alma da seção Largura olaborante da laje Distânia entre duas fibras quaisquer Cobrimento nominal de uma determinada barra Distânia do entro geométrio da seção à borda inferior d ' dε d i ' d ' 1 Distânia do entro geométrio da seção à borda superior ltura útil da seção Derivada da deformação numa fibra genéria Distânia de uma fibra genéria (onde está loalizado o entro geométrio de um grupo de barras de aço) ao bordo superior Distânia do entro geométrio da armadura à borda mais próima da seção transversal de onreto d Distânia do entro geométrio da armadura s1 à borda inferior d Distânia do entro geométrio da armadura s à borda superior ' d Diâmetro máimo do agregado ma dy Espessura da área elementar no nível y e 0 e 1 e e h e v E E s E s Espaço livre horizontal para a passagem da agulha do vibrador Distânia do entro geométrio da seção à amada inferior de barras Distânia do entro geométrio da seção à amada superior de barras Espaçamento mínimo das barras nas amadas horizontais Espaçamento mínimo das barras no plano vertial Módulo de deformação longitudinal tangente do onreto Módulo de deformação longitudinal seante do onreto Módulo de elastiidade do aço f Valor último da tensão de aderênia de álulo bd f Resistênia à ompressão de álulo do onreto d f Resistênia araterístia à ompressão do onreto aos 8 dias k f Resistênia de álulo do onreto à tração direta td

17 f Resistênia araterístia inferior à tração do onreto tk,inf f Resistênia média do onreto à tração direta tm f yd Resistênia de álulo do aço à tração (valor da tensão de esoamento) f yk Resistênia araterístia do aço (tensão de esoamento araterístia ) f ywk Resistênia araterístia ao esoamento do aço da armadura transversal f ywd Tensão na armadura transversal passiva h h 1 h I ltura da seção Espessura da mesa superior da seção retangular vazada Espessura da mesa inferior da seção retangular vazada Momento de inéria em relação ao entro geométrio da seção I Momento de inéria do lane inferior do pilar p,inf I Momento de inéria do lane superior do pilar p,sup k Constante relaionada ao tipo de barra K Rigidez da mola mola K Rigidez do lane inferior do pilar etremo p,inf K Rigidez do lane superior do pilar etremo p,sup l l b l e M M d Comprimento do vão efetivo da viga Comprimento básio de anoragem Comprimento de flambagem do lane inferior ou superior do pilar Momento fletor Momento fletor de álulo M o Valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda traionada M Momento fletor máimo soliitante no treho onsiderado Sd,ma n b Número de barras N N d Força normal Força normal de álulo (esforço soliitante de álulo) N Esforço resistente de álulo Rd

18 Q r r r r v R Força ortante Raio de urvatura da seção Raio de urvatura da seção retangular heia Raio de urvatura do retângulo vazio Resultante de tensões de ompressão no onreto R, Resultante de ompressão no onreto, na seção retangular heia r R, Resultante de ompressão no onreto, no retângulo vazio (que v haveria se ele não fosse vazio) R s1 Resultante de tensões na armadura inferior R Resultante de tensões na armadura superior s S Momento estátio da área em relação à borda superior s Espaçamento entre elementos da armadura transversal sw s Espaçamento máimo, medido ao longo do eio da viga, entre ma elementos da armadura transversal V Parela de força ortante absorvida por meanismos omplementares ao da treliça V 0 Valor de referênia para V quando a inlinação da biela de ο ompressão é igual a 45 V Força ortante resistente de álulo, relativa à ruína das diagonais Rd omprimidas de onreto V Força ortante resistente de álulo, relativa à ruína por tração Rd 3 diagonal V Força ortante soliitante de álulo, na seção Sd V Força ortante de álulo máima no treho onsiderado sd,ma V Parela da força ortante resistida pela armadura transversal sw Profundidade da linha neutra Posição para ada valor de armadura al + Posição para ada valor de armadura depois de onsiderar a lb dealagem e a anoragem y Distânia de uma fibra genéria à borda superior y sw Distânia do entróide à borda inferior da seção y 0 Distânia do entróide da armadura até a amada mais afastada da linha neutra

19 Gregos α α α 1 α Ângulo de inlinação da armadura transversal em relação ao eio longitudinal do elemento estrutural Coefiiente de dilatação térmia Relação entre a tensão de álulo na armadura inferior e a tensão de álulo no onreto Relação entre a tensão de álulo na armadura superior e a tensão de álulo no onreto α Fator de efetividade do onreto v β Distânia do entro geométrio da armadura traionada à borda mais afastada da seção, reduzida adimensional β Distânia do entro geométrio da seção à borda inferior, reduzida 1 adimensional β Distânia do entro geométrio da seção à borda superior, reduzida adimensional β Distânia do entro geométrio da seção à amada inferior de e1 barras, reduzida adimensional β Distânia do entro geométrio da seção à amada superior de e barras, reduzida adimensional β i β Distânia de uma amada i de barras à borda superior, reduzida adimensional Profundidade relativa da linha neutra, reduzida adimensional β,lim β orrespondente ao limite entre os domínios 3 e 4 β lim1 β lim 3 β lim 3 4 β lim 4a 5 β orrespondente ao limite entre os domínios 1 e β orrespondente ao limite entre os domínios e 3 β orrespondente ao limite entre os domínios 3 e 4 β orrespondente ao limite entre os domínios 4a e 5 β,ref β orrespondente ao limite entre os domínios e 3 δ δ 1 Distânia do entro geométrio da armadura à borda mais próima da seção transversal de onreto, reduzida adimensional Distânia do entro geométrio da armadura inferior à borda inferior, reduzida adimensional

20 δ Distânia do entro geométrio da armadura superior à borda superior, reduzida adimensional δ Espessura da mesa superior da seção retangular vazada, reduzida h1 adimensional δ Espessura da mesa inferior da seção retangular vazada, reduzida h adimensional δ w Largura da alma da seção, reduzida adimensional ε Deformação espeífia do onreto ε Enurtamento mínimo de uma fibra da seção 0 ε Deformação espeífia do onreto na borda inferior 1 ε Deformação espeífia de ruptura do onreto omprimido u ' ε ε ε s Deformação numa fibra genéria, a uma distânia y da borda superior Enurtamento na borda superior do retângulo vazio Deformação espeífia do aço ε Deformação espeífia de álulo do aço sd ε Deformação espeífia de uma fibra genéria (onde está loalizado sdi o entro geométrio de um grupo de barras de aço) ε Deformação longitudinal espeífia de uma fibra distante y da linha neutra (LN) ε Deformação espeífia de álulo de esoamento do aço yd φ φ l φ l1 φ l Diâmetro da barra Bitola da armadura longitudinal Bitola da armadura longitudinal inferior Bitola da armadura longitudinal superior φ t γ Diâmetro das barras dos estribos Peso espeífio do material γ Peso espeífio da alvenaria alv γ Coefiiente de minoração da resistênia do onreto γ Peso espeífio do enhimento enh γ f Coefiiente de majoração das argas

21 γ s η Coefiiente de minoração da resistênia do aço Força normal resistente do onreto (resultante de ompressão do onreto) reduzida adimensional η 1 η η 3 Coefiiente para álulo da tensão de aderênia da armadura passiva Coefiiente para álulo da tensão de aderênia da armadura passiva Coefiiente para álulo da tensão de aderênia da armadura passiva β = η lim Valor de η para β, lim η Momento fletor resistente do onreto, em relação à borda mais enurtada, reduzido adimensional ' η lim Valor de ' η para β = β, lim ' η r ' η v η r η v Momento fletor resistente do onreto, na seção retangular heia, reduzido adimensional Momento fletor resistente do onreto, no retângulo vazio, reduzido adimensional Resultante de ompressão no onreto, na seção retangular heia, reduzida adimensional Resultante de ompressão no onreto, no retângulo vazio, reduzida adimensional µ Momento fletor reduzido adimensional µ Valores de µ relativos ao limite entre as zonas e B B µ Valores de µ relativos ao limite entre as zonas B e C BC µ Valores de µ relativos ao limite entre as zonas C e D CD µ Valores de µ relativos ao limite entre as zonas D e E DE µ Momento fletor no limite da zona O, reduzido adimensional O µ Valor do momento fletor reduzido no ponto B B ν Força normal reduzida adimensional ν bsissa do ponto (valor da força normal no ponto ) ν bissa do ponto B (valor da força normal no ponto B) B ν O θ Força normal no limite da zona O, reduzida adimensional Curvatura adimensional

22 θ ρ 1 ρ Curvatura adimensional no retângulo vazio Taa geométria da armadura inferior Taa geométria da armadura superior ρ Taa geométria mínima dos estribos sw,min σ Tensão à ompressão no onreto σ Tensão de álulo do onreto d σ ' Tensão de ompressão em uma fibra genéria, à uma distânia y da borda superior σ s Tensão normal de tração na armadura σ Tensão normal soliitante de álulo sd σ Valor de álulo da tensão no aço da armadura inferior sd1 σ Valor de álulo da tensão no aço da armadura superior sd ω 1 ω Resultante de tensões na armadura inferior, reduzida adimensional resultante de tensões na armadura superior, reduzida adimensional min ω Taa meânia mínima de armadura longitudinal de fleão para vigas

23 Lista de breviaturas PUC-Rio BNT DEC Tegraf IUP LED CD HED POO FTOOL FTOOLRC ELU LN Pontifíia Universidade Católia do Rio de Janeiro ssoiação Brasileira de Normas Ténias Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Tenologia de Tenologia em Computação Gráfia Sistema Portátil de Interfae om o Usuário Linguagem de Espeifiação de Diálogos Canvas Draw Half-Edge Data Struture Programação orientada a objeto Two-dimensional Frame nalysis Tool Two-dimensional Frame nalysis Tool Reinfored Conrete Estado Limite Último Linha Neutra