Modelagem Matemática do Atrito Dinâmico na Haste Telescópica de um Equipamento Pneumático para Poda de Árvores

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1 Trabalho apreentado no DINCON, Natal - RN, 5. Proceeding Serie of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematic Modelagem Matemática do Atrito Dinâmico na Hate Telecópica de um Equipamento Pneumático para Poda de Árvore Antonio Carlo Valdiero Rozimerli Raquel Milbeier Richter Critian Schoenmeier 3 Leonardo Bortolon Marachin 4 Luiz Antonio Raia 5 Departamento de Ciência Exata e Engenharia, UNIJUÍ Câmpu Panambi, Panambi, RS Reumo. Apreenta-e a modelagem matemática da principai caracterítica não lineare de atrito na hate telecópica do módulo de poicionamento de um equipamento pneumático para poda de árvore em aplicaçõe de afatamento de vegetação próxima a linha de energia elétrica. O reultado ilutram a caracterítica do modelo matemático do atrito dinâmico. Palavra-chave. Atrito não linear, Dinâmica do atrito, Atuador pneumático, Identificação de atrito, Matemática aplicada. Introdução Ete trabalho apreenta a modelagem matemática da principai caracterítica não lineare de atrito na hate telecópica do módulo de poicionamento de um equipamento pneumático para poda de árvore em aplicaçõe de manutenção de afatamento de vegetação próxima a linha aérea de tranmião de energia elétrica. O uo de atuadore pneumático é muito comum em aplicaçõe indutriai e agrofloretai [,3,4], poi poui a eguinte vantagen: manutenção imple e fácil, baixo cuto, boa relação força/tamanho e flexibilidade de intalação. Além dio, o ar comprimido é facilmente valdiero@unijui.edu.br rozimerlirichter@gmail.com 3 critian.choenmeier@gmail.com 4 leonardo.marachin@unijui.edu.br 5 raia@unijui.edu.br DOI:.554/ SBMAC

2 diponível na maioria da intalaçõe indutriai e em veículo tai como caminhõe e tratore [, 3]. Apear deta vantagen, o atuadore pneumático apreentam dificuldade de modelagem devido a divera caracterítica não lineare do itema, tai como a zona morta na ervoválvula [4], a compreibilidade do ar, a relação não linear da vazão no orifício de controle [] e o atrito dinâmico [, 4, 5]. Atualmente divero trabalho apreentam o etudo da caracterítica não lineare de atuadore pneumático [, 3, 4]. Valdiero et al. [4] apreenta o etudo, o modelo matemático e uma propota inovadora de identificação do parâmetro para a zona morta em ervovalvula pneumática, onde o método utilizado para a compenação da zona morta é feito adicionando a invera da função da zona morta no controle do itema. O modelo matemático da válvula é dado como uma função que depende da tenõe aplicada à ervo válvula por uma função da preõe, além de incluir uma modelagem completa do atrito dinâmico. Contudo ete trabalho utiliza-e do reultado da pequia antecedente a fim de contribuir para a modelagem matemática e deenvolver um modelo matemático para o atrito dinâmico com a identificação do parâmetro que contribua para o controle de poição de um cilindro pneumático linear para uma dada aplicação em um equipamento pneumático de poda para uma faixa de curo de trabalho em torno de,5 metro. Com ete propóito, a modelagem matemática deenvolvida no preente trabalho apreenta uma itematização deta caracterítica não lineare de atrito, reultando em um modelo matemático não linear de 5ª ordem para a hate de um atuador pneumático de grande curo utilizado para poicionamento do módulo de corte de um equipamento pneumático para poda de árvore em aplicaçõe de manutenção de afatamento de vegetação próxima a cabo de tranmião de energia elétrica. A eçõe eguinte apreentam a decrição do itema pneumático de poicionamento, a modelagem matemática da dinâmica do atrito, a identificação do parâmetro de atrito por meio de tete experimentai ilutram a caracterítica do modelo de atrito deenvolvido e ua validação experimental. Decrição do Poicionador Pneumático O poicionador pneumático do equipamento de poda funciona com o ar comprimido que é fornecido à válvula a uma dada preão de uprimento (p ) previamente regulada. Durante a operação, o inal de controle U T energiza o olenóide da válvula de modo que uma força magnética reultante é aplicada no carretel da válvula, produzindo o delocamento do carretel. O delocamento do memo abre o orifício de controle para que uma câmara do cilindro linear eja ligada a linha de preão de uprimento e a outra eja ligada à preão atmoférica (p atm ). Deta forma, produzindo uma diferença de preão na câmara do cilindro linear, dando origem a uma força reultante movendo a maa M (que inclui a maa da ferramenta de corte) prea à hate dete cilindro, em um delocamento no entido poitivo ou negativo y, dependendo do inal de entrada. Eta força gerada pelo atuador pneumático é proporcional à área tranverai do êmbolo do cilindro e à preõe na câmara e é chamada de força pneumática. A Figura motra o deenho equemático de um poicionador pneumático. Na eção eguinte apreenta-e a formulação do modelo matemático dete itema dinâmico com enfoque no modelo do atrito dinâmico que ocorre na vedaçõe, além da identificação de eu parâmetro. DOI:.554/ SBMAC

3 3 Figura : Deenho equemático de um poicionador pneumático para equipamento de poda. 3 Modelagem Matemática do Atrito Dinâmico no Poicionador Pneumático Eta eção apreenta a modelagem matemática que decreve o comportamento dinâmico do poicionador pneumático e ua principai caracterítica não lineare. O modelo propoto é de 5ª ordem e inclui a caracterítica não lineare do atrito [4]. A Figura motra o diagrama de bloco equemático do principai elemento incluído na modelagem matemática utilizada para repreentar o comportamento dinâmico do poicionador pneumático, coniderando-e a não linearidade da zona morta, a equação da vazão máica, a dinâmica da preõe e a equação do movimento, que inclui a dinâmica do atrito. Figura : Diagrama equemático da modelagem matemática do poicionador pneumático A zona morta é uma imperfeição comum em válvula pneumática, poi a largura do realto do carretel é maior que a largura do orifício. Dea forma em algun trecho do carretel não há paagem de ar. Eta não linearidade etá localizada no itema dinâmico como um bloco de entrada do inal de controle, conforme motrado na Figura, e é dada pela Eq. (). DOI:.554/ SBMAC

4 md( u( zmd) e u( zmd u zm ( = e zme < u( < zmd () me( u( zme) e u( zme onde u é o inal de entrada, u zm é o valor de aída, zmd é o limite direito da zona morta, zme o valor equerdo da zona morta, md é a inclinação direita da zona morta e me é a inclinação equerda da zona morta. A relação entre vazão-preão no orifício da válvula é uma função não linear e depende da diferença de preão no orifício da válvula e da abertura da válvula. Nete trabalho, erá utilizado um inovador equacionamento da vazão máica dada pela equaçõe: qma ( u, pa ) = g( pa, ign( ) arctg( () qmb ( u, pb ) = g ( pb, ign( ) arctg( (3) onde g e g ão funçõe inal dada por: ench ( pup pa ) β e u g( pa, ign( ) = β pa = (4) ev ( pa patm ) β e u < ench ( pup pb ) β e u < g ( pb, ign( ) = β pb = (5) ev ( pb patm ) β e u ench ev onde p up é a preão de uprimento, patm é a preão atmoférica e β e β ão coeficiente contante caracterítico repectivamente do enchimento e do evaziamento da câmara do cilindro. O modelo para a dinâmica da preõe é obtido a partir da equação da continuidade e reulta em dua equaçõe não lineare de primeira ordem: Aγ R γ T p& a = pa + qma ( pa, (6) A y + Va A y + Va A γ R γ T p& b = pb qmb ( pb, (7) Vb A y Vb A y onde T é a temperatura do ar de uprimento, R é a contante univeral do gae, q = ma dma dt é a vazão máica na câmara a do cilindro, p a é a preão na câmara a do cilindro, γ = C p Cv é uma relação entre o calore epecífico do ar com C p endo o calor epecífico do ar à preão contante e Cv o calor epecifico do ar a volume contante, A é a área do êmbolo, y é o delocamento do êmbolo e Va é o volume da câmara a na poição inicial y=, incluindo o volume da tubulação. Aume-e que a vazõe máica ão funçõe não lineare da preõe na câmara do cilindro e da tenão u aplicada a ervoválvula, ou eja, qma = qma( pa, e qmb = qmb( pb,. A aplicação da ª Lei de Newton para o equilíbrio da força no êmbolo do atuador pneumático reulta em: M & y + F atr = F p (8) DOI:.554/ SBMAC

5 5 onde M é a maa delocada, & é a aceleração do cilindro, F p é a força pneumática, dada pela diferença de preão na câmara do cilindro, ou eja, A( p a pb ) e F atr é a força de atrito dinâmico adotada na forma do chamado modelo LuGre [] adaptado conforme Valdiero [5] na eguinte equação: F = σ z + σ z& + c & (9) atr d y onde σ repreenta o coeficiente de rigidez da deformaçõe microcópica, z é um etado interno não menurável que repreenta a deformação média que ocorre entre a uperfície, σ é um coeficiente de amortecimento aociado a taxa de variação de z, c d é o coeficiente de arrate e é a velocidade relativa entre a uperfície. A dinâmica da microdeformação z é dada por: dz σ ( z, ) () = α z dt g ( ) onde g ( ) é uma função poitiva que decreve parte da caracterítica do atrito em regime permanente, e é decrita por: g ( ) = F c + ( F F ) e c y & onde F c é o atrito de Coulomb, F é o atrito etático e é a velocidade de Stribeck. A função α( z, ) é incorporada ao modelo LuGre, conforme propõem Valdiero et al. [4] e é uada para repreentar o regime de atrito etático em velocidade baixíima. O parâmetro do modelo matemático ão identificado na bancada experimental decrita a eguir. () 4 Decrição da bancada e Reultado de Tete Experimentai de Identificação do Atrito A bancada experimental de tete utilizada é compota por um microcomputador interligado uma placa eletrônica dspace 4 reponável pela captura e aquiição do inai da bancada de tete, a qual utiliza a integração do oftware MatLab/Simulink e ControlDek, permitindo a captura e o controle em tempo real. A caracterítica técnica do principai componente utilizado na bancada experimental etão decrita em [3]. A identificação do parâmetro etático de atrito provêm de divero experimento em malha aberta, tendo como entrada o inal de controle em tenão, variando de velocidade baixa até a máxima velocidade de trabalho do itema. O tete experimentai foram realizado em com o cilindro pneumático do equipamento de poda diponível NIMeP/UNIJUÍ. A força de atrito em regime permanente pode er repreentada em uma curva experimental que é chamada de mapa etático, onde o parâmetro etático do atrito podem er facilmente identificado. No procedimento de ajute do parâmetro de atrito é utilizado o algoritmo nlinfit do oftware MatLab, conforme motrado na Figura 3. A partir dete algoritmo e de imulaçõe computacionai é poível obter o melhor ajute para o parâmetro etático DOI:.554/ SBMAC

6 dinâmico de atrito, conforme metodologia decrita por Valdiero [5]. 5 Força de Atrito (N) Velocidade (m/) Figura 3: Determinação do mapa etático do atrito em um cilindro epecial de dupla ação e hate imple utilizado no equipamento de poda. A Tabela apreenta o reultado obtido para o valore do parâmetro do modelo não linear de atrito utilizado na modelagem matemática. Tabela : Valore do parâmetro do modelo dinâmico não linear do atrito no poicionador pneumático utilizado no equipamento para poda de árvore. Decrição do Parâmetro Simbologia Valor Atrito etático F N Atrito Coulomb F c 7 N Coeficiente de arrate c d 4546,7 N. /m Velocidade Stribeck Coeficiente de rigidez da microdeformaçõe σ, m/,4 x 6 N/m Coeficiente de amortecimento da microdeformaçõe σ 5 N./m O reultado obtido na modelagem matemática do atrito e na identificação do eu parâmetro foram utilizado para imulação do comportamento dinâmico da hate telecópica do equipamento para poda de árvore [3]. DOI:.554/ SBMAC

7 7 5 Concluõe O reultado obtido com a modelagem matemática do atrito dinâmico no atuador pneumático utilizado na hate telecópica do equipamento para poda de árvore permite prever o comportamento e o apecto de eu funcionamento. O conhecimento da caracterítica não lineare do atrito que dominam a dinâmica do movimento da hate é importante para melhoria da qualidade e do deempenho na tarefa de poicionamento da ferramenta de corte de galho. Etratégia de controle baeada no modelo matemático permitem a compenação da caracterítica de atrito indeejada, linearizando o itema e diminuindo o efeito de degradação tai como a perda de movimento e o fenômeno de adere-deliza [5]. O reultado erão utilizado num equema de compenação de atrito do controlador de poição da hate telecópica do equipamento para poda de árvore. Agradecimento O preente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conelho Nacional de Deenvolvimento Científico e Tecnológico Brail. O autore ão agradecido à CELPE (Companhia Energética de Pernambuco) pelo apoio financeiro no âmbito Programa P&D da ANEEL (código ANEEL PD-43-3/). Referência [] C. Canuda-de-Wit and P. Lichinky, Adaptive friction compenation with partially known dynamic friction model, International Journal of Adaptive Control and Signal Proceing, vol., 65-8, (997). [] Z. Rao and G. M. Bone, Nonlinear Modeling and Control of Servo Pneumatic Actuator, IEEE Tranaction on Control Sytem Technology, vol. 6, (8). [3] R. R. M. Richter, Modelagem matemática e controle de poição de um atuador linear acionado pneumaticamente, Diertação de Metrado em Modelagem Matemática, UNIJUÍ, (3). [4] A. C. Valdiero, C. S. Ritter, C. F. Rio, M. Rafikov, NonLinear Mathematical Modeling in Pneumatic Servo Poition Application, Mathematical Problem in Engineering (Online), vol., pp. - 6, (). [5] A. C. Valdiero, Modelagem Matemática de Robô Hidráulico, Ijuí, UNIJUÍ, (). DOI:.554/ SBMAC