SOLICITAÇÕES NORMAIS CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

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1 UIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPIAS FACULDADE DE EGEHARIA CIVIL Departamento e Etrtra EC 70 COCRETO ARMADO I SOLICITAÇÕES ORMAIS CÁLCULO O ESTADO LIMITE ÚLTIMO PROF. DR. GILSO B. FERADES P GR R VERSÃO REVISTA POR: PROF. DR. MARIA CECILIA A. TEIXEIRA DA SILVA MOITORAS PED REGIA MATOVAI MATSUI SUSAA LIMA PIRES CAMPIAS FEVEREIRO/006

2 1 ITRODUÇÃO... 3 DIAGRAMAS TESÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS DIAGRAMAS DE CÁLCULO VALORES DE CÁLCULO DIAGRAMA TESÃO-DEFORMAÇÃO DO COCRETO HIPÓTESES DE CÁLCULO DOMÍIOS DE DEFORMAÇÕES EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE FLEXÃO ORMAL SIMPLES ITRODUÇÃO POSIÇÃO DA LIHA EUTRA DEFORMAÇÃO E TESÃO A ARMADURA A DEFORMAÇÃO E TESÃO A ARMADURA A CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETAGULARES SEÇÕES RETAGULARES COM ARMADURA SIMPLES SEÇÕES RETAGULARES COM ARMADURA DUPLA CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES RETAGULARES SEÇÃO RETAGULAR COM ARMADURA SIMPLES SEÇÃO RETAGULAR COM ARMADURA DUPLA VIGAS DE SEÇÃO T AS ESTRUTURAS DE COCRETO CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES T COM ARMADURA SIMPLES CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES T COM ARMADURA DUPLA FLEXÃO ORMAL COMPOSTA FORÇA ORMAL DE COMPRESSÃO ITRODUÇÃO FLEXÃO ORMAL COMPOSTA COM GRADE EXCETRICIDADE FLEXÃO ORMAL COMPOSTA COM PEQUEA EXCETRICIDADE COMPRESSÃO ÃO UIFORME ITERAÇÃO DE MOMETO FLETOR E FORÇA ORMAL A FLEXO-COMPRESSÃO FC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETAGULARES ITRODUÇÃO FLEXÃO COMPOSTA COM GRADE EXCETRICIDADE FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUEA EXCETRICIDADE COMPREESÃO ÃO UIFORME COMPRESSÃO UIFORME FLEXÃO ORMAL COMPOSTA FORÇA ORMAL DE TRAÇÃO ITRODUÇÃO FLEXO-TRAÇÃO TRAÇÃO ÃO UIFORME TRAÇÃO UIFORME FLEXÃO OBLÍQUA CÁLCULO EXATO SUPERFÍCIES DE ITERAÇÃO E DIAGRAMAS DE ITERAÇÃO... 74

3 1 ITRODUÇÃO O eto a eçõe e concreto armao tem por inaliae veriicar e ob a ação a olicitaçõe majoraa (olicitaçõe e cálclo) a peça não pera caa m o etao limite, amitino qe o materiai (concreto e aço) tenham como reitência real a reitência minoraa (reitência e cálclo). ete teto, e etabelecem a bae e cálclo e eçõe e concreto armao bmetia a olicitaçõe normai no etao limite e eormação plática eceiva e e rptra. Denominam-e olicitaçõe normai a qe originam tenõe normai na eçõe tranverai o elemento etrtrai. Compreenem, nete cao, orça normal e momento letor, ambo reerio ao centro e graviae a eção tranveral e concreto. Uma eção e concreto armao, bmetia a olicitaçõe normai, poe atingir o etao limite último e trê orma: por eceo e eormação plática o aço a armara, por emagamento o concreto na leão o por emagamento o concreto na compreão. a) Etao e eormação plática eceiva: na peça bmetia à tração o à leão com qantiae peqena e armara, amite-e qe o etao limite último eja atingio em virte e eormação plática eceiva a armara, cjo valor e ia em 1%. b) Etao e rptra: em peça bmetia à leão imple o à leão compota, com qantiae méia o grane e armara, o etao limite último é atingio por emagamento o concreto comprimio para eormaçõe a orem e 0,35% e em peça bmetia à compreão niorme o à compreão não niorme o etao limite último é atingio por emagamento o concreto para eormaçõe a orem e 0,%. O Cóigo Moelo o C.E.B. e a orma Braileira BR 6118:003 preconizam para o eto a eçõe e concreto armao na orma e rína vita, m métoo qe cobre e maneira contína too o cao e olicitaçõe normai, ee a tração niorme até a compreão niorme, inclino a ae intermeiária e olicitaçõe combinaa. 3

4 DIAGRAMAS TESÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS.1 DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS De acoro com a BR-6118:003, poe-e aotar o iagrama tenão-eormação caracterítico impliicao, inicao na igra.1, para aço com o em patamar e ecoamento. Para o aço, aota-e m iagrama bi-retilíneo ormao pela reta e Hooke e m egmento reto paralelo ao eio a eormaçõe, cja orenaa correpone à reitência caracterítica, yk. Figra.1 a alta e enaio o valore ornecio pelo abricante, a BR 6118:003 amite a aoção o mólo e elaticiae o aço: E S MPa Para ee aço, embora o eeito Bachinger poa não er eprezível, amitee m comportamento na compreão análogo ao na tração. a parte correponente à tração, o alongamento é limitao em 1%, o eja, ao valor qe caracteriza o etao limite e eormação plática eceiva. a parte correponente à compreão, o encrtamento é limitao em 0,35% porqe o concreto comprimio oliário à armara ore rptra com encrtamento não periore a 0,35%.. DIAGRAMAS DE CÁLCULO O iagrama e cálclo o aço ão obtio a partir o iagrama caracterítico meiante ma tranlação eetaa paralelamente à reta e Hooke. 4

5 Para o aço, amite-e m iagrama e cálclo como o apreentao na igra., o eja, bi-retilíneo, ormao pela reta e Hooke e m egmento reto paralelo ao eio yk a eormaçõe e cja orenaa correpone à reitência e cálclo: y. γ Figra. A parte o iagrama correponente à compreão é análoga àqela qe correpone à tração. O limite para o alongamento é 1% e o encrtamento máimo é 0,35%. A reitência e cálclo y yk e γ yc γ yck ão obtia a partir a reitência caracterítica yk e yck eterminaa eperimentalmente. a alta e eterminação eperimental, yk e yck poem er conieraa igai e com o valor mínimo nominal e yk iao pela BR 7480: VALORES DE CÁLCULO A relaçõe tenão-eormação para o aço ão a eginte: ε ε Eε, e y y, e ε ε y 5

6 Figra.3 O valore a reitência e eormaçõe e cálclo para o aço a BR 7480:1996 ão o qe e apreentam na tabela abaio. Tai valore oram eterminao para γ 1,15 e E MPa. Aço yk (MPa) y (MPa) ε y CA ,4 0, CA ,8 0,00070 CA ,7 0,

7 3 DIAGRAMA TESÃO-DEFORMAÇÃO DO COCRETO A itribição e tenõe no concreto na eçõe bmetia à leão e à compreão, na proimiae a rptra, epene e mito atore tai como: - poição a linha netra; - velociae e aplicação a carga; - ração a carga; - qantiae e armara; - orma a eção; - reitência o concreto; - iae o concreto ao er aplicaa a carga; - compoição o concreto - coniçõe climática. Por ea razão, é praticamente impoível conegir ma única itribição real e tenõe qe correpona a toa a itaçõe eitente. Além io, eve-e conierar qe, rante o primeiro ano e via, o concreto paa por m períoo em qe ore m amarecimento acompanhao pela hiratação o cimento, pela tranormação o proto a hiratação ee o etao e gel até a critalização e por m proceo e ecagem. Enqanto io, a reitência, o mólo e eormação e a caracterítica e lência o concreto orem variaçõe com o tempo. Simltaneamente, ocorrem eormaçõe qe epenem a tenão no concreto e inlem na itribição a tenõe. Por too ee motivo, a itribição e tenõe na zona comprimia poe ocilar entre m triânglo ligeiramente arreonao e ma parábola, cjo valor máimo não etá itao na bora a eção, ma no e interior. a bora comprimia a eormação poerá etar compreenia entre 0,% e 1%. Memo qe e tentae empregar, em caa cao e imenionamento, o iagrama a itribição e tenõe correponente à coniçõe eitente, não eria poível er iel à realiae. Diicilmente eria poível prever o hitórico o carregamento, a iae o concreto qano ele começae a atar e o gra e olicitação qe aconteceria. Por ea razõe eve-e tilizar m iagrama qe, em caa cao, correpona à itaçõe mai eavorávei, poeno-e conervar a convenção, já aceita, e qe com a iae e 8 ia ma parte o elemento a etrtra já etá em conição e poer reitir à combinação mai eavorável o carregamento. O eto eperimentai eenvolvio nee entio, conierano combinaçõe e orça normal e momento letor, carga e crta e e longa ração, orma ierente e eção, qantiae ierente e armara, etc., revelaram qe o iagrama parábola - retânglo a igra 3.1 permite eterminar, com precião iciente para a prática, a olicitação e rptra e ma eção qalqer na coniçõe mai eavorávei. 7

8 Figra 3.1 Ee iagrama não é cópia e algma itribição veraeira e tenõe. É m iagrama iealizao e qe e jtiica por levar a reltao concorante com o obtio eperimentalmente. Conorme a BR 6118:003, o iagrama tenão-eormação o concreto à compreão, a er ao no cálclo, compõe-e e ma parábola o º gra qe paa pela origem e tem e vértice no ponto e abcia 0,% e orenaa 0,85 c e e m egmento reto entre a eormaçõe e 0,% e 0,35% tangente à parábola e paralelo ao eio a abcia igra 3.. 0, 85. c c ε c [ 1 ( 1 ) 0, 00 ] Figra 3. 8

9 4 HIPÓTESES DE CÁLCULO A hipótee e cálclo no etao limite último e rptra o e eormação plática eceiva, no cao e leão imple o leão compota, normal o oblíqa, e e compreão o tração niorme, eclía a viga paree e o conolo crto, ão a eginte: a) Sob a inlência a olicitaçõe normai, a eçõe tranverai permanecem plana (hipótee e Bernoilli). Como reltao, a eormaçõe ε a ibra e ma eção ão proporcionai à a itância à linha netra, o eja, o iagrama e eormaçõe na eção tranveral é retilíneo (igra 4.1). Figra 4.1 b) A reitência à tração o concreto é eprezaa. Em virte a baia reitência qe o concreto apreenta qano tracionao, na região a eção em qe a olicitação proz tenõe e tração amite-e qe o concreto eteja irao. Dio ecorre qe toa a orça interna e tração evem er reitia por armara. c) Amite-e qe haja aerência pereita entre a armara e o concreto ajacente não irao. Em vita io, a eormação na barra a armara é a mema o concreto qe a envolve. ) O alongamento epecíico ε máimo permitio na armara e tração é 1%. Ete limite é aotao convencionalmente por conierar-e qe a ee valor correponem iração eceiva o concreto e eormação eceiva a peça, ano-e por egotaa a capaciae reitente. 9

10 e) O encrtamento e rptra o concreto na eçõe não inteiramente comprimia é e 0,35% e na eçõe inteiramente comprimia, o encrtamento a bora mai comprimia, na ocaião a rptra, varia e 0,35% a 0,0%, manteno-e contante e igal a 0,0% a eormação a 3/7 a altra total a eção a partir a bora mai comprimia (igra 4.). Figra 4. O encrtamento e rptra o concreto ore inlência e vário atore como velociae e eormação, orma a eção tranveral e poição a linha netra na eção. O ato e e amitir o encrtamento e rptra o concreto conorme o critério epoto é ma hipótee impliicaora. a verae, o reltao eperimentai jtiicam o valore 0,35% para a eçõe não inteiramente comprimia e 0,0% para a eçõe comprimia niormemente. Ao memo tempo, parece lógico por ma paagem contína o valor 0,35% para o valor 0,0% para o cao e compreão não niorme, conorme mencionao na preente hipótee. ) A itribição a tenõe no concreto na eção tranveral e az e acoro com m iagrama parábola - retânglo (igra 4.3) baeao no iagrama tenãoeormação aotao para o concreto. Permite-e a btitição ee iagrama por m retânglo e altra y 0,8, com a eginte tenão: 0,85 c no cao em qe a largra a eção meia paralelamente à linha netra não imini a partir eta para a bora comprimia; 0,80 c no cao contrário. Figra

11 Para o cálclo e veriicação e imenionamento, torna-e neceário amitir ma orma para a itribição a crva e tenõe e compreão na eção e concreto. Eto comparativo entre vária orma aotaa para ea itribição e tenõe evienciaram qe ma itribição compota por ma parábola o º gra ee a linha netra até a ibra com eormação e 0,0% completaa com m egmento reto até a bora mai comprimia, one a tenão vale 0,85 c, ornece boa concorância com o reltao obtio eperimentalmente. O iagrama parábola - retânglo é válio para qalqer orma e eção tranveral e poe er ao também na leão oblíqa. Ao memo tempo, veriica-e qe e conege boa aproimação e cálclo com ma itribição retanglar e tenõe com altra igal a 80% a proniae a linha netra real e com tenão igal a 0,85 c o 0,80 c conorme epoto anteriormente. O iagrama retanglar e tenõe aotao ornece ma reltante e tenõe qe concora em inteniae e ponto e aplicação com o qe lhe correpone ao iagrama parábola - retânglo. o entanto, ierença apreciávei e veriicam qano a linha netra e ita mito próima à bora comprimia porqe a tenõe correponem à parte crva a itribição real e tenõe e, portanto, com valor inerior a 0,85 c. O coeiciente retor a reitência e cálclo o concreto coniera a iminição a reitência o memo por inlência a eormação lenta (eeito Rch) caaa por açõe e longa ração e, coniera também, a iminição a reitência ecorrente a elevação e parte a argamaa à perície e a eação a ága, qe aetam a reitência a parte perior e concreto, one poerão ocorrer a máima tenõe e compreão. g) A tenão na armara é a correponente à eormação eterminaa e acoro com a hipótee anteriore e obtia o iagrama tenão-eormação o aço correponente. 11

12 5 DOMÍIOS DE DEFORMAÇÕES A conigraçõe poívei o iagrama e eormaçõe correponente ao etao limite último para ma eção bmetia a olicitaçõe normai gerem a elimitação e regiõe, chamaa omínio e eormaçõe, one poerá etar contio o iagrama e eormaçõe reerente a m eterminao cao e olicitação normal qano o etao limite último or atingio. a igra 5.1 etão repreentao o omínio e eormaçõe e a reta qe correponem ao limite entre caa m ele. Figra 5.1 O omínio 1 e correponem ao etao limite e eormação plática eceiva e ão iao pelo ponto A, qe correpone ao alongamento e 1%. Para toa a itaçõe correponente ao omínio 1 e a reta o iagrama e eormação paa pelo ponto A. O omínio 3, 4 e 4a reerem-e ao etao limite e rptra o concreto na leão e ão iao pelo ponto B, qe correpone ao encrtamento e 0,35% na bora mai comprimia a eção. Para toa a itaçõe correponente ao omínio 3, 4 e a reta o iagrama e eormaçõe paa pelo ponto B. O omínio 5 correpone ao etao limite e rptra o concreto na compreão e é iao pelo ponto C qe correpone ao encrtamento e 0,% na ibra itante (3/7)h a bora mai comprimia a eção. Para toa a itaçõe reerente ao omínio 5 e a reta o iagrama e eormaçõe paa pelo ponto C. A poição a linha netra na eção é einia pela itância a linha netra até a bora mai comprimia a eção. a igra 5.1 ão inicaa a poiçõe a linha netra para a itaçõe limite entre o omínio e eormaçõe. 1

13 RETA a A reta a correpone à tração niorme, cao em qe toa a eção é tracionaa e moo niorme. A eormação na eção é repreentaa por ma reta paralela à ace a eção, qe é a origem a eormaçõe. A poição a linha netra é aa por -. O etao limite último é atingio por eormação plática eceiva a armara eno caracterizao por m alongamento e 1%. Por io, a reta a, qe repreenta a eormaçõe no etao limite último para o cao a tração niorme, paa pelo ponto A, qe correpone a m alongamento e 1% na armara. A eção reitente é contitía omente pela armara, poi o concreto tracionao é conierao irao. DOMÍIO 1 O omínio 1 correpone ao cao e tração não niorme. Toa a eção é tracionaa, ma e moo não niorme. A linha netra é eterna à eção e a reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto A correponente a m alongamento e 1% na armara mai tracionaa. Cobre o campo e proniae a linha netra ee > - até 0. O etao limite último é caracterizao por eormação plática eceiva a armara. A eção reitente é compota apena pela armara, não haveno participação reitente o concreto. DOMIIO Abrange o cao e leão imple e leão compota com grane ecentriciae. A linha netra é interna à eção tranveral, etano ma parte eta jeita à compreão. Ete omínio correpone à itaçõe em qe o alongamento a armara atinge 1% e o encrtamento a ibra mai comprimia e concreto é inerior a 0,35%. A reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto A, correponente a m alongamento e 1% na armara. Cobre o campo e proniae a linha netra ee > 0 até < 0,59. O etao limite último é atingio por eormação plática eceiva a armara, não e veriicano rptra o concreto na zona comprimia a eção. DOMÍIO 3 O omínio 3 correpone à leão imple e à leão compota com grane ecentriciae. A linha netra é interna à eção e a reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto B, correponente a m encrtamento e 0,35% na bora comprimia. Abrange o cao em qe no etao limite último o encrtamento e 0,35% é alcançao na bora comprimia a eção e o alongamento na armara etá compreenio entre 1% e ε y, eormação qe correpone ao início o ecoamento o aço. O etao limite último é caracterizao pela rptra o concreto comprimio apó o ecoamento a armara. Cobre o campo e proniae a linha netra ee 0,59 até y. Eta é a itação eejável para projeto, poi o materiai ão aproveitao e orma econômica e a rína poerá er aviaa pelo aparecimento e mita ira motivaa pelo ecoamento a armara. A peça e concreto armao neta coniçõe ão enominaa peça b-armaa. 13

14 DOMÍIO 4 O omínio 4 abrange o cao e leão imple e e leão compota com grane ecentriciae. A linha netra é interna à eção e a reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto B. Reere-e ao cao em qe no etao limite último o encrtamento e 0,35% é alcançao na bora comprimia e eção e o alongamento na armara etá itao entre ε y e 0. O etao limite último é caracterizao pela rptra o concreto comprimio em qe haja ecoamento a armara. Cobre o campo e proniae a linha netra ee > y até <. Apear o aparecimento evental e ira, eta poem abertra mito ina no intante qe aina precee a rptra. Eta e á e moo brco e em avio, porqe o concreto ore emagamento na zona comprimia a eção ante qe a armara tracionaa poa permitir a abertra e ira viívei qe irvam e avertência. A peça e concreto armao neta coniçõe ão enominaa peça per-armaa e evem er evitaa tanto qanto poível. a leão imple eta itação empre poerá er evitaa, conto, na leão compota nem empre. DOMÍIO 4a O omínio 4a correpone à leão compota com peqena ecentriciae. A armara ão comprimia e eite omente ma peqena região e concreto tracionaa próima a ma a bora a eção. Só poerá ocorrer na leo-compreão. A linha netra é interna à eção, ma ita-e entre a armara meno comprimia e a bora tracionaa a eção. Cobre o campo e proniae a linha netra e até < h. A reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto B. O etao limite último é caracterizao pela rptra o concreto com encrtamento e 0,35% na bora comprimia, em aparecimento e ira. DOMÍIO 5 O omínio 5 reere-e à compreão não niorme, com toa a eção e concreto comprimia. A linha netra é eterna à eção e a reta o iagrama e eormaçõe na eção paa pelo ponto C, aatao a bora mai comprimia e 3/7 a altra total a eção e correponente a m encrtamento e 0,0%. Cobre o campo e proniae a linha netra ee h até < +. O etao limite último é atingio pela rptra o concreto comprimio com encrtamento na bora mai comprimia itao entre 0,35% e 0,0%, epeneno a poição a linha netra, ma contante e igal a 0,0% na ibra qe paa pelo ponto C. RETA b A reta b correpone à compreão niorme, cao em qe toa a eção é comprimia e moo niorme. A eormação na eção é repreentaa por ma reta paralela à ace a eção, qe é a origem a eormaçõe. A poição a linha netra é aa por +. O etao limite último é atingio por rptra o concreto com m encrtamento e 0,0%. Por io, a reta b qe repreenta a eormaçõe no etao limite último para o cao a compreão niorme, paa pelo ponto C, qe correpone a m encrtamento e 0,0%. A eção reitente é contitía pelo concreto e pela armara, eno a eormação neta igal à o concreto, o eja, 0,0%. 14

15 6 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE O eto geral a eçõe e concreto armao, bmetia a olicitaçõe normai no etao limite último e rptra o e eormação plática eceiva, eve tratar e eçõe com orma qalqer com ma itribição qalqer e armara. ete trabalho trata-e omente e eçõe, com m eio e imetria, bmetia a olicitaçõe normai qe atam egno m plano qe contém ee eio e com m par e armara principai A e A. Coniere-e ma eção e orma qalqer, ma imétrica em relação ao plano e leão, bmetia a ma orça normal e a m momento letor M, relativo ao centro e graviae a eção tranveral, e com armara A e A (igra 6.1). Figra 6.1 A notação empregaa é a eginte: valor último a orça normal ; M valor último o momento letor M; A área a eção tranveral a armara mai tracionaa o meno comprimia; A área a ecão tranveral a armara mai comprimia o meno tracionaa; h altra total a eção; altra útil a eção; itância o centro e graviae a armara até a bora mai próima a eção; y itância a linha netra até a bora mai comprimia o meno tracionaa a eção; orenaa contaa a partir a bora mai comprimia; b y largra a eção na orenaa y; 15

16 c tenão e compreão no concreto; cy tenão e compreão no concreto na orenaa y; tenão na armara A ; tenão na armara A ; R c reltante a tenõe e compreão no concreto; R reltante a tenõe na armara A ; R reltante a tenõe na armara A ; z c itância o ponto e aplicação a reltante e compreão no concreto ao centro e graviae a armara A. Como a leo-compreão contiti-e na olicitação mai reqüente, coniera-e a orça normal com inal poitivo qano or e compreão e com inal negativo qano or e tração. O momento letor é conierao poitivo qano provocar tração na bora inerior a eção. A tenõe interna e a reltante ão conieraa poitiva qano e compreão e negativa qano e tração. O itema e eorço contitío por e M reerio ao eio baricêntrico a eção tranveral e concreto poe er rezio a m itema eqivalente ormao pela orça normal aplicaa com ecentriciae e em relação ao centro e graviae a eção e concreto (igra 6.), one: M e A ecentriciae e e em relação ao centro e graviae a armara A (igra 6.) vale: e ' e + Figra 6. A ecentriciae e é conieraa poitiva a partir o centro e graviae a eção tranveral até a a bora mai comprimia e a ecentriciae e é tomaa como poitiva a partir o centro e graviae a armara A até a bora mai comprimia a eção tranveral. 16

17 17 Conierano-e a reltante interna como inica a igra 6.1 e reerino-e o momento ea reltante ao centro e graviae a armara A, a eqaçõe e eqilíbrio no etao limite último ão ecrita na orma eginte: ) ' ( '. ' R z R e R R R c c c ) ' ( ' ' ) ' (. ' ' A y b e A A y b h 0 cy y h 0 cy y one o inai o eorço ão conierao conorme a convenção aotaa. Conierano-e poitivo o encrtamento e negativo o alongamento a eqaçõe e compatibiliae a eormaçõe tem a eginte orma: c ε ε ε ' ' eta eqação: ε c eormação epecíica o concreto na bora mai comprimia (o meno tracionaa) ε eormação epecíica na armara A ε eormação epecíica na armara A Com a convenção apreentaa, a eqaçõe e eqilíbrio e e compatibiliae e eormaçõe ão vália para qalqer omínio e eormaçõe e para qalqer cao e olicitação normal, ee a tração niorme até a compreão niorme, paano pelo cao intermeiário e leão imple e olicitaçõe combinaa. ete trabalho, a tenõe e a eormaçõe erão conieraa em valor abolto. A reltante interna e compreão e e tração já erão orientaa no entio o eorço aplicao e o inai correponente erão inclío na epreõe e cálclo. O momento M erá conierao empre poitivo e a orça normal erá poitiva qano e compreão e negativa qano e tração.

18 7 FLEXÃO ORMAL SIMPLES 7.1 ITRODUÇÃO Fleão imple é aqela qe e veriica com aência e orça normal. Fleão normal é aqela em qe o plano e leão contém m o eio principai e inércia a eção. a leão normal imple a linha netra ita-e entre a bora comprimia a eção e a armara tracionaa: 0 < <. Ocorre no omínio, 3 e 4 e eormaçõe. Eqaçõe e Eqilíbrio 0 R c + R R M R c z c + R ( ) R c R reltante e compreão no concreto reltante e compreão na armara comprimia (A ) R reltante e tração na armara tracionaa (A ) M valor último o momento letor altra útil a eção (itância o CG a armara tracionaa até a bora comprimia a eção) itância o CG a armara comprimia até a bora comprimia a eção z c b itância o ponto e aplicação e R c ao CG a armara tracionaa largra a alma a eção 18

19 Eqaçõe e Compatibiliae ε c, ε' ' ε ε c, itância a L até a bora comprimia encrtamento e rptra o concreto na bora comprimia ε encrtamento a armara comprimia ε alongamento a armara tracionaa 7. POSIÇÃO DA LIHA EUTRA A poição a linha netra poe er relacionaa com a eormaçõe na bora comprimia a eção e a armara tracionaa. Da eqação e compatibiliae: ε c ε, ε c, ε + ε c, Deinição: β β : coeiciente aimenional qe ornece a poição relativa a L na eção. Seno: ε c, ε + ε c, tem-e β ε ε c, c, + ε 7.3 DEFORMAÇÃO E TESÃO A ARMADURA A A ε área a eção tranveral a armara tracionaa eormação na armara tracionaa (alongamento) tenão na armara tracionaa a) Domínio : 0 < < 0,59 0 < β < 0,59 0 < ε c < ε c, 0,35% ε ε, 1% > ε y y 19

20 b) Domínio 3: 0,59 y 0,59 β β y ε c ε c, 0,35% ε y ε 1% y eçõe b-armaa Deinição: y valor e qano ε c ε c, 0,35% e ε ε y β y valor e β qano ε c ε c, 0,35% e ε ε y y ε ε c, c, + ε y β y ε ε c, c, + ε y β y 0, , ε y Para qe y é precio qe β β y Aço εy βy CA-5 0, ,77 CA-50 0, ,68 CA-60 0, ,585 Ob.: β y é também enominao e β lim. c) Domínio 4: y < < β y < β < 1 ε c ε c, 0,35% 0 < ε < ε y 0 < < y eçõe per-armaa ε c, ε ε ε c, ε 0, 0035 ε 1 β 0,0035 β Relação ε o aço: Para 1> β y > β tem-e 0 < ε < ε y Portanto: 0 < < y (reta e Hooke) E ε 0

21 ) Comentário: 1º) o imenionamento, a itação mai recomenável é para β < β y, ito é, eçõe b-armaa. º) A vantagen ea itação ão: rptra com avio (evio ao ecoamento o aço e aparecimento e mita ira); maior economia (por aproveitar toa a capaciae reitente o aço). 3º) A rptra a peça per-armaa é brca e em avio eno, por io, ea itação evitaa na leão imple. 4º) Deve-e também evitar o imenionamento com β e valor mito baio (no omínio, em geral para β < 0,15) porqe relta ma qantiae mito peqena e armara conzino a ma rptra rágil. Para io é precio qe a taa e armara ρ eja maior o igal à taa mínima e armara (BR 6118:003 - item Tabela 17.3) Tabela 17.3 Taa mínima e armara e leão para viga (onte: BR 6118:003) Forma a Seção ck ω min Valore e ρ min 1) em % (A,min /A c ) Retanglar 0,035 0,15 0,15 0,173 0,01 0,30 0,59 0,88 T (mea comprimia) T (mea tracionaa) Circlar 0,04 0,15 0,15 0,15 0,150 0,158 0, ,031 0,15 0,15 0,153 0,178 0,04 0,9 0,55 0,070 0,30 0,88 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) O valore e ρ min etabelecio neta tabela prepõem o e aço CA-50, γ c 1,4, γ 1,15. Cao ee atore ejam ierente, ρ min eve er recalclao com bae no valor e ω min ao. ota a eçõe tipo T, a área a eção a er conieraa eve er caracterizaa pela alma acrecia a mea colaborante. 1

22 7.4 DEFORMAÇÃO E TESÃO A ARMADURA A A área a eção tranveral a armara comprimia ε' ' eormação na armara comprimia (encrtamento) tenão na armara comprimia a) DOMÍIO : 0 < < 0,59 0 < β < 0,59 0 < ε c < ε c, 0,35% ε ε, 1% ε ' ' ε ε ' ε ' ε ' ' 0,010 Deinição : ' η β η ε' 0,010 1 β b) DOMÍIO 3 e 4: 0,59 < < 0,59 < β < 1 ε c ε c, 0,35% 0 < ε 1% ε ' ε c, ' ε ε ' c, ' ε ' ' 0,0035 β η ε' 0, 0035 β Relação ε o aço: Deinição: β y valor e β qano ε ε y (no omínio, 3 o 4)

23 O valor e β y é obtio, para caa aço, por ma a a epreõe e ε vita anteriormente (conorme correpona ao omínio, 3 o 4) amitino-e ε ε y. Para qe yc é precio qe ε ε y. Aço ε y β y η0,05 η0,08 η0,10 η0,1 η0,15 CA-5 0, ,139 0,166 0,184 0,03 0,30 CA 50 0, ,13 0,38 0,54 0,94 0,367 CA 60 0, ,39 0,76 0,345 0,414 0,517 - qano β β y tem-e ε ε y e portanto yc - qano β < β y tem-e ε < ε y e portanto E.ε com ε ao por ma a epreõe apreentaa anteriormente, conorme o omínio. c) COMETÁRIOS: 1º) Qano β η eprezar a armara A e conierar omente a armara A. º) o cao em qe β η, recalclar β conierano omente a armara A 7.5 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETAGULARES Aotar-e-á no cálclo o iagrama retanglar e tenõe e compreão como permitio pela BR 6118: SEÇÕES RETAGULARES COM ARMADURA SIMPLES Denominam-e eçõe com armara imple aqela qe poem armara omente o lao tracionao (A ). Eqaçõe e eqilíbrio 0 R c R M R c.z c R. z c 3

24 Então: 0 b y 0,85 c - A M y y b y0,85 c ( ) A ( ) R c b y 0,85 c R A z c y y 0,8 β β y 0,8 β Então: 0 b 0,68 β c - A (1 a eqação) M b 0,68 β c (1 0,4 β ) A. (1 0,4 β ) ( a eqação) o cao e veriicação conhecem-e a imenõe a eção e concreto (b, h, ), a área a eção tranveral a armara (A ) e a reitência e cálclo o concreto ( c ck / γ c ) e o aço ( y yk / γ ). Procra-e o momento último M o o momento máimo M qe a eção poerá portar em erviço. Da 1 a eqação e eqilíbrio: A β b..0,68. c - Amite-e y e calcla-e β - Se β calclao β y, a hipótee etá correta ( y ) - Se β calclao > β y, a hipótee eita etá incorreta ( < y ). Deve-e corrigir β corrigino-e o valor aotao para. Coloca-e em nção e β, E e ε. Corrige-e a tenão e recalcla-e β. A tenão no aço é calclaa pela epreão: E ε 4

25 A eormação ε vale: ε 1 β 0,0035 β - Com o valor correto e β a a eqação ornece M. M b 0,68β (1 0,4β ) o M A 1 0,4β ) c ( - O momento máimo qe a eção poerá portar em erviço erá: M M γ 7.5. SEÇÕES RETAGULARES COM ARMADURA DUPLA Denominam-e eçõe com armara pla aqela qe poem armara tanto no lao tracionao (A ) qanto no lao comprimio (A ). Eqaçõe e eqilíbrio 0 R c + R R M R c z c + R (- ) Então: 0 b y 0,85 c + A - A M y b. y.0,85. c.( ) + A'. '.( ') R c b y 0,85 c R A R A z c y y 0,8 5

26 β β y 0,8 β Então: 0 b 0,68 β c + A - A (1 a eqação) M b 0,68 β c (1 0,4 β ) + A (- ) ( a eqação) o cao e veriicação, conhecem-e a imenõe a eção e concreto (b, h,, ), a área a eçõe tranverai a armara (A e A ) e a reitência e cálclo o concreto ( c ck / γ c ) e o aço ( y yk / γ e yc yck / γ ). Procra-e o momento último M o o momento máimo M qe a eção poerá portar em erviço. Da 1 a eqação e eqilíbrio: β A A' ' b 0,68 c Roteiro: - Amite-e y e yc - Para qe y eve-e ter β < β y e para qe yc eve-e ter β β y - Se a a coniçõe e veriicarem ao memo tempo, o valor obtio para β etá correto - Se ma a coniçõe (o a a) não e veriicar (veriicarem) coloca-e a tenão correponente (o tenõe correponente) em nção e β, E e a eormaçõe e recalcla-e β para obter o valor correto. Para A : E ε Para A E ε e β > β y e β < β y - Com o valor correto e β a ª eqação e eqilíbrio ornece M. M b 0,68 β c (1 0,4 β ) + A (- ) - O momento máimo qe a eção poerá em erviço erá: M M γ 7.6 CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES RETAGULARES Aotar-e-á no cálclo o iagrama retanglar e tenõe e compreão no concreto, como permitio pela BR 6118:003. 6

27 7.6.1 SEÇÃO RETAGULAR COM ARMADURA SIMPLES Eqaçõe e eqilíbrio 0 R c R M R c z c R z c Então: 0 b y 0,85 c - A M y y b. y.0,85. c.( ) A..( ) R c b y 0,85 c R A z c y y 0,8 β β y 0,8 β Então: 0 b 0,68 β c - A (1 a eqação) M b 0,68 β c (1 0,4 β ) A (1 0,4 β ) ( a eqação) o imenionamento az-e M M M M M momento último momento e cálclo M γ M momento letor olicitante em erviço 7

28 γ coeiciente e majoração a açõe e olicitaçõe (conorme a BR 6118:003 o a BR 8681:003) c ck γ c valor e cálclo a reitência o concreto c ck / γ c reitência caracterítica o concreto à compreão coeiciente e minoração a reitência o concreto (γ c 1,4 em geral, conorme a BR 6118:003) Da a eqação e eqilíbrio: M b 0,68β c (1 0,4β ) M b 0,68β ck γ c (1 0,4β ) Denomina-e k c γ c,68β (1 0,4β ) 0 ck Relta então: M b k c O coeiciente k c é tabelao em nção e ck e β. Aina a a eqação e eqilíbrio: M A 1 0,4β ) ( A M ( 1 0,4β ) Denomina-e k 1 (1 0,4β ) Relta então: A k M O coeiciente k é tabelao em nção e β para caa tipo e aço a A.B..T. Deinição: A ρ taa geométrica e armara b h A armara a eção everá atiazer a eginte conição: ρ ρ min (ver item 7.3 eta apotila). 8

29 A eção terá armara imple empre qe o coeiciente k c correponente a M relte em β β lim (ver item 7.3 eta apotila) SEÇÃO RETAGULAR COM ARMADURA DUPLA Poe-e amitir a eginte eqivalência: Eqaçõe e eqilíbrio 0 R c + R R R R 1 + R M M 1 + ΔM M R c z c + R (- ) R 1 R c M 1 R c z c R 1 z c M M 1 ΔM R R ΔM R (- ) R (- ) Poe-e então azer a eginte ecompoição para o cálclo com tabela: 9

30 M M 1 + ΔM M M 1 momento e cálclo a er reitio pela eção com armara pla parte e M reitia pelo concreto e a parte A 1 a armara total ΔM parte e M reitia pelo par e armara A e A A A 1 + A A eção terá armara pla qano com armara imple reltar β > β lim. Aota-e β β lim e a eção everá ter armara pla. Para β aotao, a tabela, obtém-e k c e k M 1 b k c A 1 k M 1 ΔM M - M 1 ΔM A (- ) A ΔM ( ') Denomina-e k 1 Relta, então: A k ΔM ( ') A A 1 + A ΔM A (- ) armara tracionaa A' ΔM ' ( ' ) Denomina-e Relta, então: k' A' 1 ' ΔM k' armara comprimia ( ') Com k e k correponente ao β aotao. O coeiciente k e k ão tabelao em nção e β para caa m o aço a A.B..T.. 30

31 7.7 VIGAS DE SEÇÃO T AS ESTRUTURAS DE COCRETO a viga interna a etrtra e concreto, qano a zona comprimia itae o lao a laje, a tenõe e compreão itribem-e além a alma a eção abrangeno também a laje. Por io, poem-e conierar a regiõe a laje vizinha a alma como parte integrante a eção tranveral a viga. A eção T bmetia à leão normal imple apreenta, no etao limite último, m bloco e tenõe e compreão não primático. Por razõe prática btiti-e ee bloco real e tenõe por m bloco ieal, primático, com m iagrama e tenõe contante e emelhante ao iagrama real no plano e olicitação. Ecolhe-e para ee bloco ieal e tenõe ma largra eicaz b tal qe eja mantia a reitência e cálclo a eção ao e btitir por ele o bloco real e tenõe. A largra b é enominaa largra colaborante. O valor a largra colaborante b não é contante ao longo a viga. Depene: - o tipo e viga conieraa (implemente apoiaa, contína, etc.); - e erem a carga itribía o concentraa; - a preença evental e míla. A largra colaborante b é eterminaa conorme o item a BR 6118:003 como e trancreve a egir: A largra colaborante b eve er aa pela largra a viga b acrecia no máimo 10% a itância a entre oi ponto e momento letor nlo, para caa lao a viga em qe hover laje colaborante. 31

32 Para cálclo a reitência o eormação, a parte a laje a conierar como elemento a viga (parte e b ), meia a partir a ace a nervra ictícia, é conorme o cao: viga aociaa viga iolaa b 1 0,10 a 0,10 a b 3 0,5 b b 4 em qe a tem o eginte valor: - viga implemente apoiaa a l - tramo com momento em ma ó etremiae a ( 3 / 4 ) l - tramo com momento na a etremiae a ( 3 / 5 ) l - viga em balanço a l l vão teórico a viga ete lao repeitar também b 3 b 4 Viga aociaa : Viga iolaa: b b + b1 b b + b3 3

33 7.7.1 CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES T COM ARMADURA SIMPLES 1º Cao : o bloco e tenõe e compreão não ltrapaa a mea (y h, ito é β β ) O imenionamento e az como para ma eção retanglar com largra ictícia b b e altra h, poi a orma a região tracionaa não interere no cálclo. y 0,8 y 0,8 Qano y h tem-e: h 0,8 Seno β, qano y h eine-e β h 0,8 Ete cao (y h ) acontece qano β β. Aim, qano para k c b correponer β β M a armara erá M A k com k correponente ao β obtio. º Cao : o bloco e tenõe e compreão ltrapaa a mea (y > h, ito é β > β ) 33

34 Qano o bloco e tenõe e compreão ltrapaa a mea, é prático empregar o artiício e ecompor a eção T em a otra iealmente concebia para etener a ete cao o o a tabela para eçõe retanglare. M M 1 + ΔM A A 1 + A M M 1 ΔM momento a er reitio pela eção T parte o momento M reitia pela mea e pela parte A 1 a armara total parte o momento M reitio pela nervra e pela parte A a armara total O momento M 1 é o memo qe eria reitio por ma eção T com largra ictícia igal a b b e y h (1º cao) M 1 ( b b ) k c com k c correponente a β β, ito é, a y h. Para a egna eção o momento é: ΔM M M 1 Então: k c b ΔM tabela β β lim k A k ΔM A armara A 1 neceária para a primeira eção erá obtia por: 34

35 M 1 h A 1 ( ) 1 M 1 A 1 h 1 eta epreão k já apreentao anteriormente Então: A 1 M 1 k com k correponente ao β a eção. h A A 1 + A 7.7. CÁLCULO DE DIMESIOAMETO DE SEÇÕES T COM ARMADURA DUPLA Reolve-e o problema e imenionamento e eçõe T com armara pla com aciliae empregano-e o artiício e eobramento a eção T como inicao abaio. A eção T, com armara pla, é eobraa em: mea com ma parte a armara, e nervra com armara pla. Eta última e eobra em nervra com armara imple e m par e armara. M M 1 + ΔM ΔM M + M 3 A A 1 + A + A 3 35

36 36 A eção terá armara pla qano com armara imple reltar β > β lim. Aota-e β β lim e a eção everá ter armara pla. c k b b M 1 ). ( com k c correponente a β β, ito é, a y h. c k b M. M k A com k c e k correponente ao β aotao. M 3 M M 1 M ' 3 3 M k A ' ' ' 3 M k A com k e k correponente ao β aotao. 1 1 h M k A om k correponente ao β aotao. A A 1 + A + A 3

37 8 FLEXÃO ORMAL COMPOSTA FORÇA ORMAL DE COMPRESSÃO 8.1 ITRODUÇÃO Fleão compota é o cao e olicitação normal em qe atam momento letor e orça normal imltaneamente. Fleão normal compota é aqela em qe o plano e leão contém m o eio principai e inércia a eção tranveral a peça. O eorço olicitante ão reerio, convencionalmente, ao eio geométrico a peça. M e e ' e + M. e '.( e + ). e + '. M + ' 8. FLEXÃO ORMAL COMPOSTA COM GRADE EXCETRICIDADE Fleão normal compota com grane ecentriciae é aqela em qe ma a armara é tracionaa. A A área a eção tranveral a armara tracionaa. área a eção tranveral a armara comprimia. Ocorre no omínio e eormaçõe, 3 e 4. Portanto 0 < < 0 < β < 1 37

38 Eqaçõe e eqilíbrio: R c + R R e R c z c + R ( ) y 0,8 y 0,8 β β R c b y 0,85 c b 0,68 β c R A ' R A z y 0, 8β ( 1 0, β ) c 4 A eqaçõe icam: b 0,68 β c + A ' A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) o imenionamento az-e M valor a orça normal em erviço valor e cálclo a orça normal: γ valor e cálclo o momento letor: M. e Então: b 0,68 β c + A A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) Diviino-e o oi membro a 1 a eqação por b c e o oi membro a a eqação por b c, reltam a eqaçõe na orma aimenional. b c A' ' 0,68β + b c A b c b e c A' ' 0,68β (1 0,4β ) + b c ' 38

39 ν normal rezia b c ' η e μ momento rezio b c 1 η ' ω 0,68 β tabelao μ 0,68 β (1-0,4β ) A y ω taa mecânica e armara reerente a A b c A' yc ω ' taa mecânica e armara reerente a A b c A ω e y b c ' ' ω yc b A ' c Então ν ω + ω ' ' ω Eqaçõe para eção com armara pla yc y μ μ + ϖ ' ' yc (1 η) o cao e eção com armara imple: A 0 R 0 e R (- ) 0 R c R e R c z c Com icam: R c R b 0,68 β c A e R c z c b 0,68 β c (1 0,4β ) 39

40 b c A 0, 68β b c b e 0,68β (1 0,4β ) c ν ω ω Eqaçõe para eção com armara imple y μ μ A relaçõe y e ' yc também ão tabelaa. 1º) Dimenionamento com armara imple Para μ μ tabela 4 β 1 ω Da 1 a eqação: ω y ω ν Para β β 1 tabela 5 y ω ω ν y Daí obtém-e: A ω b c y º) Dimenionamento com armara pla Para β aotao tabela 4 μ ω Da a eqação: ω' ' yc μ μ 1 η 40

41 Para β tabela 6 ' yc ω' μ 1 η ' μ yc Daí obtém-e: A ' ω' b c yc Da 1 a eqação: ω y ω + ω' ' yc ν Para β tabela 5 y ω ω + ω' ' y yc ν Daí obtém-e: A ω b c y 8.3 FLEXÃO ORMAL COMPOSTA COM PEQUEA EXCETRICIDADE Fleão normal compota com peqena ecentriciae é aqela com armara comprimia haveno parte a eção e concreto tracionaa. A área a eção tranveral a armara meno comprimia. A área a eção tranveral a armara mai comprimia. Ocorre no omínio e eormação 4a. Portanto < h 1 β < 1+η Eqaçõe e eqilíbrio: R c + R + R e R c z c + R ( ) 41

42 y 0,8 y 0,8 β β R c b y 0,85 c b 0,68 β c R A R A y zc 0,8β (1 0,4β ) A eqaçõe icam: b 0,68 β c + A + A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) o imenionamento az-e Então: b 0,68 β c + A + A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) a orma aimenional: b c 0,68 A' ' β + + b c b A c b e c A' ' 0,68β (1 0,4β ) + b c ' Com a einiçõe vita no cao anterior: ' ν ω + ω + ' ω Eqaçõe para eção com armara pla yc y μ μ + ϖ ' ' yc (1 η) o cao e armara imple: A 0 R 0 e R (- ) 0 4

43 R c + R e R c z c Com reltam R c + R b 0,68 β c + A e R c z c b 0,68 β c (1 0,4β ) b c A 0, 68β + b c b e 0,68β (1 0,4β ) c ω ω Eqaçõe para eção com armara imple y ν + μ μ A relaçõe y e ' yc também ão tabelaa. 1º) Dimenionamento com armara imple Para μ μ tabela 7 β 1 ω Da 1 a eqação: ω y ν ω Para β β 1 tabela 8 y ω ν ω y Daí obtém-e: A ω b c y 43

44 º) Dimenionamento com armara pla Para β aotao tabela 7 μ ω Da a eqação: ω ' yc μ μ 1 η Para β tabela 9 ' yc ω' μ 1 η ' μ yc Daí obtém-e: A ' ω' b c yc Da 1 a eqação: ω y ν ω ω' ' yc Para β tabela 8 y ω ν ω ω' y ' yc Daí obtém-e: A ω b c y 8.4 COMPRESSÃO ÃO UIFORME Compreão não niorme é a leão compota em qe toa a eção tranveral a peça é comprimia, inclive a armara. A área a eção tranveral a armara meno comprimia. A área a eção tranveral a armara mai comprimia. Ocorre no omínio 5 e eormaçõe. Portanto h < + 1+η β < + 44

45 a compreão não niorme o imenionamento é, em geral, eito com armara pla. 1º cao: y h 1+η β 1,5 (1+η) ete cao y 0,8 ω 0.68 β e μ 0,68 β (1-0,4 β ) A eqaçõe e eqilíbrio ão a mema a leão normal compota com peqena ecentriciae. o imenionamento procee-e o memo moo qe para aqele cao. º cao: y h 1,5(1+η) β < +. ete cao y h cte Eqaçõe e eqilíbrio: R c + R + R e R c z c + R ( ) R c b h 0,85 c R A R A zc h b h 0,85 c + A + A e b h 0, 85 c ( - h ) + A' ' (- ') 45

46 o imenionamento az-e Então: b h 0,85 c + A + A e b h h 0, 85 c ( - ) + A' ' (- ') a orma aimenional: b c + h A' ' 0,85 + b c b A c b e c 0,85 h (1 h A' ' ) + b c ' h + ' ω 0,85 0,85 0,85(1 + η) h h + ' + ' 1 η μ 0,85 1 0,85 1 0,85(1 + η) 0,45(1 η ) 1 η ' Portanto, reltam na eginte eqaçõe one: ω0,85(1+η) ' ν ω + ω + μ0,45(1-η ) ' ω Eqaçõe para eção com armara pla yc y μ μ + ϖ ' ' yc (1 η) a compreão niorme o imenionamento é, em geral, eito com armara pla. o imenionamento procee-e como para a leão compota com peqena ecentriciae. 46

47 8.5 ITERAÇÃO DE MOMETO FLETOR E FORÇA ORMAL A FLEXO- COMPRESSÃO 1º) Análie a a eqação e eqilíbrio: μ μ + ϖ ' ' yc (1 η) armara pla μ μ armara imple One μ 0,68 β (1-0,4 β ) para 0 < β < 1,5 (1 + η) μ 0,45 (1 η ) para β 1,5 (1 + η) μ e b c β 1 valor e β para μ μ β 1,5 1,565 3, μ ' Para β β 1 μ μ ϖ ' (1 η) 0 yc e A 0 armara imple A a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0 ' Para β < β 1 μ μ + ϖ ' (1 η) yc ' μ μ ϖ ' 0 1 η yc A a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0 comprimia Ito ó erá poível com β > η 47

48 ' Para β > β 1 μ μ ϖ ' (1 η) yc ' μ μ ϖ ' 0 1 η yc A a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0 tracionaa Ito ó erá poível com β < η. Qano β 1 > η não é poível atiazer a a eqação e eqilíbrio com valore e β < η (porqe a armara A eria tracionaa e não comprimia como eige a conição e eqilíbrio) nem com β > β 1 (porqe a armara A eria comprimia e não tracionaa como eige a conição e eqilíbrio). Portanto a a eqação e eqilíbrio ó é atieita com A 0 comprimia o A 0. O valore e β qe atiazem o eqilíbrio ão o o intervalo η < β β 1 ' Com β β 1 ϖ ' 0 A 0 armara imple yc ' Com η < β < β 1 ϖ ' 0 A 0 comprimia yc Qano β 1 < η não é poível atiazer a a eqação e eqilíbrio com valore e β < β 1 (porqe a armara A eria tracionaa e não comprimia como eige a conição e eqilíbrio) nem com β > η (porqe a armara eria comprimia e não tracionaa como eige a conição e eqilíbrio). 48

49 Portanto a a eqação e eqilíbrio ó é atieita com A 0 tracionaa o A 0. O valore e β qe atiazem o eqilíbrio ão o o intervalo β 1 β < η. ' Com β β 1 ϖ ' 0 A 0 armara imple yc ' Com β 1 β < η ϖ ' 0 A 0 tracionaa yc Qano β 1 η o único valor e β qe atiaz a a eqação e eqilíbrio é ' β β 1 η reltano ϖ ' 0 e portanto A 0 armara imple (única olção). yc Depeneno o valor o momento rezio, μ, qatro cao poem ocorrer: Cao A: qano 0 < μ 0,68 η (1-0,4η) reltano 0 < β 1 η A a eqação e eqilíbrio é atieita para β 1 β < η Cao B: qano 0,68 η (1-0,4η) < μ 0,408 reltano η < β 1 1,00 A a eqação e eqilíbrio é atieita para η< β β 1 Cao C: qano 0,408 < μ 0,45 reltano 1,00 < β 1 1,5 A a eqação e eqilíbrio é atieita para η< β β 1 Cao D: qano μ > 0,45 A a eqação e eqilíbrio é atieita para β > η º) Análie a 1 a eqação e eqilíbrio: Domínio, 3 e 4: 0 < β < 1 ν ω + ω' ' yc ω y ω y ω + ϖ ' ' ν yc ω tração y 49

50 Domínio 4a e 5: 1 β < + ' ν ω + ω' + yc ω y ' ω + ν ω ω' y yc ω compreão y One: ν b c ' β valor e β qano ν ω + ω' ω 0 β 1,5η + 1,565η yc + 3,6765.[ ν (1 η) μ ] y Para β β ' ' ω ω 0 yc y ν + ω e A 0 A 1 a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0. Para β > β ν ω + ω ' ' ' ω ω ω + ω' ν 0 yc y y yc A 1 a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0 tracionaa Ito ó erá poível com 0 < β < 1 Domínio, 3 e 4. Para β < β ' ν ω + ω' + yc ' ω ν ω ω' 0 y yc ω y A 1 a eqação e eqilíbrio é atieita com A 0 comprimia Ito ó erá poível com 1 < β < + Domínio 4a e 5. 50

51 Qano β < 1 não é poível atiazer a 1 a eqação e eqilíbrio com valore e β < β (porqe a armara A eria tracionaa e não comprimia como eige a conição e eqilíbrio) nem com valore e β > 1 (porqe a armara A eria comprimia e não tracionaa como eige a conição e eqilíbrio). Portanto a 1 a eqação e eqilíbrio ó é atieita com A 0 tracionaa o A 0. O valore e β qe atiazem o eqilíbrio ão o o intervalo β β < 1. Com β β ω 0 A 0 y Com β < β < 1 ω 0 A 0 tracionaa y Qano β > 1 não é poível atiazer a 1 a eqação e eqilíbrio com valore e β > β (porqe a armara A eria comprimia e não tracionaa como a conição e eqilíbrio eige) nem com valore e β < 1 (porqe a armara A eria tracionaa e não comprimia como a conição e eqilíbrio eige). 51

52 Portanto a 1 a eqação e eqilíbrio ó é atieita com A 0 comprimia o A 0. O valore e β qe atiazem o eqilíbrio ão o o intervalo 1 <β β. Com β β ω 0 A 0 y Com 1 < β < β ω 0 A 0 comprimia y Qano β 1 o único valor e β qe atiaz a 1 a eqação e eqilíbrio é β β 1 reltano ω 0 e portanto A 0 (única olção). y Depeneno o valor a orça normal rezia, ν, cinco itaçõe poem ocorrer: 1 a μ 0,45η ) ν < : a 1 a eqação e eqilíbrio é atieita para 0 < β <1, 1 η com A 0 tracionaa a ) μ 0,45η 1 η < ν μ < + 0,45(1 η ) : então eite β 1 η o Se β < 1: a 1 a eqação e eqilíbrio é atieita para β β < 1 com β β A 0 com β < β < 1 A 0 tracionaa o Se β 1: a 1 a eqação e eqilíbrio é atieita para β β 1 com A 0 o Se β > 1: a 1 a eqação e eqilíbrio é atieita para 1 < β β com β β A 0 com 1 < β < β A 0 comprimia 3 a μ + 0,45(1 η ) ) ν > : a 1 a eqação e eqilíbrio é atieita para 1 η β > 1, com A 0 comprimia. Combinano-e o intervalo para β qe atiazem a a eqação e eqilíbrio com o intervalo para β qe atiazem a 1 a eqação e eqilíbrio, veriica-e o aparecimento e b-cao entro o cao A, B, C e D, ao qai correponem intervalo para β e moo qe a a eqaçõe e eqilíbrio ejam atieita. 5

53 8.6 FC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETAGULARES ITRODUÇÃO e M e ' e FLEXÃO COMPOSTA COM GRADE EXCETRICIDADE Ocorre no omínio, 3 e 4. Uma a armara é tracionaa. Poição a Linha etra 0 < < 0 < β < 1 Com β relta β ε c ε + ε c Deormação e Tenão em A A ε área a eção a armara tracionaa eormação em A (alongamento) tenão em A (tração) 53

54 a) o omínio : 0 < β < 0,59 0 < ε c < 0,35% ε 1% y b) o omínio 3: 0,59 β β y ε c 0,35% ε y ε < 1% y Aço βy CA-5 0,77 CA-50 0,68 CA-60 0,585 β y 0, , ε y c) o omínio 4: β y < β < 1 ε c 0,35% 0 < ε < ε y < y ε 1+ β 0,0035 β Tenão no aço E ε (reta e Hooke) Deormação e Tenão em A A área a eção a armara comprimia ε' eormação em A (encrtamento) ' tenão em A' (compreão) a) o omínio : 0 < β < 0,59 0 < ε c < 0,35% ε 1% ε β η ' 0,01 com 1 β ' η b) o omínio 3 e 4: 0,59 β < 1 ε c 0,35% 0 < ε < 1% ε β η ' 0, 0035 com β ' η 54

55 Tenão no aço: o Se β < β y E ε o Se β β y yc Aço β y η0,05 η0,08 η0,10 η0,1 η0,15 CA-5 0,139 0,166 0,184 0,03 0,30 CA 50 0,13 0,38 0,54 0,94 0,367 CA 60 0,39 0,76 0,345 0,414 0,517 Eqaçõe e eqilíbrio o cao e armara pla R c + R - R e R c z c + R ( ) R c b y 0,85 c b 0,68 β c R A ' R A z c y (1+0,4b) y 0,8 y 0,8 β β Reltam: b 0,68 β c + A - A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) o cao e armara imple: A 0 R c - R e R c z c b 0,68 β c - A e b 0,68 β c (1 0,4β ) 55

56 8.6.3 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUEA EXCETRICIDADE Ocorre no omínio 4a. A armara ão comprimia. Poição a Linha etra < h 1 β < 1+η Com β relta β ε c ε ε c Deormação e Tenão em A A ε área a eção a armara meno comprimia eormação em A (encrtamento) tenão em A (compreão) ε ε c β 1 ε 0,0035 β Tenão no aço: E ε Deormação e Tenão em A A área a eção a armara mai comprimia ε' eormação em A (encrtamento) ' ε ' ' ε c tenão em A (compreão) β η ε' 0, 0035 β Tenão no aço: ' yc 56

57 Eqaçõe e eqilíbrio ete cao, com armara pla (eventalmente A 0) R c + R + R e R c z c + R ( ) R c b y 0,85 c b 0,68 β c R A R A z c y (1-0,4β) y 0,8 y 0,8 β β Reltam: b 0,68 β c + A + A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A ( ) COMPREESÃO ÃO UIFORME Ocorre no omínio 5. Toa a eção é comprimia. Poição a Linha etra h < + 1+η β < + Com β relta β 3 0,00 (1 + η) ε 7 0,00 ε 57

58 Deormação e Tenão em A A ε área a eção a armara meno comprimia eormação em A (encrtamento) tenão em A (compreão) β 1 ε 0,00 3 β (1 + η) 7 1) Para aço CA-5 Se β < β y E ε Se β β y yc β y β qano ε ε y ) Para aço CA-50 e CA-60 E ε Deormação e Tenão em A A área a eção a armara mai comprimia ε eormação em A tenão em A ε' β η 0,00 3 β (1 + η) 7 1) Para aço CA-5 yc ) Para aço CA-50 e CA-60 Se β β y yc Se β > β y E ε β y β qano ε ε y 58

59 Aço β y η0,05 η0,08 η0,10 η0,1 η0,15 CA 50 11,815 11,341 11,04 10,708 10,34 CA 60,101,043,005 1,966 1,908 Eqaçõe e eqilíbrio ete cao com armara pla R c + R' + R e R c z c + R' ( ) 1º cao: para h 1,5h 1+η β 1,5 (1+η) Vale a hipótee y 0,8 com β e então y 0,8 β R c b y 0,85 c b 0,68 β c R' A' ' R A Reltam: b 0,68 β c + A' ' + A e b 0,68 β c (1 0,4β ) + A' ' ( ) º cao: para 1,5h < < + 1,5(1+η) <β < + ão vale a hipótee y 0,8 porqe y h (cte) R c b y 0,85 c R' A' ' R A z c h 59

60 Reltam: b 0,85 c + A' ' + A e b h h 0, 85 c ( - ) + A' ' (- ') 60

61 9 COMPRESSÃO UIFORME Compreão niorme é o cao e olicitação normal qe e caracteriza pela preença ó e orça normal e compreão centraa na eção. A t : área total e armara comprimia itribía na eção e moo qe o e CG coincia com o CG a eção e contorno. A c : área a eção tranveral e concreto (e CG eve coinciir com o ponto e aplicação a orça normal na eção). o iagrama e omínio e eormaçõe, correpone à reta b. A eção reitente é contitía por concreto (A c ) e armara (A t ). Eqaçõe e eqilíbrio: R c + n i 1 R i R c ( A c A t ) 0,85 c R i A i i A i i área e armara e caa camaa tenão e compreão na barra a camaa i i (igal para toa a barra porqe ε i 0,%) tenão e compreão correponente à eormação total e 0,% no iagrama tenão-eormação o aço empregao. 61

62 ( A c A )0,85 t c + n i 1 A i i ( A A ) 0, 85 c t c + n i 1 A i ( A c A ) 0, 85 t c + n i 1 A i n A t A i i 1 A t área total a armara (A c A t ) 0,85 c + A t o imenionamento az-e valor a orça normal em erviço valor e cálclo a orça normal γ. Aço (MPa) CA-5 17 CA CA

63 10 FLEXÃO ORMAL COMPOSTA FORÇA ORMAL DE TRAÇÃO 10.1 ITRODUÇÃO Compreão: > 0 Tração: < 0 Momento: M > 0 na eqaçõe e eqilíbrio Fleo-Tração: omínio, 3 o 4 0 < β < 1 M ' M > 0 e < 0 ; e e + < 0 < 0 Tração ão Uniorme: omínio 1 - < β 0 M ' M > 0 e < 0 ; e e + > 0 < FLEXO-TRAÇÃO Fleo-tração é o cao e leão compota com orça normal e tração em qe ma a armara é tracionaa haveno parte a eção e concreto comprimia. A área a ecção tranveral a armara tracionaa A área a ecção tranveral a armara comprimia Ocorre no omínio e eormaçõe, 3 e 4. Portanto 0 < < 0 < β < 1 63

64 Eqaçõe e eqilíbrio: R c + R R com < 0 ; e < 0 e R c z c + R ( ) y 0,8 e β y 0,8 β R c b y 0,85 c R c b 0,68 β c R A R A z y 0, 8β ( 1 0, β ) c 4 A eqaçõe icam: b 0,68 β c + A A e b 0,68 β c ( 1-0,4 β ) + A ( ) o imenionamento az-e valor a orça normal em erviço valor e cálclo a orça normal γ M valor e cálclo o momento letor M e Então: b 0,68 β c + A A com < 0 e e < 0 e b 0,68 β c ( 1-0,4 β ) + A ( ) 64

65 Diviino-e o oi membro a 1 a eqação por b c e o oi membro a a eqação por b c, reltam a eqaçõe na orma aimenional b c A' ' 0,68β + b c A b c b e c A' ' 0,68β (1 0,4β ) + b c ' ν normal rezia b c e μ momento rezio b c ' η 1 η ' ω 0,68 β tabelao μ 0,68 β (1 0,4 β ) A ω taa mecânica e armara reerente a A b c A ' ' ω ' taa mecânica e armara reerente a A b c A ω e y b c ' ω ' yc A' b ' c Então: ν ω + ω ' ' ω Eqaçõe para eção com armara pla yc y μ μ + ω' ' yc (1 η) o cao e eção com armara imple: A 0 R 0 e R ( ) 0 R c R com < 0 e e < 0 e R c z c 65