Como a Lei de Snell pode ser obtida do Princípio de Fermat?

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1 Como a Lei e Snell poe ser obtia o Prinípio e Fermat? Maria Fernana Araujo e Resene resene@if.usp.br Instituto e Físia, Universiae e São Paulo, CP 66318, São Paulo SP, Brasil 1 Comentários iniiais A primeira oisa que evemos ter em mente para responer esta pergunta é a efinição o ínie e refração absoluto e um meio homogêneo, que é aa por n = v, (1) seno a veloiae relaionaa à luz no váuo, e v a veloiae (eperimentalmente observaa) a luz se propagano no meio supramenionao. que Aliás, omo é a maior veloiae já observaa na Natureza, e aoro esta efinição é bem fáil pereber sempre teremos n 1 e, portanto, o menor ínie e refração absoluto será o o váuo pois, para v =, n = = 1. Em posse esta informação, ao notar que o Prinípio e Fermat preoniza que, e toos os aminhos possíveis para ir e um ponto a outro, a luz segue aquele que é perorrio no tempo mínimo [1], se torna interessante fazer uma estimativa para este tempo, para ver aone isso nos leva. 2 Caminho óptio Para isso, tomemos ois pontos O e F e uma únia vizinhança U, que está relaionaa a um meio fisiamente homogêneo. Diante o fato (eperimentalmente observao) e que, ao assoiarmos O e F aos respetivos pontos e saía e e hegaa e um feie luminoso, o seu trajeto se ientifia om o segmento e reta OF, ao assumirmos que veloiae v este feie é onstante, poemos epressá-la omo v = t, (2) 1

2 one é a istânia entre O e F, enquanto t é o tempo gasto para o feie se loomover entre esses ois pontos. Deste moo, pela ombinação e (1) om (2), é fáil pereber que t = v = n. (3) Com base neste último resultao é possível notar uma oisa uriosa. Afinal, a mesma maneira que poemos interpretar t omo o tempo que este feie luminoso leva para perorrer uma istânia, om a veloiae v onstante que é araterístia o meio por one ele se propaga, também poemos interpretar t e um outro jeito: omo seno o tempo que a luz levaria para perorrer, om sua traiional veloiae o váuo, uma nova istânia n. Ou seja, se enararmos a situação por uma outra perspetiva, que nos permite onsierar que, mesmo passano por um meio homogêneo iferente o váuo, a luz nuna altera a sua veloiae, tuo funionaria omo se a traiional istânia (assoiaa aos pontos O e F ) fosse ampliaa pelo fator n: esta nova istânia, epressa por = n é o que hamamos e aminho óptio. Obviamente eistem situações mais gerais relaionaas a propagação e um feie luminoso, e uma elas surge, por eemplo, ao supormos que O e F pertenem a ois meios que, apesar e serem onsieraos homogêneos, não têm neessariamente a mesma homogeneiae. Neste aso, se onsierarmos que estes são os únios meios pelos quais um feie e luminoso eve transitar, é imeiato que o trajeto efetuao por este feie (que se origina em O e hega até F ) poe ser interpretao pela omposição e ois segmentos e reta OP e P F, seno P um ponto a interfae estes ois meios, onforme ilustra a Figura 1. Figura 1: Comportamento e um feie luminoso que se propaga iniialmente através e um meio homogêneo e que, epois e iniir sobre a interfae que separa este primeiro meio e um outro (também homogêneo, mas (a priori) istinto) é refratao. 2

3 Aliás, omo aa um os segmentos suprarreferios estão relaionaos a propagação, em linha reta, este feie luminoso por um únio meio homogêneo, utilizano o mesmo raioínio que nos levou a (3), ao notar que t 1 = n 1 1 é o tempo relaionao ao perurso o feie por um meio om ínie e refração n 1, one está inserio o segmento OP ujo tamanho é 1, enquanto t 2 = n 2 2 é o tempo gasto pelo mesmo feie que, ao emergir o meio anterior, transita pelo meio e ínie e refração n 1 no qual onsta o segmento OP e tamanho 2, por eemplo, se torna possível fazer uma estimativa para o tempo total gasto no perurso too (que vai e O até F passano por P ) pela superposição t total = t 1 + t 2. (4) 3 Responeno a pergunta Porém, iante e toas estas estimativas e observações, é natural fazer a seguinte pergunta: E este ponto P a interfae: ele poe ser um ponto qualquer? Para responê-la, vamos onsierar o aso mais geral possível, apenas supono que feie luminoso que se propaga no primeiro meio inie sobre a interfae fazeno um ângulo θ 1 (a priori) arbitrário om a sua normal enquanto, no seguno meio, o feie sai esta mesma interfae om um ângulo θ 2 também (a priori) arbitrário relação à mesma normal, e aoro om o que mostra a Figura 2. Aliás, uma oisa bem simples que segue esta figura é que, omo 1 é a hipotenusa e um triângulo retângulo om atetos e tamanhos a e, assim omo 2 também é a hipotenusa e outro triângulo retângulo ujos atetos possuem tamanhos b e y, 2 1 = a = a e 2 2 = b 2 + (y ) 2 2 = b 2 + (y ) 2. (5) Desta forma, omo as onsierações anteriores nos iniam que o tempo total que um feie luminoso leva, para ir e O até F passano por P, é ao pela superposição (4), por efeito estes ois últimos resultaos, temos t total = n n 2 2 = n 1 a n 2 b 2 + (y ) 2. (6) seno a, b e y onstantes reais enquanto, iante o esejo e avaliarmos se P poe ser arbitrário ou não, eve ser tomao omo uma variável real: ou seja, t total eve ser visto omo uma função a sua únia variável que, no aso, é. 3

4 Figura 2: Desenho esquemátio o mesmo omportamento já ilustrao na Figura 1, porém om a presença e algumas onstantes e variáveis úteis à obtenção a Lei e Snell que será feita a seguir. Uma as oisas que naturalmente seguem e (6) é que t total = n 1 a n 2 b 2 + (y ) 2 = n 1 a2 + 2 n 2 y b 2 + (y ) 2 a qual, pelo uso e (5), se reuz a t total = n 1 n 2 1 y 2 (7) Assim, teno em vista que o prinípio e Fermat nos iz que (6) eve ser mínimo, para que isso realmente oorra eve, pelo menos, eistir um valor e que anule este último resultao. Aliás, olhano para este mesmo resultao (7), é muito fáil pereber que esse eiste, pois t total = 0 n 1 n 2 1 y 2 = 0 = n 2 1 (n n 2 1 ) y. (8) Nestes termos, omo 2 2 t total = n n 2 2 > 0, vemos que o valor e obtio em (8) realmente o únio que minimiza t total [2]: ou seja, se o prinípio e Fermat é válio, P não poe ser um ponto arbitrário sobre a interfae estes ois meios e, portanto, os ângulos θ 1 e θ 2 estão relaionaos entre si. Aliás, para entener omo funiona o relaionamento entre θ 1 e θ 2, basta tomarmos a igualae (8) e olharmos para ela e outra maneira: afinal, omo toas as onstantes e variáveis que onstam na Figura 2 4

5 nos permitem notar que sin θ 1 = 1 e sin θ 2 = y 2, é muito fáil pereber que o mesmo valor obtio em (8) também é aquele que satisfaz a n 1 sin θ 1 n 2 sin θ 2 = 0 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2, resultao o qual se ientifia om o já observao (eperimentalmente) por Snell. Referênias [1] H. M. Nussenzveig: Curso e Físia Básia, Volume 4: Ótia, Relativiae, Físia Quântia (Eitora Egar Blüher Lta., São Paulo 1998). [2] T. M. Apostol: Calulus, Volume I: One-Variable Calulus, with a Introution to Linear Algebra (John Willey & Sons In., New York 1996). 5