Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 Teoria dos Números 09/09/2011

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1 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 1 Teoria os Números 09/09/2011 Funções aritméticas Este texto e apoio baseia-se no seguno capítulo e Tom M. Apostol, Introuction to Analytic Number Theory. Eventuais gralhas, imprecisões ou erros são a responsabiliae e Alfreo Costa. Convenções que aoptamos neste texto: 0 / N Se n é um inteiro positivo, então significa que é um ivisor positivo e n. Em geral, assumimos implicitamente que os ivisores consieraos são positivos. Finalmente, p n significa que p é um ivisor primo (positivo e n. 1. Funções aritméticas: efinição e alguns exemplos relevantes Uma função aritmética é uma função f : N C. Ou seja, é uma função efinia no conjunto os números inteiros e que assume valores complexos. Vamos concentrar-nos em casos em que assume valores reais. Recoremos alguns exemplos com que já nos eparámos em anteriores sessões: Inicaor e Euler: Se n é um inteiro positivo, então ϕ(n é o número e inteiros positivos menores ou iguais a n que são primos com n. A função ϕ é o inicaor e Euler ou função e Euler. Função sigma: É a função aritmética com a seguinte efinição: σ(n =. Textualmente: σ(n é a soma os ivisores e n. Número e ivisores: O nome iz tuo! Frequentemente enota-se por τ. Esta função poe ser efinia a seguinte forma, aparentemente mais peante, mas na verae conceptualmente conveniente: τ(n = A função e Möbius A função e Möbius efine-se o seguinte moo: se n > 1 e se n = p a 1 1 p a k k a i > 0 para too o i, então µ(1 = 1; for a factorização e n em números primos (seno portanto µ(n = ( 1 k se a 1 = = a k = 1, µ(n = 0 caso contrário. Portanto µ(n = 0 se e só se n tem algum factor maior o que 1 que é um quarao perfeito.

2 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 2 Teoria os Números 09/09/11 Teorema 1. Para qualquer inteiro positivo n temos { 1 se n = 1 (1 µ( = 0 se n > 1. Denotano por [x] o maior inteiro menor ou igual ao número real x, poemos escrever a fórmula (1 a seguinte forma mais compacta: [ 1 µ( =. n] Demonstração o teorema 1. Suponhamos que n 1. Seja n = p a 1 1 p a k k a factorização e n em números primos. Na soma µ(, as únicas parcelas não nulas são aquelas em que nenhum quarao e um primo ivie. Então, agrupano para caa i os ivisores e n que são proutos e precisamente i primos istintos, e como há ( k i tais ivisores, temos: µ( = µ(1 + µ(p 1 + µ(p k + µ(p 1 p 2 + µ(p 1 p 3 + µ(p k 1 p k µ(p 1 p 2 p k ( ( k k = 1 + ( 1 + ( k ( k = ( 1 i = (1 1 k = 0. i i=1 ( k ( 1 k k 3. O prouto e Dirichlet Sejam f e g uas funções aritméticas. O prouto e Dirichlet (ou convolução e Dirichlet é a função aritmética f g efinia o seguinte moo: (2 (f g(n = ( n f( g. Os pares a forma (, n, one é um ivisor e n, são precisamente os pares a forma (a, b, one a e b são inteiros positivos tais que n = ab. Logo, a fórmula (2 tem o seguinte aspecto mais simétrico: (3 (f g(n = f(a g(b. a b=n É assim claro que as funções f g e g f são iguais. Dizemos por isso que o prouto e Dirichlet é comutativo. Proposição 2. O prouto e Dirichlet é associativo, ou seja, (f g h = f (g h para quaisquer funções aritméticas f, g e h. Projecto Delfos

3 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 3 Teoria os Números 09/09/11 Demonstração. Temos ((f g h(n = x c=n = x c=n = (f g(x h(c ( f(a g(b h(c a b=x x c=n a b=x = a b c=n f(a g(b h(c f(a g(b h(c De forma inteiramente análoga, temos (f (g h(n = a b c=n f(a g(b h(c. Denotemos por I a função aritmética [ 1 I(n = = n] a qual surge no Teorema 1. { 1 se n = 1 0 se n > 1., Proposição 3. A operação tem I como elemento neutro, ou seja, I f = f I = f. Demonstração. Temos (f I(n = ( n f(i = [ f( = f(n n] [ uma vez que n ] = 0 se < n. 4. A inversa e Dirichlet e a fórmula e inversão e Möbius Teorema 4. Se f é uma função aritmética tal que f(1 0, então a função aritmética f 1 efinia recursivamente por f 1 (1 = 1 f(1, satisfaz f f 1 = f 1 f = I. f 1 (n = 1 f(1 < n A emonstração o Teorema 4 é um exercício instrutivo. f ( n f 1 ( se n > 1, Se f e g são funções aritméticas tais que f(1 0 e g(1 0, então (f g(1 0. Notemos também que I(1 0. Logo o conjunto G as funções aritméticas f tais que f(1 0 forma um submonóie o monóie as funções aritméticas, consierano o prouto e Dirichlet como a operação o monóie. O Teorema 4 iz-nos em particular que o monóie G é e facto um grupo Abeliano, seno a inversa e uma função f pertencente a G precisamente a função f 1. Justifica-se assim a notação f 1 introuzia no Teorema 4. A função f 1 esigna-se inversa e Dirichlet e f ou inversa convolutiva e f. Escola e Matemática Para Jovens

4 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 4 Teoria os Números 09/09/11 Exemplo 5. Vimos no teorema 1 que µ( = I(n. A função constante u(n = 1 é uma função aritmética. A igualae µ( = I(n. poe ser então escrita o seguinte moo: µ u = I Portanto u e µ são inversas e Dirichlet uma a outra: u = µ 1 e µ = u 1. Teorema 6 (Fórmula e inversão e Möbius. As igualaes (4 f(n = g( e (5 g(n = ( n f(µ. são equivalentes. Demonstração. A igualae (4 iz-nos que f = g u. Logo f µ = (g u µ = g (u µ = g I = g, ou seja, obtemos (5. Reciprocamente, se f µ = g então f = f (µ u = (f µ u = g u, e portanto (5 implica (4. Teorema 7. Se n 1 então 5. De volta à função ϕ ϕ( = n. Vamos usar a notação N para a função ientiae no conjunto os inteiros positivos, (ou seja, N(n = n para qualquer n N. Corolário 8. Se n 1 então (6 ϕ(n = ( n µ. Demonstração. O Teorema 7 iz-nos que ϕ u = N. Logo ϕ = N u 1 = N µ. Algumas as proprieaes listaas no seguinte teorema já tinham sio iscutias na sessão anterior e Teoria os Números. Teorema 9. A função e Euler satisfaz as seguintes proprieaes: (1 ϕ(n = n p n (1 1 para qualquer n. p (2 ϕ(p a = p a p a 1 para qualquer primo p e para qualquer a 1. (3 ϕ(mn = ϕ(mϕ(n, one = m..c.(m, n. ϕ( (4 ϕ(mn = ϕ(mϕ(n se m..c.(m, n = 1. (5 a b implica ϕ(a ϕ(b. (6 Se n tem r factores primos ímpares istintos então 2 r ϕ(n. Projecto Delfos

5 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 5 Teoria os Números 09/09/11 6. Funções multiplicativas Um função aritmética f iz-se multiplicativa se não for ienticamente nula (i.e., se existir n tal que f(n 0 e se f(mn = f(mf(n, sempre que m..c.(m, n = 1. Um função aritmética f iz-se completamente multiplicativa se f(mn = f(mf(n, para quaisquer m, n. Exemplo 10. Consieremos a função aritmética f α (n = n α, one α é um número real qualquer. Então f α é completamente multiplicativa. Note-se que f α = N α. Exemplo 11. A função I(n = [1/n] é completamente multiplicativa. Exemplo 12. A função e Möbius é multiplicativa, mas não completamente multiplicativa. Observação 13. Sejam f e g funções aritméticas. Consieremos a função f g efinia por (fg(n = f(ng(n. Se f e g são multiplicativas, então fg é multiplicativa. Se f e g são completamente multiplicativas, então f g é completamente multiplicativa. Supono que g(n 0 para qualquer inteiro positivo n, consieremos agora a função aritmética f efinia por f f(n (n =. g g g(n Se f e g são multiplicativas, então f é multiplicativa. g Se f e g são completamente multiplicativas, então f é completamente multiplicativa. g Exercício 14. Mostra que se f é multiplicativa então f(1 = 1. Teorema 15. Seja f uma função aritmética tal que f(1 = 1. Então: (1 A função f é multiplicativa se e só se f(p a 1 1 p ar r = f(p a 1 1 f(p ar r para quaisquer primos istintos p 1,..., p r e inteiros positivos a 1,..., a r, qualquer que seja r 1. (2 Se f é multiplicativa, então f é completamente multiplicativa se e só se f(p a = f(p a para qualquer primo p e para qualquer inteiro positivo a. A emonstração o Teorema 15 é um exercício simples, que ecorre facilmente as efinições. Teorema 16. O conjunto as funções aritméticas multiplicativas é, para o prouto e Dirichlet, um subgrupo o grupo as funções aritméticas f tais que f(1 0. Escola e Matemática Para Jovens

6 Projecto Delfos: Escola e Matemática Para Jovens 6 Teoria os Números 09/09/11 Teorema 17. Seja f uma função aritmética multiplicativa. Então f é completamente multiplicativa se e só se f 1 (n = µ(nf(n para qualquer n 1. Exercício 18. A inversa e Dirichlet e ϕ é aa por ϕ 1 (n = µ(. Exercício 19. Se f é multiplicativa então µ(f( = p n (1 f(p. Em particular, ϕ 1 (n = p n (1 p. Exercício 20. A função e Liouville é a função aritmética λ efinia o seguinte moo: λ(1 = 1; λ(n = ( 1 a 1+ +a k se a factorização e n em números primos for n = p a 1 1 p a k k. (1 Verifica que λ é completamente multiplicativa. (2 Determina a inversa convolutiva e λ. (3 Mostra que { λ( = 1 se n é um quarao 0 caso contrário. (4 Conclui que o prouto e Dirichlet e uas funções completamente multiplicativas poe não ser uma função completamente multiplicativa. Exercícios: Mais exercícios e problemas (1 Mostra que σ(n = ϕ(τ( n. (2 Para caa número real α, consiera a função σ α (n = α (repara que σ 0 = τ e que σ 1 = σ. Mostra que se α 0 então σ α (n = p n enota um primo. n (3 Mostra que = µ 2 ( ϕ(n. ϕ( Problemas: p α(a+1 1, one a letra p p α 1 (4 Mostra que se n é composto então ϕ(n n n. (5 Mostra que ϕ(n n para qualquer inteiro positivo n tal que n 2 e n 6. (6 Se n é um número composto então σ(n n + n + 1. (7 Para qualquer n 1, temos σ(n τ(n n. Projecto Delfos