Microeconomia 1 Professor: Carlos Eugênio Monitor: Bruno Lund Gabarito da 6 a Lista de Exercícios

Transcrição

1 Microeconomia 1 Profeor: Carlo Eugênio Monitor: Bruno Lund Gabarito da 6 a Lita de Exercício 1. Conidere trê payo monetário, $0, $100 e $200. Conidere trê loteria ob ee payo : L 1 = (1/3,1/3,1/3) L 2 = (1/2,0,1/2) L 3 = (0,3/4,1/4) Um conumidor repreentativo a rma que L 1 L 2 e L 1 L 3 (a) Motre que a preferência dete conumidor contradizem a maximização da utilidade eperada. (b) Como o reultado do item (a) e relaciona com o axioma da independência? R. (a) Seja u (0) = u 1 ; u (100) = u 2 e u (200) = u 3 Então, e o agente poui utilidade na forma eperada, temo: 1=3u 1 +1=3u 2 +1=3u 3 > 1=2u 1 +1=2u 3 () 2u 2 > u 1 +u 3 (1) Além dio, também vale: 1=3u 1 +1=3u 2 +1=3u 3 > 3=4u 2 +1=4u 3, 4u 1 +u 3 > 5u 2 (2) Somando 3u 2 em ambo o lado da deigualdade (1), egue: 5u 2 > u 1 +3u 2 +u 3 (3) Como a utilidade é crecente na renda, temo: u 2 > u 1 =) u 1 +3u 2 > 4u 1 (4) Portanto, de 3 e 4, egue: 4u 1 + u 3 < 5u 2 ; o que é uma contradição com a deigualdade 2. (b) Sempre que utilizamo utilidade na forma eperada, etamo upondo que o axioma da independência etá atendido. Aqui, podemo motrar que o axioma da independência no leva a uma contradição. Vamo ecrever a loteria L 1 e L 2 em termo de loteria comun e ditinta: L 1 = 2=3(1=2; 0; 1=2) + 1=3(0; 1; 0) L 2 = 2=3(1=2; 0; 1=2) + 1=3(1=2; 0; 1=2) Cao o axioma da independência eja válido: L 1 L 2 () (0; 1; 0) (1=2; 0; 1=2) (5) Da mema forma, temo: L 1 = 1=2(0; 1=2; 1=2) + 1=2(1=6; 2=3; 1=6) 1

2 L 3 = 1=2(0; 1=2; 1=2) + 1=2(0; 1; 0) Mai uma vez, cao eja válido o axioma da independência: L 1 L 3 () (1=6; 2=3; 1=6) (0; 1; 0) Entretanto, note que, a partir de (5) e do axioma da independência, temo: (1=6; 2=3; 1=6) = 1=3(1=2; 0; 1=2) + 2=3(0; 1; 0) (0; 1; 0) Ora, ma ito é uma contradição, poi: (0; 1; 0) (1=6; 2=3; 1=6) (0; 1; 0): 2. (Problema de ecolha do portfólio) Conidere o problema de um invetidor que deve decidir quanto de ua renda inicial W invetir em um ativo de rico. O ativo arricado pode ter taxa de retorno r i (a quai podem er tanto poitiva quanto negativa) com probabilidade de ocorrência p i = 1; 2; :::; n: Seja o montante de ua renda inicial a er invetida no ativo com rico, então o problema do invetidor é: max n p i u(w + r i ) em que a função utilidade Bernoulli u(:) é crecente e etritamente côncava. (a) Motre que um indivíduo aveo ao rico e abtém completamente do ativo com rico e e omente e o ativo poui um retorno eperado não poitivo. (Dica: analie a olução de canto em que a função objetivo atinge máximo em = 0). (b) Qual é a implicação empírica dete reultado? Em particular, o reultado obtido é compatível com o comportamento obervado de vária peoa que não invetem em açõe? Você conegue dar uma explicação para ee aparente parodoxo? (c) Suponha que o ativo com rico poui retorno eperado poitivo e que < W (portanto o problema poui olução interior). Analie como varia com W. R. (a) Suponha que o agente é aveo ao rico. Tomando a C.P.O do problema, temo: n p i r i u(w + r i ) 0 (= 0 e > 0) Aim, e = 0; eta condição pode er reecrita como: n n p i r i u(w) 0! p i r i 0; poi u(w) > 0 e contante: 2

3 Agora, auma que u(w) u(w + n p i r i 0: Nee cao, temo que,8 > 0; n n p i r i ) = u( p i (w + r i )) n p i u(w + r i ) O último termo da expreão acima é jutamente a utilidade eperada quando > 0: Logo, a melhor opção é etabelecer = 0: (b) A implicação intereante é que peoa avea ao rico empre invetiriam uma parte de ua riqueza em açõe cujo retorno eperado foe poitivo. Entretanto, na prática, divera peoa não aplicam em açõe que pouem retorno não dominado por ativo livre de rico, como título público por exemplo. Uma poível caua para ete parodoxo é a exitência de cuto de tranação e informação; outra explicação pode reidir na não-validade da utilidade eperada (ma, nee cao, qual eria a abordagem correta?). (c) Como temo olução interior, a C.P.O. do problema é: n p i r i u(w + r i ) = 0 Agora, apliquemo o Teorema da Funçõe Implícita na expreão acima para avaliarmo d dw : d dw = n p i r i u(w + r i ) n p i r i u(w + r i ) = n p i ri 2u(w + r i ) n p i ri 2u(w + r i ) O inal deta expreão depende da derivada terceira de u(:): Se a derivada terceira de u(:) for poitiva, então a expreão é poitiva. Do contrário, a expreão é negativa. Uma condição que garante a normalidade do ativo é que a averão aboluta ao rico eja decrecente. 3. Conidere o problema de eguro etudado no exemplo 6.C.1 do MWG. (a) O que ocorre quando o indivíduo é neutro ao rico? (b) O que ocorre quando o indivíduo é propeno ao rico? (c) Motre que, e o eguro não é atuarialmente juto (q > ), então o indivíduo não e aegurará totalmente. (d) Na prática, não é comum encontrarmo indivíduo e aegurando completamente. Você conegue encontrar um motivo para eta aparente contradição? 3

4 R. (a) Se o agente é neutro ao rico, então ua utilidade marginal é contante e, portanto, qualquer quantidade de eguro reolve o problema. (b) No cao de um agente propeno ao rico, a condição de primeira ordem obtida no MWG não caracteriza um máximo, ma im um mínimo. Como o agente prefere a loteria ao eu valor eperado, então percebemo que ele não compra nenhum eguro. Na verdade, e pudee, o agente ofertaria eguro. (c) Suponha, por contradição, que o agente compra eguro total, ou eja, = D: Nee cao, a C.P.O. no dá: (1 q)u(w q) (1 )qu(w q) = 0 () (1 q) = (1 )q () q = o que é um aburdo. É fácil vermo que < D: (d) Em grande medida, a probabilidade de initro não ão exógena. Na verdade, uma vez que um indivíduo eteja totalmente egurado, ua atitude com relação à prevenão de initro acabam e alterando, o que provoca uma mudança na probabilidade originai. Ete fenômeno, conhecido como Moral Hazard, explica o fato de que eguradora não etão, em geral, dipota a fornecer eguro total em cobrar algo a mai por io (você já deve ter ouvido falar a repeito da franquia em um eguro de automóvel). Há, portanto, uma mudança no incentivo à compra de eguro total. 4. Suponha que um indivíduo maximiza ua utilidade eperada com Bernoulli u(:) de nida em relação a quantia monetária. Motre que a eguinte propoiçõe ão equivalente: (a) o indivíduo é neutro ao rico; (b) u(:) é linear; Z (c) c(f; u) = xdf (x); 8 F (:); (d) (x; "; u) = 0 8 x; " R. (a) a) =) b) Se o indivíduo é neutro ao rico, então u(e(x)) = E(u(x)); o que, pela Deigualdade de Jenen, de ne a linearidade de u(:): (b) b) =) c) Da de nição de c(f; u); u(c(f; u)) = E(u(x)) = u(e(x)) = u( R xdf (x)); conforme o item anterior. Ma, dado que a função Bernoulli é etritamente crecente, temo que c(f; u) = R xdf (x); fato que vale 8 F (:): (c) c) =) d) Tome uma loteria do eguinte tipo: o agente ganha x + ", com probabilidade 1=2 + ; e ganha x "; com probabilidade 1=2 : Da de nição de equivalente à certeza e dado a reultado anterior, temo: u (x) = u((c(:; :)) = (1=2 )u(x ") + (1=2 + )u(x + ") = u((1=2 )(x ") + (1=2 + )(x + ")) = u(x + ") () " = 0! = 0: 4

5 (d) d) =) a) De d), temo que u(x) = 1=2[u(x ")+u(x+")]: Derivando a expreão com relação a "; temo: 0 = u(x + ") u(x "): Da de nição de derivada, egue: u(x+h) u(x h) u(x) = lim h!0 2h = 0; portanto, o coe ciente de averão aboluta ao rico é nulo. 5. (Taxação obre o retorno de ativo de rico) A economia poui um agente maximizador de ua utilidade eperada com função Bernoullu u(). Há doi etado da natureza (A e B), o quai ocorrem com probabilidade e (1-): Há um ativo de rico com retorno r a e r b em cada etado, repectivamente, com r a > r b. O agente poui renda inicial w e alíquota de impoto obre o rendimento do capital é t. Aumindo olução interior, reponda: (a) Qual é a condição de ótimo no que tange a ecolha de invetimento no ativo de rico quando t = 0? E quando t 6= 0? (b) Encontre a relação entre o invetimento em cada cao. (c) Você conegue dar uma intuição econômica para ete reultado aparentemente paradoxal? R. (a) Quando t = 0, o problema do agente é: max x E(u(x)) = u(w + xr A ) + (1 )u(w + xr B ) Tirando a C.P.O., que no preente contexto é condição u ciente, temo: Se t 6= 0; temo: u(w + x r A )r A + (1 )u(w + x r B )r B = 0 u(w+~x (1 t) r A ) (1 t) r A +(1 )u(w+~x (1 t) r B )(1 t)r B = 0 Podemo cancelar (1 t) na última expreão, de orte que teremo: u(w + ~x (1 t) r A )r A + (1 )u(w + ~x (1 t) r B )r B = 0 (b) Se x reolve o problema quando t = 0, então, e etabelecermo ~x =, claramente reolvemo o problema para t 6= 0: x (1 t) (c) Parece paradoxal o fato de que a impoição de uma taxa obre o retorno aumenta a demanda pelo ativo de rico, ma a explicação é batante imple. Primeiro, note que, na medida em que não há aplicaçõe alternativa ao ativo de rico e dado que etamo aumindo olução interior, então ocorre que r B < 0, poi, do contrário, 5

6 o agente invetiria toda a ua riqueza (o ativo de rico dominaria o não-invetimento). Ok, ma e por qual motivo aumenta o invetimento? Ora, é verdade que a taxação diminui o retorno no etado bom, ma também é verdade que diminui a perda no etado ruim. Ao aumentar eu nível de invetimento, o agente pode reproduzir eu padrão de riqueza quando da não incidência do impoto, o que caracteriza uma ecolha ótima. Ou eja, o tributo diminui eu retorno eperado, ma também diminui o rico da aplicação. Finalmente, vemo que t é, ao memo tempo, um tributo obre o rendimento no etado bom e um ubídio obre o rendimento no etado ruim. 6. Suponha uma economia com n ben fíico e doi etado. Inicialmente, a única diferença entre um etado e outro é a temperatura, que, por hipótee, não afeta a demanda do ben. O agente aveo ao rico e maximizador de utilidade eperada aloca, então, ua renda para cada etado - (imagine que o agente poui uma renda ex ante e pode decidir como ditribuí-la entre o doi etado). Suponha, agora, que o agente decobre que, no etado doi, além da diferença de temperatura, o preço de um determinado bem i é maior. Motre que, e o coe ciente de averão relativa ao rico for maior do que a elaticidade-renda do bem i, então o agente aumenta a renda detinada ao egundo etado. R: Ex ante, o ótimo é caracterizado por: v y (y 1 ) = (1 )v y (y 2 ) com y 1 + y 2 = y Temo que analiar, portanto, o inal ; abendo que o agente delocará renda para o etado 2 > y(y 2) = : Pela identidade de = y (y 2 ) ) = x i y (R r(y 2 ) i ) > 0, R r (y 2 ) > 2 v x 2 x y ( y v yy v y x i ) 7. Suponha uma rma maximizadora da função objetivo E t=0 (p); em que (p) é o lucro no etado do tempo 1. Certo dia, um banco oferece ao diretor nanceiro da emprea um produto nanceiro capaz de eliminar o rico do vetor de preço. Ito é, garante-e que a emprea poderá comprar inumo e vender produto ao vetor de preço E t p: Quanto a rma etaria dipota a pagar por ete produto? R: Como a função lucro é convexa, temo que E t (p) (E t p). Logo, a rma não etaria dipota a pagar nenhuma quantia poitiva pelo produto oferecido. 6

7 8. Quetão 4 (Prova ) Conidere doi agente iguai em tudo exceto ua riqueza inicial (que é ua única fonte de renda). Ambo têm função utilidade u (c) = c1 1 De na a riqueza invetida do indivíduo como I = W riqueza inicial e c 0 é o conumo no primeiro período. Sendo = 1 ; :::; K, a proporção, k = A kp k I c 0 ; onde W é a da quantidade invetida alocada em cada ativo (ou eja a carteira do indivíduo), motre que o doi ecolhem exatamente a mema carteira. (dica: motre que a carteira ótima independe de I). R: Conidere o problema ecrito como max ;I u(w I) + u(i:(1 + k k r k)) t k = 1 k Sua CPO em erá dada por, u 0 (I(1 + rport_ otimo))rl k I = (p/o ativo l) Sabemo que u (c)=c : Subtituindo-e, então, na CPO, (I(1 + c)) rl I = (p/o ativo l) Logo, (1 + rport_ otimo)) rl = =I 1 Multiplicando cada retrição por l e omando no ativo, teremo (1+rport_ otimo)) rl l = (1+rport_ otimo)) rport_ otimo = l l Subtraindo-e ito da CPO, teremo que cada ativo l erá ecolhido de forma a termo: (1 + rport_ otimo)) (rl rport_ otimo) = 0 Note que, eta condição não depende da ecolha de I. Portanto, a ditribuição do ativo dentro do portfolio não irá depender de quanto decide-e invetir. l =I 1 = =I 1 7

8 9. Quetão 6 (Prova ) Reponda Verdadeiro ou Falo juti cando ua repota 1) Conidere dua loteria, L 1 e L 2 de média iguai e uponha que a variância de L 1 é maior do que a variância de L 2 ; então, todo agente com utilidade Bernoulli u () crecente e côncava prefere L 2 a L 1 : 2) Conidere dua loteria, L 1 e L 2 de média iguai e uponha que a variância de L 1 é maior do que a variância de L 2 ; então, é empre poível encontrar um agente com utilidade Bernoulli u () crecente e côncava que prefere L 2 a L 1 : 3) A condiçõe de primeira ordem ão u ciente para o problema de minimização de cuto da rma dede que a função de produção eja côncava. 4) Se dua rma ão iguai em todo o apecto exceto eu cuto xo não-afundado então ua curva de oferta ão iguai no curto, ma não no longo prazo. Se, porém, a diferença é omente em cuto afundado então a curva de oferta erão iguai independentemente do prazo. R: i) Falo. Não exite critério de dominância que avalie a loteria com bae apena na variância da ditribuiçõe (DESO olha para toda a ditribuição atravé de R x 0 F (t)dt) ii) Verdadeiro. Por exemplo, alguém com utilidade quadrática. iii) Verdadeiro. A concavidade da função de produção irá garantir a u ciência da CPO para caracterizar o máximo. No entanto, há condiçõe mai fraca (bata garantir que o Heiano Orlado eja negativo emi-de nido- ver Simon e Blume, Matemática para Economita). iv) Verdadeiro. No curto prazo, a rma e comportarão de maneira idêntica, uma vez que toda a ua variávei de ecolha de curto prazo terão o memo efeito. No longo prazo (quando podem reotimizar todo o inumo), porém, erão diferente, bem como erão ua curva de oferta. Quanto ao cuto afundado, como não ão mai variávei de ecolha uma vez iniciada a rma, não irão in uenciar o comportamento da rma em nenhum prazo. 8