Gabarito da Lista VI - Microeconomia II Professor: Rodrigo Moura. um consumidor i, sua restrição orçamentária (sempre esgotada) é:

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1 Gabarito da Lista VI - Microeconomia II Professor: Rodrigo Moura Monitor: Je erson Bertolai. Lei de Walras: Para qualquer vetor de preços p, temos que pz(p) 0, onde z(p) é o vetor de excesso de demanda. Isto é, o excesso de demanda é identicamente zero. Para P um consumidor i, sua restrição orçamentária (sempre esgotada) é: k p k x i k (p; pe i) ek i = 0 Somando P P para todos os agentes i, temos: i k p k x i k (p; pe i) ek i = 0 Trocando P P a ordem dos somatórios: k i p k x i k (p; pe i) ek i = 0 Tirando P p k fora do somatório de i k p P k i x i k (p; pe i) ek i = 0 Porém, temos que z k (p) = P i x i k (p; pe i) e i k logo X p k z k (p) = p z(p) = 0 k 2. (a) Falso. A curva de contrato é obtida pelo problema do planejador central, o qual não considera as dotações iniciais de cada agente. Somente é considerada a dotação da economia. (b) Falso. A lei de Walras depende apenas dos agentes esgotarem suas restrições orçamentárias. Vale, portanto, para qualquer vetor de preços. (c) Falso. Precisamos conhecer a dotação inicial dos agentes. O equilíbrio, pelo primeiro teorema do bem-estar, estará sobre a curva de contrato, mas sua localização depende das dotações iniciais. (d) Verdadeiro, por contraposição. (e) Falso. É perfeitamente possível que isso ocorra. Se a alocação é e ciente, nao há como aumentar o bem-estar de um agente sem piorar o outro. Assim, nesta nova alocação um dos agentes estará melhor e outro pior do que no caso inicial. (f) Falso. Suponha que os agentes tenham utilidades U=x+y. Nesse caso, toda a caixa de Edgeworth corresponde à curva de contrato. 3. (a) O problema do consumidor A é: fx A ;y A g s:a: 2x A + y A p x x A + p y y A 5p x + 0p y

2 O lagrangeano é: L = 2x A + y A + [5p x + 0p y p x x A p y y A ] Da CPO, obtemos: 2 p x = 0 P y = 0 5p x + 0p y p x x A p y y A = 0 Assim, com o problema do indivíduo A já obtenho o vetor de preços: p x p y = 2. O problema do consumidor B é: fx B ;y B g s:a: x B y B p x x B + p y y B 0p x + 5p y O lagrangeano é: L = x B y B + [0p x + 5p y p x x B p y y B ] Da CPO, obtemos: y B p x = 0 x B P y = 0 0p x + 5p y p x x B p y y B = 0 Das duas primeiras CPOs temos que y B = x B p x p y. Usando esta informação e substituindo na restrição orçamentária, temos: Substituindo de volta, obtemos x B = 5p y : 2 p x y B = 5p y = 5 2 p y 2 : Com o vetor de preços já encontrado a partir do problema do agente A, temos que: x B = 5 4 ; y B = 5 2 : Com as condições de market clearing, obtemos as demandas de A: x A + x B = 5 =) x A = 5 4 y A + y B = 5 =) y A = 5 2 2

3 (b) Como as preferências são convexas e diferenciáveis, o conjunto das alocações e cientes de pareto é encontrado igualando-se as taxas marginais de substituição dos dois agentes: T MS A x;y = UmgA x A Umg A y A = UmgB x B Umg B y B = T MS B x;y =) 2 = y B x B Assim, o conjunto das alocações pareto ótimas é: P O = x A ; y A ; x B ; y B : 2 = y B ; x A + x B = 5; y A + y B = 5 x B (c) Com os valores encontrados na letra (a), obtemos que: y B x B = = 2; portanto as alocações de equilíbrio pertencem ao conjunto PO e são pareto e cientes. 4. Sabemos que no equilíbrio a taxa marginal de substituição de cada agente será igual à razão de preços. Portanto, temos que: T MSx;y 5 = p x ) y 5 = p x p y x 5 p y Logo, p x p y = 5 0 = 2 : 5. (a) O problema do consumidor A é: O lagrangeano é: fx A ;y A g s:a: L = x A + y A + Da CPO, obtemos: p x = 0 P y = 0 2 (p x + p y ) p x x A p y y A = 0 x A + y A p x x A + p y y A 2 (p x + p y ) 2 (p x + p y ) p x x A p y y A Assim, com o problema do indivíduo A já obtemos o vetor de preços: p x = p y =. 3

4 (c) A alocação de equilíbrio será dar tudo de um bem para um dos agentes e o restante para o outro. Assim, será na quina da caixa de edgeworth, dois pontos. A fugura abaixo representa esta situação: o ponto W é a dotação, os pontos E as alocações de equilíbrio possíveis, a curva de indiferença de A é a azul (no centro da caixa) e a de B a vermelha (na borda superior e direita): (d) As alocações pareto-e cientes serão aquelas localizadas na fronteira da caixa de edgeworth no canto inferior-esquerdo. Portanto, a curva de contrato é toda a borda da caixa no lado inferior-esquerdo. Para ver isso, suponha que a utilidade do agente A seja a dada pela curva de indiferença azul na gura abaixo. A maior curva de indiferença do agente B, vermelha, que toca a curva de A me dá os pontos e 2 como alocações pareto e cientes. Posso repetir o exercício em outros pontos, de modo que o conjunto das alocações e cientes de pareto é a borda inferior-esquerda. 6. (a) Nessa economia, o equilíbrio competitivo é caracterizado por um vetor de preços fp x ; p y g e pelas alocações fx A ; y A ; x B ; y Bg tais que: i. Aos preços fp x ; p y g de equilíbrio: (x A ; y A ) soluciona o problema do consumidor A, isto é, soluciona: fx A ;y A g 2 ln x A + 2 ln y A s.a. p x x A + p y y A = p x 4 + p y 2 (x B ; y B ) soluciona o problema do consumidor B, isto é, soluciona: fx B ;y B g 3 ln x B ln y B + ln x A s.a. ii. As alocações são factíveis: p x x B + p y y B = 2p x + 4p y x A + x B = 6; y A + y B = 6 Utilizando a da Lei de Walras, podemos normalizar o preço de um dos bens (neste caso, faremos p x = ). Resolvendo os problemas dos consumidores, obtemos: x A = 2 + p y ; y A = 2 + p y p y x B = 4 + 8p y ; yb = 4 + 8p y 6 3p y 4

5 Utilizando as condições de equilíbrio de mercado, segue que logo x A + x B = py (2 + p y ) + = 6 6 que me dá p = 0 7. Substituindo nos vetores de demanda individuais, (b) O problema de Pareto é x A = 24 7 ; y A = 24 0 x B = 8 7 ; y B = 8 5 fx A ;x B ;y A ;y B g 2 ln x A + 2 ln y A s.a. 3 ln x B ln y B + ln x A u x A + x B = 6 y A + y B = 6 Substituindo as restrições de factibilidade na função objetivo, podemos montar o seguinte lagrangeano: L = 2 ln x A + 2 ln y A + 3 ln (6 x A) ln (6 y B) + ln x A u As CPOs são: = 2x A 3(6 x A ) x A 2 = 2y A 3(6 y A ) 3 ln x B ln y B + ln x A u = 0 Substituindo a seguinda equação na primeira, obtemos 3(6 x A ) 4(x A 9) = y A 2 () Assim, as alocações Pareto e cientes são caracterizadas pela equação anterior (que me dá a curva de contrato) e pelas condições de factibilidade. 5

6 (c) Substituindo as alocações de equilíbrio competitivo na equação da curva de contrato obtida, obtemos: 3(6 x A ) 4(x A 9) = 0; = ; 25 = y A 2 Portanto, o equilíbrio competitivo não é Pareto e ciente. (d) O que faz com que as alocações de equilíbrio não sejam paretoe cientes é a existência de externalidades. Vemos neste exercício que a utilidade do agente B é afetada positivamente pelo consumo do bem x pelo agente A. Porém, quando A escolhe o quanto consumir, não leva em conta isso. Se o indivíduo B pudesse pagar o indivíduo A para que este consumisse mais do bem x, ambos poderiam melhorar. Entretanto, como não existe este mercado, o o Teorema do Bem Estar falha. 7. (a) Verdadeiro. (b) Falso. Para que o segundo teorema valha, o conjunto de produção também precisa ser convexo. (c) Falso. Não há nada na hipótese que vá contra a existência de equilíbrio. (d) Verdadeiro. Nesse caso a rma sempre tem um desvio lucrativo, que é contratar mais insumos e aumentar a produção, com lucro maior (pois retornos crescentes implicam que um aumento de produção se faz a custos menores) (e) Falso. O problemo de pareto tem solução nesse caso, ainda que o equilíbrio não exista. 8. (a) Dado que trabalha no máximo 8 horas diárias, dedicando-se totalmente à pesca Robinson obterá 8 peixes; dedicando-se à coleta de cocos, obterá 6 cocos. Portanto a curva que retrata as possibilidades de produção nessa economia é dada por 2p + c = 6. O conjunto de possibilidades de produção é: (b) O problema de Robinson é CP P = fp; c : 2p + c 6g p;c p c s.a. 2p + c = 6 Obtemos da cpo: c = 8; p = 4. Logo, existe uma taxa de troca de 2 cocos por peixe. Implicitamente o preço do coco é menor. 6

7 Sejam l c e l p as quantidades demandadas de trabalho pela rma para a produção respectivamente de coco e peixes. O problema da rma é: l p + p c 2l c wl p wlc l c;l p A equação do lucro acima advém do fato de uma hora de trabalho resultar em dois cocos ou um peixe. Derivando para l c e l p : w = ; w p c = 2 9. (a) Da equação do lucro vemos que se w >, a rma tem prejuízo e produz zero peixes; para w <, ela produz uma quantidade in nita. Logo, o único preço de equilíbrio é w = com lucro zero. (b) Novamente, da equação do lucro vemos que se p c > w 2 = 2, a rma produziria um número in nito de cocos; se fosse menor, produziria zero. Assim, em equilíbrio temos p c = 2. Na verdade, retornos constantes não ocorrem em todo o espaço de insumos nesta economia pois Robinson trabalha no máximo 8 horas, logo sua nona hora de trabalho tem um custo in nito (retornos constantes implicam que a rma pode sempre aumentar a quantidade produzida ao mesmo custo). 0. (a) Veja que o nativo em uma hora consegue um coco e 4 peixes. Logo, sua taxa de troca é 4 cocos por peixe. Para Robinson, como visto na questão (2), a taxa era 2 cocos por peixe. Portanto na ilha do nativo o preço relativo deve ser pp p c = 4. Robinson tem menor custo de oportunidade na produção de peixes (pois deixa de produzir 2 cocos contra 4 do nativo), logo deve se especializar nisso. Sua restrição orçamentária, em caso de troca com o nativo, é: p c c + p p p = 8p p 2p p onde utilizei o fato de o nativo exigir 2 peixes como contrapartida pelos custos de transporte. Como a taxa de troca será a do nativo, a restrição ca, dividindo-se por p p : (b) O problema de Robinson é: c + 4p = 24 c;p p c s.a. c + 4p = 24 Da cpo obtém-se que: p = 6 = 3; c = 2 2 7

8 Assim, a utilidade de Robinson após a troca com o nativo é U(c; p) = 3 2 = 36, enquanto no exercício 8 era de 32. O comércio trouxe ganhos, portanto, devido à especialização de cada na produção do bem em que possui vantagem comparativa. 8