Limites indeterminados e as regras de L'Hopital

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1 Aula 3 Limites indeterminados e as regras de L'Hopital Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular ites indeterminados, da forma 0=0 ou =, usando derivadas. Estaremos tamb em eaminando gr a cos de fun»c~oes envolvendo fun»c~oes eponenciais. Diremos que o ite f()=g() tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente!a de fun»c~oes reais f()=g() est a de nido em um conjunto da forma I fag (sendo I um intervalo, e a uma etremidade ou ponto interior de I), f() e g() s~ao cont ³nuas e deriv aveis para 6= a, e f() =g() =0.!a!a Diremos que o ite f()=g() tem a forma indeterminada =, se o quociente!a de fun»c~oes reais f()=g() est a de nido em um conjunto da forma I fag (sendo I um intervalo, e a uma etremidade ou ponto interior de I), f() e g() s~ao cont ³nuas e deriv aveis para 6= a, e f() =, g() =.!a!a Os mesmos conceitos s~ao de nidos analogamente se tivermos! a + ou! a, ou ainda se a =. S~ao duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e outra para formas indeterminadas =. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um unico teorema (que n~ao demonstraremos). Teorema 3. (Regras de L'Hopital) Se!a f()=g() tem uma forma indeterminada 0=0 ou =, ent~ao f()!a g() = f 0 ()!a g 0 () caso o ite!a f 0 ()=g 0 () eista (sendo nito ou in nito). O mesmo vale se a e substitu ³do por a + ou a,ousea =+ ou. 08

2 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 09 Eemplo 3. Calcular! Solu»c~ao. Um c alculo direto nos d a a forma indeterminada 0=0. Pelo m etodo tradicional, usando fatora»c~oes, fazemos! =!2 ( 2)( +) ( 2)(3 +) =! =3=7 Aplicando regras de L'Hopital, n~ao necessitamos da fatora»c~ao:! =!2 ( 2 2) 0 ( ) 0 =! =3=7 No caso de quociente de polin^omios, n~ao precisamos das regras de L'Hopital, mas µas vezes as regras de L'Hopital s~ao nosso unico recurso para o c alculo de um ite: Eemplo 3.2 Calcular!0 sen 3 O ite e indeterminado, da forma 0=0, a agora n~ao podemos colocar em evid^encia nenhuma pot^encia de. Aplicando L'Hopital, temos sen ( sen ) 0 =!0 3!0 ( 3 ) 0 cos =!0 3 2 Eemplo 3.3 Calcular sen = ==6 (usando!0 6!0 e 2!+ 3 (=0=0, aplicamos novamente L'Hopital) sen =) Aqui temos uma indetermina»c~ao da forma =. Aplicando L'Hopital, temos e 2!+ = (e 2 ) 0 3!+ ( 3 ) 0 =!+ =!+ =!+ =!+ 2e (2e 2 ) 0 (3 2 ) 0 4e 2 6 8e 2 6 = + 6 =+ (= =, aplicamos novamente L'Hopital) (= =, aplicamos novamente L'Hopital)

3 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 0 No c alculo de ites, sabemos que tamb em 0 e (+) (+) s~ao s ³mbolos de indetermina»c~ao. No caso 0 tamb em podemos aplicar regras de L'Hopital, ap os uma manipula»c~ao conveniente das fun»c~oes no ite. Suponhamos que f() g() e indeterminado na forma 0,isto e, f() =!a!a 0 e g() =.!a Neste caso, primeiramente fazemos f() f() g() =!a!a =g() =0=0 eent~ao, aplicando L'Hopital, calculamos!a f 0 () (=g()) 0 ou ent~ao g() f() g() = = =!a!a =f() eent~ao, por L'Hopital, calculamos!a Eemplo 3.4 Calcular ln.!0 + g 0 () (=f()) 0 Temos ln =0 ( ). Recorde-se que ln = (vejaaula9).!0 +!0 + Neste caso, fazemos ln ln =!0 +!0 + (= = + ) (ln ) 0 = =!0 + 0 =!0 + = = 2!0 +( ) =0 3. Novos s ³mbolos de indetermina»c~ao Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s ³mbolos de indetermina»c~ao 0 0, 0 e. Em toda a literatura de matem atica universit aria, adota-se, ainda que sub-inarmente µas vezes, a de ni»c~ao 0 0 =.Noc alculo de ites no entanto, 0 0 eums ³mbolo de indetermina»c~ao. O eemplo abaio eplica porqu^e. Consideremos a fun»c~ao f() = k=ln (k constante), de nida para >0. Vimos na aula 9, que!0 + ln =ln0+ =.

4 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital Assim, utilizando algebra de ites, temos f() =0k= ln 0+ =0 k= =0 0.!0 + No entanto, f() = k= ln = e ln(k= ln ) = e k ln ln = e k,ouseja,f() e a fun»c~ao constante e k,eportanto f() =ek.!0 + Tamb em s~ao formas indeterminadas, ou seja, s ³mbolos de indetermina»c~ao, as epress~oes e 0. Suponhamos que o ite!a f() g() tem uma das formas indeterminadas 0 0, 0 ou. Aqui deveremos ter f() > 0 no dom ³nio da fun»c~ao f g. Em qualquer um desses casos, fazemos f() g() = e ln f()g() g() ln f() = e eent~ao sendo!a f()g() = e L L =!a [g() ln f()] Para as formas indeterminadas 0 0, 0 e, o ite L =!a [g() ln f()] ter a sempre a forma indeterminada 0 (ou 0), e reca ³mos ent~ao em um caso anteriormente estudado. Eemplo 3.5 Calcular!0 (aqui,! 0 signi ca! 0 + ). Solu»c~ao. Aqui temos uma indetermina»c~ao 0 0. Seguindo procedimento descrito acima, fazemos = e ln = e ln eent~ao = e L, sendo L = ln.!0 +!0 + Pelo eemplo 3.4, L =0eportanto!0 = e 0 = + Eemplo 3.6 Calcular!0 ( + sen 2) =. Aqui temos uma indetermina»c~ao. Fazemos ( + sen 2) = = e ln(+sen 2)= = e ln(+sen 2).Ent~ao!0 ( + sen 2)= = e L, sendo L =!0 Aplicando L'Hopital, ln( + sen 2) ln( + sen 2) =!0 (= 0=0).

5 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 2 ln( + sen 2)!0 =!0 [ln( + sen 2)] 0 () 0 = 2 cos 2 =2.!0 +sen2 Portanto ( + sen 2) = = e 2.!0 As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»c~ao 0=0 e =, dizem que f()=g() = f 0 ()=g 0 (), mas somente quando este ultimo ite e efetivamente!a!a comput avel. No eemplo abaio, temos uma indetermina»c~ao = para a qual a regra de L'Hopital n~ao se aplica porque o ite f 0 ()=g 0 () n~ao eiste, mas o ite!a f()=g() e calcul avel.!a Eemplo 3.7 Calcular!+ +sen. Solu»c~ao. Temos sen, da ³ + sen para todo 2 R. Logo ( +sen)!+ +, e o ite!+ +sen!+ ( ) = +. Assim sendo, e indeterminado na forma =. ( +sen) =!+ ( +sen) 0 Aplicando L'Hopital, consideramos = ( + cos ). Este!+ () 0!+ ite n~ao eiste (n~ao e nito nem in nito) pois quando cresce inde nidamente, cos ca oscilando inde nidamente entre e +. sen Entretanto =0, pois, sendo >0, como sen,!+ Como!+ Assim, =0,temos0!+ +sen sen sen!+ ³ =!+ sen 0, eportanto!+ + sen =+0= = Novos casos de gr a cos envolvendo fun»c~oes eponenciais. Dois eemplos Eemplo 3.8 Esbo»car o gr a co de f() =2e 2. Solu»c~ao. Temos D(f) =R =] ; +[, ef 0 () =2e e 2 =2e 2 ( 2 2 ). Os pontos cr ³ticos de f s~ao p 2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»c~ao em cadeia, (e u ) 0 = e u u 0.

6 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 3 Assim, Temos f 0 () > 0 se p 2=2 << p 2=2, ef 0 () < 0 se > p 2=2 ou se < p 2=2. Portantof e crescente em [ p 2=2; p 2=2], e decrescente em cada um dos intervalos [ p 2=2; +[ e ] ; p 2=2]. = p 2=2 e umpontodem ³nimo local de f, e 2 = p 2=2 e umpontode m aimo local de f. Temos f( p 2=2) = p 2e =2 e f( p 2=2) = p 2e =2. Para o esbo»co do gr a co, usaremos p 2e =2 ¼ ; 4 0; 6=0; 84 f 00 () = 2e e 2 =4e 2 (2 3 3) =4e 2 (2 2 3). f 00 () =0se e somente se = p 6=2 ou =0. A varia»c~ao de sinais de f 00, com a correspondente an alise das concavidades do gr a co de f, e dada no diagrama abaio. '' = f() _ - 6/2 + 0 _ 6/2 + S~ao pontos de in e~ao do gr a co os pontos P =( p 6=2; p 6e 3=2 ), P 2 = (0; 0) e P 3 =( p 6=2; p 6e 3=2 ). Temos, p 6=2 ¼ ; 3, f( p 6=2) = p 6e 3=2 ¼ 2; 5 2; 2 ¼ 0; 6, f(0) = 0 e f( p 6=2) = p 6e 3=2 ¼ 0; 6. Pesquisando a eist^encia de ass ³ntotas do gr a co temos! 2e 2 = e = 0. Para evitarmos a indetermina»c~ao, fazemos 2! 2e 2 = (=! e 2 ). Aplicando regras de L'Hopital, temos 2 (2) 0 2 = = = 2! e 2! (e 2 ) 0! 2e 2 =0. Assim, a reta =0(eio ) eass ³ntota horizontal do gr a co de f. Com base nos elementos estudados, o gr a co de f e esbo»cado na gura Figura 3..

7 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 4 Eemplo 3.9 Esbo»car o gr a co de f() =, >0. Solu»c~ao. Do eemplo 3.5, temos!0 + =.Esta e uma informa»c~ao relevante para esbo»carmos o gr a co de f nas proimidades de 0. No eemplo 0., da aula 9, obtivemos f 0 () = ( + ln ). Assim, f 0 () =0se e somente se ln =, isto e, = e ==e. Como ln =log e tem base e>, a fun»c~ao ln e crescente, e portanto f 0 () > 0 quando ln >, logo para >e ==e, ef 0 () < 0 para <=e. Da ³, a fun»c~ao e decrescente no intervalo ]0; =e] e crescente no intervalo [=e; +[, sendo =e um ponto de m ³nimo local (e absoluto) de f. Temos ainda f(=e) =(=e) =e ¼ 0; 7. Finalmente, f 00 () = [(=)+(+ln) 2 ], e assim f 00 () > 0 para todo >0, eent~ao o gr a co de f tem concavidade sempre voltada para cima. Obviamente!+ =+. Ogr a co de f e esbo»cado na gura /e 2 Figura 3.2. Al em disso, f()!+ =!+ =!+ =+ e portanto o gr a co de f n~ao tem ass ³ntotas. 3.3 Problemas. Calcule os seguintes ites, aplicando regras de L'Hopital se necess ario.

8 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 5 cos sen ln (a) (b)!0 3!+ 3p (c)! (d)!+ n e (n inteiro positivo) (e)! n e (n inteiro positivo) (f)!0 + ln(sen 2) (g)!0 ln(sen 3) (h)!0 ( 2 ) (i) ( + 3) = (j) =( )!0! (k) (cos ) = (l) e ( real positivo)!0!+ Respostas. (a) =3. (b) 0. (c) =2. (d) 0. (e) + se n e par, se n e ³mpar. (f) 0. (g). (h). (i)e 3.(j)e. (k). (l)0. 2. Calcule as equa»c~oes dasretasass ³ntotas do gr a co de cada uma das seguintes fun»c~oes. (a) f() = ln 3p (b) = + (c) =2 e = (d) = 2 e (e) = sen Respostas. (a) =0,e =0.(b) = e. (c) =0,e =2. (d) =0. (e) =0. 3. Esboce os gr a cos das seguintes fun»c~oes. (a) =2e (b) = e 2 (c) =2 2 e 2 (d) = 2ln(2). Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µas solu»c~oes.) (a) 0 =2( )e, 00 =2( 2)e, (b) 0 = 2e 2, 00 =(4 2 2)e 2 (c) 0 =4e 2 ( 2 ), 00 =4e 2 ( ) (os zeros de 00 s~ao 2p p 5 7, sendo aproimadamente 0; 5 e ; 5). (d) 0 =2[ ln(2)]= 2, 00 =2[ 3+2ln(2)]= 3. (a) (b) Dados num ericos. e =2 ¼ 0;6. Dados num ericos. 2e ¼ 0;7 4e 2 ¼ 0;5.

9 LimitesindeterminadoseasregrasdeL'Hopital 6 (c) (d) Dados num ericos. f(0;5) ¼ 0;4 f(;5) ¼ 0; e/2 e 3/2 / Dados num ericos. e=2 ¼ ;4 e 3=2 =2 ¼ 2;2.