3 Critérios de Confiabilidade

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1 3 Critério de Confiabilidade Uma da funçõe do regulador conite na definição de critério de confiabilidade. Define-e um conjunto de rico aceitável e uma medida de rico para determinar e o rico de uma determinada poição pertence ou não pertence ao conjunto de rico aceitável. Nete capítulo, vamo apreentar medida de rico uada no etor elétrico e em finança, a definição de medida de rico coerente, eguido da análie de ua propriedade. 3.1 Medida de Confiabilidade Uma medida de confiabilidade uada tradicionalmente no etor elétrico como critério de planejamento e deciõe de invetimento para adequação da geração a demanda é a LOLP, definida abaixo: Definição: LOLP (Lo of Load Probability) LOLP = P(r > 0), ou eja, é a probabilidade de perda de carga; r é a variável aleatória que repreenta o corte de carga, i.e., r = max( D g,0), g é a variável aleatória que repreenta a geração de capacidade do itema, D é a demanda do itema. Oberve que P(r > 0) = P(g < D). Dado um nível de confiabilidade (0,1), podemo obter o quantil aociado a LOLP definido por: D = up D {D:LOLP }, ou eja, a máxima demanda D que atifaz a retrição em probabilidade LOLP. Para uma ditribuição dicreta de uporte finito, i.e., uma variável aleatória que aume um número finito de etado repreentado pelo cenário = 1,..., S, D pode er calculado atravé de um problema de programação linear inteira. Suponha que

2 cada cenário poui uma probabilidade q aociada. Ecolhemo o índice tal que g 1... g S. Então, D é o quantil 26 D = up D {D:LOLP } = Max D (3.1) ujeito a g + x M D, = 1,, S (3.2) qx (3.3) x x + 1, = 1,..., S (3.4) x { 0,1}, = 1,..., S (3.5) Onde: S é o número de cenário indexado por ; g = geração em cada cenário ; M = é um número grande uficiente, de modo que para todo cenário, M g - D. Note que o problema (3.1) a (3.5) nada mai é que o cálculo de um quantil de uma ditribuição, portanto não preciaríamo formular um problema de otimização para tal cálculo. Porém o ganho de formular dea maneira é percebermo que há a neceidade de e introduzir variávei inteira no problema de otimização, quando o critério de confiabilidade é a LOLP. Por exemplo, em problema onde o corte de carga depende de alguma variável de decião (invetimento em geração). Outra medida de confiabilidade é o valor eperado da potência não uprida definida abaixo: Definição: EPNS (Valor Eperado da Potência Não Suprida) [MW] EPNS = E[r] O corte de carga em potência multiplicado pela duração do patamar de carga no fornece a energia não uprida no patamar, o que ugere a eguinte definição: Definição: EENS (Valor Eperado da Energia Não Suprida) [MWh] EENS = φ E[r]

3 27 Onde φ é a duração do patamar de carga. Na eção eguinte vamo explicitar uma importante relação entre ea medida de confiabilidade. Ao longo dete trabalho etamo coniderando apena um patamar de carga, portanto a medida EPNS e EENS ão a mema exceto por uma multiplicação de uma contante φ. Para calcular a máxima demanda atendida por um itema utilizando como critério de confiabilidade (EENS δd), onde δ (0,1) é um nível do percentual de demanda etabelecido pelo regulador, podemo proceder da eguinte maneira: Max D Sujeito a + E[ D g] δd Ou, Max D Sujeito a r r q r δd 0 D g 0, = 1,, S Ou eja, utilizando-e o valor eperado da Energia não uprida como critério de confiabilidade torna o problema de encontrar a capacidade máxima de uprimento de um itema em um problema de programação linear. 3.2 Medida de Rico Neta eção, exploraremo medida de rico uada em finança: por intituiçõe financeira, reguladore e na teoria de portfólio. Bem como a relaçõe exitente entre eta medida e a de confiabilidade uada no etor elétrico.

4 Uma medida uada amplamente no controle e regulação de rico por intituiçõe financeira é o -VaR (Value at Rik) definido abaixo: 28 Definição: -VaR (Value at Rik) O valor de rico de uma variável aleatória r qualquer a um nível de confiabilidade é definido por: VaR ( r) = inf{ t : P( r > t) }. Se r repreenta perda, t é a máxima perda a um nível de confiança de x 100%. VaR (r) = t é o quantil mínimo aociado a P ( r > t ) =, i.e., a probabilidade da variável aleatória r exceder o VaR (r) é menor ou igual a. Quando a variável aleatória r depende de alguma variável de decião x, o - VaR pode er vito em programação etocática como uma retrição em probabilidade (Chance Contraint [37]), dado o quantil t * e o nível de confiabilidade a retrição P( r x > t ) limita o conjunto de decião. No noo contexto, a variável aleatória corte de carga depende da demanda, i.e., r D = D g +. O Conjunto { D 0 : P( rd > t ) } repreenta o valore de demanda tai que a probabilidade que o corte de carga exceda t é menor ou igual a. Oberve que, e r repreenta o corte de carga e t = 0. Então, a retrição P( r > t ) é equivalente a LOLP (Relação entre o VaR e a LOLP). Analogamente ao cálculo da máxima demanda atendida quando conideramo a retrição LOLP, o -VaR pode er calculado para uma ditribuição dicreta de uporte finito como um problema de otimização linear inteira. Suponha que cada cenário poui uma probabilidade q aociada e que o índice ão ecolhido de tal forma que r 1... r S, onde r é uma variável aleatória dicreta qualquer com uporte finito. O Cálculo de t pode er formulado pelo eguinte problema de otimização: VAR (r) = t = Min t (3.6) ujeito a

5 29 r - x M t x x q x x + 1 {0,1}, = 1,, S, = 1,, S Onde: S é o número de cenário de capacidade; r = o valor da variável aleatória no cenário ; t; M = é um número grande uficiente de modo que para todo cenário, M r A reolução de problema de Otimização de Portfólio com retriçõe uando o VaR ão uualmente difícei de reolver por caua da não convexidade e da introdução de variávei inteira ao problema. Na literatura encontram-e outra medida de rico como devio padrão, emivariância, medida de quanti e valore eperado condicionai. Mai adiante erá abordada a medida de rico conhecida por Conditional Value at Rik 1 (CVaR) terminologia adotada por R.T. Rockafellar e S.P. Uryaev (2000) em [30]. Será motrado que o valor eperado da energia não uprida (EENS) é um cao particular do CVaR. Oberve que o controle de confiabilidade pode er comparado ao controle de rico na teoria de Portfólio. A medida de confiabilidade uada no etor elétrico ão cao particulare de medida mai gerai uada em finança Conditional Value at Rik Definição: CVaR é o valor eperado condicional definido por: CVaR ( r) = E[ r r VaR ( r)] (3.7) 1 Algun autore referenciam tal medida como Expected Shortfall, Mean Exce Lo ou Tail VaR.

6 30 Note que na definição acima, para calcularmo o CVaR de uma variável aleatória devemo primeiro calcular o VaR da variável aleatória. Portanto, aparentemente o CVaR como medida de confiabilidade de um itema ou portfólio em um problema de otimização etaria dificultando a buca pela olução ótima. Uma propriedade deenvolvida por Rockafellar e Uryaev (2000) [30], motra que o cálculo do CVaR e reume a olução de um problema de otimização linear irretrito com apena uma variável de decião t. E ainda, o mínimo do PL é atingido quando a variável de decião t é igual ao VaR (r). logo Por definição, o CVaR é a média condicional da piore (1-) x 100% perda, CVaR ( r) VaR ( r), o que demontra que é uma medida de rico mai conervadora, poi retringe mai o epaço de deciõe. Em [30] é demontrado que o CVaR (r) pode er calculado reolvendo o eguinte PL: 1 inf{ t + E[ r t] t R + } (3.8) Algun autore: Shapiro (2007) [37] definem o CVaR como o PL acima. A partir da definição (2.11) é imediato que para todo a R CVaR ( r + a) = CVaR ( r) + a (3.9) Ito ignifica que é uma medida linear na tranlaçõe. Outra medida também pouem ea propriedade, por exemplo, o VaR. Oberve que a função [x] + é convexa em x. [x] + Figura Ilutração da Convexidade do operador [.] + x

7 31 Portanto, pela definição (3.13) temo que para todo β [0,1] e Z1 e Z2 variávei aleatória quaiquer, egue que: CVaR Note que, ( βz1 2 1 Z 2 CVaR + (1 β ) Z ) βcvar ( Z ) + (1 β ) CVaR ( ) (3.10) ( 1 Z1 λ Z ) = λcvar ( ), para todo λ 0 (3.11) De (3.15) e (3.16) obtemo uma propriedade que reultou em divero artigo e dicuõe a repeito da coerência de medida de rico [33][34][35][36]. Propriedade da Subaditividade: CVaR ( Z Z 2 + Z ) CVaR ( Z ) CVaR ( ) (3.12) O CVaR é uma medida ubaditiva, ou eja, em termo financeiro incentiva a diverificação. Na eção 2.5 vamo motrar que o VaR não é uma medida ubaditiva, e portanto não leva em conideração o efeito portfólio, penalizando a diverificação. A eguir, vamo motrar a equivalência da definiçõe (3.12) e (3.13) para um contexto de monte Carlo, onde o cenário de capacidade ão orteado de maneira igual. O CVaR é definido por: CVAR (D-g) = E [D g D - g x ] = { / D g x ] ( D g ) (1 ) S Onde x é o -VaR do corte de carga. Uando a definição (3.13) podemo calcular a máxima demanda atendida por um conjunto de geradore utilizando o CVaR como critério de confiabilidade atravé de um problema de otimização linear, explicitado abaixo: Max D (3.13) Sujeito a CVAR (D g) δd

8 demanda. Onde δ (0,1) é um nível etabelecido pelo regulador do percentual de 32 Utilizando (3.13) o problema (3.18) pode er repreentado de forma equivalente a: Max D (3.14) Sujeito a 1 + t + E[ D g t] δd E finalmente por: Max D (3.15) Sujeito a 1 t + q y y y D g 0 δd 0 t, = 1,, S Note que, o problema acima é de otimização linear. Uma vantagem da métrica CVaR em relação ao VaR na olução de problema de otimização é o eforço computacional. A otimização com o CVaR é apena um PL enquanto a olução com o VaR é um problema linear inteiro. O CVaR tem ido amplamente utilizado em problema de portfólio. Uma da motivaçõe iniciai para o uo do valor eperado condicional como medida de rico é a ua capacidade de capturar a preença de evento pouco provávei mai de alta profundidade (catatrófico). O VaR não ditingue tai evento. Em linha gerai, o VaR ó captura a área da cauda da ditribuição não importando como a cauda e ditribui ao longo do evento enquanto o CVaR é uma média na cauda. Indivíduo aveo ao rico, quando confrontado com loteria onde há a probabilidade de ocorrer evento catatrófico memo que a probabilidade eja extremamente pequena tendem a dar mai peo para ee evento, tai ituaçõe ão explicitada em Ma- Collel (1995) [29]. Portanto, indivíduo aveo ao rico entem-e mai confortávei quando ua atitude levam em conideração a magnitude do evento. A figura a

9 eguir ilutra o conceito da captura de evento catatrófico pelo CVaR e a não ditinção da preença de tai evento com a medida de rico VaR Medida de Rico Coerente A eguir vamo apreentar axiomaticamente, a definição de uma medida de rico coerente. Seja χ um epaço linear de funçõe menurávei que definem a variávei aleatória do epaço de probabilidade definido por (Ω, Ψ, P). Definição: ρ:χ R é uma medida de rico coerente, e atifaz a propriedade (1)-(4) a eguir: 1. Sub-aditividade: ρ( X + Y ) ρ(x) + ρ(y), X, Y χ 2. Monotonicidade: X Y, então, ρ(x) ρ(y), X, Y χ 3. Homogênea Poitiva: ρ(λx) = λρ(y), X χ e λ>0 4. Invariância por Tranlação: ρ(x + a) = ρ(x) + a, X χ e a R Note que (1) e (3) implicam em: 5. Convexidade: ρ( tx +(1-t) Y ) tρ(x) + (1-t)ρ(Y), X, Y χ e t [0,1] Propriedade deejada em problema de otimização. Algun autore como Arcebi e Tache 1 (2001) [36] conideram o adjetivo coerente como redundante e definem como medida de rico: como qualquer medida ρ que atifaça a quatro primeira propriedade. A eguir dicutimo a importância da propriedade que definem uma medida de rico coerente. A propriedade (1) de Sub-aditividade implica que a medida leva em conideração o efeito portfólio, ou eja, incentiva a diverificação. A medida de rico de doi portfólio em conjunto é menor que a oma da medida de rico do portfólio em eparado. 1 Em [36], o autore comparam a menuração do rico utilizando VaR como medir a temperatura uando um barômetro.

10 34 A propriedade (2) de Monotonicidade implica que dado doi itema A e B, i.e, doi conjunto de geradore, e o corte de carga de A é menor ou igual ao corte de carga de B para todo cenário então o rico do itema A é menor ou igual ao rico do itema B. E ainda itema com mai geradore pouem uma medida de rico menor. Propriedade (3) Homogênea Poitiva implica que o aumento na variável aleatória aumenta linearmente o eu rico. Em finança quanto maior for uma poição, maior é o eu rico de liquidez. Em alguma ituaçõe o aumento do rico de liquidez é mai que linear, então a hipótee de homogeneidade poitiva não é mai razoável. Dando origem a medida de rico convexa, explorada pelo autore Föllmer e Schied (2002) em [27]. Uma medida de rico é dita convexa e atifaz a propriedade (5), (2) e (4). Propriedade (4) Eqüivariância por Tranlação implica que adicionando ou ubtraindo uma quantidade certa a da variável aleatória X a medida de rico aumenta ou diminui de a. Ex: Cao e adicione uma quantidade certa de 100 MW ao corte de carga, a medida de rico é tranladada em 100 unidade. Em finança ito pode er vito como a adição de uma renda certa, ou eja, livre de rico, por exemplo, título do teouro americano. A medida de rico do portfólio é tranladada exatamente do valor da renda certa em unidade da medida de rico. Ito quer dizer que o rico do portfólio não e altera. Na eção motrou-e que o CVaR atifaz a propriedade que definem uma medida coerente de rico. Pode-e verificar facilmente que o valor eperado da energia não uprida (EENS) é uma medida coerente. O VaR não é uma medida coerente, poi não atifaz a propriedade de ubaditividade, conforme o Exemplo no final deta eção, a incoerência da LOLP. É importante realtar que, para a noa urprea praticamente todo o banco e reguladore utilizam o VaR como medida de Rico. Divero exemplo da incoerência do VaR podem er encontrado em [33][34][35]. Vamo motrar a incoerência da LOLP no noo contexto. Conidere um itema compoto por dua uina térmica, com a eguinte caracterítica:

11 35 Tabela 3.1. Exemplo - Dado da uina térmica Uina Capacidade (MW) Taxa de Falha (%) Dado que etamo coniderando dua uina térmica, cada uma com doi poívei cenário de capacidade, então o número total de cenário de capacidade térmica é 2 2 = 4. A capacidade e a probabilidade aociada a ete cenário etão apreentada na eguinte tabela: Tabela 3.2. Exemplo - Cenário de capacidade Cenário g, g, Probabilidade p Acumulada % 5% = 0.2% 0.2% % 95% = 3.8% 4% % 5% = 4.8% 9% % 95% = 91,2% 100% Supondo um nível de confiança de 5%, temo que a uina operando individualmente atendem uma demanda de 150 e 200 MW, com um total de 350MW. Cao a uina cooperem entre i, pela tabela acima, a máxima demanda atendida pelo itema é de 150 MW, reultando aim em um valor menor quando operada eparadamente. Portanto, podem ocorrer ituaçõe como motrado acima que a LOLP penaliza a diverificação.