Transformadas de Distância

Transcrição

1 Tranformada de Ditância Adelailon Peioto Luiz Velho PUC-Rio.Inf.MCC 35/00 Setembro, 2000 Reumo O cálculo de tranformada de ditância tem aplicaçõe na mai divera área da Computação Gráfica. Uma da principai dificuldade no cálculo de funçõe ditância etá aociada à paagem do univero matemático contínuo para o univero dicreto. Ito porque um memo método, quando etudado no mundo dicreto, pode apreentar propriedade completamente ditinta daquela apreentada do ponto de vita contínuo. Ete trabalho dicute algun do principai método utilizado para o cálculo de tranformada de ditância, dando ênfae principalmente à aplicaçõe a dado matriciai (imagen e volume). É feita também uma dicuão obre propagação de interface, como uma forma de calcular a tranformada de ditância. Palavra Chave. funçõe implícita, curva de nível, propagação de interface, equaçõe diferenciai, volume, codificação de voel. Abtract The computation of ditance tranform ha application in everal area of Computer Graphic. One of the main difficultie in computing a ditance function involve the tranition between the continuou and dicrete univere. When tudied in the continuou univere, a method ma preent completel different propertie than thoe ehibited in the dicrete univere. Thi work preent a general framework about ditance tranform, emphaizing mainl rater data (image and volume). We will alo dicu the interface propagation problem a an approach to ditance tranform. Keword. implicit function, level et, interface propagation, differential equation, volume, voel coding.

2 1-Introdução Tranformada de Ditância repreentam poderoa ferramenta utilizada no proceamento de objeto gráfico [6], na mai divera área da Computação Gráfica. 1.1-Objetivo A tranformada de ditância T, aplicada a um objeto gráfico O, calcula um campo ecalar (ou vetorial) que repreenta ditância mínima entre o objeto e o ponto do epaço no qual ele etá envolvido. A tranformada T pode er definida da eguinte maneira: T ( i pi O O) = min dit( p, p ), onde p repreenta ponto arbitrário do epaço, e dit repreenta uma função ditância ou métrica utilizada. Aim, para cada ponto p do epaço, a tranformada calcula a ditância de p ao ponto p i (p i pertence ao uporte geométrico [6] ou borda de O) que etá mai próimo de p. É claro que com eta definição, para o ponto p ituado na borda do objeto, tem-e T(O)=0. A figura 1 motra a ditância mínima entre um ponto p (interno ao objeto O) e a borda do objeto e a ditância mínima entre um ponto q (eterno) e o objeto. U (Epaço onde o objeto etá definido) p min dit p 2 q min dit 1 O Figura 1: Ditância mínima. O reultado da tranformada T aplicada a um objeto O depende da métrica ou função ditância dit, como erá vito mai adiante, no capítulo Aplicaçõe São inúmera a aplicaçõe que envolvem o uo de tranformada de ditância, na mai divera área da Computação Gráfica. Em [4], o cálculo de campo ditância é aplicado a metamorfoe de objeto 3D. Dentre a divera aplicaçõe no proceamento de dado volumétrco, doi eemplo do uo de tranformada de ditância ão: em algun método de recontrução de uperfície a partir de um conjunto de eçõe bidimenionai e no cálculo de equeleto de objeto volumétrico. 2

3 No primeiro eemplo funçõe ditância ão utilizada como ferramenta para auiliar na recontrução de uma uperfície S, a partir de um conjunto de contorno fechado ituado em fatia paralela (figura 2). No chamado método implícito de recontrução, a uperfície S é definida como a iouperfície F=0, onde F é uma função implícita que pode er calculada a partir de funçõe ditância definida em cada fatia. Um urve do método de recontrução de uperfície pode er encontrado em [12]. z Fatia 3 S z Fatia 2 Contorno z Fatia 1 a) Contorno obre a fatia b) Superfície recontruída Figura 2: Recontrução de uma uperfície a partir de contorno. No egundo eemplo, funçõe ditância ão fundamentai para o cálculo de equeleto (particularmente para o cálculo de eio mediai) do objeto. O equeleto é formado pelo ponto interno que e encontram centralizado em relação à borda do objeto, ou eja, que pouem ditância máima da borda. Em [13] pode er encontrado um urve com o principai método de etração de equeleto de dado volumétrico. A figura 3, retirada de [19], motra o equeleto (ponto branco centralizado) de um objeto volumétrico (intetino). Figura 3: Equeleto etraído de um objeto volumétrico. 3

4 2-Métrica O reultado da tranformada de ditância aplicada a um objeto O depende de qual métrica ou função ditância erá utilizada. Dentre a vária métrica detacam-e: a métrica euclidiana, a cheboard e a cit block. 2.1-Métrica Euclidiana Na métrica euclidiana a função ditância é definida como dit( p, q) = ( p q ) + ( p q ) ( p n q n ) 2, onde p= (p 1, p 2,, p n ) e q= (q 1, q 2,, q n ) ão ponto do epaço n-dimenional. Com eta definição a tranformada T pode er aplicada tanto a objeto do epaço contínuo quanto a objeto do epaço dicreto (como é o cao do objeto volumétrico). Apear de er a métrica ideal, poi trata da medida reai do epaço euclidiano, e conequentemente apreenta ecelente reultado na aplicaçõe, há alguma incoveniência computacionai com o uo da métrica euclidiana. O problema de utilizar a tranformada de ditância com tal métrica para objeto dicretizado é que nem é algoritmicamente fácil implementá-la, nem eu cálculo computacional é eficiente, já que envolve o cálculo de quadrado e raíze. A figura 4 motra o reultado da tranformada de ditância com a métrica euclidiana aplicada a um objeto 2D (uma imagem binária, onde piel branco, com valor 1, repreentam o objeto e piel preto, com valor 0, repreentam o background). O reultado (figura 4b) é uma outra imagem onde o valor de cada piel repreenta ua ditância euclidiana à borda do objeto. a) Imagem binária original b) Tranformada ditância com métrica euclidiana Figura 4: Tranformada de ditância com métrica euclidiana. Devido à dificuldade de implementação e eficiência da métrica euclidiana, muita aplicaçõe a ubtituem por métrica regulare, como a cit block e a cheboard, que pouem um cálculo computacional mai eficiente e ão de fácil implementação [10]. A eguir eta métrica ão definida. 4

5 2.2-Métrica Cit Block Neta métrica, também conhecida como métrica de Manhattan, a função dit é definida como dit( p, q) = p q1 + p2 q p n q 1 n Aim a norma de um vetor é dada pela oma de ua componente em cada eio principal. A grande utilidade deta métrica urge quando aplicada a problema em epaço dicretado. Nete cao há uma interpretação intereante obre a métrica cit block: quando aplicada a objeto do epaço dicreto, eta métrica aume que, para ir de um ponto p a um ponto q, ó é poível andar na direçõe do eio principai do itema de coordenada onde o objeto etá definido (não é permitido andar na direçõe diagonai). Eta obervação fica clara quando o objeto coniderado é uma imagem 2D ou um dado volumétrico. Conforme decrito abaio, no cao de imagen eta métrica define a topologia 4-conectado e no cao de volume, define a topologia 6-conectado. No cao de imagen, onde um piel p poui 8 piel adjacente (4 que compartilham uma areta e 4 que compartilham um vértice com p) eta métrica determina que, aindo do piel p ó é poível andar na direçõe do piel que compartilham uma areta (figura 5a). Aim, e um piel q compartilha uma areta com p, então dit(p,q)=1 e q é um piel vizinho a p. Se q compartilha um vértice com p, então dit(p,q)=2 (q não é vizinho de p). Por eta razão a métrica cit block também é referenciada como métrica 1-2, no entido de que, dado um ponto p, eu piel adjacente por areta têm ditância 1 (piel vizinho) e eu piel adjacente por vértice têm ditância 2. Como cada piel poui 4 piel vizinho (por areta), eta métrica define a topologia 4-conectado. Para calcular a ditância entre doi piel quaiquer bata ir andando na direçõe permitida (horizontal e vertical) e contar a quantidade de piel percorrido entre a origem e o detino. Na figura 5a a ditância entre p e q é 5. A figura 5b motra a tranformada de ditância uando a métrica cit block, aplicada à imagem da figura 4a.. q p Piel adjacente a p Caminho entre pe q a) Piel vizinho: topologia 4-conectado b) Campo ditância gerado pela tranformada Figura 5: Tranformada de ditância uando a métrica cit block. No cao de um dado volumétrico, cada voel pode conter até 26 voel adjacente (6 por face, 12 por areta e 8 por vértice). Partindo de um voel p ó é poível eguir na 5

6 direçõe do eu voel adjacente por face. Aim, e um voel q compartilha uma face com p, então dit(p,q)=1 (q é vizinho de p). Se q compartilha uma areta com p, então dit(p,q)=2 e e q compartilha vértice com p, então dit(p,q)=3. Como doi voel ó ão vizinho e compartilharem uma face, então diz-e que eta métrica define a topologia 6- conectado. A figura 6 motra um voel com eu ei vizinho. No cao 3D eta métrica é também conhecida como métrica 1-2-3, no entido de que voel que compartilham uma face têm ditância 1 (voel vizinho), voel que compartilham uma areta têm ditância 2 e voel que compartilham um vértice têm ditância 3. Figura 6: Métrica cit block definindo topologia 6-conectado. 2.3-Métrica Cheboard Na métrica cheboard a função dit é definida como dit( p, q) = ma( p q1, p2 q2,..., p n q 1 n ). Aim a norma de um vetor é definida como endo a ua maior componente. Aim como a métrica cit block, a maior motivação para o uo da métrica cheboard etá voltada à aplicaçõe dicreta, uma vez que amba procuram ubtituir a métrica euclidiana. A interpretação deta métrica, quando aplicada a objeto do epaço dicreto, é que, para ir de um ponto p a um ponto q, é permitido e delocar em toda a direçõe. Conforme decrito abaio, no cao de imagen eta métrica define a topologia 8-conectado e no cao de volume, define a topologia 26-conectado. A principal motivação para o nome dea métrica vem da aplicaçõe dicreta 2D, onde, aindo de um piel p é poível fazer o movimento que um rei faz em um tabuleiro de adrez. Portanto é permitido andar tanto na direçõe do eio principai (horizontal e vertical) quanto na direçõe diagonai (figura 7a). Devido a ito, um piel p poui 8 piel vizinho: o 4 vizinho por areta (direçõe horizontal e vertical) e o 4 vizinho por vértice (direçõe diagonal). Diz, então que eta métrica define a topologia 8- conectado. No cao 2D a métrica cheblock é também chamada de métrica 1-1, no entido de que, dado um ponto p, tanto o piel que compartilham areta quanto o que compartilham vértice com p pouem ditância 1. A figura 7b motra a tranformada de ditância uando a métrica cheboard, aplicada à imagem da figura 4a. No cao 3D dicreto, partindo de um voel p é permitido eguir em qualquer direção, ou eja, na direçõe do 6 voel que compartilham uma face, na direção do 12 voel que 6

7 compartilham uma areta e na direção do 8 voel que compartilham um vértice, totalizando 26 direçõe poívei. Portanto, qualquer vizinho (por face, areta ou vértice) é vizinho a p (ou eja poui ditância 1). Diz-e então que, a métrica cheblock define a topologia 26-conectado. No cao 3D eta métrica é também chamada de métrica 1-1-1, poi o vizinho de um voel p pouem ditância 1 em relação ao vizinho por face, por areta e por vértice. p Piel adjacente a p a) Piel vizinho: topologia 8-conectado b) Campo ditância gerado pela tranformada. Figura 7: Tranformada de ditância uando a métrica cit block. 2.4-Métrica n f - n a - n v A métrica (cit block 3D dicreta) e a métrica 1,1,1 (cheblock 3D dicreta) podem er vita como cao particulare da métrica dicreta n f -n a -n v, onde, dado um voel p, n f repreenta a ditância entre p e eu voel adjacente por face, n a repreenta a ditância entre p e eu voel adjacente por areta e n v é a ditância entre p e eu voel adjacente por vértice. É claro que no cao 2D a métrica n f -n a -n v é referenciada implemente como métrica n a -n v. Doi eemplo de métrica n f -n a -n v batante utilizada ão a métrica [5] e a métrica [2 ]. 2.5-Codificação de Voel Na aplicaçõe a imagen binária, a tranformada de ditância reulta em uma nova imagem onde o valor de cada piel indica ua ditância a um determinado conjunto de piel iniciai da imagem. Na figura 4b, 5b e 7b o conjunto de piel iniciai é a borda da circunferência definida na figura 4a. Da mema forma, quando a tranformada é aplicada a um volume binário, o reultado também é um volume, onde o valor de cada voel contém informação do campo ditância gerado. A aplicação da tranformada ao voel do volume é feita atravé de um proceo chamado codificação de voel (no cao de uma imagem, chama-e codificação de piel, porém o proceo é o memo e erá generalizado como codificação de voel). 7

8 Codificação do voel de um objeto volumétrico O é uma operação, definida a partir de uma métrica, que e propaga recurivamente voel a voel do volume. Eta operação começa a er aplicada em um conjunto inicial de voel V 0 (V 0 O) e e epalha pelo demai voel de O, até que uma condição de parada eja atingida. Apó a codificação do voel do volume er gerada, tem-e então o campo ditância definido. No cao de uma imagem, a codificação e dá por um proceo de propagação, emelhante à evolução de uma frente em chama, que avança obre uma região coberta de grama. O conjunto V 0 pode er comparado à borda da região, onde alguém pô fogo (frente inicial) e a partir daí a chama vai avançando (frente evoluindo). Uma vez que um piel é viitado, um valor (código do piel) é aociado a ele, indicando ua ditância ao conjunto inicial V 0 (frente inicial). Aim, a codificação de voel pode er interpretada como a evolução de uma interface (por eemplo, o fogo) obre um meio (por eemplo, a grama). Eta comparação, etudada mai adiante, erá útil na tentativa de encontrar nova oluçõe para o problema que envolvem tranformada de ditância. A operação de propagação de voel uando a métrica n f -n a -n v pode er decrita como e egue: primeiro, todo o voel do objeto O ão codificado com o valor infinito, em eguida todo o voel do conjunto V 0 ão codificado com o valor zero (início da propagação) (figura 8a e 9a). A todo o vizinho do voel de V 0 por face é aociado o valor n f, a todo o vizinho por areta é aociado o valor n a e a todo o vizinho por vértice é aociado o valor n v (figura 8b e 9b). Durante a propagação, todo o voel com um determinado código n ão proceado ao memo tempo. Aim, e voel com valor n ão proceado, ao eu vizinho por face, por areta e por vértice ão aociado o valore n+n f, n+n a e n+n v, repectivamente, cao ete valore ejam menore do que o valore corrente do voel vizinho. Ete proceo de codificação continua até que ejam atingida a condiçõe de parada. A ecolha do conjunto de voel iniciai V 0 depende da caracterítica que e deeja etrair da codificação. A eguir ão ecolhido doi conjunto ditinto para V 0, que reultam em campo ecalare com caracterítica diferente: Boundar Field e Single Field [19]. Boundar Field. O conjunto V 0 é compoto pelo voel que formam a borda do objeto. A codificação gerada no voel forma um campo ecalar ditância tradicional, chamado Bounda Field (ete campo foi gerado na figura 4b, 5b e 7b, com a métrica euclidiana, cit block e cheboard, repectivamente). O código gerado para cada voel interno indica ua ditância à borda do objeto e erá chamado boundar-code. O voel centralizado, em relação ao objeto, pouem código máimo. Eta informaçõe ão fundamentai para a etração de equeleto de objeto volumétrico [13]. A figura 8c motra um eemplo de boundar field, com a métrica 3-4. É importante obervar que a métrica elecionada, ou eja a ecolha do valore de n f, n a e n v, influencia no campo ditância gerado. Algun trabalho que utilizam o boundar field, 8

9 para etração de equeleto de dado volumétrico, podem er encontrado em motrado em [18] e [19]. Single Field. O conjunto V 0 é formado por um único voel inicial v 0. A codificação gerada no voel forma um campo ecalar ditância, chamado Single Field. O código gerado para cada voel interno indica ua ditância ao voel inicial v 0 e erá chamado ingle-code. A figura 9c motra um eemplo de ingle field, com a métrica 1-2. Se o objeto é formado por parte deconea, é neceária a ecolha de um ponto inicial v 0 para cada parte deconea a) Ponto do objeto ( ) e b) Reultado do proceamento c) Campo ditância final conjunto inicial V 0 (0 ) do piel de código 0. Figura 8: Campo ecalar Boundar Field, uando a métrica 3,4. O campo ingle field pode er utilizado, por eemplo, para etração do menor caminho entre doi voel (ou piel) v 1 e v 2, como motrado em [18]. Ete problema envolve dua etapa: a primeira etapa é a geração do ingle field, utilizando v 2 como ponto inicial (ou eja v 2 = v 0 ). A egunda etapa etrai o caminho mai curto: v 1 é ecolhido como o primeiro voel do caminho e o próimo voel ecolhido é o vizinho de v 1 que contém o menor código. Recurivamente, o próimo voel é ecolhido de maneira emelhante, como endo o vizinho, com menor código, do voel ecolhido anteriormente. O último voel ecolhido erá eatamente o v 2, que poui o menor ingle-code, ou eja, a) Ponto do objeto ( ) e b) Reultado apó o proceamento c) Campo ditância final conjunto inicial V 0 (0) do piel de código 5. Figura 9: Campo ecalar Single Field, uando a métrica 1,2. 9

10 3-Propagação de Interface Como vito no capítulo anterior, a codificação de voel, durante o cálculo da tranformada de ditância obre um objeto matricial, pode er comparada a uma frente em chama e propagando obre uma região coberta de grama. Eta comparação pode er batante útil, no entido de que o cálculo da tranformada de ditância pode recorrer à Teoria de Evolução de Interface (a frente em chama e propagando é uma interface), numa tentativa de encontrar nova oluçõe para ua aplicaçõe. Ete capítulo relaciona propagação de interface a tranformada de ditância, motrando quai a vantagen de e uar eta abordagem para o cálculo de campo ecalare ditância Propagação de Interface e Campo Ditância Baeado na Teoria da Lei da Conervação Hiperbólica (Apêndice), Sethian [15][16] deenvolveu algun método numérico eficiente para a análie e cálculo de propagação de interface: o Método Level Set e o Método Fat Marching, que erão etudado adiante. O método Level Set pode er aplicado a propagação de interface de forma mai genérica, enquanto o método Fat Marching é aplicado a cao mai epecífico de propagação, dentre ele no cao em que a interface em evolução é uma função ditância. Uma da grande vantagen da utilização dete método é que ele ão baeado em formulaçõe contínua e, portanto, o método Fat Marching pode er utilizado para propagar campo ecalare ditância em objeto contínuo. O campo ditância Boundar Field e Single Field (eção 2.5) ão decorrente da métrica n f -n a -n v, ou eja, ão aplicado a objeto já dicretizado. Ito dificulta a utilização dete método, principalmente no problema que envolvem recontrução do objeto, uma vez que o ponto de partida já foi um objeto dicreto. Como o método Fat Marching é definido a partir de formulaçõe contínua, ele é muito útil para o cálculo de campo ditância onde é neceária a recontrução do objeto. A eguir erão vita a formulaçõe de propagação de interface que originam o Método Fat Marching Formulaçõe da Propagação de Interface Uma interface pode er geometricamente coniderada uma curva ou uma uperfície que epara doi meio que etão interagindo entre i. Ou eja, a interface diz repeito à borda ou fronteira que epara o doi meio. Suponha que a interface eteja e movendo em direção a ua normal, com uma dada velocidade F. A figura 10 motra uma interface eparando doi meio. A curva circular pode er coniderada, por eemplo, um ácido corroendo um material (região entre o retângulo e o círculo), onde o interior do círculo repreenta auência de material. A velocidade da corroão depende da reitência que o 10

11 ácido encontra, ou eja, na parte mai reitente a velocidade da corroão é menor do que em outro locai. Interface Figura 10: Interface eparando doi meio. Outro eemplo é que o círculo pode er coniderado uma interface que epara dua regiõe: a região 1 (interior do círculo), formada pelo ponto cuja ditância ao centro do círculo é menor ou igual ao eu raio e região 2 (entre o circulo e o retângulo), formada pelo ponto cuja ditância ao centro do círculo é maior que eu raio. O aumento do raio do círculo ignifica que a região 1 etá e propagando obre a região 2. De um modo geral, a velocidade de propagação F pode depender de vário fatore: Propriedade Locai ão aquela que dependem da geometria local à curva, como curvatura, vetor normal, etc. Propriedade Globai ão aquela que dependem da forma, poição e caracterítica epecífica de uma determinada interface. Propriedade Independente ão aquela que dependem do poicionamento da interface, como por eemplo, um fluido no qual a interface etá endo conduzida. Como ete trabalho ua propagação de interface como uma forma de propagar ditância, erão coniderado apena o cao em que a velocidade da propagação depende apena de propriedade locai, como curvatura e normal (mai epecificamente, o cao onde a velocidade é contante, conforme erá vito poteriormente). Eitem dua maneira báica de formular o problema de evolução de interface: formulação do valor de borda e formulação do valor inicial, uada para definir, repectivamente, o Método Fat Marching e o Método Level Set Formulação do Valor de Borda No cao de a interface da figura 10 er coniderada um ácido corroivo, à medida que o tempo paa, a tendência é que o tamanho do círculo aumente, uma vez que a corroão é feita apena no entido círculo-retângulo. No cao de o eemplo repreentar a propagação do campo ditância, quanto mai o círculo avança obre o retângulo, mai o campo ditância e propaga. Nete eemplo, o entido de propagação da interface é empre o memo, ou eja, a velocidade não muda de inal, é empre poitiva. Com ito, a cada intante a interface ocupa uma nova poição, uma vez que etá empre avançando. Aim pode-e formular uma função T que aocia a cada poição do epaço uma nova curva. 11

12 A formulação do valor de borda pode er colocada da eguinte forma: Aim, partindo de uma curva ou interface inicial (intante inicial zero), a cada intante T a interface vai evoluindo, ocupando uma nova poição no epaço (figura 11a), ou eja, há um tempo T aociado a cada nova interface reultante da evolução. Com ito cada curva pode er vita como uma curva de nível de uma função tempo T (figura 11b). A motivação do nome formulação do valor de borda urge do fato de que, a cada intante T que e deeja aber onde a interface e encontra, bata tomar a borda da uperfície T(,) na altura T, conforme motra a figura 11b. Curva Inicial T =2 T=0 T =1 T =2 T =1 T=0 Curva Inicial a) Evolução da curva em cada intante b) Evolução vita como uma uperfície T(,) Figura 11: Propagação de interface vita com a formulação do valor de borda. No cao unidimenional a função T é facilmente deduzida. Como em uma dimenão ditância = velocidade * tempo, então 1= F dt/d. Eta notação pode er etendida para múltipla-dimenõe como T F = 1. Eta equação é chamada de equação Eikonal. Eta formulação define o método Fat Marching (eção 3.3), uado para reolver numericamente a propagação de interface, no cao de a velocidade er poitiva. No cao de a velocidade er contante, ete método pode er aplicado para calcular a propagação do campo ditância Formulação do Valor Inicial A formulação do valor inicial é aplicada quando a velocidade de propagação da interface pode alterar o inal. Por eemplo, na figura 10, eja o interior do círculo coniderado um bloco de gelo dentro de um recipiente com água (entre o círculo e o retângulo). A borda do gelo (interface de interação) pode diminuir e a temperatura da água aumentar e pode aumentar cao a temperatura diminua, ou eja, a velocidade de propagação da interface depende da diferença de temperatura entre o gelo e água. Nete cao a interface pode 12

13 avançar ou recuar, ou eja, a velocidade de propagação pode er poitiva ou negativa. Portanto eta formulação é mai genérica do que a do valor de borda. Como a interface pode avançar ou recuar, é poível que ela pae pela mema poição em intante diferente. Portanto não é poível definir uma função temporal T que aocia a ponto do epaço uma interface. Na formulação do valor inicial a interface original é coniderada o conjunto de nível zero de uma função Φ. A evolução da interface então é aociada a variaçõe aplicada à função Φ. Aim, como Φ também varia com o tempo, ela é definida em função do parâmetro da interface e em função do tempo. Por eemplo, e a interface é uma curva evoluindo no plano, a função Φ é definida como Φ(,,t), onde t repreenta o eio do tempo. Para aplicar uma propagação à curva no intante t bata calcular Φ, nete intante t, e tomar ua curva de nível zero, que empre irá correponder à curva evoluída (figura 12). φ(,,2) φ=0 φ(,,1) φ(,,0) φ=0 φ=0 Figura 12: Propagação de interface vita com a formulação do valor inicial. À primeira vita, pode parecer incoerência tranformar um problema de propagação de curva em um problema de propagação de uperfície (Φ). A quetão é que a função Φ erá empre bem comportada, memo no cao onde a interface, ao evoluir, altera completamente ua topologia, como e dividir em dua nova curva ou e houver fuão de dua curva em uma, como motra a figura 13. Para acear a curva evoluída em qualquer intante T, bata tomar a curva de nível zero de Φ(,,T). Matematicamente a formulação do valor inicial pode er definida a partir da equação Φ((t), t)=0 (onde (t) repreenta o epaço de propagação da interface em qualquer dimenão), já que a interface evoluída correponde ao valore onde Φ e anula. Derivando eta equação, pela regra da cadeia, então Φ t + Φ((t),t). (t) = 0. Como F= (t).n e n= Φ/ Φ, então Φ t + F Φ = 0, 13

14 Eta formulação é utilizada para definir o Método Level Set. Como ete método não é aplicado a propagação de campo ditância, ete trabalho não fará uma abordagem obre o memo. O leitor intereado pode conultar a referência [16]. φ(,,t ) φ(,,t ) 1 2 a) Intante t 1 : interface contém dua parte b) Intante t 2 : a interface e propagou e contém uma parte Figura 13: Mudança topológica de uma interface durante ua propagação Evolução de Curva Neta eção erão dicutido algun apecto da velocidade de propagação de interface e como eta velocidade deve er formulada, de modo que a propagação poa er utilizada para o cálculo de ditância. Seja uma curva paramétrica ϕ() = ((), ()), imple e uave. Conidere-e que a curva eteja movendo em direção a ua normal, com uma velocidade F. O objetivo é decrever o movimento da curva durante a ua evolução. A curva ϕ() pode er coniderada como uma interface que epara doi meio. A evolução da curva pode er definida a partir da parametrização dada por ϕ (,t), onde é o parâmetro da curva (0<<S) e t é o parâmetro da evolução (figura 14a). Sem perda de generalidade, a teoria de evolução de curva pode er etendida para evolução de uperfície. ((,t),,t ( )) + ( t, t) t n ((,t),,t ( )) ( ) t, t Fn = ( t, t) a) Parametrização da evolução da curva b) Cálculo da evolução Figura 14: Evolução da curva. 14

15 Durante a evolução, para cada valor de t, há uma nova curva ϕ(,t) gerada pela parametrização da evolução. No intante t da evolução, cada ponto ϕ(,t) = ((,t), (,t)) ofrerá um delocamento atravé do vetor ( t (,t), t (,t)) = F(k(,t)) n(,t), ou eja: onde k = ( - ) / ( ) 3/2 é a epreão paramétrica da curvatura, dentro da função velocidade F(k) e o vetor normal é dado por n =(, - ) / ( ) 3/2. Aim, a nova poição do ponto ((,t), (,t)) erá ((,t), (,t)) + ( t, t ) (figura 14b). Eta formulação é uma repreentação Lagrangeana do movimento da curva, poi o valore de ((,t), (,t)) decrevem tal movimento. t, ( ) ( ) = F + + t, ( ) ( ) = F + + Quando a velocidade de propagação F é contante, todo o ponto da curva e delocam de uma mema ditância. Aim, todo o ponto da nova curva evoluída ituam-e a uma mema ditância da curva anterior. É jutamente ea ituação que interea para o cálculo de propagação de ditância. Portanto, no método para propagação de interface, a velocidade F erá contante. Eemplo1. Durante a evolução, uma curva pode, em tempo finito, perder ua uavidade. Por eemplo [16], eja a curva definida por ϕ(,0) = (1-, (1+co 2π)/2) e propagando com velocidade contante F=1. Em cada intante t, a olução pode er obtida avançandoe cada ponto da curva a uma ditância t, na direção da ua normal, ou eja: (, t = 0), t) = t + (, t = 0), ( (, t = 0) + (, t = 0)) ( 2 (, t = 0), t) = t + (, t = 0) ( (, t = 0) + (, t = 0)) ( 2 Como motrado na figura 15a, ao evoluir, a frente apreenta ponto não diferenciávei ( bico ), onde a normal não etá definida e, portanto não etá claro como a evolução deve proeguir. Nete ponto a frente deenvolve uma cauda em tempo finito. Dependendo da aplicação de evolução de curva, o reultado da figura 15a pode er coniderado correto, porém, como o objetivo é uar propagação de interface para cálculo de ditância, em um determinado intante t, a frente deve er formada apena pelo conjunto de ponto localizado a uma ditância t da curva inicial e, portanto a olução correta eria coniderar a evolução da figura 15b. Portanto, de um modo geral, a olução correta depende da natureza da interface em dicuão. Como o objetivo dete trabalho é uar evolução como propagação de ditância, ituaçõe ambígua como da figura 15a devem er evitada. 15

16 Como encontrar então uma olução em ambigüidade, como a da figura 15b, uma vez que a fórmula de evolução, decrita acima, levam naturalmente à olução ambígua (da figura 15a)? Sethian [14] definiu e etabeleceu uma condição de entropia para reolver tal problema. Entropia e refere à organização da informaçõe da interface, à medida que ela evolui. Em termo gerai, uma condição de entropia é utilizada para que nenhuma nova informação (como a cauda da figura 15a) poa er criada, durante a evolução. Direcionando o problema de evolução de curva para o cálculo de ditância, a quetão agora é aber ob que condiçõe (condiçõe de entropia) uma curva, e propagando com velocidade contante, fornece a olução correta para a propagação de ditância (já que o cálculo acima levam à olução errada da figura 15a). A próima eção e o apêndice decrevem tai condiçõe. Para aplicar a condição de entropia, Sethian recorreu à lei da conervação hiperbólica [7][8], como motra o apêndice. a) Evolução com criação de nova informaçõe b) Evolução com condição de entropia Figura 15: Propagação da curva com velocidade unitária Efeito da Curvatura na evolução Como dito ante, erão coniderado apena o cao de evolução onde F é contante. Porém, para tentar reolver o problema do bico, urgido no Eemplo 1, é importante analiar um cao mai geral, onde a velocidade depende da curvatura e é dada por F(k)=1- εk (ε é uma contante real e ε 0). Se ε=0, a velocidade é contante (como no Eemplo 1, onde F(k)=1) e a curva não e mantém uave durante a evolução, ou eja, em algum momento perde a diferenciabilidade, deenvolvendo bico. Como nete bico o vetor normal não etá definido, não etá claro como a evolução deve proeguir e podem aparecer nova informaçõe (como a cauda), e eria neceária a condição de entropia para que a curva evolua corretamente. Seja agora ε>0, ou eja, F(k) = 1- εk e não é contante. A incluão do termo εk altera profundamente a forma como a curva evolui e é ete termo que dirá como equema numérico eficiente erão contruído, para auiliar na correta condição de entropia. 16

17 Para uma melhor compreenão do efeito da curvatura, analiemo a equação diferencial (evolução da curvatura) k t = εk θθ + εk 3 k 2 [14], que decreve como a curvatura e comporta durante a evolução da curva. A egunda derivada de k é tomada em relação ao comprimento de arco θ. Segundo Sethian [14], o termo (εk 3 k 2 ) é reponável pela ingularidade (bico) gerada na curva, porém é balanceado pelo termo (εk θθ ), que é reponável por uavizar a curva. Eemplo 2. Seja a evolução da função coeno, definida no Eemplo 1. Suponha agora que a função velocidade eja F(k) = 1- εk. Coniderando ε=0, a curva vai evoluir de maneira análoga à figura 15a, ou eja, vai deenvolver bico, poi F(k)=1. Ito ocorre por que, como ε=0, a equação de evolução da curvatura contém apena o termo que cria ingularidade (a equação de evolução erá k t = k 2 ). Coniderando agora ε>0, a equação de evolução da curvatura conterá também o termo (εk θθ ) que uaviza a curva durante a evolução. A figura 16a motra a evolução da curva coeno com a velocidade F(k) = k e a figura 16b motra a mema curva com velocidade F(k) = k. a) F(k) = k b) a) F(k) = k Figura 16: Propagação onde a curva e mantém uave. Aim, pode-e concluir que quanto menor o valor de ε menor erá a contribuição do termo (εk θθ ) e, portanto, a evolução tende a er meno uave (figura 16a). Quanto maior o valor de ε, maior erá a contribuição do termo (εk θθ ) e mai uave erá a evolução (figura 16b). Em [14] Sethian motra que quando ε>0, a curva e mantém infinitamente diferenciável, ou eja, C. Nenhuma da dua condiçõe (ε=0 e ε>0) pode er utilizada para calcular ditância a partir de evolução de curva, poi e ε=0, a curva deenvolve bico (figura 15a) e e ε>0, a velocidade não é contante (figura 16). A correta olução pode, então, er potulada pela condição abaio: Solução de Entropia: o limite de uma propagação com curvatura (onde F(k) = 1- εk), quando ε 0, é igual a uma propagação com velocidade contante (F(k) = 1). Aim, para e obter a evolução da figura 15b, atravé da condição de entropia, deve-e uar a função velocidade F(k) = 1 - εk, fazendo ε tender a 0. 17

18 4-Método Numérico: Fat Marching Ete capítulo dicute método numérico para propagar interface. Dentre ete método, detaca-e o Fat Marching que, além de er batante eficiente, pode er aplicado em propagação de ditância, quando a propagação é feita com velocidade contante. Por fim é motrado um eemplo [3], que utiliza o Método Fat Marching com ete fim. 4.1-Algun Método Numérico O método numérico para evolução urgem a partir de ua formulaçõe no univero contínuo. Aim, a formulaçõe motrada na eçõe 3.2.1, e 3.3 ão utilizada para definir algun dete método. É importante detacar que a preente eção procura dicutir a importância dete método para o cálculo de propagação de ditância Formulação Lagrangeana Na formulação Lagrangeana (eção 3.3), coniderando a propagação com velocidade contante (F=1), a evolução é calculada atravé da equaçõe t =, t =, ( + ) ( + ) Como a velocidade é contante, eta evolução produz um campo ditância. Para definir um método numérico de evolução bata dicretizar eta equaçõe. O intervalo de parametrização da curva [0,S] é dividido em M intervalo de tamanho, produzindo M+1 amotra i = i. (i=0,, M). Também é feita uma dicretização do tempo em intervalo de tamanho t. O valor da curva em movimento, em cada ponto i. e no intante n. t, é dado por ϕ i n =( i n, i n ). O objetivo é numericamente calcular o novo valore (ditância) de ϕ i n+1 = ( i n+1, i n+1 ), produzido pela evolução. A derivada parciai em relação a podem er numericamente reolvida como (central difference): ( i+1 n i-1 n )/2, ( i+1 n i-1 n )/2, A derivada parciai em relação ao tempo podem er aproimada por (forward difference): t ( i n+1 i n )/ t e t ( i n+1 i n )/ t. Subtituindo eta derivada na fórmula de evolução ( t, t ) acima, e rearrumando o termo, obtém-e a epreão numérica para o cálculo da evolução: n n n n ( n+ 1 n+ 1 n n ( i+ 1 i 1, i 1 + i+ 1) i, i ) = ( i, i ) + t n n 2 n n 2 1/ (( ) + ( ) ) 2 i+ 1 i 1 i+ 1 i 1, 18

19 A epreão numérica que calcula a evolução pode agora er aplicada para calcular a nova ditância ( i n+1, i n+1 ) a partir de ponto ( i n, i n ). O problema maior na aplicação dete método etá na intabilidade do reultado. Se a ditância é muito pequena a amotra da curva ficam muito próima e o quociente do egundo membro da equação da evolução pode ficar muito próimo a zero. Ito caua uma grande intabilidade numérica na propagação da ditância. A próima etapa da propagação, então, já eria calculada obre ete erro, cauando uma drática propagação do erro. É importante lembrar também que, como não etá endo aplicada nenhuma condição de entropia, ete método ainda pode gerar reultado emelhante ao da figura 15a, o que tornaria errada a olução da propagação de ditância Método Level Set O método Level Set é aplicado ao cao onde podem ocorrer mudança na inal da velocidade. Por eta razão ele não é aplicado ao cálculo de propagação de ditância. Apear dito, algun trabalho, como [3], utilizam o Level Set como uma etapa de préproceamento para o cálculo de ditância. Por ito erão feito algun comentário obre ete método. O método numérico Level Set foi deenvolvido a partir da formulação do valor inicial, apreentada na eção 3.2.2, onde a interface em evolução é empre o conjunto de nível zero de uma função Φ, que também evolui em função do tempo e a equação de evolução é dada por Φ t + F Φ =0. Eta equação é um cao particular da equação de Hamilton-Jacobi αu t +H(U,U,U z ) = 0, onde α=1 e H( Φ)=F Φ. Conforme motrado no apêndice, a equação de Hamilton- Jacobi pode er reolvida numericamente a partir de método de lei de conervação hiperbólica [16]. A partir da olução da equação de Hamilton-Jacobi, que já inclui a condiçõe de entropia, o Método Level Set é definido atravé da equação: Φ ijk n+1 =Φ ijk n - t.[ma(f ijk,0) + + min(f ijk,0) - ], onde + =[ma(d ijk -,0) 2 +min(d ijk +,0) 2 +ma(d ijk -,0) 2 +min(d ijk +,0) 2 +ma(d ijk -z,0) 2 +min(d ijk +z,0) 2 ] 1/2, - =[ma(d ijk +,0) 2 +min(d ijk -,0) 2 +ma(d ijk +,0) 2 +min(d ijk -,0) 2 +ma(d ijk +z,0) 2 +min(d ijk -z,0) 2 ] 1/2 e D ijk - = (Φ ijk Φ i-1,j,k )/ e D ijk + = (Φ i+1,jk Φ ijk )/. D ijk -, D ijk +, D ijk -z e D ijk +z ão definido de maneira análoga. Nete método é definida uma grade, onde o valor aociado a cada elemento da grade repreenta o valor da função Φ, em um determinado intante da evolução. Em um intante poterior, para aplicar a evolução, todo o valore da grade ão atualizado. A interface, alvo da propagação propriamente dita, é empre repreentada pelo ponto da grade, onde Φ=0. A figura 17 motra a evolução de uma curva ϕ ij n no plano. O valore aociado ao ponto (i,j) da grade repreentam curva de nível da função Φ ij n (daí o 19

20 nome dete método er Level Set), de modo que a curva ϕ ij n é empre repreentada pela curva de nível Φ ij n =0. uperfície φ n+1 ij ϕ φ n+1 ij n+1 ( ij =0) plano φ=0 j i Intante ( n+1) t uperfície φij n t ϕ ij n ( φ n ij =0) Intante n t plano φ=0 j i Figura 17: Método Level Set: a curva ϕ ij n evoluída é tomada empre como Φ ij n =0. Como motra a figura 17, a cada intante, o valore de todo o ponto da grade ão atualizado, repreentando a curva de nível da função Φ, naquele intante. Deta forma, toda a curva de nível ão atualizada, não apena a curva de nível zero (na figura 17, ão detacado o ponto da grade correpondente à curva de nível zero). Em muita ituaçõe, eta atualização de toda a curva de nível da grade é neceária. Porém há outra ituaçõe em que apena uma curva é de interee (curva de nível zero), endo deneceária a atualização de todo o ponto da grade. Nete cao apena o ponto da grade vizinho à curva de interee devem er atualizado. Eta forma de atualização origina um método level et chamado de narrow band. No método narrow band, apena o ponto vizinho à curva de nível zero ão atualizado em cada intante. Uma vez que uma aplicação tenha interee apena na evolução da curva de nível zero, é deneceário atualizar toda a curva de nível. A narrow band é um conjunto de ponto da grade ituado ao redor do ponto correpondente à curva de nível zero (figura 18). A largura da narrow band é definida pelo uuário. 20

21 Figura 18: O ponto da grade ituado na região cinza fazem parte da narrow band. 4.3-Método Fat Marching O Método Fat Marching propaga a interface baeando-e na formulação do valor de borda, (eção 3.2.1), onde uma função tempo T aocia cada ponto do epaço ao intante em que a interface atinge ete ponto (,). Eta formulação é utilizada apena no cao onde a velocidade é empre poitiva (ou empre negativa). Quando a interface e propaga com velocidade contante eta formulação pode er utilizada para calcular campo ditância. Ponto onde o valor de T é conhecido Ponto onde o valor de T não é conhecido T T T j j j I I I a) Curva inicial (T=0) b) Atualização de T na propagação c) Atualização de T Figura 19: Contrução da função T no Método Fat Marching. Ao contrário do método Level Set, o método Fat Marching é um problema etacionário, no entido de que a funcão T é fia, não e altera com a propagação da interface (ao contrário da função Φ). 21

22 A idéia do Método Fat Marching é que, partindo de uma interface inicial, dicretizada obre uma grade, a função T vai endo contruída obre o ponto da grade, à medida que a interface e propaga. A figura 19a motra uma curva obre uma grade 2D, onde no ponto (i,j) que correpondem à interface inicial, T ij =0 (início da propagação). No demai ponto, eterno à interface, o valor de T não é conhecido. O objetivo do método é jutamente calcular ete valore de T, de maneira eficiente, à medida que a curva evolui (figura 19). Em cada iteração da propagação é contruída uma nova camada da uperfície T. O Método Fat Marching é formulado a partir da equação Eikonal T F = 1, que é um cao particular da equação de Hamilton-Jacobi (apêndice). A olução numérica deta equação é baeada na Lei da Conervação Hiperbólica. Baeada na olução dicreta da equação de Hamilton-Jacobi, a equação Eikonal pode er reolvida atravé do equema: onde D ijk - = (T ijk T i-1,j,k )/ e D ijk + = (T i+1,jk T ijk )/. D ijk -, D ijk +, D ijk -z e D ijk +z ão definido de maneira análoga ma( Dijk,0) + min( Dijk,0) ma( Dijk,0) + min( Dijk,0) z 2 + z 2 + ma( Dijk,0) + min( Dijk,0) 1/ 2 = 1 F ijk, A forma padrão de e reolver eta equaçõe requer iteraçõe. A cada iteração iter o ponto da grade T ijk iter vão endo calculado, a partir do vizinho de T ijk da iteração anterior, conforme o algoritmo: Para iter=1,n Para i,j,k=1,dim Reolver a equação para T ijk iter+1, a partir de T i-1,j,k iter, T i+1,j,k iter, T i,j-1,k iter, T i,j+1,k iter, T i,j,k-1 iter, T i,j,k+1 iter. FimPara FimPara A figura 20 motra a vizinhança do ponto T ijk. em uma grade 3D. Ti,j,k+1 Ti,j-1,k Ti-1,j,k Ti,j,k Ti+1,j,k Ti,j+1,k Ti,j,k-1 Figura 20: Vizinhança de um ponto. Figura 21: Início do método Fat Marching. Durante o cálculo do valore de T, a informação vai empre e propagando a partir do ponto com menore valore de T. A figura 22 eplica como o proceo de propagação de uma interface 2D e dá a cada iteração. O ponto preto repreentam a poiçõe onde a 22

23 função T é conhecida e o ponto branco, poiçõe onde T é deconhecida. Partindo de uma interface inicial (figura 21), repreentada por um ponto preto, onde T=0 (figura 22a), ão calculado o valore de eu quatro vizinho (repreentado pelo ponto cinza A, B, C e D, na figura 22b), atravé da equação Eikonal dicreta. Dentre ete quatro ponto, a propagação deve eguir a partir daquele que tiver o menor valor de T. Ou eja o algoritmo para propagação requer que haja uma ordenação do ponto cinza. Supondo que o ponto A contém o menor T, a propagação deve proeguir a partir dele (figura 22c), ou eja, o ponto A é etado para preto, indicando que a propagação já é conhecida em A, e eu vizinho ão calculado (repreentado pelo ponto cinza E, F e G, na figura 22d). É importante obervar que o ponto preto inicial, apear de er vizinho de A, não entrou nete proceo, poi a propagação tem entido único, não é retroativa. A propagação deve continuar a partir do ponto cinza (B, C, D, E, F ou G) que tiver o menor valor de T. Mai uma vez erá neceária a rotina de ordenação para elecionar o ponto cinza de menor T. Supondo que o ponto D contém o menor valor, a propagação deve eguir a partir dele (figura 22e). O valor de T é calculado no vizinho de D, que ão etado para cinza. É importante obervar que um do vizinho de D (o ponto E) já era cinza, poi também é vizinho de A, ma eu valor deve er recalculado (apena o vizinho preto ão poupado). O proceo e repete até que a função T eja determinada. C D B C D B A A a) Atualização a partir da origem b) Cálculo do poívei valore c) Ecolha do valor de menor T, dentre o ponto cinza (e. A) C D E B G A F C D E B A G F C D E B G A F d) Fia o valor do ponto A e atualiza e) Ecolha do ponto de menor T, f) Fia o valor de D e atualiza eu vizinho (tornam-e cinza) dentre o ponto cinza (e. D) eu vizinho. Figura 22:Procedimento de Atualização do Método Fat Marching. Utilizando a equação Eikonal, o cálculo de T no vizinho nunca fornece valore menore do que o ponto já conhecido (ponto preto), e portanto, a marcha egue empre em um único entido, e afatando da origem. 23

24 Para a propagação no pornot da grade, há trê categoria de ponto: ponto com valore conhecido (preto), ponto candidato a proeguirem com a propagação (cinza) e ponto deconhecido (branco), que eriam o ponto ditante da interface. Na buca da olução, a marcha e dá empre tranformando ponto branco em ponto cinza e cinza em preto, conforme motra a figura 23. Ponto candidato (narrow band) Valore conhecido Ponto ditante Figura 23: Progreão do Método Fat Marching Uma da grande vantagen dete método, além da eficiência, é que ele pode er aplicado para cálculo de ditância de objeto contínuo. A dicretização do objeto pode er feita em qualquer reolução, o que permite que poa er controlada a margem de erro, no cao que requerem recontrução do objeto. Em [3], Breen utiliza o método fat marching para calcular campo ditância de objeto. Em eguida ete campo ão utilizado para converter objeto repreentado por uma árvore CSG para repreentação volumétrica. Um grande deafio é o deenvolvimento de Método Fat Marching adaptativo. No método decrito acima, o ponto onde o valore de T ão calculado ão amotrado regularmente. Ito apreenta alguma devantagen, principalmente quando e deeja concentrar informaçõe obre determinada regiõe da interface em evolução. Uma opção é aumentar a reolução da grade, o que implica em deperdício de recuro, poi nem toda a interface preciaria deta alta reolução. Com grade adaptativa eria poível fazer propagação em multi reolução, o que acarretaria em inúmera vantagen para a mai divera aplicaçõe. 24

25 5-Concluõe Ete trabalho apreentou uma conceituação geral obre tranformada de ditância, motrando algun método numérico para e calcular eta tranformada O reultado de uma tranformada de ditância aplicada a um objeto depende da métrica utilizada. A métrica etá relacionada à ditância epacial do ponto do objeto. A métrica natural de e aplicar a objeto do epaço euclidiano é a métrica euclidiana. Apear de apreentar ecelente reultado, eta métrica apreenta vário problema de eficiência computacional, além de não er algoritmicamente trivial. Vária métrica regulare ão utilizada para ubtituir a métrica euclidiana, numa tentaviva de aumentar a eficiência do cálculo computacional, em perder o ótimo reultado fornecido. Dentre eta detacam-e a métrica cit block e a métrica cheboard. Eta dua ão cao particulare da métrica n f -n e -n v, utilizada para gerar campo ditâcnia de objeto matriciai, como imagen e volume. No cao de volume, valor n f repreenta a ditância à face do voel, n e repreenta a ditância à areta e n v repreenta a ditância ao vértice. O cálculo do campo ditância no ponto de um objeto é feito atravé da propagação da ditância em relação a um dado conjunto de ponto iniciai. Aim, o cálculo de ditância pode er vito como uma frente ou interface e propagando a partir de uma frente inicial. Baeado nete paradigma, a Teoria de Propagação de Interface pode er utilizada para auiliar no deenvolvimento de método numérico eficiente, como o Fat Marching que pode er aplicado a objeto formulado no univero contínuo. Ito é uma grande vantagem em relação ao método que utilizam a métrica n f -n e -n v, por eemplo, poi ete último ó podem er aplicado a objeto dicreto e não eriam muito útei no cao onde é neceária a recontrução do objeto. A formulação de propagação de interface é feita da eguinte forma: dada uma curva paramétrica inicial, ua evolução é feita atravé de uma parametrização temporal. Sua propagação e dá na direção normal, e a velocidade de propagação é em função da curvatura. Quando a velocidade de propagação é contante, a propagação de interface pode er utilizada para o cálculo de campo ditância. Baeado na Teoria da Lei de Conervação Hiperbólica Sethian [16] deenvolveu método numérico eficiente, Método Fat Marching e Método Level Set, para propagar uma curva a partir de uma poição inicial. O primeiro método, por er aplicado no cao onde a velocidade de propagação é poitiva, pode er utilizado para calcular campo ditância de forma batante eficiente, a partir da equação Eikonal dicreta. Além dio apreenta a vantagem de poder er aplicado a objeto formulado em epaço contínuo. 25

26 Apêndice - Lei de Conervação Hiperbólica Ete apêndice introduz a Lei de Conervação Hiperbólica [7][8], motrando qual ua relação com propagação de interface. Em [16] Sethian utilizou método numérico de lei de conervação hiperbólica, para deenvolver o método Fat Marching e Level Set, que reolvem numericamente problema de propagação de curva. Dada u(,t), onde t repreenta o parâmetro temporal de u()=u(,0), uma equação diferencial da forma u t + [G(u)] = 0 é conhecida como uma lei de conervação hiperbólica. G(u) é conhecida como a função fluo. Um eemplo imple é a equação de Burger, onde G(u) = u 2 /2, e portanto u t + uu = 0. Eta equação de onda, que decreve o movimento de um fluido compreível em uma dimenão, motra a relação entre a variação epacial (u ) e a variação temporal (u t ) do fluido repreentado pela função u. A olução para eta equação apreenta decontinuidade, ao longo do tempo, ou eja, u(,t) pode er decontínua, memo que o dado inicial u(,0) eja uave. Para tornar a oluçõe uave, acrecenta-e o termo εu (onde ε 0) à direita da equação acima, ou eja, u t + uu = εu. O termo u, chamado de vicoidade do fluido, age como um termo uavizador, impedindo a formação de decontinuidade de u, ao longo do tempo. Pode-e demontrar que e ε>0 a olução e mantém uave ao longo do tempo (e ε=0, então u t + uu = 0, e a olução não e manterá uave). Uma vez vito (ainda que rapidamente) o que é uma lei de conervação hiperbólica, o que eta teoria tem a ver com evolução de curva? Relação entre Evolução de Curva e Lei de Conervação Hiperbólica. Seja uma curva inicial ϕ(,0), evoluindo com velocidade F(k)=1-εk, cuja evolução ϕ (,t) e mantém um gráfico ao longo do tempo. Em [16] e [17] Sethian demontra que tal evolução pode er vita como uma lei de conervação hiperbólica (com vicoidade), dada por 2 [ (1 ) 1/ 2 u ut + + u ] = ε, u onde u=dϕ/d. Neta equação, a função fluo é G(u) = -(1+u 2 ) 1/2. É intereante analiar eta relação ob o doi ponto de vita: de evolução de curva e de lei de conervação hiperbólica. Se ε=0, então F é contante (F(k)=1) e, conforme vito na eçõe 3.3, a evolução de ϕ não é uave; já a equação hiperbólica não tem termo de 26