Sociedade de Engenharia de Áudio. Artigo de Convenção. Apresentado na VII Convenção Nacional de maio de 2003, São Paulo, Brasil

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2 Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apreentado na VII Convenção Nacional 68 de maio de 003, São Paulo, Brail Ete artigo foi reproduzido do original entregue pelo autor, em ediçõe, correçõe e conideraçõe feita pelo comitê técnico dete evento. Outro artigo podem er adquirido atravé da Audio Engineering Society, 60 Eat 4 nd Street, New York, New York 06550, USA, Informaçõe obre a eção braileira podem er obtida em Todo o direito reervado. Não é permitida a reprodução total ou parcial dete artigo em autorização exprea da AES Brail. Conideraçõe Sobre o Uo de Funçõe de Tranferência Cláica no Projeto de Diviore de Freqüência André Luí Dalcatagnê, Sidnei Noceti Filho e omero Sette Silva LINSE Laboratório de Circuito e Proceamento de Sinai Departamento de Engenharia Elétrica, UFSC Tel: (0xx48) , Fax: (0xx48) Florianópoli, , Santa Catarina, Brail andre@line.ufc.br, idnei@line.ufc.br Eletrônica Selenium S.A. Nova Santa Rita, , Rio Grande do Sul, Brail homero@elenium.com.br RESUMO Nete trabalho, o uo de funçõe de aproximação cláica no projeto de diviore de freqüência erá abordado ob doi apecto. Primeiramente, irá e motrar que a utilização da função Beel no projeto de um divior de freqüência devido apena à ua boa caracterítica de fae não é coerente, uma vez que ea propriedade ó ocorre em filtro paabaixa. Em eguida, motrae que a caracterítica do altofalante reai impedem que a repota em freqüência de um divior de freqüência poua a caracterítica da funçõe cláica. INTRODUÇÃO A banda de áudio, normalmente coniderada como endo a faixa compreendida entre 0 e 0000 z, não pode er reproduzida com qualidade por apena um altofalante devido à ua grande extenão. A olução para ee problema é eparar o epectro de freqüência do inal elétrico a er convertido em preão onora em dua ou mai banda e detinar um altofalante epecífico para reproduzir cada uma dea faixa de freqüência. Realizar eta divião é a principal função de um divior de freqüência (DF), ou croover, que é um conjunto de filtro elétrico reponável por determinar o epectro de freqüência do inal elétrico enviado a cada trandutor do itema. Nete trabalho, itema é o conjunto formado pelo DF e pelo altofalante. Normalmente, o projeto de um DF é baeado em uma função de aproximação cláica, endo que a mai utilizada ão a funçõe Butterworth [], Beel [] e LinkwitzRiley [], formada pela cacata de dua funçõe Butterworth idêntica. Ea funçõe pouem caracterítica particulare: a função Butterworth é monotônica em toda a faixa de freqüência e apreenta a máxima planura poível na banda de paagem; a função Beel caua o menor devio do atrao de fae

3 e grupo na banda paante; a função LinkwitzRiley gera DF de dua via com repota em freqüência plana, em obrepaamento em torno da freqüência de cruzamento. Entretanto, devee ter em mente que em um DF real ea caracterítica nunca ão preervada. O primeiro objetivo dete trabalho é motrar que não e deve utilizar como único critério de ecolha da função Beel para o projeto de um DF a ua boa caracterítica de fae na banda paante, quando e compara com a demai funçõe cláica, poi tal propriedade ó exite em filtro do tipo paabaixa. Na egunda parte, motrae que como o altofalante não é uma imple reitência, o filtro de um DF paivo nunca ão Butterworth, Beel ou LinkwitzRiley, poi a carga de um filtro paivo influencia na ua função de tranferência (FT). Além dio, tanto no DF paivo quanto no ativo, é intereante alterar o valore do componente calculado atravé de fórmula cláica, que conideram o altofalante uma reitência pura, de modo a compenar o efeito da nãoidealidade do altofalante na FT do itema. Tal tarefa pode er feita tanto por um método empírico quanto por otimização. MODELAMENTO DE UM DIVISOR DE FREQÜÊNCIA Grandeza Aociada a um AltoFalante Nete trabalho, dua grandeza aociada a um altofalante erão mencionada: a ua impedância equivalente e a ua FT. Conidere a Fig., onde vc ignifica voice coil, ou eja, a bobina de voz. Evc Ivc P () Fig. Grandeza aociada a um altofalante. A impedância equivalente de um altofalante é definida como a relação entre a tenão aplicada no eu terminai e a corrente que circula atravé dele: Z E ()/ I () vc vc vc A FT de um altofalante é a relação entre a preão onora produzida em um ponto do epaço e a tenão aplicada no eu terminai: T P()/ E () Diviore de Freqüência Ativo e Paivo O itema formado pelo DF e pelo altofalante pode er repreentado pelo diagrama de bloco da Fig., onde na entrada e tem o inal elétrico e na aída, a preão onora total produzida em um ponto do epaço. Idealmente, um DF deve fazer com que a preão onora na aída eja análoga ao inal elétrico de entrada, independentemente da freqüência. vc P T Fig. Sitema formado pelo divior de freqüência e altofalante. Ete itema pode er contruído com um DF paivo ou ativo. A Fig. 3 motra a forma de ligação de um DF paivo e a Fig. 4, a de um DF ativo. Por implicidade, repreentoue DF do tipo paralelo de dua via. O índice repreenta a via paabaixa, o índice, a via paaalta e o índice T, o itema completo. K Evc E () Fig. 3 Divior de freqüência paivo. K K Evc E ( ) Fig. 4 Divior de freqüência ativo. T Idealmente, ambo o tipo podem realizar a mema FT. Entretanto, há uma diferença báica na poição em que podem er dipoto em relação ao amplificador de potência. Por implicidade de projeto e diponibilidade no mercado, a grande maioria do DF ativo ão contruído com amplificadore operacionai convencionai, que ão incapaze de gerar a potência neceária para alimentar um altofalante diretamente. Por ee motivo, o DF ativo devem er montado ante do amplificador de potência que alimenta o altofalante (Fig. 4). Coneqüentemente, devee utilizar um amplificador de potência para cada via do itema. No cao de DF paivo, o problema de potência não exite e ele podem er montado ante ou depoi do amplificador. Se colocado ante (Fig. 4), há a vantagem de que a carga de cada um do filtro do DF é a alta impedância de entrada do amplificador de potência. Se colocado entre o amplificador de potência e o trandutore (Fig. 3), a carga de cada filtro do DF é a impedância equivalente do trandutor que o filtro etá alimentando. Ee fato complica batante o projeto do DF, já que a carga de um circuito paivo altera a ua FT. Apear dea devantagem, ea montagem é a mai utilizada e erá coniderada como padrão nete trabalho. Ea preferência e deve ao fato de que quando montado dea forma, o DF pode er incorporado dentro da caixa acútica, VII CONVENÇÃO NACIONAL AES BRASIL, SÃO PAULO, BRASIL, 68 DE MAIO DE 003 4

4 juntamente com o eu altofalante, além de er neceário apena um amplificador de potência para todo o itema. Equacionamento de um Divior de Freqüência Neta eção, erá apreentado o equacionamento de um DF. A FT do amplificador de potência, ou do amplificadore de potência no cao de DF ativo, erá deconiderada, poi na faixa de operação do DF podee aumir que o amplificador de potência etá atuando na ua faixa plana. A preão onora total produzida pelo itema é a oma da preõe onora produzida por cada uma de ua via. Portanto: P P P (3) T A FT da via k ão independente e dada por: P ()/ E (4) k k I Combinando a equaçõe (3) e (4), podee ecrever a preão onora produzida pelo itema como: P E E T() () I() () I() (5) de onde determinae que: P E T() T()/ I() () () (6) Portanto, fica evidenciado que o projeto de um DF paralelo pode er feito via a via, poi a FT do itema completo é a oma da FT de cada uma de ua via. Conforme e oberva na Fig. 3, a FT de uma via pode er dividida em doi termo: O termo: k Pk Evck Pk E E E (7) I I vck F E ()/ E (8) k vck I é a FT do filtro da via. O termo: T P ()/ E (9) k k vck é a FT do trandutor. Aim, cada via é formada por doi itema independente em cacata, cuja FT é: F T (0) k k k Portanto, iremo abordar nete trabalho trê tipo de FT: a FT do itema T (), a FT da via k k () e a FT do filtro da via k F k (). EFTO DAS TRANFORMAÇÕES EM FREQÜÊNCIA NA FASE DE FILTROS BESSEL A função Beel é uma aproximação de ordem n da função de fae linear, que é dada pela equação (): 0 L Ke T () () Podee facilmente notar que eta função poui uma fae linear para jw, que é w T0. Um parâmetro comumente utilizado para averiguar o comportamento da fae q(w) de uma função é o atrao de fae [], que é definido como: ( ) qw tp ( w ) w () Portanto, o atrao de fae da função de fae linear é contante e igual a T 0. O fato de a função Beel er uma aproximação da função de fae linear lhe confere alguma particularidade. A função Beel é a que apreenta a menor diperão do atrao de fae na banda paante dentre todo o filtro polinomiai cláico, como Butterworth ou Chebyhev, o que ignifica que é a aproximação cláica cuja fae mai e aproxima de uma reta na banda paante. Além dio, ao contrário do outro tipo de aproximação, quanto maior for a ordem n do filtro Beel, melhor erá a aproximação da equação () e, portanto, maior a faixa de freqüência em que a ua fae e mantém aproximadamente linear. Entretanto, a boa caracterítica de fae na banda paante da função Beel paabaixa não é preervada quando e aplica uma tranformação em freqüência, para e projetar filtro Beel paaalta, por exemplo. Para demontrar ete problema, iremo comparar um filtro Beel com um Butterworth, ambo de quarta ordem. A variável erá normalizada pela freqüência de cruzamento do itema, conforme a equação (3). A funçõe paabaixa Beel e Butterworth ão dada pela equaçõe (4) e (5), repectivamente. O atrao de fae deta dua funçõe etão motrado na Fig. 5. ( ) wc BT ( ) (3) (4),63 3, 4,63 (5) 3,3 4,39 3,0 BS Podee notar que a diperão do atrao de fae na banda paante da função Beel é bem menor que a da função Butterworth. Ee fato comprova que a fae da função Beel e aproxima muito de uma reta na banda paante, diferentemente da função Butterworth. VII CONVENÇÃO NACIONAL AES BRASIL, SÃO PAULO, BRASIL, 68 DE MAIO DE 003 5

5 No cao de um DF paivo, o altofalante influencia de dua maneira na FT de uma via: atravé de T() e da ua impedância equivalente, que age obre F(). Já no cao de um DF ativo, apena a FT do trandutor age na FT da via, já que a FT do filtro é independente da impedância equivalente do trandutor. Fig. 5 Atrao de fae da funçõe paabaixa e paaalta. Aplicando a tranformação paabaixa paaalta [] na equaçõe (4) e (5), determiname a funçõe paaalta de quarta ordem Butterworth e Beel, dada pela equaçõe (6) e (7), repectivamente. (6),63 3, 4,63 4 BT ( ) (7) 3,3 4, 39 3, 0 4 BS ( ) A curva de atrao de fae deta dua funçõe ão iguai à da repectiva funçõe paabaixa (Fig. 5). Em um filtro paaalta, a banda paante inicia na freqüência de rad/. Nea região, a função Beel não poui mai um atrao de fae praticamente contante e, coneqüentemente, a ua fae não é mai próxima de uma reta. A vantagem da função Beel obre a Butterworth deapareceu, poi amba pouem caracterítica de fae ruin. Sendo aim, fica provado que a vantagem de fae aproximadamente linear na banda paante do filtro Beel obre o Butterworth, ou obre qualquer outra aproximação cláica, exite apena para o cao de filtro paabaixa. Portanto, ecolher a função Beel para o projeto de um DF baeandoe apena na ua boa caracterítica de fae não é coerente, poi um DF é compoto por, no mínimo, um filtro paabaixa e um paaalta. Devee verificar toda a caracterítica (magnitude, fae e tempo) ante de e optar pela função a er utilizada. PROJETO DE DIVISORES DE FREQÜÊNCIA O uo de FT cláica no projeto de DF eria perfeito e o altofalante foe um elemento ideal, ou eja, com impedância equivalente puramente reitiva e repota em freqüência com magnitude contante e fae linear. Porém, abee que a impedância equivalente e a repota em freqüência de um altofalante ão funçõe complexa e que interferem na FT do itema. Ea interferência é diferente em DF paivo e ativo. Projeto de Diviore de Freqüência Paivo Um DF paivo é formado unicamente por reitore, indutore e capacitore. Como exemplo de projeto, conidere o DF paivo de egunda ordem motrado na Fig. 6. O reitor em érie com o trandutor da via paaalta erve para compenar a maior enibilidade, em geral, do altofalante da via paaalta em relação à do altofalante da via paabaixa. K L C C L Evc R E () vc Fig. 6 Divior de freqüência paivo de egunda ordem. A FT do filtro paabaixa é: F() E / LC Z C LC vc A FT do filtro paaalta é: F onde: vc E G E () I ( R Z( )) C LC Z G R Z () (8) (9) (0) O projeto do DF conite em achar o valore da variávei de (8) e (9) que atifaçam a FT deejada para o circuito. Por exemplo, e quiermo projetar um DF do tipo Butterworth de egunda ordem, com w p 800 rad/, a FT deejada erão: c, ,6, () 7 F F G 708,6,566 0 () 7 () () VII CONVENÇÃO NACIONAL AES BRASIL, SÃO PAULO, BRASIL, 68 DE MAIO DE 003 6

6 Igualando a equaçõe (8) e (), e coniderando a impedância equivalente do trandutor puramente reitiva e igual a 8 W, calculame o eguinte valore para o componente da via paabaixa: L,3 m e C 7,584 mf. O procedimento deve er repetido para a via paaalta, abendoe qual o valor da atenuação G neceária para o circuito. A fórmula para cálculo de DF paivo, coniderando trandutore com impedância equivalente puramente reitiva, podem er facilmente encontrada na literatura, como em [3]. Entretanto, abee que a impedância equivalente do trandutor não é puramente reitiva. Como ee parâmetro entra no cálculo da FT do filtro, conforme motram a equaçõe (8) e (9), o filtro calculado, na realidade, não ão do tipo Butterworth. Outro ponto importante é que a FT da via ão dada pelo produto entre a FT do eu filtro e FT do repectivo trandutore (equação (0)). Aim, memo e a FT do filtro foem Butterworth, a FT da via não eriam Butterworth. Como a FT do itema é a oma da FT da via (equação (6)), o itema também não é Butterworth. Projeto de Diviore de Freqüência Ativo No cao de DF ativo, a impedância equivalente do trandutor não interfere na FT do filtro. Portanto, ao contrário do cao paivo, é poível projetar DF ativo cujo filtro pouam uma F() cláica. O procedimento de projeto é o memo do cao paivo: bata deduzir a FT do filtro, comparála com a FT deejada e calcular o valore do componente do filtro. Entretanto, a FT do trandutore continuam a interferir na FT do itema completo, equação (0). Sendo aim, apear de a F() erem ideai, a FT da via () não erão, devido à ação da FT do trandutore T(). Como coneqüência, a FT do itema T () não erá igual a função deejada. Projeto de Diviore de Freqüência Coniderando a Caracterítica Reai do AltoFalante No projeto de um DF, o que é realmente importante ão a FT da via e não a FT do filtro, poi e etá intereado em obter um bom reultado acútico e não propriamente que a tenão aplicada no trandutore tenha o comportamento ideal. Como a FT da via ão dada pelo produto entre F() e T() (equação (0)), podee modificar F() de modo que a repota em freqüência da via () fique mai próxima da deejada. Modificar F() ignifica alterar o valore do componente do filtro. Podee partir do valore calculado via fórmula cláica e modificálo empiricamente até e obter um reultado atifatório. Outra opção é utilizar método numérico, que ão a bae do programa de otimização de DF. Como exemplo dete egundo método, projetoue um DF paivo de dua via, egunda ordem, do tipo Butterworth, utilizando o programa DivCalc, apreentado em [4]. O DF projetado etá motrado na Fig. 7. Ee projeto foi feito com bae na curva medida de impedância equivalente e repota em freqüência do trandutore. Podee notar a diferença entre o valore calculado coniderando altofalante com impedância equivalente de 8 W. K, m 5,47 F 8,3 mf 8,47 W, m m 5SWP D3300Ti Fig. 7 Divior de freqüência paivo de egunda ordem otimizado. A Fig. 8 motra a curva de SPL real e ideal. O SPL produzido pela via na banda paante é bem próximo do ideal, o que não ocorreu na banda de rejeição. Entretanto, é intereante que o SPL produzido pela via na banda de rejeição tenha uma inclinação maior do que a da função deejada, porque quanto menor a influência da via fora da ua faixa de operação, mai plano erá o SPL produzido pelo itema. Fig. 8 Curva de SPL reai e ideai. Na Fig. 9, motrae a curva ideai e reai do SPL produzido pelo itema. Um fato importante deve er realtado. Idealmente, o trandutore de um DF de dua via egunda ordem devem er ligado fora de fae para evitar o ponto nulo da repota na freqüência de cruzamento (Fig. 6) [3,4]. Porém, por imulação, foi verificado que com o trandutore conectado em fae, ee projeto apreenta um melhor reultado (SPL mai plano). Por ee motivo, o trandutore foram ligado em fae no DF protótipo (Fig. 7). Ee fato ocorreu porque tanto a repota em freqüência quanto a impedância equivalente de um altofalante ão muito diferente do coniderado como ideal. Portanto, no projeto de um DF, toda a poibilidade de ligação devem er tetada, para poder e optar pela que apreente o melhor reultado. VII CONVENÇÃO NACIONAL AES BRASIL, SÃO PAULO, BRASIL, 68 DE MAIO DE 003 7

7 Fig. 9 Curva de SPL real e ideal produzida pelo itema. CONCLUSÕES Nete trabalho, o uo de FT cláica no projeto de DF foi dicutido. Motroue que a boa caracterítica de fae da função Beel não deve er o único apecto a er levado em conideração na ua ecolha para o projeto de um DF, poi ea caracterítica ó ocorre em filtro paabaixa. Em eguida, foi verificado que a caracterítica de impedância equivalente e repota em freqüência do trandutore reai impedem que um DF poua uma FT ideal, poi é impoível corrigir toda a imperfeiçõe produzida por um elemento de alta ordem como um altofalante utilizando apena um filtro de baixa ordem. Ainda aim, o DF e pretam à função que deempenham: permitir que altofalante que reproduzem faixa de freqüência diferente operem no memo itema. Na Fig. 0, motrame a curva de fae da preão onora real e ideal produzida pela via paabaixa. Notae a grande diferença na fae da preão onora produzida em relação à da função Butterworth, que vai de zero a 80. A fae iria decair abaixo de 4000, o que ó não ocorreu porque acima de 3 kz, o SPL produzido já é muito baixo, meno de 30 db, o que gerou erro de medida. O fato de a fae atingir tal valor indica que apear de o filtro utilizado er de egunda ordem, a FT da via poui uma ordem muito maior, devido ao altofalante. Somente pela fae não e pode tirar concluõe a repeito da ordem da via, porque e a FT do trandutor poui zero no emiplano lateral equerdo, a fae decai mai, e e poui zero no emiplano lateral direito, a fae decai meno. Ma a ondulaçõe na curva de SPL (Fig. 8) evidenciam a alta ordem do itema, muito maior do que a que eria obtida cao a ordem do altofalante foe aquela dada pelo modelo TS [5]. Portanto, é impoível corrigir toda a imperfeiçõe da repota em freqüência de um altofalante utilizando apena um filtro de baixa ordem em érie. Apear dio, o DF realizam a ua tarefa de permitir que altofalante que reproduzem faixa de freqüência diferente operem no memo itema. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] NOCETI FILO, S. Filtro Seletore de Sinai.. ed. Florianópoli: Editora da UFSC, 998. [] LINKWITZ, S.. Active Croover Network for Noncoincident Driver. Journal of the Audio Engineering Society, v. 4, n., p. 8, Jan./Feb [3] DICKASON, V. Caixa Acútica e Altofalante. 5. ed. Rio de Janeiro:. Sheldon Serviço de Marketing Ltda., 997. [4] DALCASTAGNÊ, A. L. Deenvolvimento de um Programa para Projeto de Diviore de Freqüência Paivo Baeado na Curva de Repota e Impedância do Trandutore. Florianópoli, f. Diertação (Metrado em Engenharia Elétrica) Centro Tecnológico, Univeridade Federal de Santa Catarina. [5] SILVA,. S. Análie e Síntee de Altofalante & Caixa Acútica pelo Método TS.. ed. Rio de Janeiro:. Sheldon Serviço de Marketing Ltda., 996. Fig. 0 Curva de fae da preão onora real e ideal. VII CONVENÇÃO NACIONAL AES BRASIL, SÃO PAULO, BRASIL, 68 DE MAIO DE 003 8