UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DE FILTROS DIGITAIS NÃO RECURSIVOS (FIR) UTILIZANDO A JANELA DE KAISER

Transcrição

1 UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DE FILTROS DIGITAIS NÃO RECURSIVOS (FIR) UTILIZANDO A JANELA DE KAISER Elder Eldervitch C. DE OLIVEIRA (1); Adaildo Gome D ASSUNÇÃO (2); Ronaldo A. MARTINS (3); João Boco L. de OLIVEIRA (4); (1) Univeridade Federal do Rio Grande do Norte, Av Sen. Salgado Filho, /n. CEP: , Natal-RN, elder2@ymail.com (2) Univeridade Federal do Rio Grande do Norte, Av Sen. Salgado Filho, /n. CEP: , Natal-RN, adaildo@ct.ufrn.br (3) Univeridade Federal do Rio Grande do Norte, Av Sen. Salgado Filho, /n. CEP: , Natal-RN, ronaldo@ufrnet.br (4) Univeridade Federal do Rio Grande do Norte, Av Sen. Salgado Filho, /n. CEP: , Natal-RN, boco@edi.ufrn.br RESUMO Ete trabalho apreenta um etudo em análie e projeto de filtro digitai de repota finita (FIR) não recurivo atravé da técnica de janelamento, em que a janela de Kaier é empregada. A janela de Kaier é intereante no entido de que para uma dada epecificação de projeto, o parâmetro (β) controla a forma da janela empregada, garantido um lóbulo principal amplo em relação a outro tipo de janela. O objetivo principal foi deenvolver uma ferramenta didática computacional para imulação dee filtro tipo paabaixa atravé do método citado. No deenvolvimento dea pequia foram deenvolvido programa computacionai para imulaçõe do filtro FIR, empregando a plataforma computacional matlab TM. Deta forma e pode empregar a janela de Kaier no projeto de filtro FIR com fae linear, que conite em determinar o coeficiente da repota ao impulo que produz um reultado em frequência capaz de atender a um conjunto dado de epecificaçõe para o filtro. O etudo motra também um etudo de cao atravé da imulação computacional. Com a implementação dee método podemo ter a viualização gráfica do epectro de amplitude, frequência e fae. O programa deenvolvido para aplicação da janela de Kaier em projeto de filtro digitai FIR certamente irá contribuir para o tratamento do inal em tempo real, por exemplo, em aplicaçõe envolvendo vídeo ob demanda (vídeo on demand), além de auxiliar no enino de diciplina do curo de engenharia de telecomunicaçõe, tai como proceamento digital de inai. Palavra-chave: filtro digital, método da janela, filtro não-linear, janela de Kaier 1 INTRODUÇÃO O proceamento digital de inai (PDS) teve eu marco inicial no éculo XVIII (DINIZ, 2004) e ainda hoje e apreenta com uma ferramenta moderna e muito útil no mai divero campo da ciência e tecnologia. Ee proceamento normalmente preocupa-e com a repreentação do inai por equência de número ou ímbolo e ete por ua vez, erão proceado em eguida. O propóito de tal proceamento é etimar parâmetro caracterítico de um inal ou tranformar um inal em alguma outra forma deejável. A natureza analógica do inai torna o PDS uma ferramenta atrativa e muito intereante ao manuear inai, a princípio com caracterítica deconhecida. Para que um inal poa er tratado de forma adequada ele precia er dicretizado para que io eja poível. Em outra palavra, obtém-e do inal analógico uma equência de amotra, que repreentarão o inal. Um inal dicreto exite apena para intante epecífico do tempo, diferentemente do inai contínuo (analógico) e por io podem er armazenado e proceado digitalmente (HAYKIN, 2001). Ee proceo é chamado amotragem, e um itema de proceamento digital de inai conitem em amotrar o inal, realizar o proceamento digital e recontruir o inal proceado para obter analogicamente o reultado, como motra a Figura 1.

2 Figura 1 Proceamento digital de inai analógico Em que, ejam x(t) e y(t) ão funçõe analógica de natureza deconhecida. O proceamento comumente feito em inai dicreto é a operação conhecida como filtragem. Filtrar um inal ignifica elecionar dee inal quai frequência ão deejada, e decartar a demai (OPPENHEIM, 1999). O proceo de filtragem é imple, facilmente implementável, e flexível. É poível obter um conjunto batante ignificativo de reultado utilizando técnica imple. Como exemplo tem-e a convolução que é uma operação muito utilizada em filtragem. Inúmera ão a aplicaçõe do PDS no campo da ciência e engenharia, tai como: biomédico, acútica, onar, radar, imologia, ciência nuclear, telecomunicaçõe, entre muita outra. Em aplicaçõe prática envolvendo a amotragem de inai pode-e obter omente uma gravação finita do inal. Io reulta em uma forma de onda truncada que poui caracterítica epectrai diferente do inal original. Tal decontinuidade produz a perda da informação epectral original. Uma maneira imple de aumentar a caracterítica epectrai de um inal amotrado é pela aplicação da técnica de janela obre o memo. Ao analiar uma equência de dado finita atravé da tranformada de Fourier ou outro método de análie epectral, o janelamento minimiza a margen de tranição em forma de onda truncada, reduzindo dea forma a perda epectral. Exitem vária razõe para a utilização da técnica de janela em projeto de filtro digitai para o tratamento de inai. Alguma dela ão: Definição da duração do período de obervação do inal; Redução da perda epectral; Separação de um inal de pequena amplitude de um inal de grande amplitude com frequência muito próxima uma da outra; Nete artigo uma ferramenta didática para imulação de filtro digitai FIR utilizando a janela de Kaier é propota viando aplicaçõe em curo de graduação e pó-graduação como auxílio no etudo de diciplina envolvendo tratamento de inai. A eção 2 apreenta um etudo de um filtro digital com caracterítica não recuriva (FIR). O projeto de um filtro digital FIR atravé do método da janela é motrado na eção 3. A eçõe 4 e 5 motram repectivamente o reultado da imulaçõe do filtro digitai FIR uando a janela de Kaier, e a concluõe referente a ete trabalho. 2 TÉCNICA DE JANELAMENTO NO PROJETO DE FILTRO FIR DE FASE LINEAR Com relação à repota ao impulo, e um itema for implementado atravé de uma equação de diferença que não contenha termo recurivo, a repota ao impulo deve er finita para er implementável. O termo recurivo ocorre quando a aída não realimenta a entrada (ver Figura 2) e ete tipo de filtro é denominado FIR (do inglê Finite Impule Repone ou Repota Finita ao Impulo). Figura 2 Equemático de um filtro FIR O Filtro com repota ao impulo limitada pouem alguma vantagen em ua implementação. Pelo fato de erem finito, filtro FIR empre erão etávei (HAYKIN, 2001). A repota em frequência de um filtro caual de N-éima ordem é:

3 jω ( ) H e = h[n]e N -jnω [Eq. 01] n=0 Em que h[n] é a repota ao impulo (delta de Dirac). O projeto de um filtro FIR conite em determinar o coeficiente de h[n] que produzam uma repota em frequência capaz de atender a um conjunto dado de epecificaçõe para um filtro. 2.1 Janelamento Aplicar uma janela a um inal no domínio do tempo é equivalente a multiplicar o inal pela função que repreenta a janela (HAMMING, 1998). Devido á multiplicação no domínio do tempo er equivalente a convolução no domínio da frequência, o epectro de um inal janelado é a convolução do epectro do inal original com o epectro da janela. Dea maneira, o janelamento modifica a forma do inal tanto no domínio do tempo quanto no da frequência. Uma forma batante direta de obter um filtro de duração finita é truncando a repota ao impulo infinita de um filtro ideal. Seja h d [n] a repota ao impulo de uma motra unitária de um filtro eletivo de frequência ideal de fae linear, então tem-e ua repota em frequência: jω jω -j(αω-β) H( e ) = A(e )e [Eq. 02] Como em geral o comprimento de h d [n] é infinito, é neceário encontrar uma aproximação FIR para H d (e jω ). Uando o método da janela, o filtro é projetado multiplicando-e a repota à amotra unitária por uma janela, h[n] = h d[n]ω[n] [Eq. 03] Em que ω[n] é uma janela de comprimento finito que é zero fora do intervalo 0 n N e é imétrica a eu ponto médio ω[n] = ω[n - n] [Eq. 04] E o efeito reultante da janela obre a repota em frequência como relatado anteriormente pode er vito com o teorema da convolução complexa (MONSON, 2006), dado por π jω 1 jω jω 1 jθ j(ω-θ) H(e ) = H d (e )* W(e ) = H -π d (e )W(e )dθ 2π 2π [Eq. 05] Aim, a repota em frequência ideal é uavizada pela tranformada de Fourier de tempo dicreto (TFTD) da janela, W(e jω ). Em Oliveira et al. (2007) pode-e encontrar algun tipo de janela comumente utilizado em projeto de filtro digitai não recurivo. O quanto a repota em frequência de um filtro projetado com o método da janela e aproxima da repota deejada, H(e jω ), é determinado por doi fatore (OPPENHEIM, 1999), conforme exemplificado na Figura 3. 1º fator: Pela largura do lóbulo principal. 2º fator: Pela amplitude do lóbulo lateral de pico.

4 Figura 3 A TFTD de uma janela típica, caracterizada pela largura do lóbulo principal e pela amplitude (A) de eu lóbulo laterai 3 JANELA DE KAISER A janela deenvolvida pelo pequiador Kaier é uma janela flexível na qual ua forma pode er modificada pelo ajute de um parâmetro β. Dea forma, dependendo da aplicação, pode-e modificar a forma da janela para controlar a perda epectral (MONSON, 2006). A [Eq. 06] define uma janela de Kaier com N amotra. ω[n] = 2 2n, 0 n N 1 [Eq. 06] I (β) I0 β 1-1- N -1 0 Em que α = N/2 e I 0 é uma função de Beel de ordem zero modificada de primeira epécie que pode er gerada facilmente uando uma expanão em érie de potência, dado por 2 N k (x / 2) I 0(x) = 1+ k=1 k! [Eq. 07] O parâmetro β determina a forma da janela e dea forma controla a relação entre a largura do lóbulo principal ( ) e a amplitude do lóbulo lateral (A). Uma janela de Kaier é ótima no entido de pouir a maior parte da energia no lóbulo principal para uma dada amplitude de lóbulo lateral. A Tabela 1 ilutra o efeito de e alterar o parâmetro β. Tabela 1 Caracterítica da janela de Kaier em função do parâmetro β Parâmetro β Lóbulo lateral (db) Largura de tranição (N f) Atenuação da faixa de rejeição (db) , , , , , , , , ,4 99

5 Há dua relaçõe deenvolvida empiricamente para a janela de Kaier que facilitam o uo dea janela no projeto de filtro digitai FIR (MITRA, 1998). A primeira etabelece uma relação entre o ripple da faixa de rejeição de um filtro paa-baixa, onde o parâmetro δ (db) e o parâmetro β ão dado repectivamente pela equaçõe [Eq. 08] e [Eq. 09]. δ (db) = -20log(δ ) [Eq. 08] 0,1102 ( δ - 8,7) eδ (db) > 50 0,4 β = 0,5842( δ - 21) + 0,07886( δ - 21) e 21 δ (db) 50 [Eq. 09] 0 eδ (db) 50 A egunda relaciona N com a largura de tranição ( f) e com a atenuação da faixa de rejeição δ dado por δ - 7,95 14,36 N =, e δ > 21 db [Eq. 10] Pode-e obervar que, e δ 21 db, uma janela retangular, como abordado em Oliveira et al. (2007), poderá er utilizada eficientemente, poi tem-e que β = 0 e N = 0,9/ f. 4 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES DOS FILTROS PROJETADOS Um filtro ideal embora não exita fiicamente, eu conceito é de fundamental importância em filtro eletivo em frequência, poi para certo tipo de análie ele no motra uma idéia do quanto um filtro projetado tende a e aproximar de um cao ideal. Um filtro paa-baixa ideal é um filtro que eleciona perfeitamente a componente de baixa frequência do inal de entrada e rejeita perfeitamente a componente de alta frequência (OPPENHEIM, 1999). O gráfico da Figura 4 motra o comportamento da janela de Kaier para o projeto de um filtro digital FIR para a mema epecificaçõe de projeto utilizada em Oliveira et al. (2007). A epecificaçõe ão a eguinte: Comprimento da janela M=50, ω p = 0,2π; ω = 0,3π; ripple da faixa de paagem δ p = 0,25 db e uma atenuação na faixa de rejeição de A=50 db. O gráfico da Figura 5 motra o comportamento de uma janela de Kaier para o projeto de um filtro digital FIR para a eguinte epecificaçõe: Comprimento da janela M=50, ω p = 0,2π; ω = 0,3π; ripple da faixa de paagem δ p = 0,25 db e uma atenuação na faixa de rejeição de A = 81 db. O reultado ilutrado na Figura 6 motra o comportamento de uma janela de Kaier para o projeto de um filtro digital FIR para a eguinte epecificaçõe: Comprimento da janela M=50, ω p = 0,2π; ω = 0,3π; ripple da faixa de paagem δ p = 0,25 db e uma atenuação na faixa de rejeição de A = 25 db.

6 Figura 4 Filtro FIR paa-baixa utilizando a janela de Kaier com M=50, β=4.534 Figura 5 Filtro FIR paa-baixa utilizando a janela de Kaier com M=50, β=8

7 5 CONCLUSÃO Figura 6 Filtro FIR paa-baixa utilizando a janela de Kaier com M=50, β=1 Nete artigo, foi apreentado o projeto e implementação no oftware MATLAB TM, do filtro digital paabaixa FIR fazendo uo do método da janela em eu projeto, mai preciamente foi utilizado a janela de Kaier. Eta janela é intereante, batante utilizada e de fácil implementação em projeto de filtro digitai não recurivo, poi para uma dada epecificação de projeto o parâmetro β controla a forma da janela empregada, garantido um lóbulo principal amplo em relação a outro tipo de janela. Tomemo como exemplo, o filtro projetado uando a janela de Hammig e Blackman conforme motrado em Oliveira et al. (2007). Para o projeto dee filtro uma janela de Kaier com a mema epecificaçõe de projeto foi utilizada com muita eficácia e apreentou um perfeito funcionamento para uma atenuação da faixa de rejeição em torno de 50 db (ver Figura 4), motrando aim que uma janela de Kaier pode muita bem ubtituir outra forma de janela apena mudando o parâmetro β de forma adequada em função da atenuação requerida no projeto. A Figura 5 motra o perfeito funcionamento de filtro FIR projetado com a janela de Kaier para uma atenuação em torno de 81dB. O parâmetro β utilizado nee cao foi 8 e com io e pode obervar um formato mai uave da janela com relação ao filtro projetado com β igual a 4,534 (ver Figura 4) e com β igual a 1 (ver Figura 6). A conequência dio ão lóbulo laterai com menor energia concentrada, uma vez que a largura do lóbulo lateral de pico é determinada pela forma da janela e baicamente independe de eu comprimento. A Figura 6 motra o perfeito funcionamento de filtro FIR projetado com a janela de Kaier para uma atenuação em torno de 25 db. Nete cao obervou-e que para pequeno valore de β a forma de janela aproxima-e daquela de uma janela retangular. Eta janela é boa para detecção de doi inai com a mema frequência, porém com amplitude ignificantemente diferente. O gráfico obtido como reultado dee trabalho, uando o oftware de imulação MATLAB TM para a implementação de projeto de filtro digital FIR forneceram uma boa compreenão do eu comportamento em termo de epectro de amplitude, frequência, fae e de quanto ee filtro podem e aproximar de um upoto filtro ideal. Com a implementação dea técnica podemo ter a viualização gráfica do epectro de amplitude, frequência e fae. A aplicação da janela de Kaier em projeto de filtro digitai FIR certamente contribuirá para o enino de diciplina do curo de engenharia de telecomunicaçõe e em diciplina que envolvam tratamento de inai e imagen, tai

8 como, proceamento digital de imagen e proceamento digital de inai, bem como aplicaçõe que envolvam proceamento de inai em tempo real. REFERÊNCIAS DINIZ, P.S.R. Eduardo, A.B.S. SERGIO, L.N. Proceamento Digital de Sinai: Projeto e Análie de Sitema. 2. ed. São Paulo; Bookman, HAYKIN, S. BARRY, V.V. Sinai e Sitema. Porto Alegre: Bookman, HAMMING, R.W. Digital Filter. 3. ed. New York, Dover publication inc, MONSON, H.H. Proceamento Digital de Sinai. 2. ed. São Paulo: Bookman, OLIVEIRA, E.E.C. Etudo e implementação de Filtro Digitai FIR e IIR TCC (Trabalho de concluão de curo) GTEMA, Centro Federal de Educação Tecnológica da Paraíba, João Peoa, OPPENHEIM, A. SCHAFER, V. BUCK, J.R. Dicrete-Time Signal Proceing. 2. ed. New Jerey; Prentice Hall, OLIVEIRA, E. E. C.; CORREIA, S. E. N.; MENDONÇA, L. M. Implementação do filtro de repota finita (FIR) não recurivo atravé do método da janela. In: II CONGRESSO DE PESQUISA E INOVAÇÃO DA REDE NORTE NORDESTE DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA, 1., 2007, João Peoa. Anai... João Peoa: CEFET-PB. 1 CD-ROM. MITRA, S.K. Digital Signal Proceing A computer-baed Approach. McGraw-Hill, 1998.