S É R I E : E s t a t í s t i c a B á s i c a T e x t o 3 : E S T I M A Ç Ã O SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ESTIMAÇÃO POR PONTO...4

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2 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO...3. ESTIMAÇÃO POR PONTO NOTAÇÃO PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES Não-tedeciosidade Precisão ou eficiêcia Validade (ou Acurácia) Coerêcia ou cosistêcia MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO Métodos dos mometos Métodos da máxima verossimilhaça (maximum likelihood) Métodos dos míimos quadrados ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) Desvio padrão populacioal (σ) cohecido Desvio padrão populacioal (σ) descohecido A distribuição T (de Studet) O itervalo DA PROPORÇÃO POPULACIONAL (σ) DA VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ ) Tabelas O itervalo DO DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) EXERCÍCIOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS BIBLIOGRAFIA...6 P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i /

3 INTRODUÇÃO A iferêcia estatística tem por objetivo fazer geeralizações sobre uma população com base em valores amostrais. A iferêcia pode ser feita estimado os parâmetros: (a) Por poto e (b) Por itervalo. A estimação por poto é feita através de um úico valor, equato que a estimação por itervalo forece um itervalo de valores em toro do valor da estimativa potual. Na estimação por poto o objetivo é utilizar a iformação amostral e apriorística para se calcular um valor que seria, em certo setido, ossa melhor avaliação quato ao valor, de fato, do parâmetro em questão. Na estimativa por itervalo, usa-se a mesma iformação com o propósito de se produzir um itervalo que coteha o valor verdadeiro do parâmetro com algum ível de probabilidade. Exemplo: Uma amostra aleatória simples de 400 pessoas de uma cidade é extraída e 300 respodem que acham a admiistração muicipal boa ou ótima. Etão o valor p = 300/400 = 75% é uma estimativa por poto do percetual de pessoas da cidade que acham a admiistração boa ou ótima. Esta mesma estimativa poderia ser euciado como de: 70% a 80% das pessoas da cidade acham a admiistração boa ou ótima. Neste caso, teríamos uma estimativa por itervalo da proporção. Note-se que o cetro do itervalo é o valor 75% da estimativa potual. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 3

4 .. ESTIMAÇÃO POR PONTO O problema da estimação por poto é o de produzir uma estimativa que realmete represete a melhor avaliação do valor do parâmetro. Deve-se especificar em primeiro lugar o que se etede por "melhor avaliação" e em segudo os estimadores que satisfaçam estas especificações. Como um estimador é uma variável aleatória cujo valor varia de amostra para amostra, suas propriedades são, de fato, as propriedades da distribuição amostral... NOTAÇÃO Vai-se cosiderar uma variável aleatória X (população) cuja distribuição é caracterizada, etre outras coisas, por um parâmetro θ, que gostaríamos de estimar. Um estimador do parâmetro θ, que é obtido através de uma fórmula dos valores amostrais: X, X,..., X, é aotado por θ ). As características básicas da distribuição de θ ) são sua média µ ) θ = E( θ ) ) e sua variâcia σ ) θ = Var( θ ) ) = E(θ ) - µ θ) ) = E (ˆ θ ) µ. O desvio padrão de θ ), represetado por ) = Var( θ) é deomiado de "erro padrão de θ ) ". σ θ ) Figura. - Relação etre EQM e variâcia de um estimador θ ˆ x x x x x x x x E( θˆ ) x x x x V( θˆ ) θ Além destes, os seguites coceitos são de importâcia: Erro amostral ε = θ ) - θ, que é a difereça etre o valor do estimador θ ) e o verdadeiro valor a ser estimado θ. O tamaho do erro amostral varia de amostra para amostra. Viés ou tedeciosidade Viés( θ ) ) = E( θ ) ) - θ como sedo a difereça etre a média da distribuição amostral de θ ) e o valor do parâmetro θ. Este valor é, para cada estimador, fixo, podedo ou ão ser zero. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 4

5 Erro quadrado (quadrático) médio EQM( θ ) ) = E = (ε) = E( θ ) - θ) é uma variâcia que mede a dispersão do estimador em toro do verdadeiro parâmetro, ao ivés de em toro de sua média. Existe uma relação etre o EQM( θ ) ) e a Var( θ ) ), coforme, mostrado abaixo: EQM( θ ) ) = E( θ ) - θ) = E( θ ) - E( θ ) ) + E( θ ) ) - θ) = E{[ θ ) - E( θ ) )] + [E( θ ) ) - θ]} = E[ θ ) - E( θ ) )] +.[E( θ ) - E( θ ) )][E( θ ) ) - θ] + E[E( θ ) ) - θ] = E[ θ ) - E( θ ) )] + E[E( θ ) ) - θ] = E[ θ ) - E( θ ) )] + [E( θ ) ) - θ] = Var( θ ) ) + Viés( θ ) ), pois.[e( θ ) - E( θ ) )][E( θ ) ) - θ] =.[ E( θ ) ) - θ ) ][E( θ ) ) - E( θ ) )] = 0. Desta forma: EQM( θ ) ) = Var( θ ) ) + Viés( θ ) ), isto é, o EQM é a soma da variâcia do estimador com sua tedeciosidade elevada ao quadrado... PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES As propriedades desejáveis para um estimador são: ão-tedeciosidade, precisão ou eficiêcia, validade ou acurácia e cosistêcia.... NÃO-TENDENCIOSIDADE Um estimador ubiased) de um parâmetro θ se E( ) θ ) = θ. estimate). ) θ é dito ão-tedecioso (Imparcial, justo, ão-viciado, ão-viezado, Se E( ) θ ) θ, etão ) θ é dito "viciado" e E( ) θ ) - θ é dito "viés" do estimador (bias of the Exemplos: () X é um estimador ão-tedecioso de µ. Prova: X E( X ) = E = E ( X) ( X X) () = = E( X) = µ = (.µ)/ = µ. σ ) é um estimador tedecioso de σ. Prova: Cosidere a soma ( X X) e observe que ela poderá ser escrita da seguite maeira: P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 5

6 ( X X) = ( X µ + µ X) = ( X µ ) + X µ µ X + ( µ X) ( )( ). Como µ - X é costate e ( X µ ) = X. µ =. X. µ = ( X µ ), segue: ( X X) = ( X ) µ X µ.( ), pois (X µ )( µ X) = ( µ X).(X µ ) = ( µ X) e µ X) + ( µ X) = ( µ X) + ( µ X) = ( µ X) Portato: E( σ ) ( X X) ) = E( ) = E( ( X X) ) = E( ( ) µ.(x µ ) ) = { ( X ) µ E (X µ ) X E } = { Var(X) Var(X)} = { σ σ } = (σ - σ } = σ - σ / = (σ - σ )/ = = (-)σ / (3) S ( X X) = Prova: E(S X X ) = E é um estimador ão-viciado de σ. ( ) = E ( X X) = E ( X E X + E X X) ( ) ( ) = E X E X X E X ( ( ) ) ( ( ) ) = E ( X E X ) E ( X E X ) ( ) ( ) = σ σ. = σ σ. = ( ). σ = σ. (4) S ( X X) = é um estimador tedecioso de σ, se a amostragem for realizada sem reposição de uma população fiita. Prova: (5) T =. X, total amostral, é um estimador tedecioso de τ = X, total populacioal. Prova: E(T) = E(. X ) =. E( X ) =.µ N.µ = τ. (6) T = N. X é um estimador ão-tedecioso de τ = X. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 6

7 Prova: E( T ) = E(N. X ) = N. E( X ) = N.µ = N.µ = τ. (7) P é um estimador ão-tedecioso de π. Prova: É um caso particular de X, ode 0, X =, com probabilidade com prababilidade - π π (8) ) S σ = é um estimador ão-tedecioso de X σ X σ = Prova: E( ) S σ ) = E( X ) = E( S ) = σ /. Se a amostragem for sem reposição de população fiita etão: ) σ = X S$ N N é um estimador ão tedecioso de σ X σ N = N, ode N $S = N S A ão-tedeciosidade ou ausêcia de viés é uma qualidade desejável para os estimadores. Etretato, essa qualidade é isuficiete como critério para selecioar um estimador, pois, por exemplo, toda média poderada dos valores amostrais é é um estimador ão-tedecioso da média populacioal. Prova: Seja M = π i.x i, ode π i =, um estimador de µ. Etão: E(M) = E( π i.x i ) = E(π i.x i ) = π i.e(x i ) = µ. π i = µ. Outra propriedade desejável para um estimador é a da precisão ou eficiêcia.... PRECISÃO OU EFICIÊNCIA A precisão ou eficiêcia é a proximidade das observações (estimativas) do seu valor esperado. Defiição: ) ) ) Dados dois estimadores ão-tedeciosos θ e θ de um mesmo parâmetro θ, diremos que θ ) ) ) ) ) é mais eficiete que θ se Var( θ ) < Var( θ ). A eficiêcia relativa de θ em relação a θ é defiida ) ) como sedo V( θ )/V( θ ). P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 7

8 Exemplo: Qual dos dois estimadores abaixo é mais eficiete para estimar a média da população? X = 0,3X + 0,7X ou X = 0,X + 0,8X Solução Como são ambos ão-tedeciosos temos: Var( X ) = Var(0,3X + 0,7X ) = 0,3 Var(X ) + 0,7 Var(X ) = (0,09 + 0,49)σ = 0,58σ. Var( X ) = Var(0,X + 0,8X ) = 0, Var(X ) + 0,8 Var(X ) = (0,04 + 0,64)σ = 0,68σ. Portato X é mais eficiete que X Em igualdade de circustâcias, é obvio, que um estimador ão-tedecioso é preferível a um estimador tedecioso. Mas se tivermos que escolher etre um estimador tedecioso, cuja distribuição é cocetrada a vizihaça do verdadeiro valor do parâmetro e um ão-tedecioso com grade variâcia, o estimador tedecioso pode ser preferível, pricipalmete se é possível determiar a gradeza e a direção da tedeciosidade. Para julgar situações como esta é defiida a propriedade da validade (ou acurácia)...3. VALIDADE (OU ACURÁCIA) ) Proximidade das observações (estimativas) ao parâmetro desejado. Dados dois estimadores θ ) ) ) ) ) e θ de um mesmo parâmetro θ, diremos que θ é mais acurado que θ se EQM( θ ) < EQM( θ ). A ) ) ) ) eficiêcia relativa de θ em relação a θ é defiida como sedo EQM( θ )/EQM( θ )...4. COERÊNCIA OU CONSISTÊNCIA Um estimador é dito coerete (cosistete) para qualquer quatidade muita pequea δ > 0 se a probabilidade de que o desvio absoluto etre θ ) e θ seja meor que δ tede para quado o úmero de observações "" tede ao ifiito, isto é: P( θ ) - θ < δ ), quado ) A propriedade acima é equivalete a lim EQM( θ ) = 0 ou etão, as duas seguites, E( θ) = 0, a tedeciosidade tede a zero e lim ) cosideradas em cojuto: Var( θ) = 0, a variâcia tede a zero. lim ) P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 8

9 Exemplo: Verificar que S é um estimador coerete de σ. Tem-se que E(S ) = σ, para qualquer "" e 4 Var(S ) = σ σ. Etão, como lim 4 = 0, S é cosistete..3. MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO Os estimadores cosiderados até agora foram sugeridos por ituição. Seria desejável, etretato, um método ou pricípio que levasse sempre a bos estimadores. Ifelizmete ão existe um método geral aplicável a todas as situações. Os pricipais métodos de estimação são o dos mometos, o da máxima verossimilhaça e o dos míimos quadrados..3.. MÉTODOS DOS MOMENTOS É o mais atigo dos métodos para determiar estimadores (determiado por K. Pearso em 894). Se existem "k" parâmetros para serem estimados, o método cosiste em expressar os primeiros "k" mometos da população em termos dos "k" parâmetros através de "k" equações. A solução do sistema formado por estas equações leva a determiação dos estimadores. As estimativas obtidas desta forma são claramete fuções dos mometos da amostra. Uma vez que os mometos da amostra são estimativas cosistetes dos mometos da população, os parâmetros estimados serão geralmete coeretes..3.. MÉTODOS DA MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA (MAXIMUM LIKELIHOOD) Fução de verossimilhaça Seja f(x: θ) a fução de probabilidade X (discreta ou cotíua) calculada o poto X = x. O valor de θ está icluído a otação para lembrar que a distribuição da variável X depede do parâmetro θ. Sejam X, X,..., X uma amostra aleatória da variável aleatória X e sejam x, x,..., x seus valores amostrais. Defie-se a fução de verossimilhaça L, como sedo a seguite fução da amostra e do parâmetro θ: L(X, X,..., X ; θ) = f(x ; θ).f(x ; θ)..... f(x ; θ) Equação. Se a amostra (X, X,..., X ) tiver sido obtida, os valores amostrais (x, x,..., x ) serão cohecidos. Já que θ é descohecido pode-se propor a seguite questão? Para qual valor de θ L(x, x, P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 9

10 ..., x ; θ) terá o valor máximo? Colocado de outra forma. Supoha que existam dois valores diferetes de θ, digamos θ e θ, e que L(x, x,..., x ; θ ) < L(x, x,..., x ; θ ). Neste caso θ seria preferível, pois para a amostra obtida o eveto dado é mais provável de ocorrer com θ do que com θ. Este raciocíio pode ser resumido por: Defiição: A estimativa de máxima verossimilhaça de θ, baseada uma amostra aleatória obtida da população X é aquele valor de θ tora máxima L(X, X,..., X ; θ), para uma dada amostra X, X,..., X ode L é defiida pela equação.. Observações: (i) θ é uma variável aleatória, pois seu valor depede da amostra X, X,..., X. (ii) Na maioria das situações θ represeta um valor isolado, mas se a distribuição depeder de mais de um parâmetro (dois como o caso da ormal), θ represetará um vetor, por exemplo, θ = (α, σ). (iii) Para determiar a estimativa de MV, deve-se determiar o valor máximo de uma fução. No etato em muitas situações é mais fácil determiar o máximo da fução l L(X, X,..., X ; θ) que possui o poto de máximo idêtico ao da fução L. As estimativas de MV apresetam algumas propriedades importates: (i) A estimativa de MV pode ser tedeciosa. Normalmete esta tedeciosidade pode ser elimiada pela multiplicação de uma costate apropriada. (ii) Sob codições gerais as estimativas de MV são coeretes. Isto é, se o tamaho da amostra aumetar a estimativa se aproximará do valor a ser estimado. Exemplo: Supoha que uma variável aleatória X teha uma distribuição ormal de média µ e desvio padrão σ, isto é a fdp de X seja: f(x) = σ x µ e π σ por: Se X, X,..., X for uma amostra aleatória de X, sua fução de verossimilhaça será dada L(X, X,..., X ; µ, σ) = ( πσ) µ exp Xi i= σ P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 0

11 Portato: πσ i= ll(x, X,..., X ; µ, σ) = l( ) Xi Deve-se resolver simultaeamete: σ µ l L = 0 µ l L e = 0. Tem-se: σ ( ) l L Xi µ = = 0 µ i= σ ( ) l L Xi µ = + = 0 σ σ 3 i= σ, que forece µ = X, a média amostral e ), o que forece σ =. ( µ ) =. ( X ) Observe que a estimativa de máxima verossimilhaça de σ é tedeciosa, pois já foi visto que a ão-tedeciosa precisa ser dividida por "-", isto é, σˆ ao ivés de S. i= Xi i= Xi MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS Este método é útil para estimar mometos em toro de zero de uma distribuição populacioal. O pricípio evolvido é um pouco mais complicado do que o do método dos mometos. Cosidere-se uma variável aleatória X e se r-ésimo mometo em toro de zero: E(X r ) = µ ' r ode r = 0,,,... A amostra a ser utilizada é X, X,..., X. Para se obter o estimador dos míimos quadrados de µ ' r é formada a seguite soma: [ ] X r µ ' i r i=. Deve-se escolher o valor µ ' r que tora a soma acima tão pequea quato possível. Por exemplo, para se achar o estimador dos míimos quadrados para a média populacioal µ (=µ ' ), r determia-se para qual valor de µ a soma acima será míima, isto é, deve-se miimizar a equação: ( ) X r µ i i=. Para isto é ecessário derivar esta equação em relação µ e igualar esta derivada a zero, obtedo-se: (Xi µ ) i= = 0 P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i /

12 Que resolvido em fução de µ = X X i i = =. Desta forma, verifica-se pelo método dos míimos quadrados que a estimativa da média populacioal é dada pela média da amostra, que coicide com o estimador obtido pelo método dos mometos. As propriedades dos estimadores dos míimos quadrados devem ser estabelecidas caso a caso. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i /

13 .. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO O estimador por poto ão permite ter uma idéia do erro cometido ao se fazer a estimativa do parâmetro. Para que se possa associar uma cofiaça (probabilidade) a uma estimativa é ecessário costruir um itervalo em toro da estimativa por poto. Este itervalo é costruído baseado a distribuição amostral do estimador. Para costruir itervalos de cofiaça é ecessário iicialmete fixar-se uma probabilidade - α de que o itervalo costruído coteha o parâmetro populacioal. Esta probabilidade é deomiada de cofiaça do itervalo. Desta forma, α será a probabilidade de que o itervalo obtido ão coteha o valor do parâmetro, isto é, α será a probabilidade de erro... DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) A costrução de um itervalo de cofiaça para a média populacioal (µ) evolve duas situações típicas. () Quado o desvio padrão populacioal (σ) for cohecido e () Quado o desvio padrão populacioal (σ) for descohecido. A seguda situação é a mais comum, pois é pouco provável que ão se coheça a média de uma população, por isto a ecessidade de estimá-la, mas, o etato, se cohece o desvio padrão. Etretato por razões históricas e didáticas vamos mater as duas situações.... DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) CONHECIDO O itervalo de cofiaça para a média (µ) de uma população é costruído em toro da estimativa potual X. Sabe-se que a média da amostra tem distribuição ormal de média µ e desvio padrão σ se a população de ode for extraída a amostra for ormal (ou se a amostra for superior a 30 e retirada de qualquer população ) de média µ e de desvio padrão σ, pode-se etão utilizar a curva ormal para estabelecer os limites para o itervalo de cofiaça. Lembrado que o que se quer é um itervalo que coteha o parâmetro populacioal µ com probabilidade - α tem-se etão: P(-z α/ < Z < z α/ ) = - α, ode z α/ é o valor da ormal padrão com área à direita é igual a α/. Mas Z = (X - µ) / σ substituido a expressão acima vem: P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 3

14 P(-z α/ < (X - µ) / σ < z α/ ) = - α. Trabalhado esta desigualdade, segue que: P(X - z α/ σ < µ <X + z α/ σ ) = - α. Que é o itervalo procurado. Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de - α para a média de uma população, quado σ for cohecido, é dado por: [X - z α/ σ ; X + z α/ σ ] ode: X é a estimativa por poto da média da população. σ é o desvio padrão da população e z α/ é o valor da distribuição ormal padrão cuja área à direita é igual a α/, isto é, é o valor de Z tal que: P(Z > z α/ ) = α/, ou etão: Φ(-z α/ ) = α/. Exemplo: Uma população tem um desvio padrão igual a 0 e média descohecida. Uma amostra de tamaho = 00 é retirada e forece uma média x = 50. Qual o itervalo de 95% de cofiaça para a média desta população? Solução: Têm-se - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P(Z > z α/ ) =,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) =,5% -z α/ = Φ - (,5%) = -,96. Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população será: [X - z α/ σ ; X + z α/ σ ] = [50 -,96.0/0; 50 +,96.0/0] = [50 -,96; 50 +,96] = = [48,04; 5,96], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a média desta população. Obs.: O valor ε = z α/ σ é deomiado de erro padrão da estimação. Não cofudir com o valor σ que é o erro padrão da amostragem. O erro padrão da estimação é a semi-amplitude do itervalo de cofiaça. A amplitude do itervalo de cofiaça (IC) será; ε. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 4

15 ... DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) DESCONHECIDO Quado o desvio padrão da população (σ) é descohecido é ecessário utilizar sua estimativa σˆ. Só que ao substituir-se o desvio padrão populacioal pela sua estimativa o quociete: (X - µ) / σ ão se terá mais uma ormal padrão. De fato, coforme demostrado pelo estatístico iglês W. S. Gosset, cohecido por Studet o comportameto do quociete: (X - µ) / ˆσ segue uma distribuição simétrica em toro de zero, porém com uma variabilidade maior do que a da ormal padrão. A distribuição do quociete acima é cohecida como distribuição T de Studet...3. A DISTRIBUIÇÃO T (DE STUDENT) Na realidade existem ifiitas distribuições T, uma para cada tamaho de amostra. Estas distribuições a exemplo da ormal padrão ecotram-se tabeladas. A tabela para a distribuição T segue uma metodologia um pouco diferete daquela da ormal padrão. De fato, como as distribuições de Studet ão podem ser padroizadas, isto é, sofrer uma trasformação de variável, a exemplo do ocorre a ormal, ão é possível costruir uma úica tabela. Assim, este caso, cada liha de uma tabela represeta uma distribuição diferete e cada colua represeta um valor de cofiaça que poderá ser α ou α/, isto é, a tabela poderá ser uilateral ou bilateral. A liha de cada tabela forece a distribuição T" com parâmetro - deomiado de graus de liberdade, isto é, o grau de liberdade = ν = - = liha da tabela. (Rever a Apostila de Probabilidade)..4. O INTERVALO Neste caso, o itervalo de cofiaça com probabilidade - α para a média será: [X - t α/ ˆσ ; X + t α/ ˆσ ] ode: X é a estimativa por poto da média da população; William S. Gosset: Estatístico iglês que trabalhava a cervejaria Guiess. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 5

16 σˆ é o desvio padrão da amostra, calculado com "-" o deomiador e uma estimativa do desvio padrão da população σ e t α/ é o valor da distribuição T cuja área à direita é igual a α/, isto é, é o valor de T tal que: P(T > t α/ ) = α/, ou etão: P(- t α/ < T < t α/ ) = - α. Na realidade as tabelas forecem os valores de "T" em fução do parâmetro ν = - = grau de liberdade e da cofiaça desejada (dada em fução de uma ou duas caudas). Assim dado uma cofiaça uicaudal de α/, o valor tabelada é: T - ( -, α/) = -t α/. Exemplo: Uma amostra de tamaho 5 foi retirada de uma população com o objetivo de estimar a sua média e foreceu os valores x = 50 e σˆ = 0. Qual o itervalo de 95% de cofiaça para a média desta população? Solução: Tem-se - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a distribuição t com ν = - = 5 - = 4 (liha da tabela). A colua deverá ser o valor α = 5% (tabelas bilaterais) ou etão o valor α / =,5% (tabelas uilaterais). Em qualquer caso o que se procura é o valor T com grau de liberdade igual a 4, isto é, o valor T 4 tal que: P(- t α/ < T 4 < t α/ ) = 95%. Este valor vale,064. (ote-se que a ormal este mesmo valor valia,96). Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população será: [X - t α/ ˆσ ; X + t α/ ˆσ ] = [50 -,064.0/5; 50 +,064.0/5] = [50-4,3; ,3] = [45,87; 54,3], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a média desta população. Covém otar que a última liha da tabela da distribuição T apreseta valores coicidetes com aqueles que seriam obtidos se fosse utilizada a distribuição ormal padrão. Isto ocorre porque a distribuição T tede a distribuição ormal à medida que o tamaho da amostra aumeta, isto é, a distribuição ormal é o limite da distribuição T quado o tamaho da amostra tede ao ifiito. Esta aproximação já será bastate boa para amostras de tamaho > 30. No etato, para evitar cofusões sobre quado utilizar um ou outro modelo, ão se recomeda a substituição de T por Z, a exemplo, do P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 6

17 que fazem outros textos. Quado o valor do grau de liberdade ão for ecotrado a tabela, toma-se o valor imediatamete iferior... DA PROPORÇÃO POPULACIONAL (σ) Seja P = proporção amostral. Sabe-se que para > 50 a distribuição amostral de P é π( π) aproximadamete ormal com média µ P = π e desvio padrão (erro padrão) σ P = etão utilizar a curva ormal para estabelecer os limites para o itervalo de cofiaça.. Pode-se Lembrado que o que se quer é um itervalo que coteha o parâmetro populacioal π com probabilidade - α etão tem-se: P(-z α/ < Z < z α/ ) = - α, ode z α/ é o valor da ormal padrão com área à direita é igual a α/. Mas Z = (P- µ P ) / σ P etão substituido a expressão acima vem: P(-z α/ < (P - µ P ) / σ P < z α/ ) = - α. Trabalhado esta desigualdade, segue que: P(P - z α/ σ P < µ P <P + z α/ σ P ) = P(P - z α/ σ P < π <P + z α/ σ P ) = - α. Que é o itervalo procurado. Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de - α para a proporção P de uma população é dado por: [P- z α/ π( π) π( π) ; P + z α/ ]. Observado-se a expressão acima pode-se perceber que o itervalo de cofiaça para a proporção populacioal π, depede dele mesmo, isto é, é ecessário calcular o erro amostral que está expresso em fução de π. Como o objetivo é estimar este valor, evidetemete ele ão é cohecido. Assim é ecessário utilizar, sua estimativa σˆ P, isto é, é ecessário substituir π por P a expressão σ P = π( π). Desta forma o itervalo acima ficará: [P- z α/ P( P) P( P) ; P + z α/ ], ode: P é a estimativa por poto da proporção populacioal π. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 7

18 σˆ P = P( P) é uma estimativa do erro padrão, isto é, do desvio padrão amostral e z α/ é o valor da distribuição ormal padrão cuja área à direita é igual a α/. É o valor de Z tal que: P(Z > z α/ ) = α/, ou etão: Φ(-z α/ ) = α/. Exemplo : Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram etrevistadas sobre sua preferêcia por determiado produto. Destas 400 pessoas, 40 disseram preferir o produto. Determiar um itervalo de cofiaça de 95% de probabilidade para o percetual de preferêcia dos cosumidores em geral para este produto. Solução: Têm-se - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P(Z > z α/ ) =,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) =,5%. Este valor vale,96. A estimativa por poto para a proporção populacioal será: p = f/ = 40/400 = 0,60 = 60%. Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a proporção populacioal será: P( P) P( P) 0, 60( 0, 60) 0, 60( 0, 60) [P- z α/ ; P + z α/ ] = [0,60 -,96.; 0,60 +,96 ] = [60% - 4,80% ; 60% + 4,80%] = [55,0%; 64,80%], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a proporção populacioal, isto é, a verdadeira percetagem dos cosumidores que preferem o produto pesquisado. Exemplo : Numa pesquisa de mercado para estudar a preferêcia da população de uma cidade em relação ao cosumo de um determiado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 cosumidores da cidade e observou-se que 80 cosumiam o produto. Determiar um IC de 99% para a proporção populacioal de cosumidores do produto. Solução: Têm-se - α = 99%, etão α = % e α / = 0,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 8

19 P(Z > z α/ ) = 0,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) = 0,5%. Este valor vale,575. A estimativa por poto para a proporção populacioal será: p = f/ = 80/300 = 0,60 = 60%. Etão o itervalo de cofiaça de 99% para a proporção populacioal será: P( P) P( P) [P- z α/ ; P + z α/ ] = [0,60 -,58 0, 60( 0, 60).; 0,60 +, , 60( 0, 60) ] 300 = [60% - 7,8% ; 60% + 7,8%] = [5,7%; 67,8%], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 99% de que este itervalo coterá a proporção populacioal, isto é, a verdadeira percetagem dos cosumidores que preferem o produto pesquisado..3. DA VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ ) Sabe-se que o estimador ão-tedecioso de σ é S e que E(S ) = σ, equato V (S ) = σ /( -). No etato, para se costruir um itervalo de cofiaça para σ é ecessário, aida cohecer qual é o comportameto de S, isto é, qual é o modelo teórico (probabilístico) seguido pelo estimador. Assim ates de se costruir um itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal é ecessário se cohecer um ovo modelo probabilístico deomiado de qui-quadrado e represetado por χ (c grego). A distribuição ou modelo qui-quadrado pode ser obtida de uma soma de variáveis ormais padroizadas, isto é, χ = = A distribuição χ Z i. i parâmetro ν. Sabe-se também que: E(χ ) = ν e que V(χ ) = ν. é assimétrica positiva (possuí uma cauda à direita) e de depede do A figura. mostra algus exemplos de modelos qui-quadrado. A comportameto, distribuição de probabilidade, apresetado pela variâcia amostral (S ) está relacioado com a distribuição (modelo) χ através do seguite resultado: ( ) S χ = σ meos de uma costate. Neste caso ν = -., isto é, a variâcia segue uma distribuição χ com " - " graus de liberdade a P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 9

20 .3.. TABELAS A distribuição χ está tabelada em fução do grau de liberdade - = ν (liha da tabela) e área à sua direita, isto é, P(χ > c) = α. Na realidade o que está tabelado é a fução iversa da χ, isto é, etrado com o valor do parâmetro (graus de liberdade) e uma determiada probabilidade (área), a tabela forece um valor da variável (abscissa) tal que a probabilidade à direita (área) deste valor seja igual a área especificada. (Ver Apostila de Probabilidade para mais detalhes)..3.. O INTERVALO Supoha que seja fixado um ível de cofiaça de - α e que χ e χ sejam dois valores da distribuição χ tais que P( χ < χ < χ ) = - α. P( χ < χ < χ ) = - α P( χ < ( ) S σ < χ ) = - α P( χ < σ ) S ( < χ ) = - α ( ) S P( χ < σ < ( ) S χ ) = - α Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de - α para a variâcia da população é dado por: ( )S ( ) ; S χ χ.4. DO DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) Para determiar um itervalo de cofiaça de " - α" de probabilidade para o desvio padrão populacioal basta apeas tomar a raiz quadrada positiva dos termos do itervalo para a variâcia populacioal. Assim o itervalo será: ( )S ( ) S ; χ χ O sigificado deste itervalo é: P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 0

21 ( )S ( )S P < σ < = α. χ χ Exemplo: Uma amostra extraída de uma população ormal foreceu uma variâcia de s = 8,38. Determiar um itervalo de cofiaça de 90% para a variâcia da população e um itervalo de mesma cofiabilidade para o desvio padrão da população. Solução Neste caso é ecessário iicialmete determiar os valores da distribuição χ, de modo, que χ teha uma área (probabilidade) à direita igual a 95% e χ teha uma área (probabilidade) à direita igual a 5%. Estes valores são: χ = 3,940 e χ = 8,307. O itervalo de cofiaça, para a variâcia, será: ( )S ( ) ; S χ χ ( ). 8, 38 8, 307 [4,58;,7] ; ( ). 8, 38 3, 940 O itervalo de cofiaça, para o desvio padrão, será: ( )S ( ) S ; χ χ ( ). 8, 38 ; 8, 307 4,58;,7; ] ( ). 8, 38 3, 940 [,4; 4,6]. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i /

22 3.. EXERCÍCIOS (0) Seja X uma variável aleatória ormal com média µ e desvio padrão σ. Sejam: µ ˆ = Xi i=, µ ˆ Xi i = + = e µ ˆ 3 = estimadores, isto é, suas expectâcias e variabilidades. + Xi i=, três estimadores de µ. Determiar as propriedades dos três (0) Com base a amostra aleatória (X, X ), cosiderar dois estimadores de µ. X X X = e = X + X W (0.) Verificar se são ão tedeciosos. (0.) Qual a eficiêcia de W em relação a X? Qual o melhor? (0.3) Provar que X é mais eficiete que qualquer outra combiação liear ão-tedeciosa. (Sugestão: determiar a variâcia de cx + ( -c)x em fução de "c" e achar o seu míimo, derivado-a e igualado-a a zero.) (03) De uma distribuição ormal com variâcia,5, obteve-se a seguite amostra: 7,5; 5,6; 8,; 6, e 5,0 Determiar um itervalo de cofiaça para a média desta população com cofiaças de: (03.) 95% (03.) 99% (04) Utilizado-se de uma aas de 45 profissioais de certa região, verificou-se que o salário médio é de 8 salários míimos (s.m.) com um desvio padrão de,8 s.m. A amostra também foreceu a iformação de que 70% dos profissioais eram casados. (04.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 95% para o salário médio de todos os profissioais desta região. (04.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 99% para a proporção de profissioais casados desta região? (04.3) Determie e iterprete um Itervalo de Cofiaça de 90% para σ. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i /

23 (05) A amostra apreseta os valores da variável tamaho da família X f coletados através de uma aas em uma vila popular. 3 0 (05.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 95% para o 4 4 parâmetro tamaho familiar médio por domicílio da vila. 5 9 (05.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 90% para o 6 5 parâmetro proporção de domicílios da vila com tamaho igual ou superior a cico (06) A variâcia de uma população é 50. Deseja-se obter um itervalo de cofiaça para a média da população com uma cofiabilidade de 95% e um erro máximo de. Quatos valores desta população devem ser retirados aleatoriamete? (07) Quer-se estimar a média de uma população de variâcia descohecida através de um itervalo de cofiaça de 95% e com erro de estimação máximo de 5 uidades. Através de uma amostra piloto de 00 valores a variâcia foi estimada em 400 uidades. Que tamaho deve ter a amostra fial? (08) Uma amostra prelimiar de pessoas de uma determiada comuidade apresetou 8% de aalfabetos. Com este resultado quer-se estimar a proporção de aalfabetos da população com uma cofiabilidade de 95% e com um erro de estimação máximo de,5%. Qual o tamaho da amostra a ser utilizada? (09) De uma população ormalmete distribuída foi extraída uma aas de = 0 que apresetou os valores abaixo: (09.) Determie uma estimativa da variâcia populacioal. (09.) Determie uma estimativa da média populacioal e do correspodete erro amostral? (09.3) Determie um itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população. (0) A tabela apreseta os valores de uma amostra retirada de uma população X f ormal. Determie: (0.) Um itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população (0.) Um itervalo de cofiaça de 99% para a média desta população P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 3

24 4.. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (0) Quatos a expectâcia tem-se: E (ˆ µ ) = E(X) = µ µ E( µ ˆ ) = + µ ( ) µ ( ) µ E(ˆ µ ) = + =. Como µˆ e µˆ 3 são tedeciosos só µˆ = X é cadidato à eficiêcia. Quato à acurácia, tem-se: EQM( µˆ ) = Var( µˆ ) + (Ted µˆ ) ) V(X) σ V(ˆ µ = = ( ˆ Xi µ ) = V( ) + V = σ (+ ) Xi µ = V( + i = ) = V( ˆ 3 ) µ ( ) µ + = ( ) µ X + X E E( ) (0) (X) = = µ. E X + X = E(X ) E(X ) = µ µ E (W) = ( ) = µ. X + X V ( X) = V( ) σ = 4 V (W) = V( X + X) = V(X ) V(X ) = σ 4 σ σ = 9 A eficiêcia de X em relação a W é dada por: V(X) V(W) = 90%. Assim X é melhor. (03) (03.) [5,7; 7,79] (03,) [4,75; 8,] (04) (04.) [7,7; 8,9] Tem-se 95% de certeza de que o salário médio de todos os profissioais da área está etre 7,7 s.m. e 8,9 s.m. P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 4

25 (04.) [60,0%; 79,80%] Tem-se 99% de cofiaça de que a percetagem de profissioais da área que são casados esteja etre 60,0% e 79,80%. (04.3) [,70; 3,98]. Tem-se 90% de cofiaça de que o valor da variâcia populacioal perteça a este itervalo. (05) (05.) [4,6; 5,] Tem-se 95% de cofiaça de que o valor médio do tamaho familiar da vila esteja etre 4,6 e 5, membros. (05.) [53,3%; 7,93%] Há 90 de certeza de que o percetual de famílias com 5 ou mais membros esteja etre 53,3% e 7,93%. (06) = 45 (07) = 6, como a amostra piloto utilizada foi de = 00 é mais cofiável ficar com a amostra piloto. (08) = 908 (09) (09.) 6,67 (09.) 8 e 0,8 (09.3) [6,5; 9,85] (0) (0.) [9,9;,65] (0.) [8,58; 3,6] P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 5

26 5.. B IIBL IIOGRAF IIA KACHIGAN, Sam Kash. Statistical Aalysis: A Iterdiscipliary Itroductio to Uivariate & Multivariate Methods. New York: Radius Press, 986, 589 p. KMENTA, Ja. Elemetos de Ecoometria. Tradução: Carlos Roberto Vieira Araújo. São Paulo: Atlas, 978, 686 p. MASON, Robert D., DOUGLAS, Lid A. Statistical Techiques i Busiess Ad Ecoomics. IRWIN, Bosto, 990. STEVENS, James. Applied Multivariate Statistics For The Social Scieces. Mahwah, New Jersey: LEA Lawrece Erbaum Associates, Publishers P r o f. L o r í V i a l i, D r. - v i a l m a t. u f r g s. b r - h t t p : / / w w w. m a t. u f r g s. b r / ~ v i a l i / 6

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