Uma relação entre sincronização no mapa do círculo e os números racionais

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1 Uma relação etre sicroização o mapa do círculo e os úmeros racioais Mariaa P. M. A. Baroi Elbert E. N. Macau Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE São José dos Campos, SP mariaa@lac.ipe.br e elbert@lac.ipe.br Resumo Um dos feômeos mais iteressates da diâmica ão-liear é o de sicroização etre dois osciladores, que se caracteriza pelo feômeo de travameto de freqüêcia. Seja o caso de um pêdulo sob a ação de uma força extera periódica. O feômeo do travameto de freqüêcia acotece quado a razão etre as freqüêcias de oscilação do pêdulo e da força extera tora-se travados a razão p/q de dois iteiros, detro de algum itervalo fiito de valores de parâmetros. Neste trabalho foi usado o mapa do círculo para caracterizar esse feômeo. Através dele é possível obter duas estruturas: a Escada do Diabo e Arold Togues. Em ambas é possível verificar a sicroização e estabelecer uma relação etre o feômeo e os úmeros racioais e irracioais. 1. Itrodução e Motivação Um dos feômeos mais iteressates da diâmica ãoliear é o de sicroização etre dois osciladores que se caracteriza pelo feômeo de travameto de freqüêcia que se matêm robusto detro de um limite de variações de parâmetros. Seja o caso de um pêdulo sob a ação de uma força extera periódica. O feômeo do travameto de freqüêcia acotece quado a razão de freqüêcia do pedulo para da força extera tora-se travado está a razão p/q de dois iteiros, acima de algum domíio fiito de valores de parâmetros [1]. Este feômeo é similar ao observado por Christia Huyges o século dezessete: a sicroização de dois relógios em uma mesma parede. Um acessório comum às duas paredes pode ter forecido um acoplameto dos relógios para cada um [1]. Este trabalho estabelece uma relação etre a sicroização e os úmeros racioais e irracioais, através do estudo das estruturas: Escada do Diabo e Arold Togues obtidas através do Mapa do Círculo. 2. O Mapa do Círculo Este feômeo de sicroização pode ser adequadamete modelado pelo mapa do círculo [1]. A equação de difereças de um mapa do círculo cohecido como mapa padrão é: ( 2π ) si( 2 ) + 1 = + Ω - K π mod1 O parâmetro Ω é a freqüêcia de rotação (úmero de rotação) a ausêcia de ão-liearidade. Esse acoplameto ão liear pode modificar o âgulo por iteração [4]. Para uma certa série de amplitudes forçadas e freqüêcias, um mapa do círculo pode ser uma razoável aproximação para um pêdulo excitado por uma força extera periódica [1]. 3. Número de Rotação Para obtermos um setido do comportameto do mapa padrão, omitiremos o termo ão-liear ajustado K = 0. O mapa reduz-se à + 1 = + Ω Usaremos os valores Ω = 0.4, , K = 0.95 e codição iicial 0 = 0.3 para exemplificar o comportameto deste mapa.

2 Para Ω = 0.4 e K = 0 com 0 = 0.3, temos: Figura 1: Mapa do círculo com Ω = 0.4 e 0 = 0.3 Percebe-se, a Figura 1, que após cico iterações, retoramos a codição iicial, tedo feito duas voltas. O úmero de rotação, W, é 2/5, igual a Ω. Neste caso, temos um movimeto periódico. Para Ω = e K = 0 com 0 = 0.3, temos: Figura 3: Mapa do círculo com Ω = , K=0.95 e 0 = 0.4 Neste caso, apesar de Ω ser um úmero irracioal, o movimeto apresetou periodicidade, pois em K=0.95 o mapa é aida iversível [1]. Logo, temos que se o úmero de rotação é um úmero racioal, etão o mapa é cíclico ou periódico (como a Figura 1). Se o úmero de rotação for um úmero irracioal, etão ão retora exatamete a codição iicial e o movimeto é deomiado quase-periódico (Figura 2). O âgulo vem arbitrariamete fechado para algum valor particular se é suficietemete grade. Travameto de freqüêcia ocorre quado o termo ãoliear é adicioado, sustetado o movimeto periódico iclusive quado Ω for irracioal (Figura 3). Além disso, percebe-se a Figura 3 que o movimeto se repete após cico iterações. O úmero de rotação mede a mudaça média de fase por iteração. Para K 0, ele ão é igual a Ω, sedo defiido geralmete como: W = lim 0 Figura 2: Mapa do círculo com Ω = e 0 = 0.3 A Figura 2, após 200 iterações, mostra um movimeto quase-periódico ode ão retora exatamete a codição iicial, mas essa órbita permaece fechada o itervalo [0,1]. Neste caso, o úmero de rotação é irracioal (W=Ω). Para Ω = e K = 0.95 com 0 = 0.4, temos: O termo ão-liear evidetemete muda a forma de represetação da fução. Note que para K = 0.95, o mapa aida é iversível. 4. Números Racioais e Sicroização: Arold Togues e Escada do Diabo Há um úmero ifiito de itervalos de travameto de freqüêcia. Há também um úmero ifiito de úmeros de rotação racioais. Coforme Ω varia em K fixo, o mapa mostra os movimetos periódicos e quase-periódicos [1]. Esse comportameto, ode as larguras em Ω das várias regiões ode o úmero de rotação varia coforme aumeta K, é mostrado a Figura 4. Esse resultado é chamado de

3 Arold togues em homeagem ao matemático russo que descobriu essa estrutura. a) Figura 4: Arold Togues Nessa figura, os potos pretos são o movimeto periódico (úmero de rotação racioal) e os potos bracos, o movimeto quase-periódico (úmero de rotação irracioal). Para 0 < K < 1 o úmero de rotação fica em cada úmero racioal p/q em um itervalo ão-ulo de omega. Para K = 0, todos os itervalos são pequeos, assim a probabilidade que o úmero de rotação para um valor radômico de Ω racioal é quase zero, isto é, a probabilidade de acertar ao acaso um úmero de rotação irracioal é quase um. Etretato com o aumeto de K, a largura de todos os itervalos de travameto de freqüêcia aumeta, assim para K = 1/2 a probabilidade de observarmos úmeros de rotação racioais e irracioais são quase iguais (Figura 4). Para K ~ 1 a probabilidade de ecotrarmos um úmero de rotação racioal é quase 1. Em K = 1 o cojuto dos itervalos racioais é um fractal, um cojuto de Cator de medida zero [4]. Fazedo W versus Ω, temos uma curva que mostra a repetição de padrões. Tal curva é dita auto-similar. Essa estrutura é chamada Escada do Diabo. b) Figura 5: Escada do diabo. a) 0 < Ω,K < 1, b) Zoom (0.2< Ω < 0.3 e 0.1 < K < 0.3) Essa repetição de padrões correspode aos úmeros de rotação racioais. Ela represeta a sicroização dos dois osciladores. Etre duas soluções periódicas, caracterizadas por úmeros de rotação racioais, existe uma solução periódica com um período míimo [4]. O mapa desevolve míimo e máximo local e, portato tora-se ão iversível para K > 1 (Figura 6), uma codição ecessária para comportameto caótico [1]. Como coseqüêcia caos pode ser observado para algus valores de Ω, ode a serie comporta-se irregularmete.

4 Figura 6: Mapa do círculo com Ω = 0.5 e K = Racioais e Irracioais: um método umérico Como já vimos ateriormete, quado o úmero de rotação é racioal, temos movimeto periódico (sicroização) e quado ele é irracioal temos movimeto quase-periódico. Para a visualização desse comportameto usa-se a estrutura Arold Togues, que é um espaço de parâmetros (Ω,K). Nessa estrutura (Figura 4), marcou-se o movimeto periódico com potos pretos e o movimeto quase-periódico com potos bracos. Desta forma, os potos pretos são os úmeros de rotação racioais, assim como os potos bracos são os úmeros de rotação irracioais. Mas como implemetar um algoritmo para difereciar os úmeros racioais dos úmeros irracioais? O cojuto dos úmeros racioal é defiido como o cojuto dos úmeros que podem ser obtidos como frações, ou seja, todo úmero que pode ser colocado a forma p/q ode p e q são úmeros iteiros e q 0. Já os úmeros irracioais são aqueles que ão podem ser colocados essa forma [3]. No cojuto dos úmeros racioais estão os úmeros iteiros, os decimais e as dízimas periódicas. As represetações decimais de um racioal são ecessariamete de dois tipos: ou possuem uma quatidade fiita de casas decimais, ou termiam em uma dízima periódica. Logo, uma represetação decimal para um úmero irracioal tem ecessariamete que ser uma dízima ão-periódica [3]. Isto sigifica que podemos dispor os úmeros racioais uma sucessão da forma r 1, r 2, r 3,... com uma ifiidade de elemetos. Pode-se iterpretar este fato dizedo-se que a quatidade de úmeros racioais, embora sedo ifiita, é uma ordem de ifiitude equivalete a dos úmeros aturais (o argumeto para a demostração desse fato é devido a Georg Cator). Essa represetação como fração p/q é úica com p e q iteiros positivos primos etre si, basta que saibamos eumerar os pares ordeados (p, q) de aturais primos etre si [3]. Todo úmero irracioal positivo possui uma represetação decimal úica por meio de uma dízima ãoperiódica. Isto sigifica que ão podemos dispor os úmeros irracioais uma sucessão, mesmo admitido uma ifiitude de elemetos. Diferetemete dos racioais, a ordem de ifiitude da quatidade dos úmeros irracioais é maior que a dos úmeros aturais. Daí pode-se cocluir que existem muito mais úmeros irracioais do que racioais [3]. Usado o fato do período as dízimas para úmeros racioais, podemos estabelecer um método para ecotrarmos úmeros racioais e irracioais, estabelecedo uma exatidão a busca para valores racioais Reproduzido a Escada do Diabo Para a obteção da escada do Diabo, que represeta a as soluções periódicas e quase-periódicas do úmero de rotação para K fixo e Ω variado, aplicou-se o mapa do círculo para K = 1 e Ω = [0, 1] desprezado os trasietes iiciais (Figura 5) Reproduzido Arold Togues Para a obteção da estrutura Arold Togues ecessita-se, a obteção da escada do Diabo, variar também o K. Neste caso, vamos utilizar K = [0,1]. Logo, a escada do Diabo em duas dimesões é: Figura 7: Escada do Diabo em duas dimesões Assim, com a matriz formada pelos úmeros de rotação obtidos variado K e Ω, podemos tetar ecotrar ela quais deles são racioais. Sabe-se que os úmeros racioais e irracioais ecotrados para compor a estrutura Arold Togues estão

5 detro do itervalo [0, 1]. Assim, para ecotrar os úmeros racioais se trabalhará com o período das dízimas, ou seja, sabe-se que os úmeros racioais ou são iteiros (que ão é o caso), ou são decimais ou são dízimas com período fiito. Assim foi feita uma busca o itervalo [0, 1], comparado cada elemeto desse itervalo (com um itervalo de 10-3 ) com todos os valores da matriz de úmeros de rotação, procurado valores detro de uma determiada precisão. Por exemplo, supohamos que ossa matriz de úmeros de rotação seja: 0.5 A = e a ossa precisão seja Nosso primeiro valor do itervalo [0, 1] é 0. Etão buscaremos os valores tais que sejam maiores ou iguais a ( ) e meores ou iguais a ( ). Assim procuremos os ídices da matriz, pois cada colua correspode a valor de Ω e cada liha correspode a um valor de K, que correspodem a esse itervalo [ , ] ao redor de zero. Dessa forma estamos procurado a região ode há sicroização. Na ossa matriz o úico valor é 0 que correspode à posição (3,1) da matriz. Assim esse poto que aparecerá a estrutura. O próximo passo pode ser ao redor de 0,1, ou seja, os valores da matriz que estão o itervalo [ , ], e assim sucessivamete. O último passo será ao redor de 1, ou seja, os valores o itervalo [ , ], ode o método ecotrará a posição (3,3). Desta maeira, estaremos ecotrado os úmeros racioais que possuem represetação úica como fração (decimais e dízimas periódicas). A adoção da precisão decorre dos períodos das dízimas periódicas, ou seja, para 10-5 temos dízimas com período 5. Assim há a ecessidade de maior precisão. muito mais fácil idetificar soluções periódicas, quaseperiódicas, e caóticas iterado o mapa do que por uma itegração umérica, por exemplo, de uma equação diferecial. Agradecimetos: Os autores agradecem a CAPES e a FAPESP. Referêcias: [1] Baker, G. L. & Gollub, J. P. Chaotic Dyamics: A Itroductio, 2 d ed., Cambridge, [2] Calvo, O., Cartwright, J. H. E., Gozalez, D. L., Piro O. & Rosso, O. A., Three-Frequecy Resoaces i Dyamical Systems, Iteratioal Joural of Bifurcatio ad Chaos, vol 9,. 11, 1999, [3] Frid, H., Os úmeros irracioais, Notas de aula, IMPA, [4] Jese, M. H., Bak P. & Bohr T., Trasitio to chaos by iteractio of resoaces i dissipative systems. I. Circle maps, Physical Review A, vol.30,.4, 1984, Coclusão Através do mapa círculo, pode-se ivestigar a sicroização de dois osciladores. Essa sicroização pode ser vista a estrutura da Escada do Diabo, que apreseta os períodos de sicroização, a repetição dos padrões. Esses períodos de sicroização são úmeros de rotação racioais (movimeto periódico). Quado temos úmero de rotação irracioal, temos um movimeto quase-periódico, e ão há sicroização. Esse feômeo pode ser observado em diferetes tipos de mapas que represetam sistemas diâmicos. Mas é