DINÂMICA CAÓTICA E TRAVAMENTO DE FREQUÊNCIA EM MAPAS ACOPLADOS

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1 INPE PRE/8296 DINÂMICA CAÓTICA E TRAVAMENTO DE FREQUÊNCIA EM MAPAS ACOPLADOS Pedro Ferado Almeida Di Doato* *Bolsista ITA Relatório Fial de Projeto de Iiciação Cietífica (PIBIC/CNPq/INPE), orietado pelo Dr. Elbert Eistei Nehrer Macau INPE São José dos Campos 2005

2 DINÂMICA CAÓTICA E TRAVAMENTO DE FREQÜÊNCIA EM MAPAS ACOPLADOS RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA (PIBIC/CNPq/INPE) Pedro Ferado Almeida Di Doato (ITA, Bolsista PIBIC/CNPq) pfadidoato@uol.com.br Dr. Elbert Eistei Nehrer Macau (LAC/CTE/INPE, Orietador) elbert@lac.ipe.br Juho de 2005

3 DINÂMICA CAÓTICA E TRAVAMENTO DE FREQÜÊNCIA EM MAPAS ACOPLADOS RESUMO Este trabalho tem por objetivo o desevolvimeto de um sistema de cotrole capaz de, por meio de uma excitação extera, levar o sistema diâmico costituído por um pêdulo forçado e amortecido a apresetar o feômeo de travameto de freqüêcia em uma razão qualquer desejada. Este sistema diâmico teve seu comportameto estudado de forma extesiva o trabalho executado o primeiro ao de bolsa de iiciação cietífica, sedo que o atual trabalho, com duração de agosto de 2004 até julho de 2005, uma cotiuação atural deste. Em uma primeira etapa do trabalho trabalhou-se com o Mapa de Círculo Padrão, que é uma modelagem simples de sistemas diâmico, mas que permite estudar o feômeo do travameto de freqüêcia. Três algoritmos de cotrole a serem aplicados este mapa foram propostos e testados, sedo seus resultados aalisados e discutidos. O primeiro algoritmo era simplesmete um buscador do sial de cotrole ótimo, equato ou outros dois eram baseados em cotroladores clássicos: o cotrolador itegral e o proporcioal-itegral. Os resultados desta primeira etapa do trabalho foram sigificativos o suficiete para serem aceitos para apresetação o IV Cogresso Temático de Diâmica, Cotrole e Aplicações (DINCON 2005) em juho de Após esta etapa, o trabalho evoluiu para a sua próxima parte que seria a aplicação destes algoritmos diretamete o modelameto por equações difereciais do sistema diâmico do pêdulo forçado e amortecido. Tal parte ecotra-se aida em adameto com previsão de térmio em julho de 2005, ao fial do período de bolsa.

4 CHAOTIC DYNAMICS AND PHASE LOCKING IN COUPLED MAPS ABSTRACT The goal of this work is the developmet of a cotrol system that could make the dyamical system of the dumped ad periodically drive pedulum to preset phaselockig i ay desired ratio. This dyamical system had its behavior extesively studied i the work doe durig the first year of the scholarship. Therefore, this work is a evolutio from the previous with a duratio from August 2004 util July I a first phase of the work, the Stadard Circle Map was used sice it is a simple model of dyamical systems that ca be used to study the phase-lockig. Three differet cotrol systems to be applied to this map queue proposed ad tested, ad its results have bee aalyzed. The first algorithm was simply a searcher of the best cotrol sigal, while the other two were base i classical cotrol systems: the itegral ad the proportioalitegral cotroller. The results of this first phase of the work were sigificat eough to be approved to presetatio i the IV Cogresso Temático de Diâmica, Cotrole e Aplicações (DINCON 2005) i July After that, the work progressed to its ew phase that is the apply of these cotrol algorithms directly to the model by differetial equatios of the dyamical system of the dumped ad drive pedulum. This part of the work is i progress with a fiish previsio of July 2005, at the ed of the scholarship.

5 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO....6 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: MAPA DE CÍRCULO E QUASE-PERIODICIDADE Mapa de Círculo Quase-periodicidade Líguas de Arold e Escadaria do Diabo Série de Farey...16 CAPÍTULO 3 ESTUDO DA EVOLUÇÃO DO VALOR DO NÚMERO DE ROTAÇÃO AO LONGO DA ESCADARIA DO DIABO...18 CAPÍTULO 4 Pág. MÉTODOS DE CONTROLE APLICADOS AO MAPA DE CIRCULO E RESULTADOS OBTIDOS Algoritmo de Busca Algoritmo Itegral Algoritmo Proporcioal-Itegral...29 CAPÍTULO 5 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE PARA O SISTEMA DO PÊNDULO FORÇADO E AMORTECIDO...32 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS...34 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...36

6 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Exemplo de evolução de uma órbita em um espaço de estados toroidal Figura 2: Represetação gráfica da idéia do Mapa de Círculo Figura 3: Difereça etre comportameto periódico e quase-periódico o espaço de estados e o Mapa de Círculo Figura 5: Escadaria do Diabo Figura 8: Diagrama de blocos do sistema cotrolado Figura 9: Camiho realizado pelo sistema ao logo da Escadaria do Diabo Figura 10: Exemplo de resultado do algoritmo de busca Figura 11: Variação do úmero de ciclos de cotrole em fução de k i Figura 12: Desvio padrão dos resultados apresetados a Figura Figura 13: Evolução do úmero de rotação do sistema com diferetes valores de k i Figura 14: Ifluêcia dos coeficietes k p e k i a atuação do cotrolador proporcioal derivativo Figura 15: Evolução do úmero de rotação do sistema com diferetes valores de k i com k p costate igual a 0, Figura 16: Esquema do sistema físico...31

7 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Em 1657, o astrôomo e matemático holadês Christiaa Huyges pateteou o primeiro relógio de pêdulo da história. Sua motivação era aumetar a precisão dos istrumetos de medida da época, algo ecessário para o avaço de seus estudos com astroomia. Huyges acabou desevolvedo e costruido vários outros tipos de relógios de pêdulo, etre eles o relógio de pêdulo cicloidal, que, adaptado para suportar as viages marítimas, tiha por objetivo permitir uma medida correta da logitude em alto mar. Durates esta pesquisa, surgiu a ecessidade de se estudar o comportameto de dois relógios de pêdulo utilizados simultaeamete, de forma a obter-se redudâcia para o caso de um deles falhar. Em uma carta datada de 27 de fevereiro de 1665 para a Sociedade Real Britâica Huyges descreve uma iteressate observação acerca de sua iveção: Of a odd kid of sympathy perceived by him i these watches [two maritime clocks] suspeded by the side of each other. Huyges observou que dois relógios de pêdulos colocados cotíguos em uma mesma parede tiham seus pêdulos sicroizados em fase ou em oposição de fases. Mesmo que alguma perturbação fosse aplicada a um dos relógios, detro de trita miutos a sicroização se restabelecia. Huyges fez umerosos estudos acerca deste tema, e chegou a coclusão que a iteração etre os dois osciladores se dava por pequeos movimetos da parede em que ambos estavam fixos. O cietista, etretato, ão tiha a sua disposição ferrametas matemáticas para poder ampliar seus estudos uma vez que Newto só iria publicar as leis da mecâica em seu livro Pricipia apeas 20 aos mais tarde [Beect et al.]. Tal comportameto está ligado ao feômeo físico cohecido por travameto de freqüêcia (phase lockig) que ocorre quado a razão etre as freqüêcias fudametais de um sistema físicos fica travada em uma razão p / q de dois úmeros iteiros para um itervalo fiito de valores dos parâmetros deste sistema. A sicroização de osciladores com explicação por base este feômeo vem sedo relatada a literatura em diversos sistemas da mais variada atureza. Exemplos são: a iteração etre os sistemas circulatório e respiratório, o piscar da luzes de um cojuto de uma espécie de

8 vaga lumes, e as iterações etre os eurôios do cérebro. Para uma exposição geral deste iteressate feômeo veja [Macau 2003]. Outro exemplo simples de sistema que apreseta este comportameto é o pêdulo simples amortecido e forçado por uma força com magitude regida por uma fução seo. O travameto de freqüêcia ocorre quado a razão etre a freqüêcia de oscilação do pêdulo e a da força extera a ele aplicada fica travada em uma razão em uma razão de iteiros para certo itervalo de valores de parâmetros, este caso o relativo ao amortecimeto e à massa do pêdulo. Quado dois osciladores são acoplados etre si, para determiados valores de seus parâmetros, surge a sicroização, o que sigifica que suas freqüêcias combiadas se toram periódicas. No espaço de parâmetros, as regiões para as quais a sicroização ocorre ou ão, eovelam-se de uma forma complexa. As regiões de sicroização associadas a cada úmero racioal p / q se estedem por regiões com medida topológica diferete de zero e com propriedades de escala características, deomiadas de líguas de Arold. Em 1965, Arold propôs um modelo feomeológico [Arold 1965], deomiado Mapa de Círculo Padrão, que possibilita a compreesão teórica e a aálise de diversos comportametos que evolvem ão só o ceário da iteração ão-liear etre osciladores periódicos, como também aquele ode se tem um oscilador sob ação de uma força periódica. Este modelo possui dois parâmetros de cotrole: a razão etre as freqüêcias fudametais dos osciladores e o fator de acoplameto ão-liear. Quado se explora seu espaço de estados, surgem as líguas de Arold, associada às regiões de sicroização. Quado se matém fixa o fator de acoplameto ão-liear, surge uma estrutura fractal iteressate, deomiada Escadaria do Diabo, ode as regiões de travameto de freqüêcia estão presetes em patamares bem defiidos. A disposição e tamaho destes patamares são bem orgaizados e regidos pela chamada série de Farey. Através do cohecimeto desta orgaização, surge a idéia de se projetar um sistema de cotrole simples capazes de levar um sistema diâmico que pode ser modelado pelo Mapa de Círculo padrão, com parâmetros descohecidos, a ter a razão etre suas freqüêcias travada em um úmero racioal p / q qualquer desejado. 7

9 O objetivo deste trabalho foi, portato, o desevolvimeto e aplicação de sistemas de cotrole capazes de travar um sistema diâmico em uma determiada razão de travameto de freqüêcia, baseados o cohecimeto da orgaização dos patamares de travameto de freqüêcia regida pela Série de Farey. Tais cotroladores foram primeiramete implemetados e testados iicialmete o Mapa de Círculo Padrão. A seguir, estão sedo aplicados diretamete sobre o modelameto através de equações difereciais do sistema do pêdulo forçado e amortecido. Tal sistema teve seu comportameto estudado de forma extesiva durate a primeira parte deste trabalho realizada durate o período de agosto de 2004 a julho de 2005, sedo o presete trabalho uma evolução atural do aterior. A primeira etapa do trabalho, a aplicação dos sistemas de cotrole ao Mapa de Círculo redeu um trabalho ititulado Cotrole da razão de Travameto de Freqüêcia o Mapa de Círculo que foi apresetado em juho de 2005 o IV Cogresso Temático de Diâmica, Cotrole e Aplicações, e que se ecotra em aexo a este relatório. Quato todo o trabalho estiver cocluído, o objetivo é eviá-lo para publicação em revista iteracioal a área de diâmica ão-liear. Para melhor orgaização deste trabalho, ele foi dividido em mais 5 seções, descritas a seguir: SEÇÃO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: MAPA DE CÍRCULO E QUASE- PERIODICIDADE: Nesta seção faz-se a discussão do modelameto de sistemas diâmicos pelo Mapa de Círculo Padrão, das características do comportameto quase-periódico. A seguir, descreve-se o coceito e usos dos diagramas da Escadaria do Diabo e das Líguas de Arold termiado com uma itrodução às Séries de Farey e sua relação com o feômeo de travameto de freqüêcia. SEÇÃO 3 ESTUDO DA EVOLUÇÃO DO VALOR DO NÚMERO DE ROTAÇÃO AO LONGO DA ESCADARIA DO DIABO: Como tal parâmetro é defiido como um limite, o estudo da covergêcia de seu valor durate a simulação umérica para variadas combiações de parâmetros do Mapa de Círculo Padrão torou-se ecessário ates da implemetação dos sistemas de cotrole. Tal seção descreve sobre os resultados e coclusões deste estudo. 8

10 SEÇÃO 4 MÉTODOS DE CONTROLE APLICADOS AO MAPA DE CIRCULO E RESULTADOS OBTIDOS: Tal seção descreve os métodos testados de cotrole aplicado diretamete ao mapa de círculo e os resultados obtidos com eles as simulações uméricas realizadas. SEÇÃO 5 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE PARA O SISTEMA DO PÊNDULO FORÇADO E AMORTECIDO: Esta última seção descreve em primeiro lugar como o sistema diâmico formado pelo pêdulo forçado e amortecido pode ter as equações difereciais que regem seu comportameto ligadas ao Mapa de Círculo. A seguir, as aplicações dos métodos de cotrole que estão sedo executadas diretamete sobre o modelameto por equações difereciais do sistema diâmico formado pelo pêdulo forçado e amortecido são discutidas. SEÇÃO 6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS: Por fim, esta seção tem por objetivo discutir os resultados e a viabilidade de implemetação dos sistemas de cotrole sugeridos este trabalho em sistemas diâmicos reais, assim como propostas para melhoria e ampliação do trabalho. 9

11 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: MAPA DE CÍRCULO E QUASE-PERIODICIDADE 2.1 Mapa de Círculo Seja um sistema diâmico qualquer que apresete duas freqüêcias fudametais distitas e idepedetes. A sua fução de estado pode ser represetada da seguite forma [Barker et al.]: xt () = Gt (, t) 1 2 (2.1) sedo a fução G periódica em t 1 e t 2 com freqüêcias respectivamete iguais a Ω 1 e Ω 2. Fazedo a seguite mudaça de variável: θ = Ω t (2.2) i i i o estado do sistema pode, etão, ser escrito em fução de dois âgulos: θ1 θ 2 x ( t) = G, = H ( θ1, θ 2 ) Ω1 Ω 2 (2.3) Qualquer estado deste sistema pode ser sempre represetado por um poto a superfície de um toróide tridimesioal como apresetado a Figura 1 a seguir, sedo que sua órbita o percorre rodado a meor direção com a freqüêcia Ω 1 e a outra com Ω 2. Figura 1: Exemplo de evolução de uma órbita em um espaço de estados toroidal 10

12 A represetação do toróide pode ser simplificada se apeas uma de suas seções for tomada, como um diagrama de Poicaré coforme mostrado a Figura 2 a seguir. Neste caso, obtém-se o seguite mapa uidimesioal: θ + 1 = θ + ω (2.4) Figura 2: Represetação gráfica da idéia do Mapa de Círculo Ode ω = Ω 1 /Ω 2. Este mapa, o etato, ão descreve o caso de um acoplameto ão-liear para estas duas freqüêcias fudametais. Para tal modelameto, Arold em 1965 [] propôs o mapa de círculo padrão: k θ + 1 = θ + ω + se(2πθ ) mod1 (2.5) 2π Neste mapa, o parâmetro k descreve o fator de acoplameto ão liear, que é modelado pelo termo que cotém a fução seo. Desta forma, o Mapa de Círculo Padrão apreseta apeas dois parâmetros, um referete à razão etre as freqüêcias fudametais do sistema (ω), e outro ao acoplameto ão-liear etre elas (k). 2.2 Quase-periodicidade Detre os tipos mais comus de comportametos que os sistemas diâmicos podem apresetar destacam-se o poto fixo, o comportameto periódico e o comportameto caótico. No primeiro caso, o sistema assume apeas um estado fixo. No segudo, seu estado varia etre um úmero fiito deles de forma que, após certo itervalo T, seus estados ateriores 11

13 se repetem. Por fim, o terceiro temos um comportameto em que o sistema uca volta a seu estado iicial percorredo todos os estados possíveis. Existem, etretato, outros tipos de comportameto apresetáveis por sistemas diâmicos. Um deles é deomiado quase-periódico. Tal tipo de comportameto é caracterizado pelo sistema, uma vez em um estado iicial uca a ele retorar, percorredo todos os estados possíveis, de forma semelhate ao caótico, mas com uma difereça fudametal com relação a este: dados dois estados iiciais diferetes, a distâcia etre os estados após algum tempo cotiua costate. A Figura 3 abaixo apreseta a difereça do espaço de estados e do mapa de círculo, etre o sistema apresetado um comportameto periódico e quase-periódico. Observa-se que o quase-periódico cobre todo o espaço de estados, e coseqüetemete, todo o Mapa de Círculo. Figura 3: Difereça etre comportameto periódico e quase-periódico o espaço de estados e o Mapa de Círculo Matematicamete a quase-periodicidade pode ser apresetada da seguite forma: sejam Ω 1 e Ω 2 as duas freqüêcias fudametais do sistema diâmico. Caso elas sejam comesuráveis, ou seja, caso a equação 2.6 abaixo: a Ω + a Ω 0 (2.6) = ode a 1 e a 2 são úmeros iteiros, apresetar uma solução diferete da trivial, etão o sistema percorrerá uma órbita fechada ao redor do toróide, sedo o seu comportameto, este caso, periódico. 12

14 Caso cotrário, ou seja, o caso das freqüêcias fudametais do sistema serem icomesuráveis etão eles percorrerá todos os potos do espaço de fase sem voltar ao poto iicial, apresetado, assim, um comportameto quase-periódico. No caso de um sistema liear, ou seja, quado ele pode ser represetado pela equação (2.4), fica fácil observar que ele apresetará comportameto quase-periódico somete quado as suas freqüêcias foram icomesuráveis, ou seja, se uma delas for irracioal. Já o caso de um sistema ão-liear, represetado pelo mapa de círculo padrão (eq. 2.5) ão se pode afirmar algo desta atureza diretamete, uma vez que uma freqüêcia atua sobre a outra, ão sedo assim idepedetes e costates como é o caso liear. Assim, para a determiação do tipo de comportameto de um sistema ão-liear faz-se uso de um ovo parâmetro deomiado úmero de rotação e defiido como mostra a equação 2.7 a seguir: W θ θ0 = lim (2.7) Quado o úmero de rotação assume um valor racioal p / q, o sistema apreseta um comportameto periódico. Caso seu valor seja irracioal, observa-se que o sistema apreseta um comportameto quase-periódico. No caso do Mapa de Círculo Padrão, para valores do parâmetro k cotidos o itervalo de zero até um, que será o itervalo de valores cosiderado este trabalho, o sistema apreseta apeas dois comportametos periódico ou quase-periódico. É fácil observar que o caso de k = 0 (sem acoplameto ão liear), W = ω. 2.3 Líguas de Arold e Escadaria do Diabo Um estudo iicial do comportameto do Mapa de Círculo leva diretamete a perguta: para que valores de parâmetros o sistema apreseta um comportameto periódico? A sua resposta, etretato, ão é simples de ser obtida diretamete, uma vez que é difícil aaliticamete calcular o valor do úmero de rotação para cada cojuto de valor de parâmetros. A solução prática mais utilizada é a simulação da evolução do mapa para umerosos destes cojutos até que o úmero de rotação de cada um ecotrado. 13

15 A apresetação clássica deste resultado é através de um diagrama k x ω, em que, caso o mapa apresete um comportameto periódico, o poto que o represeta o diagrama é pitado de preto, equato para outros casos ele é pitado de braco. A Figura 4 a seguir, obtida com a ferrameta computacioal desevolvida a parte aterior deste trabalho, apreseta tal diagrama. Figura 4: Líguas de Arold Nela observa-se uma estrutura como se fossem líguas (daí seu ome de Líguas de Arold), que aumetam de largura com o aumeto do coeficiete de acoplameto ão-liear k. Cada lígua represeta o sistema travado em uma razão p / q. No caso desta figura, devemos lembrar que apeas os potos o qual o sistema apreseta comportameto periódico com úmero de rotação igual a 0, ¼, ½, ¾ e 1 estão marcados. Para o valor de k = 0, ou seja, sem acoplameto ão liear, o sistema apreseta comportameto periódico apeas se ω for racioal, em cocordâcia com o que já foi explicado a seção aterior. Assim, existem ifiitos valores de ω para os quais, com k = 0, o sistema apreseta comportameto periódico. Etretato, etre dois úmeros racioais cosecutivos, sempre existe um irracioal, desta forma, os potos relativos ao comportameto periódico ão formam ehum itervalo, apresetado medida topológica ula. 14

16 À medida que o valor de k aumeta, tais potos evoluem para itervalos. Desta forma, observa-se que o acoplameto ão-liear permite que o sistema apresete um comportameto periódico mesmo que suas freqüêcias aturais sejam icomesuráveis. Daí a estrita relação do feômeo de travameto de freqüêcia com a ão-liearidade do sistema. No caso limite de k = 1, os itervalos toram-se largos o suficiete de forma que os valores de ω para os quais o sistema apreseta comportameto quase-periódico toram-se um cojuto de medida ula. Se ao ivés de se variar o valor de k e ω, e apeas verificar se o úmero de rotação (W) do sistema é racioal ou ão, o valor de k for fixado em 1, e o valor de W for plotado em fução de ω, obtêm-se um outro tipo de diagrama, deomiado Escadaria do Diabo, ovamete fazedo alusão à sua forma. A Figura 5 a seguir apreseta tal diagrama obtido através de uma ferrameta computacioal em ambiete MATLAB desevolvida ao logo desta etapa do trabalho / 1 W o o taça R d e e r o N u m / 3 1 / 4 1 / 2 2 / 3 3 / / Omega Figura 5: Escadaria do Diabo Observa-se esta figura iúmeros patamares, cada um correspodete a uma lígua que aparece a Figura 4, sedo a figura formada com características de um fractal, apresetado 15

17 semelhaça cosigo própria. Cada patamar represeta uma razão p/q de travameto de freqüêcia. No caso de se fazer o mesmo procedimeto para um valor de k iferior à 1, observa-se uma figura similar, que também apreseta tais patamares. A difereça, etretato, é que este caso, os patamares ão preecherão totalmete o itervalo, sedo que existirão regiões, com dimesão maior do que zero, de comportameto quase-periódico etre dois patamares. 2.4 Série de Farey Joh Farey ( ) foi um geólogo iglês e ão um matemático [O Coor et al]. Mesmo assim, devido a uma iteressate observação sua a respeito dos úmeros racioais, seu ome foi imortalizado a matemática com as chamadas séries de Farey. Tal observação foi feita em seu artigo de 1817: O a curious property of vulgar fractios, publicado a revista Philosophical Magazie. Em tal artigo, com apeas quatro parágrafos, ele defiiu as séries de Farey e auciou a sua curiosa observação. A série de Farey de ordem (F N ) é defiida como o cojuto de todos os úmeros racioais, escritos a forma de frações irredutíveis, de forma que o coeficiete máximo de tais fuções seja igual a, orgaizadas de forma crescete. Assim, por exemplo, a série de Farey de ordem cico é a seguite: ( F N ) =,,,,,,,,,, (2.8) A curiosa propriedade desse cojuto de frações orgaizado dessa maeira é a seguite: dada uma fração qualquer pertecete à série ela, é a mediate etre as duas fuções adjacetes à ela. Matematicamete, dadas três frações cosecutivas (a/b, c/d, e/f) temos que: c a e a + e = = (2.9) d b f b + f Tal propriedade pode ser facilmete observada a partir da série de Farey de ordem cico apresetada acima: = = e = = = (2.10)

18 Farey ão demostrou tal propriedade, apeas a euciou, e, o último parágrafo do artigo disse que deixava está prova para algum leitor matemático. Cauchy publicou a demostração o mesmo em seu livro Exercises de mathématiques. Tal demostração, que se utiliza da árvore de Ster-Brocot está fora dos escopos deste trabalho. Existem algumas discussões a respeito da descoberta desta propriedade ser creditada a Farey. Em 1802, Haros publicou um artigo em que esiava a costruir o que era a série de Farey de ordem 99. Para esta costrução ele utilizava essa propriedade das fuções o que, etretato, ão provava. De qualquer forma o ome do cojuto de frações ficou sedo Séries de Farey. Aalisado agora a relação desta observação matemática com o feômeo do travameto de freqüêcia. Voltado a Figura 5, observa-se que os dois maiores estão as extremidades da escada correspodetes ao úmero de rotação travado em 0 e 1. O próximo, em ordem decrescete de tamaho, é o relativo ao úmero de rotação ½. Cotiuado a aálise, é possível observar que os próximos são os patamares correspodetes a 1 / 3 e 2 / 3, e assim por diate. Observa-se assim, que a orgaização e tamaho dos patamares de travameto de freqüêcia o Mapa de Círculo obedecem à hierarquia da Série de Farey [Kapraff et al.]. Tal iformação é a base de partida deste trabalho. A idéia é camihar com o sistema através da Escadaria do Diabo até o patamar desejado seguido desde os patamares meores até o desejado. Tal procedimeto é ecessário devido à existêcia de ifluêcias exteras e ruídos o caso de sistemas físicos reais, coforme será explicado melhor a seção em que discute o aspecto geral dos sistemas de cotrole desevolvidos. 17

19 CAPÍTULO 3 ESTUDO DA EVOLUÇÃO DO VALOR DO NÚMERO DE ROTAÇÃO AO LONGO DA ESCADARIA DO DIABO Na maioria dos casos de cotrole de sistemas discretos, o parâmetro observável é uma gradeza defiida a cada iteração. No caso do mapa de círculo, etretato, esse ão é o caso, uma vez que o úmero de rotação é defiido como um limite. Como tal parâmetro seria a variável observável para o sistema de cotrole, coforme será explicado a próxima seção deste relatório, fazia-se ecessário um estudo que revelasse qual a melhor forma de se obter seu valor através das simulações computacioais da evolução do Mapa de Círculo, e qual a ifluêcia dos parâmetros do sistema este cálculo. Todos programas para se fazer tais simulações foram desevolvidos ao logo do trabalho em plataforma MATLAB. Para se resolver a primeira destas questões, foram testados métodos que se baseiam em comparar os valores da seqüêcia do úmero de rotação calculado ao logo dos ciclos de iteração. Caso a difereça absoluta etre eles fosse meor do que um determiado valor defiia-se como limite o valor do último. A difereça etre os métodos é apeas o úmero de termos da série testados, mais precisamete dois, três ou quatro. Como resultado desta comparação, observa-se que os métodos ão apresetam resultados sigificatemete diferetes para o valor do úmero de rotação, apeas diferem pelo úmero de ciclos até que o limite seja atigido. Desta forma optou-se por uma solução itermediária, aalisado-se os três últimos termos da seqüêcia de forma a reduzir o esforço computacioal. Esse foi o método usado em todo o trabalho que se procedeu a essa comparação. A seguir, buscou-se estudar o segudo problema, ou seja, a variação do úmero de iterações ecessário para que a seqüêcia do úmero de rotação tede a um limite para os diferetes potos da Escadaria do Diabo, ou seja, para diferetes valores de ω matedo-se k = 1. 18

20 Isto foi feito sobrepodo a escadaria com o gráfico do úmero de iterações ecessárias para se obter o limite para cada valor de ω. A Figura 6 abaixo apreseta o resultado para toda a escadaria, cosiderado-se 500 diferetes valores de ω aalisados e uma precisão do limite de x W o a c R ota e d o e r N u m 0.5 e ra e It d o e r m N u Omega a ci ge e r v o c a te 1 e s o c Figura 6: Estudo da covergêcia do úmero de rotação Observa-se esta figura uma forma bastate iteressate para a curva que liga o úmero de iterações ecessário para que o valor do úmero de rotação covirja. Nota-se, em particular, que esta curva é simétrica com relação ao eixo vertical que passa pelo valor ω = 0,5, e que de forma geral, segue uma forma que lembra uma fução seo, para cada lado deste eixo de simetria, mas com um úmero muito grade de picos potuais, para diversos valores de ω. Com o objetivo de se estudar mais a fudo a razão do comportameto característico desta curva, foram feitas simulações com itervalos limitados, porém mais refiados, de valores de ω. A Figura 7, a seguir é um exemplo do resultado de tal estudo. Neste caso, os cálculos foram refeitos apeas o itervalo de Ω etre 0,32 e 0,38 de forma a observar o que ocorre com tal curva as proximidades do patamar relativo a fração 1/3. O úmero de divisões e critério de covergêcia aplicados foram os mesmos daquele da Figura 6. 19

21 0.4 x W o a o tac R d e e r o N u m Omega cia g e e r C ov te o esa c ra d eite o e r N u m Figura 7: Estudo da covergêcia do úmero de rotação em um itervalo restrito Destaca-se, a Figura 7, a forma particular da curva referete ao úmero de iterações o iterior do patamar de travameto de freqüêcia. Tal forma, bastate defiida, foi observada em outros patamares e também com outras cofigurações de critério de parada de iterações e refiameto do itervalo, o que sugere ser um comportameto geral do Mapa de Círculo Padrão. Em cada extremo de patamar, existe um pico para o úmero de iterações até a covergêcia, equato que ao logo do itervalo este valor decresce até que atige um bico, ode a curva ão é suave, e tora a crescer até o outro pico o outro extremo do patamar. Este bico ão é, etretato, localizado o cetro do patamar. Isto pode ser explicado pelo formato das líguas de Arold, apresetadas a Figura 4 ateriormete. Não é difícil observa que se fosse marcado uma liha média em cada lígua, várias delas ão são paralelas ou eixo de k. Isto porque elas se acomodam, sem sobreposição, à medida que vão tedo a sua largura aumetada com o icremeto do valor do parâmetro k. A partir deste resultado para um patamar, tora-se simples explicar o comportameto da curva ao logo da Escadaria do Diabo. Em cada um dos ifiitos patamares, observa-se um comportameto similar ao apresetado para o patamar da Figura 7. Para cada extremo deles observa-se um pico, por isso os iúmeros picos que podem ser vistos a Figura 6. Ademais, 20

22 este primeiro estudo observou-se que quato maior a largura do itervalo, maior o valor de seus picos. Tal afirmação ão pode ser provada, etretato, pois variado-se o critério usado para defiição do limite e o úmero de divisões do itervalo aalisado de ω, foram observadas algumas variações o tamaho dos picos. Isso pode ser explicado pricipalmete pela amostragem de potos. A divisão do itervalo aalisado era uiforme, de forma que ão se pode garatir que o verdadeiro extremo do patamar foi aalisado. Este iteressate comportameto da covergêcia do úmero de rotação do Mapa de Círculo, que a pricípio ão era esperado, motivou algumas outras experiêcias. Estas foram feitas com casos em que o valor do parâmetro k era diferete de 1 e o que fixado-se o valor de ω e variado-se k, foi realizada uma varredura das líguas de Arold o setido perpedicular àquele da Escadaria do Diabo usual. Os resultados obtidos para ambos estes estudos foram similares aos já apresetados para o caso de k = 1. O cohecimeto deste comportameto pode ser também usado para o desevolvimeto de um sistema de cotrole do travameto de freqüêcia, uma vez que os picos de dificuldade de covergêcia são evidêcias da existêcia de um patamar. Como o objetivo iicial do trabalho, ão era utilizar este cohecimeto, e sim, apeas a Série de Farey, optou-se por deixar a implemetação de um sistema deste tipo como sugestão de um trabalho futuro. 21

23 CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE CONTROLE APLICADOS AO MAPA DE CIRCULO E RESULTADOS OBTIDOS O objetivo do trabalho é cotrolar um sistema físico do qual ão temos cohecimeto de todos os seus parâmetros, os métodos de cotrole elaborados atuam recebedo como sial de etrada apeas o úmero de rotação do sistema. A partir da observação deste valor, o algoritmo forece um ovo sial de cotrole (δ) até que o sistema fique com seu úmero de rotação travado o patamar desejado. A Figura 8 a seguir apreseta o diagrama de blocos do sistema com o sistema de cotrole aplicado. Sist. Físico (Mapa de Círculo) Número de Rotação (W) Sial de Cotrole (δ) Sist. De Cotrole Figura 8: Diagrama de blocos do sistema cotrolado Tal sial de cotrole, atua o mapa de círculo como uma excitação extera idepedete, de forma que o Mapa de Círculo Cotrolado pode ser expressado pela fução 4.1 a seguir: k θ + 1 = θ + ω + se(2πθ ) + δ 2π mod1 (4.1) A pricípio, o trabalho do sistema de cotrole, bastado levar o sistema, por meio de modificação dos parâmetros k e/ou ω. Em sistemas físicos reais, etretato, existem ruídos e ifluêcias exteras que atrapalham, ou em muitos casos até impossibilitam o sistema de se mater com os mesmo valores de parâmetros. Daí a importâcia de se colocar o sistema em meio a um itervalo de travameto de freqüêcia. Desta forma, garate-se uma margem de seguraça para que o sistema possa apresetar modificações em seus parâmetros sem que seu comportameto se modifique. Depededo da razão p/q desejada para o valor do úmero de rotação, etretato, este itervalo é muito pequeo, de forma a dificultar ao máximo a operação de se colocar o 22

24 sistema exatamete este itervalo de travameto de freqüêcia diretamete. A idéia, portato, é que o sistema de cotrole camihe sobre a Escadaria do Diabo, de forma a passar de um itervalo maior para o seguite em escala decrescete de tamaho, até que o patamar desejado seja alcaçado. Para exemplificar esta idéia, a Figura 9 a seguir apreseta o camiho sobre a Escadaria do Diabo ecessário para colocar o sistema o patamar referete a fração 3 / 5. Figura 9: Camiho realizado pelo sistema ao logo da Escadaria do Diabo 4.1 Algoritmo de Busca O primeiro algoritmo utilizado apreseta mais características de um método de busca do que de cotrole. Nele, valores máximos e míimos possíveis para o sial de cotrole são armazeados e atualizados de acordo com o úmero de rotação ecotrado. O sial de cotrole testado é o valor médio deste itervalo. Seguido tal procedimeto, ecotra-se um itervalo de cotrole tão pequeo quato se ecessite para que o sistema assuma determiado comportameto. Supõe-se uma situação iicial, ode ehuma iformação acerca dos parâmetros do sistema que está sedo modelado pelo mapa de círculo é cohecida. A pricípio, o valor do sial de cotrole pode assumir todos os valores desde -1 até 1. Queremos o sistema primeiramete travado com úmero de rotação igual a ½. O sial de cotrole iicial é zero e itera-se o mapa 23

25 até que se obteha o valor de seu úmero de rotação. Caso tal úmero seja maior do que ½, etão sabemos que devemos usar um sial de cotrole egativo, logo osso itervalo é atualizado para -1 até 0. O próximo sial de cotrole a ser testado é etão o -0,5 e assim progressivamete. De forma geral podemos descrever matematicamete este sistema de acordo com as equações de (4.2) até (4.4) apresetadas a seguir. δ max + δ mi δ [ δ mi ; δ max ] δ = (4.2) 2 se W > δ max = δ (4.3) W des se W < δ mi = δ (4.4) W des A questão que surge é o que fazer depois que o sistema está travado em determiado patamar ½, e é ecessário travá-lo a próxima fração seguido a série de Farey. O itervalo utilizado o método está, este mometo, bastate restrito e provavelmete ão cotém mais o sial de cotrole ecessário para que o sistema teha seu úmero de rotação travado esta outra fração. Devemos, etão, ter um método artificial de ampliação deste itervalo. A primeira idéia testada foi ampliar tal itervalo de forma totalmete arbitrária, escolhedo um valor seguro como, por exemplo: 0,5. O resultado desta experiêcia é apresetado a Figura 10 a seguir: Numero de Rotacao do Sistema Sial de Cotrole Ciclos de Cotrole Figura 10: Exemplo de resultado do algoritmo de busca 24

26 Observa-se que cada vez que o úmero de rotação desejado muda de valor, ou seja, quado o sistema ecotra-se sobre um patamar da escadaria e passa a buscar o próximo de acordo com a ordem da série de Farey, ocorre uma variação bruta do sial de cotrole, e, coseqüetemete, do úmero de rotação do sistema. Tais potos estão destacados pelas setas a Figura 10, que apotam para grades variações após uma seqüêcia de valores que tedem para um úmero as duas curvas. Tais mudaças bruscas são o resultado deste método de ampliação do itervalo e implicam em aumetar o tempo de covergêcia do sistema para o comportameto desejado. 4.2 Algoritmo Itegral Ao ivés de desevolver métodos mais elaborados para a redefiição deste itervalo do algoritmo de busca, optou-se por ivestir mais tempo o estudo dos outros algoritmos de cotrole, desta vez baseados a teoria clássica de cotrole, a fim de se obter melhores resultados. Esses tipos de cotroladores são em geral aplicados o caso de sistemas cotíuos, de forma que foram adaptados para o caso do Mapa de Círculo é tem por característica ser um sistema discreto. O primeiro algoritmo de cotrole tipo a ser testado baseia-se o cohecido cotrolador itegral. Neste tipo de cotrolador, o sial de cotrole é proporcioal à itegral dos siais de erros, ou seja, às difereças etre o sial de etrada e o de saída para todos os casos ateriores. Tal tipo de cotrolador foi utilizado, uma vez que um algoritmo baseado o cotrolador proporcioal ão fucioaria o caso do mapa de círculo, uma vez que o sial de cotrole deve ser diferete de zero mesmo quado ão exista erro. Ou seja, deve existir um sial de cotrole, em geral diferete de zero, para o sistema se comportar da forma desejada. Ao ivés de somar todos os valores de erro ateriores para cada ovo sial de cotrole, basta acrescetarmos a ele o fator proporcioal ao valor do erro atual. Matematicamete, sedo δ o sial de cotrole, tem-se que: i i= 1 δ = δ + k W W = k W W (4.5) i des i des 25

27 Nesta equação, k i é o fator de proporcioalidade. Nos casos clássicos de cotrole aplicados a sistemas simples como, por exemplo, sistemas cotíuos de primeira ou seguda ordem, é possível resolver a sua equação diferecial de forma que um valor ótimo para k i pode ser calculado. Já o caso do mapa do círculo, tal aálise é bastate mais complicada. Desta forma, optou-se por fazer testes com vários valores de k i, buscado aquele que levasse, com o meor úmero de ciclos de cotrole, o sistema para o comportameto desejado. As Figura 11 e Figura 12 abaixo apreseta os resultados para o primeiro estudo deste modo realizado. Escolheu-se o valor de 4 / 13 para o úmero de rotação desejado em que o sistema fique travado. Mapas de círculo com diferetes valores para o parâmetro ω foram iterados com um sistema de cotrole utilizado diferetes valores de k i, sedo aotado o úmero de ciclos de cotrole ecessários para que o sistema atigisse o comportameto desejado. Para cada cojuto de ω e k i testado, aida foram feitas cico tetativas de cotrole com fase iicial radômica. Com os resultados tirou-se a média e o desvio padrão do úmero de ciclos de forma a estudar a ifluêcia deste fator o tempo de cotrole. o d ja D ese m ar P ata o e a t s lo ic C d e s o e r N u m Omega = 0,0 Omega = 0,1 Omega = 0,2 Omega = 0,3 Omega = 0,4 Omega = 0,5 Omega = 0,6 Omega = 0,7 Omega = 0,8 Omega = 0,9 Omega = 1, Coeficiete de Proporcioalidade k Figura 11: Variação do úmero de ciclos de cotrole em fução de k i 26

28 30 s lo ic C d e e r o m N u o d o P adra io D esv o d ja D ese m ar P ata o e a t Omega = 0,0 Omega = 0,1 Omega = 0,2 Omega = 0,3 Omega = 0,4 Omega = 0,5 Omega = 0,6 Omega = 0,7 Omega = 0,8 Omega = 0,9 Omega = 1, Coeficiete de Proporcioalidade k Figura 12: Desvio padrão dos resultados apresetados a Figura 11 A primeira observação que deve ser feita diz respeito à ifluêcia do valor de ω quado um mesmo valor de k i é utilizado o algoritmo. Observa-se que todas as dez curvas apresetadas em ambas figuras são praticamete coicidetes. Resultados semelhates foram obtidos quado outro úmero de rotação foi escolhido como objetivo do sistema de cotrole. Desta forma, cocluí-se que o valor de ω do sistema ão é decisivo a velocidade desse algoritmo. Já a extremidade esquerda do gráfico, relativa a valores de k i superiores a um, maiores discrepâcias etre as curvas são observadas. Para estes potos, etretato, o desvio padrão dos resultados, para valores de fase iicial diferetes também é bastate grade. A explicação para tais discordâcias será dada mais à frete quado os comportametos padrões para cada valor de k i forem comparados. Observado agora o formato das lihas da Figura 11, três comportametos completamete distitos de acordo com o valor de k i podem ser idetificados: próximo de zero, itermediário e para valores maiores do que um. Para melhor compreesão de tais comportametos, a Figura 13 abaixo apreseta a evolução do úmero de rotação de quatro mapas de círculos com parâmetros exatamete iguais, usado diferetes valores para o coeficiete de proporcioalidade do sial de cotrole. Para facilitar a visualização, os diferetes patamares são marcados com as lihas tracejadas e idetificados. 27

29 W o o taça R d e e r o N u m k = 0,15 k = 0,60 k = 1,20 1 / 2 1 / 3 4 / 13 2 / 7 1 / Ciclos de Iteraçao 3 / 10 Figura 13: Evolução do úmero de rotação do sistema com diferetes valores de k i. Para valores do coeficiete de proporcioalidade próximos de zero, o úmero de ciclos de cotrole até o travameto em cada um dos patamares é muito grade. Isso porque a cada ovo ciclo, a mudaça do sial de cotrole e, coseqüetemete do úmero de rotação do sistema, é muito pequea, já que k i é pequeo. Por isso, a medida que tal fator aumeta, o úmero de ciclos ecessários para o sistema alcaçar o úmero de rotação desejado dimiui. No caso do valor itermediário k i = 0,6 observa-se que o sistema rapidamete alcaça cada um dos patamares, em geral com apeas dois ciclos de cotrole, sedo o cotrolador extremamete eficiete. Coforme já era esperado pelo estudo do resultado apresetado a Figura 11. Por fim, para o caso de valores de k i grades, observa-se que o úmero de ciclos de cotrole ecessários para se alcaçar cada um dos patamares é ovamete elevado. Isso porque, em vários casos, o icremeto do sial de cotrole é muito grade, o que o leva para um valor maior ou meor do que o ecessário para o travameto de freqüêcia desejado. Em algus casos tal problema agrava-se a poto de uca se obter a covergêcia, uma vez que o sial de cotrole acaba travado em uma seqüêcia de valores que se repete ifiitamete. Esse comportameto é o resposável pela grade variação as curvas da 28

30 Figura 11, e dos altos valores de desvio padrão represetados a Figura 12 para tais valores de coeficiete de proporcioalidade. Para valore muito altos de tal costate (k i > 1,5) foram observados casos em que o sistema torou-se istável. O resultado era o sial de cotrole ficar travado alterado etre dois valores, e o úmero de rotação do sistema assumir os seus valores máximos 0 e Algoritmo Proporcioal-Itegral Como terceiro e último algoritmo que foi testado este trabalho, optou-se por uma adaptação do cotrolador clássico proporcioal-itegral. A difereça para o cotrolador itegral reside apeas o fato de que existe, por parte deste cotrolador, uma êfase maior o valor atual do erro. Neste caso, a equação do sial de cotrole era ligeiramete diferete da do cotrolador clássico, ovamete motivado pelo fato do cotrolador clássico ser aplicado para sistemas cotíuos, sedo represetada pela equação (4.6) a seguir: 1 1 i i= 1 δ = k W W + k W W (4.6) p des i des Aalogamete ao caso do algoritmo itegral, o primeiro passo foi estimar valores para as duas costates de osso algoritmo k p e k i. Para isso foi foram feitas experiêcias variadose ambos estes coeficietes. A Figura 14 a seguir apreseta o resultado de um estudo bastate similar ao apresetado a Figura 11, desta vez para este algoritmo, e sem variação da fase iicial, que foi escolhida arbitrariamete. O úmero máximo de ciclos de cotrole permitidos para cada combiação de valores foi fixado em 150. Observa-se esta figura que para valores pequeos de k p, que o caso do cotrolador itegral levam a um úmero muito grade de ciclos de cotrole, o uso de um cotrolador proporcioal-itegral, pode melhorar em muito a sua eficiêcia. Um exemplo é o caso de k i = 0,2, que quado k p = 0 (cotrolador itegral), o cotrolador ecessita de aproximadamete 60 ciclos de cotrole para travar o sistema a razão desejada, equato com k p = 0 esse úmero passa para aproximadamete 25 ciclos. Nota-se que os potos em azul escuro, que represetam o meor úmero de ciclos de cotrole ecessários, aparecem a região de baixos valores de k p e altos para k i. 29

31 Outro fato iteressate observado é a tedêcia de que, quato maior o valor de k p, meor o valor de k p para a máxima eficiêcia do cotrolador. Figura 14: Ifluêcia dos coeficietes k p e k i a atuação do cotrolador proporcioal derivativo Para valores itermediários e grades de k p, etretato, o uso do cotrolador proporcioalitegral apreseta pior eficiêcia do que o uso do itegral somete. Tal comportameto pode ser observado pela região azul teder a se mover para baixo com o aumeto do valor de k p. Para um estudo melhor da ifluêcia do termo proporcioal, fez-se a aálise do histórico de úmeros de rotação e sial de cotrole para o caso de k p = 0,2. O resultado é apresetado a a seguir. Nota-se claramete, este caso que o valor de k i = 0,4, represeta uma sigificate melhora a eficiêcia do cotrolador. Etretato, o caso de k i = 0,6, o sistema torasse istável e uca o valor do úmero de rotação desejado é coseguido. Esta istabilidade é semelhate àquela ocorrida o caso do algoritmo itegral somete, com a difereça que, aumetado-se o valor de k p, o valor de k i máximo ates da istabilidade decresce. 30

32 0.8 W o Ki = 0,0 Ki = 0,2 Ki = 0,4 Ki = 0,6 1 / 2 o taça R d e e r o N u m / 3 4 / 13 1 / 4 3 / 10 2 / Numero de Ciclos de Cotrole Figura 15: Evolução do úmero de rotação do sistema com diferetes valores de k i com k p costate igual a 0,4 31

33 CAPÍTULO 5 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE PARA O SISTEMA DO PÊNDULO FORÇADO E AMORTECIDO Coforme explicado durate a itrodução, o objetivo fial do trabalho é desevolver um sistema de cotrole para o travameto de freqüêcia o caso de sistemas físicos. A aplicação dos sistemas de cotrole desevolvidos para o Mapa de Círculo foi importate para testar os resultados e o próximo passo é aplicá-los a sistemas reais. Tal estudo está em desevolvimeto este mometo de forma que esta seção busca apeas apresetar a relação etre a relação etre as equações difereciais que modelam o comportameto do sistema forçado e amortecido e o Mapa do Círculo. Esta dedução será aqui apresetada de forma resumida. No sistema físico existe um pêdulo ligado a um poto fixo o espaço que só pode se movimetar o plao vertical. Tal pêdulo está sujeito à ação de um amortecimeto proporcioal a sua velocidade agular, a uma força gravitacioal com aceleração costate e uma força extera de módulo regido por uma fução co-seo, com uma freqüêcia fixa. A Figura 16 a seguir apreseta um esquema do sistema com as forças atuates. Figura 16: Esquema do sistema físico Aplicado a seguda Lei de Newto para este sistema, facilmete obtêm-se a equação diferecial (5.1) apresetada a seguir. 32

34 .... t θ + γ θ + siθ = Acos( ω ) (5.1) Aplicado a discretização de Naive para a derivada temporal [Ott ] a equação acima, temos, para θ defiido segudo a equação (5.2), a equação (5.3), ambas apresetadas a seguir: θ 2π = θ t = ω (5.2) θ θ + θ + (1 b)( θ θ ) + Kseθ = (1 Ω (5.3) b) Ode: 2π 2π A 2π ( 1 b ) = γ ; Ω = ; K = (5.4) ω ω γ ω Assim, fazedo: r = 1 θ θ + Ω (5.5) Obtêm-se: θ 1 + Ω Kse + br (5.6a) + = θ θ r +1 = br Kseθ (5.6b) Aalisado-se as equações (5.6 a e b), tora-se possível imagiar que o comportameto do sistema de alguma forma esteja ligado ao do Mapa de Círculo. Etretato, elas ão formam uma coexão rigorosa etre os dois modelos. Uma prova umérica foi forecida em 1983 por Jese, resolvedo umericamete a equação (5.1). Ele mostrou que, tomado o valor de θ em itervalos múltiplos do período da força extera, para certos valores de parâmetros, obtêm-se um Mapa de Círculo uidimesioal. 33

35 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS As coclusões que foram tiradas até este mometo do trabalho dizem respeito pricipalmete à aplicação dos algoritmos de cotrole ao Mapa de Círculo. Uma vez que aplicação ao sistema do pêdulo forçado e amortecido aida está sedo estudada, de forma a apresetar os resultados o termia da bolsa de iiciação cietífica ao fial de julho deste ao. Como pricipal coclusão do trabalho podemos dizer que a orgaização dos feômeos de travameto de freqüêcia o Mapa de Círculo Padrão através da série de Farey permite o desevolvimeto de algoritmos simples, mas que podem ser bastate eficietes o cotrole deste tipo de sistemas. Do resultado dos estudos de covergêcia do úmero de rotação, chegou-se uma uma técica alterativa de método de cotrole, baseada a forma característica da curva do úmero de iterações até que esse limite seja obtido. Algoritmos de cotrole que se baseiem este cohecimeto podem ser temas de trabalho futuros. Detre os algoritmos aqui propostos e aalisados cocluí-se que o de busca é bastate deficiete e que em casos práticos deve-se optar pelo uso de um dos outros dois baseados em cotroladores clássicos para sistemas diâmicos cotíuos. A defiição sobre qual destes dois algoritmos usar o caso do cotrole de um sistema diâmico cotíuo ão foi possível com apeas este trabalho. Através deste estudo, é possível estimar valores de teste iiciais para os parâmetros do cotrolador, mas estudos mais específicos cosiderado pricipalmete a facilidade e custo de cada um dos cotroladores devem ser feitos ates de se fazer qualquer escolha. De qualquer forma, o trabalho executado até o presete mometo cumpriu seu objetivo de servir de base para a coclusão do trabalho fial de aplicar os algoritmos de cotrole de forma eficiete para o sistema do pêdulo forçado e amortecido, que será a próxima etapa do projeto já em fase de adameto. 34

36 Além disso, apeas a primeira parte do trabalho já redeu uma apresetação o IV Cogresso Temático de Diâmica, Cotrole e Aplicação (DINCON 2005). E o objetivo é, ao fial do trabalho escrever um artigo para publicação em revista iteracioal da área de mecâica ão-liear. 35

37 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Arold, I. V. Small deomiators I: mappig the circumferece ito itself. MAS Tras. Series 2,46,(1965),213 Barker, G.L. ad Gollub J.P. Chaotic Dyamics a itroductio. 2º Editio, Cambridge. pp Beect, M.; Schatz, M. F.; Rockwood, H.; Wiesefeld, K. Huyges clocks. Dispoível em: Di Doato, P. F. A.; Macau, E. E. N. Diâmica caótica e travameto de freqüêcia em mapas acoplados. Relatório fial de projeto de iiciação cietífica INPE 2004 Kappraff, J. e Adamso, G.W. A Fresh Look at Numbers dispoível em: Macau, E. E. N. Sicroização em sistemas caóticos: fudametos e aplicações. Aais do 2º Cogresso Temático de Diâmica, Cotrole e Aplicações, SBMAC 2003, São José dos Campos SP. O Coor, J.J. e Robertso, E.F. Joh Farey. Dispoível em: Ott, E. Chaos i dyamical Systems. Cambridge. cap 6, pp