Processamento de Sinal

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1 APSI - Processameto de Sial Processameto de Sial Coceitos, Métodos e Aplicações Teto Tutorial da Disciplia: APSI - LEEC J.P. Marques de Sá msa@fe.up.pt Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Porto J.P. Marques de Sá J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

2 APSI - Processameto de Sial ÍDICE oções Fudametais de PDS Revisão Siais e Sistemas Discretos Géese e Represetação dos Siais Discretos Tipificação de Sistemas Discretos.... Trasformadas Descrição as Frequêcias de Siais Cotíuos Descrição as Frequêcias de Siais Discretos Amostragem Recostrução de Sial Trasformada de Fourier de Siais Discretos Trasformada Discreta de Fourier Trasformada em z Processameto de Sial com SLITs Resposta Estabilidade de SLITs Eergia, Potêcia, Correlação e Autocorrelação Bibliografia J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

3 APSI - Processameto de Sial 3 Símbolos variável * cougado de t sial cotíuo sial discreto Ω Trasformada de Fourier de siais cotíuos Trasformada de Fourier de siais cotíuos úmero de amostras T período f frequêcia Hz f l frequêcia de corte iferior f c frequêcia de corte superior Ω frequêcia agular f radiaos para siais cotíuos frequêcia agular f radiaos para siais discretos t degrau de Heaviside, discreto δ impulso de Dirac, discreto sic seo cardial de si/ operador de covolução tede para implica em correspodêcia com defiida por, equivalete a J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

4 APSI - Processameto de Sial 4 Abreviaturas PDS Processameto Digital de Sial sse se e só se db decibel J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

5 APSI - Processameto de Sial 5 oções Fudametais de PDS Revisão. Siais e Sistemas Discretos.. Géese e Represetação dos Siais Discretos Amostragem e quatificação de siais cotíuos coversão A/D para processameto automático. Sequêcias resultates de modelos matemáticos de feómeos reais p. e. modelo de crescimeto de uma população: p+ kp-p, k >. Sequêcias proveietes de dados reais p. e. temperatura máima diária. Cosideramos que cada valor discreto dista do seguite do mesmo itervalo de tempo: período taa de amostragem costate, T s. T s : Período de amostragem s f s : Frequêcia de amostragem Hz uma amostra em cada T s segudos T s J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

6 APSI - Processameto de Sial 6 a aálise harmóica de siais discretos ver Figura. usamos o coceito de frequêcia agular: f : Frequêcia agular radiaos Figura.. Um seo discretizado com f / f s.5. a si Ts a sif, < < + f s J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

7 APSI - Processameto de Sial 7 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Todos os siais discretos se podem represetar facilmete à custa de somas de impulsos de Dirac discretos: δ k k k δ Dado um sial ão causal, estudamos, por vezes, a versão causal de, u, com < u, degrau de Heaviside

8 APSI - Processameto de Sial Figura.. Seo, oda quadrada e impulso de Dirac, com f / f s.5, amostrados a f s.5 Hz esquerda e f s Hz direita. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

9 APSI - Processameto de Sial 9 A discretização A/D de um sial cotíuo implica: Amostragem Quatificação Cada uma destas operações vai impor alterações o sial. A amostragem é tratada em..3. Quatificação e Erro de Quatificação: Quatificação de, em um de A+ íveis de quatificação de amplitude : [ ] q, A Supõe-se o passo de quatificação,, costate. O erro de quatificação é, etão: e q q J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

10 APSI - Processameto de Sial A eergia de um sial discreto é: E Dado que esta quatidade pode ser ifiita, ormalmete avaliamos a eergia um itervalo fiito [, ]: e calculamos a potêcia média: E, P Dado um ruído de potêcia média P, defie-se razão sial-ruído: P SR ; SR db log P P P J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

11 APSI - Processameto de Sial Supodo que o ruído de quatificação tem uma distribuição uiforme em [- /, /], temos: P variâcia da distribuição uiforme; Para uma siusóide cobrido [, A ], temos: SR db log A P, P logo, a relação sial-ruído para o erro de quatificação é: SR db log A 8 P. e. se usamos 8 bits de quatificação, temos A 8 55, logo: 55 SR db log 5 8 db J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

12 APSI - Processameto de Sial.. Tipificação de Sistemas Discretos Sistema Discreto y h Figura.3. Um sistema de processameto de siais discretos. Sistemas Lieares: h + h + h aditividade h a a h escalameto Sistemas Ivariates o Tempo: h k y k com y h J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

13 APSI - Processameto de Sial 3 Sistemas Lieares Ivariates o Tempo SLIT: h a k + a k a y k + a y k com y h e y h Liearidade Variâcia Temporal Estacioaridade Sistemas ão-lieares Sistemas Lieares Sistemas Ivariates o Tempo Sistemas Variates o Tempo Sistemas Lieares Ivariates o Tempo Figura.4. Classificação de sistemas J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

14 APSI - Processameto de Sial a b c -.5 d -.5 Figura.5 Sistema h a Liear, ivariate o tempo - - b Liear, variate o tempo / c ão-liear, ivariate o tempo d ão-liear, variate o tempo / J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

15 APSI - Processameto de Sial 5 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Fórmula Geral dos SLIT: M i i y b i a. Propriedades dos SLIT: Resposta de covolução: k k h k h h y, com h h δ, resposta impulsioal do sistema. A figura seguite ilustra graficamete a operação de covolução. otar a refleão da resposta impulsioal imposta por h k. P. e., para o sial causal da Figura.6, temos: y h + h + h +... Se os comprimetos do sial e da resposta forem respectivamete e M, o comprimeto da saída é + M cofrotar com Figura.6.

16 APSI - Processameto de Sial 6 h a b c d y e f Figura.6. Sial de etrada a, resposta impulsioal do sistema b, fases da covolução c: y, d: y, e: y e saída f de comprimeto J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

17 APSI - Processameto de Sial 7 Esta é a versão discreta da covolução para SLIT cotíuo: h t t h t u h t u du Demostração: Trivial, tedo em cota que k k δ k otar: h h comutatividade logo, h h h k h k para siais causais k J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

18 APSI - Processameto de Sial 8 Eemplo: h [.5.. [ : oda quadrada causal sial de saída, y a h b c Figura.7. Uma resposta impulsioal a, um sial de etrada b e respectiva saída c. y h-.5.5 y h- + h y3 h3- + h3- + 3h J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

19 APSI - Processameto de Sial 9. Trasformadas.. Descrição as Frequêcias de Siais Cotíuos Sea t um sial cotíuo e Ω a Trasformada de Fourier: Ωt Ωt t Ω e dω Ω t e dt. De: Ω tcos Ωt si Ωt dt, decorre que: Fuções pares Ω é real Fuções ímpares Ω é imagiário Também se mostra facilmete que: a t + by t a Ω + by Ω Ωt t t e Ω t y t Ω Y Ω t y t Ω Y Ω atraso o tempo J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

20 APSI - Processameto de Sial Espectros de Fourier importates: a Impulso rectagular -a q a t /a t +a QΩ Seo cardial para a t /a Q - /3 Figura.8. Impulso rectagular de área uitária e seu espectro. otar que sic. a a Ωt si Ωt si Ωa Q Ω e dt sic Ωa a aω.3 Ωa a a J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

21 APSI - Processameto de Sial Família de fuções q a t: q a t dt ; q t ϕ t dt ϕ a a Situação para a : q a t δt impulso de Dirac δ t ϕ t dt ϕ Q Ω a a.5 Figura.9. Espectro do impulso rectagular de área uitária para valores decrescetes de a. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal

22 APSI - Processameto de Sial Família de fuções: a q a t A multiplicação por a matém uitária a amplitude dos impulsos. Situação a : a - a 5-4 Figura.. Espectro do impulso rectagular de amplitude uitária para valores crescetes de a. Espectro eibe lobos com amplitudes crescetes feómeo de Gibbs, devido às descotiuidades Amplitude do primeiro lobo: 4a / 3 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

23 APSI - Processameto de Sial 3 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 b Fução de Gauss σ σ σ σ Ω Ω e G e t g t Situação para σ : ; Ω σ σ δ G t t g Sea: σ σ σ σ σ Ω Ω e G e t g t Situação para σ : ; Ω Ω δ σ G σ t g dualidade tempo-frequêcia

24 APSI - Processameto de Sial 4 c Suavização de descotiuidades usado o impulso de Gauss Sea: agσ t qa t si Ωa e Ω Ω σ Escolhedo, p.e. σ a/ o feómeo de Gibbs é ateuado, os lobos são decrescetes, obtedo-se etão covergêcia para o impulso de Dirac as frequêcias. Situação σ a/ e a : a - a 5 - Figura.. Covergêcia as frequêcias do impulso rectagular de amplitude uitária, suavizado por uma fução de Gauss, para o impulso de Dirac. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal

25 APSI - Processameto de Sial 5 d Espectro de siusóides.5.5 t / / t si wt -.5 t Ω -w Ω +w Figura.. Um seo e o seu espectro. Ω si wt e Ωt dt si wtcos Ωt si Ωt dt Ímpar Só para Ω ±w Resultado semelhate para coseos, origiado impulsos de Dirac reais. Sugestão: Efectuar uma aálise detalhada do resultado aterior, usado uma fução limitada o tempo, qt. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

26 APSI - Processameto de Sial 6 e Pete de Dirac ΩT s p t δ t T P Ω e.4 s Demostração: pt -T s +T s +T s +3T s Figura.3. Pete de Dirac t δ t C Ω Pela propriedade do atraso temporal, δ t k e Ωk J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

27 APSI - Processameto de Sial 7 Propriedades da T. Fourier cotíua: a t + by t a Ω + by Ω Liearidade t Ω Dualidade at Ω, a a a > Escalameto Ωt t t e Ω t t e Ω Ω Atraso o tempo Atraso a frequêcia t y t Ω Y Ω Covolução a frequêcia t y t Ω Y Ω Covolução o tempo t Ω Ω Difereciação t u du Ω + δ Ω Itegração Ω J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

28 APSI - Processameto de Sial 8 t cos t t si t Ω + Ω Ω * t y t dt Ω Y Ω d [ Ω + Ω + Ω ] Ω [ ] Ω Modulação Teorema de Parseval Algumas Trasformadas Úteis: e at δ t δ Ω ut + Ω Ω δ sgt cos t [ δ Ω + Ω + δ Ω ] q a t u t, a > Ω Ω si Ωa Ωa a + Ω J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

29 APSI - Processameto de Sial 9.. Descrição as Frequêcias de Siais Discretos Cosideremos a descrição de siusóides em tempo discreto, tomado, sem perda de geeralidade, T s f s : a cos + θ, < < Verifica-se facilmete que: A siusóide só é periódica, i.e., + k, sse f / for um úmero racioal. A maior frequêcia de oscilação de uma siusóide discreta ocorre para ± ou f ±/ J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

30 APSI - Processameto de Sial f f f.5 f.5 Figura.4. Siusóides discretas para várias frequêcias de amostragem. -.5 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

31 APSI - Processameto de Sial 3 Siusóides cuas frequêcias agulares diferem de um múltiplo iteiro de equivaletemete, as frequêcias absolutas diferem de um úmero iteiro são idêticas f.5 f.875 Figura.5. Siusóides discretas cuas frequêcias diferem de um iteiro: f f -.5 Para siais discretos deseamos, etão, uma descrição as frequêcias do tipo: e d.5 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

32 APSI - Processameto de Sial 3..3 Amostragem Sea t um sial cotíuo e uma sua versão discreta com T s. Usado o pete de Dirac.4 e aplicado a trasformada iversa., temos: p t t Ω e Ω dω Dividido o itervalo de itegração em sub-itervalos de largura, temos: m+ Ω m m e Ω dω As siusóides discretas com atrasos múltiplos de são idêticas, logo podemos rescrever a epressão aterior como: com a represetação as frequêcias [, ] + e em vez de ] [ J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Ω,. d,

33 APSI - Processameto de Sial 33 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Portato: d e com: + Obtivemos uma descrição as frequêcias como deseávamos.5, sedo: A resposta as frequêcias de um sial discreto é a soma de um úmero ifiito de traslações da resposta as frequêcias do respectivo sial cotíuo origial, para múltiplos da frequêcia de amostragem. Em geral, para T s : s s s T T T s s d e T T / / + s s T T

34 APSI - Processameto de Sial 34 Para siais discretos, o par de trasformadas de Fourier é: T s / Ts T s Ts e d Ts e / Ts Ts.6 Sítese Aálise Dada a periodicidade de, basta represetar o itervalo [, s [ [, [ para T s ou, alterativamete, [-, [. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

35 APSI - Processameto de Sial 35 otas:. Aloctoicidade "Aliasig" Da sobreposição de traslações de espectros, resulta o critério de yquist de ão distorção espectral do sial discretizado: f h < f s / com f h a maior frequêcia do espectro do sial cotíuo. f f f f -f h +f h a Espectro origial do sial cotíuo -f s +f s +f h +f s f b Espectro do sial discreto sem aloctoicidade f +f -f s h +f s +f s +3f s c Espectro do sial discreto com aloctoicidade Figura.6. Espectro de um sial cotíuo a e espectro do sial discretizado, satisfazedo b ou ão c o critério de yquist. a prática todos os siais ao serem discretizados sofrem distorção devido à aloctoicidade. Porquê? J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

36 APSI - Processameto de Sial 36. Espectro do impulso rectagular discreto. Sea: T s.; a.5 / T s ; /a. qt t Figura.7. Um impulso rectagular de largura a, amostrado com período T s.. Alterativamete podemos efectuar o estudo cosiderado o período de amostragem uitário, T s, e a 5. As coclusões, a meos de um factor de escala as frequêcias, são as mesmas. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

37 APSI - Processameto de Sial Figura.8. Soma de traslações do espectro do impulso rectagular, de s com [-4, 4]. /a J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

38 APSI - Processameto de Sial 38 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Sea o impulso rectagular com amostras cetradas, ímpar, de amplitude / T s. t / qt -/ --/ Usado.4, temos: e e e e e progressão geométrica / / Multiplicado ambos os termos por / e, obtém-se: si si / si / si f f e e e e

39 APSI - Processameto de Sial s/5 / Figura.9. Detalhe da figura aterior com o espectro teórico sobreposto a vermelho. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

40 APSI - Processameto de Sial 4 otar: O espectro de um impulso rectagular discreto é semelhate a um seo cardial chama-se fução de Dirichlet. A difereça deve-se à aloctoicidade. Os zeros do espectro ocorrem para frequêcia múltiplas de /. Em particular, o primeiro zero ocorre a f l /. Para o eemplo aterior, temos: f l / f s fl l Sea fs f o espectro de para a frequêcia de amostragem f s. Etão: f / f f fs s Usaremos, etão, sempre sem perda de geeralidade, f s frequêcia de amostragem ormalizada. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

41 APSI - Processameto de Sial 4..4 Recostrução de Sial Dado um sial qual o sial t de que proveio? Supodo o critério de yquist satisfeito, a recostrução de t passa por efectuar a filtragem das réplicas espectrais ver Figura.6 com o iterpolador ideal: Hf f -f h +f h Figura.. Iterpolador filtro passa-baio ideal. Logo: f h Ωt sif ht H f h t e dω.7 f t f h h com d t versão cotíua do sial discreto. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 f H f t h t h t d

42 APSI - Processameto de Sial 4 Se a iterpolação é realizada à máima frequêcia, f h f s /, temos a recostrução: t d t h t si t t Eemplo: Figura.. Recostrução de um coseo discretizado. São mostradas apeas cico fuções de iterpolação ht -, [-, ]. a prática, devido à aloctoicidade há sempre perda de iformação, logo uca é possível recuperar iteiramete o sial origial. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

43 APSI - Processameto de Sial 43 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3..5 Trasformada de Fourier de Siais Discretos Propriedades: b a b a + + Liearidade e k k Atraso o tempo e Atraso a frequêcia Refleão a a a Escalameto H h Covolução Y S l y l l r y y Correlação S l r T. Wieer-Khitchie λ λ λ d Y y Multiplicação k k k k d d Difereciação cos + + Modulação * * Cougação d Y y * * T. Parseval

44 APSI - Processameto de Sial 44 Simetria: Tempo Frequêcia Real Par Ímpar Par Ímpar Real Imagiário Ímpar Par Ímpar Par Imagiário J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

45 APSI - Processameto de Sial 45 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Algumas trasformadas de Fourier úteis: Siais aperiódicos δ / si si + > L a L L a < c c c si, < < a ae a Siais periódicos cos δ δ + + a a si δ δ + + a a [ ] - k, período Fourier, de série discreta, k k k k k k e c k c e c δ.8

46 APSI - Processameto de Sial 46 Eemplos: a SLIT com resposta impulsioal: h δ δ Este eemplo simples permite ilustrar vários aspectos importates. Veamos: h Logo, h correspode à resposta impulsioal de um sistema de cálculo de difereças fiitas. e cos + si cos + si si arctg cos J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

47 APSI - Processameto de Sial 47 O sistema proporcioa uma aproimação da derivada do sial Figura.. Amplitude esquerda e fase "erolada" direita da resposta de um sistema de difereças fiitas. A resposta correspodete à derivada está idicada a traceado. A fase é liear. Usado a epressão acima com arctg obtém-se a característica de fase "erolada" da Figura., eibido descotiuidades. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

48 APSI - Processameto de Sial 48 Frequetemete, uma epressão polar é mais elucidativa. e e e e e si A fase é, de facto, liear: e e / Figura.3. Fase "deserolada" da resposta de um sistema de difereças fiitas. otar o atraso iicial de /, correspodete ao atraso de "meia amostra" para uma versão cetrada da resposta, com o comprimeto de amostras. Este atraso é icoveiete do poto de vista iterpretativo e computacioal. Preferese, assim, um valor ímpar de. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

49 APSI - Processameto de Sial 49 b SLIT com resposta impulsioal: h + δ δ - e e si Figura.4. Resposta em amplitude de δ+ - δ -. Versão cetrada, ão causal: fase ula. Versão causal: fase. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

50 APSI - Processameto de Sial 5 a c, a < < ae ae a cos + a si Figura.5. Decaimeto epoecial a com a.8 / [ a cos + a si ] arctg a si a cos J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

51 APSI - Processameto de Sial Figura.6. Amplitude e fase do decaimeto epoecial acima d a, a < a a < Sea: ; ; a < < Etão: a a cos + a J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

52 APSI - Processameto de Sial Figura.7. Amplitude e fase do decaimeto epoecial simétrico com a.8. e /, impulso triagular de + amostras. > Figura.8. Impulso triagular com + amostras 5. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

53 APSI - Processameto de Sial 53 O impulso triagular correspode à covolução de impulsos rectagulares de comprimeto : si / q q si /..8 / Figura.9. Amplitude espectral do impulso triagular cheio e rectagular traceado. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

54 APSI - Processameto de Sial 54 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3..6 Trasformada Discreta de Fourier Sea a trasformada de Fourier de um sial discreto.6 com frequêcia ormalizada: e Supohamos que amostramos com espaçameto : [ ],, / k e k k Subdividido em itervalos de largura, cada com termos, temos: + + l k l l e k / Mudado em l e trocado a ordem dos somatórios, obtém-se: / k l e l k

55 APSI - Processameto de Sial 55 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Logo, k represeta, de facto, a série de Fourier do sial periódico: l p l otar: Discreto o tempo periódico as frequêcias. Discreto as frequêcias periódico o tempo. Discreto e periódico o tempo discreto e periódico as frequêcias. Epadido p em série de Fourier.8, temos: / / com k p k k k k p e c e c Comparado com resultado aterior, verifica-se que: [ ] /,, ; k k p k e k k c

56 APSI - Processameto de Sial 56 Trasformada Discreta de Fourier mesmas propriedades da trasformada de Fourier para siais discretos: otar: p p k DFT k k e k p p e IDFT k deverá ser maior que o comprimeto de, para que p correspoda a traslações ão sobrepostas de, caso cotrário temos aloctoicidade o tempo. Aumetado, através da ução de amostras de valor ulo a, aumetamos a resolução a frequêcia, /. A avaliação de p k só ecessita de um período de p. Eemplo: Cosidere o seguite sial com período de ms:.5,,.5, para >. Calcule a DFT do sial para um espaçameto as frequêcias de Hz. Dado que f s KHz, o espaçameto de Hz correspode a uma resolução de /. potos em. Logo: k 9 e k J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

57 APSI - Processameto de Sial 57 Portato: / 5 k / 5 k / 5 k k + e + e e +.5 cos k / 5 este caso, dado que o sial é simétrico em toro da amostra cetral, a trasformada é real e simétrica a meos do factor de atraso e k/5. A amplitude da DFT é mostrada a figura seguite Figura.3 Há vários algoritmos de cálculo rápido da DFT/IDFT, deomiados FFT "Fast Fourier Trasform". J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

58 APSI - Processameto de Sial Trasformada em z Defiição: De.6 temos a geeralização: z z, z C.9 com z defiida em toda a região do espaço compleo ode a série coverge. Sea a represetação polar: z θ z re r a região de covergêcia de z, devemos ter z <. Mas: θ e θ θ z r e r e r Logo, a sequêcia r deve ser absolutamete somável. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

59 APSI - Processameto de Sial 59 ote-se, em particular, que se a série coverge o círculo uitário, etão: Vatages da geeralização: e Facilita o cálculo de trasformadas. Permite uma fácil iterpretação geométrica da resposta de SLITs. Possibilita estudar a resposta para outros regimes de etrada para além de siusóides, p.e. z ae. Eemplo: a u z az A série geométrica ifiita coverge para Idicamos: az sse z > a. z z > a az J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

60 APSI - Processameto de Sial 6 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Propriedades: z b z a b a + + Liearidade z z k k Atraso o tempo z H z h Covolução z Y z z R k y k k r y y Correlação λ λ λ λ d z Y y Multiplicação dz z d z Difereciação z a a Escalameto z Refleão * * * z Cougação lim causal z z Valor iicial lim causal z z z Valor fial i z z z z Y i y, z > ma{, raio de cov. z} p periódica, p p + z z z z p, z > As regiões de covergêcia deverão ser idicadas. P. e.., para o escalameto temos:,, q a p a q p z a z

61 APSI - Processameto de Sial 6 Algumas trasformadas úteis: otar, p. e.: z Região de Covergêcia δ Todo o z u z a u az a u az az a u az cos u z cos z cos + z si u z z si cos + z z - < z - < a z - < a z - < a z - < z - < a u, a < az z e ae J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

62 APSI - Processameto de Sial 6 Trasformada Iversa: c z z dz, sedo c um cotoro qualquer a região de covergêcia. Frequetemete, determia-se a trasformada em z recorredo à epasão em fracções e tedo em cota as propriedades e trasformadas cohecidas. Eemplo: De a u az, deduz-se pela regra de difereciação: a u z d dz az az az J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

63 APSI - Processameto de Sial 63 Relação da DFT com a trasformada em z: z z e k e k Logo: p k e k Os coeficietes da DFT são os valores de z avaliados em potos igualmete distribuídos o círculo uitário. Eemplo: Decaimeto epoecial, a u, com a.5. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

64 APSI - Processameto de Sial a b arg.6.4 arg c Figura.3. Amplitude acima e fase abaio do decaimeto epoecial com a.5. À esquerda, usado a trasformada de Fourier cotíua. À direita, usado a DFT com 8, calculada para os primeiros valores de. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 d -.6

65 APSI - Processameto de Sial log Figura.3. Comparação etre a trasformada iversa da DFT aterior preto e o sial origial vermelho. otar a difereça a escala logarítmica, abaio. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

66 APSI - Processameto de Sial Figura.33. Amplitude da DFT dos 8 primeiros potos do decaimeto epoecial, usado 3. otar a melhor resolução as frequêcias comparar com a Figura.3a. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

67 APSI - Processameto de Sial 67.3 Processameto de Sial com SLITs.3. Resposta Dado um SLIT.: i ormalmete cosidera-se b uitário: M a i b y ou i z - z - z - a a a a - a M b i y i y 4 i b b parte ão recursiva parte recursiva Σ y -b M-... -b -b z - y-m+... Figura.34. Sítese caóica de um SLIT supõe-se b uitário. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 z - y- z - y-

68 APSI - Processameto de Sial 68 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 Temos: + M i i i z Y b z Y z a ou + M i i i z b z Y z a z Logo, a resposta do sistema o domíio z, é: z D z z b z a z z Y z H M i i i + Zeros do umerador: zeros da resposta em frequêcia. Zeros do deomiador: polos da resposta em frequêcia. Poliómios com coeficietes reais: zeros e polos são reais ou compleos cougados.

69 APSI - Processameto de Sial 69 Im e Zeros zeros de z Re Polos zeros de Dz Figura.35. Fução de trasferêcia o domíio z com zeros e polos compleos cougados. Dado que com coeficietes reais os polos e zeros ou são reais ou compleos cougados, basta fazer a represetação o semi-círculo uitário superior. Epressão de Hz, em pólos e zeros: H z a i M z z z i z J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

70 APSI - Processameto de Sial 7 Eemplos: a Ver 'Eemplo a' em..5 h δ δ H z z zero em. l Im e Re A característica de amplitude do sistema é dada pelo comprimeto l da corda que ue o poto do círculo uitário ao zero: H l cos + si b Ver 'Eemplo c' em..5 h a u J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

71 APSI - Processameto de Sial 7 H z polo em /a az Im e l Re A característica de amplitude do sistema é dada pelo iverso do comprimeto l da corda que ue o poto do círculo uitário ao polo: H l a cos + a si J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

72 APSI - Processameto de Sial 7 Sistema só com zeros: i K i y a i a + a + + a Resposta impulsioal de comprimeto fiito,. Fase liear Sistema só com pólos: Sistema de Média Movete MA + M y + b y + b y + K Sistema Auto-Regressivo AR Resposta impulsioal de comprimeto, frequetemete, ifiito. Fase, frequetemete, ão-liear. Sistema com pólos e zeros: ARMA. + y M + J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

73 APSI - Processameto de Sial Estabilidade de SLITs Para um sistema de etrada limitada gerar uma saída também limitada, a resposta impulsioal h deve obedecer à codição ecessária e suficiete de estabilidade: Mas: o círculo uitário, temos: h < H z h z h z H z h Logo o sistema é estável se a região de covergêcia cotiver o círculo uitário. O iverso é também verdadeiro. Um SLIT causal tem a sua região de covergêcia em z - o iterior do círculo uitário ver u, logo: Um SLIT causal é estável sse todos os seus pólos estão detro do círculo uitário. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

74 APSI - Processameto de Sial 74 Eemplos: a H z az a h H J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

75 APSI - Processameto de Sial J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

76 APSI - Processameto de Sial E+5. 4E+5 3.5E+5.8 3E E+5 E+5.5E+5. E+5 5E E+5. 8E+5 7E E+5 5E+5 4E+5 3E+5 E+5 -. E Figura.36. Resposta impulsioal e amplitude espectral do decaimeto epoecial causal para vários valores de a. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

77 APSI - Processameto de Sial 77 b H z + az + bz Seam z re z re os pólos cougados de Hz. Temos: *, H z re z re z r cos z + r z A resposta impulsioal pode, etão, ser iterativamete calculada, como: h δ ah bh, com a r cos b r Por outro lado, decompodo em fracções, temos: A H z re + z re B z, J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

78 APSI - Processameto de Sial 78 com rz Ae A + B + Be e A si e B si e si[ ] Portato: e + h re si re r si si Figura.37. Resposta impulsioal do sistema de ressoâcia digital para r.93 e.8 a.7; b.833. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

79 APSI - Processameto de Sial 79 É possível mostrar que: Eemplo + r Frequêcia de ressoâcia: r cos cos.7 r Largura de bada 3 db: r.75 Gaho para r : r + r r cos 8.9 Figura.38. Resposta em amplitude para o eemplo aterior. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

80 APSI - Processameto de Sial 8 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3.4 Eergia, Potêcia, Correlação e Autocorrelação - Vimos que a eergia de um sial discreto é dada por: E Rescrevedo: d e E * * Trocado a ordem de itegração e soma, obtém-se: d e E * d E relação de Parseval A quatidade S é chamada desidade espectral de eergia de. Para siais reais, *, logo: S S i.e., a desidade espectral de eergia é uma fução par, pelo que basta estudá-la o itervalo [, ].

81 APSI - Processameto de Sial 8 - Potêcia média de um sial uma aela de a : sedo E a eergia uma aela de a. Sial de eergia: sial com eergia fiita Sial de potêcia: sial com potêcia fiita 3 - Correlação cruzada de dois siais discretos: P lim + E r y l y l, l, ±, ±, K siais de eergia fiita Facilmete se coclui que: r y r y l ry l trocado com y obtém-se a mesma correlação se reflectirmos em toro de l. l y l l relação com a covolução A figura seguite ilustra graficamete a operação de correlação, usado os siais da Figura.6. otar que ão eiste a refleão da resposta impulsioal como a covolução. O comprimeto da correlação é também + M como a Figura.6. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

82 APSI - Processameto de Sial 8 y a b c d rl e Figura.39. Fases da correlação com sial y avaçado a: r-3 e usa y+3; b: r- e usa y+, y alihado temporalmete com c e y atrasado d: r; e: r, e saída f de comprimeto J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 f -3 l

83 APSI - Processameto de Sial 83 J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3 4 Autocorrelação correlação de um sial cosigo próprio: ± ± l l l r K,,,, As versões limitadas o tempo dos siais em [, ] são: k i y l y l r k i l l r com < para, para, l l k i l k l i

84 APSI - Processameto de Sial 84 Propriedades: - De r l r l resulta r l r l, i.e. a autocorrelação é sempre uma fução par. y y a b c rl d e f l -3 Figura.4. Sucessivas fases da autocorrelação de um sial assimétrico. A autocorrelação, f, é sempre simétrica. - Sea a combiação liear de dois siais de eergia: a + by l J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

85 APSI - Processameto de Sial 85 Etão a r + b r + abr l Dode: yy y ry l r ryy e r l r E 3 - O escalameto ão modifica a forma da correlação, apeas a amplitude absoluta, logo é habitual ormalizar: ry l ρ y e r r yy ρ r r l 4 - ry l S y Y, espectro de desidade de eergia cruzada dos siais. 5 - Teorema de Wieer-Khitchie. Sea um sial real; etão: r l S J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

86 APSI - Processameto de Sial Sea o sial: y + w, ode é um sial periódico de período e w um sial aleatório. Temos: r l r l + r l + r l r l yy w w + r l eibe picos em múltiplos de ; r w l e r w l terão pequea cotribuição dado a ão-correlação etre e w; fialmete r ww l terá um pico em e decaimeto rápido. Portato, r yy l revelará a periodicidade de. ww a b Figura.4. acoseo de amplitude.8 e período com ruído uiforme em [-, ]; b Autocorrelação do sial aterior; a periodicidade é claramete visível. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

87 APSI - Processameto de Sial 87 Correlação e autocorrelação em SLITs De: deduz-se: Logo: r y y h, [ l ] l y l l h l l. r y l h l r l. Portato, a correlação cruzada pode ser vista como a resposta do sistema à autocorrelação. Também se deduz: r yy [ h l l ][ h l l ] r l r l y l y l l r hh l eiste se o SLIT é estável e etão, se a etrada é de eergia, a saída também o é, e ideticamete se é de potêcia. Também: rhh l r l r l, o que permite obter a eergia ou potêcia de saída a partir das autocorrelações. yy hh J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

88 APSI - Processameto de Sial 88 as trasformadas temos: S y z H z S z e S yy z H z H z S z ou, equivaletemete: S H S e S H S y yy A eergia total do sial à saída é: E Se tem um espectro costate horizotal, E, etão: y ryy H S d ou, equivaletemete, S y H E H S y E h ry E Este é um método que pode ser usado para determiar a resposta impulsioal de um sistema descohecido. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3

89 APSI - Processameto de Sial 89.5 Bibliografia Kuc R 988 Itroductio to Digital Sigal Processig. Mc Graw-Hill, Ic. Lider DK 999 Itroductio to Sigals ad Systems. Mc Graw-Hill, Ic. Lyos RG 997 Uderstadig Digital Sigal Processig. Addiso Wesley Logma, Ic. Oppeheim AV, Schafer RW, Buck JR 999 Discrete-Tima Sigal Processig. Pretice-Hall Ic. Papoulis A 984 Sigal Aalysis. McGraw-Hill, Ic. Proakis JG, Maolakis DG 996 Digital Sigal Processiog. Priciples, Algorithms ad Applicatios. Pretice Hall It., Ic. Rabier LR, Gold B 975 Theory ad Applicatio of Digital Sigal Processig. Pretice-Hall, Ic. Schwarz M, Shaw L 975 Sigal Processig: Discrete Spectral Aalysis, Detectio ad Estimatio. McGraw Hill. Steiglitz K 974 A Itroductio to Discrete Systems. J. Wiley & Sos, Ic. Tretter SA 976 Itroductio to Discrete Time Sigal Processig. J. Wiley & Sos, Ic. J.P. Marques de Sá - Fac. Eg. Uiv. do Porto, Portugal 3