TEMA 1 TRANSFORMADA DE FOURIER

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1 TEMA 1 TRANSFORMADA DE FOURIER O primeiro tema do curso é a Trasformada de Fourier (TF e a sua aplicação à aálise de séries temporais de valores. A aplicação da TF ão se restrige, cotudo, à aálise de séries temporais ou espaciais. A sua utilização é vasta e serão apresetadas algumas aplicações outras áreas. O que é a Trasformada de Fourier A operação matemática cohecida por trasformada é bastate comum em matemática aplicada ou a Física Matemática. De facto, há muitas trasformadas, etre elas as trasformadas itegrais de Laplace, de Hakel e de Fourier. Cosidere-se a fução s(t, cotíua e periódica, de período 2L. Como se sabe esta fução pode ser represetada por uma série de Fourier, com ao t t s( t ( a cos b se (1 2 L 1 L a b 1 L 1 L L L L L t' s( t'cos dt', L t' s( t' se dt', L 0 1 (2 Se a fução s(t ão fôr periódica, a sua represetação por série de Fourier ão é possível. No etato, se a fução for absolutamete itegrável, isto é, se s ( t' dt' (3 Pode ser represetada por um itegral de Fourier, 0 s( t ( A( cost B( set d (4 com 1

2 1 A( 1 B( s( t' cos t' dt', s( t' set' dt', 0 0 (5 Este resultado pode ser percebido como uma extesão da aplicação da represetação em série de Fourier se se cosiderar que a fução s(t é defiida o itervalo [-L, L] e extedida de modo periódico para fora desse itervalo. Reescreva-se (4 a forma complexa, vem sucessivamete, s( t ( A( cost B( set d s( t' (cost' cost set' set dt' d s( t' cos( t t ' 0 0 s( t' ( e s( t' ( e s( t' e i( tt' i( tt' i( tt' e dt' d dt' d dt' d i( t t' dt' d 0 s( t' ( e i( t t' dt' d Pode-se etão escrever o desevolvimeto em itegral de Fourier do seguite modo, (6 s( t s( t' e it ' dt' e it d (7 O itegral detro de parêtesis rectos defia uma trasformada itegral: a trasformada itegral de Fourier. A Trasformada itegral de Fourier (directa é defiida por: dt (8 Note-se que o termo TF iversa. 1 pode aparecer a defiição da TF directo ou apeas a 2 2

3 A TF é, pois, uma fução complexa, isto é, tem parte real e imagiária, ou, S (9 (10 ode é a magitude e a fase dadas, repectivamete por, (11 Im( S ( f arctg ( (12 Re( S O cálculo de uma fução a partir da sua TF é cohecido por Trasformada Iversa de Fourier e defie-se do seguite modo, 1 i (2f t s( t S( f e df 2 (13 Diz-se, etão, que as fuções S(f e s(t costituem um par trasformado e represetam-se, aqui, pelo símbolo. Exemplo 1.1. Calcule-se a TF da seguite fução, e x( t 0 a 0 at t 0 t 0 Tem-se, sucessivamete, dt = dt = dt Fialmete, 3

4 A figura seguite mostra os gráficos correspodetes à fução x(t e a sua TF quado a = 1. Note-se que a parte real é simétrica equato a parte imagiária é ímpar, isto deve-se ao facto de x(t ser uma fução real. Na figura seguite mostram-se as amplitude e fase da TF. 4

5 Trasformada de Fourier de algumas fuções importates Dada a sua importâcia estuda-se em seguida a TF de algumas fuções. 1. Fução rectâgulo, impulso ou box A fução rectâgulo é defiida do seguite modo: a f ( t 0 T t T T t T A TF desta fução é cohecida como fução sic e desempeha um papel muito importate a aálise de siais, TF{f(t} = F(ω = 2a se(ωt ω 2. Delta de Dirac A fução delta de Dirac é defiida por, δ(t = { +, t = 0 0, t 0 5

6 Isto é, a fução delta de Dirac é zero excepto o poto t=0 ode assume o valor ifiito. A fução satisfaz aida a codição, δ(t dt = 1 A TF da fução delta de Dirac é uma fução geeralizada defiida por TF{δ(t} = δ(t e iωt dt = e 0 = 1 3. Cosseo Seja a fução cosseo de frequêcia a, f(t = A cos(2πf o t Esta fução é uma fução par pelo que a sua TF apeas terá parte real ão ula sedo a parte imagiária ula. A TF desta fução será, 6

7 TF{A cos(2πf o t} = A cos(2πf o t e i2πf t dt = A (ei2πfot + e i2πfot e i2πf ot dt = 2 A (e i2π(f fot + e i2π(f+fot dt = A 2 2 [δ(f f o + δ(f + f o ] 4. Pete de Dirac O pete de Dirac é costituído por uma série ifiita de deltas de Dirac, separados de um itervalo T, (t = δ( t i T i= 7

8 A TF do pete de Dirac é também um pete de Dirac o domíio da frequêcia, Δ(f = 1 T δ( f i 1 T i= 5. Fução Degrau A fução degrau uitário ( step é defiida por 1 u ( t 0 t 0 t 0 8

9 A TF é, TF{u(t} = πδ(ω + 1 iω 9

10 Propriedades da Trasformada de Fourier A TF goza de algumas propriedades importates: 1. Liearidade. Seja S(f a TF da fução s(t e G(f a TF da fuçao g(t. A TF da fução h(t = a s(t + b g(t é dada por, H(f = a S(f + b G(f 2. Traslação. Seja S(f a TF da fução s(t. A TF da fução s(t a é TF{s(t a} = e ifa S(f 10

11 3. Escalameto. Seja S(f a TF da fução s(t. A TF da fução s(a t é TF{s(a t} = 1 a S(f a 11

12 4. TF de fuções pares e ímpares. A A parte imagiária da TF de uma fução par é ula. B A parte real da TF de uma fução ímpar é ula. 12

13 A Trasformada Discreta de Fourier (TDF A defiição de TF dada, eq. (8, aplica-se a fuções cotíuas e absolutamete itegráveis. Como se poderá obter a TF de fuções discretas? Uma fução discreta pode ser descrita como uma fução em que a variável toma valores discretos, isto é, ão varia cotiuamete e, portato, apeas são cohecidos os valores da fução para esses valores da variável. Por exemplo, a fução discreta da fução do Exemplo 1, é represetada pelos valores 0.819, 0.670, 0.549, 0.449, 0.368, se se cosiderarem os seguites valores da variável t, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2. Uma fução discreta é, pois, descrita por um cojuto de valores uméricos e pode ser represetada por xi ou x(ti com i = 0, 1, 2, 3,...N sedo N o úmero de valores cohecidos. Os valores de x são cohecidos para os valores ti da variável. A Trasformada Discreta de Fourier (TDF é defiida por S k N 1 j0 s j e 2 k i( j N (14 k 0,1, 2... N 1 ode i represeta a uidade complexa i = 1. 13

14 Exemplo de código em MATLAB para o cálculo da TDF do sial y com valores: fuctio[z]=tfdd(y, % y sial de etrada % úmero de valores em y % z TDF for k=1: som=0; for j=1: som=som+y(j*exp(-2*pi*i*(j-1*(k-1/; ed z(k=som; ed retur ed Em MATLAB o cálculo da TDF pode ser realizado pela fução fft(sial ou fft(sial,. Detalhes do uso destas fuções podem ser vistos em: Exercício 1.1 Cosidere-se o sial yi resultate da amostragem (a uma taxa de 1000 amostras por segudo da fução ode y = 0.9*si(2*pi*fo*t+0.2*si(2*pi*f1*t+oise oise = 0.2*rad(size(t ode fo =60 Hz e f1 = 130 Hz sedo rad uma fução do MATLAB para geral úmeros aleatórios. Calcule-se a TDF do sial amostrado. % Dados do Problema Duracao = 1; f0 = 60 f1 = 130; %taxa de amostragem: f = 1000; dt = 1/f; % período de amostragem ou itervalo de amostragem t = 0:dt:Duracao; % cria vector que começa em 0 e acaba a duração total, do itervalo, com um espaçameto de dt = legth(t; % comprimeto do vector t y =0.9*si(2*pi*f0*t+0.2*si(2*pi*f1*t+0.2*rad(1,; figure plot(t.*1000,y; title('sial'; % da um titulo ao grafico xlabel('t (ms'; ylabel('y(t'; % poe a legeda os eixos %[Y] = TFDd(y,; poderia usar-se a fução defiida acima Y = fft(y,; 14

15 % calculo do espectro -> Yr = real(y; Yi = imag(y; S = sqrt(yr.^2+yi.^2; S(1=[]; % o primeiro valor obtido é a média do sial, ão faz parte do espectro e portato ão é cosiderado fase=ata((yi./yr*180/pi; % se fosse ecessário calcular a fase yquist=1./(2*dt; %freq de yquist fmi=1/duracao; %freq miima freqs=lispace(fmi,yquist,/2 % vetor das frequêcias subplot(2,1,2 plot(freqs,s(1:/2 % a 2a metade do espectro é o complexo cojugado da 1a metade title('espectro'; xlabel('f (Hz'; ylabel('s(f'; A figura seguite mostra o sial amostrado ode facilmete se recohece-se que cotém, pelo meos, dois siais de frequêcia diferete: um de baixa e outro(s de alta frequêcia. A figura seguite mostra o espectro de potêcia do sial. Note-se: a que o espectro é simétrico em toro da frequêcia de 500 Hz pelo que é ecessário retirar a 2ª metade do mesmo (freq>500; b a maior eergia aparece associada à frequêcia próxima de 60 Hz; c há um segudo pico o espectro associado à frequêcia próxima de 130 Hz. 15

16 Covolução e o teorema da covolução A operação de covolução, etre duas fuções cotíuas x(t e h(t é defiida por: y(t = x h = x(τ h(t τdτ A figura seguite represeta em esquema a operação de covolução etre as duas fuções seguites, Exemplo: A figura seguite mostra a covolução etre um pete de Dirac e uma fução rectâgulo, 16

17 Se as fuções estiveram digitalizadas (discretizadas a uma taxa T a operação é dada por, N 1 y(kt = x(kt h(kt = x(it h[(k it] i=0 17

18 Exemplo: Calcule-se, graficamete, a covolução das seguites fuções, Tem-se, sucessivamete, 18

19 O Teorema da covolução estabelece o seguite: sejam os pares de Fourier x(t X(f e h(t H(f etão, TF{x(t h(t} X(f H(f Isto é, a TF da covolução de duas fuções é igual ao produto das respectivas TFs, e TF{x(t h(t} X(f H(f E a TF do produto de duas fuções é igual à covolução das respectivas TFs. Este resultado é por vezes desigado por teorema da covolução o domíio da frequêcia. O teorema da covolução é fudametal o estudo dos sistemas lieares, como veremos o tema seguite, mas pode ser usado para obter resultados, de um modo mais fácil. Por exemplo: qual é a TF da fução mostrada a figura seguite? A ideia aqui é a seguite: se se cohecerm as duas fuções cuja covolução tem como reultado esta fução, etão a TF desta fução deverá ser igual ao produto das TF daquelas fuções. Ora, viu-se ates que o resultado da covolução de dois rectâgulos é uma fução triâgulo. Também se viu, que a TF de uma fução rectâgulo é uma fução sic pelo que a TF da fução triâgulo é dada pelo produto de dois sic, como mostra a figura seguite. 19

20 Exemplo: calcule-se, graficamete, a TF da seguite fução, 20

21 A solução é, 21

22 Exercício. Calcule a covolução dos seguites siais digitalizados a uma taxa de 1 s. x1i = {-0.1, 0.0, 0.2, 0.1, 0.4, 0.6, 0.0, 0.1, -0.1,0.0} x2i = {0.0, 0.1, -0.3, 0.1, 0.0} Exemplo de código MATLAB para o cálculo da covolução das fucões x1 de 1 valores e x2 de 2 valores. fuctio[cov_out]=covolutio(x1,x2,b,e 1=legth(x1; % tamaho do vector x1 2=legth(x2; % tamaho do vector x2 output=1+2-1; % tamaho do resultado % vector auxiliar com x1 cetrado e zeros as potas ate ao tamaho de output xaux=zeros(1,output; xaux(b+1:1+b=x1; x2=fliplr(x2; %iverter x2 - esq/dir % calcular covolucao k=0; for j=b+1:output-e k=k+1; cov_out(k=sum(xaux(j-b:j+e.*x2; ed retur ed Em MATLAB a covolução pode também ser realizada usado-se a fução cov(x1,x2. Ver detalhes em: 22

23 Correlação e Teorema da Correlação A correlação etre duas fuções cotíuas, x(t e h(t é defiida por: z(t = x(τ h(t + τ dτ A operação de correlação é facilmete cofudível com a da correlação mas é, obviamete, diferete. O Teorema da Corelação estabelece que a TF da correlação de duas fuções é igual ao produto da TF de uma das fuções pela TF cojugada da outra, TF{z(t} = Z(f = X(f H (f Ode o símbolo * represeta o cojugado complexo. Exemplo: Calcule-se, graficamete, a correlação etre as seguites fuções, para as quais já se calculou a covolução, A figura seguite apreseta a solução para este problema, comparado a correlação com a covolução destas duas fuções. A grade difereça está a ausêcia da operação de espelhameto de uma das fuções a correlação. 23

24 A Correlação de duas fuções discretas amostradas a uma taxa T é dada por, N 1 z(kt = x(it h[(k + it] i=0 Se a correlação é realizada etre duas fuções iguais a operação é desigada por autocorrelação. Esta operação pode ser útil, por exemplo, para detectar um sial (de curta duração cohecido que esteja cotido um sial de maior duração e cotamiado por ruído. 24

25 Exemplo de código MATLAB para o cálculo da correlação de dois siais x1 e x2 fuctio[y,alag]=corr(x1,1,x2,2 %correlação de x1(1...1 com x2(1...2 % alag(1..1-(2-1 é o desvio (lag % este caso acrecetam-se zeros o iicio e fim do sial x1 p=1+2*(2-1 x11=zeros(p,1; for i=2:1+2-1 x11(i=x1(i-(2-1; % x1 com zeros o iicio e fim ed for i=1:1+2-1 som=0.; for j=1:2 som=som+x2(j*x11(i+j-1; ed y(i=som; alag(i=i-(2-1; ed ed Em MATLAB a correlação etre dois siais pode ser realizada pela fução xcorr(x,y Ver detalhes em: Exemplo: Seja o sial medido x= {0.1, 0.1, 0.2, -0.3, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 1.0, 1.1, -1.0, 1.3, 1.4, 2.0, 2.1,0.2, 1.6, 1.2, 1.4, 2.0, -3.0, -0.2, 0.0, 0.2, 0.5} Pretede-se ecotrar este sial um outro sial mais curto y={1.3, 1.4, 2.0, 2.1,0.2} Os siais são amostrados a uma taxa de 1 s. A figura seguite mostra o sial x ode se assiala a posição do sial y que se pretede detectar. Como se mecioou o sial pode ser detectado pela operação de correlação de x com y. 25

26 A figura seguite mostra o resultado da correlação etre os dois siais podedo ver-se que o máximo valor da correlação acotece para um desvio de 12 que é precisamete a posição ode se iicia o sial procurado detro do sial x. 26

27 27 Exercícios propostos. 1- Calcule a TF da fução se(ω o t. 2- Calcule a TF da fução: cos(2 ( ( t f t P t x o com 2 / 0 2 / 1 ( o o T t T t t P 3- Mostre que: ( ( ( ( ( ( ( ( ( t t t f t t t t f c T t f T t t f b t f t t f a 4- Calcule, graficamete a covolução etre as seguites fuções: 5- Determie, graficamete a covolução etre as fuções x(t e h(t mostradas a figura. 6- Cosidere a fução cos(2 ( t f t y o a Calcule a TDF do sial para fo = 0.1 Hz usado diferetes taxas de amostragem e cosiderado diferetes durações do sial (correspodetes, por exemplo, a 3, 6 e 9 períodos.

28 b Calcule o espectro de potêcia em cada caso. c Verifique cada um dos resultados obtidos aplicado a TF iversa. 5. Repita o exercício aterior para a fução y( t se(2f t. o 7- Calcule a TDF da fução impulso uitário com uma duração total de 520 μs. Cosidere que o sial se estede, periódicamete de t = -16To a t = 16To. 8- Cosidere a fução, x ( t cos(2f 1t 8cos(2f 2t 3 / 4 com f1 = 2000 Hz e f2 = 7000 Hz. Faça uma amostragem de amostras por segudo. Calcule a TDF do sial amostrado. 28

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33 TEMA 2 ANÁLISE DE SINAL E FILTRAGEM Nesta seguda parte do curso estudar-se-ão os fudametos da aálise de siais, fazedo uso da trasformada de Fourier. O Teorema da Amostragem A operação de amostragem (digitalização de uma fução cotíua, por exemplo o tempo, a uma taxa de amostragem T, correspode a multiplicar a fução por um pete de Dirac, cujos deltas de Dirac estão separados de T. ou Sial digitalizado = (sial x (pete Dirac y (t = h(itδ(t it i= A operação de digitalização é realizada o domíio do tempo. De acordo com o teorema da covolução a digitaização da fução correspode, o domíio da frequêica, à covolução da TF da fução pela TF do pete de Dirac, TF {sial digitalizado} = TF {sial} * TF{pete de Dirac} Ou Y(f = H(f (f 1

34 A figura seguite mostra, graficamete, o que ocorre durate o processo de digitalização. Notar os seguites potos: a a TF do pete de Dirac é também um pete de Dirac com os deltas separados de 1/T; b a TF do sial digitalizado é um sial periódico, o domíio da frequêcia, com período 1/T; c se a TF da fução a digitalizar fôr limitada etre as frequêcias -fc e +fc (fução de bada limitada, sedo, as diferetes compoetes da TF do sial digitalizado aparecem distitamete. A figura seguite mostra o que acotece quado a taxa de amostragem T fôr tal que fc > 1/T. Neste caso, as compoetes da TF do sial digitalizado sobrepõem-se. Este feómeo é cohecido por empastelameto (aliasig em iglês. Portato, a taxa de amostragem codicioa a TF do sial digitalizado, isto é, codicioa a iformação cotida o sial digitalizado. 2

35 O Teorema da Amostragem estabelece que a frequêcia mais elevada que se pode obter com a taxa de amostragem T é fc data por, f c = f N = 1 2T Cohecida como frequêcia de Nyquist. Amostrado a esta taxa evita-se o feómeo de aliasig (Figura seguite. 3

36 Como a TF do sial amostrado é periódica a TF da fução iicial obtém-se multiplicado a TF do sial amostrado por uma fução box defiida o domíio da frequêcia, H (f = [H(f (f] Q((f Cosidere-se agora o caso iverso, isto é, a recuperação da fução h(t a partir da sua digitalização usado a TF iversa de H (f. De acordo com o teorema da 4

37 covolução o resutado da TF iversa será igual à covolução, o domíio temporal, de h(t Δ(t por q(t, ĥ = [h(t (t] q(t = [h(itδ(t it] q(t = i= [h(itq(t it] i= ou, ĥ(t = h(it se(2πf c(t it π(t it i= A fução se(2πf c (t it π(t it TF o TEMA 1. é o par trasformado das fuções box e sic (ver tabela de 5

38 Filtros Um filtro digital pode ser defiido como um sistema que realiza uma operação matemática um sial digitalizado (sial de etrada e produz um outro sial digitalizado (sial de saída ou resposta que difere do primeiro em certos aspectos. Quado a resposta segue a etrada o sistema é desigado por causal. A resposta de um filtro pode ser de atraso míimo, atraso máximo ou atraso misto cosoate a eergia da etrada está cocetrada o iício, o fim ou o meio do sial de saída. Se o sistema é liear etão o sial de saída y está relacioada com o sial de etrada x pelo teorema da covolução, y x * h (1 i ou, o domíio trasformado, Y X H (1 ii ode Y e X represetam a trasformada de Fourier (TF dos siais de saída e etrada, respectivamete, e H é desigada por fução de trasferêcia do sistema (filtro. De uma forma geral, a fução de trasferêcia será dada por: H Y X (2 6

39 Um filtro que teha uma resposta de duração fiita para um sial de etrada também fiito (impulso é desigado por filtro de resposta fiita ao impulso (FIR fiite impulse respose. Caso cotrário a desigação do filtro é de resposta ifiita ao impulso (IIR-ifiite impulse respose. A resposta de um FIR de ordem N tem uma duração de N+1 potos. Seja o sial de etrada x e o filtro costituído pelos coeficietes ai. De acordo com (1, a resposta y será y ak k x k (3 ou, y 1 a k k x k k0 a k x k (4 O primeiro termo de (4 é desigado por compoete de atecipação (porque usa os valores do sial de etrada posteriores ao tempo e a seguda parte por compoete de memória (porque usa os valores do sial de etrada em tempos ateriores ao tempo. Os filtros defiidos por (3 são desigados por ão recursivos (ou seja, são também FIR. Se a resposta do filtro evolver valores da saída previamete calculados, isto é, y a k k x k j1 d j y j (5 O filtro é desigado por recursivo (este caso é um filtro IIR. Por exemplo, o filtro de média corrida, y 1 ( 5 x x x x x (6 7

40 É um filtro ão recursivo. Um exemplo de filtro recursivo é o seguite, y y ( x x 1 1 (7 Que traduz a itegração de acordo com a regra do trapézio. O filtro seguite, y = ay 1 + (1 ax (7-1 É um filtro recursivo. Os filtros podem ser classificados de acordo com o comportameto o domíio espectral. Assim, têm-se filtros: a passa baixo quado o sial de saída do filtro cotêm apeas as frequêcias abaixo de uma frequêcia determiada (frequêcia de corte ; b passa alto quado as frequêcias a saída são superiores á frequêcia de corte e c passa bada (ou de Notch- quado o sial de saída cotêm apeas frequêcias etre duas frequêcias de corte. Fução de trasferêcia (FT A fução de trasferêcia do filtro, o caso de sistemas lieares e de filtros de coeficietes ão variáveis o tempo, é defiida por (2. No caso em que o sial de etrada ser complexo tem-se H Y X j(2fty Y e j( X Y H e j(2f X X e (8 Se se cohecer o filtro a fução de trasferêcia pode ser calculada cosiderado o j2f sial de etrada igual a x e. A saída será y N a k kn x k N a k kn e N j2f ( k j2f j2fk e ake kn (9 Isto é, y e TF a e j2f j2f H (10 Portato, para aquele sial de etrada a resposta do filtro é igual ao produto da fução de trasferêcia do filtro pelo sial de etrada. Cosideremos agora que o sial de etrada é um delta de Dirac δ. A resposta do filtro será 8

41 y N a k k N k a (11 Isto é, os coeficietes do filtro serão iguais à resposta do sistema quado o sial de etrada é o delta de Dirac (impulso. No domíio trasformado teremos, Y H (12 Exemplo 1: Seja o filtro de média corrida dado em (6. Se o sial de etrada fôr para a resposta x e j2f, virá y 1 ( e 5 e e e e e j2f 2 j2f 0 j2f j2f 2 j2f (13 Portato a fução de trasferêcia será: 1 H( f (1 2cos(2f 2cos(4f 5 (14 Notar que esta expressão ão é mais que a represetação dos primeiros três termos do desevolvimeto em série de Fourier H( f a 2 0 2a cos(2f 1 (15 com a a a A figura seguite mostra a fução de trasferêcia deste filtro que é um filtro passa baixo. Como se pode observar este filtro ão é de boa qualidade pois apreseta oscilações a parte fial que irão origiar problemas. Este problema pode resolver-se pela aplicação de uma jaela. 9

42 H(f f Fução de trasferêcia do filtro de média corrida, simétrico e de 5 coeficietes. Exemplo 2: Cosidere-se a fução x(t = se ( 2πt T E o filtro, ão recursivo, de oze coeficietes iguais {h k = 1, k = 5,..5}. 11 A figura seguite mostra o resultado da aplicação deste filtro a 4 fuções x(t com diferetes valores de T. Note-se como o efeito do filtro a amplitude do sial filtrado depede de T. 10

43 A figura seguite mostra os resultados para o caso da aplicação de um filtro reursivo (eq Note-se o desfasameto da saída relativamete à etrada. Costrução do filtro cohecida a Fução de Trasferêcia De acordo com o que se viu, um filtro ão recursivo simétrico pode ser desehado a partir das características da sua FT. Os passos a seguir são: 1 determiar os coeficietes do desevolvimeto em série de Fourier da FT; 2 dividir por 2 os coeficietes (excepto o primeiro. Exemplo: Seja etão a FT dada por (Figura seguite, 1 H( f H( f 0 0 f c f f c f f N (16 Ode fc é a frequêcia de corte e fn a frequêcia de Nyquist. Supodo que a taxa de amostragem do sial a que se vai aplicar o filtro é uitária a frequêcia de Nyquist será

44 H(f fc fn f Figura. A tracejado a FT desejada para o filtro. Os coeficietes do filtro são obtidos dos coeficietes do desevolvimeto em série de Fourier, isto é (recordar a eq. (15, a FT é H( f a Np a cos(2f 1 Ode a f c se(2fc 4 H( f cos(2f df 2 0 (17 Com = 0, 1,...Np-1 ode Np é o úmero de coeficietes da parte positiva do filtro (compoete de memória. Facilmete se verifica que a0 = 2fc. Tem-se etão, para este tipo de filtros, H( f 2 f c 2 Np 1 1 se(2f ( c cos(2f (18 Cosidere-se o caso em que a FT do filtro tem a forma de (16 com a frequêcia de corte igual a 0.2 Hz e com 5 coeficietes a parte positiva. Virá para a FT de acordo com (18, H( f 2(0.2 2 Np 1 1 se(2(0.2 ( cos(2f (19 E os coeficietes serão a0 = ; a1 = ; a2 = ; a3 =

45 a4 = e a correspodete FT é mostrada a Figura 3. Como se pode verificar a FT oscila a parte fial e portato o filtro ão é de grade qualidade. A oscilação verificada o filtro aterior acotece porque se está a limitar o úmero de coeficietes do filtro, isto, correspode a que o domíio da frequêcia se esteja a covoluir a FT desejada com um sic. Para resolver este problema recorre-se a uma jaela que pode ser aplicada o domíio do tempo ou da frequêcia. Aplicado-a o domíio do tempo ter-se-á de multiplicar os coeficietes pela jaela. Usemos a jaela de Laczos que é defiida, ( N, k p se( k / N k / N p p (20 Vem etão para (18 e para (19, respectivamete H( f 2 f c 2 Np 1 1 se( / N ( / N p p se(2f ( c cos(2f (21 O produto de duas fuções sic, etre parêteses rectos, é usualmete desigado por filtro de Laczos. H( f 2(0.2 2 Np 1 1 se( /5 se(2(0.2 ( ( cos(2f /5 (22 Os coeficietes do filtro serão: a0 = ; a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 = E a ova FT é mostrada a Figura seguite a vermelho. 13

46 H(f f Figura. FT para o filtro passa baixo (Np=5. O filtro pode também ser costruído a partir da TF iversa (TFi da FT, uma vez que a FT é é a TF do filtro, se se calcular a TFi pode obter-se o filtro. Uma vez mais ter-se-á que aplicar uma jaela, ou o domíio do tempo ou o da frequêcia, para melhorar o desempeho do filtro. Jaelas O papel das jaelas, o caso da costrução do filtro, é o de dimiuir o efeito de Gibbs quado se truca o filtro o úmero de coeficietes pretedido. Mas as jaelas podem, também, ser usadas as séries temporais ates de se realizar uma TF. Há muitas jaelas mas as mais cohecidas são dadas abaixo. A jaela de Laczos: ( N, k p se( k / N k / N p p (23 que se aplica o domíio do tempo. A jaela de Hammig: 1 cos(2 /( N 1 x 2 (24 14

47 15 A jaela de vo Ha, N k N k N k w k 0 2 / cos( 1 (25 Pode cosultar sobre a costrução de filtros FIR simples, usado MATLAB em: Filtros de miimos quadrados Um dos problemas mais frequetes com as séries temporais é o de ão terem resolução suficiete para se distiguir claramete um dado eveto. Neste caso é ecessário desehar-se um filtro de alta resolução que aplicado à série temporal resolva o problema. Este tipo de filtros são muio usados, por exemplo, em processameto sísmico. Tem-se, etão, o sial de etrada x, o sial de saída y e um sial de saída desejado, de que se cohecem as características, z. Pretedemos ecotrar um filtro ak tal que o resultado da sua operação sobre o sial de etrada seja um sial de saída igual à saída desejada. Isto é, pretede-se que, o valor de Q seja míimo sedo Q defiido por, M N k k k M x a z y z Q ( ( (26 Sedo M o úmero de coeficietes do filtro. A miimização de Q é feita derivadose em relação a cada coeficiete do filtro. Para o coeficiete i-ésimo vem 0 ( ( 2 ( 2 ( ( 2 k i a i x x a x z x x a z a Q xx k k zx i k k k i i k k k i (27 Aqui xx (i e ( k i zx represetam as operações de autocorrelação e a correlação cruzada. Somos etão coduzidos ao sistema de (M+1 equações:

48 M k 0 a ( i k ( i k xx zx (28 com i=0,1,2...,m. Da resolução deste sistema de equações obtêm-se os coeficietes do filtro. Exemplo: Supoha-se o sial de etrada x = (2,1, para = 0, 1, e que a saída desejada é d = (1,0,0. Calcular o filtro com M = 2 coeficietes (a0, a1. Ter-se-á o seguite sistema de equações (i = 0, 1: a (0 a (1 (0 0 xx 1 xx zx a (1 a (0 (1 0 xx 1 xx zx Cuja resolução dá o resultado seguite para os coeficietes: a0 = 10/21; a1 = -4/21 16

49 Exercícios propostos 1. Escreva um script MATALB que realize a filtragem (com um filtro ão recursivo média corrida e um recursivo da fução seguite, amostrada a uma taxa de 1400 Hz, sedo as frequêcias iguais a 50 e 130 Hz (ver exemplo o TEMA 1. ode y = 0.9*si(2*pi*f o *t+0.2*si(2*pi*f 1 *t+oise oise = 0.2*radl(size(t 2. Observe a seguite série temporal de observações, amostrada a uma taxa de 1 h 1 : a Idetifique os períodos presetes este sial. Calcule a frequêcia de Nyquist. b Represete um gráfico o espectro de potêcia de Fourier deste sial (idetifique claramete os eixos, as uidades, os picos. Marque a frequêcia de Nyquist este gráfico. c Supoha que é aplicado um filtro passa-baixo a este sial: trace o gráfico do sial resultate e o respectivo espectro de Fourier. d Trace também o espectro de Fourier do resultado da operação de subtrair o sial filtrado ao sial origial (sial-sial_pb. O resultado desta operação correspode a que tipo de filtro? 17