Roteiro de Práticas 02

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1 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN Roteiro de ráticas Ajuste de curvas Motivação rolema : Regressão Liear Os dados aaixo correspodem a medição da correte (A) um fio para as tesões (V) impostas V I , 7, 8, 7 3 9, 3 7, 5 Determie o valor a ser otido pelo amperímetro quado o voltímetro estiver em 3 5 V (a) Trace um gráfico dos dados (V versus I ) () Use a regressão liear por míimos quadrados para determiar uma fução liear a forma I = av + que melhor se ajuste aos potos do cojuto de dados Míimos Quadrados Dados o cojuto de dados (, f ( )), i =,,, 3,, com x [a, ]precisamos determiar uma fução ϕ(x) f (x) Defiimos ϕ(x) = α g (x) + + α g (x), ode gi é uma fução cotíua em [a, ] e α,, α R A escolha da fução g pode ser feita or meio da oservação do gráfico dos potos de f A partir de iformações sore o feômeo ao qual f se relacioa O coceito fudametal a apromação de f (x)por ϕ(x)é o de melhor apromação, ou seja, procurase uma fução ϕ(x)que miimiza o erro ϕ( ) f ( ), i =,,, 3,, No caso discreto procuramos miimizar a fução F = (ϕ( ) f ( ), e o caso cotíuo, a fução i= R F = a (ϕ( ) f ( ) dx Aalizado o caso discreto temos que F (α,, α ) = (α g (x) + + α g (x) f ( ) i= Aplicado a codição F (α,,α ) αi F (α,,α ) αi = =, i (,, )para míimo de fução temos que gj (xk )[α g (xk ) + + α g (xk ) f (xk )] = k,j= gj (xk )[α g (xk ) + + α g (xk )] = k,j= k= gj (xk )f (xk )

2 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN De ode resulta o seguite sistema liear: α g (xk )g (xk ) + α g (xk )g (xk ) + + α g (xk )g (xk ) = g (xk )f (xk ) k= α g (xk )g (xk ) + α g (xk )g (xk ) + + α g (xk )g (xk ) = g (xk )f (xk ) k= α g (xk )g (xk ) + α g (xk )g (xk ) + + α g (xk )g (xk ) = g (xk )f (xk ), k= O qual pode ser escrito por meio da seguite equação matricial Ma = a a a a Dessa forma se aij = a a a a a a a a a a a a α α α α = gi (xk )gj (xk ) = aji etão a matriz dos coeficietes deste sistema liear é k= simétrica e os termos idepedetes são os i = gj (xk )f (xk ) k= ( =, Se as fuções gi formarem uma ase ortogoal para ϕ etão aij = 6= matriz M dos coeficietes é diagoal a a a a α α α α = se i 6= j Dessa forma a se i = j, logo a solução do sistema pode ser otida diretamete por meio do cálculo dos αii = gi (xk )f (xk ) k= gi (xk ) k= i aii = Ates de implemetar o algoritmo a seguir resolva maualmete (ou utilize uma plailha eletrôica) o prolema de ajuste liear para, 3, 7 4, 5 5, 9 7, 8 o seguite cojuto de dados: i, 8, 9 3, 3, 9 3, 3 Como se trata de um ajuste liear a fução de ajuste é do tipo = ax + Dessa forma precisamos determiar a e A equação matricial do sistema liear tem a seguite forma xi = i a i o que resulta a seguite solução a = i = a i ) + i ( ( ) + x i i i ( ) O gráfico dos potos dados e a fução liear é =, 698 e = a i =, 656

3 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN Algoritmo Míimos Quadrados ) Etrada de dados : v e t o r x, v e t o r f ( x ), v a l o r r e q u e r i d o x r ) C a l c u l a o s s o m a t ó r i o de x, fx, x f x e x x Sx < sum ( x ) ; S f x < sum ( f x ) ; S x f x < sum ( x f x ) ; Sxx < sum ( x ^ ) ; 3 ) Determia o s v a l o r e s dos c o e f i c i e t e s da f u ç ã o de r e g r e s s ã o a < ( S x f x Sx S f x ) / ( Sxx Sx ^ ) ; < ( Sxx S f x S x f x Sx ) / ( Sxx Sx ^ ) ; 5 ) A v a l i a ç ã o da f u ç ã o o poto r e q u e r i d o x r = a ( xr ) + Solução do prolema : I 9, 3638 A rolema di, ode VL é a queda A queda de tesão elétrica através de idutor segue a lei de Farada: VL = L dt de tesão (em volts), L é a idutâcia (em hers: H = V s/a) e i é a correte (em ampéres) Utilize os seguites dados para fazer uma estimativa de L di dt VL (A/s) (V ) 5, 5, 5 7, Liearização de equações ão-lieares rolema 3 Um experimeto com um circuito RC é usado para determiar a capacitâcia de um capacitor No circuito, figura aaixo, um resistor de 5 x6 ohms é coectado em série com o capacitor C e uma ateria O experimeto começa com o fechameto da chave e a medição da tesão vr os termiais do resistor em itervalos de segudos, ao logo de 3 segudos Os dados medidos o experimetos são: t(s) vr (V ) 9, 7 8, 6, 6 5, 4, 4 3, 7, 8, 4,, 6, 4,, 85, 69, 6 Teoricamete, a tesão o resistor em fução do tempo é dada pela fução expoecial: vr = ve( t/rc ) Determie a capacitâcia do capacitor ajustado a fução expoecial aos dados medidos Fuções ão-lieares Fução de potêcia: = xm Fução expoecial: = emx ou = mx Fução iversa: = mx+ ou = mx x+

4 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN Liearizado fuções ão-lieares Vamos liearizar a fução = xm = xm l() = l(xm ) = ml(x) + l() Cosiderado l() = Y,m = a,l(x) = X e l() = a otemos a fução liear Y = a X + a Assim podemos aplicar uma regressão liear por míimos quadrados para ajustar um cojuto de potos (, f ( )) Com ase os valores de a e a em Y = a X + a, podemos calcular e m em = xm pois, = ea e m = a ara outras fuções ão-lieares cofira as trasformações possíveis a taela a seguir: Equação = xm = emx = mx mx+ mx = x+ = Forma liear Y = a X + a Valores para regressão liear l() = ml(x) + l() Y = l(),x = l(x), a = m,a = l() l( ) e l(i ) l() = mx + l() Y = l(),x = x, a = m,a = l() e l(i ) log() = mx + log() Y = log(),x = x, a = m,a = log() e log(i ) = mx + = mx +m Y = Y =,X = x, a = m,a =,X =, x a =,a m = m i e i e Cosiderações sore a escolha da fução a ser liearizada apropriada para realizar o ajuste: Quado possível, verificar a equação matemática que modela o feômeo; lotar o gráfico do potos coforme idicação da taela a seguir; Fuções expoeciais: ão podem passar pela origem e todos os valores de são positivos ou egativos; Fuções logarítmicas: ão podem icluir x = ou valores egativos de x; Fução de potêcia: = quado x = ; Fução iversa: ão pode icluir = Equac a o Gráficos ode os dados parecem se ajustar a uma reta = xm loglog (x vs ) ou liear (l(x) vs l()) = emx = mx = mx+ mx = x+ semilog (x vs ) ou liear (x vs l()) semilog (x vs ) ou liear (x vs l()) liear (x vs liear ( x vs ) ) Exercício ara os dados do prolema iicial a fução expoecial é adequada Costrua um programa que plote os gráficos semi-log (x vs ) ou liear (x vs l()) e aalise os resultados: Exercício Repita o mesmo procedimeto para as outras fuções lieares adequado o gráfico coforme a última colua da taela acima Com ase os gráficos gerados avalie quais modelos poderiam ser utilizados para liearizar a fução do prolema 3

5 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN Resolvedo o prolema de capacitâcia Coforme esperado, uma fução expoecial se ajusta em aos dados ara resolver o prolema iicial, primeiramete determiamos as costates e m a fução expoecial v = em Isso é feito com a liearização dessa equação e com o uso da regressão liear por míimos quadrados A regressão liear por míimos quadrados foi desevolvida a rática As etradas da fução são os valores (ti, l(vr )i ) Otidos e m, o valor de C é determiado igualado-se os coeficietes o expoete de e em vr = ve( t/rc ) : RC = m C = Rm Exercício 3 Costrua um programa que resolva o prolema de capacitâcia Utilize o algoritmo aaixo rograma ajuste com liearização de fução ão-liear Algoritmo ) Etrada de dados : texp, vexp,r = 5 e6 ) C a l c u l e l ( i ) para uso a r e g r e s s ã o l i e a r : l v e x p = l o g ( vexp ) ; 3 ) C a l c u l e o s c o e f i c i e t e s a e a por meio o método dos míimos quadrados U t i l i z a r a f u ç ã o de r e g r e s s ã o No programa p r i c i p a l chame a f u ç ã o por meio da d i r e t r i z : r e g _ l i ( texp, l v e x p ) 4 ) C a l c u l e a a p a r t i r de l ( ) = a : = exp ( a ) 5 ) C a l c u l e C u t i l i z a d o ( /Rm), ode m = a : C = ( )/(R a ) 6 ) Gere um domíio l i e a r i z a d o, ode < t < 3 ; 7 ) Gere uma imagem l i e a r i z a d a : v = exp ( a t ) ; 8 ) E s c r e v e o s r e s u l t a d o s de a, a, e C um a r q u i v o de s a í d a 9 ) l o t e g r a f i c o dos p o t o s e da f u ç ã o de r e g r e s s ã o Implemetação da fução defiida pelo usuário reg_li() doule reg_li (x, fx ) % f u ç ã o r e g r e s s ã o l i e a r c a l c u l a o s c o e f c i e t e s a e da equação l i e a r % = a x + que melhor a j u s t a o s p o t o s do c o j u t o de dados ( x, f x ) %Esta f u ç ã o deve s e r i s e r i d a o mesmo a r q u i v o do programa p r i c i p a l x = l e g t h ( x ) ; fx = legth ( fx ) ; i f ( x ~= f x ) { f p r i t ( O úmero de e l e m e t o s de x deve s e r i g u a l ao umero de e l e m e t o s de f x ) } else { Sx = sum ( x ) ; S f x = sum ( f x ) ; S x f x = sum ( x f x ) ; Sxx = sum ( x ^ ) ; a = ( x S x f x Sx S f x ) / ( x Sxx Sx ^ ) ; = ( Sxx S f x S x f x Sx ) / ( x Sxx Sx ^ ) ; } Valor esperado para C = 9968e 6 µf

6 Sistemas Computacioais e Métodos Numéricos I Curso: Egeharia Elétrica Turma: 5EEAN rolema 4 Um aemômetro de fio quete é um dispositivo usado para medir a velocidade de fluxo a partir do efeito de resfriameto causado pelo fluxo a resistêcia de um fio quete Os dados a seguir são otidos em testes de caliração Teste u(m/s), 44 3, 8 6, 8, 63, 4, 63 4, 75 6, 78 V (volt) 7, 8 7, 3 7, 37 7, 4 7, 47 7, 5 7, 53 7, 55 Teste u(m/s), 35 8, 3 6, 3 4, 39 3, 3 9, 97 7, 75, 49 V (volt) 7, 58 7, 56 7, 55 7, 53 7, 5 7, 47 7, 44 7, 8 Exercício Determie os coeficietes A e B da fução expoecial u = Ae BV que faz o melhor ajuste dos dados para cada teste cujos valores estão as taelas acima Exercício Trace um gráfico com os potos do cojuto de dados de cada teste e os respectivos modelos de ajuste rolema 5 No processo de faricação de firas eletroforéticas, o diâmetro d da fira está relacioado à correte I Os seguites dados são medidos durate a produção: I(A) d(µm) , A relação etre a correte e o diâmetro pode ser modelada com uma equação a forma d = a + I Use os dados para determiar as costates a e da equação que fazem o melhor ajuste dos dados