J. A. M. Felippe de Souza 6 Transformadas z. 6 Transformadas z

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1 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6 Trasfrmadas 6. Itrduçã às Trasfrmadas 4 6. Trasfrmadas defiiçã 7 6. Trasfrmadas da expecial e d degrau discrets 8 Sial x[] a u [] (expecial discret) 8 Exempl 6. 8 Sial x[] u [] (degrau uitári discret) 9 Exempl 6. 0 Exempl Póls discrets Exempl Trasfrmadas da rampa e d impuls discrets 5 Sial x[] u [] (rampa uitária discreta) 5 Sial x[] u [] (impuls uitári discret) 6 Exempl Exempl Trasfrmadas de utrs siais discrets checids 8 Exempl Siais se e c-se discrets multiplicads pela expecial 9 Siais se e c-se discrets 0 Exempl 6.8

2 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6.8 Tabela das Trasfrmada de algus siais discrets checids 6.9 Prpriedades da Trasfrmada 4 Hmgeeidade ( hmgeeity ) 4 Aditividade ( additivity ) 4 Liearidade ( liearity ) 4 Traslaçã ( time shiftig ) 4 Mudaça de escala dmi ( -dmai scalig ) 6 Expasã temp ( time scalig ) 7 Cjugad ( cjugate ) 7 Cvluçã ( cvluti ) 8 Derivada d dmíi de ( -dmai derivative ) Terema d Valr Iicial (TVI) e Terema d Valr Fial (TVF) 9 Terema d Valr Iicial (TVI) 9 Terema d Valr Fial (TVF) 9 Exempl Exempl Trasfrmada iversa Cas Póls reais e distits Exempl 6. Cas Póls cmplexs cjugads Exempl 6. 5 Exempl 6. 5 Cas Póls múltipls (dupls, tripls, etc.) 6 Exempl Exempl Exempl Cas 4 Póls múltipls a rigem 9

3 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6. Sluçã de equações de difereças usad Trasfrmadas 4 Exempl Exempl Exempl Exempl Exempl Exempl Exempl 6. 5 Exempl Exempl Exempl Exempl Exempl A respsta impulsial h[] e H() 58 Exempl Exempl Exempl 6. 6 Exempl 6. 6

4 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Trasfrmadas 6. Itrduçã às Trasfrmadas Na aálise de sistemas ctíus pr vees é mais vatajs us da frequêcia cmplexa s (Trasfrmadas de Laplace, capítul 5). N cas de sistemas discrets, uma ferrameta bastate cmum usada para passar um sial d dmíi d temp para dmíi da frequêcia é a Trasfrmada. A Trasfrmada também fa us de uma frequêcia cmplexa que este cas é, e prtat, ela é uma espécie de Trasfrmadas de Laplace para sistemas discrets. Etretat, as Trasfrmadas sã baseadas em séries de ptêcias, as Séries de Lauret, publicadas em 84 pel matemátic fracês Pierre Alphse Lauret (8-854). Mas, tud idica que, embra ã tivessem sid publicadas aterirmete, estas séries já tiham sid desevlvidas dis as ates, em 84, pr Karl Thedr Wilhelm Weierstrass (85-897), um matemátic alemã que frequetemete é citad cm sed pai da aálise mdera. As séries de Lauret sã uma represetaçã de um sial pr séries de ptêcias, geeraliad a checida expasã em séries de Taylr para cass em que esta ã pde ser aplicada. As séries de Taylr tiham sid criadas pel matemátic iglês Brk Taylr (685-7). As trasfrmadas têm grade imprtâcia s métds actuais de aálise de sistemas de ctrl discret, em prcesss de amstragem, prcessamet de siais digitais, etc. 4

5 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Fig. 6. Brk Taylr (685 7) à esquerda, Karl Weierstrass (85 897) a cetr e Pierre Alphse Lauret (8 854), à direita. Da expasã em série de Taylr sabems s seguites resultads clássics: e ν 0 ν!, ν eq. (6.) lg( ν) ( ) ν, ν <, ν eq. (6.) resultads que serã utiliads mais adiate. Cm tratarems de séries de ptêcia ifiitas, será útil relembrar aqui esta itrduçã a checida fórmula d limite da sma de prgressões gemétricas (P.G.) de raã q 0, Ist é, se x { a : a : a : : a : } { a : a q: a q : a q : }, u seja, u, equivaletemete a a q,,,, ; a a q -,,,, 5

6 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas A sma S ds primeirs terms da P.G. é dada pr: S a (q ) a a q L a q a k, eq. (6.) k 0 (q ) equat que, se a P.G. fr ilimitada (u ifiita) e a raã q satisfa q <, ist é < q <, etã, a sma S de tds s terms é dada pr: a a a q a q a q L a, eq. (6.4) 0 ( q) S Outr resultad checid é limite da série ifiita abaix: 4 α α α 4α 0 α L α. eq. (6.5) ( α) 6

7 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6. Trasfrmadas defiiçã Para represetar as trasfrmadas de um sial discret x[] usa-se seguite a taçã: { x[] } u X() que é semelhate à taçã adptada para as Trasfrmadas de Laplace capítul aterir. A defiiçã das Trasfrmada uilateral de um sial discret x[] é: { x[] } X() x[] eq. (6.6) 0 de C é um úmer cmplex. A eq. (6.6) acima é chamada de Trasfrmada uilateral pis é defiida para siais x[] de x[] 0 para < 0 e é a defiiçã de Trasfrmada adptada aqui pis, a exempl da Trasfrmada de Laplace (capítul 5), é esta a que tem mair aplicaçã para sistemas diâmics. Fig. 6. Um sial x[] cm valr ul para < 0 ( x[] 0,,, ). Além desta defiiçã de Trasfrmada uilateral (para 0,,, ) que adptams aqui, há também a Trasfrmada bilateral (que é defiida para, u seja: 0, ±, ±, ). 7

8 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6. Trasfrmadas da expecial e d degrau discrets Nesta secçã serã apresetads as Trasfrmadas d sial discret x[] a, assim cm de x[] u [] degrau uitári, partid da defiiçã de X() dada em eq. (6.6). Sial x[] a u [] (expecial discret) Csidere sial discret: x[] a u[] de u [] é degrau uitári discret. Usad a defiiçã eq. (6.6) vems que a Trasfrmada deste sial é: X() 0 0 a (a u [] ) que é uma prgressã gemétrica cm primeir term a e a raã q a. Usad eq. (6.4), btém-se: u X() (a ), eq. (6.7) ( a ) 0 { u [] }, a eq. (6.8) ( a) Exempl 6.: Csidere sial x[] u seja, x[] 5 u [ ] u [] u [ ] 4 u 0[ ] 8

9 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas x [] 5,,, 4, 0, se se 0 se se utr valr de que se ectra ilustrad a figura 6.. Fig. 6. O sial x[] d exempl 6.. Agra, usad a defiiçã de Trasfrmada, eq. (6.6), tem-se que: X() 4 Nte que term cm valr 5, para desaparece pis está à esquerda da rigem [eq. (6.6), defiiçã de Trasfrmada uilateral]. Sial x[] u [] (degrau uitári discret) N cas particular de a sial aterir, crrespde a sial x[] u [] que é degrau uitári discret. 9

10 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 0 Lg, d resultad btid sial aterir, btems que a Trasfrmada de u [] é:, ) ( () X u, { }, ) ( [] u eq. (6.9) Exempl 6.: Csidere sial discret. [] u [] u 5 [] x A Trasfrmada deste sial é: { } [] u [] u 5 [] u [] u 5 X() x[] u seja, 5 X() eq. (6.0) Usad as equações eq. (6.7) para a ½ e /, descbre-se que:

11 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas [] u e que [] u e lg, resultad btid a eq. (6.0) acima sigifica que: [] u [] u 5 [] u [] u 5 Este resultad btid se dá devid à prpriedade da liearidade da Trasfrmada, a semelhaça das Trasfrmadas de Laplace capitul 5, e será vist mais adiate a secçã 6.9 (Prpriedades da Trasfrmada ). Agra, ctiuad s cálculs a partir da eq. (6.0) tems que: { } x[] que também equivale a: { } x[] eq. (6.)

12 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Exempl 6.: Csidere a Trasfrmada d sial x[] a u [] já vista as eq. (6.7) e eq. (6.8), u seja, X(). eq. (6.) a a Faed a divisã de pr ( a) tems que: Lg, X () a a a L Cmparad cm eq. (6.6), a defiiçã de Trasfrmada, tems 0,, a, x[] a, a, para < 0 para 0 para para M para 0 e prtat, x[] a u [] que de fact crrespde a sial x[] que tem cm Trasfrmada este X() da eq. (6.).

13 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6.4 Póls discrets Cfrme vist capítul aterir [a secçã 5.8, eq. (5.0) ], uma fracçã racial é uma fracçã em que ambs umeradr e demiadr sã pliómis: p(s) q(s) u p() q() As raíes d pliómi d demiadr [ q(s) u q() ] sã chamads de póls. A Trasfrmada d sial x[] d Exempl 6., dada pela eq. (6.), é uma fracçã racial cujs póls sã: e As Trasfrmadas ds siais x[] a u [] e x[] u [], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9), sã fracções raciais cuj úic pól é: cas eq. (6.8), e cas eq. (6.9). a Exempl 6.4: Csidere sial discret da expecial trucada x[] a, 0, 0 N, 0 < a < < 0, N que ectra-se esbçad a figura 6.4.

14 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 4 Fig. 6.4 O sial x[] d exempl 6.4, 0 < a <. A Trasfrmada deste sial é: ( ) N 0 N 0 0 a a a X() e prtat X() é a sma S N ds N primeirs terms da prgressã gemétrica cm primeir term a e a raã ( ) a q. Lg, usad a eq. (6.) tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N N N a a a a a a X()

15 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Em pricipi esta Trasfrmada parece ter um pól em a e (N ) póls em 0 (u seja, póls múltipls a rigem). Etretat, aalisad agra umeradr desta Trasfrmada N a N 0 u seja N a N que s dá a seguite sluçã: j π k N a e, k 0,,,..., N eq. (6.) que sã N pts igualmete espaçads círcul de rai a, e sã as raíes (u ers) d umeradr desta Trasfrmada. Prtat, para k 0 a equaçã eq. (6.) acima tems que: a. Ou seja, a é um pól e um er d umeradr a mesm temp. Lg eles se cacelam e esta Trasfrmada só tem (N ) póls em Trasfrmadas da rampa e d impuls discrets Sial x[] u [] (rampa uitária discreta) tem a seguite Trasfrmada : x[] u [] u [] 5

16 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas X() 0 0 L que é uma prgressã gemétrica cm primeir term a e a raã q também. Lg, usad a eq. (6.5) tems que: X() { u []} ( ) u { u [] } ( ) Sial x[] u [] (impuls uitári discret) x[] u [], 0, 0 0 tem a seguite Trasfrmada : 0 { u []} X() u [] 0 u seja, { u []} que é um resultad aálg a btid cm as Trasfrmadas de Laplace capítul u (t) X(s) L. aterir: { } 6

17 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Exempl 6.5: Csidere sial discret x[], x[] u[ ] que é impuls uitári discret trasladad (i.e., cm um shift ) de uma uidade de temp para a direita. A Trasfrmada deste sial é: u seja, X() 0 u [ ] { u [] } eq. (6.4) Exempl 6.6: Csidere sial discret x[], x[] u[ m], m 0 que é impuls uitári discret trasladad (i.e., cm um shift ) de m uidades de temp para a direita. A Trasfrmada deste sial é: X() 0 u [ m] m m u seja, m { u [] } m eq. (6.5) Nte que a eq. (6.5) só é válida para m 0 pis a Trasfrmada adptada aqui é a uilateral [eq. (6.6)]. 7

18 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 8 A expressã ectrada Exempl 6. pderia ser btida usad a Trasfrmada d impuls u [] e resultad ds exempl 6.5 e 6.6, dads as equações eq. (6.4) e eq. (6.5), u seja, { } [] u, { } 0 m, m] [ u m e { } 0 ] [ u 6.7 Trasfrmadas de utrs siais discrets checids Iicialmete vams ver um exempl d sial discret de uma expecial multiplicada pr um se. Exempl 6.7: Csidere sial discret: [] u 4 se [] x π Usad a equaçã de Euler tems: [] u e j [] u e j [] x 4 j 4 j π π A Trasfrmada deste sial é: { } π π π π π π 4 j 4 j 4 j 4 j 4 j 4 j j j j j [] u j [] u j X() x[] e e e e e e u seja,

19 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas X() e π 4 j e π j 4 eq. (6.6) Nte que s dis póls desta Trasfrmada sã: e π ± j 4 A exempl da Trasfrmada d degrau discret, vist a secçã 6., em que primeiramete apresetam-l multiplicad pela expecial discreta, também aqui vams iicialmete apresetar a Trasfrmada para s cass de se e c-se multiplicads pr expeciais discretas a. Siais se e c-se discrets multiplicads pela expecial x[] a se(ω )u [] x[] a cs(ω )u [] têm as seguites Trasfrmadas : a se( ω ) { a se( ω) u[] } X() eq. (6.7) a cs( ω ) a e a cs( ω ) { a cs( ω) u[] } X() eq. (6.8) a cs( ω ) a que equivalem a a se( ω ) { a se( ω) u[] } X() eq. (6.9) a cs( ω ) a e [ a cs( ω )] { a cs( ω) u[] } X() eq. (6.0) a cs( ω ) a 9

20 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 0 Nte agra que sial que tiha sid vist exempl 6.7 é x[] a se(ω )u [] cm a e π ω 4 eq. (6.) e a Trasfrmadas ectrada aquele exempl, dada pela eq. (6.6), pde ser reescrita cm: 9 X() 4 j 4 j 4 j 4 j π π π π e e e e eq. (6.) que, usad as equações de Euler (secçã.5) e substituid ( ) / 4 / se π, a eq. (6.) se tra em 4 cs 4 se X() π π que crrespde à eq. (6.9) cm a e ω dads em eq. (6.). Siais se e c-se discrets x[] se(ω )u [] y[] cs(ω )u [] têm as seguites Trasfrmadas : { } ) cs( ) se( [] u ) ( se ω ω ω eq. (6.) e { } ) cs( ) cs( [] u ) cs( ω ω ω eq. (6.4)

21 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas que equivalem a e se( ω ) { se( ω) u[] } eq. (6.5) cs( ω ) [ cs( ω )] { cs( ω) u[] } eq. (6.6) cs( ω ) Exempl 6.8: Csidere sial x[] u seja, ( λ) x[] u[ ] x[] ( ) λ 0,,,,, L 0,,, L Pela defiiçã de Trasfrmada, eq. (6.6), tem-se que: { } x[] X() ( ) λ e da expasã em série de Taylr, eq. (6.), btém-se que a Trasfrmada deste sial é: X() lg ( λ ), > a eq. (6.7) As Trasfrmadas itrduidas esta secçã assim cm as duas secções aterires (u [], u [-m], u [], u [], u [], se(ω ), cs(ω ), a se(ω ), a cs(ω ), etc.) estã reuidas uma tabela a secçã a seguir.

22 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6.8 Tabela da Trasfrmada de algus siais discrets Da mesma frma que fi feit a secçã 5.7 para Trasfrmadas de Laplace, esta secçã apresetams uma Tabela das Trasfrmadas de algus siais discrets. Tab 6. Tabela da Trasfrmada de algus siais discrets x[] X() { x[] } x[] u [] X() x[] u [ m], m 0,,, x[] u [] X( ) m ( ) m X ( ) ( ) x[] u [ ] x[] u [ ] x[] u [] u [] x[] u [] X() X() ( ) X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X() ( ) ( ) ( ) x[] u [] x[] a u [ ] ( 4 X() 4 X() x[] a u [] X( ) ) ( ( ) ( ) 4 ( a ) ( a) ( a ) ( a) 4 )

23 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Tab 6. Tabela da Trasfrmada de algus siais discrets (ctiuaçã) x[] X() { x[] } x[] a u [] a u [] x[] a u [] X( ) x[] se(ω )u [] x[] cs(ω )u [] x[] a se(ω )u [] ( ) X ( ) X ( ) X ( ) X a a a ( a ) ( a ) ( a ) a ( a) ( a ) ( a) se( ω ) cs( ω ) se( ω ) ( cs( ω ) ) cs( ω) cs( ω ) [ ] cs( ω ) ( cs( ω ) ) ( a cs( ω ) a ) a se( ω ) a cs( ω ) a a se( ω ) x[] a cs(ω )u [] ( ) X a cs( ω) a cs( ω ) a [ ] a cs( ω ) ( a cs( ω ) a )

24 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6.9 Prpriedades da Trasfrmada A seguir vams ver algumas prpriedades que sã satisfeitas pela Trasfrmada. Hmgeeidade ( hmgeeity ) k x k x k X eq. (6.8) Aditividade ( additivity ) { x [] x []} { x []} { x []} X () X () eq. (6.9) Liearidade ( liearity ) Cm já vims em aterirmete, a liearidade é a prpriedade da aditividade, eq. (6.9), e da hmgeeidade eq. (6.8) jutas: { α x [] β x []} α { x []} β { x []} α X () β X () eq. (6.0) de α, β C sã cstates e x [], x [] sã dis siais discrets cm Trasfrmadas dadas pr X () e X () respectivamete. Cfrme já meciad aterirmete ( Exempl 6.), a prpriedade da liearidade da Trasfrmada permite escrever 5 u [] u [] 5 u [] u [] 5 5 4

25 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Traslaçã ( time shiftig ): Se x[] é um sial discret defiid apeas para 0,,,, u seja x[] 0, < 0, e cm Trasfrmada dada pr X(), uma traslaçã de m (shift de uidade para direita): { x[ ] } X() x[ ] eq. (6.) Para m (shift de para direita): { x[ ] } X() x[ ] x[ ] eq. (6.) e cas geral, m,,, (shift de m > 0 para direita) { x[ m] } m X() x[ m] x[ m ] x[ m ] L x[ ] m x[ ] m eq. (6.) Os terms x[ ], x[ ] -, x[ ], x[ m] -, etc. crrespdem as resídus a prpriedade da derivada em Trasfrmadas de Laplace (capítul 5, secçã 5.4). Estes terms aparecem pis estams csiderad a Trasfrmada uilateral, cfrme a defiiçã a eq. (6.6), assim cm capítul 5 (secçã 5.4) csiderams a Trasfrmadas de Laplace uilateral. Nte que se x[] tem cdições iiciais ulas (x[] 0, < 0), ist é, se x 0, x 0, x 0,, etc. eq. (6.4) etã estes terms residuais sã tds uls e uma traslaçã de m > 0 (shift de m para direita) equivale a multiplicar pr m ( dmíi, da frequêcia). Ist é, cas de cdições iiciais ulas [eq. (6.4)], tems que s terms residuais desaparecem e as eq. (6.), eq. (6.) e eq. (6.) se trasfrmam a frma bem mais simplificada, resumidas a eq. (6.5). 5

26 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas { x[ ] } X() X() { x [ ] } X() X() M m m { x [ m] } X() X() eq. (6.5) N cas de traslaçã de m (shift de uidade para esquerda): { x[ ] } X() x[0] eq. (6.6) para m (shift de para esquerda): m { x[ ] } X() x[] x[0] eq. (6.7) e cas geral, m,,, (shift de m para esquerda): { x[ m] } m X() x[m ] x[m ] L x[] x[m ] m x[0] m eq. (6.8) Mudaça de escala dmíi ( -dmai scalig ): { α x[] } X α de α C é uma cstate e x[] é um sial discret cm Trasfrmada dada pr X(). Prtat, a mudaça de escala dmíi equivale à multiplicaçã pr α dmíi d temp. Em particular, se α e jω, etã, cm e jω, ω, jω jω { e x[] } X e 6

27 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Expasã temp ( time scalig ): Para um sial discret x[] csidere sial expadid x (k) [] defiid abaix. x ( k) [] x[ / k], 0, se é múltiplde k se ã é múltiplde k qual está ilustrad a figura 6.5 para k e x[],,, Fig. 6.5 x[], 0,,, e x ( k) [] para k. Estes siais expadids x (k) [] satisfaem a seguite prpriedade: k { x ) []} X ( ) ( k Cjugad ( cjugate ) { x []} X ( ) Ode x[] é um sial discret cm Trasfrmada dada pr X(). Nte que, se x[] fr um sial real (x[] R) etã: X() X*(*) lg, se X() tem um pól em a também terá em a *. 7

28 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Cvluçã ( cvluti ) Semelhatemete às trasfrmadas de Furier e de Laplace, também a Trasfrmada tems que a trasfrmada da cvluçã é prdut das Trasfrmadas : { []* x []} X ( ) X () eq. (6.9) x Derivada d dmíi de ( -dmai derivative ) { x[] } dx( ) d de x[] é um sial discret cm Trasfrmada dada pr X(). Prtat a derivada d dmíi de equivale à multiplicaçã pr dmíi d temp. Esta prpriedade permite geeraliar algus siais da tabela Tab 6. das Trasfrmadas a secçã 6.8. Pr exempl, essa tabela pde-se ver as Trasfrmadas ds siais: x[] u [], x[] u [] e x[] u [] e cm esta prpriedade pde-se geeraliar para s siais: x[] u [], x[] 4 u [],, etc. Nessa mesma tabela também se ectram as Trasfrmadas ds siais: x[] a u [], x[] a u [] e x[] a u [] e cm esta prpriedade pde-se geeraliar para s siais: x[] a u [], x[] a 4 u [],, etc. 8

29 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6.0 Terema Valr Iicial (TVI) e Terema Valr Fial (TVF) A exempl ds teremas TVI e TVF para Trasfrmadas de Laplace (secçã 5.5), estes teremas para Trasfrmadas permitem que se descubra valr iicial x[0] e valr fial x[ ] de um sial x[] cuj X(), a Trasfrmada, seja checida. Terema d valr iicial (TVI): x[0] ( ) lim X Terema d valr fial (TVF): ( ) ( ) x[ ] lim X Exempl 6.9: Csidere sial discret d exempl 6., x 5 u cuja Trasfrmada de Laplace é dada pela eq. (6.). Aplicad-se s teremas TVI e TVF btems: x0 lim X lim e x lim X lim 0 que estã de acrd cm esperad pis que cm tems x[], clar, sabems que este cas sã de fact x[0] e x[ ] 0. 9

30 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Exempl 6.0: Se tmarms sial degrau uitári discret x u cuja Trasfrmadas é dada pr (tabela Tab 6. da secçã 6.8) X, etã, aplicad-se s teremas TVI e TVF para Trasfrmada, btems: x0 lim X lim e x lim X lim que vamete estã de acrd cm esperad pis, clar, sabems que para degrau uitári discret x0 e x. Pr utr lad, se tmarms sial rampa uitária discreta x u cuja Trasfrmadas é dada pr (tabela Tab 6. da secçã 6.8) X, etã, aplicad-se s teremas TVI e TVF para Trasfrmada, btems: x0 lim X lim 0 e x lim X lim lim que vamete estã de acrd cm esperad pis, clar, sabems que para a rampa uitária discreta x0 0 e x. Fialmete, se tmarms sial impuls uitári discret x u cuja Trasfrmadas é dada pr (tabela Tab 6. da secçã 6.8) X, etã, aplicad-se s teremas TVI e TVF para Trasfrmada, btems: x0 lim X lim e x lim X lim 0 que vamete estã de acrd cm esperad pis, clar, sabems que para impuls uitári discret x0 e x 0. 0

31 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas 6. Trasfrmada iversa Nesta secçã vams desevlver as técicas de ectrar sial x[] para s quais X(), a Trasfrmada, é checida. Ou seja, vams calcular a Trasfrmada iversa de X(). X x As Trasfrmadas ds pricipais siais de iteresse para sistemas lieares ivariates temp (SLIT) vêm em frma de uma fracçã racial, u seja, uma fracçã d tip: eq. (6.40) de p() e q() sã pliómis em. Cfrme pdems bservar a tabela Tab 6. da secçã 6.8, as Trasfrmadas de muits siais vêm tdas a frma eq. (6.40) de p() e q() sã pliómis meres, ist é, d primeir u segud grau, cm pr exempl:, u, etc. De frma semelhate a que é feita para se achar a Trasfrmadas iversas de Laplace (capítul 5, secçã 5.8), aqui também, para se achar a Trasfrmadas iversa é ecessári desmembrar X() a frma eq. (6.40) em fracções meres, u seja, é precis faer a expasã de X() em fracções parciais. Assim cm as Trasfrmadas iversas de Laplace da secçã 5.8, vams apresetar aqui, através de exempls, três cass de expasã em fracções parciais: póls reais e distits, póls cmplexs e póls múltipls. Os demais cass serã apeas cmbiações destes cass, cm verems s exempls das próximas secções.

32 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Cas Póls reais e distits Vams ilustrar cas de póls reais e distits cm um exempl: Exempl 6.: Csidere a Trasfrmada abaix cm póls distits: /, e /, ( 9 4) ( / )( / ), 8 8 () eq. (6.4) X que, separad-se em duas fracções tems: X() A B e, de frma semelhate a que fi feita capítul 5, secçã 5.8, facilmete calculams que A e B. Usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, - ( / ) u [] - ( / ) u [] e pdems escrever a Trasfrmada iversa de X() [] u[] u [] eq. (6.4) x Alterativamete pde-se calcular este x[] reescreved X() em eq. (6.4) a frma: 4 X() que, separad-se em duas fracções tems:,

33 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas X () A B e, vamete calculams que A e B. Lg, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, pdems escrever a Trasfrmada iversa de X() a frma eq. (6.4), chegad a mesm resultad. Cas Póls cmplexs cjugads Csidere X(), a Trasfrmada de x[], dada abaix: X() eq. (6.4) (ρ cs θ) ρ de ρ > 0 e 0 < θ < π eq. (6.44) Nte que X() tem póls cmplexs cjugads: ρ e ± jθ ρ (cs θ ± j seθ) Para calcular x[] [X()] reescreve-se X() a frma, () ( ρseθ) ( ρseθ) (ρcsθ) ρ X e, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8 e a eq. (6.6) x[] ( ρ se θ) { ρ se[( ) θ] } u [ ] ρ se[( ) θ] u[ ] se θ que este cas equivale a

34 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas x ρ se[( ) θ] [] u [] eq. (6.45) se θ pis para, se () se(0) 0, etã x[ ] 0. Alterativamete pde-se calcular este x[] reescreved X() em eq. (6.4) a frma: X() (ρcs θ) ρ que pde ser clcad a frma: ( se ) X() ρ θ ( ρ seθ) (ρ cs θ) ρ e, vamete, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, pdems escrever a Trasfrmada iversa de X() a frma eq. (6.45), chegad a mesm resultad. Esta sluçã da Trasfrmada iversa de X() da eq. (6.4) eglba uma família de X() d tip eq. (6.40) cm demiadr q() b c que satisfaem b < 4c eq. (6.46) u seja, tal que pliómi q() tem raíes cmplexas cjugadas. Uma fracçã racial d tip q() b c b c de a cdiçã eq. (6.46) é satisfeita, i.e., frma da eq. (6.4) cm ρ > 0 e 0 < θ < π. b < 4c, pde sempre ser reescrita a 4

35 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Exempl 6.: Csidere X() dad pr X() 4 4 etã a eq. (6.46) é satisfeita pis pliómi q() este cas terá b e c 4. Faed ρ c 4 ρ cs θ b ρ cs θ 4 e prtat, θ arccs,8 rad 75,5º, 4 e claramete ρ e θ satisfaem eq. (6.44). Lg, x[], Trasfrmada iversa de X(), é dada pela eq. (6.45) cm ρ e θ,8 rad, u seja: se[( ),8] x[] u[] se (,8) Exempl 6.: Csidere X() dad pr X () etã a eq. (6.46) é satisfeita pis pliómi q() este cas terá b 5 e c 0. Faed ρ c 0 ρ cs θ b 5 cs ρ 0 5 θ 0 0,79 5

36 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas e prtat, θ arccs( 0,79), 48 rad 4,º, e claramete ρ e θ satisfaem eq. (6.44). Lg, x[], Trasfrmada iversa de X(), é dada pela eq. (6.45) cm ρ,6 e θ,48 rad, u seja: (,6) se[( ),48] x[] u[] se (,48) Cas Póls múltipls (dupls, tripls, etc.) Para exemplificar este cas de póls múltipls vams csiderar primeiramete X() cm póls dupls. Vams s ccetrar s cass em que s póls múltipls sã 0. N cas 4 tratarems em separad cas de póls múltipls a rigem ( 0). A cdiçã da eq. (6.44) para cas de póls cmplexs cjugads, i.e., ρ > 0 e 0 < θ < π ã iclui θ 0 e θ π pis a verdade, para estes dis valres s póls de X() deixam de ser cmplexs e passam a ser dupls. Nte que se θ 0 u θ π, etã cs(θ) ± e prtat X() da eq. (6.4) se tra X() (ρ cs θ) ρ ρ ρ u seja, cas de θ 0, u cas de θ π. X() X() eq. (6.47) ( ρ) ( ρ) 6 eq. (6.48)

37 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Prtat, θ 0 u θ π crrespdem as cass de póls dupls de pól dupl é ± ρ. (ctemplad s cass de cs θ ± ). Se X(), a Trasfrmada de x[], estiver a frma da eq. (6.47), pól dupl é ρ e para calcular x[] [X()] reescreve-se X() cm X() ρ ρ ( ρ ) e, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8 e a prpriedade da traslaçã (time shift), este cas de m, ( uidade para esquerda), eq. (6.6), tems que equivale a x[] ρ u [ ] ρ u [ ] ρ ( ) u[ ] ρ pis u [ ] 0 e lg u [] u []. x[] ( ) ρ u[] eq. (6.49) Alterativamete pde-se calcular este x[] reescreved X() em eq. (6.47) a frma: X() ρ ρ ( ρ e, vamete, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, e a prpriedade da traslaçã (time shift), pdems escrever a Trasfrmada iversa de X() a frma eq. (6.49), bted mesm resultad. Se etretat X(), a Trasfrmada de x[], estiver a frma da eq. (6.48), etã, pól dupl é ρ e para calcular x[] [X()] reescreve-se X() cm ) X() ( ρ) ρ ( ( ρ)) e, de frma aálga chegams a resultad x [] ( ) ( ρ) u [] eq. (6.50) 7

38 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Esta sluçã da Trasfrmada iversa de X() da eq. (6.47) u eq. (6.48) eglba uma família de X() d tip eq. (6.40) cm q() b c que satisfaem b 4c eq. (6.5) u seja, tal que pliómi q() tem raíes duplas b/. Exempl 6.4: Csidere X() dad pr X() ( ) etã pliómi q() este cas terá b 6 e c 9 e a eq. (6.5) é satisfeita. Além diss, ρ 9 e pól dupl é ρ. Lg, x[], Trasfrmada iversa de X(), é dada pela eq. (6.50), u seja: x[] ( ) ( ) u[] Exempl 6.5: Csidere X() dad pr 5 X() ( 4) etã pliómi q() este cas terá b 8 e c 6 e a eq. (6.5) é satisfeita. Além diss, ρ 6 4 e pól dupl é ρ 4. Lg, x[], Trasfrmada iversa de X(), é btida pela eq. (6.49), pela prpriedade da hmgeeidade, eq. (6.8), e a pela prpriedade da traslaçã (time shift), eq. (6.6), u seja: x[] 5 ( ) 4 u[] 8

39 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Exempl 6.6: Csidere X() dad pr X() ( ) Aqui pliómi d demiadr q() 4 4, e vamete a eq. (6.5) é satisfeita pis este cas b 4 e c 4. Além diss, ρ 4 e pól dupl é ρ. Lg, reescrevems X() a frma X() ( ) 6 ( ) que equivale a X() ( ) ( ) ( ) ( ) Desta frma x[], a Trasfrmada iversa de X(), é facilmete btida pela eq. (6.50), pela prpriedade da liearidade, eq. (6.0), e a pela prpriedade da traslaçã (time shift), eq. (6.) u, este cas, eq. (6.5). u seja: x[] ( ) u[] ( ) ( ) u[ ] Cas 4 Póls múltipls a rigem O cas particular de póls múltipls em 0 será csiderad separadamete aqui. Já vims acima, cas, que a cdiçã da eq. (6.44) para cas de póls cmplexs cjugads, i.e., 9

40 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas ã iclui ρ > 0 e 0 < θ < π θ 0 e θ π e estes sã s cass que tems póls dupls em 0. Mas esta cdiçã da eq. (6.44) também ã iclui ρ 0 pis vamete, este cas, s póls de X() deixam de ser cmplexs e passam a ser dupls, mas agra em 0. Nte que se ρ 0, X() da eq. (6.4) tra-se X() (ρ cs θ) ρ ( 0) u seja, póls dupls a rigem (i.e., em ρ 0). Usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8 e facilmete calcular x[] [X()] é impuls uitári x[] u [] Pdems facilmete geeraliar para mais póls múltipls a rigem: N cas de póls tripls a rigem (póls tripls em 0), X() terá a expressã: X() ( 0) e a Trasfrmadas, pela tabela Tab 6. da secçã 6.8 fica: x[] u[ ] N cas de póls quádrupls em 0, X() terá a expressã: X () 4 ( 0) 40

41 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas e a Trasfrmadas, pela tabela Tab 6. da secçã 6.8 será: x[] u[ ] e assim pr diate. Geeraliad, se etã X (), k 0,,, k x[] u[ k] 6. Sluçã de equações de difereças usad Trasfrmadas A Trasfrmada é útil para a sluçã de equações de difereças, de frma semelhate a us da trasfrmada de Laplace a sluçã de equações difereciais rdiárias (EDO). Para a resluçã de equações de difereças cm us da Trasfrmada, a prpriedade da traslaçã ( time shift ) [equações eq. (6.) eq. (6.8)] é tã imprtate cm era a prpriedade da derivada cas da Trasfrmada de Laplace a resluçã de EDO. Equações de difereças descrevem a diâmica de sistemas discrets de x[] é a etrada ( iput ) e y[] é a saída ( utput ). Fig. 6.6 Diagrama de blcs (caixa preta) de um sistema. Nrmalmete, a etrada x[] é checida e as cdições iiciais da saída y[], ist é, y[ ], y[ ], y[ ], etc. 4

42 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas O úmer de cdições iiciais ecessárias para reslver a equaçã de difereças é a rdem da própria equaçã de difereças (que é a rdem d sistema). Lg, se fr de ª rdem, precisa-se de y[ ]; se fr de ª rdem, precisa-se de y[ ] e y[ ], e assim pr diate. Exempl 6.7: Csidere a equaçã às difereças de ª rdem. y [] y[ ] x[] eq. (6.5) cm cdiçã iicial ula, y[ ] 0. Faed-se a a Trasfrmada da eq. (6.5) term a term, cm us da eq. (6.), ist é, Y[] Y() X() e lg, Y[] ( ) X() Y[] X() X() eq. (6.5) e prblema de achar a sluçã y[] da equaçã de difereça da eq. (6.5) se cverte prblema de achar a Trasfrmada iversa de Y() da eq. (6.5). Ou seja y[] {Y()} Se x[] u [] (impuls uitári discret), pr exempl, etã X() e, da eq. (6.5): y[] - { Y[] } - u seja, y [] ( ) u [] eq. (6.54) 4

43 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas que é a sluçã da equaçã de difereças eq. (6.5) cm cdiçã iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (impuls uitári discret). Pde-se facilmete verificar que y[] ( ) u[] de fact satisfa a eq. (6.5) cm x[] u [] e que y[ ] 0. Se etretat x[] u [] (degrau uitári discret), etã X() /( ) e prtat, da eq. (6.5): y[] - { Y[] } - - A B ( ) ( ) ( ) ( ) e facilmete se calcula que A ¾ e B ¼. Lg, y[] - 4 ( ) 4 ( ) e agra, usad a tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, e pela prpriedade da liearidade (secçã 6.0) btém-se: [] ( ) u [] eq. (6.55) 4 4 y que é a sluçã da equaçã de difereças eq. (6.5) cm cdiçã iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (degrau uitári discret). Pde-se facilmete verificar que y[] dad pela eq. (6.55) de fact satisfa a eq. (6.5) cm x[] u [] e que a cdiçã iicial, y[ ] 0, se verifica. Exempl 6.8: Csidere agra a mesma equaçã de difereças eq. (6.5), d exempl aterir (exempl 6.7), u seja, mas desta ve cm cdições iicial dada pr: y [] y[ ] x[] eq. (6.56) y[ ] 4

44 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas Prtat aqui tems que utiliar a prpriedade da traslaçã ( shift ) eq. (6.), que s dá, para Trasfrmada desta equaçã de difereças: Y() y[ ] Y() X() e prtat, Y() [ ] X() u seja, Y() X() eq. (6.57) ( ) ( ) er iput respse er state respse Pdems bservar que se x[] e y[] frem respectivamete a etrada e a saída de um sistema discret, etã a saída y[] será cmpsta de duas partes que pdems idetificar as parcelas da sua Trasfrmada, Y(). A primeira parcela Y() (chamada de er iput respse ), crrespde à saída d sistema apeas pel efeit das cdições iiciais, u seja, cm etrada x[] 0. A seguda parcela Y() (chamada de er state respse ), crrespde à saída d sistema apeas pel efeit da etrada x[], u seja, cm cdições iiciais ulas. Csiderems agra que a etrada x[] é sial: x[] 8u [] Lg, 8 8 () e prtat a eq. (6.57) tra-se ( ) ( ) X Y() ( ( ) ) ( 8 ( )( ) 44 8 )( ) eq. (6.58)

45 J. A. M. Felippe de Sua 6 Trasfrmadas que permite acharms a sluçã y[] da equaçã de difereça eq. (6.56) através da sua Trasfrmada iversa y[] { Y() } Prtat, faed a expasã de eq. (6.58) em fracções parciais, tems Y() ( ) ( ) e lg, cm auxíli da tabela Tab 6. das Trasfrmadas da secçã 6.8, btems y[] ( ) u [ ] [ ( ) ] u [ ] u [ ] eq. (6.59) que é a sluçã da equaçã de difereças eq. (6.56) cm cdiçã iicial y[ ] e etrada x[] 8u []. Nte que, cm a equaçã de difereças eq. (6.56) é de ª rdem e y[ ] 0, fi ecessári recuar uma uidade de temp, que crrespde de u [] para u []. Pde-se facilmete verificar que y[] dad pela eq. (6.59) de fact satisfa a eq. (6.56) cm x[] 8u [] e que a cdiçã iicial, y[ ], se verifica. Exempl 6.9: Csidere a equaçã às difereças de ª rdem y[] y[ ] x[] x[ ] eq. (6.60) cm cdiçã iicial ula, ist é, y[ ] 0, de a etrada x[] é x[] u [] degrau uitári discret. 45

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