CONTEÚDO ARTIGOS AOS LEITORES 2. XV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e Soluções

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1 CONTEÚDO AOS LEITORES XV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Probleas e Soluções XLI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA 6 Probleas e Soluções ARTIGOS BRAHMAGUPTA PARA TODOS 8 José Cloves Verde Saraiva EQUAÇÕES DE RECORRÊNCIA Héctor Soza Polla EQUAÇÕES FUNCIONAIS 4 Eduardo Tega OLIMPÍADAS AO REDOR DO MUNDO 45 SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 55 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 COORDENADORES REGIONAIS 60 RECADASTRAMENTO PARA COLÉGIOS 00 6

2 AOS LEITORES Países de grade tradição as oliíadas de Mateática tê o seu ecelete redieto e uito baseado a eistêcia de revistas de divulgação ara estudates ré-uiversitários. Aeas citado algus eelos, a húgara KöMaL, a russa (agora tabé aericaa Kvat (Quatu, a roea Gazeta Mateatica e a caadese (lida or algus, oucos, brasileiros Cru Matheaticoru desevolve e seus aíses o abiete ideal ara o aarecieto e desevolvieto de joves taletosos. Nós quereos que a Eureka! teha o eso sucesso que essas revistas. Para isso estaos tetado trazer artigos cada vez ais iteressates e elucidativos, e robleas cada vez ais boitos e desafiates ara todos os leitores da Eureka! (iclusive os dos Níveis e, oré tal sucesso ão deede eclusivaete de ós. É fudaetal a articiação (uito ativa de todos os leitores. Ficaos bastate cotetes co a reercussão da seção "Oliíadas ao Redor do Mudo", co vários leitores eviado resoluções dos robleas roostos. Mas quereos que todas as outras seções e artigos teha a esa reercussão. Por eelo, vários artigos traze robleas roostos oré raraete recebeos resolução desses robleas. Ficareos cotetes e recebê-las e odereos saber se o úblico-alvo os etedeu. Assi, faça-os saber todo o estudo(! e a diversão(!! que cada ua das Eureka! roorcioou (ão se esqueça dos úeros atigos. INSTRUÇÕES PARA AUTORES Serão ublicados a revistas Eureka! artigos relevates a rearação dos estudates ara a Oliíada Brasileira de Mateática e seus diversos íveis e ara várias oliíadas de caráter iteracioal das quais o Brasil articia. Coo ara a grade aioria dos tóicos e técicas elorados as oliíadas ão eiste ublicações eositórias adequadas e lígua ortuguesa, osso objetivo iicial é abordá-los todos e artigos auto-suficietes. Assi, dareos referêcia àqueles que trate de assutos aida ão elorados os úeros ateriores da Eureka!. Coo a deficiêcia e artigos adequados ara estudates do Esio Fudaetal (Níveis e da OBM é aida ais grave, estes terão riazia a sua ublicação. Vale a ea observar que, quado u tea é iortate ara os estudates de diversos íveis, ele deve aarecer e artigos adequados ara cada u desses íveis, searadaete. É recoedável que os artigos traga algus robleas resolvidos detalhadaete e referêcias que o coleete ou arofude. Os Editores. EUREKA! N 9, 000

3 XV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA 6 a 4 de setebro, Caracas - Veezuela A XV Oliíada Iberoaericaa de Mateática foi realizada e Caracas, Veezuela o eríodo de 6 a 4 de setebro de 000. A equie brasileira foi liderada elos rofessores Ralh Costa Teieira (Rio de Jaeiro - RJ e Eduardo Tega (São Paulo - SP. Nesta oortuidade a equie brasileira obteve a aior otuação etre os aíses articiates alé da Coa Puerto Rico, rêio etregue ao aís co aior rogresso os últios dois aos a coetição. RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA BRA Daiel Nobuo Uo Prata BRA Daiel Massaki Yaaoto Ouro BRA Fabrício Siqueira Beevides Ouro BRA4 Huberto Silva Naves Ouro PRIMEIRO DIA PROBLEMA Costrói-se u olígoo regular de lados ( e euera-se os vértices de a. Traça-se todas as diagoais do olígoo. Deostrar que se é íar, é ossível associar a cada lado e a cada diagoal u úero iteiro de a, tal que se verifique siultaeaete as seguites codições:. O úero associado a cada lado ou diagoal seja diferete dos úeros dos seus vértices.. Para cada vértice, todos os lados e diagoais que ele se itersecte teha úeros diferetes. SOLUÇÃO DE HUMBERTO SILVA NAVES (SÃO PAULO - SP Eiste u jeito siles de itar os lados e as diagoais do olígoo regular. Escolhe-se u oto do olígoo regular co o úero "i" associado à este oto, que chaareos de P i. Seja O o cetro da circuferêcia circuscrita ao olígoo regular. EUREKA! N 9, 000

4 i P i i ' O i ' Fig. Sabeos que a reta P i O é eio de sietria dos otos do olígoo regular e ehu oto do olígoo está sobre a reta P i O (ois é íar. Digaos esses ares de otos siétricos e ueraos co o úero "i", ou seja egaos u outro oto qualquer (diferete de P i do olígoo regular, ligaos co o seu resectivo siétrico e ueraos co o úero "i" (fazeos isso ara todos os outros otos. Vide fig.. Este é u eelo do rocesso ara o oto P i. Reetios esse rocesso ara todos os otos do olígoo regular. Desta fora itaos todos os lados e todas as diagoais, ois: De ua fora geral (e ais siles: Se quiseros saber o úero de u segeto Pi Pj do olígoo regular, basta traçaros a ediatriz desse segeto, que vai certaete ecotrar u outro vértice X do olígoo regular (ois é íar e o segeto Pi Pj vai ter o eso úero de X. Esta fora de ueração claraete satisfaz as codições do euciado ois: Não eiste ehu segeto co o eso úero de u de seus vértices, ois a ediatriz desse segeto ão assa elos vértices do segeto. Para cada vértice, todos os lados e todas as diagoais que icide este vértice te úeros diferetes, ois se eistisse dois segetos de eso úero, teríaos: EUREKA! N 9, 000 4

5 P j w P w O P i O oto P w (que deve estar a ediatriz de Pi Pj e a ediatriz de P i P t é o rório O, u absurdo. w Logo vale a roriedade e isso acaba o roblea. P t PROBLEMA Seja S e S duas circuferêcias de cetros O e O, resectivaete, secates e M e N. A reta t é a tagete cou a S e S, ais róia de M. Os otos A e B são os otos de tagêcia de t co S e S, resectivaete, C é o oto diaetralete oosto a B e D é o oto de iterseção da reta O O co a reta eredicular à reta AM que assa or B. Deostrar que M, D e C são colieares. SOLUÇÃO DE DANIEL MASSAKI YAMAMOTO (SÃO PAULO - SP BC é diâetro B M ˆC 90 Para rovar [MDC], basta rovar que B MD ˆ BMˆ C 90 B A α M β 90 β Γ Γ θ O D O N EUREKA! N 9, 000 5

6 EUREKA! N 9, Geoetria Aalítica: Dados: M (0, A (, 0 O (, B (, 0 O (, Quero deteriar D: M O D O C (, Γ Γ Γ N B A (, 0 (, 0 0 ( : AM BD AM : BD ( : ( : O O } { D O O BD ( ( ( D 0 ( ( coef. agular de ( ( ( ( ( ( ( : DM D D

7 EUREKA! N 9, ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( coef. ag. de BM :, logo DM BM. PROBLEMA Ecotrar todas as soluções da equação ( z ara,, z iteiros aiores que. SOLUÇÃO Cosiderado a equação ódulo, obteos (, (od z o que ilica que z é íar. Logo ( (... ( ( ( ( z z z z ( (... z z e, etão, é ar ois, caso cotrário, os dois lados de ( seria de aridade oosta.

8 z Aalogaete, escrevedo ( a fora ( (... (, ós veos que é ar tabé. Seja, ortato, e Etão or (, z ( (( ((. Teos aida que ( e, coo é ar, dc ((,(. Assi de (, ( (4. ( z Coseqüeteete, > z, ou seja, e, de (4, e z. P.S. É gratificate saber que tal equação estudada or grades ateáticos desse século coo W.J. Leveque e A. Schizel, ode ser resolvida or brilhates estudates ré-uiversitários e u teo tão liitado quado o de ua rova de oliíada. SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 De ua rogressão aritética ifiita, a, a, de úeros reais, eliia-se teros, obtedo-se ua rogressão geoétrica ifiita, a, a, de razão q. Deteriar os ossíveis valores de q. z z SOLUÇÃO DE DANIEL NOBUO UNO (SÃO PAULO - SP PG, r; r; r... co i Z ; aeas r r i r 0 0 q.... r r ( r ( r r r r Suodo r 0 ; r ( r r r i. EUREKA! N 9, 000 8

9 a Coo ; Z, etão r é racioal; Seja r ; ode a; b Z ; b 0, a e b b rios etre si. Daí: q r. r Q q Q. c Seja q ; c; d Z ; d 0 c e d rios etre si. d Daí tereos a ki a b PA : ki b b j c c PG: j d d Aálise do deoiador: PA: j ki a b ; ki a b Z o áio do deoiador é b. b j c j PG: coo dc(c; d o deoiador é d. j d Podeos egar u j suficieteete grade tal que d j > b Logo, a PG ão ode ser ifiita ara d >. Logo; coo d Z d ou d. Se d q c razão iteira, e ara isso, é só egar r e tirar os teros desecessários. r 0 se d. A PA será sere crescete ou sere decrescete ( PROBLEMA 5 Dois jogadores, alteradaete, retira edras de u cojuto de 000 edras, de acordo co as seguites regras:. E cada jogada ode-se retirar,,, 4 ou 5 edras.. E cada jogada, u jogador ão ode retirar o eso úero de edras que o seu adversário retirou a jogada aterior. EUREKA! N 9, 000 9

10 O jogador que, a sua vez, ão uder jogar de aeira válida, erde. Deteriar que jogador te ua estratégia que lhe garata a vitória e ecotrar essa estratégia. SOLUÇÃO DE DANIEL MASSAKI YAMAMOTO (SÃO PAULO - SP \ 4 5 \ se que vai jogar agora erde (co abos G(, se gaha. atual ovieto aterior G (, 0 A fórula recursiva é jogado o elhor ossível. 0 se ara todo i 5, i, i, G( i, i (isto é, se o outro gaha G (, ara qualquer ovieto caso cotrário. EUREKA! N 9, 000 0

11 Para 5, G (, se Podeos defiir G (0, 0 Sociedade Brasileira de Mateática Visualizado: Coo reecher a liha : veja os quadrados co (* (* (* (* (* (* Se fora todos 's, a liha terá só zeros. Se tiver dois ou ais zeros, a liha terá todos 's. Se for zero, todos serão 's, a eos da que está a esa colua do zero. Sere erde: 7,, 0, 6,, 9, 46 Parece que ara 7 ou (ód sere erde (G(, 0 Basta ver que há u bloco 5 5 da tabela que se reete, (tirado as 6 rieiras lihas. Agora vaos rovar a fórula recursiva. Prieiras 5 lihas: - G (, se, ois ele ode tirar edras e gahar. - G (, 0, ois ão ode jogar. - G (,, ois tirado ua edra, forçará o outro a ficar co G (,,... - G (i, i 0, i, 4 ou 5, ois ão iorta coo jogue o outro ode gahar. Agora, a fórula os outros casos: Tirado i edras, se você está co G(,, o adversário vai ficar co G( i, i. Se algu deles for 0, o adversário vai erder e você gaha. Se todos fore, o adversário sere gaha. Note que você ão ode tirar edras, etão ão ode deiar o adversário co G(,. EUREKA! N 9, 000

12 Na tabela, o bloco que se reete é 7, igual a 6 0. Etão o rieiro jogador gaha, ois se ele tirar 4 edras a rieira jogada, vai deiar o outro co 996 edras (od o segudo erde. PROBLEMA 6 U heágoo coveo é boito se te quatro diagoais de corieto cujos etreos cotê todos os vértices do heágoo. (a Para cada úero k aior que 0 e eor ou igual a, ecotrar u heágoo boito de área k. (b Deostrar que a área de u heágoo boito qualquer é eor que. SOLUÇÃO Cosidereos todos os heágoos boitos ABCDEF co lados oostos aralelos tais que os quatro segetos dados de corieto são AC, CE, BF e FD. Seja α BFD ACE (figura (a. A B A' A B F C α F C' C E D E' E D (a (b Trasladeos os segetos AC e CE a direção de AB ara obter A 'C' e C ' E' resectivaete de fora que A ', F, E' seja colieares do eso odo que B, C', D. A área do heágoo ABCDEF é igual a área do retâgulo A'BDE' que or sua vez é igual a se α (figura (b. Dado que quaisquer k (0,] é igual a se α ara algu α co 0 < α 90 etão teos u heágoo boito que cure o edido. b Para deostrar o resultado edido, euciaos os seguites leas se deostração: EUREKA! N 9, 000

13 - A soa dos corietos de u ar de lados oostos de u quadrilátero coveo é eor que a soa dos corietos das diagoais. - A área de u quadrilátero coveo é eor ou igual que a etade do roduto das suas diagoais. Utilizareos or silicidade a seguite teriología: Sabeos que o heágoo há quatro diagoais de corieto cujos etreos coté todos os vértices do eso. Chaareos diagoais riciais as diagoais e questão. Defiaos o grau de u vértice de u heágoo boito coo o úero de diagoais riciais que assa or ele. Alé disso deotareos or diagoal que divida ao heágoo os quadriláteros. Dado que a soa dos graus dos vértices é 8 e o grau de cada u é elo eos, teos dois casos: a U vértice te grau e os restates tê grau. b Dois vértices tê grau e os restates tê grau. No rieiro caso, dado que há eataete três diagoais que sae de u eso vértice u heágoo, só há u ossível tio de cofiguração (salvo "issoorfiso" de grafos: Pelo lea a área do heágoo é eor ou igual que ( AB AC e isto é eor que (AX BC ela desigualdade triagular. Coo AX, BC, a área é eor que. M A N B O X C Para o segudo caso, seja P e Q os vértices de grau áio. Cosidereos as ossibilidades: c Os vértices P, Q estão coectados or ua diagoal ricial. Nesse caso se a diagoal que os coecta ão é cetral, as outras diagoais riciais que sae destes dois vértices deve estar u eso lado de PQ. Alé disso, algua dessas diagoais deve ser cetral, ois caso cotrário, chegaria a u eso oto e esse caso se foraria u triâgulo equilátero co diagoais riciais coo lados e sabeos que isso ão ode ocorrer ois haveria três vértices de EUREKA! N 9, 000

14 grau. Portato, deededo se abas diagoais são cetrais ou só ua é, se areseta as seguites cofigurações: No deseho à direita, AB elo lea. Logo a área do heágoo é eor ou igual que ( AB CQ PQ AD < ( CQ AD e isto é eor que elo lea. P A C D B Q P A C D B Q No deseho à esquerda, AB < elo lea. Logo, a área do heágoo é eor ou igual que ( AB PC PQ BD < ( Se a diagoal que os coecta é cetral, as outras diagoais riciais que sae de P e Q deve estar e lados distitos de PQ, ois caso cotrário, se utilizarão já três diagoais se haver uido dois vértices cosecutivos que fica a u lado de PQ e estes ão ode ser coectados ela diagoal que falta. Etão, só há ua cofiguração ossível: Aqui a área é eor ou igual que ( PX QY < (, elos leas e resectivaete. d Os vértices P e Q ão estão coectados or ua diagoal ricial. Nesse caso só há três cofigurações ossíveis: Y Q P X Pelo lea, este caso a área é eor ou igual que (. P Q EUREKA! N 9, 000 4

15 Neste caso a área é eor ou igual que ( XY < ( <, ode o últio se da or desigualdade triagular. X P Q Y Pelo lea, algu dos segetos PX ou QY ede eos que, logo esta cofiguração ode ser reduzida à cofiguração de u vértice de grau três, que já foi estudada (se be ão é a esa, o raciocíio é idêtico. Esgotadas as ossibilidades, se resolve coletaete o roblea. X P Y Q Você sabia Que eiste u algorito que, dada ua soa evolvedo ua fução hiergeoétrica (or eelo: bioiais, eoeciais, logaríticas, trigooétricas, eressa-a coo ua soa telescóica. Co isso, odeos ecotrar ua recursão satisfeita or tal soa ou eso, quado ossível, obter ua fórula fechada. O ais iressioate é que o algorito só ão obté ua fórula fechada se esta ão eistir (ais recisaete, quado a soa ão uder ser escrita coo ua fução hiergeoétrica. Os autores deste algorito - Marko Petkovsek, Herbert Wilf e Doro Zeilberger - ublicara u livro descrevedo sua descoberta, co o iusitado título "A B ". Este livro ecotra-se disoível a rede. Veja : htt:// EUREKA! N 9, 000 5

16 XLI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Probleas e Soluções PROBLEMA Duas circuferêcias Γ e Γ itersecta-se e M e N. Seja l a tagete cou a Γ e Γ que está ais róia de M do que de N. A reta l é tagete a Γ e A e a Γ e B. A reta aralela a l que assa or M itersecta ovaete a circuferêcia Γ e C e ovaete a circuferêcia Γ e D. As retas CA e DB itersecta-se e E; as retas AN e CD itersecta-se e P; as retas BN e CD itersecta-se e Q. Mostre que EP EQ. SOLUÇÃO DE ONOFRE CAMPOS DA SILVA FARIAS (FORTALEZA - CE e DANIEL MASSAKI YAMAMOTO (SÃO PAULO - SP E B l ε D α ε ε A α M Q α P C Γ N Γ Iicialete, vaos ostrar que AE AM e que BE BM. De fato, coo AB CD e AB é tagete a Γ, segue-se que EAB ACM BAM α e EBA BDM ABM ε Daí, é iediato que os triâgulos EAB e MAB são cogruetes (caso ALA, de odo que AE AM e BE BM. EUREKA! N 9, 000 6

17 Alé disso, segue da cogruêcia que EM AB, e ortato, EM CD. Agora, basta ostraros que PM MQ, orque dessa fora EM será ediatriz de PQ, tal que EP EQ. Para isto, ote que o rologaeto de MN assa elo oto édio de AB, ois MN é o eio radical das duas circuferêcias e AB é tagete cou. Assi, coo PQ AB, cocluíos que MN tabé assa elo oto édio de PQ. Logo, EM PQ e EM assa elo oto édio de PQ, de odo que EM é ediatriz de PQ e EP EQ. SOLUÇÃO DE DANIEL NOBUO UNO (SÃO PAULO - SP X α A E α α β M α β β B Q β Y β D e Γ C α P Γ α β α α β β N [XABY] Teos CAN ˆ CMˆ N e NBD ˆ NMˆ D. Coo CMN ˆ NMD ˆ π EAN ˆ EBN ˆ π CAN ˆ π NBˆ D π ; teos que AEBN é cíclico. Seja E AB ˆ α ECD ˆ α ANM ˆ α; XAC ˆ α CNˆ A α. Seja EBA ˆ β, aalogaete, BDM ˆ BNM ˆ YBD ˆ DNˆ B β Coo AEBN é cíclico, EAB ˆ ENˆ B α ; EBA ˆ ENˆ A β ECQ ˆ ENQ ˆ ECNQ é cíclico EQC ˆ ENˆ C α β EDP ˆ ENP ˆ EDNP é cíclico E PD ˆ ENˆ D α β. Logo, EPQ é isósceles. EUREKA! N 9, 000 7

18 PROBLEMA Seja a, b, c úeros reais ositivos tais que abc. Prove que a b c. b c a SOLUÇÃO z Fazedo a, b, c z (odeos toar, or eelo,, a, z ac, a desigualdade é b equivalete a ( z ( z( z z. Fazedo u z, v z e w z, teos u v, u w z e v w, dode a desigualdade é equivalete a 8uvw ( u v( u w( v w. Coo u v, u w e v w são todos ositivos, o áio u detre os úeros u, v e w ão é ositivo. Se houver u tal úero, 8uvw será egativo ou ulo, equato ( u v( u w( v w é ositivo, e a desigualdade acia é trivial. Se u, v e w são ositivos, a desigualdade acia é coseqüêcia direta da desigualdade etre as édias aritética e geoétrica, ois ( u v( u w( v w u v uv u w uw v w vw uvw, dode a desigualdade é equivalete a u v uv u w uw v w vw 6uvw, que segue das desigualdades u v vw uvw, uv uw uvw e u w v w uvw. PROBLEMA Seja u úero iteiro ositivo. No iício eiste ulgas ua reta horizotal, e todas o eso oto. Para u úero real ositivo λ, defie-se u salto da seguite aeira: Escolhe-se duas ulgas quaisquer os otos A e B co o oto A à esquerda do oto B; A ulga que está e A salta até o oto C da reta, à direita de B, tal que BC λ. AB Deterie todos os valores de λ ara os quais, ara qualquer oto M a reta e quaisquer osições iiciais das ulgas, eiste ua sucessão fiita de saltos que leva todas as ulgas ara otos à direita de M. EUREKA! N 9, 000 8

19 SOLUÇÃO: A resosta é ara l ( Deveos deostrar duas coisas: a que, ara l, eiste ua seqüêcia ifiita de ovietos que vai ( levado as ulgas cada vez ais ara a direita, ultraassado qualquer oto refiado M; b que, ara l < e ara qualquer osição iicial dada as ulgas, eiste u ( oto M tal que as ulgas e u úero fiito de ovietos jaais alcaça ou ultraassa M. Coeçareos elo ite b. Seja,,..., as osições iiciais das ulgas, co..., de tal fora que é a osição da ulga ais à direita. Seja P (.... ( ( l l l l O oto P claraete está à direita de todas as ulgas. Afiraos que se aós algus ovietos as ovas osições são defiios P' ( ' ' '... '. ( ( l l l l ',..., ' e Se P' P, isto coclui a deostração. Basta cosiderar o que ocorre aós u ovieto. Se a ulga que estava e i ula sobre a ulga que estava e etão ' l ( i e ' l l i e P ' P. Qualquer outro caso é aida ais favorável. De fato, se a ulga que ulou cotiua atrás de, teos ' e '... ' >..., dode P ' < P. Se ela assa de, tereos ' j ( j i ' < ' j <. j i i EUREKA! N 9, 000 9

20 Ite a Se P (... se, e cada ovieto, a ulga ais à esquerda ula sobre a ulga ais à direita, teos ' ( ' e P ' P, dode P é ua costate ositiva (escolhedo a orige, or eelo, e. Teos etão ( j (... (... P j P ( j P ' (, j dode o oto P ais à direita caiha elo eos ara a direita a cada asso, logo tede a ifiito. Coo o oto ais a direita, aós assos será o oto ais à esquerda, todos os otos tede a ifiito (ara a direita. Nota: Na estratégia descrita a solução do ite a, o oto ais à esquerda se tora sere o ais à direita, dode odeos defiir ' (, e teriaos silesete j ' j, j. Reduzios etão a aálise dessa estratégia ao estudo da recorrêcia liear (, cujo oliôio característico é P ( (, P( do qual é raiz, dode, coo (..., a eressão (... é u ivariate da recorrêcia, isto é,, dode é costate. Daí ve ossa fórula ara P. Veja o artigo sobre equações de recorrêcia esta Eureka. PROBLEMA 4 U ágico te ce cartões uerados de a 00. Coloca-os e três caias, ua verelha, ua braca e ua azul, de odo que cada caia coté elo eos u cartão. Ua essoa da latéia escolhe duas das três caias, selecioa u cartão de cada caia e aucia a soa dos úeros dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta soa, o ágico idetifica a caia da qual ão se retirou ehu cartão. De quatas aeiras ode ser colocados todos os cartões as caias de odo de que este truque sere fucioe? (Duas aeiras cosidera-se diferetes se elo eos u cartão é colocado ua caia diferete. EUREKA! N 9, 000 0

21 SOLUÇÃO DE FABRÍCIO SIQUEIRA BENEVIDES (FORTALEZA - CE Seja f ( o úero de aeiras de se colocare os cartões de a, as se cotar a orde das caias. No fial, basta ultilicar f (00 or 6!. Achaos facilete que f ( 4, ode as duas úicas aeiras são:, 4 e, 4 Vaos rovar or idução que f ( f ( ara 4, e que as úicas aeiras são das foras: A, 4, 7,... B, 5,... e,,...,, 6,... Há duas ossibilidades ara o cartão : Ele aarece juto co outros cartões. Nesse caso, os cartões de a estarão a cofiguração A ou B. Se for A:, e estão e caias diferetes. ão ode estar a esa caia de ou, ois ( ( ( ( Se colocaros a esa caia de, a ágica fucioará. Basta ver a soa ódulo. No caso B: ão ode etrar e ehua caia, ois ( ( e ( ( ( está e ua caia isolada. Coo ( ( ( (, e deve estar a esa caia. Teos a seguite cofiguração: Se k está juto co e k está a outra caia,,, k ( k ( k. k Etão k e k estão a esa caia. Fazedo isso ara k,,...,, teos que os cartões,,..., estão a esa caia. Coo a outra caia ão ode ficar vazia, está ela. EUREKA! N 9, 000

22 Para ver que esta cofiguração fucioa, basta ver os itervalos das ossíveis soas ara cada ar de caias. o úero total é 6 f (00. PROBLEMA 5 Verifique se eiste u iteiro ositivo tal que é divisível or eataete 000 úeros rios diferetes e é divisível or. SOLUÇÃO DE HUMBERTO SILVA NAVES (SÃO PAULO - SP Vaos, rieiraete, rovar o seguite "suer-lea": Lea: e te elo eos "" fatores rios distitos: Esse lea será rovado or idução: Quado ou, o lea é verdadeiro ois 9 e 5 9 Suoha que seja válido, tabé, ara u certo "" (, Vaos rovar que tabé é verdadeiro ara " " : * ( k ( k k ** k Z k ( a, b R teos : a Sóque dc( b ; ois k ( ( k ( a b( a [( ( k ( ab b P k.. k ], dc ( ois ( ; Logo deve eistir u fator rio "j" tal que j ( e j / (, logo ( ( te elo eos fator rio a ais que, logo te elo eos " " fatores rios e sua decoosição. Logo o lea é válido ara " ", tabé. Pelo ricíio da idução fiita, rovaos que o lea é verdadeiro ara todo atural "". EUREKA! N 9, 000

23 Proto, o "suer-lea" veio te salvar essa hora de sufoco! Sabeos que íar 000 te elo eos 000 fatores rios e egaos 999 fatores rios que são diferetes de e os chaaos de ; ; ;...; 999. Teos que e Basta escolheros o iteiro íar , ois: e coo 000 Logo eiste u "" de 000 fatores rios, tal que. PROBLEMA 6 Seja AH, BH, CH as alturas de u triâgulo acutâgulo ABC. A circuferêcia iscrita o triâgulo ABC é tagete aos lados BC, CA, AB e T, T, T, resectivaete. Seja l a reta siétrica da reta H H relativaete à reta T T, l a reta siétrica da reta H H relativaete à reta T T e l a reta siétrica da reta H H relativaete à reta T T. Prove que l, l, l deteria u triâgulo cujos vértices ertece à circuferêcia iscrita o triâgulo ABC. SOLUÇÃO DE ONOFRE CAMPOS DA SILVA FARIAS (FORTALEZA - CE A H H T P L T M N l B T C fig. 0 EUREKA! N 9, 000

24 Iicialete, vaos ostrar que as retas l, l e l são aralelas aos lados BC, CA e AB, resectivaete. Seja P H H TT, M e N os otos de iterseção da reta l co a circuferêcia iscrita. Suodo AB < AC, teos a fig. 0 acia. Veja que PH T AH H C, B C ATT ATT, de odo que B C H PT e H PM. H PT B C, e, ortato, H LM H PM LH P (B C C B. Logo, l BC e, aalogaete, cocluíos que l AC e l BA. Se AB AC, etão, l BC or sietria. Neste caso, tereos H H T T l BC. Agora, vaos calcular a distâcia etre as retas l e BC. Coo PT é a bissetriz do âgulo H PN, etão Mas, d(t, PH d(t, l e d(l, BC d(t, BC d(t, PH ( d(t, BC ( c.se C e coo AH H B, segue que d(t, PH H T.se B. ( Tabé, E (, obteos: H T CH CT a.cos C ( c. d(t, PH (a.cos C ( cse B. ( Usado que a b c b c a.cos C, se B, se C, obteos: b R R EUREKA! N 9, 000 4

25 d( l, BC ( c. sec ( c. seb seb.( a.cosc c R ( c( b b a. R R ( a b c.( b c a 4R ab ac a 4R a b c a R ( a. sea. Dessa fora, acabaos de ostrar que b c b b c 4R d(l, BC d(t, AB d(t, AC ( a.se A. (* Vaos ostra agora que BT BN e, aalogaete, ostrareos que CT CM. Seja U e V as rojeções ortogoais de T e N sobre os lados AB e BC resectivaete. Etão, NV T U ( a.se A. que Seja I o icetro e E a rojeção ortogoal de I sobre l (fig. 0. Veja EN T V e EI ( a.se A r. A U T P T M I E r N l r B T V fig. 0 C EUREKA! N 9, 000 5

26 i T V ii T U EN IN EI r r.( ase A ( a.se T T T T T U ( a.se (( a.se A r A Agora, o quadrilátero AT IT é iscritível a circuferêcia de diâetro AI. Logo, teos duas relações: I T T AI.se A; II T T.AI r.at r.( a (elo teorea de Ptoloeu. De (I e (II, obteos T T r.( a.se A. Portato, e (i e (ii ficaos co V T U T V T U, e coo BT BT, or últio segue que T A BVN BUT (** de odo que BT BN, coo queríaos deostrar. A T T r I r B fig. 0 C De (**, aida odeos cocluir que ABT CBN, e coo ABI CBI, teos T BI NBI. EUREKA! N 9, 000 6

27 Fialete, coo T B NB, odeos cocluir que N é o siétrico de T e relação à bissetriz do âgulo B. Aalogaete, M é o siétrico de T e relação à bissetriz itera do âgulo C. Dessa fora, odeos redefiir as retas l, l e l da seguite fora: Seja S, S e S, resectivaete, os siétricos de T, T e T e relação às bissetrizes dos âgulos A, B e C, resectivaete. L é a reta que assa or S e S, l é a reta que assa or S e S e l é a reta que assa or S e S. Claraete, l, l e l deteria u triâgulo iscrito a circuferêcia iscrita o triâgulo ABC. EUREKA! N 9, 000 7

28 BRAHMAGUPTA PARA TODOS José Cloves Verde Saraiva - UEMA Nível Iterediário Nestas otas aresetareos as fórulas da geoetria laa ara o cálculo da área de u triâgulo e de u quadrilátero cíclico (iscrito ua circuferêcia e fução do corieto de seus lados e de seu seieríetro. Para o triâgulo esta é cohecida coo a fórula de Hero de Aleadria, ebora escritores árabes afire que esta foi descoberta or Arquiedes. Para os quadriláteros cíclicos há ua geeralização atural da fórula de Hero, tão iortate, que é cosiderada coo a ais otável descoberta da geoetria hidu, feita or BRAHMAGUPTA. Origialete a rova de Brahaguta faz uso do cohecido Teorea de Ptoloeu ara quadriláteros cíclicos. Aqui, estas duas fórulas são deduzidas, eleetarete, da Lei dos co-seos ara u triâgulo.. A FÓRMULA DE HERON Seja ABC u triâgulo cujos lados ede a, b e c idicados a figura abaio, etão a edida da área deste triâgulo é dada ela fórula: S ( a( b( c ode ( a b c é o sei-erietro do ABC. B a c h C b A O autor agradece o aoio à esquisa da Uiversidade Estadual de Marahão (UEMA e o saudável abiete de trabalho do DEMATI-CECEN EUREKA! N 9, 000 8

29 Prova: Todos sabe que a área de u triâgulo é calculada ela fórula S bh. Nas codições aqui tratadas sabeos que a altura relativa ao lado CA é dada or h a seĉ, dode odeos escrever ara a área: S ab secˆ (* É tabé uito cohecida a Lei dos co-seos ara u triâgulo. E, ela figura acia, esta ode ser escrita coo: c a b ab cos Cˆ (** Co efeito, elevado ao quadrado S a eressão (* teos que: 4S ˆ a b se C a b ( cos Cˆ ab( coscˆ ab( coscˆ ( ab ab coscˆ( ab ab coscˆ Multilicado este últio resultado or 4, obteos: 6S (ab ab coscˆ(ab ab cos Cˆ o qual odeos coletar quadrados e adequar os fatores ara o uso da Lei dos co-seos (** teos: 6S [ a b ab a b ab coscˆ][ a b ab a b [ ( a b c ][( a b c ] [ c ( a b ][( a b c ] fatorado as difereças de quadrados, odeos escrever: 6S ( c a b( c a b( a b c( a b c ( a b c( a b c( a b c( a b c Aode, dividido or 6: S ( a b c ( a b c a ( a b c b ( a b c c ab coscˆ] EUREKA! N 9, 000 9

30 Portato: S ( a b c ( a b c a ( a b c b ( a b c c substituido o sei-eríetro ( a b c, cocluíos que: S ( a( b( c, a cohecida fórula de Hero. De ua certa aalogia da fórula acia deostrada deduzios, a seguir, o resultado ricial destas otas.. A FÓRMULA DE BRAHMAGUPTA A edida da área de u quadrilátero cíclico de lados a, b, c, d cujo seieríetro deotado or é a seguite: K ( a( b( c( d A D d a B b c C ode ( a b c d ( a ( a b c d ( b ( a b c d ( c ( a b c d ( d ( a b c d Os seguites fatos eleetares são cosiderados a rova: I. Seja u quadrilátero tal que seus âgulos oostos iteros seja suleetares: a figura teos B ˆ D ˆ 80 (esta relação vale ara os quadriláteros cíclicos. II. As áreas dos triâgulos S e S são dadas elas relações: S ab sebˆ e S cd sedˆ EUREKA! N 9, 000 0

31 III. A diagoal, idicada a figura aterior, ela Lei dos co-seos alicada aos triâgulos S e S verifica a relação: a b ab Bˆ cos c d cd cos Dˆ Prova: De I. obteos que cos( B ˆ Dˆ, que ilica a igualdade sebˆ sedˆ cos Bˆ cos Dˆ (*. Co efeito, seja K a edida da área do quadrilátero cíclico dada or: K S S, Substituido II. Obteos a igualdade K ab sebˆ cd sedˆ. Elevado ao quadrado obteos: K a b se Bˆ abcd sebˆ sedˆ 4 c d se Dˆ substituido (* o roduto de seos teos: 4K ou elhor, ( cos ˆ ( cos ˆ cos ˆ a b B abcd B D c d ( cos 4K a b ( cos Bˆ abcd( cos Bˆ cos Dˆ abcd( cos Bˆ cos Dˆ c d ( cos Dˆ 4K a b ( cos Bˆ( cos Bˆ ab( cos Dˆ cd( cos Bˆ c d ( cos Dˆ ( cos Dˆ Multilicado, adequadaete, or 4 os dois ebros, 6K [ ab ( cosbˆ cd ( cosdˆ ] [ ab ( cosbˆ cd ( cosdˆ ] 6K [ab cosbˆ abcd cosdˆ cd][ab cosbˆ ab cd cosdˆ cd cosdˆ] Substituido a relação III. obteos: 6K [ a b ab ( c d cd][ a b ab ( c d cd] 6K [( a b ( c d ][( a b ( c d ] 6K [( a b ( c d][( a b ( c d][( a b ( c d][( a b ( c d] or tato teos que: K ( a b c d ( a b c d daí, é iediato ver que: Dˆ ( a b c d ( a b c d EUREKA! N 9, 000

32 K ( a( b( c( d eritido cocluir que, K ( a( b( c( d cocluido a rova. Coo observação fial, a fórula acia deostrada ão ode ser ais geral do que foi rovado or BRAHMAGUPTA. De fato, a fórula vale eataete ara os quadriláteros cíclicos. E geral, se o quadrilátero ão for cíclico, sua área é estritaete eor que ( a( b( c( d, ois esse caso sebˆ sedˆ < cos Bˆ cosdˆ, o que ode ser usado coo a rova acia ara rovar ossa afiração. REFERÊNCIA E.W. Hobso, A Treatise o Plae Trigooetr (NY; Macilla Coa, 4 a ed., (90, g. 04. EUREKA! N 9, 000

33 EQUAÇÕES DE RECORRÊNCIA Héctor Soza Polla - Uiversidade Católica do Norte - Atofagasta, Chile Nível Avaçado Freqüeteete e teoria da Coutação (ver eelo [], ao aalisar o teo de eecução de u algorito (ou o esaço ocuado a eória elos dados, obteos ua (ou ais equações discretas, chaadas de Equações de Recorrêcia, cuja icógita é ua fução iteira f(, que geralete é ua fução do taaho do roblea (or eelo: a quatidade de dados a ordear se é u algorito de ordeaeto. Esta equação resulta ser ua relação etre f( e seus valores révios, coo são f(, f( /, ou outro. Alé disso se coheceos o algorito aalisado co detalhe, odeos estabelecer u valor de bordo u oto dado (coo f(0 or eelo. Neste artigo são aresetados algus dos étodos desevolvidos ara resolver este tio de equações, as quais aarece e orde de dificuldade. Os tios de equações de recorrêcia a sere cosideradas são as seguites, e que a icógita é a sucessão co 0 :. EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM COM COEFICIENTES DE VALOR INTEIRO. O tio ais siles de equação de recorrêcia de rieira orde é: b, 0 e que 0 e a sucessão b são dados do roblea. Sua resolução faz uso da roriedade telescóica da soa obtedo: 0 b i, i 0 Eelo: Para a equação:, 0, co 0, obteos, 0.. EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES. A equação liear de rieira orde co coeficietes costates é: a b c 0, EUREKA! N 9, 000

34 e que 0 e as sucessões uéricas a, b e c são dados do roblea (as sucessões a e b ão deve ser ulas. Para resolver esta equação ela deve ser ultilicada elo fator S (chaado fator soate: S a S b S c Iõe-se a codição: S b S a ( co o qual obteos: S a S a S c Observa-se que a equação aterior se reduz a ua de rieiro tio, e que sua solução é: ( S0a0 0 Sici, 0 S a O fator soate é obtido a artir da codição ( e cosiderado que S 0 : aa... aa0 S, b b... b b EXEMPLO: AS TORRES DE HANOI. Dadas três varetas e discos de distitos taahos colocados a rieira vareta e orde de taaho (do eor ao aior, over estes discos desde a vareta iicial até a terceira usado a seguda coo auiliar, se colocar u disco de taaho aior sobre u de taaho eor (ara aiores elicações ver [4]. Se é a quatidade de ovietos ara levar os discos da rieira a terceira vareta, odeos rovar, ao aalisar coo são distribuídos os ovietos, que, se é a quatidade de ovietos ara over os discos desde a rieira à terceira vareta (co 0, etão:, co 0 0. De fato, dada ua solução do roblea de Haoi co discos e ovietos, odeos over os rieiros discos ara a seguda vareta, deois over o últio disco ara a terceira vareta e or fi over os rieiros discos ara a terceira vareta, gastado ovietos. Neste caso teos que o fator soate resulta ser: S. Logo, a solução da equação das torres de Haoi é: i EUREKA! N 9, 000 4

35 , 0 Observaos, or eelo, que ara deve ser realizados 7 ovietos. Deiaos coo eercício ara o leitor rovar que é iossível resolver este roblea usado ua quatidade eor de ovietos.. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS DE PRIMEIRA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES. Cosidere a equação: ak k ak k... a0 0, 0 ( e que a 0,..., ak são sucessões ideedetes de, e os valores de i são cohecidos ara i 0,..., k (corresode aos valores de bordo. Suodo que a equação ( adite ua solução do tio: λ, e que λ é u arâetro iteiro, e substituido e ( teos: k k ak λ ak λ... a0λ 0 Se λ 0 etão obteos a equação característica associada a equação (: k k 0 ak λ ak λ... a0λ 0 Vaos ostrar que se esta equação te as raízes coleas λ,...,λr co ultilicidades α, α,..., α r N, resectivaete, etão as soluções de ( são eataete as seqüêcias ( da fora Q ( λ Q ( λ... Qr ( λr, ode Q,...,Qr são oliôios co grau ( Qi < αi, i r (e articular, se λ i é ua raíz siles etão Q i é costate. k k Seja P( ak ak... a0 u oliôio. Dizeos que ua seqüêcia ( satisfaz a roriedade Rec ( P( se N k k ak k... a0 0, N a fatos:. Não é difícil verificar os seguites i Se ( X e ( Y satisfaze Rec ( P( e c C etão ( Z X cy satisfaz Rec ( P (. r r ii Se Q( br X br X... b0 e ( X satisfaz Rec ( P( etão ( X satisfaz Rec ( P ( Q( (isso segue de r j 0 b j ak X j k ak X j k... a X j 0, N ( 0 EUREKA! N 9, 000 5

36 iii ( X satisfaz Rec ( ( Sociedade Brasileira de Mateática P se e só se Y ( λ j Rec ( P( λ X (substitua X j λ Y j e a j X iv Se S k k 0 k j 0 j ( satisfaz X 0. etão ( satisfaz Rec ( P ( se e só se ( S satisfaz Rec (( P( (escreva j S j S j e substitua e a j j 0 0. j Por iii, ara ver que, ara todo oliôio Q ( de grau eor que, X Q( λ satisfaz Rec (( λ, basta ver que ( Y ( Q( satisfaz Rec ((, o que fareos or idução. Isso é claro se, e e geral, se ~ Z Y Y Q( Q(, coo Q( Q( Q( te grau eor que, ( Z satisfaz Rec (( (or hiótese de idução, e logo, or (iv, ( Y satisfaz Rec ((. Essa observação, cobiada co ii, ostra α α αr que se ( P( ( λ ( λ...( λ, e grau ( Qi < α i ara i r etão r i i i Q ( λ satisfaz Rec ( P (. Para ver que se ( satisfaz Rec ( P( etão é da fora acia, usareos idução ovaete. r Suoos λ 0 e toaos Y X λ, Z Y Y ( co Z 0 Y0. Por iii e iv, Z satisfaz Rec ( P( λ ( e, ortato or hiótese de idução, ~ ~ ~ ~ Z Q ( Q ( ( λ λ... Qr ( ( λr λ, ode grau Qi < α i ara ~ i r e grau Q < α. Para teriar a rova, vaos ostrar que se eiste oliôios P, P,..., Pk tais que Y Y P ( P ( β... Pk ( β k (ode, β,..., β k são coleos ~ ~ ~ distitos e P i 0, i etão Y P ( P ( β... Pk ( β k, ode P ~ ~ ~,..., P k são oliôios co grau P i grau Pi ara i e grau ~ P grau P, or idução a soa dos graus dos oliôios P i, ode covecioaos que o grau do oliôio ulo é. EUREKA! N 9, 000 6

37 (o osso caso teos β i λi λ, e coo X λy o resultado segue iediataete. Para rovar essa afiração observaos iicialete que, se a soa dos graus de P i é, etão Y Y 0,, e logo, Y é costate e, e geral, cosideraos casos: ( 0 c ~ ~, Y Y Q a P c c... c, c 0. Nesse caso defiios ~ Y Y e teos ( P ( β... Pk ( β k, co grau Q <. Por hiótese de idução, Y ~ (e logo Y é da fora desejada. s s ( s s 0 s s λ s ~ ~, Y Y P ( Q( b P d d... d, d 0. Nesse caso, defiios ~ d Y Y e teos β P ( β... Pk ( β k, λ co grau Q < s. Por hiótese de idução, Y ~ (e logo Y é da fora desejada. Eelo: se( α satisfaz ua recorrêcia liear. De fato, se( α α se( α cosα cos( α seα se( α α se( α cos α cos( α seα seα seα (cos α cosα, ou seja, seα seα cosα X X. Note que ão arece ser da fora geral descrita esta seção, as de fato, e iα e i iα ( e i iα ( e i iα (cosα iseα i (cosα iseα i Obs. Se ( satisfaz Rec (( P(, ode P( a ak... a0, etão, se defiiros Y ak k ak k... a0, tereos Y Y, N, ou seja, Y é costate. Assi, ak k... a0 é u ivariate da seqüêcia, o que é ua observação útil ara uitos robleas olíicos. Veja o roblea da IMO. k k EUREKA! N 9, 000 7

38 EXEMPLO: OS NÚMEROS DE FIBONACCI. A sucessão que lhes dá orige é: f f f, 0 e que f 0 e f são dados. Ao alicar o étodo aalisado, cosiderado f 0 0 e f, obteos o oliôio característico λ λ 0, cujas soluções são: 5 5 λ, λ Cosiderado as codições do bordo a solução geral da equação de Fiboacci é (ver []: f ( λ λ, 0 5 Observa-se que os valores associados a esta sucessão são todos iteiros. Por eelo: f, f 4, etc. Podeos corovar que, se coverge a ifiito etão λ coverge a zero, ortato, f é da orde de λ, e a fração f f coverge a λ. 4. EQUAÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS DE PRIMEIRA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES. A equação ecioada é do tio: a k k ak... a0, ode a 0, a,..., ak são costates e satisfaz ua equação hoogêea de rieira orde co coeficietes costates. Suodo que satisfaça b b... b0 0, ode b 0, b,..., b são costates, observaos que b a... a b ( k k 0 ( ak k... a0 b 0 ( ak k... a0 0, ou seja, teos ua equação hoogêea de rieira orde co coeficietes costates. Pode-se deostrar que a equação característica da recorrêcia é: k k ( ak ak 0... a0 ( b b... b EUREKA! N 9, 000 8

39 Eelo : Cosidere a seguite equação de recorrêcia, se é ultilo de 4, ; 0, caso cotrário 0 0., se é ultilo de 4, satisfaz a recorrêcia. 0, caso cotrário 4 4 0, 0. Assi, ( ( ; ; 0 0; e A equação característica é 0 ( ( 0 a qual ossui as raízes (raiz dula; ; i ; i. Ou seja, ( A B C ( D i E (, A, B, C, D, E costates. De fato, cosiderado as codições de bordo, ( ( i ( i i ( i i (( i ( ( i ( 4 8 (É iteressate otar que, a verdade,. 4 Eelo : Seja a seguite equação de recorrêcia, que cosidera logaritos e base : f ( f ( log log, f ( Neste caso alicaos ua troca de variável ara ir desta equação a ua equação liear, e oder resolvê-la, o qual sigifica que haverá solução só ara os valores de que toe co este cabio. Este é: 0; 4 EUREKA! N 9, 000 9

40 k, k, log log k Ao efetuar essas substituições a equação obteos: k k k ( ode: k f ( f ( 0 k 0 f ( A equação ( é ua equação ão hoogêea. Procededo coo acia obteos: 5 0 k 4 k k k cuja solução cosiderado a codição do bordo é: k k, k 0 Logo, voltado a variável origial, a solução fial é: f log log log,, k 0 ( k k A solução só te resultados iteiros ara os valores de ecioados. Por eelo: f ( 4, f (6 8, etc. Deiaos a rova deste fato coo eercício ara o leitor. EUREKA! N 9,

41 EQUAÇÕES FUNCIONAIS Eduardo Tega - Colégio Etaa Nível Avaçado Ua das técicas básicas ara a resolução de equações co fuções é erceber quado ela é ijetora, isto é, quado f ( a f ( b a b. Isto é articularete freqüete e robleas e que teos equações do tio f ( f ( k, k 0. De fato, f ( a f ( b f ( f ( a f ( f ( b ka kb a b. "Sabedo que f é ijetora, odeos rovar ovas relações alicado f dos dois lados da equação". Por eelo, cosidere o seguite roblea: (IMO Seja Q o cojuto dos racioais ositivos. Costrua ua fução f : Q Q tal que f ( f ( f ( ara todo, Q. Para, teos f ( f ( f ( e daí teos que f é ijetora: f ( a f ( b f ( f ( a f ( f ( b f ( a f ( b a b. ( f ( Q, logo f ( 0. Agora, vaos rovar que a fução é ultilicativa, isto é, que f ( ab f ( a f ( b. Alicaos f a cada ebro da equação, f ( f ( f ( ab ab f ( f ( a f ( f ( f ( a f ( b b ab Coo os resultados são iguais e f é ijetora, cocluíos que f ( ab f ( a f ( b. Daí teos: f ( f ( f ( f ( f a f ( a f f ( a f f a a a a f ( a a f ( a f f a b b f ( b Assi, basta costruir a fução ara os iteiros ositivos. Mais aida, basta defii-la ara os rios. Deveos ter f ( f ( f (. Pesado u ouco, sedo,,... todos os rios, odeos toar, EUREKA! N 9, 000 4

42 f ( e verificar que a codição iicial é satisfeita. se se é ar é íar EXERCÍCIO (IMO Deterie o eor valor ossível de f(998, ode f é ua fução do cojuto N dos iteiros ositivos ele eso, tal que, ara todo, N : f ( f ( ( f (. Para fuções de doíio real, odeos utilizar desigualdades ara obter igualdades. Por eelo, cosidere o seguite roblea. Deterie todas as fuções f : R R tais que f ( a; a a ara todo a R e a b < c d f ( a, b < f ( c, d ara quaisquer a, b, c, d R. Observe, e rieiro lugar, que, ara ε > 0, a b a b a b a b f ε, ε f ( a, b f ε, ε a b a b ε f ( a, b ε (* Logo é razoável que f ( a, b ( a b. Suoha que eista a 0 e b 0 tais que f ( a0, b0 ( a0 b0. Se f ( a0, b0 > ( a0 b0, etão f ( a0, b0 ( a0 b0, > 0. Mas f a, b ( a b or (*, ou seja, ( ( 0 b0 ( a0 b0 f ( a0, b0 ( a0 b0 a 0, absurdo. Aalogaete < é iossível. Logo f ( a, b ( a b ara todo a, b R. Podeos utilizar u raciocíio seelhate e diversos robleas que evolve fuções crescetes. Às vezes, é ecessário obter a desigualdade a artir das codições do roblea, uitas vezes, utilizaos relações coo f ( ( f ( ara cocluir que 0 f ( 0 (basta substituir o lugar de a relação aterior. Observe o eercício a seguir. Seja f ua fução de R e R tal que f(, f (a b f(a f(b ara todo a, b e f ( f ( ara todo 0. Prove que f ( ara todo úero real. EUREKA! N 9, 000 4

43 É fácil ver que f ( ara todo iteiro ositivo e de f ( 0 f (0 f (0 f (0 0 e f ( 0 f ( f ( f (, que f ( ara todo Z. Para verificar este resultado ara Q, basta utilizar f ( f (. Observaos aida que f é ijetora: teos f ( f ( f ( f ( f ( f (. Coo f ( f ( f ( 0, etão f ( 0 0 e f ( f ( f ( f ( 0 f ( 0 0. Para esteder o resultado ara R, recisaos obter ua desigualdade (a verdade, é só desta fora que odereos distiguir o cojuto dos racioais do cojuto dos reais. No jargão ateático, dizeos que R é u coro ordeado coleto. Utilizado a observação que recede o eercício, vaos tetar calcular f (. Se a a, f ( a a 0 (ois f é ijetora, logo f f f ( a f ( a f ( a a a a a a f f f ( a ( f ( a, a a f ( a f ( a que vale tabé quado a a a 0 ou a. Agora, observado que a > b a b > 0 f ( a b > 0 f ( a > f ( b, cocluíos verificado que, or eelo, se f ( 0 > 0 ara algu 0 R, que se f ( 0 < 0 etão eiste u q Q tal que f ( 0 > q > 0. Poré q > 0 f ( q > f ( 0 q > f ( 0, o que é absurdo. O caso f ( 0 < 0 é aálogo, o que teria o roblea. EXERCÍCIO (IMO Ecotre todas as fuções Dica: Prove que ( ( f ( R, erto da resolução. f : R R tais que f ( f ( f (. f e que f ( f ( f (, ara 0 e etão coclua. Se voce ão coseguir cocluir, ua!! Você assou uito EXERCÍCIO (IMO Ecotre todas as fuções f, defiidas o cojuto dos reais ão egativos e assuido valores reais ão egativos, tais que: i f ( f ( f ( f ( ara todo, 0 EUREKA! N 9, 000 4

44 ii f ( 0 iii f ( 0 ara 0 < Dica: f (. Icrível, ão? PONTO FIXO Muitas vezes, é útil cosideraros os otos fios de ua fução, isto é, otos tais que f (. Para ostrar que esta siles cosideração leva, uitas vezes, à solução do roblea, observe abaio o seguite eelo: (IMO Seja S o cojuto dos reais aiores que. Ecotre todas as fuções f : S S satisfazedo as codições i f ( f ( f ( f ( f (,, S ii f ( é estritaete crescete ara < < 0 e > 0. Para 0, teos f ( f ( ( f (0 f (0, dode cocluíos que f é ijetora. De f ( f (0 f (0 e da ijetividade de f, cocluíos que f ( 0 0. Seja 0 u oto fio de f. Sabeos da codição ii que há o áio u oto e cada u dos itervalos ( ; 0 e (0;. Substituido 0 e i, ( ;0, 0 0 ( ;0 ecotraos f (. Se, logo 0 0 0, absurdo. Aalogaete, ão há otos fios e ( 0;. Assi, 0 é o úico oto fio de f. Substituido e i, teos f ( f ( f ( f ( f (, ou seja f ( é oto fio e, ortato, igual a 0, logo f ( (, que satisfaz i e ii. EXERCÍCIO 4 (IMO Ecotre todas as fuções f defiidas o cojuto dos reais ositivos e assuido valores este cojuto e que satisfaz as codições: * i f ( f ( f ( ara todo, R ; ii f ( 0 quado. EXERCÍCIO 5 (Toreio das Cidades Mostre que ão eiste fuções f : R R tais f ( f ( 996. Dica: utilize otos fios, as utilize eso! EXERCÍCIO 6 (IMO Seja N 0 o cojuto dos iteiros ão egativos. Ecotre todas as fuções f : N 0 N 0 tais que f ( f ( f ( f ( f (,, N 0. Dica: cosidere o eor oto fio da fução. EUREKA! N 9,

45 OLIMPÍADAS AO REDOR DO MUNDO O coitê editorial da EUREKA! sete-se gratificado ela acolhida desta ova seção or arte dos seus leitores. Aroveitaos a oortuidade ara agradecer aqueles que os eviara sugestões, oiiões, críticas e ricialete soluções ara os robleas. Cure iforar, aos leitores, que or ua questão de esaço físico as soluções de todos os robleas roostos, e u eelar de EUREKA!, ão oderão ser aresetadas o úero osterior ao daquele e que fora ublicados visto que a revista ossui outras seções de grade iteresse do úblico e geral. Etretato, as esas serão divulgadas os úeros osteriores à edida que os leitores as eviare. Se houver iteresse ais urgete a solução de algu roblea esecífico, solicitaos cotactar a OBM, seção OLIMPÍADAS AO REDOR DO MUNDO, através de carta ou e-ail. Atoio Luiz Satos Prieiraete vaos aos robleas roostos deste úero. (Moldávia-998 A seqüêcia ( a, N* verifica as relações a e a a ara todo úero atural >. Calcule a a a998. a. (Moldávia-999 Seja u úero atural tal que distitos e o úero divisores do úero 6? 4. (Ucrâia-996 A seqüêcia (, te-se que a aa a. a Mostre que a. b Deterie a 996 ossui 8 divisores ossui 0 divisores distitos. Qual o úero de a, 0 é tal que a, a 0, e ara todo (Ucrâia-997 Seja d ( o aior divisor íar de u úero atural. Defiaos ua fução : f N N tal que f ( e f ( d ( EUREKA! N 9,

46 ara todo N. Deterie todos os valores de k tais que f f (... f (... ode f é iterada k vezes. ( (Chia-999 Seja PQRS u quadrilátero iscrito u círculo e cuja edida do o âgulo PSR seja igual a 90. Se H e K são os és das erediculares baiadas de Q sobre PR e PS resectivaete (coveieteete rologados se ecessário. Mostre que HK divide QS ao eio. 7. (Rússia-999 Os algarisos de u iteiro ositivo A e sua reresetação o sistea de ueração decial cresce da esquerda ara a direita. Deterie a soa dos algarisos do úero 9 A. 8. (Jaão-999 Para u heágoo coveo ABCDEF cujos lados ossue todos edidas iguais a, deterie o valor áio M e o valor íio das diagoais AD, BE e CF e seus ossíveis cojuto de valores. 9. (Irlada-999 Deterie todos os iteiros ositivos tais que a quarta otêcia do úero de seus divisores ositivos é igual a. 40. (Irlada-999 Mostre que eiste u úero iteiro ositivo a seqüêcia de Fiboacci que é divisível or (Taiwa-999 Seja P * o cojuto de todos os úeros rios íares eores do que Deterie todos os úeros rios P * tal que ara cada subcojuto S de P *, digaos, S {,,..., k }, co k, sere que S, eiste algu q e P *, as ão e S tal que q é u divisor de ( ( (. k 4. (Taiwa-999 As alturas de u triâgulo acutâgulo ABC ode AB > AC itersecta os lados BC, AC e BC os otos D, E e F resectivaete. Se EF itersecta BC o oto P e a reta que assa or D e é aralela a EF itersecta AC e AB e Q e R resectivaete, seja N u oto sobre o lado BC tal que NQP NRP < 80. Prove que BN > CN. o 4. (Bulgária-999 Seja u arâetro real tal que a equação 0 ossui duas raízes reais distitas e. EUREKA! N 9,

47 > a Prove que 0. b Deterie o eor valor ossível de Quado ocorre a igualdade? A. 44. (Bulgária-999 Deterie o eor úero atural tal que a soa dos quadrados de seus divisores (icluido e é igual a (. 45. (Bulgária-999 Seja M o oto édio do lado BC de u triâgulo ABC o o o qual CAB 45 e ABC 0. a Deterie AMC AB BC b Prove que AM AC 46. (Bulgária-999 Seja M u oto do iterior de u quadrado ABCD e A, B, C e D os otos de iterseção de AM, BM, CM e DM resectivaete co o círculo circuscrito ao quadrado ABCD. Mostre que A B C D A D B. C 47. (Irã-999 Deterie todas as fuções f : R R que satisfaze a ( f ( f ( f ( f 4 ara todos os úeros reais e. 48. (Irã-999 E u triâgulo ABC a bissetriz do âgulo BAC itersecta o lado BC o oto D. Seja Γ u círculo tagete a BC o oto D e que assa elo oto A. Se M é o segudo oto de iterseção de AC co Γ e se BM itersecta o círculo e P, ostre que AP é ua ediaa do triâgulo ABD. 49. (Reúblicas Tcheca e Eslovaca-999 Deterie o eor úero atural que ode ser obtido colocado-se arêtesis a eressão 5 :4 :: ::0 :9 :8: 7 : 6 :5: 4 :: 50. (Reúblicas Tcheca e Eslovaca-999 A édia aritética de ua quatidade de úeros rios distitos é igual a 7. Deterie o aior úero rio que aarece etre eles. EUREKA! N 9,

48 5. (Reúblicas Tcheca e Eslovaca-999 Mostre que ara todo úero atural o roduto é u iteiro. 5. (Esaha-998 As tagetes dos âgulos de u triâgulo são iteiros ositivos. Deterie estes úeros. 5. (Esaha-998 Deterie todas as fuções estritaete crescetes f f f f : N* N* tais que ( ( ( 54. (Eslovêia-999 Seja O o cetro do círculo circuscrito ao triâgulo ABC. Se P e Q são os otos édios de AO e BC resectivaete, deterie a edida do âgulo OPQ se CBA 4 OPQ e ACB 6 OPQ. 55. (Eslovêia-999 Deterie todos os iteiros e que satisfaze à equação (Estôia-999 Deterie todos os valores de a tais que o valor absoluto de ua das raízes da equação ( a a 5a 0 seja igual a duas vezes o valor absoluto da outra raiz. 57. (Estôia-999 Seja O e O os cetros de dois círculos que ão se itersecta e de eso raio. Se s é a reta que assa elos seus cetros e t é sua tagete cou etera, cosidere u círculo tagete aos dois círculos os otos K e L e tabé tagete às retas s e t os otos M e P resectivaete. Deterie a edida de O O. Mostre aida que os otos M, K e N estão alihados ode N é o oto de tagêcia da reta t co o rieiro círculo. 58. (St.Petersburg bolas de echer (beigas verelhas, 50 azuis e 50 verdes flutua sob o teto de u circo. Eiste eataete bolas verdes detro de cada bola azul e eataete 5 bolas azuis e 9 bolas verdes detro de cada bola verelha. Mostre que alguas bolas verdes ão estão cotidas o iterior de ehua das outras 449 bolas. EUREKA! N 9,

49 59. (St.Petersburg-999 Todos os úeros iteiros ositivos ão sueriores a 00 são escritos e abos os lados de 50 cartas (cada úero é escrito eataete ua vez. Estas cartas são ostas sobre ua esa de odo que soete os úeros que esteja virados ara cia ode ser vistos. Gustavo ode escolher várias cartas, virá-las e etão calcular a soa de todos os 50úeros que aarece agora. Qual é o valor áio da soa S tal que Gustavo ode co certeza obter ua soa ão iferior a S? 60. (St.Petersburg-999 Três ágicos areseta u truque etregado a ua essoa da latéia u aço de cartas ueradas co,,..., ( > 6. O esectador fica co ua das cartas e aleatoriaete distribui as restates etre o rieiro e o segudo ágicos (cada u deles fica co cartas. Estes olha suas cartas (se se couicar u ao outro e cada u escolhe duas cartas forado u aço (ordeado co estas cartas e as etrega ao terceiro ágico. O terceiro ágico olha estas quatro cartas e aucia a carta que ficou co o esectador. Elique coo este truque ode fucioar. Agora vaos aos coetários e soluções dos leitores ara algus dos robleas aresetados o úero aterior de EUREKA!. O critério or ós adotado ara este úero foi aresetar as soluções dos robleas que fora, até o resete oeto, resolvidos elo aior úero de leitores. 4. (Reio Uido-998 E u triâgulo ABC, D é o oto édio de AB e E é u oto do lado BC tal que BE EC. Sabedo que ADC BAE deterie a edida do âgulo BAC. Eviara soluções Eistei do Nascieto Júior (Fortaleza-CE, Geraldo Perlio Júior (SP e Diego Alvarez Araújo Correia (Fortaleza-CE. Solução de Eistei do Nascieto Júior: Seja α ADC BAE e P AE CD e traceos elo oto D ua reta aralela a AE e que itersecta o lado BC o oto Q. Coo EC EQ e DQ // PE etão AP PD. Daí, PD PA PC e seja PCA PAC θ o o o logo, PCA PAC PAB PDA 80 θ α 80 α β (Rússia-998 Eiste úeros de algarisos M e N ode todos os algarisos de M seja ares, todos os algarisos de N seja íares, cada u dos EUREKA! N 9,