O teorema de Poincaré-Hopf para superfície com bordo

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1 Acta Scietiaru (4): ISSN O teorea de Poicaré-Hof ara suerfície co bordo Nelso Martis Garcia Deartaeto de Mateática Uiversidade Estadual de Marigá Av Colobo Marigá-Paraá Brazil e-ail: garcia@dauebr RESUMO O aior resultado este trabalho é ua versão do teorea de Poicaré-Hof ara suerfície co bordo ão vazio As ferraetas utilizadas são o teorea clássico de Poicaré-Hof e o florescer do cao / t devido a J L Arraut Palavras-chave: suerfície co bordo teorea de Poicaré-Hof ABSTRACT The theore of Poicaré-Hof for surfaces with oety boudary The ai goal of this work is to reset a versio of the theore of Poicaré-Hof for surfaces with o ety boudary The ai tools are the theore of Poicaré-Hof ad a idea called blossoig of the field / t due to J L Arraut Key words: surfaces with oety boudary theore of Poicaré-Hof O teorea de Poicaré-Hof ara suerfície coacta e se bordo é u dos resultados ais surreedetes da toologia ois relacioa objetos de aturezas distitas a saber a característica de Euler que é u ivariate toológico e o ídice de u cao vetorial que é u ivariate diferecial O objetivo este trabalho é aresetar esse resultado ara suerfície coacta e co bordo ão vazio Para isto será usado o coceito de o florescer do cao / t (Arraut e Radall 98) Neste trabalho areseta-se o coceito de suerfície co bordo e os coceitos de dobro de ua suerfície co bordo que origia ua suerfície se bordo e a oção do florescer do cao / t O coortaeto trasversal do cao vetorial o bordo da suerfície é caital ois caso o cao seja tagete ao bordo e algu oto o resultado é falso Neste trabalho a alavra difereciável sigificará ifiitaete difereciável e todas as suerfícies são coeas Suerfície co Bordo U subcojuto W IR é chaado de suerfície difereciável co bordo de diesão se ara cada W eistir ua vizihaça V W (aberto e W ) iage de u hoeoorfiso ϕ : V o V ode V o é u aberto e IH = {( ) / } IR Eige-se aida que ϕ seja difereciável* e o osto de ϕ ' ( ) seja ara todo V A fução ϕ é chaada de ua araetrização de V (*) Difereciável aqui sigifica que ϕ adite ua etesão difereciável a u subcojuto aberto de IR e or defiição a derivada de ϕ é a derivada de ua etesão que ão deede da etesão de ϕ Figura Notação O bordo de W é o subcojuto W forado elos otos de W que são iages de otos da fora ( - o ) de IH or algua araetrização Se W é ua suerfície co bordo W etão o bordo é ua suerfície se bordo ode: di W = di W (veja Lia 985 VII 7) Eelos ID = {( ) / i } IR ; ID = S - ; i=

2 89 Garcia W = {( 3 ) / + ( + y - ) W = T z } IR 3 ; As oções de esaço vetorial tagete e caos de vetores tagetes a ua suerfície co bordo W IR são as aresetadas e Lia (985 5) ágia 5 ara suerfícies se bordo soete co a ressalva de que ode eistir caihos difereciáveis: λ: [ ξξ] W co λ (ξ) defiido aturalete or ua etesão de λ Para W distigue-se três tios de vetores e T W: D + = {( 3 ) / z = y e + y } D = {( ) / z = y e + y } 3 e veja que a esfera uitária S = Figura 3 D D + U D + D Essa costrução geoétrica é o que se chaa o dobro do disco ID tabé otado or ID = S A costrução iforal acia carece de recisão ua vez que a estrutura difereciável o dobro deede da estrutura e cada cóia ou seja a questão ão é soete de uião de cojutos ois coeçado a oeração co duas calotas eores isto é co bordo ão sedo círculo áio ão se te difereciabilidade coo suerfície do esaço euclidiao A suerfície resultate é arecida co ua bola de futebol aericao co ua quia z y Figura Coo T W é u esaço vetorial de diesão e é u subesaço de T W de diesão etão T W divide T W e dois sei-esaços que serão chaados de sei-esaço iterior e sei-esaço eterior e relação a W Co isto os três tios de vetores tagetes a W e W são: i) os vetores tagetes a W isto é v T W v = λ () v = λ () ode λ : ( ξξ) W; ii) os vetores iteriores a W isto é os vetores v T W ode v = α () co α : [ ξ) W e α() = ; iii) os vetores eteriores a W isto é os vetores v T W ode v = β () co β : (-ξ] W e β() = ; Figura 4 O dobro de u disco as codições acia ão é ua suerfície difereciável e IR 3 Observe que ara realizar essa oeração recisouse sair do esaço abiete de ID que é IR A esa oeração co a faia de Möebius coacta e co bordo IM O dobro de ua suerfície co bordo Cosidere os dois subcojutos de IR 3 Figura 5

3 O teorea de Poicaré-Hof ara suerfície co bordo 893 recisa de o íio do esaço IR 4 ara realizar IM = IK ode IK é a garrafa de Klei Nesse eelo eso coo uião de subcojutos os iteriores se iterceta ou seja IK ão cabe o esaço euclidiao IR 3 coo suerfície se auto-itersecção A razão ais geral é que IK ão ergulha o esaço euclidiao de diesão 3 te-se IH = IR ode IH = { ( ) / } IR Se = {( ) / z = y e + y } D etão D = S ϕ 3 W ϕ(()) = S W o Figura 8 Figura 6 Para realizar esta oeração co recisão costrói-se o dobro de ua suerfície coo esaço quociete O que se faz é abstrair-se do esaço abiete e toar a suerfície coo objeto abstrato co estrutura difereciável ou ais geralete coo variedade difereciável Seja W ua suerfície co bordo e cosidere duas cóias de W: W = W{} e W = W{} ode W = W{} e W = W{} Toado Z = W CW soa disjuta de W co W defia a relação de equivalêcia e Z or: ()R() ara W O dobro de W é defiido or W = Z/R o esaço quociete obtido de Z ela relação de equivalêcia R Eelos Se W = IH + = { ( ) / } IR Figura 7 H + H H = + H Observe que se ϕ : D + ϑ e ϕ : D ϑ são araetrizações e toro de W etão ϕ : D ϑ ϑ será ua araetrização e toro de W A estrutura difereciável e W é dada a artir da estrutura e W Para isto deve-se usar ua vizihaça tubular de W e W Para aiores detalhes veja Lia (98 3) E articular e Lia (98 6) ostra-se que a estrutura difereciável ão deede da vizihaça tubular escolhida O teorea de Poicaré- Hof ara suerfície co bordo O teorea de Poicaré- Hof ara suerfícies coactas e se bordo é u dos resultados ais surreedetes da toologia ois relacioa objetos de aturezas distitas a saber a característica de Euler que é u ivariate toológico e o ídice de u cao vetorial que é u ivariate diferecial Teorea (Poicaré-Hof) Se u cao difereciável de vetores tagetes a ua suerfície coacta M te aeas u úero fiito de sigularidades etão a soa dos ídices locais dessas sigularidades é igual a característica de Euler- Poicaré de M E outras alavras v = χ( M ) ode: S(v)={ M;v(=} é fiito (M)=φ v é o ídice local a sigularidade e χ(m) é a característica Euler da suerfície M A deostração deste teorea ode ser cosultada e Milor (965) ou Lia (985) Seja v: W IR u cao vetorial difereciável sobre a suerfície W Dizeos que v é eterior

4 894 Garcia (resectivaete iterior) a W se v ( ) é eterior (resectivaete iterior) a W ara todo W Eelo: toe v : ID IR dado or que ) Figura 9 i ( v = ( z) z ostra-se v = Será útil eteder coo se costrói u cao de vetores sobre W a artir de u cao dado sobre W Suoha que se te v u cao vetorial sobre W co v () oral e eterior a W ara todo W Assi tê-se caos v e v sobre W e W as ão é verdade que v e v defie u cao sobre W Figura v ( ) ara W Defiido v( ) = obté-se v( ) ara W u cao vetorial sobre W As Figuras e ilustra a ecessidade de iversão dos vetores ao logo do bordo Figura α α H H + ϕ ϕ(()) = S v e e v -v () = v () W W o υ ois cosiderado ϕ : D ϑ ϑ ua araetrização local e toro de W dada or ϕ ( ); D+ ϕ( ) = ϕ( ); D ode ϕ : D+ ϑ e ϕ : D ϑ são araetrizações co ϑ e ϑ abertos e W e W ' resectivaete etão v ( ) = ϕ ( )( ) ode α ( ) ' ϕ ( )( α é eterior a IH + e v ) α α eterior a IH = co Coo as araetrizações ua suerfície co bordo reserva as osições iteriores e eteriores dos vetores resectivaete W e W tereos ua abigüidade Teorea (Poicaré-Hof ara suerfície co bordo) Seja W ua suerfície co bordo de diesão e v : W IR u cao vetorial difereciável co S( v ) { M ;v( ) = } é fiito (M) φ S(v) W = φ e v é eterior aw etão = ( v ) v ) = χ(w ) Ua aeira de ostrar esse teorea é costruir a artir de v u cao w sobre o dobro W ode já sabe que v = χ( W ) ois W é ua suerfície se bordo lebrado que se v ão é eterior ao logo do bordo o resultado é falso Por eelo toe W = D e v o cao costate; co isto S ( v ) = φ e v = S( v ) sedo que χ ( D ) = Mais geralete é fácil ostrar que toda suerfície co bordo adite u cao vetorial se sigularidade Seja W IR ua suerfície difereciável co bordo e coacta Para cada W T W é u subesaço vetorial de T W O coleeto ortogoal de T W e T W é defiido or: T W = { v T W / < v α > = α T W} ode <> deota o roduto itero usual e IR Proosição Seja v u cao vetorial difereciável eterior a W co S (v) fiito A artir de v ode-se obter u cao vetorial w sobre W de odo que:

5 O teorea de Poicaré-Hof ara suerfície co bordo 895 e i ( v = ( w) w w( ) T W ara todo W Deostração Para W te-se T W = T W T W logo ode-se defiir u cao vetorial v ~ sobre W dado or: v ~ ( ) = π ( v( )) ode π : T W T W é a rojeção ortogoal segudo o subesaço T W Agora toe ua etesão qualquer de v ~ sobre W de odo que se aule fora de ua vizihaça colar de Essa etesão é tabé W V ( W ) chaada de v ~ (ara vizihaça colar do bordo veja Lia (985 5) Figura Toado w( ) = v( ) v~ ( ) te-se o cao desejado Para isto deve-se toar a vizihaça V ( W ) de odo que S V ( W ) = φ e que v( ) w( ) ara todo V ( W ) Isto é ossível ois v ( ) ara V ( W ) e v v ~ são cotíuos Agora se erda de geeralidade ode-se aditir v oral ao logo do bordo isto é v( ) T W ara todo W e v costate e cada segeto { } [ ] através de u difeoorfiso f : V ( W ) W [ ] da vizihaça colar fechada Para silificar a otação assue-se: i = v Se de v v : W IR é u cao vetorial a derivada dv : T W T W ara S(v) Se dv é ão-sigular chaa-se u zero ãodegeerado do cao v Fatos se S(v) é ão degeerado etão i ( v = ± de acordo co det( dv ) ser ositivo ou egativo; se M é ua suerfície e v é u cao vetorial difereciável sobre M etão eiste sobre M u cao vetorial difereciável w ão-degeerado isto é ara todo S(w) dw é ão sigular e i = w) Esses fatos tê deostrações técicas que ode ser vistas e Garcia (978) e Milor (965) Deostração do teorea Suoha que v seja costate o setido já dito ua vizahaça tubular fechada W e W = W W = W duas Toado W { } e { } cóias de W obté-se v sobre W e W a artir de v Veja Figura v v sobre Coo se ode colar W co W de odo a obter u cao vetorial w be defiido sobre W = W W? i A Figura sugere que se defia: v( ) ara W w ( ) = v ( ) ara W Mas eiste ua colicação ois ) = v ) = ( ) ) (Veja e Garcia ( v v (978)) Se é ar essa colicação está cotorada ua vez que i v) = v ) e ortato ( i ( w) = v) + v ) = v ) + v ) = v) Logo elo teorea de Poicaré-Hof ara suerfície se bordo teos: v) = χ(w ) = χ( W ) o que ilica i = χ( W ) Se é íar ada se coclui da costrução aterior Para cotorar essa dificuldade w será defiido sobre W de odo diferete Essa ova defiição fucioará tato ara o caso e que seja ar coo ara o caso e que seja íar V W W ua vizihaça Seja ( ) [ ] tubular e v = / t o cao costate sobre os segetos { } [ ] ara cada W

6 896 Garcia Cosidere w = v sobre a cóia W e w = z o florescer do cao / t sobre a cóia W costruído da seguite aeira Lebrado que z sobre W deve ser v ara que a colage w fique be defiido sobre W Figura 3 { } W co ) Toe u cao vetorial X qualquer sobre S ( fiito e X ãodegeerado Cosidere X ~ ua etesão de X sobre W de odo que X ~ se aule fora de V ( W) e e W { } Seja φ = W IR ua fução difereciável tal que: se W φ( ) = soete ara -se W co dφ < segue que: { } (W V( W)) W { } { } e dφ ara W { } z ) = X ) e z ) X ) Agora toado: v( ) ara W w ( ) = z( ) ara W coclui-se que w ) = v ) + z ) = v ) + v ) X ) = v ) X ) Coo w) = χ (W ) e X ) = χ( W ) segue que v ) Notas coleetares χ( W ) + χ(w ) = = χ(w ) i Usou aqui a defiição χ( M ) = ( ) α i i= ara a característica de Euler de ua suerfície de diesão ode α i é o úero de sileos de diesão i de ua dada triagularização de M Assi ão é difícil cocluir a últia igualdade da deostração acia Se M te diesão ar etão M te diesão íar e ortato ode se coclui que χ( M ) = χ ( M ) = χ ( M ) 3 Se W te diesão íar etão χ( W ) = e χ(w ) = χ( W ) Ou seja toda suerfície de diesão ar que é o bordo de algua suerfície te característica de Euler ar Por eelo 3 S = D e χ( S ) = 4 Se χ ( W ) = a esa costrução feita ara cao eterior oderia ser feita ara iterior Caso χ ( W ) essa costrução é iossível Toe or eelo v : D 3 IR 3 3 dado or v( ) = que é iterior a D e ote que i ( vo ) = úica sigularidade de v e χ D 3 ) = ( Referêcias bibliográficas Arraut JL; Radall D Ide of taget fields o coact aifolds Coteorary Math - 98 Garcia NM Caos vetoriais sobre ua variedade: o teorea de Poicaré-Hof Rio de Jaeiro 978 (Master s Thesis i Matheatics) - Potifícia Uiversidade Católica Garcia NM Ídice de k-caos fiitaete sigulares sobre π -variedades Rio de Jaeiro 984 (Doctoral Thesis i Matheatics) - Potifícia Uiversidade Católica Guillei V; Pollak A Differetial toology New Jersey: Pretice-Hall 974 Lia EL A característica de Euler-Poicaré Rio de Jaeiro: Mateática Uiversitária (SBM) Lia EL Curso de aálise Rio de Jaeiro: IMPA 98 v (Projeto Euclides - SBM) 98 Mukres JR Eleetary differetial toology Priceto: Priceto Uiversity Press 963 Milor JW Toology fro the differetiable viewoit Priceto: The Uiversity Press of Virgíia 965 Received o Seteber Acceted o Noveber 999