UMA CONEXÃO ENTRE BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADE

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - UFBA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - IME SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - SBM MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT DISSERTAÇÃO DE MESTRADO UMA CONEXÃO ENTRE BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADE LEANDRO SOLANO CARNEIRO DA CUNHA SALVADOR - BAHIA ABRIL DE 2017

2 UMA CONEXÃO ENTRE BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADE LEANDRO SOLANO CARNEIRO DA CUNHA Dissertação de Mestrado apresetada à Comissão Acadêmica Istitucioal do PROFMAT-UFBA como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Matemática. Orietador: Prof. Dr. Kleyber Mota da Cuha Salvador - Bahia Abril de 2017

3

4

5 à miha esposa Gilmara e à miha mãe Margarida, com muito cariho e amor.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus em primeiro lugar, à miha mãe Margarida Lopes Careiro da Cuha, ao meu falecido pai Aristóteles Solao Careiro da Cuha e aos meus irmãos Leoardo Solao Careiro da Cuha e Josemar Lopes Sampaio pela força e apoio cruciais dados. Agradeço, em especial, à miha amável e querida esposa Gilmara Jesus de Souza Cuha pelo icetivo e compreesão durate o tempo dedicado a este curso. Ao Professor e Orietador Dr. Kleyber Mota da Cuha pela sua dispoibilidade os mometos que me levaram a execução e coclusão deste trabalho. À todos os colegas do mestrado que cotribuíram diretamete esta etapa de ovos cohecimetos. Em especial, aos colegas Etievaldo, Ivailto e Marcelo por terem sido compaheiros em todos os mometos de que mais precisei. Agradeço também a todos os Professores da Uiversidade Federal da Bahia que cotribuíram para o ótimo adameto do curso compartilhado cohecimeto e experiêcia o esio da Matemática, torado osso apredizado mais iteressate e eriquecedor. Dedico também agradecimetos à Coordeação de Aperfeiçoameto de Pessoal de Nível Superior - CAPES pelo apoio e icetivo dispoibilizados durate esse curso. Agradeço também, em especial, ao Coordeador do curso Dr. Marco Atôio Nogueira Ferades pela dedicação e ateção dadas o decorrer deste período do Profmat. Efim, à todos aqueles que direta ou idiretamete cotribuíram para a realização deste trabalho e a todos que me icetivaram a participar do certame que abriu as portas para o igresso este tão sohado curso. Ficam meus siceros agradecimetos.

7 "Você uca sabe que resultados virão da sua ação. Mas se ão fizer ada, ão existirão resultados." Mahatma Gadhi

8 RESUMO APROPOSTA deste trabalho, a pricípio, é utilizar o Teorema Biomial para cálculos de probabilidade, estabelecedo uma coexão etre esses coteúdos. A ideia é viabilizar aplicações do Teorema Biomial utilizado exemplos práticos como, por exemplo, laçameto de dados, viciados ou ão, laçameto de moedas, etre outros. Será feita, também, uma extesão para o teorema multiomial, que possibilitará, através de expressões do tipo (a + b + c +...), determiar probabilidades quado da ocorrêcia de três ou mais evetos. Para tato, deve-se ter como base coceitos referetes aos coteúdos de Combiatória e Probabilidade, que são estudados o Esio Médio, para que os objetivos do trabalho sejam alcaçados de maeira satisfatória. Palavras-chave: Teorema Biomial, Probabilidade, Teorema Multiomial, Combiatória.

9 ABSTRACT THE purpose of this work is, basically, usig the Biomial Theorem to calculate probabilities, establishig a coectio betwee these cotets. The idea is to eable applicatios of the theorem usig practical examples, for istace, throwig of dice, flippig of cois, amog others. There will be doe a extesio to the multiomial theorem, that is goig to provide, through expressios such as (a + b + c +...), determie probabilities i case of three or more goigs o happeig. To do so, basic cocepts referrig to cotets of combiatory ad probability, which is studyig at high school, are essetial to achieve the objectives of this work i a satisfactory way. Keywords: Biomial Theorem, Probabilities, Multiomial Theorem, Combiatory.

10 SUMÁRIO Itrodução 1 1 Combiatória e Números Biomiais Breve Histórico Fatorial O pricípio fudametal da cotagem Agrupametos simples Permutações simples Arrajos simples Combiações simples Números biomiais Triâgulo Aritmético de Pascal Probabilidade História da Probabilidade Coceitos iiciais Álgebras de evetos σ - Álgebra de Evetos Defiição de probabilidade Cosequêcias da defiição Experimetos equiprováveis Eveto uitário Probabilidade de um eveto ocorrer Probabilidade da uião de dois evetos Probabilidade codicioal Evetos Idepedetes Probabilidade do eveto complemetar Teorema Biomial e aplicações a Probabilidade Breve Histórico Biômio de Newto Coexão etre a Probabilidade e o Teorema Biomial Exemplos práticos de Aplicações

11 4 O Teorema Multiomial e aplicações a Probabilidade Itrodução O Teorema Multiomial Coexão etre o Teorema Multiomial e a probabilidade Exemplos Práticos de Aplicação Cosiderações fiais 41

12 INTRODUÇÃO AIMPORTÂNCIA de se aplicar os coceitos matemáticos a vida real com o ituito de torar o esio mais iteressate e sigificativo desecadeia discussões de coectar temas estritamete teóricos com a prática e aplicações. O docete, em sua prática cotidiaa, busca estabelecer ligações etre o cotidiao e os coteúdos esiados, visado criar um vículo mais iteressate e atraete para os educados. Nesse setido, a coexão etre o Biômio de Newto e a Probabilidade é uma das aplicabilidades que podem ser feitas a matemática através de exemplos práticos ecotrados o cotidiao. Atualmete, há uma ecessidade por parte dos docetes que atuam o Esio Público de utilizar uma metodologia iovadora, com o ituito de proporcioar aos aluos do Esio Médio um apredizado mais sigificativo. Segudo os Parâmetros Curriculares Nacioais (PCN s): "Os objetivos do Esio Médio em cada área do cohecimeto devem evolver, de forma combiada, o desevolvimeto de cohecimetos práticos, cotextualizados, que respodam às ecessidades da vida cotemporâea, e o desevolvimeto de cohecimetos mais amplos e abstratos, que correspodam a uma cultura geral e a uma visão de mudo". Dessa forma, a cotextualização dos coteúdos trabalhados com o cotidiao dos aluos é de extrema importâcia para um apredizado mais iteressate. Com base esse propósito, este trabalho cosiste, basicamete em estabelecer coexões etre os coteúdos Biômio de Newto e Probabilidade com o ituito de utilizar exercícios cotextualizados ecotrados o cotidiao, com o objetivo de proporcioar ao aluo um apredizado mais diâmico, através da viabilização de uma prática difereciada. No capítulo 1 serão abordados coceitos básicos de Combiatória e defiição, abragedo também algumas propriedades dos Números Biomiais com suas respectivas demostrações e exemplos. No ituito de torar o apredizado mais eriquecedor, serão mostradas algumas propriedades evolvedo o famoso triâgulo aritmético de Pascal para um melhor etedimeto e compreesão dos respectivos coteúdos que serão vistos posteriormete. O capítulo 2 será destiado ao estudo da Probabilidade abragedo coceitos básicos e propriedades ieretes que serão fudametais para a sequêcia deste trabalho. 1

13 O capítulo 3 será dedicado à apresetação do Teorema Biomial com sua respectiva demostração e posteriormete haverá uma abordagem estabelecedo uma coexão com cálculos de probabilidade, através de exemplos práticos cotextualizados, os quais serão realizados com suas respectivas resoluções cometadas. A proposta do capítulo 4 é utilizar o Teorema Biomial para obteção do Teorema Multiomial, permitido assim uma abordagem mais ampla, haja vista o fato de trabalhar com a possibilidade de ocorrêcia de três ou mais evetos cosiderado uma quatidade de observações. Posteriormete, serão trabalhados algus exemplos de questões cotextualizadas cujas resoluções terão como base o teorema Multiomial. Nas cosiderações fiais deste trabalho, serão citados os pricipais potos que merecem destaque, etre outros cometários pertietes. 2

14 CAPÍTULO 1 COMBINATÓRIA E NÚMEROS BINOMIAIS 1.1 Breve Histórico AO que tudo idica, foi a ecessidade de calcular o úmero de possibilidades existetes os resultados de jogos que icetivou o estudo dos métodos de cotagem. A Aálise Combiatória é uma cosequêcia do desevolvimeto de métodos que permitem cotar, de forma idireta, o úmero de elemetos de um cojuto, estado esses agrupados sob certas codições. Para uma melhor compreesão e estudo dos coceitos básicos da aálise combiatória é de extrema importâcia destacar uma ferrameta de estudo imprescidível cohecida como fatorial. A operação fatorial é ecotrada em muitas áreas da matemática como a álgebra e teoria dos úmeros. 1.2 Fatorial Chama-se fatorial de e idica-se por! o úmero atural defiido por: { 1 se = 0! = ( 1)! se > 0 Exemplo ! = 6 5! = = O pricípio fudametal da cotagem Supodo que uma sequêcia seja formada por j elemetos (a 1, a 2, a 3,..., a j ), ode: a 1 pode ser escolhido de 1 maeiras distitas; a 2 pode ser escolhido de 2 maeiras distitas, a partir de cada uma das escolhas ateriores; 3

15 4 a 3 pode ser escolhido de 3 maeiras distitas, a partir de cada uma das escolhas ateriores; a j pode ser escolhido de j maeiras distitas, a partir de cada uma das escolhas ateriores. Assim, o úmero de possibilidades para se obter a sequêcia (a 1, a 2, a 3,..., a j ) é dado por: j Esse resultado é cohecido como Pricípio Fudametal da Cotagem (PFC) ou pricípio multiplicativo. Exemplo 1.2. Um homem possui 4 teros, 8 camisas e 5 pares de sapatos. De quatas maeiras distitas poderá ele vestir um tero, uma camisa e um par de sapatos? Resolução: a 1 pode ser escolhido de 4 formas, a 2 de 8 formas, a 3 de 5 maeiras. Pelo PFC, o total de maeiras distitas é dado por a 1 a 2 a 3. Portato, = 160. Assim, o homem poderá vestir um tero, uma camisa e um par de sapatos de 160 maeiras distitas. 1.4 Agrupametos simples Permutações simples Dado um cojuto com objetos distitos, cada ordeação dos objetos é chamada de uma permutação simples desses objetos. O úmero total de permutações simples desses objetos é represetado por P, ode P =!. A demostração a seguir será feita pelo método da idução matemática. Demostração: Para provar a fórmula P =! pelo método de idução matemática, deve-se verificar se é válida para = 1 e etão se vale para um atural k, também será verificada para k + 1. Para = 1 o resultado é óbvio uma vez que cosiderado apeas um objeto, só há uma possibilidade de posicioá-lo. Assim, P 1 = 1! = 1. Portato verifica-se que a fórmula vale para = 1. Cosiderado válida a proposição P k = k! com k 1 e k N deve-se mostrar que a proposição vale para k + 1. Fixado um objeto a primeira posição etre os k + 1 dispoíveis, tem-se que existem k objetos restates que serão permutados etre si. Dessa forma, ocorrem k! permutações com esse objeto fixo de acordo com a hipótese de idução. Assim, percorredo as demais posições, tem-se também que o total de permutações tomado um elemeto fixo em cada uma das k + 1 posições é dado por k!.

16 5 Portato, o total de permutações desses k + 1 objetos será igual a (k + 1) k!. Coclui-se que P k+1 = (k + 1)!, cofirmado a validade da fórmula para k + 1. Assim, a fórmula P =! é válida N com 1. Exemplo 1.3. De quatas maeiras pode-se dispor cico pessoas lado a lado em uma mesa de cico lugares? Resolução: Tem-se que, pelo euciado do problema, os agrupametos formados serão obtidos trocado-se a ordem dos cico elemetos. Assim, tem-se: P =! P 5 = 5! = = Arrajos simples Dado um cojuto com elemetos distitos, chama-se arrajo simples dos elemetos, tomados p a p, com p, cada agrupameto ordeado de p elemetos distitos escolhidos etre os existetes. A quatidade de arrajos simples desses elemetos é obtida pela fórmula: A,p =! ( p)!. Será usada a fórmula equivalete A,p = m (m 1) (m 2) (m + 1) e a demostração será feita através do método de idução matemática. Demostração: Seja P : O úmero de arrajos simples de elemetos tomados p a p é igual a ( 1) ( 2) ( p + 1). Para p = 1, tem-se que A,1 = = ( 1 + 1), ou seja, a proposição é válida para p = 1. Supodo válida a proposição P = ( 1) ( 2) ( p + 1) para 1 < p <, deve-se mostrar que a proposição é válida para p + 1, ou seja, A,p+1 = ( 1) ( 2) ( p). Ao escolher os arrajos de elemetos tomados p a p, acrescetado ao fial de cada um deles um dos p elemetos restates, serão obtidos os arrajos de elemetos tomados p + 1 a p + 1. Além disso, os arrajos de elemetos, tomados p + 1 a p + 1 dessa forma são distitos e qualquer arrajo de elemetos tomados p + 1 a p + 1 figura etre estes. Assim, coclui-se que o úmero de arrajos dos elemetos tomados p + 1 a p + 1 é A,p ( p) = ( 1) ( 2) ( p + 1) ( p), e a proposição vale para p + 1. Logo, por idução matemática, A,p = ( 1) ( 2) ( p + 1), que! é aáloga a A,p = ( p)!.

17 6 As permutações são um caso particular de arrajo, pois para p =, tem-se que: A, =! ( )! =! 0! =! = P. Exemplo 1.4. Quatos úmeros de três algarismos distitos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6? Resolução: Costata-se que é um caso de arrajo pelo fato da ordem de escolha dos elemetos determiar agrupametos distitos, assim, tem-se que p = 3 e = 6. Aplicado a fórmula do arrajo, vem: 6! A 6,3 = (6 3)! = 6! 3! = 120. Portato, há um total de 120 úmeros de três algarismos Combiações simples Dado um cojuto com elemetos distitos, chama-se combiação simples dos elemetos, tomados p a p, com p, cada subcojuto formado por p elemetos distitos escolhidos etre os existetes. O total de combiações simples desses elemetos é dado pela fórmula que segue: C,p =! p!( p)!. Por coveiêcia, será cosiderada a relação aáloga: Demostração: C,p = m (m 1) (m 2) (m + 1) Seja P a proposição: O úmero de combiações de elemetos tomados p a ( 1) ( 2) ( p + 1) p é C,p = p Para p = 1, tem-se que C,1 = m = m 1 + 1, torado válida a proposição. 1

18 7 Cosiderado válida a proposição P para p 1, deve-se mostrar que também vale para p + 1, com 1 < p <, ou seja, para p + 1, C,p+1 = ( 1) ( 2) ( p) p (p + 1) Ao escolher as combiações de elemetos tomados p a p e acrescetado a cada uma delas, como o ésimo elemeto, um dos p elemetos restates, tomam-se assim todas as combiações dos elemetos tomados p + 1 a p + 1. Dessa maeira, serão cotadas C,p ( p) combiações. Nesse caso, cada uma dessas combiações aparece + 1 vezes. Daí, para cotar o úmero correto de combiações de elemetos tomados p + 1 a p + 1, basta realizar o cálculo C,p ( p) e excluir os cojutos cotados a mais, ou seja, dividir C,p ( p) por p + 1. Logo, o total de combiações será dado por: C,p+1 = C,p ( p) p + 1 ( 1) ( 2) ( p) = p (p + 1) Assim, por idução matemática, a proposição também é válida para p + 1. ( 1) ( 2) ( p + 1) Portato, C,p = p! Coclui-se que a relação C,p = p!( p)! é válida. Exemplo 1.5. Quatas comissões compostas por 4 pessoas, escolhidas etre 7 podem ser formadas? Resolução: Costata-se que é um caso de combiação pelo fato da ordem de escolha dos elemetos determiar os mesmos subcojutos. Assim, tem-se que p = 4 e = 7. Aplicado a fórmula da combiação, vem: 7! C 7,4 = 4!(7 4)! = 7! 4!3! = ! 4! 3 2 = 35. Portato, há um total de 35 comissões que podem ser formadas.

19 8 1.5 Números biomiais Um úmero biomial, também chamado de coeficiete biomial, sobre k, com k e, k N, cosiste o total de combiações de elemetos tomados k a k e é simbolizado por ( k ), ode é também chamado de umerador e k, de deomiador. Assim, ( ) = k Exemplo 1.6. ( ) 5 = 2! k!( k)!. 5! 2!(5 2)! = Triâgulo Aritmético de Pascal Os coeficietes biomiais podem ser dispostos em uma tabela, chamada de triâgulo aritmético ou triâgulo de Pascal. O ome deste triâgulo é uma homeagem ao físico e matemático fracês Blaise Pascal ( ) devido ao fato dele ter descoberto a maioria de suas propriedades e relações. Neste triâgulo, os coeficietes biomiais de mesmo umerador ocupam a mesma liha e os de mesmo deomiador ocupam a mesma colua. Assim, a liha k represeta todos os coeficietes desde ( k 0 ) até (k k ). Abaixo está represetado o triâgulo aritmético de Pascal com os respectivos coeficietes biomiais: Liha 0 ( ) 0 0 Liha 1 ( )( ) Liha 2 ( )( )( ) Liha 3 ( )( )( )( ) Liha 4 ( )( )( )( )( ) Liha ( 0 )( 1 )( 2 )... ( 1 )( )

20 9 Existem algumas propriedades ieretes ao triâgulo aritmético de Pascal que são importates para a sua costrução pois permitem determiar os coeficietes biomiais sem a ecessidade de calcular todos eles. Abaixo seguem algumas dessas propriedades: 1. Toda liha começa e termia por 1 Demostração: Os coeficietes biomiais que iiciam cada liha são do tipo ( ) p = p! 0 0!p! = 1, p N 2. Em uma mesma liha, os coeficietes biomiais equidistates dos extremos são iguais. Demostração: Sejam ( p ) e ( p ) dois úmeros biomiais equidistates dos extremos, situados a liha do triâgulo de Pascal. Nota-se que ( p ) é precedido de p termos: ( 0 )( 1 )...( p 1 ) e que ( p ) é sucedido de p termos: ( p+1 )( p+2 )...( ). Assim, ( )! = p p!( p)!! = [ ( p)]!( p)! ( ) =. p 3. A partir da liha 2 do triâgulo aritmético, cada úmero biomial p, excetuado o primeiro, é dado pela soma dos dois biomiais cosecutivos da liha aterior, cujo último ecotra-se acima de p. (Relação de Stifel) Esta propriedade ficou cohecida como relação de Stifel. 1 Sitetizado tal relação, tem-se que: ( ) 1 + k 1 ( ) 1 = k ( ). k 1 Matemático alemão Michael Stifel que viveu etre e

21 10 Demostração: ( ) ( ) 1 1 ( 1)! ( 1)! + = + k 1 k (k 1)!( k)! k!( k 1)!. (k( 1)! + ( k)( 1)! =. k!( k)! [k + ( k)]( 1)! =. k!( k)! ( 1)! = k!( k)!. = =! k!( k)!. ( ). k 4. Soma dos biomiais em uma mesma liha. Retomado os biomiais o triâgulo aritmético, observa-se que: Liha 0 ( ) 0 = 1 = Liha 1 ( ) Liha 2 ( ) Liha ( ) ( ) 1 = 2 = ( ) 2 = 4 = = 8 = Liha ( ) + 0 ( ) + 1 ( ) ( ) 1 + ( ) = 2 Assim sedo, em uma mesma liha, a soma dos úmeros biomiais resulta em 2, N.

22 11 Com base as propriedades apresetadas, o triâgulo de Pascal ficará disposto da seguite forma: E assim sucessivamete

23 CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE 2.1 História da Probabilidade OINTERESSE do homem em estudar os feômeos que evolviam determiadas possibilidades fez surgir a probabilidade. Idícios mostram que o surgimeto da teoria das probabilidades teve iício com os jogos de azar dissemiados a Idade Média. Esse tipo de jogo é comumete praticado através de apostas. Na ocasião o jogo era utilizado o ituito de atecipar o futuro. O desevolvimeto das referidas teorias e os avaços dos cálculos probabilísticos devem ser atribuídos a vários matemáticos Atribui-se aos algebristas italiaos Pacioli, Cardao, Tartaglia (séc XVI) as primeiras cosiderações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Através de estudos aprofudados, outros matemáticos cotribuíram para a sitetização de uma ferrameta muito utilizada cotidiaamete. Cardao foi o primeiro a itroduzir técicas de Combiatória para calcular a quatidade de possibilidades favoráveis em um eveto aleatório e, assim, poder calcular a probabilidade da ocorrêcia de tal eveto. Em sua obra ititulada Liber de ludo aleae ("O livro dos jogos de azar"), pela primeira vez a história da matemática, foi itroduzida a oção de probabilidade (em jogos de azar) com aceitável objetividade. Cardao também estabeleceu resultados como o que segue: "A probabilidade de que um eveto cuja probabilidade é p ocorra idepedetemete vezes é p ". Por exemplo, como o laçameto de uma moeda a probabilidade de dar coroa é 1 2, em laçametos cosecutivos da mesma moeda é ( 12 ). Os alicerces da teoria do cálculo das probabilidades e da aálise combiatória foram estabelecidos por Pascal e Fermat, marcado o iício da teoria das probabilidades como ciêcia. As cotribuições de Beroulli efatizaram os grades úmeros, abordado as combiações, permutações e a classificação biomial. Laplace formulou a regra de sucessão e Gauss estabelecia o método dos míimos quadrados e a lei das distribuições de probabilidades. 12

24 Coceitos iiciais A oção primitiva de experimeto probabilístico requer pouca elaboração além da apresetação de algus exemplos simples represetativos, tais como: (1) Observar a face voltada para cima após cada laçameto de um dado. (2) Laçar uma moeda e verificar o resultado do laçameto. Tais experimetos acima descritos são obviamete idealizados pelo fato de apresetar um cojuto cohecido de resultados. No caso do exemplo 2, dois são os resultados possíveis - cara ou coroa. Porém, outros resultados, tais como a moeda cair em pé ou rolar idefiidamete, por exemplo, são possibilidades físicas de um experimeto real, mas ão o caso de um experimeto ideal. O cojuto de resultados possíveis de um experimeto probabilístico ideal é deomiado espaço amostral e é usualmete deotado por Ω, ode seus elemetos são cohecidos como evetos elemetares. No exemplo 1 aterior, o espaço amostral é de fácil percepção, sedo dado por Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Um eveto probabilístico, ou simplesmete eveto, é um subcojuto de um espaço amostral Ω. Aida com relação ao exemplo 1 aterior, o eveto correspodete à ocorrêcia de um úmero primo a face voltada para cima é dado por E = 2, 3, 5, ou seja, E ocorre se e só se uma das faces 2, 3 ou 5 ocorre. 2.3 Álgebras de evetos O objetivo básico da Teoria das Probabilidades cosiste em atribuir a cada eveto E Ω um úmero que correspoda à oção ituitiva de probabilidade de ocorrêcia do eveto E, que será apresetada mais adiate aida este capítulo. Ifelizmete, se for adotado o poto de vista segudo o qual todo e qualquer subcojuto do espaço amostral é um eveto, ão será possível cumprir este objetivo de maeira satisfatória. No ituito de cotorar essa dificuldade, que é de atureza essecialmete técica, faz-se ecessário restrigir um pouco essa classe de evetos admissíveis. Defiição 2.1. Uma classe ão vazia A P(Ω) é uma álgebra se A é fechada por complemetos e uiões fiitas.

25 14 Nota-se que ão há ecessidade de exigir que A seja fechada por iterseções fiitas, uma vez que tal fato é uma cosequêcia das chamadas leis de De Morga. Se A 1, A 2,..., A A etão A c 1, Ac 2,..., Ac A, pois A é fechada por complemetos. Logo A c 1 Ac 2... Ac A, pois A é fechada por uiões fiitas; em particular: A 1 A 2... A = (A c 1 Ac 2... Ac ) c também pertece a A, pois, ovamete, A é fechada por complemetos σ - Álgebra de Evetos Defiição 2.2. Uma classe ão-vazia A P(Ω) é uma σ - álgebra de as seguites codições são satisfeitas: (1) A (2) Se A A, etão A c A. (3) Se A 1, A 2,..., A,... A etão =1 A A. Assim, uma σ - álgebra é uma classe de cojutos que é fechada por complemetos e uiões eumeráveis. 2.4 Defiição de probabilidade Para defiir probabilidade, deve-se, basicamete, atribuir a cada eveto do espaço amostral Ω (ou pelo meos a cada eveto pertecete a uma σ - álgebra A P(Ω)) um úmero que correspoda ituitivamete às chaces de que este eveto ocorra. Defiição 2.3. Um espaço de probabilidade (Ω,A,P) cosiste de um espaço amostral Ω, uma σ - álgebra de evetos A P(Ω) e uma medida de probabilidade P: A [0,1] com as seguites propriedades: (1) P(Ω) = 1 (2) Dada uma sequêcia E 1, E 2,..., E,... de evetos E A mutuamete exclusivos (ou seja, tais que E i E j = para i = j), tem-se: P( =1 E ) = Cosequêcias da defiição P(E ). =1 Pode-se obter algumas cosequêcias imediatas dos axiomas vistos ateriormete. Assim, um espaço de probabilidade qualquer (Ω,σ,P), valem as seguites propriedades. (1) Se E A, etão P(E c ) = 1 P(E).

26 15 (2) Se E 1, E 2,..., E,..., E A são evetos mutuamete exclusivos, etão P(E 1 E 2... E ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E ). (3) Se A B são evetos em A, etão P(A) P(B). (4) Se A, B A, etão P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Cosiderado um experimeto aleatório de um espaço amostral Ω, tem-se que o cojuto vazio e o próprio espaço amostral são subcojutos de Ω, ou seja, são evetos desse experimeto, deomiados, respectivamete, eveto impossível e eveto certo. 2.5 Experimetos equiprováveis Defiição 2.4. Um experimeto aleatório é dito equiprovável quado todos os resultados possíveis têm a mesma probabilidade de ocorrêcia. Exemplo 2.1. Cosiderado o laçameto de um dado ão viciado, isto é, sem favorecimeto para ehuma das faces, espera-se que, repetido-se o experimeto uma quatidade grade de vezes, a quatidade de ocorrêcia para cada uma de suas faces seja muito próxima da igualdade, de modo que P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}). Portato, esse experimeto é equiprovável Eveto uitário É dado um experimeto aleatório equiprovável, com espaço amostral Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω }. Pela defiição, tem-se que: P({ω 1 })= P({ω 2 })= P({ω 3 })=... = P({ω }) Deotado por p a probabilidade de cada eveto uitário {ω 1 }, 1 i, vem: p + p + p p =1 p = 1 p = 1 }{{} parcelas Portato, P({ω i }) = 1 com i N e 1 i Probabilidade de um eveto ocorrer Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω }, um espaço amostral fiito. Cosiderado um espaço amostral equiprovável, tem-se que: P({ω 1 })= P({ω 2 })= P({ω 3 })=... = P({ω }). Fazedo P({ω 1 }) = p 1, P({ω 2 }) = p 2, e assim sucessivamete, pode-se escrever: p 1 + p 2 + p p = 1. Cosiderado E um eveto de Ω, formado por r elemetos (r ), isto é: E = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω r }. Daí, P(E) = p 1 + p p r.

27 16 Assim, tem-se que: p(e) = }{{} r vezes = r = (E) (Ω). Exemplo 2.2. Uma comissão é formada por três pessoas, escolhidas etre seis, icluido Marta. Qual é a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma comissão a qual Marta faz parte? Resolução: Para obter a quatidade de elemetos do espaço amostral, deve-se calcular a combiação simples de três elemetos, tomados 3 a 3, escolhidos detre seis elemetos, uma vez que a ordem de escolha ão importa. Assim, ( ) 6 = 6! 3 3! 3! = ! 3! 3 2 = 20. Logo, (Ω) = 20. O eveto E é composto pelas comissões que icluem Marta, ou seja, deve-se escolher 2 elemetos (pessoas) detre um total de 5, cosiderado que Marta já faz parte. Equivale a obter a combiação de 5 elemetos, tomados 2 a 2. Logo, ( ) 5 = 5! 2 2! 3! = 5 4 3! = ! Portato, P(E) = (E) (Ω) = = Probabilidade da uião de dois evetos Sejam A e B dois evetos de um espaço amostral Ω fiito, ão vazio e equiprovável. A probabilidade da uião desses evetos é dada por: (1) Se A B =. Nesse caso, tem-se que: (A B) = (A) + (B). Como (Ω) = 0, pode-se escrever: (A B) = (A) (Ω) (Ω) + (B) (Ω).

28 17 Portato, P(A B) = P(A) + P(B). A e B, esse caso, são chamados de evetos mutuamete exclusivos. Exemplo 2.3. Determiar a probabilidade de se obter, ao acaso, o laçameto de um dado, um úmero primo ou um úmero múltiplo de 4. Resolução: O espaço amostral, esse caso, é dado por: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} O eveto A (obteção de um úmero primo) é dado por: A = {2, 3, 5} O eveto B (retirada de um úmero múltiplo de 4) é dado por: B = {4}. Temos, portato, que A B =, logo p(a B) = p(a) + p(b). Assim, p(a B) = p(a) + p(b) = (A) (Ω) + (B) (Ω) = = 4 6 = 2 3. (2) A B =. Da teoria dos cojutos, tem-se que: (A B) = (A) + (B) (A B). Dividido a expressão acima por (Ω) = 0, vem: (A B) (Ω) = (A) (Ω) + (B) (Ω) (A B). (Ω) Daí, p(a B) = p(a) + p(b) p(a B). Exemplo 2.4. Em uma caixa, há bolas umeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola cotedo um úmero par ou um úmero múltiplo de 5?

29 18 Resolução: O espaço amostral, esse caso, é dado por: Ω = {1, 2, 3,..., 29, 30}. O eveto A (obteção de um úmero par) é dado por: A = {2, 4, 6,..., 28, 30}, ou seja, (A) = 15. O eveto B (obteção de um úmero múltiplo de 5) é dado por: B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}. Assim, (B) = 6. Ocorre que existe o eveto A B (retirada de um úmero par e múltiplo de 5) dado por A B = {10, 20, 30}. Tem-se que (A B) = 3. Portato, p(a B) = p(a) + p(b) + p(a B). = (A) (Ω) + (B) (Ω) = = = Probabilidade codicioal (A B). (Ω) Cosidera-se um espaço amostral Ω fiito e ão vazio, e sejam A e B evetos quaisquer desse espaço amostral. A probabilidade codicioal do eveto A, sabedo que ocorreu o eveto B é idicada por p(a/b) e dada por: p(a/b) = (A B). (B) Dividido o umerador e o deomiador da expressão acima por (Ω), temse que: Portato, p(a/b) = p(a/b) = (A B) (Ω). (B) (Ω) p(a B). p(b) Exemplo 2.5. Laça-se uma moeda ão viciada três vezes seguidas. Sabedo que foi obtido cara o segudo laçameto, qual é a probabilidade de ocorrêcia de exatamete duas caras? Resolução: O espaço amostral Ω aterior à codição imposta era composto por: {CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK}.

30 19 No etato, o eveto B (ocorrêcia de exatamete duas caras), está codicioado à ocorrêcia do eveto A (aparecimeto de cara o segudo laçameto). Tem-se portato que as combiações em que aparecem cara o segudo laçameto são: {CCC, CCK, KCC, KCK}. Assim, (A) = 4. O eveto B será etão composto por: {CCK, KCC}. Logo, (A B) = 2 Daí: p(a/b) = (A B) (B) = 2 4 = Evetos Idepedetes Sejam Ω um espaço amostral fiito e ão vazio, e A e B evetos quaisquer desse espaço amostral. De acordo com o que foi visto a seção aterior, a probabilidade codicioal do eveto A, sabedo que ocorreu o eveto B, é idicada por p(a/b) e dada por: Assim, decorre que: p(a/b) = p(a B). p(b) p(a B) = p(a/b) p(b). De um modo geral, ocorre que p(a/b) = p(a) pois o fato de ter ocorrido o eveto B ão altera a probabilidade de ocorrêcia do eveto A. Nesse caso, A e B são cosiderados evetos idepedetes. Portato, vale a relação: p(a B) = p(a) p(b). Geeralizado, sedo A 1, A 2,..., A evetos idepedetes, tem-se: p(a 1 A 2... A ) = p(a 1 ) p(a 2 ) p(a ). Exemplo 2.6. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é de 60 % e a probabilidade de um atirador B acertar o mesmo alvo é de 90 %. Se os dois atirarem uma vez, qual é a probabilidade de que pelo meos um atija o alvo? Resolução: Sabe-se que, pelo euciado do problema, tem-se que há três possibilidades: (1) O atirador A acerta e o atirador B erra. Nesse caso, a probabilidade é dada por: (A B) (Ω) = (A) (Ω) + (B) (Ω).

31 20 p 1 = p(a) p(b). = = (2) O atirador A erra e o atirador B acerta. Tem-se, portato, que a probabilidade é dada por: p 2 = p(a) p(b). = = (3) Os atiradores A e B acertam. A probabilidade, esse caso, é dada por: p 3 = p(a) p(b). = = Uido os três casos, tem-se que a probabilidade de que pelo meos um atirador acerte o alvo é dada por: p 1 + p 2 + p 3 = = = Portato, a probabilidade será igual a 96 %. 2.9 Probabilidade do eveto complemetar Se A é um eveto de Ω, etão p(a) = 1 p(a)., ode A é o eveto complemetar de A. Nesse caso, (A) + (A) = (Ω). Dividido-se ambos os membros da relação por (Ω), tem-se: Assim, (A) (Ω) + (A) (Ω) (Ω) (Ω). p(a) + p(a) = 1. Portato, a probabilidade de ocorrêcia do eveto complemetar de um certo eveto A é dada por: p(a) = 1 p(a).

32 21 Exemplo 2.7. Uma ura cotém 40 bolas, sedo 15 amarelas e o restate vermelhas. Duas bolas serão retiradas sem reposição. Determiar a probabilidade de se retirar pelo meos uma bola amarela. Resolução: Existem a possibilidade de retirada de uma bola amarela, duas bolas ou ehuma bola amarela as codições acima descritas. Assim, o eveto A é o eveto retirada de ehuma bola amarela, que é, de fato, o complemetar de A. Daí, o eveto A é o eveto retirada de pelo meos uma bola amarela. Assim, p(a) = 1 p(a). A probabilidade de ão ser retirada uma bola amarela é justamete a probabilidade da bola retirada ser vermelha. A probabilidade de se retirar duas bolas vermelhas é dada por p(a) = p(1) p(2), ode p(1) e p(2) são as probabilidades de retirada da primeira e seguda bola vermelhas, respectivamete. Assim, p(a) = Portato, p(a) = A probabilidade de se retirar pelo meos uma bola amarela será dada por: p(a) = 1 p(a) = = 8 13.

33 CAPÍTULO 3 TEOREMA BINOMIAL E APLICAÇÕES NA PROBABILIDADE 3.1 Breve Histórico OTERMO Biômio de Newto a matemática é dedicado ao grade cietista iglês Isaac Newto, também físico e matemático, ascido em Woolsthorpe Maor, localizado a Grã-Bretaha. Etretato, deve-se ressaltar que tal coteúdo ão foi o objeto de estudos por parte do cietista, uma vez que ele estudou as regras que valem para (a + b) quado o expoete é fracioário ou iteiro egativo. Nesse último caso, desecadeou o estudo das séries ifiitas (cálculo ifiitesimal). Na verdade, diversos foram os matemáticos que cotribuíram para o desevolvimeto do teorema Biomial com expoete atural. Casos especiais já eram cohecidos desde o século 4 a.c. O matemático grego Euclides já mecioara caso especial do teorema para expoete 2. Os coeficietes biomiais, como quatidades combiatórias que expressam o úmero de maeiras de selecioar k objetos de sem substituição eram de iteresse para os hidus atigos. O teorema biomial como tal pode ser ecotrado o trabalho do matemático persa do século XI Al-Karaji, que descreveu o padrão triagular dos coeficietes biomiais e também foreceu uma prova matemática do teorema biomial e triâgulo de Pascal usado uma forma primitiva de idução matemática. 3.2 Biômio de Newto O desevolvimeto de potêcias com expoete atural de um biômio é cohecido como Biômio de Newto ou Teorema Biomial. Dessa forma, pode-se desevolver expressões do tipo (x + a), com atural. Assim, fazedo variar, obtém-se: 22

34 23 Para = 0, tem-se que: Para = 1, tem-se que: (x + a) 0 = 1. (x + a) 1 = 1x + 1a. Para = 2, tem-se que: (x + a) 2 = 1x 2 + 2xa + 1a 2. Para = 3, tem-se que: Para = 4, tem-se que: (x + a) 3 = 1x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + 1a 3. (x + a) 4 = 1x 4 + 4x 3 a + 6x 2 a 2 + 4xa 3 + 1a 4. Nota-se que este desevolvimeto os coeficietes dos respectivos termos são os úmeros biomiais cujas lihas represetam o expoete do biômio correspodetes, ou seja, essas lihas são exatamete as do triâgulo de Pascal, coteúdo estudado o primeiro capítulo deste trabalho. Portato, pode-se reescrever o desevolvimeto da seguite maeira: Para = 0, tem-se que: (x + a) 0 = ( ) 0 x 0 a 0. 0 Para = 1, tem-se que: Para = 2, tem-se que: (x + a) 2 = (x + a) 1 = Para = 3, tem-se que: (x + a) 3 = x 3 a Para = 4, tem-se que: ( ) 4 (x + a) 4 = x 4 a ( ) 2 x 2 a ( ) 4 x 3 a ( ) 1 x 1 a x 2 a ( ) 1 x 0 a 1. 1 ( ) 2 x 1 a ( ) 4 x 2 a ( ) 2 x 0 a 2. 2 x 1 a x 0 a 3. 3 ( ) 4 x 1 a ( ) 4 x 0 a 4. 4

35 24 Devem ser cosideradas algumas importates observações: O desevolvimeto de (x + a) apreseta ( + 1) termos. Os expoetes de x decrescem de até 0 e os expoetes de a crescem de 0 até. Cada expoete de x é igual à difereça etre o umerador e o deomiador do coeficiete (úmero biomial) correspodete e cada expoete de a é igual ao respectivo deomiador do úmero biomial correspodete. A soma dos expoetes das variáveis, em cada termo, é sempre. Dessa forma, pode-se escrever a forma caôica do Teorema Biomial da seguite forma: ( ) ( ) ( ) ( ) (x + a) = x a 0 + x 1 a x 1 a 1 + x 0 a É possível, etretato, abreviar, escrevedo o Teorema Biomial da seguite maeira: ( ) (x + a) = x i a i. i Demostração: i=0 Utilizado idução em, e fazedo = 0, vem: (x + a) 0 = ( 0 0 )x0 y 0 = 1, ou seja, a igualdade é satisfeita para = 0. Para = 1, tem-se: (x + a) 1 = ( 1 0 )x1 a 0 + ( 1 1 )x0 a 1 = x + a. Portato a igualdade é válida para = 1. Seja um iteiro maior ou igual a 1, deve-se mostrar que a relação vale também para + 1. Pela Hipótese de idução, tem-se: Para + 1, vem: (x + a) = i=0 (x + a) +1 = (x + a) ( ) x i a i. i i=0 ( ) x i a i. i Usado distributiva do produto em relação à soma, tem-se: (x + a) +1 = x +1 + x Reescrevedo: (x + a) +1 = x +1 + x i=1 i=1 ( ) i ( ) x i a i + a i x i a i + a i=1 1 i=0 ( ) x i a i + a +1. i ( ) x i+1 a i 1 + a +1. i 1

36 25 Que é equivalete a: (x + a) +1 = x +1 + Pela Relação de Stifel, vem: i=1 (x + a) +1 = x +1 + [( ) ( )] + x i+1 a i + a +1. i i 1 i=1 ( + 1 Arrumado e reescrevedo o somatório, tem-se: (x + a) +1 = +1 i=0 i ( + 1 Portato, a relação também é válida para + 1. i ) x i+1 a i + a i+1. ) x +1 i a i. 3.3 Coexão etre a Probabilidade e o Teorema Biomial O Teorema Biomial pode ser utilizado em coexão com cálculos de probabilidade evolvedo dois evetos mutuamete exclusivos ode ão importa a ordem de ocorrêcia de tais evetos. O Teorema Biomial, coforme visto ateriormete, é dado por: (x + a) = ( ) x a ( ) ( ) x 1 a x 1 a Verifica-se para = 3 a seguite cofiguração: ( ) ( ) ( ) ( ) (x + a) 3 = x 3 a 0 + x 2 a 1 + x 1 a 2 + x 0 a ( ) x 0 a, Percebe-se que há 4 possibilidades distitas cosiderado = 3. Se, por exemplo, fosse laçado um dado 3 vezes, x fosse cosiderado o eveto retirada da face 6, e a fosse cosiderado o eveto complemetar de x, os termos do desevolvimeto acima poderiam ser descritos através da tabela abaixo, ode a ocorrêcia da face 6 seria cosiderada como sucesso e sua ão ocorrêcia (eveto complemetar) seria cosiderada como um fracasso. Sucessos Fracassos Probabilidade 0 3 1a x 1 a x 2 a x 3 Coforme visto o Capítulo 1, a soma dos biomiais de cada liha é dada por 2. Assim, tem-se, para este caso ( = 3), 2 3 = 8. Verifica-se, portato, que são 8 possíveis combiações: SSS, FSS, SFS, SSF, FFS, FSF, SFF, FFF.

37 26 Cada tera é cosiderada uma possibilidade de ocorrêcia, e como os evetos são idepedetes, a probabilidade de ocorrêcia, seja um sucesso ou um fracasso de cada tera, será dada pelo produto das probabilidades parciais. Tem-se, portato, que há 4 grupos distitos de combiações (S 3, S 2 F 1, S 1 F 2 ef 3 ), ode há ( 3 0 ) quatidades do tipo S3, ( 3 1 ) do tipo S2 F 1, ( 3 2 ) do tipo S1 F 2 e ( 3 3 ) do tipo F 3. Pode-se etão escrever o Método Biomial por meio de uma fução de probabilidade, ode são observadas ocorrêcias de um eveto k vezes, através da expressão abaixo: p(x = k) = ( ) x k a k. k Os biomiais do tipo ( k ) represetam as quatidades de combiações de elemetos tomados k a k, sedo k a quatidade de elemetos do primeiro eveto cosiderado e ( k) a quatidade de elemetos do eveto complemetar. O desevolvimeto biomial para esta situação é dado por: (S + F) 3 = S 3 F S 2 F S 1 F S 0 F 3. 3 Assim, cosiderado esse exemplo, tem-se: x = probabilidade de retirada um seis (Sucesso) = 1 6 ; a = probabilidade da ão retirada de um seis (Fracasso) = 5 6. Para uma suposta retirada de apeas um seis (k = 1) em três ( = 3) laçametos do dado, tem-se a seguite probabilidade: Logo, p(x = 1) = ( 3 2 ) ( 1 6 ) 1 ( ) p(x = 1) = Salieta-se que esta fórmula coicide com o cálculo do terceiro termo do desevolvimeto visto acima substituido-se os respectivos valores. A seção a seguir será destiada a exemplos práticos de exercícios evolvedo esses cálculos de probabilidade de ocorrêcia de evetos em que tais evetos são mutuamete exclusivos, cosiderado também o fato de ão importar a ordem de acotecimeto deles. 3.4 Exemplos práticos de Aplicações Exemplo 3.1. A probabilidade de um saltador atigir seu objetivo em um campeoato mudial é de 40 % em cada salto. Cosidere que ele efetuou 3 saltos. Resolução: Cosiderado que o saltador atige ou ão o seu objetivo, os evetos dados são mutuamete exclusivos.

38 27 Deota-se por p a probabilidade do saltador atigir seu objetivo e q a probabilidade dele ão atigir (eveto complemetar). Tem-se que p = 40% = 0, 4 e, como q = 1 p, q = 1 0, 4 = 0, 6. Além disso, = 3. Há 4 situações possíveis esse caso: 1. O saltador atige os 3 saltos o seu objetivo. 2. O saltador atige o seu objetivo em dois saltos. 3. O saltador atige o seu objetivo em apeas um salto. 4. O saltador ão atige, em ehum dos 3 saltos, o seu objetivo. Do teorema biomial, tem-se: (p + q) 3 = p 3 q p 2 q p 1 q p 0 q Esta situação é represetada pelo primeiro termo do desevolvimeto acima. Dessa forma, tem-se que k = 3 e ( k) = 0. Substituido, vem: (0, 4) 3 (0, 6) 0 = 0, 064 = 6, 4% Esta situação é represetada pelo segudo termo do desevolvimeto acima. Dessa forma, tem-se que k = 2 e ( k) = 1. Substituido, vem: (0, 4) 2 (0, 6) 1 = 0, 288 = 28, 8% Esta situação é represetada pelo terceiro termo do desevolvimeto acima. Dessa forma, tem-se que k = 1 e ( k) = 2. Substituido, vem: (0, 4) 1 (0, 6) 2 = 0, 432 = 43, 2% Esta situação é represetada pelo quarto termo do desevolvimeto acima. Dessa forma, tem-se que k = 0 e ( k) = 3. Substituido, vem: (0, 4) 0 (0, 6) 3 = 0, 216 = 21, 6%. 3 Nota-se, portato que a probabilidade total será dada por: (6, , , , 6)% = 100% = 1.

39 28 Exemplo 3.2. Uma moeda ão viciada é laçada 4 vezes e observa-se o úmero correspodete à face voltada para cima. Obteha a probabilidade de ocorrêcia de exatamete duas caras. Resolução: Deotado por c a probabilidade de se obter cara em um laçameto e por q a probabilidade de se obter coroa, o desevolvimeto biomial para = 4 será dado por: (c + q) 4 = ( ) 4 c 4 q ( ) 4 c 3 q ( ) 4 c 2 q ( ) 4 c 1 q ( ) 4 c 0 q 4. 4 Cada termo este desevolvimeto represeta o cálculo da probabilidade de ocorrêcia de tatas caras e coroas de tal forma que sua soma resulte em 4. Assim, a probabilidade de se obter exatamete 2 caras é dada calculado-se o valor do terceiro termo. Nesse caso, tem-se 2 caras e 2 coroas. A probabilidade de sair cara ou coroa é a mesma: c = q = 1 2. Substituido c e q o termo de ordem 3, tem-se: ( ) 4 c 2 q 2. 2 Assim, Portato, p = 6 ( ) ( ) p = 6 16 = 3 8. Assim, a probabilidade de ocorrêcia de exatamete duas caras em 4 laçametos de uma moeda ão viciada vale 3, ou seja, 37, 5%. 8 Há casos em que uma moeda pode estar viciada. Nesses casos, a probabilidade de ocorrêcia de um dos evetos (sair cara ou sair coroa) é maior. O próximo exemplo prático será com base em uma moeda viciada. Exemplo 3.3. Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara é o dobro da de sair coroa. Supoha que essa moeda seja laçada 3 vezes e observa-se o úmero correspodete à face voltada para cima. Pede-se obter a probabilidade de ocorrêcia de pelo meos uma cara. Resolução: Deotado por c a probabilidade de de se obter cara em um laçameto e por k a probabilidade de se obter coroa, tem-se que c + k = 1. Como c = 2k, segue que c = 2 3 e k = 1 3. O desevolvimeto biomial para = 3 será dado por:

40 29 (c + k) 3 = c 3 k c 2 k c 1 k c 0 k 3. 3 A probabilidade de sair pelo meos uma cara é dada por 1 p 0, ode p 0 é a probabilidade de ão sair cara. p 0 é obtida calculado-se o termo de ordem 4 do desevolvimeto acima. Assim, p 0 = c 0 k 3 = 3 ) ( 3 3 = ( ) Tem-se, portato, que a probabilidade solicitada é: p = = = 96, 3%. ( ) Assim, a probabilidade de se obter pelo meos uma cara em 3 laçametos de uma moeda viciada as codições impostas acima é um valor muito próximo de 100%. Este valor tede a aumetar, aproximado-se cada vez mais de 100%, caso a moeda seja aida mais viciada, ou seja, quado a probabilidade de sair cara for o triplo, quádruplo, quítuplo,... da probabilidade de sair coroa. Exemplo 3.4. Um casal plaeja ter cico filhos. Obteha a probabilidade de ascer pelo meos duas meias detre os cico filhos. Resolução: Seja p a probabilidade de ascimeto de uma meia e q = 1 p a probabilidade de ascimeto de um meio. Como p + q = 1 e p = q, decorre que p = q = 1 2. Pode-se calcular a probabilidade solicitada utilizado o fato de: p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1, em que p i, com i N, 0 i 5, represeta a probabilidade de ascimeto de i meias. Dessa forma, basta calcular p 0 + p 1 e subtrair o resultado de 1 para obter a probabilidade pedida. O desevolvimeto biomial para = 5 será dado por:

41 30 (p + q) 5 = ( ) 5 p 5 q ( ) 5 p 4 q ( ) 5 p 3 q ( ) 5 p 2 q ( ) 5 p 1 q ( ) 5 p 0 q 5. 5 p 0 é dada pelo último termo da expasão do biômio (p + q) 5. Assim, ( ) 5 p 0 = p 0 q 5 5 ( ) 1 0 ( ) 1 5 = = p 1 é calculada substituido os valores devidos o quito termo da expasão. Assim, ( ) 5 p 1 = p 1 q 4 4 ( ) 1 1 ( ) 1 4 = = Segue que a probabilidade de ascimeto de até 1 meia é dada por: Usado complemetar, vem: p 0 + p 1 = = 6 32 = p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 (p 0 + p 1 ). Fazedo p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = p, tem-se que: p = = Logo a probabilidade do referido casal ter pelo meos duas meias é igual a

42 31 Exemplo 3.5. A probabilidade de um certo teista A vecer seu opoete B em uma partida disputada é de 90%. Ecotrar a probabilidade de uma derrota do teista A em três partidas disputadas. Resolução: Deotado por v a probabilidade de vitória do teista A e por d a probabilidade de derrota do teista A, tem-se que p + v = 1. Como p = 90% = 0, 9, segue que d = 1 0, 9 = 0, 1. Pode-se escrever tal situação acima através do biômio: (v + d) 3 = v 3 d v 2 d v 1 d v 0 d 3. 3 Assim, a probabilidade p solicitada correspode ao cálculo do segudo termo deste desevolvimeto. Logo, p = v 2 d 1 1 = (0, 9) 2 (0, 1) 1 1 = 0, 243 = 24, 3%. Portato, a probabilidade do teista A ser derrotado em uma das três partidas disputadas é igual a 24,3%.

43 CAPÍTULO 4 O TEOREMA MULTINOMIAL E APLICAÇÕES NA PROBABILIDADE 4.1 Itrodução OCAPÍTULO aterior foi dedicado ao cálculo de probabilidades evolvedo dois evetos mutuamete exclusivos através do teorema biomial utilizado a expasão (a + b), ode represetava a quatidade de ocorrêcias de tais evetos. Neste capítulo serão estudados casos em que mais de dois evetos são possíveis de ocorrer detro de uma quatidade de observações. Será obtida uma expasão multiomial do tipo (x 1 + x x m ), através da expressão do teorema biomial, para viabilizar os cálculos de probabilidades para esses casos. A seção a seguir destia-se ao estudo e apresetação do Teorema Multiomial. 4.2 O Teorema Multiomial O Teorema Multiomial, também cohecido como multiômio de Newto é, a verdade, uma geeralização do Teorema Biomial. Cosiste, basicamete, o desevolvimeto de potêcias com expoete atural de um poliômio do tipo (x 1 + x 2 + x x m ). Assim, (x 1 + x x m ) = k 1 +k 2 + +k m = Nesse caso, ( w k i =. i=1 k 1, k 2,..., k m ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m. O termo ( k 1,k 2,...,k m ) é cohecido como coeficiete multiomial, ode é a quatidade total da ocorrêcia dos evetos x 1, x 2,..., x. 32

44 33 k 1, k 2,..., k m represetam o úmero de ocorrêcias dos evetos x 1, x 2,..., x m respectivamete. Portato, tem-se que k 1 + k k m =. Para o cálculo do coeficiete, utiliza-se a fórmula a seguir: ( ) = k 1, k 2,..., k m! k 1!k 2!... k m!. A demostração do Teorema Multiomial a seguir será feita por idução. Demostração: Para cada m N com m 1, tem-se que: N com 1, é válida a proposição P m : ( (x 1 + x x m ) = k 1 +k 2 + +k m = Fazedo m = 1 vem: k 1, k 2,..., k m ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m. Logo p 1 é válida. (x 1 )! = k k 1 = 1! x 1 k 1 =!! x 1 = x 1. Cosiderado válida para m 2, deve-se mostrar que também vale para m + 1. Pela hipótese de idução, N : (x 1 + x x m ) = k 1 +k 2 + +k m = Deve-se mostrar que N : ( k 1, k 2,..., k m (x 1 + x x m + x m+1 ) = ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m. ( k 1 +k 2 + +k m +k m+1 = k 1, k 2,..., k m, k m+1 ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m x m+1 k m+1.

45 34 = (x 1 + x x m + x m+1 ) = ((x 1 + x x m ) + x m+1 ) ( ) = x j m+1 (x 1 + x x m ) j j j=0 ( ) ( ) j j k = x m+1 j x 1 k2 k 1 x 2 x m m k j=0 k 1 +k 2 + +k m = j 1, k 2,..., k m ( ( )( ) ) j k = x 1 k2 k 1 x 2 x m j m x m+1 j k j=0 k 1 +k 2 + +k m = j 1, k 2,..., k m ( ( )( ) km+1 k = )x 1 k2 k 1 x 2 x m k m x m+1 m+1 k k m+1 =0 k 1 +k 2 + +k m = k m+1 k 1, k 2,..., k m m+1 ( )( ) km+1 k = x 1 k2 k 1 x 2 x m k m x m+1 m+1. k k 1 +k 2 + +k m +k m+1 = m+1 k 1, k 2,..., k m Usado as defiições de coeficiete biomial e coeficiete multiomial, vem: ( k m+1 )( ) km+1! = k 1, k 2,..., k m k m+1!( k m+1 )!! = k 1!k 2!k m!k m+1! ( = k 1, k 2,..., k m, k m+1 Logo a proposição é válida para m + 1. Assim, P m P m+1. Portato, N : ( (x 1 + x x m ) = k 1 +k 2 + +k m = k 1, k 2,..., k m ( k m+1 )! k 1!k 2!k m! ). ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m. 4.3 Coexão etre o Teorema Multiomial e a probabilidade O Teorema Multiomial pode ser aplicado a situações-problema evolvedo cálculo de probabilidades. O que difere da coexão aterior (Teorema Biomial x Probabilidade) é o fato de haver mais de dois evetos possíveis de ocorrer. Deve-se, portato, observar a ocorrêcia de possíveis repetições dos evetos evolvidos e, este caso, o coeficiete multiomial é basicamete o cálculo da permutação com repetição de elemetos (o caso aqui, a repetição dos evetos).

46 35 Além disso, há uma preocupação referete às quatidades de combiações existetes em algumas situações, que pode torar os cálculos um tato quato exaustivos. No ituito de miimizar esses impactos, exemplos práticos serão apresetados de uma forma mais diâmica, visado uma melhor praticidade para mater o foco deste trabalho. Na seção aterior, foi apresetado o Teorema Multiomial da seguite maeira: ( (x 1 + x x m ) = k 1 +k 2 + +k m = Tem-se, portato que: k 1, k 2,..., k m ) x 1 k 1 x 2 k2 x m k m. x 1, x 2,..., x m são as probabilidades de ocorrêcia dos evetos 1, 2,..., k 1, k 2,..., k são as quatidades de ocorrêcia dos evetos 1, 2,...,. é o úmero de repetições do experimeto. 4.4 Exemplos Práticos de Aplicação Esta seção será exclusivamete dedicada à exemplos cotextualizados de aplicações do Teorema Multiomial através do uso do cálculo de probabilidades. Exemplo 4.1. Em uma partida de futebol etre dois times A e B, estima-se que a probabilidade do time A vecer é de 50%, de haver empate é de 20% e do time B vecer é de 30%. Ecotrar a probabilidade do time A vecer pelo meos três de quatro partidas disputadas. Resolução: Tem-se que a probabilidade do time A vecer é dada por v = 50% = 0, 5, a probabilidade de haver empate é dada por e = 20% e a probabilidade do time A ser derrotado é dada por d = 30%. O Teorema Multiomial, referete a essa situação, pode ser escrito como: (v + e + d) 4 = k 1 +k 2 +k 3 =4 ( 4 k 1, k 2, k 3 Observa-se, esse caso, a ocorrêcia de três possibilidades: ) v k 1 e k 2 d k 3. (1) O time A vece três partidas e empata uma. Nesse caso, tem-se que k 1 = 3, k 2 = 1 e k 3 = 0. Assim, ( ) 4 p 1 = (0, 5) 3 (0, 2) 1 (0, 3) 0 3, 1, 0 = 4! (0, 125)(0, 2) 3!1!0! = 0, 10.