WAGNER MONTE RASO BRAGA

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1 WAGNER MONTE RASO BRAGA ANÁLISE COMBINATÓRIA UTILIZANDO OS NÚMEROS BINOMIAIS E OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM Dissertação apresetada à Uiversidade Federal de Viçosa, como parte das exigêcias do Programa de Pós-Graduação do Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal, para obteção do título de Magister Scietiae. VIÇOSA MINAS GERAIS - BRASIL 2016

2 Ficha catalográfica preparada pela Biblioteca Cetral da Uiversidade Federal de Viçosa - Câmpus Viçosa T B813a 2016 Braga, Wager Mote Raso, Aálise combiatória utilizado os úmeros biomiais e os pricípios fudametais de cotagem / Wager Mote Raso Braga. Viçosa, MG, vii, 111f. : il. (algumas color. ; 29 cm. Orietador: Edso José Teixeira. Dissertação (mestrado - Uiversidade Federal de Viçosa. Referêcias bibliográficas: f Aálise combiatória. 2. Pascal, Triâgulo de. 3. Fuções (Matemática. I. Uiversidade Federal de Viçosa. Departameto de Matemática. Programa de Pós-graduação em Matemática - Profissioal. II. Título. CDD 22. ed. 510

3 WAGNER MONTE RASO BRAGA ANÁLISE COMBINATÓRIA UTILIZANDO OS NÚMEROS BINOMIAIS E OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM Dissertação apresetada à Uiversidade Federal de Viçosa, como parte das exigêcias do Programa de Pós-graduação do Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal, para obteção do título de Magister Scietiae. APROVADA: 24 de fevereiro de Walter Teófilo Huaraca Vargas Paulo Cesar Emiliao Edso José Teixeira (Orietador

4 As leis da atureza ada mais são que pesametos matemáticos de Deus Kepler ii

5 AGRADECIMENTOS Primeiramete, agradeço a Deus pela luz os mometos mais difíceis e por me fazer acreditar que sou capaz. Agradeço aos meus pais, pelo icetivo e apoio durate toda miha trajetória estudatil e também a formação do meu caráter. Agradeço a miha filha Maria Luisa, setido da miha vida, sempre me recebedo com cariho as idas e vidas de Viçosa. AgradeçoamihaesposaLéia, amordamihavida, quetatomeicetivouemeapoiou os mometos felizes e também os mometos mais difíceis. Agradeço a CAPES pelo apoio fiaceiro. Agradeço a todos os professores da UFV pelas valiosas cotribuições o mometo da qualificação e defesa deste trabalho. Aos amigos e colegas do Profmat, em especial Fabrício, Haroldo, Lilia, Tiago e Wadso com os quais muito apredi e agradeço o acolhimeto e presteza as ajudas os períodos de estudos. Obrigado pelos bos mometos que pudemos passar jutos. Camihei cofiate a direção dos meus sohos e me esforcei para a realização desta coquista. O meu muito obrigado a todos. iii

6 RESUMO BRAGA, Wager Mote Raso, M.Sc., Uiversidade Federal de Viçosa, fevereiro de Aálise Combiatória utilizado os úmeros biomiais e os pricípios fudametais de cotagem. Orietador: Edso José Teixeira. O trabalho cosiste em apresetar uma proposta alterativa para o estudo da aálise combiatória utilizado o triâgulo de Pascal associados ao pricípio aditivo e multiplicativo. Essa proposta visa cotar os diversos tipos de fuções e também demostrar algumas idetidades presetes o triâgulo de Pascal via argumetos combiatórios. iv

7 ABSTRACT BRAGA, Wager Mote Raso, M.Sc., Uiversidade Federal de Viçosa, february Aalysis Combiatorial usig the biomial umbers ad the fudametal priciples of coutig. Adviser: Edso José Teixeira. The work presets a alterative proposal for the study of combiatorial aalysis usig Pascal s triagle associated with additive ad multiplicative priciple. The proposal aims to cout the differet types of fuctios ad also demostrates some idetities preset i Pascal s triagle through combiatorial argumets. v

8 SUMÁRIO Itrodução 1 1 Históricos acerca dos problemas de Aálise Combiatória 4 2 Aálise Combiatória Triâgulo de Pascal, bijeções e fatorial Pricípios de cotagem Pricípio aditivo Pricípio da iclusão e exclusão Pricípio multiplicativo Permutações, arrajos e combiações Permutações simples Arrajo com repetição Arrajo sem repetição ou arrajo simples Combiação simples Permutações com repetição Permutações circulares Combiações com repetição ou combiações completas Resolvedo exercícios utilizado o pricípio de cotagem associados ao triâgulo de Pascal vi

9 3 Cotagem de fuções Fuções sem restrições Fuções ijetivas Fuções sobrejetivas Fuções bijetivas Fuções estritamete crescetes e estritamete decrescetes Fuções ão decrescetes e ão crescetes Demostrações de idetidades via argumetos combiatórios Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Idetidade Cosiderações fiais 108 Bibliografia 109 vii

10 INTRODUÇÃO Atualmete a Aálise Combiatória é um vasto e importate campo da Matemática que egloba temas como a Combiatória Eumerativa, Combiatória Algébrica, Combiatória Extrema, Teoria de Grafos, Topologia Combiatória e muito mais. As aplicações de Aálise Combiatória são iúmeras e vão desde Probabilidade e Estatística, Teoria dos Jogos, Química, Liguística até campos tão abstratos como a Computação Teórica. Diariamete os deparamos com situações-problema que evolvem cálculos combiatórios, daí a importâcia de domiarmos o básico dessa teoria. De modo geral os problemas iiciais de Aálise Combiatória são de compreesão simples, porém muitas vezes as resoluções são cosideradas difíceis por estudates e professores, isto se deve ao fato de que é ecessário estabelecer estratégias para resolvê-los. A abordagem desses problemas em sala de aula pode ser extremamete positiva, pois após a compreesão de como resolver cada tipo de problema, os estudates desevolverão a imagiação e terão cofiaça para resolver outros problemas. No etato, muitas vezes os problemas de Aálise Combiatória são tratados de maeira mecâica e repetitiva, com fórmulas difíceis de serem memorizadas. A Aálise Combiatória tem sido um obstáculo para muitos aluos e também professores devido ao fato de ser um coteúdo que cotempla uma quatidade excessiva de fórmulas. Essas dão suporte para apeas uma parcela pequea de exercícios propostos os 6 livros didáticos aprovados o PNLD O Programa Nacioal do Livro Didático (PNLD é o mais atigo dos programas voltados à distribuição de obras didáticas aos estudates da rede pública de esio brasileira. Aqui apresetamos muitos exercícios de cotagem com íveis de resoluções mais elevados que poderiam ser iseridos os referidos livros aprovados o PNLD 1

11 Itrodução Pretedemos com esse trabalho dar uma cotribuição o esio de Aálise Combiatória, para isso itroduziremos uma abordagem alterativa, cuja ferrameta pricipal utilizada é o triâgulo de Pascal através dos úmeros biomiais associados ao pricípio aditivo e o pricípio multiplicativo. O objetivo é que essa metodologia seja aplicada aos aluos do esio médio. Vamos utilizá-lo para resolver diversos problemas de cotagem de objetos, apresetado estratégias, abordado possíveis erros em algumas soluções com o ituito de ivestigar e ecotrar erros cometidos em algumas cotages múltiplas, iclusive para problemas mais complexos e como cosequêcia iremos utilizar o desevolvimeto dessa metodologia em outros problemas de Matemática, tais como, as demostrações das diversas idetidades vias argumetos combiatórios e também a cotagem de fuções. A proposta desse trabalho é apresetar um método alterativo em Aálise Combiatória sem a utilização de fórmulas. O leitor precisa estar familiarizado com os úmeros biomiais e os pricípios fudametais de cotagem tais como pricípio aditivo e multiplicativo. Este é um trabalho desevolvido para professores e aluos com o ituito de eriquecer o raciocíio e de tetar dimiuir a deficiêcia do esio-apredizagem desse tema. Está escrito em 4 capítulos. Iiciado o trabalho pela itrodução, objetivos, motivação e justificativas. No capítulo 1 abordaremos uma breve história acerca dos problemas evolvedo cotagem. No capítulo 2 apresetaremos uma sítese do triâgulo de Pascal e os seus úmeros biomiais. Defiiremos também bijeção, fatorial, pricípio aditivo e multiplicativo e algumas propriedades que darão suporte para o desevolvimeto desse trabalho. Mostraremos todas as fórmulas com exercícios resolvidos em aálise combiatória propostas os 6 livros didáticos que foram aprovados o PNLD Nesse mesmo capítulo, veremos que os exercícios propostos esses livros didáticos poderão ser resolvidos utilizado apeas os úmeros biomiais do triâgulo de Pascal associados ao pricípio aditivo e multiplicativo. Os 6 livros didáticos que foram aprovados o PNLD 2015/Esio médio são: 01 LEONARDO Fábio Martis de, Coexões com a Matemática, Vol 02, Editora Modera, São Paulo, 2 a edição, 2013.

12 Itrodução 3 02 DANTE Luis Roberto, Matemática Cotexto e Aplicações, Esio Médio, Vol 02, São Paulo, Editora Ática, 5a edição, PAIVA Maoel, Matemática Paiva, Vol. 02, São Paulo, Editora Modera, 2 a edição, IEZZI Gelso, DOLCE Osvaldo, DEGENSZAJN David Mauro, PÉRIGO Roberto, ALMEIDA Nilze Silveira de, Matemática Ciêcias e Aplicações, Vol 02, Editora Saraiva, São Paulo, 7 a edição, SMOLE Kátia Stocco e DINIZ, Maria Igez, Matemática, Esio Médio, Vol 02. Editora Saraiva, São Paulo, 7 a Edição, SOUZA Joamir, Matemática, Coleção Novo Olhar, Vol 02, Editora FTD, São Paulo, 2 a Edição, No capítulo 3 faremos uma abordagem os diversos tipos de fuções com o ituito de cotá-las. Cotaremos primeiramete as fuções com exemplos particulares e posteriormete as suas geeralizações. No capítulo 4 veremos como demostrar algumas relações biomiais ecotradas o triâgulo de Pascal através de argumetos combiatórios. Primeiramete testaremos as relações para algus exemplos particulares, posteriormete faremos a demostração algébrica e fialmete a demostração através de argumetos combiatórios. O trabalho se ecerra com as cosiderações fiais.

13 CAPÍTULO 1 HISTÓRICOS ACERCA DOS PROBLEMAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA A Aálise Combiatória é um ramo da Matemática que visa desevolver métodos que permitam cotar de uma forma direta ou idireta o úmero de elemetos de um cojuto, estado esses elemetos agrupados sob certas codições. Embora o homem teha feito agrupametos de elemetos de cojutos desde a época préhistórica, de maeira formal e de acordo com dados históricos podemos dizer que a Aálise Combiatória se origiou aida a atiguidade, quado o matemático grego Arquimedes de Siracusa ( a.c. propôs um problema geométrico que se torou famoso, chamado Stomachio (palavra derivada do grego stomachos, em português, estômago, que cosistia em determiar de quatos modos poderiam ser reuidas 14 peças plaas, de diferetes formatos e tamahos, para formar um quadrado. Figura 1.1: Stomachio 4

14 CAP. 1 HISTÓRICOS ACERCA DOS PROBLEMAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 5 Segudo([20] A Aálise Combiatória voltaria a aparecer os quadrados mágicos. Um quadrado mágico de ordem é uma distribuição dos úmeros 1,2,3,..., 2 em um quadrado x tal que cada liha, colua e diagoal deste quadrado possua a mesma soma. O primeiro quadrado mágico surge em I d.c. a Chia, chamado Lo-Shu, tratava-se de um diagrama que está associado às ove salas do palácio mítico de Mig Thag Figura 1.2: Quadrado mágico de soma Figura 1.3: Quadrado mágico de soma Figura 1.4: Quadrado mágico de soma 65. Os quadrados mágicos se relacioam com as ove salas do palácio mítico de Mig Thag, e a troca de diversos símbolos por úmeros iteiros formam o famoso quadrado mágico de Satur. Os Chieses trasmitiram as ideias dos quadrados mágicos para os árabes que por cosequêcia costruíram quadrados maiores que o atigo Lo Shu. Há de se destacar uma poesia ifatil que relacioa com os diversos problemas combiatórios: Quado eu estava ido para St. Ives,

15 6 Eu ecotrei um homem com sete mulheres, Cada mulher tem sete sacos, Cada saco tem sete gatos, Cada gato tem sete caixas, Caixas, gatos, sacos e mulheres, Quatos estavam ido para St. Ives? Esta poesia pode ser iterpretada como uma bricadeira, porém podemos refletir sobre ela de forma séria, pois existe um problema similar o Líber Abaci, Sete mulheres velhas estão ido para Roma; cada uma delas têm sete mulas; cada mula carrega sete sacos; cada saco cotém sete pães; cada pão tem sete facas; e cada faca tem sete baihas. Qual é o úmero total de coisas?, escrito por Leoardo de Pisa que dificilmete egaria uma coexão etre este problema e a poesia ifatil. As duas citações se caracterizam pela adição e a repetição do úmero sete, com o ituito de sua memorização. Segudo Wilso (1990, as regras básicas de cotar e suas aplicações têm sido efatizadas, desde as civilizações mais atigas por exemplos absurdos, ode era destacada a elusiva propriedade da memorização, como o Problema 79 do Papiro Egípcio de Rhid (cerca de 1650 a.c. que se segue: Há sete casas, cada uma com sete gatos, cada gato mata sete ratos, cada rato teria comido sete safras de trigo, cada qual teria produzido sete hekat 3 de grãos; quatos ites têm ao todo? Ou também o problema da costrução de quadrados mágicos. Um grupo de estudates árabes cohecido como os Ikhwa-al-Safa, ecotraram algus quadrados mágicos de ordem 4, 5 e 6 maiores que o Lo Shu e afirmaram existir os de ordem 7, 8 e 9. A aálise combiatória apareceu o fial do século XVII e em poucos aos surgiram três otáveis obras: Dissertatio de arte combiatória (1666 de Leibiz e Ars maga sciedi sive combiatoria (1669 de Athaasius Kircher, Traité du triagle arithmétique de Pascal (escrito em 1654 e publicado em 1665 e trabalhos de Wallis (1673, Fréicle de Bessy (1693, J. Beroulli (1713 e De Moivre (1718. O matemático fracês Fréicle (1693 apresetou todos os 880 quadrados de ordem 4, e esta mesma época seu compatriota, De La Loubère (1691 descreveu um método de costrução de quadrados de ordem ímpar cohecido como método de froteira que apredeu

16 CAP. 1 HISTÓRICOS ACERCA DOS PROBLEMAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 7 com o povo de Sião. Leibiz descreveu em 1666 a combiatória como sedo o estudo da colocação, ordeação e escolha de objetos, equato Nicholso em 1818 defiiu-a como o ramo da matemática que os esia a averiguar e expor todas as possíveis formas através das quais um dado úmero de objetos podem ser associados e misturados etre si. Segudo Berge (1971 a defiição de combiatória depede de coceitos de cofigurações, pois os matemáticos acreditam que certos problemas são de atureza combiatória e que os métodos para resolvê-los devem ser estudados. Para Biggs (1979 há dois pricípios de cotagem: o pricípio aditivo e o pricípio multiplicativo. O 1 o diz que quado quisermos cotar um cojuto de objetos, podemos dividir em casos, cotar as partes separadamete, e somar os resultados. Já o 2 o pricípio temos que se uma decisão pode ser tomada de x maeiras e a partir dessa, outra decisão pode ser tomada de y maeiras, etão o úmero de maeiras possíveis será o produto etre x e y. A aálise combiatória está fudametada as cotages e propriedades dos agrupametos difereciado em 3 categorias: arrajos, permutações e combiações. No iício do século XIX os termos arrajo e permutação ão apresetavam sigificado preciso. Leibiz dizia que as permutações tiha sigificado de variações, que é hoje utilizada por algus autores para idicar arrajo. Durate muito tempo, diversos matemáticos adotaram diferetes simbologias o estudo da Aálise Combiatória. O símbolo π( foi defiido por Gauss ( com o ituito de represetar o produto dos primeiros úmeros aturais (fatorial de, A. M. Legedre (Paris, 1811 utilizava o símbolo Γ(+1; O símbolo! é devida a Cristia Kramp (Colôia, 1808 e é utilizada por outros autores. O termo fatorial se deve a Arbogast (Strasburgo, Em 1654, surge a Probabilidade, que iicialmete era cosiderada como um ramo da Aálise Combiatória, o Problema dos Potos colocado a Pascal por Chevalier de Méré e resolvido as trocas de cartas etre Pascal e Fermat. A e B jogam dados, vamos supor que A gaha 1 poto quado o resultado pertece ao cojuto {1,2} equato B gaha 1 poto quado o resultado pertece ao cojuto {3,4,5,6}. Se A precisa de potos para gahar e B ecessita m potos para gahar. Qual

17 8 a probabilidade que A gahe o jogo? Esse problema gerou muita discussão etre os matemáticos da época. O primeiro a estudar e discutir esse problema foi o médico italiao ( e também matemático, físico e astrólogo Girolamo Cardao ( Mais tarde, Pascal e Fermat através de trocas de cartas também discutiram e apresetaram soluções para esse problema. Outro problema importate ligado à Aálise Combiatória é o desevolvimeto do biômio (1+x, demostrado por Isaac Newto ( obtedo aida uma geeralização do teorema do biômio ao cosiderar potêcias da forma (x+y+ +z, o chamado teorema multiomial.

18 CAPÍTULO 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 2.1 Triâgulo de Pascal, bijeções e fatorial O triâgulo de Pascal é um triâgulo aritmético formado por úmeros que têm diversas relações etre si. O triâgulo de Pascal ão foi uma iveção de Pascal, porque oze séculos ates dele, Al-Karkhi coseguiu as primeiras soluções uméricas do triâgulo, mas foi Pascal quem descobriu a maioria de suas propriedades e relações, o que justifica o ome que é dado ao triâgulo. A deomiação desse triâgulo varia muito ao logo do mudo. Os fraceses o chamam de triâgulo de Pascal, os chieses chamam-o de triâgulo de Yag Hui, os italiaos chamam-o de triâgulo de Tartaglia e ecotramos outras deomiações como triâgulo de Tartaglia- Pascal ou simplesmete triâgulo aritmético ou triâgulo combiatório. O triâgulo aritmético de Pascal ( é formado por uma tabela ode podemos dispor ordeadamete os coeficietes biomiais que é dado por! k k! ( k!. Existem 2 formas clássicas para apresetar o triâgulo de Pascal. A primeira apresetada de forma simétrica sem a existêcia de coluas verticais coforme a Figura 2.1 e a seguda, uma forma assimétrica com a existêcia de coluas verticais coforme a Figura

19 SEÇÃO 2.1 TRIÂNGULO DE PASCAL, BIJEÇÕES E FATORIAL 10 ( 0 ( 0 ( ( ( ( 0 ( ( ( 0 ( 1 ( ( ( 0 ( 1 ( 2 ( ( ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( ( ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( 4 ( ( ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( 4 ( 5 ( (. 1 (. 2 (. 3 (. 4 (. 5 (. 6 ( 7.. ( Figura 2.1: Triâgulo Aritmético de Pascal com úmeros biomiais a forma simétrica

20 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 11 ( 0 ( 0( 1 1 ( 0( 1( ( 0( 1( 2( ( 0( 1( 2( 3( ( 0( 1( 2( 3( 4( ( 0( 1( 2( 3( 4( 5( ( 0( 1( 2( 3( 4( 5( 6( ( 0 (. 1 (. 2 (. 3 (. 4 (. 5 (. 6 (. 7 Figura 2.2: Triâgulo Aritmético de Pascal com úmeros biomiais a forma assimétrica Cosiderado a costrução do triâgulo de Pascal de acordo com a Figura 2.1: Ao costruirmos o triâgulo aritmético de Pascal, colocamos a mesma liha (horizotal os úmeros biomiais cujo valor superior é o mesmo, e a mesma colua (vertical os úmeros biomiais de mesma ordem. O úmero biomial da 1 a liha do triâgulo aritmético é o coeficiete do desevolvimeto de (x+a 0 ; os úmeros biomiais da 2 a liha são ordeadamete os coeficietes do desevolvimeto de (x+a 1 ; os úmeros biomiais da 3 a liha são ordeadamete os coeficietes do desevolvimeto de (x+a 2 ; os úmeros biomiais da 4 a liha são ordeadamete os coeficietes do desevolvimeto de (x+a 3 ; e assim por diate até os úmeros biomiais da (+1-ésima liha que são ordeadamete os coeficietes do desevolvimeto de (x+a. Na costrução do triâgulo de Pascal, ão é ecessário calcular os coeficietes biomiais um a um. Temos algumas propriedades que facilitam sua costrução. Cosiderado a costrução do triâgulo de Pascal através da Figura 2.1 temos que:

21 SEÇÃO 2.1 TRIÂNGULO DE PASCAL, BIJEÇÕES E FATORIAL 12 P 1 : Em cada liha do triâgulo, ( o primeiro elemeto vale 1, pois qualquer que seja a liha, o primeiro elemeto é = 1, N. 0 P 2 : Em cada liha do ( triâgulo, o último elemeto é vale 1, pois qualquer que seja a liha, o último elemeto é = 1, N. P 3 : A partir da 3 a liha, cada elemeto (com exceção do primeiro e do último é a soma dos elemetos da liha aterior, imediatamete acima dele. Esta propriedade será demostrada o capítulo 4. P 4 : Numa liha, dois coeficietes biomiais equidistates dos extremos são iguais. Esta propriedade também será demostrada o capítulo 4. De acordo com essas 4 propriedades fudametais do triâgulo de Pascal, podemos costruí-lo da seguite forma: Figura 2.3: Triâgulo Aritmético de Pascal com úmeros aturais a forma simétrica O úmero biomial distitos dispoíveis. k Coforme costrução do triâgulo de Pascal represeta a escolha de k objetos distitos detre objetos = k.! k!( k!. Algumas defiições deverão ser apresetadas esse capítulo para que elas possam dar suporte a cotiuidade desse trabalho. Uma delas é a defiição de fatorial. Defiição 2.1. Seja m um úmero iteiro ão egativo (m N. Defiimos fatorial de m, deotado por m!, por meio da relação: (i m! = m (m 1 (m para (m 2,

22 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 13 (ii 1! = 1, (iii 0! = 1. Ressaltado que represeta a quatidade de maeiras de escolher objetos distitos detre objetos distitos dispoíveis.! Para que o úmero biomial =! (! =! =1, façasetidoéecessário! (0! que 0! seja defiido como 1, ou seja, 0! = 1. Outra ferrameta importate a resolução de problemas de aálise combiatória são as bijeções. Defiição 2.2. Uma fução f : X Y diz-se ijetiva (ou ijetora, se e somete se, quaisquer que sejam x 1 e x 2 (pertecetes ao domíio da fução x 1 é diferete de x 2 implica que f(x 1 é diferete de f(x 2. x 1 x 2 = f(x 1 f(x 2. Defiição 2.3. Uma fução f : X Y é sobrejetiva (ou sobrejetora, se o cojuto imagem de f coicide com Y (cotradomíio de f. Defiição 2.4. Uma fução f : X Y chama-se bijeção, ou uma correspodêcia biuívoca etre X e Y quado é ijetiva e sobrejetiva. Por cosequêcia dois cojutos X e Y tem a mesma cardialidade, ou seja, o mesmo úmero de elemetos quado se pode defiir uma bijeção (correspodêcia biuívoca etre eles. Em algus casos é muito difícil cotar sistematicamete a quatidade de elemetos de um determiado cojuto. Essa cotagem se tora mais fácil se for possível defiir um outro cojuto em bijeção com ele. 2.2 Pricípios de cotagem Nessa seção iremos defiir os pricípios fudametais da cotagem. Através desses pricípios associados ao triâgulo de Pascal iremos resolver todos os problemas de aálise combiatória.

23 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM Pricípio aditivo Supoha que um eveto X possa ocorrer de x maeiras possíveis e um eveto distito e disjuto Y possa ocorrer de y maeiras possíveis. Etão o eveto X ou Y pode ocorrer de x + y maeiras distitas. Exemplo 2.5. Uma igreja tem 2 saídas ao orte e 3 saídas ao sul. De quatas maeiras é possível sair dessa igreja? Figura 2.4: Exemplo do pricípio aditivo Solução: Para sair dessa igreja devemos escolher uma das saídas ao orte ou uma das saídas ao sul. Pelo pricípio aditivo temos 2+3 = 5 maeiras distitas de sair dessa igreja. O pricípio aditivo se aplica quado o problema for dividido em casos distitos. Podemos perceber que o problema aterior, a proposta de solução foi divida em 2 casos. (I escolher a quatidade de maeiras distitas para sair ao orte. (II escolher a quatidade de maeiras distitas para sair ao sul Pricípio da iclusão e exclusão O Pricípio da iclusão-exclusão é uma geeralização do pricípio aditivo. Este pricípio está iteressado a obteção de uma fórmula para cotar o úmero de elemetos que per-

24 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 15 Figura 2.5: Exemplo do pricípio da iclusão e exclusão tecem a uião de vários cojutos ão ecessariamete excludetes ou disjutos. Na sua forma mais simples calcula a cardialidade da uião de dois cojutos A e B, o qual a itersecção etre A e B dá-se um cojuto vazio. Supoha agora que os evetos ão são mais disjutos. Exemplo 2.6. Na turma do Profmat 2012, 13 aluos gostam de Aálise Combiatória, 12 aluos gostam de Geometria e 5 aluos gostam dessas 2 disciplias. Sabe-se que todo aluo essa turma gosta de pelo meos 1 dessas disciplias. Quatos aluos há a turma do Profmat 2012? Solução pelo pricípio aditivo: Seja A, o cojuto dos aluos que gostam de Aálise Combiatória e G, o cojuto dos aluos que gostam de Geometria, sedo (A G o cojuto formado pelos aluos que gostam das 2 disciplias. Dividiremos esse problema em 3 casos coforme ilustrado os cojutos abaixo. (I cojuto formado pelos aluos que gostam apeas de Aálise Combiatória. (II cojuto formado pelos aluos que gostam das 2 disciplias. (III cojuto formado pelos aluos que gostam apeas de Geometria. Como os 3 casos são formados por cojutos disjutos, pelo pricípio aditivo temos um total de ( (12 5 = = 20

25 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 16 aluos essa turma. Solução pelo pricípio da iclusão e exclusão: Pelo pricípio da iclusão e exclusão podemos utilizar a expressão: (A B = (A+(B (A B = = 20. Podemos perceber que ao somarmos a quatidade de aluos que gostam de Aálise Combiatória (13 aluos com a quatidade de aluos que gostam de Geometria (12 aluos, estamos icluido os aluos que gostam das 2 disciplias (5 aluos duas vezes. Desta forma devemos excluí-los uma vez para que esses aluos sejam cotatos apeas uma vez. Geeralizado o pricípio da iclusão e exclusão, temos para dois cojutos A e B disjutos: (A B = (A+(B (A B. Para três cojutos A, B e C disjutos aos pares (A B C = ((A B C = (A B+(C ((A B C = (A+(B (A B+(C ((A C+(B C (A B C = (A + (B + (C (A B (A C (B C + (A B C. Para cojutos A 1, A 2,, A, vamos provar por idução fiita, que em que (A 1 A 2 A = ( 1 k+1.i,k, k=1

26 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 17 I,k = (A i1 A ik 1 i 1 < <i k. O caso em que = 1 é trivial e para = 2 e = 3 já foi demostrado. Vamos assumir que a fórmula seja válida para um determiado valor de. Etão: (A 1 A +1 = (A 1 A +(A +1 ((A 1 A A +1 = (A 1 A +(A +1 = = ((A 1 A +1 (A 2 A +1 (A A +1 ( 1 k+1 I,k +(A +1 k=1 ( 1 k+1 k=1 ( 1 k+1 I +1,k. k=1 (A i1 A +1 1 i 1 < <i k Assim, pelo pricípio da idução fiita, segue que a fórmula é válida. (A 1 A 2 A = ( 1 k+1 I +1,k k= Pricípio multiplicativo Se uma decisão D 1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D 2 pode ser tomada de q modos, etão o úmero de maeiras de se tomarem cosecutivamete as decisões D 1 e D 2 é igual a p q. Exemplo 2.7. Existem 2 camihos para ir da cidade A para cidade B e 3 camihos para ir da cidade B para a cidade C. De quatas maeiras podemos ir da cidade A para cidade

27 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 18 C passado pela cidade B? Solução: Figura 2.6: Exemplo do pricípio multiplicativo Podemos ir de A para B de 2 maeiras. Fixada uma maeira de ir de A para B, idepedetemete da escolha feita para ir de A para B, tem-se 3 maeiras de ir de B para C. Pelo pricípio multiplicativo existem maeiras de ir de A para C passado por B. 2 3 = 6 Podemos perceber que o problema aterior foi dividido em 2 etapas. (i escolher o camiho para ir de A para B. (ii escolher o camiho para ir de B para C. Vejamos a difereça etre divisão em casos e divisão em etapas: Divisão em casos: as escolhas são idepedetes, ou realiza-se a escolha de uma forma ou de outra e ão a sequêcia, ou seja, ou a escolha é para para saída ao orte, ou a escolha é para saída ao sul. Divisão em etapas: as escolhas acotecem em sequêcia 1 a etapa equivale a 1 a escolha, 2 a etapa equivale a 2 a escolha e assim por diate. Exemplo: (i camiho a escolher de A para B. (ii camiho a escolher de B para C.

28 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 19 O pricípio multiplicativo ão se aplica quado a quatidade de escolha de um determiado eveto depeder da escolha do eveto aterior. A escolha de um determiado eveto poderá depeder ou ão da escolha do eveto aterior, porém a aplicação do pricípio multiplicativo se dá pela idepedêcia da quatidade de escolha de um determiado eveto em relação ao eveto aterior. Exemplo 2.8. Quatos úmeros pares existem cotedo 2 algarismos distitos? Solução: Nesse caso o pricípio multiplicativo ão se aplica quado o problema for resolvido emumasóetapa,poisaquatidadedeescolhaparaoalgarismodadezeadepededaescolha do algarismo da uidade, ou seja, se escolhermos o algarismo 0 (zero para a uidade, a quatidade de escolha para a dezea será 9, e se escolhermos um algarismo diferete de 0 (zero para a uidade, a quatidade de escolha agora para a dezea será 8, pois o 0 (zero ão poderá ser escolhido para represetar o algarismo da dezea seão o úmero formado terá apeas 1 algarismo. Devemos portato dividir esse problema em dois casos. (I quado o algarismo da uidade for o algarismo 0 (zero. 0 Nesse caso escolhedo o algarismo 0 (zero para a uidade, a escolha para a dezea poderá ser feita de 9 maeiras. Pelo pricípio multiplicativo teremos 1 9 = 9 maeiras distitas. (II quado o algarismo da uidade for um úmero par diferete de 0 (zero. 0 O úmero de maeiras de escolha para a uidade é 4 {2,4,6,8} e para a dezea é 8, pois o úmero ão poderá iiciar com o algarismo 0(zero, seão ele será formado por

29 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 20 apeas 1 algarismo. Por exemplo o úmero 01 é represetado pelo úmero 1. Pelo pricípio multiplicativo teremos 4 8 = 32 maeiras distitas. Fialmete podemos utilizar o pricípio aditivo. Logo a quatidade de úmeros pares de 2 algarismos distitos é 9+32 = 41. Uma proposta com estratégia alterativa de resolução de exercícios de cotagem que podemos apresetar aos aluos do esio fudametal e médio é a discussão quato as diversas soluções que poderão ser mostradas pelos próprios aluos. Iclusive algumas soluções com erros devido às cotages múltiplas. A motivação para essas discussões referem-se a vários resultados distitos, ou com mesmos resultados, porém com soluções distitas. Etedemos ser de fudametal importâcia a realização de ivestigações dessas diversas soluções, com o ituito de apotar os erros cometidos e também referete a cofirmação das soluções distitas com a mesma resposta fial verificado possíveis coicidêcias. Um tipo de problema que aborda esse tipo de situação é: Exemplo 2.9. Quatos são os múltiplos de 5 com 4 algarismos distitos utilizado apeas os algarismos {0,1,2,3,4,5}? Devemos esperar que algum aluo apresete as seguites soluções, ou se isso ão ocorrer, devemos apresetar essas soluções aos aluos: Solução 1: (i escolher o algarismo para a uidade de milhar. Isso pode ser feito de 5 maeiras distitas (algarismos 1, 2, 3, 4 ou 5. (ii escolher o algarismo para a uidade. Isso pode ser feito de 2 maeiras distitas (algarismos 0 ou 5.

30 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 21 (iii escolher o algarismo para a dezea. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas. (iv escolher o algarismo para a cetea. Isso pode ser feito de 3 maeiras distitas. Pelo pricípio multiplicativo, temos múltiplos de 5 com 4 algarismos distitos. Solução 2: = 120 (i escolher o algarismo para a uidade. Isso pode ser feito de 2 maeiras distitas (algarismos 0 ou 5. (ii escolher o algarismo para a uidade de milhar. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas (1, 2, 3 ou 4. (ii escolher o algarismo para a dezea. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas. (iv escolher o algarismo para a cetea. Isso pode ser feito de 3 maeiras distitas. Pelo pricípio multiplicativo, temos = 96 múltiplos de 5 com 4 algarismos distitos. Solução 3: Como a quatidade de escolha para a uidade depede da escolha do algarismo da uidade de milhar, devemos dividir o problema em dois casos: (I quado o algarismo da uidade for o algarismo 0 (zero. (i escolher o algarismo para a uidade. Isso pode ser feito de 1 só maeira (somete o algarismo 0. (ii escolher o algarismo para a uidade de milhar. Isso pode ser feito de 5 maeiras distitas (1, 2, 3, 4 ou 5.

31 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 22 (iii escolher o algarismo para a dezea. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas. (iv escolher o algarismo para a cetea. Isso pode ser feito de 3 maeiras distitas. Pelo pricípio multiplicativo, temos = 60 (II quado o algarismo da uidade for o algarismo 5. (i escolher o algarismo para a uidade. Isso pode ser feito de 1 só maeira (somete o algarismo 5. (ii escolher o algarismo para a uidade de milhar. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas (1, 2, 3 ou 4. (iii escolher o algarismo para a dezea. Isso pode ser feito de 4 maeiras distitas. (iv escolher o algarismo para a cetea. Isso pode ser feito de 3 maeiras distitas. Pelo pricípio multiplicativo, temos = 48 Fialmete podemos utilizar o pricípio aditivo. Logo a quatidade de múltiplos de 5 com 4 algarismos distitos utilizado apeas os algarismos {0,1,2,3,4,5} são = 108. As duas primeiras soluções são iadequadas. O pricípio multiplicativo ão se aplica. Na primeira solução a quatidade de escolha para o algarismo da uidade depede da escolha do algarismo da uidade de milhar. Se escolhermos o algarismo 5 para a uidade de milhar, a quatidade de escolha para a uidade será 1 (apeas o algarismo 0, e se escolhermos um algarismo diferete de 5 para a uidade de milhar, a quatidade de escolha agora para a uidade será 2 (os algarismos 0 ou 5.

32 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 23 De forma aáloga a seguda solução também apreseta a mesma falha em relação a quatidade de escolha de uma determiada posição ser depedete da escolha aterior. Essa discussão iicial com os aluos é fudametal para a costrução das boas ideias que surgirão posteriormete em exercícios com maior grau de dificuldade. Muitos problemas de cotagem apresetam várias formas distitas de soluções associadas as 4 operações básicas: O pricípio aditivo e o pricípio multiplicativo estão itimamete ligados as operações de adição e multiplicação através dos problemas utilizado o método costrutivo, deomiado de cotagem direta, já as operações de subtração e divisão estão relacioadas com os problemas cujas soluções são destrutivas, deomiadas de cotagem idireta. Os problemas solucioados através de uma cotagem direta são aqueles em que cotamos apeas os casos favoráveis, já os problemas solucioados por uma cotagem idireta, aparecerão os casos ão favoráveis que deverão ser corrigidos utilizado a subtração ou a divisão. Os problemas de aálise combiatória podem ser classificados como sedo de sequêcias ou de cojutos. Um problema evolvedo cotagem será cosiderado de sequêcias quado a ordem de seus símbolos for importate e será cosiderado de cojutos se a ordem ão for importate. Exemplo Fabrício, Lilia, Wager e Tiago são aluos do Profmat e irão escolher as 4 datas distitas dispoíveis o ao de 2015 para defesas de suas teses. De quatas formas esses aluos poderão escolher essas datas de modo que Wager realize sua defesa sempre ates de Lilia? Trata-se de um problema evolvedo sequêcias, pois a ordem de seus elemetos é importate. A sequêcia de escolhas Fabrício Lilia Wager Tiago é diferete da sequêcia Fabrício Lilia Tiago Wager. A primeira sequêcia sigifica que Fabrício escolheu a 1 a data mais próxima para sua defesa, Lilia escolheu a 2 a data mais próxima, Wager escolheu a 3 a data mais próxima e Tiago ficou com a última data (a mais loge. Iicialmete iremos listar de forma sistemática todos os casos favoráveis. (I Wager escolhedo a data mais próxima para defesa. Wager, Fabrício, Lilia, Tiago

33 SEÇÃO 2.2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 24 Wager, Fabrício, Tiago, Lilia Wager, Lilia, Fabrício, Tiago Wager, Lilia, Tiago, Fabrício Wager, Tiago, Fabrício, Lilia Wager, Tiago, Lilia, Fabrício (II Wager escolhedo a seguda data mais próxima para defesa. Fabrício, Wager, Lilia, Tiago Fabrício, Wager, Tiago, Lilia Tiago, Wager, Lilia, Fabrício Tiago, Wager, Fabrício, Lilia (III Wager escolhedo a terceira data mais próxima para defesa. Fabrício, Tiago, Wager, Lilia Tiago, Fabrício, Wager, Lilia Portato existem = 12 maeiras distitas de escolhas de datas de modo que Wager realize sua defesa sempre ates de Lilia. Esse problema poderá se resolvido através de uma cotagem idireta(modelo destrutivo. Cotaremos todos os casos e utilizaremos o coceito de bijeção para cotagem dos casos favoráveis e ão favoráveis. Para cotar todos os casos devemos separar o problema em etapas: (i Solicitar para que Fabrício escolha uma data para sua defesa: Isso poderá ser feito de 4 maeiras distitas. (ii Solicitar para que Lilia escolha uma data para sua defesa: Isso poderá ser feito de 3 maeiras distitas.

34 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 25 (iii Solicitar para que Tiago escolha uma data para sua defesa: Isso poderá ser feito de 2 maeiras distitas. (iv Solicitar para que Wager escolha uma data para sua defesa: Isso poderá ser feito de apeas 1 maeira. Pelo pricípio multiplicativo, temos = 24 maeiras distitas. Foram cotadas todas as possibilidades sem restrição. Devemos defiir uma bijeção etre o cojuto formado pelas sequêcias de escolhas em que Wager realize sua defesa ates de Lilia e o cojuto formado pelas sequêcias de escolhas em que Lilia realize sua defesa ates de Wager. Como esses 2 cojutos possuem a mesma cardialidade, o úmero de maeiras que esses 4 aluos poderão escolher as datas para suas defesas de modo que Wager realize sua defesa sempre ates de Lilia é 24 2 = 12. Exemplo Fabrício (F, Haroldo (H e Tiago (T são aluos Profmat. De quatas maeiras distitas podemos formar uma comissão cotedo 2 aluos detre os 3 dispoíveis? Primeiramete iremos defiir os 3 aluos como {F,H,T}. Podemos observar que esse problema é caracterizado como um problema de cojutos, pois a ordem de escolhas da comissão é irrelevate. Com um exemplo particular podemos perceber que {F,H} = {H,F}. Utilizaremos ovamete o método de cotagem idireta (modelo destrutivo cotado todos os casos e retirado os casos ão favoráveis. Listado todas as sequêcias de 2 letras distitas formadas com as letras F, H e T, teremos: FH,FT,HF,HT,TF,TH.

35 SEÇÃO 2.3 PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 26 As sequêcias FH = HF,FT = TF e HT = TH, caracterizam a mesma comissão. Logo o úmero de comissões cotedo 2 aluos será dada por: O úmero total de casos é igual a 6. O úmero de casos ão favoráveis é igual a 3. O úmero de casos favoráveis é igual ao úmero total de casos meos o úmero de casos ão favoráveis. O úmero de casos favoráveis é igual a 6 meos 3, que é igual a 3. Listado todas as comissões possíveis teremos: {F,H},{F,T},{H,T}. 2.3 Permutações, arrajos e combiações Abordaremos agora todo o coteúdo de aálise combiatória propostos os parâmetros curriculares do esio médio. Veremos como os livros aprovados o PNLD 2015 abordam esse coteúdo e faremos um paralelo utilizado apeas os úmeros biomiais do triâgulo de Pascal associados ao pricípio aditivo e multiplicativo. Apresetaremos sempre um problema particular com o ituito de caracterizá-lo como sedo um problema de sequêcias ou de cojutos e posteriormete a sua geeralização. A estratégia proposta para resolução de todos esses problemas de cotagem é: Idetificar se o problema é de sequêcias ou de cojutos, fazedo a aálise com exemplos particulares. Não adiar dificuldades, ou seja, aparecedo algum tipo de restrição o problema, atacálo primeiramete pelas restrições. Se colocar a posição ativa do problema, eumerado as etapas para a execução do problema, dividido em casos se ecessário. Aplicar os pricípios fudametais de cotagem(pricípio aditivo e/ou multiplicativo.

36 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutações simples Defiição Uma permutação de objetos é uma ordeação desses objetos em fila. Notação: P =! Vejamos como ([14] aborda em sua obra aprovada pelo PNLD 2015 um exercício evolvedo permutações simples. Com a palavra CADERN O quatos aagramas podemos formar? Resoluçao: Um aagrama da palavra CADERNO é a própria palavra ou qualquer outro argumetoqueseobtémtrocado-seaordemdesuasletras. Assim, oúmerodeaagramas da palavra CADERNO é igual ao úmero de permutações simples de sete letras distitas, isto é P 7 = 7! = A proposta desse trabalho é mostrar que em toda e qualquer solução de problemas evolvedo cotagem ão é ecessário o uso de fórmulas específicas. Vale a pea salietar que ehum livro didático aprovado o PNLD 2015, aborda o coteúdo de aálise combiatória sem o uso de fórmulas. Solução Alterativa: Os objetos participates são: {C,A,D,E,R,N,O} 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a Trata-se de um problema de sequêcia. Vejamos algus exemplos particulares. CADERNO CADONRE Como ão há restrição poderemos iiciar as etapas de costrução da sequêcia por qualquer posição. (i escolher um dos 7 objetos para ocupar a 1 a posição. Temos 7 escolhas distitas. (ii escolher um dos 6 objetos restates para ocupar a 2 a posição. Temos 6 escolhas distitas. (iii escolher um dos 5 objetos restates para ocupar a 3 a posição. Temos 3 escolhas distitas.

37 SEÇÃO 2.3 PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 28 (iv escolher um dos 4 objetos restates para ocupar a 4 a posição. Temos 2 escolhas distitas. (v escolher um dos 3 objetos restates para ocupar a 5 a posição. Temos 3 escolhas distitas. (vi escolher um dos 2 objetos restates para ocupar a 6 a posição. Temos 2 escolhas distitas. (vii escolher o último objeto que sobrou para ocupar a 7 a posição. Temos 1 escolha apeas. Pelo pricípio multiplicativo teremos = maeiras distitas, ou seja aagramas da palavra CADERN O. Exemplo De quatas maeiras podemos ordear 5 objetos distitos lado a lado? Solução: Deomiaremos esses 5 objetos por {A,B,C,D e E}. 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a Trata-se de um problema de sequêcias. Vejamos algus exemplos particulares. ABCDE ABCED Como ão há restrição poderemos iiciar as etapas de costrução da sequêcia por qualquer posição. (i escolher um dos 5 objetos para ocupar a 1 a posição. Temos 5 escolhas distitas. (ii escolher um dos 4 objetos restates para ocupar a 2 a posição. Temos 4 escolhas distitas.

38 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 29 (iii escolher um dos 3 objetos restates para ocupar a 3 a posição. Temos 3 escolhas distitas. (iv escolher um dos 2 objetos restates para ocupar a 4 a posição. Temos 2 escolhas distitas. (v escolher o último objeto que sobrou para ocupar a 5 a posição. Temos 1 escolha apeas. Pelo pricípio multiplicativo teremos = 120 maeiras distitas de ordear 5 objetos lado a lado. Podemos agora geeralizar o problema em ordear objetos distitos em fila. Neste caso a quatidade de maeiras de ordear objetos em fila é: 1 a 2 a 3 a 4 a a (i escolher um dos objetos a 1 a posição. Temos escolhas distitas. (ii escolherumdos( 1objetosrestatesa2 a posição. Temos( 1escolhasdistitas. (iii escolherumdos( 2objetosrestatesa3 a posição. Temos( 2escolhasdistitas. (iv escolherumdos( 3objetosrestatesa4 a posição. Temos( 3escolhasdistitas. E assim sucessivamete até a iserção do último objeto a -ésima posição, o que poderá ser feito de apeas 1 maeira. Desta forma pelo pricípio multiplicativo teremos ( 1 ( 2 ( =! maeiras distitas de ordear objetos em fila.

39 SEÇÃO 2.3 PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES Arrajo com repetição Defiição Seja M um cojuto com m elemetos, isto é, M = {a 1,a 2,...,a m }. Chamamos arrajo com repetição dos m elemetos, tomados r a r, toda r-upla ordeada (sequêcia de tamaho r formada com elemetos de M ão ecessariamete distitos. Idiquemos por (AR m,r o úmero de arrajos com repetição de m elemetos tomados r a r. (AR m,r = m r. Exemplo Quatas sehas de 3 dígitos podemos formar utilizado os algarismos do sistema de umeração decimal. Solução: O cojuto dos algarismos do sistema de umeração decimal é {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Trata-se de um problema de sequêcia. Vejamos algus exemplos particulares. 000, 153, Como ão há restrição poderemos iiciar as etapas de costrução da sequêcia de sehas por qualquer posição. 1 a 2 a 3 a (i escolher um dos 10 algarismos para ocupar a 1 a posição. Temos 10 escolhas distitas. (ii escolher um dos 10 algarismos para ocupar a 2 a posição. Temos 10 escolhas distitas. (iii escolher um dos 10 algarismos para ocupar a 3 a posição. Temos 10 escolhas distitas. Pelo pricípio multiplicativo temos sehas distitas = 10 3 = 1000

40 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 31 Desta forma podemos geeralizar o problema em determiar o úmero de sehas possíveis de tamaho r utilizado m símbolos distitos. Nesse caso a quatidade de sehas distitas são: 1 a 2 a 3 a r a (i escolher um dos m símbolos para ocupar a 1 a posição. Temos m escolhas distitas. (ii escolher um dos m símbolos para ocupar a 2 a posição. Temos m escolhas distitas. (iii escolher um dos m símbolos para ocupar a 3 a posição. Temos m escolhas distitas. E assim sucessivamete até a iserção do último símbolo a r-ésima posição, o que poderá ser feito de m maeiras. Desta forma pelo pricípio multiplicativo temos m m m m m, com r fatores o que resulta em m r. Vale ressaltar que ehum livro didático de Matemática aprovado o PNLD 2015 aborda o coteúdo de arrajos com repetição Arrajo sem repetição ou arrajo simples Defiição Arrajo simples de elemetos p a p, é todo agrupameto ordeado formado por p elemetos distitos escolhidos etre os elemetos dados. Notação: A p. A p! =,p. ( p! Vejamos como ([18] resolve um determiado exercício de arrajos simples em sua obra. No sistema de umeração decimal, quatos úmeros de 4 algarismos distitos podemos formar? Resolução: Para resolvermos este problema, basta calcularmos o úmero de agrupametos formados por 4 algarismos distitos escolhidos etre {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e subtrairmos a quatidade de úmeros da forma 0 costruídos por algarismos distitos. Deste modo, teremos: A 10,4 A 9,3 = = 4.536

41 SEÇÃO 2.3 PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 32 Solução Alterativa: O cojuto dos algarismos do sistema de umeração decimal é {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 1 a 2 a 3 a 4 a Trata-se de um problema de sequêcia. Vejamos algus exemplos particulares. 3726, 7901, Há restrição a primeira posição que é a uidade de milhar. Não podemos iiciar a sequêcia pelo algarismo 0 (zero, seão o úmero formado será de 3 algarismos. Desta forma iiciaremos pela 1 a posição. (i escolher um dos 9 algarismos {1,2,3,4,5,6,7,8,9} para ocupar a 1 a posição. Temos 9 escolhas distitas. (ii escolher agora um dos outros 9 algarismos (podemos agora escolher o algarismo 0, porém ão podemos escolher o algarismo que já foi escolhido para ocupar a 1 a posição para ocupar a 2 a posição. Temos 9 escolhas distitas. (iii escolher um dos 8 algarismos restates para ocupar a 3 a posição. Temos 8 escolhas distitas. (iv escolher um dos 7 algarismos restates para ocupar a 4 a posição. Temos 7 escolhas distitas. Pelo pricípio multiplicativo teremos = maeiras distitas, ou seja úmeros de 4 algarismos distitos.

42 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 33 Exemplo Quatas filas de 3 objetos distitos podemos formar com 5 objetos distitos dispoíveis? Solução: Deomiaremos os 5 objetos por: {A,B,C,D,E} Trata-se de um problema de sequêcia. Vejamos algus exemplos particulares. ABC, CDA, EDC ABC CBA. Como ão há restrição poderemos iiciar as etapas de costrução da fila por qualquer posição. 1 a 2 a 3 a (i escolher um dos 5 objetos para ocupar a 1 a posição. Temos 5 escolhas distitas. (ii escolher um dos 4 objetos restates para ocupar a 2 a posição. Temos 4 escolhas distitas. (iii escolher um dos 3 objetos restates para ocupar a 3 a posição. Temos 3 escolhas distitas. Pelo pricípio multiplicativo teremos = 60 maeiras distitas de ordear 3 objetos distitos em fila. Desta forma podemos geeralizar o problema em ordear r objetos distitos em filas com objetos distitos dispoíveis. 1 a 2 a 3 a r a (i escolher um dos objetos dispoíveis para ocupar a 1 a posição. Temos escolhas distitas.

43 SEÇÃO 2.3 PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 34 (ii escolher um dos ( 1 objetos restates para ocupar a 2 a posição. Temos ( 1 escolhas distitas. (iii escolher um dos ( 2 objetos restates para ocupar a 3 a posição. Temos ( 2 escolhas distitas. E assim sucessivamete até a escolha dos (r 1 objetos restates para ocupar a r-ésima posição, o que poderá ser feito de (r 1 maeiras. Desta forma pelo pricípio multiplicativo temos ( 1 ( 2 ( 3 [ (r 1] maeiras distitas de ordear r objetos distitos em fila detre objetos distitos dispoíveis. Completado o produto ( 1 ( 2 ( 3 [ (r 1] multiplicado-o por ( r ( r 1 ( r 2 1 e dividido pelo mesmo fator ecotraremos: ( 1 ( 2 ( r+1 ( r ( r 1 (2 (1 ( r ( r 1 (2 (1 =! ( r! Combiação simples Defiição Combiação simples de elemetos distitos, tomados p a p, com p, é todo subcojuto ou agrupameto ão ordeado formado por p elemetos escolhidos ( etre os elemetos dados. A quatidade total de subcojutos é idicada por C,p,C,ou p, p! e calculada por! ( p!. Vejamos a solução de um exercício evolvedo esse tema proposto por ([19]através do livro Novo Olhar Matemática volume 2 págia 229 (aprovado o PNLD Uma sala de aula tem 18 meias e 14 meios. De quatas maeiras o professor pode formar grupos de 5 aluos, sedo 3 meias e 2 meios? Resolução: Os grupos difereciam-se pelos aluos, e ão pela ordem em que são escolhidos, logo cada grupo é uma combiação de 5 aluos, em que a escolha das meias é dada por C 18,3, e a dos meios, por C 14,2. Etão, o úmero de grupos é dado por:

44 CAP. 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 35 C 18,3 C 14,2 = 18! 3! (18 3! 14! 2! (14 2! 18! = 3! 15! 14! 2! 12! = ! ! = Solução Alterativa: Defiiremos os objetos: ! 2 12! Homes: H 1,H 2,H 3,H 4,H 5,H 6,...,H 17,H 18 Mulheres: M 1,M 2,M 3,M 4,M 5,M 6,,M 13,H 14 Trata-se de um problema de cojutos. Vejamos algus exemplos particulares: {M 10,M 5,M 8,H 19,H 4 } = {M 5,H 4,M 8,H 19,M 10 } ( 14 (i escolher 3 meias detre 14 dispoíveis. Isso pode ser feito de 3 ( 18 (ii escolher 2 meios detre 18 dispoíveis. Isso pode ser feito de 2 Pelo pricípio multiplicativo o professor tem ( 14 3 ( 18 2 maeiras distitas de escolher um grupo de 5 aluos formado por 3 meias e 2 meios. Exemplo De quatas maeiras podemos selecioar 3 objetos distitos detre 5 objetos distitos dispoíveis? Solução: Deomiaremos esses 5 objetos por {A,B,C,D,E} O problema é de cojutos, porém podemos resolvê-lo tratado como sedo um problema de sequêcia e depois realizar a correção, utilizado o método destrutivo(cotagem idireta, ou seja,.. {A,B,C} = {B,C,A}