Progressões aritméticas e progressões geométricas

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1 Progressões aritméticas e progressões geométricas Aula 10 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Istrumetal Fote:

2 Meta Apresetar o cálculo das progressões aritméticas e das progressões geométricas o cotidiao agropecuário. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. idetificar e calcular uma progressão aritmética;. idetificar e calcular uma progressão geométrica; 3. utilizar o termo geral de uma progressão e a soma de seus termos.

3 Seqüêcias uméricas 41 Na Matemática, estudamos cojutos uméricos (cojuto cujos elemetos são úmeros) quado os elemetos desses cojutos são dispostos obedecedo a uma determiada regra, o que chamamos de seqüêcia umérica. As seqüêcias uméricas estão estreitamete associadas aos processos de cotagem e ao desevolvimeto dos sistemas de umeração. Toda seqüêcia umérica possui uma ordem para orgaização dos seus elemetos, assim podemos dizer que em qualquer seqüêcia os elemetos são dispostos da seguite forma: (a 1, a, a 3, a 4,..., a,...) ou (a 1, a, a 3, a 4,..., a ), ode a 1 é o 1º elemeto, a o segudo elemeto, e assim por diate: a é o eésimo elemeto. Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Fote: Figura 10.1: As seqüêcias uméricas podem ter fiitos e ifiitos elemetos.

4 4 Vamos estudar duas seqüêcias importates à progressão aritmética e à progressão e-tec Brasil Matemática Istrumetal geométrica. As progressões são aplicadas aos mais diversos campos de estudos em matemática. Progressão aritmética (PA) Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda seqüêcia umérica (a 1, a,..., a ) cujos termos, a partir do segudo, são iguais ao aterior somado com um valor costate. A essa costate deomiamos razão da PA, idicada por r. Exemplos: A = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,...) é uma PA de razão (r) = 3; B = (, 4, 6, 8, 10, 1, 14,...) é uma PA de razão (r) = ; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,...) é uma PA de razão (r) = 0; D = (70, 60, 50, 40, 30, 0, 10,...) é uma PA de razão (r) = -10. No exemplo aterior, os cojutos A e B são PA crescetes, equato o cojuto C é uma PA costate e o cojuto D uma PA decrescete. Uma PA crescete é toda PA em que cada termo, a partir do segudo, é maior que o termo que o atecede, sedo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r > 0). Uma PA costate é toda PA em que todos os termos são iguais, para isso tedo a razão r que ser sempre igual a zero. Uma PA decrescete é toda PA em que cada termo, a partir do segudo, é meor que o termo que o atecede, para isso tedo a razão r que ser sempre meor do que zero (r < 0). Termo geral de uma PA A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguite forma: a + ( - 1)r A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula.

5 Demostração do termo geral de uma PA 43 O valor de qualquer termo de uma PA é igual ao aterior mais a costate. O valor do segudo termo de uma PA é igual ao primeiro mais a costate: a + r. O valor do terceiro termo de uma PA é igual ao segudo mais a costate: a 3 = a + r = (a 1 + r) + r; portato: a 3 + r O valor do quarto termo de uma PA é igual ao terceiro mais a costate: a 4 = a 3 + r = (a 1 + r) + r; portato: a 3 + 3r Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Como o úmero multiplicado pela razão é sempre a posição do termo meos 1, temos a fórmula do termo geral de uma PA: a + ( 1). r Em suma, a demostração pode ser vista desta forma: a 1 a + r a 3 + r + r + r a 4 + r + r + 3r a 5 + 3r + r + 4r a + ( -1)r Ateção! Se a seqüêcia umérica (a, b, c) está em uma PA, etão.

6 44 Soma dos termos de uma PA e-tec Brasil Matemática Istrumetal A soma de todos os termos de uma progressão aritmética ão ifiita, a partir do primeiro, é calculada pela seguite fórmula: ( a + a ) S = A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula. 1 Saiba mais... Fote: Carl_Friedrich_Gauss Figura 10.: Joha Carl Friedrich Gauss. Joha Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrôomo e físico alemão. Foi cohecido como o prícipe dos matemáticos e muitos o cosideram o maior gêio da história da matemática. Ele possuía memória fotográfica, tedo retido itidamete as impressões da ifâcia e da meiice até a sua morte. Segudo história famosa, o diretor da escola ode ele estudava pediu que os aluos somassem os úmeros iteiros de um a cem. Mal havia euciado o problema e o jovem Gauss demostrou o seu taleto sobre a mesa, dizedo: Já sei! A resposta é O raciocíio tem como base a demostração da fórmula da soma de uma progressão aritmética, coforme adiate: S = S = S = ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) = 100( ) Soma O diretor da escola ficou tão atôito com a proeza de um meio de dez aos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele desevolver suas habilidades.

7 Demostração da soma dos termos de uma PA 45 Podemos expressar uma PA de duas maeiras: S + (a 1 + r ) + (a 1 + r ) a r + a r + a S = a + (a r ) + (a r ) a 1 + r + a 1 +r + a 1 Adicioe os dois lados da equação. Todos os termos evolvedo r se cacelam, e etão ficamos com: S = (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) Simplificado, temos: S S = ( a + a ) 1 ( a1 + a ) = Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Atividade 1 Atede aos Objetivos 1 e 3 Nayaa estava com um problema de vazameto de água o açude de seu sítio. O ecaameto etupiu. A terra está absorvedo muito rapidamete a água. O poço tiha capacidade para 7 m 3 de água. Ela observa que a cada 1 hora a terra está absorvedo us 100 litros de água. Por quato tempo Nayaa poderá deixar esse vazameto cotiuar para ficar com pelo meos 3,5m 3 de água? Ou seja, ela poderá perder somete 3,5 m 3 de água? Ricardo Ferreira Paraizo

8 46 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Se Nayaa ão coseguir coter a vazão do poço, o mesmo vai secar e os peixes ele cotidos vão morrer. Atividade Atede aos Objetivos 1 e 3 O fazedeiro, Sr. Rodrigo, está queredo aumetar a produção de peixes do seu sítio seguido esta tabela que seu filho o ajudou a motar: Ao Massa de peixe para veda kg kg kg kg E assim sucessivamete Tedo um lucro de R$ 5,00 pelo quilo do peixe que vede a peixaria Ki Peixe, daqui a quato tempo Rodrigo poderá ter aproximadamete R$ ,00 para comprar um pedaço de terra e aumetar seu sítio?

9 Rodrigo está discutido com seu filho, que sabe matemática, sobre o tempo que deve esperar para ter um valor aproximado a fim de poder comprar um terreo com a veda de peixes da sua fazeda. Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 47

10 48 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 3 Atede aos Objetivos 1 e 3 Um poceiro, para cavar um poço de 6 metros de profudidade, cobra R$ 50,00 pelo primeiro metro, R$ 100,00 pelo segudo, R$ 150,00 pelo terceiro etc. Quato ele recebe pelo serviço todo? Kriss Szkurlatowski Fote: Quato mais fudo for ficado o buraco do poço, mais difícil será furá-lo!

11 Progressão geométrica (PG) 49 Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda seqüêcia umérica (a 1, a,..., a ) cujos termos, a partir do segudo, são iguais ao produto do termo aterior por um valor costate. A essa costate deomiamos razão da PG, mas também chamamos de quociete de uma PG e idicamos por q. a a 1 a3 a4 a = = =... = =... é igual à costate q. a a a 3 1 Exemplos: A = (1, 3, 9, 7, 81, 43, 79, ) é uma PG de quociete (q) = 3; B = (1, 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3, 1/64,...) é uma PG de quociete (q) = 1/; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,...) é uma PG de quociete (q) = 1; Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas D = (-3, 9, -7, 81, -43, 79,.187,...) é uma PG de quociete (q) = 3. No exemplo aterior, o cojuto A é uma PG crescete, o cojuto B é uma PG decrescete, o cojuto C é uma PG costate e o cojuto D é uma PG oscilate. Uma PG é crescete quado cada termo, a partir do segudo, é maior que o termo que o atecede, para isso tedo a razão q que ser sempre positiva e maior que 1. Uma PG é decrescete quado cada termo, a partir do segudo, é meor que o termo que o atecede, para isso tedo a razão q que ser sempre positiva e diferete de zero. Uma PG é costate quado todos os termos são iguais. Uma PG é oscilate (ou alterate) quado todos os termos são diferetes de zero e dois termos cosecutivos têm sempre siais opostos, para isso tedo a razão q que ser sempre egativa e diferete de zero. Termo geral de uma PG A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguite forma: ( - 1) a q A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula.

12 50 Demostração do termo geral de uma PG e-tec Brasil Matemática Istrumetal Agora precisamos ecotrar uma expressão que os foreça o termo geral de uma PG cohecedo apeas o primeiro termo (a 1 ) e a razão (q). Isso é possível graças à lei de formação específica da PG. Seja (a 1, a, a 3,..., a ) uma PG de quociete q. Temos: a. q a 3. q. q. q a 4. q. q. q 3 a 5. q 3 q. q 4 Cotiuado a seqüêcia, chegaremos ao termo a, que ocupa a -ésima posição da PG, dada pela expressão: ( - 1) a. q Ateção! Se (a, b, c) estão em PG, etão b = a.c A soma dos termos de uma PG Para demostrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, cosideramos duas seqüêcias geométricas S (Equação I) e q.s (Equação II). Subtraido a Equação I da Equação II, temos: S + (a 1. q ) + (a 1. q ) (a 1. q -1 ) (I) q. S. q + (a 1. q ) (a 1. q -1 ) + (a 1. q ) (II) (II) (I) q. S S = -a 1 + a 1. q S (q 1) (-1 + q ) a S = ( q ) q 1 1 1

13 51 Atividade 4 Atede aos Objetivos e 3 Os técicos em agropecuária Rômulo e Pedro estão trabalhado uma pesquisa um laboratório de piscicultura e verificaram que os peixes do aquário estão morredo. Parece que alguma moléstia atacou os peixes. Na semaa da pesquisa, apareceu 1 peixe morto a seguda-feira. Na terça morreram 3 peixes. Na quarta morreram 9 outros. Se cotiuar essa progressão, o fial de domigo quatos peixes terão morrido? Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Quatos peixes aida restarão a experiêcia dos técicos, o fial de uma semaa, se os mesmo estão morredo em progressão geométrica?

14 5 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 5 Atede aos Objetivos e 3 Cotiuado a Atividade 4, resolva a questão: É possível fazer a estimativa de quatos peixes, o total, morrerão até o domigo? Ricardo Ferreira Paraizo Parece que os peixes estão morredo em progressão geométrica de razão 3.

15 53 Atividade 6 Atede aos Objetivos e 3 O Sr. Vicete resolveu fazer uma criação de coelhos em sua chácara. Ele começou com dois casais. No fial de um mês, desses casais asceram mais 16 coelhos; o mês seguite asceram 80 coelhos. Verificou-se que o crescimeto segue uma PG. Quatos coelhos esperamos ter a chácara de Vicete o fial de 5 meses? Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Na cuicultura do Sr. Vicete os aimais estão crescedo muito rapidamete. Será que esse crescimeto está em progressão aritmética ou geométrica?

16 54 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 7 Atede aos Objetivos e 3 No primeiro ao de istalação de uma idústria, ela fabrica 10 6 uidades de determiado produto, e a previsão é que a cada ao dobre a sua produção. Durate 10 aos, quatas uidades essa fábrica terá produzido? Craig Jewell Fote: Numa idústria de água mieral embalam-se muitas e muitas uidades de garrafões por ao.

17 Resumido... O estudo que fizemos esta aula está ligado ao processo de cotagem idireta, pricipalmete em se tratado de uma seqüêcia umérica muito extesa. Recorredo a algumas fórmulas bem simples, fica muito fácil obter resultados de soma ou elemetos dessas seqüêcias. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA): A represetação dos termos de uma PA é (a 1, a, a 3,...,a, a +1...), ode: a a 1 = a 3 a =... = a +1 a = r. Fórmula do termo geral de uma PA qualquer termo da PA pode ser obtido pela fórmula: a + (-1).r Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 55 = úmero de termos; r = razão. Fórmula da soma dos primeiros termos da PA: ( a1 + a ). S = Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; = úmero de termos; S = soma dos termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG): A represetação dos termos de uma PG é (a 1, a, a 3,...,a, a +1...), ode: a a3 a+ 1 = =... = = q a a a 1 Fórmula do termo geral de uma PG qualquer termo da PG pode ser obtido pela fórmula: a. q -1 Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; = úmero de termos; q = razão. Fórmula da soma dos primeiros termos de uma PG fiita Para obter a soma dos termos da PG (a 1, a, a 3,...,a ) fiita, usamos a fórmula: S a ( q 1) = 1 q 1 Em que: a 1 = primeiro termo; q = razão; = úmero de termos; S = soma dos termos.

18 56 Iformação sobre a próxima aula e-tec Brasil Matemática Istrumetal Na próxima aula, vamos estudar Expoecial e Logaritmo. Atividade 1 Respostas das Atividades 100 litros = 0,1 m 3 Temos, aqui, um problema de PA: Vamos chamar de: a 1 = 0,1 m 3 Volume de água perdido depois de 1 hora a = 0, m 3 Volume de água perdido depois de horas a 3 = 0,3 m 3 Volume de água perdido depois de 3 horas a = 3,5 m 3 Volume de água perdido depois de horas Para calcular esse tempo, vamos usar a fórmula a + ( 1).r, que é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA), em que a = último termo = 3,5 a 1 = 1º termo = 0,1 = úmero de termos =? r = razão = a a 1 = 0, 0,1 = 0,1 Substituido a fórmula: a + ( 1).r 3,5 = 0,1 + ( 1).0,1 3,5 = 0,1 + 0,1. 0,1 3,5 = 0,1. = 35 horas 4 h + 11 h = 1 dia + 11 horas

19 Esse poço vai estar com 3,5 m 3 de água daqui a 1 dia + 11 horas. Nayaa precisa descobrir logo o que está agarrado detro do cao, seão o poço ficará comprometido em termos de volume de água. Atividade Primeiro vamos ver quato de lucro o Sr. Rodrigo gaha por ao. Se ele vede 800 kg o primeiro mês, etão 800 x 5 = R$ 4.000,00 Completado a tabela: (Supodo períodos sem iflação, ou seja, em que ão haverá aumeto o preço do peixe.) Ao Massa de peixe para veda Lucro previsto kg R$ 4.000, kg R$ 4.500,00 = a kg R$ 5.000,00 = a 3 Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas kg R$ 5.500,00 = a 4 Temos aqui uma seqüêcia chamada de PA (Progressão Aritmética). Nesse caso, precisamos somar todos os lucros obtidos, e a soma total precisa ser de R$ ,00 (que é o valor que Rodrigo quer jutar). Para saber o úmero de aos que ele precisa esperar para jutar tal valor, precisamos usar a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA, que é: ( a1 + a ). S = Ode S = (soma dos termos da progressão) a 1 = a (último termo) e (úmero de termos) ós ão temos. No etato, podemos calcular a com a fórmula usada o problema da vazão (problema aterior). Etão, usado a fórmula a + ( 1).r, temos: a 1 = r = a - a 1 = 500 Etão, substituido a fórmula, temos: a + ( 1).r a = ( 1 ).500 a = a =

20 58 Agora podemos usar a fórmula de S para calcular o, que será o úmero de aos e-tec Brasil Matemática Istrumetal que você quer achar: Multiplicado cruzado (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos: = ( ) = ( a1 + a ). S = ( ) = Trocado os membros, temos uma equação do º grau: = 0 Fazedo a devida simplificação por 100 temos: = 0 Usado a fórmula de Baskara, podemos resolver esta equação do º grau: = b - 4ac = (75) - 4.5( ) = = 5.65 = (-b ± 160)/a = = ( )/10 8,5 aos 8 aos e 6 meses é o tempo aproximado que ele deve esperar para comprar seu terreo. Atividade 3 Aqui temos uma progressão aritmética (PA). Veja: a 1 = R$ 50,00 a 1 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 1º metro de profudidade do poço. a = R$ 100,00 a represetado o preço que o poceiro cobra para furar o º metro de profudidade do poço. a 3 = R$ 150,00 a 3 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 3º metro de profudidade do poço.

21 a 6 =? a 6 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 6º metro de profudidade do poço. Como queremos calcular o valor total que o poceiro cobra por todo o serviço, devemos calcular a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é: ( a1 + a ). S = Nós ão temos o a, ou seja, a 6. Precisamos, etão, calculá-lo! Vamos usar a fórmula do termo geral da PA, que é a + ( - 1).r a 6 = 50 + (6-1).50 a 6 = 50 + (5).50 a 6 = a 6 = 300 Substituido a fórmula de S, temos: Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 59 O poceiro recebe R$ 1.050,00 pelos 6m do poço perfurado. Atividade 4 Isto é uma PG de razão 3. Vamos, etão, calcular quatos peixes deverão morrer o fial de domigo. Vamos cosiderar a seqüêcia: a1 = 1 Seguda-feira a = 3 Terça-feira ( a1 + a ). ( ) S = = = = = a 3 = 9 Quarta-feira (otem) a 4 = 7 Quita-feira (previsão o fial do dia de hoje) a 7 = Domigo Aqui temos a razão q = 3 Por meio da fórmula para calcular o termo geral de uma PG, temos: a = a q a = 1 3 a = 1 3 a = 1 79 a =

22 60 Se cotiuar assim, a seguda-feira seguite Rômulo e Pedro terão poucos e-tec Brasil Matemática Istrumetal peixes para desevolverem a pesquisa. Atividade 5 Se a seqüêcia cotiuar geometricamete, é só somar seus termos para sabermos aproximadamete quatos peixes, o total, estarão mortos até domigo. Vamos, etão, calcular a soma dos termos de uma PG. Cosideramos: a 1 = 1, = 7 (úmero de dias, de seguda a domigo) e q = 3 (que é a razão da PG) Agora é só usar a fórmula substituido esses valores: a1( q 1) S = q 1 S = 7 1 ( 3 1) 3 1 ( ). 186 S = S = = Etão, se a seqüêcia seguir uma PG, até domigo estarão mortos, o total, peixes, somado-se todos os peixes que estão previstos de morrer de seguda a domigo. Como foram colocados iicialmete 1.93 peixes o iício da pesquisa, deverão sobrar 00 peixes para termiarmos a pesquisa a seguda (a 8 ). Na terça, provavelmete, ão vai mais sobrar peixe. Atividade 6 Como o Sr. Vicete começou com um casal, vamos cosiderar o total iicial (a 0 ) de 4 coelhos. No fial do 1º mês desse casal asceram mais 16 coelhos (a 1 ), etão ficaram 0 coelhos (16 que asceram + 4 que já existiam iicialmete). No fial do º mês (a 3 ) asceram mais 80 coelhos, ficado 100 (0 + 80). Vamos, etão, ter a seguite seqüêcia: a 0 = 4 Descosiderar este úmero da seqüêcia; a 1 = 0 Total de coelhos o fial do 1º mês; a = 100 Total de coelhos o fial do º mês; a 3 = 500 Total de coelhos o fial do 3º mês; a 5 =? Total de coelhos o fial do 5º mês Esta é a questão.

23 Temos, aqui, uma progressão geométrica de razão (q) igual a 5 a a Usado a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos: a. q -1 a 5 = a 5 = = 0.65 = O úmero de coelhos que se espera ter o fial de 5 meses a chácara do Sr. Vicete é Atividade 7 a 1 = 10 6 Total de uidades fabricadas o fial do 1º ao a =.10 6 Total de uidades fabricadas o fial do º ao a 3 = Total de uidades fabricadas o fial do 3º ao = = 5 0 Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 61 a 10 =? Total de uidades fabricadas o fial do 10º ao ( = 10) Nesta atividade, precisamos calcular a soma de todas as uidades fabricadas durate os 10 aos de istalação da fábrica. Como podemos ver pela seqüêcia aterior, temos uma progressão geométrica. Para calcular a somas dos termos da PG, usamos a fórmula: S S S S a1( q 1) = q ( 1) = ( ) = 1 6 = S = Durate 10 aos após istalada, essa fábrica terá fabricado o total de (um bilhão e vite e três milhões) de uidades.

24 6 Referêcias bibliográficas e-tec Brasil Matemática Istrumetal DANTE, Luiz Roberto. Matemática: cotexto & aplicações. São Paulo: Ática v. 1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma ova abordagem. São Paulo: FTD v.. IEZZI Gelso et al. Matemática: ciêcia e aplicação.. ed. São Paulo: Atual v. 1. PAIVA, Mauel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Modera, v.. Sites cosultados MARQUES, Paulo. Progressões matemáticas, PA. Dispoível em: < algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html>. Acesso em: 14 ja MIRANDA, Daiele de. Progressão matemática. Dispoível em: < Acesso em: 14 ja. 009.