UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS FACET DIONISIO NOGUEIRA NETO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS FACET DIONISIO NOGUEIRA NETO O USO DE FUNÇÕES GERADORAS NO ENSINO MÉDIO PARA ARTICULAR CONTÉUDOS VARIADOS EM ANÁLISE COMBINATÓRIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA DOURADOS MS ABRIL 2014

2 DIONISIO NOGUEIRA NETO O USO DE FUNÇÕES GERADORAS NO ENSINO MÉDIO PARA ARTICULAR CONTEÚDOS VARIADOS EM ANÁLISE COMBINATÓRIA ORIENTADOR: PROF. DR. SÉRGIO RODRIGUES Dissertação apresetada ao fial do Programa de Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal PROFMAT da Uiversidade Federal da Grade Dourados (UFGD) como exigêcia parcial para obteção do título de Mestre em Matemática DOURADOS MS ABRIL 2014

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5 Dedico este trabalho a Deus, a miha família, miha esposa Jucyelly que carrega cosigo um filho meu (Daiel) e ao amigo e professor Sergio Rodrigues.

6 À Deus, pelo dom da vida, pelo dom de apreder e educar, pela alegria de viver, sohar e realizar. À miha esposa Jucyelly, pela compreesão e paciêcia, por acreditar, icetivar e apoiar os vários mometos de agustia. À miha mãe, pelo amor, educação e por me fazer acreditar que tudo é possível. Aos meus irmãos, Juior, Gerso e Grace, que sempre torceram e uca deixaram de acreditar em mim. Aos amigos que muito me apoiaram e me icetivaram, em especial, o Elto e o Roque, pela ajuda costate. Ao meu orietador Professor Doutor Sérgio Rodrigues que, com seu compaheirismo, orietação e paciêcia, me coduziu para elaboração deste trabalho. Aos meus colegas de trabalho que acompaharam esta luta apoiado e icetivado. Às diretoras Tâia, Adélia e Helsey e ao diretor Alcides das escolas em que trabalho, que sempre me deram codições e icetivo para cursar este camiho. Aos meus amigos e irmãos da Sexta Igreja Presbiteriaa Filadélfia, pelas orações e icetivo. À CAPES pelo apoio fiaceiro.

7 É possível recohecer a utilidade de uma idéia sem, cotudo, compreeder como usála adequadamete. Joha Wolfgag Goethe ( ), poeta, romacista e teatrólogo alemão.

8 RESUMO Cosiderado que as técicas de cotagem é um assuto difícil de ser absorvido pelos aluos, este trabalho tem como objetivo apresetar uma proposta de esio de combiatória para os professores do Esio Médio a qual farão uso de fuções geradoras para solucioar algus problemas de combiatória e articular outros coceitos ao tema, além de expadir seus cohecimetos com outros métodos de cotagem. Palavras-chave: Aálise Combiatória. Esio Médio. Fuções Geradoras.

9 ABSTRACT Cosiderig that techiques of coutig is a difficult subject to be absorbed by the studets, this work aims to preset a proposal for teachig combiatorics for the teachers high school i which shall use geeratig fuctios to solve some problems of combiatorics ad to articulate other cocepts to the theme, expadig the kowledge with other methods for coutig. Keywords: Combiatorial Aalysis, High School, Geeratig Fuctios.

10 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PANORAMA DO ENSINO DE COMBINATÓRIA NO ENSINO MEDIO ANÁLISE COMBINATÓRIA: CONCEITOS PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO FATORIAL PERMUTAÇÃO SIMPLES ARRANJO SIMPLES COMBINAÇÃO SIMPLES PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS ARRANJO COM REPETIÇÃO COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO COEFICIENTES BINOMIAIS Propriedades dos Coeficietes Biomiais BINÔMIO DE NEWTON POLINÔMIOS E SÉRIES DE POTÊNCIAS POLINÔMIOS DE VÁRIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES GERADORAS RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA APLICANDO FUNÇÕES GERADORAS NO ENSINO MÉDIO PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA CONCLUSÃO REFERÊNCIAS 49

11 11 INTRODUÇÃO Este trabalho tem por objetivo ampliar o cohecimeto do professor do Esio Médio para trabalhar o coteúdo de aálise combiatória jutamete com o coceito de fuções geradoras que, em geral, ão faz parte dos currículos dos cursos de liceciatura em matemática. As fuções geradoras são de grade importâcia as técicas de cotagem. Um tipo de fução geradora que abordaremos este trabalho é dada por poliômios p( x) a x a x... a x a o qual os coeficietes são úmeros iteiros e o coeficiete de uma potêcia específica é a resposta da cotagem de um problema que queremos resolver. Por exemplo o poliômio dado por é tal que o coeficiete de (1 x) 1C x C x C x C x C x x x correspode á combiação de 6 elemetos tomados 3 a 3. As fuções geradoras que usaremos este trabalho utilizam os poliômios dados pelo biômio de Newto para obter outros poliômios cujos coeficietes são as respostas para os ossos problemas de cotagem. Desta maeira estamos itegrado os coceitos de poliômios e de combiatória. As fuções geradoras mais gerais são dadas por séries de potêcias S( x) a a x... a x... com coeficietes iteiros, que podem ser pesadas 0 1 como uma geeralização dos poliômios, cujos coeficietes são as respostas procuradas para os problemas de cotagem. Isto pode parecer que estamos fugido dos coteúdos do Esio Médio. Lembramos que os textos do Esio Médio (PAIVA, 1995) os estudates etram em cotato com a série de potêcias dada pela soma ifiita dos termos de uma Progressão Geométrica de termo iicial 1 e razão x é tal que se x 1 etão exemplo de fução geradora que usaremos. 1 x x... x... e esta fução também é um 1 x 2 1 Neste trabalho mostraremos exemplos como utilizar os poliômios de mais de uma variável para descrever ou modelar problemas de cotagem de tal modo que cada termo deste poliômio correspoda a uma disposição exata de todos elemetos da combiatória que queremos resolver e, a partir deste poliômio,

12 12 obteremos a fução geradora que cota quatos elemetos existem a cofiguração que estamos estudado. A este processo vamos chamar aqui de mapeameto do problema combiatório. Para o leitor ter uma ideia do que estamos propodo, cosidere o poliômio de 6 variáveis dado por f ( x, x, x, x, x, x ) (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) P P P P P P P Este poliômio tem termos e em cada termo cada uma das idetermiadas aparece uma úica vez e o coeficiete de todos os termos é igual a 1. Vamos reagrupar os termos segudo o úmero de idetermiadas, isto é, deotar por P, 0 k 6 a soma de todos os moômios com k variáveis. Por exemplo, k P5 x2x3x4 x5x6 x1x 3x4x5 x6 x1x 2x4x5 x6 x1x 2x3x5 x6 x1x 2x3x4 x6 x1x 2x3x4 x5 Note que em P 5 cada termo deste poliômio correspode a uma combiação de 6 elemetos { x1, x2, x3, x4, x5, x 6} tomados 5 a 5 e todas as combiações destes 6 elemetos 5 a 5 estão represetadas uma úica vez em uma parcela. Deste modo o poliômio f ( x1, x2, x3, x4, x5, x 6) modela o problema de todas as combiações possíveis que podemos obter com 6 elemetos que forma um total de combiações Substituido cada uma das variáveis por uma úica variável, isto é, se x x x, x x x x etão obtemos a fução geradora p( x) (1 x) 1C x C x C x C x C x x cujos coeficietes de grau 0k 6 cotam todas as combiações possíveis de 6 elemetos tomados k a k. Aparetemete pode-se pesar que estamos complicado o problema, mas esta técica é bastate útil em outras situações mais complexas como aalisaremos a seguir. Iicialmete faremos uma prévia da problemática do esio de Aálise Combiatória o Esio Médio, buscado opções, e tetado visualizar meios para aprimorar o esio deste tema, depois apresetaremos os coceitos básicos para os professores do Esio Médio que serão usados para o professor trabalhar Aálise Combiatória utilizado as fuções geradoras. Fica como opção também trabalhar as fuções geradoras dessa forma o esio superior, a qual os aluos estarão revedo coceitos e aumetado seu

13 13 raciocíio determiado outros meios de solucioar problemas. Ao fial apresetaremos quatro problemas que podem ser trabalhados em sala de aula como atividade de aperfeiçoameto do coteúdo de combiatória. Esses problemas são, ao mesmo tempo, sugestões para o professor de como fazer a aplicação das fuções geradoras articulado o estudo da combiatória com o biômio de Newto e os poliômios e, deste modo, eriquecedo o cohecimeto do aluo.

14 14 Capitulo 1 PANORAMA DO ENSINO DE COMBINATÓRIA NO ENSINO MÉDIO A aálise combiatória é um ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que cosistem, basicamete, em escolher, agrupar e cotar os elemetos de um cojuto e que possui aplicação direta o cálculo das probabilidades, sedo portato, um istrumeto de vital importâcia para as ciêcias aplicadas, como a Medicia, a Egeharia e a Estatística, etre outras. Segudo Sabo (2010), algus professores evitam, ou ão abordam o Esio Médio o coceito de aálise combiatória por cosiderarem um tema árduo para esiar. Eles afirmam que a má estruturação do Esio Fudametal ão proporcioa aos aluos habilidades para trabalhar coceitos tão sofisticados, acusam também o tempo isuficiete em sala de aula e até mesmo que eles próprios ão etedem o assuto e acabam optado por outros coteúdos cosiderados importates deixado etão de lado este coceito. Sobre isso Sabo (2010) mecioa: Um dos fatores resposáveis pela má qualidade de esio é, sem dúvida alguma, a formação do professor. E possível dizer que a maioria dos profissioais que se formaram ou estão se formado, ão tem claro o papel da escola, os objetivos da apredizagem, a razão dos coteúdos a serem trabalhados, efim, ão tem claro o seu próprio papel de educador. (SABO, 2010, p. 14 apud LOPES, 2000, p. 12) De fato, podemos dizer que em muitos casos o professor, desde sua formação, ão recebeu fudametos matemáticos ecessários para trabalhar tal assuto. O que cotribui também é a questão social do professor, o meio em que vive, suas ecessidades e os recursos que possui para aumetar sua capacitação. Dessa forma etedemos que os saberes do professor estão atrelados às codições sociais e de trabalho por ele vividas, como também pela sua persoalidade e experiêcia profissioal, ou seja, esses saberes estão assetados etre o que o professor é e o que ele faz e, desse modo, situam-se etre o idividual e o social. (SABO, 2010, p. 34) Existe também o fato de que muitos professores possuem certa facilidade para acomodação, apóiam-se em seus livros didáticos e ão buscam outros meios de se esiar um assuto cosiderado difícil ou que ão está o seu cohecimeto. Por sua vez, os livros didáticos trazem os coteúdos de forma sucita e, a maioria das vezes, como um pacote fechado para ser aplicado em determiada série,

15 15 havedo assim uma dificuldade para itercalar outros coteúdos. Um dos fatores que pode cotribuir e favorecer que os professores ão abordarem determiados coceitos matemáticos é a segmetação do cohecimeto matemático. Cada coceito é tratado de forma potual em uma determiada série do Esio Médio, desta forma, ão há iteração etre os cohecimetos esiados. (SABO, 2007, p. 8) No Esio Fudametal o tema da combiatória é pouco abordado. Os livros didáticos abordam sobre o Pricípio Aditivo e Multiplicativo e aida assim resumidamete. A aplicação costate do coteúdo depede defiitivamete do professor, que como já vimos, muitas vezes ão o faz. O que podemos dizer é que os tempos de hoje, com os computadores, iteret, celulares avaçados e os vários meios de comuicação o professor tem subsídios de busca e capacitação [...] ele precisa assumir o papel de agete participativo e protagoista o processo de seu desevolvimeto profissioal. (SABO, 2010, p. 34). Ele pode deixar de se apoiar somete os livros didáticos e pleitear formações cotiuadas, e outros recursos que abordem este e outros temas que cujo esio deixam a desejar. Quato aos livros didáticos, uma solução possível seria itercalar coteúdos de técicas de cotagem desde o primeiro ao do Esio Médio, buscado ovas possibilidades de resolução e de iteração destes coceitos. A grade maioria dos livros didáticos do Esio Médio segue o padrão de ecaixotameto dos coceitos matemáticos, ou seja, cada coceito matemático é abordado potualmete em uma determiada série, desta forma, ão há iteração etre os cohecimetos matemáticos esiados. (SABO, 2007, p. 20) Também seria ecessário fazer uma modificação as técicas abordadas, pois a maioria dos livros traz muitos exercícios que alteram apeas o euciado, e o aluo, por sua vez, aplica a resolução de forma mecâica, ão etededo o procedimeto. Este pesameto os fez acreditar que este trabalho pode ser de grade servetia, pois damos ao professor sugestões de como trabalhar ovos coceitos e revisado coteúdos que já foram trasmitidos, reforçado assim o que foi esiado. A perguta que pode surgir: Por que utilizar o coceito de fuções geradoras o Esio Médio? Em primeiro lugar podemos respoder que, deste modo, apresetaremos aos aluos do Esio Médio problemas de cotagem que ão se equadram a classificação usual de arrajo, permutação e combiação e isto pode

16 16 ser estimulate para os aluos e para que os professores repesem seus coceitos e métodos de esio. Por exemplo, cosidere o seguite problema que abordaremos aqui: Um professor de Educação Física quer motar um time misto com 7 jogadores. Quatas soluções são possíveis de forma que teha o máximo 5 meios ou 5 meias? Problemas deste tipo recaem em procedimetos matemáticos que ão estão previstos os textos do Esio Médio. Outro modo de justificar o uso de fuções geradoras ordiárias é que este tópico utiliza os coceitos do biômio de Newto e de poliômios e, deste modo, estaremos itegrado o esio dos tópicos de matemática do Esio Médio de um modo útil e iovador. Além de que, por meio das fuções geradoras podemos eumerar possibilidades combiatórias de um problema de forma mais cocreta e certeira. Em ossa pesquisa bibliográfica ão ecotramos propostas de metodologias de esio que utilizem as fuções geradoras o Esio Médio sedo que estas costituem um tópico importate da matemática discreta e que é tema de pesquisa avaçada atualmete. Nos livros, Matemática Cocreta (KNUTH,1995) e Itrodução à aálise combiatória (SANTOS,1998) e mais recetemete como dissertação do PROFMAT (GARCIA, 2013), podemos ter cotato com a importâcia e abragêcia do assuto.

17 17 Capítulo 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA: CONCEITOS Apresetaremos aqui, os coceitos e fórmulas da aálise combiatória de maeira resumida, simples para cosulta sedo que os detalhes poderão ser vistos em (SANTOS, 2007), (KNUTH, 1995), (IEZZI, 2010), (BARRETO, 2003) e (GARCIA, 2013). Etretato, teremos um pouco mais de cuidado com os coceitos de poliômios e sua relação com as séries de potêcias e fuções geradoras, pois, é através destes coceitos que faremos a itegração e articulação de cohecimetos múltiplos. 2.1 Pricípio Multiplicativo O pricípio multiplicativo da cotagem diz que um acotecimeto ocorre em duas situações sucessivas e idepedetes, sedo que se a 1ª situação ocorre de a maeiras e a 2ª situação ocorre de b maeiras, etão o úmero total de possibilidades de ocorrêcia desse acotecimeto é dado pelo produto a em que: Supoha que uma seqüêcia seja formada por k elemetos ( a1, a2, a3,..., a k ), a 1 pode ser escolhido de 1 maeiras distitas; a 2 pode ser escolhido de 2 formas diferetes, a partir de cada uma das possibilidades ateriores; a 3 pode ser escolhido de 3 modos diferetes, a partir de cada uma das escolhas ateriores; b. a k pode ser escolhido de ateriores; k maeiras distitas, a partir das escolhas Etão, o úmero de possibilidades para costruir a sequêcia ( a1, a2, a3,..., a k ) é: k Esse resultado é cohecido como uma extesão do Pricípio Multiplicativo

18 18 (SANTOS, 2007) e serve de base para a resolução de muitos problemas de cotagem. Exemplo: (GARCIA, 2013, p.17) Podemos aplicar este pricípio para cotar os subcojutos de um cojuto fiito C sem usar a soma das combiações do seguite modo: Seja o cojuto C { x1, x2,..., x } com elemetos. Se S é um subcojuto de C podemos descrever S como uma sequêcia s a1 a2 a3 a k (,,,..., ) a qual a 1 se a S e a 0 se a S. Por exemplo, o i subcojuto S { x1, x2} correspode á sequêcia s (1, 1, 0,..., 0). Como temos duas possibilidades, 0 ou 1, para cada posição e as posições são idepedetes i i i etão teremos um total de 2 subcojutos. possibilidades o que correspode a um Fatorial Dado um úmero atural, defiimos o fatorial de (idicado por!) como:!.( 1).( 2) para 1 Se 1, 1! 1 Se 0, 0! 1 Por exemplo: 2! ! ! ! No fial deste capítulo discutiremos como dar uma defiição recursiva de fatorial. 2.3 Permutação Simples Dado um cojuto com elemetos S { a1, a2, a3,..., a } etão o cojuto P de todas as -uplas ordeadas ou sequêcias ( x1, x2, x3,..., x ) dos elemetos de S é chamado do cojuto das permutações simples de S. P {( x, x, x,..., x ) : x S e x x se i j} i i j etão: Se deomiarmos P o úmero das permutações simples dos objetos, P ( 1)( 2) 1!

19 19 Vamos defiir P0 0! 1. Um modo de se usar o pricípio multiplicativo para justificar que o fatorial de dá o úmero de permutações possíveis dos elemetos distitos da -upla ( a, a, a,..., a ), é que se temos escolhas para primeira posição temos ( 1) k escolhas para a seguda posição e ( 2) escolhas para a terceira posição e assim por diate restado apeas uma escolha para a última posição. 2.4 Arrajos Simples Arrajos simples de elemetos tomados p a p, ode 1 e p é um úmero atural tal que p, são todos os grupos de p elemetos distitos que diferem etre si pela ordem e pela atureza dos elemetos que compõem cada grupo. Notação p A. (SANTOS, 2007, p. 57) Usado o pricípio multiplicativo vamos ecotrar uma expressão matemática que caracterize p A. S { a, a, a,..., a } são os elemetos do cojuto etão se 0 p, Se temos possibilidades de se colocar um elemeto de S a posição de x 1 em ( x, x, x,..., x ) e 1 possibilidades de se colocar um elemeto de S a posição p de x 2 sem repetir e, assim sucessivamete, temos ( p 1) possibilidades a posição x p. Pelo pricípio multiplicativo temos etão um total de ( 1) ( 2) ( 3)... ( ( p 1)) possibilidades o total. p Portato A 1 2 p 1. Sabemos que ão se altera uma igualdade se a multiplicarmos e dividirmos por um mesmo valor etão: p ( p)! A ( 1) ( 2)... ( ( p 1)). ( p )! Isto é, a fórmula de arrajo pode ser simplificada como A p!. ( p)!

20 Combiação Simples Chamam-se combiação simples de elemetos tomados p a p, ode 1 e p é um úmero atural tal que p, todas as escolhas ão ordeadas de p desses elemetos. Notação: p, p, iteiros, defie-se C 0.(SANTOS, 2007, p. 62) C p (lê-se: combiação de p a p ). Se p p Vimos que o úmero de arrajos simples de elemetos tomados p a p é igual ao úmero de maeiras de preecher p lugares com elemetos distitos dispoíveis. Obtivemos: A p! ( p)! que é o úmero de agrupametos que diferem etre si pela atureza e pela ordem de colocação de seus elemetos o agrupameto, isto é, quem participa e o lugar que ocupa. Quado cosideramos combiações simples de elemetos tomados p a p, temos agrupametos de p elemetos tomados etre os dispoíveis, que diferem etre si apeas pela sua atureza, ou seja, só importa quem participa do grupo. Neste caso, a combiação simples dos elemetos tomados p a p é dado pelo arrajo simples dos elemetos tomados p a p dividido por p!, que é o úmero de permutações dos elemetos que compõem cada arrajo, isto é, C p!. (SANTOS, 2007, p. 62) p!( p)! 2.6 Permutação com Elemetos Repetidos Dada uma -upla ( a1, a2, a3,..., a ) com elemetos, vamos supor que existem 1 elemetos iguais a a 1, 2 elemetos iguais a a 2,, e r elemetos iguais a a r. Neste caso o cojuto das permutações dos elemetos da -upla é chamado de cojuto das permutações com repetição. Segue que o úmero de permutações distitas que se pode obter com os elemetos é: ( 1, 2,..., r )! 1 2 P!!...! r

21 Arrajo com Repetição Lembrado que, (...) o úmero de arrajos simples de elemetos tomados p a p é dado por: A ( 1) ( 2)... ( p 1). p Este úmero cota todas as possíveis maeiras de se retirar, de um cojuto de elemetos distitos, p elemetos, levado-se em cota a ordem dos elemetos. Caso repetições sejam permitidas, pelo pricípio multiplicativo, o úmero total de maeiras de se retirar, levado-se em cota a ordem, p dos objetos, distitos ou ão, é igual a AR uma vez que o primeiro elemeto pode ser retirado de maeiras, o segudo também de maeiras e assim sucessivamete até que o p-ésimo elemeto seja escolhido. (SANTOS, 2007) Podemos acrescetar que o modelo dos arrajos com repetição dos elemetos de um cojuto S { a1, a2, a3,..., a } p a p é dado por todas as p-uplas ( x, x, x,..., x ) em que xi é um elemeto qualquer de S, isto é, p p ( x, x, x,..., x ) S S... S p p p vezes 2.8 Combiações com Repetição O livro de Satos (2007) descreve as combiações com repetição do seguite modo: Supohamos que um parque de diversões existam quatro tipos de briquedos a, b, c e d, e que uma pessoa queira comprar dois bilhetes. É claro que ela poderá comprar dois bilhetes do mesmo tipo. Na tabela abaixo temos a lista de todas as possibilidades que, como vemos, é igual a dez. aa bb cc dd ab bc cd ac bd ad

22 22 Observe que este úmero é maior do que C 2 4 6, pois quado estamos cosiderado as combiações simples de 4 tomados 2 a 2, ão podemos tomar um mesmo objeto mais de uma vez. Dizemos ser a tabela acima a lista das combiações com repetição de 4 tomados 2 a 2. Vamos supor que ela resolva comprar 5 bilhetes para estes 4 briquedos. Algumas possibilidades seriam: aaaaa abbbc aacbb bbccd Estamos iteressados em cotar o total de elemetos do tipo acima. Para sabermos quais foram os 5 bilhetes comprados, basta que a pessoa os diga quatos bilhetes de cada tipo comprou. Se chamarmos de x 1 o úmero de bilhetes para o briquedo a, de x 2 o úmero para b, de x 3 para c e de x 4 o úmero para o briquedo d, o que estamos procurado é, ada mais ada meos, do que o úmero de soluções iteiras ão egativas para a equação x1 x2 x3 x4 5 (SANTOS, 2007) Para cocluir o exemplo vamos provar o seguite resultado Proposição : Se m um iteiro positivo etão a) o úmero de soluções iteiras e positivas de x1 x2... xr m é C. r 1 m 1 b) o úmero de soluções iteiras e ão egativas de Demostração: x1 x2... xr m é C. r 1 m r 1 a) Cosidere m símbolos do úmero 1 alihados cosecutivamete. Podemos represetar todas as soluções positivas da equação dada reagrupado os úmeros 1 s. Por exemplo a solução x1 3; x2 1; x3 3,...; xr 1 1; xr 4 pode ser represetada por 1 2 ou r r Como temos ( m 1) espaços etre os 1 s etão cada solução distita ( x, x,..., x ) desta equação pode ser represetada por uma escolha de ( r 1) destes r

23 23 espaços para se colocar os siais de + separado os grupos que represetam as soluções e portato temos r 1 C m 1 escolhas distitas. b) A cada solução positiva distita da equação y1 y2... y r m r correspode a uma solução ão egativa distita da equação e reciprocamete, logo o total x x... x ( y 1) ( y 1)... ( y 1) m 1 2 r 1 2 C soluções para x1 x2... xr m. r 1 m r 1 Desta proposição segue que a solução do problema dos bilhetes correspode à soluções ão egativas da equação x1 x2 x3 x4 5 que é igual a De modo geral r 3 C8 56. p CR é o úmero total de maeiras de selecioarmos p objetos detre objetos distitos ode cada objeto pode ser tomado até p vezes. Como vimos este úmero é igual ao úmero de soluções iteiras ão-egativas da p p equação x1 x2... x p logo CR C p 1 Satos (2007) chama a ateção para o fato de que se cosideramos as combiações simples de elemetos tomados p a p etão p. No caso de combiações com repetição esta restrição ão é ecessária, como vimos o exemplo da compra dos bilhetes acima. 2.9 Coeficietes Biomiais Os coeficietes biomiais podem ser usados o cálculo diferecial para a expasão de fuções (1 x) r, em série de potêcias, cohecido como Teorema Biomial (KNUTH, 1995, p. 122). Não vamos usar este resultado mais geral pois este foge do programa do Esio Médio, mas ele está presete quado r 1 pois os textos apresetam a soma da PG ifiita S 1 x x... x x 2 1 Primeiramete vamos defiir o que vem a ser um biômio, segudo Satos (2007) chamamos de biômio qualquer expressão da forma a b, isto é, a soma de dois símbolos distitos. Defiimos como coeficiete biomial o úmero que represeta a quatidades de vezes que um termo aparece a expasão de um produto biomial, ( a b).

24 24 Segudo Kuth (1995), o símbolo p deota um coeficiete biomial, assim chamado devido a uma propriedade importate, o teorema biomial. Lemos este símbolo como combiação de p a p, o que tem sua origem a iterpretação combiatória é o úmero de maeiras diferetes de combiar coisas de p em p. De acordo com Satos (2007), (...)vamos cosiderar, iicialmete, o seguite produto: ( a b)( c d)( e f ) ace acf ade adf bce bcf bde bdf, Que cosiste de oito termos, ode cada termo cosiste de três letras, cada uma selecioada de um dos biômios. Pelo pricípio multiplicativo, é claro que o úmero total de termos é ( a b)( c d)( e f )( g h), temos Para o produto termos, cada um cosistido de um produto de 4 letras, cada uma delas pertecedo a um dos 4 biômios cosiderados. Por exemplo, acdf e adeh são algus dos 16 termos deste último produto. No caso do produto de biômios, temos 2 Cosideremos agora o produto ( a b)( a b)( a b)( a b)( a b)( a b). termos. Como temos 64 maeiras de selecioarmos 6 letras, uma de cada biômio, e como todos os biômios são iguais a ( a b), teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra a os 4 primeiros e a letra b os 2 últimos teremos 4 2 ab, que irá aparecer toda vez que a letra a for escolhida em exatamete 4 dos 6 biômios e a letra b os 2 restates. Como isto pode ser feito de 4 C 6 maeiras diferetes, cocluímos que o termo 4 2 ab irá aparecer este úmero de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiete de 4 2 ab é igual a 4 C 6. (SANTOS, 2007) Propriedades dos Coeficietes Biomiais Propriedade de simetria: Se p e q são iteiros positivos ou ulos e p q

25 25 etão p q p q p q complemetares. Relação de Stifel. Se r 1 p p 1 p 1 e este caso dizemos que p e q são úmeros biomiais é um úmero iteiro positivo ou ulo etão Demostração: Desevolveremos cada um dos membros da igualdade e chegaremos a uma idetidade.!! ( 1)! p!( p)! ( p 1)!( p 1)! ( p 1)![( 1) ( p 1)]!!( p 1)!( p) ( 1)! ( p 1)!( p)! ( p 1)!( 1 p 1)!!( p 1 p) ( 1)! ( p 1)!( p)! ( p 1)!( p)! ( 1)! ( 1)! ( p 1)!( p)! ( p 1)!( p)! 2.10 Biômio de Newto e x p Supodo um úmero atural, podemos cosiderar a seguite expressão: ( x a) x a x a x a... x a Com o emprego do somatório, a fórmula fica reduzida a: a p p ( x a) x a p0 p p p é chamado de termo geral do biômio de Newto Exemplos: Cosiderado algus valores para, temos: a) 0 ( xa) b) ( x a) x a x a

26 26 c) ( x a) x a x a x a d) ( x a) x a x a x a x a A defiição de coeficiete biomial deve ser da seguite forma (KNUTH, 1995, p.114). Se k é um úmero iteiro e r um úmero real qualquer etão defiimos r( r 1)( r 2)...( r k 1) r, se k 0 k! k 0, se k 0 Por exemplo, se r 1 etão 1 ( 1)( 2)( 3) 3, 3! 1 ( 1)( 2) 1 2 2!, isto é, 1 ( 1) k para qualquer iteiro k. No caso de r ão ser um iteiro positivo k o coeficiete biomial está defiido para todo úmero iteiro k e, este caso, o coeficiete biomial ão tem uma iterpretação combiatória. A extesão do biômio de Newto para coeficietes combiatórios mais gerais é cohecida como Teorema Biomial (KNUTH, 1995, p.120) é dada pela série biomial r 1 ( ) r r x a x p a p p0 p No presete trabalho vamos usar este resultado apeas o caso em que x p0 p p0 p0 1 p p p p 2 p (1 ( x)) ( x) ( 1) ( x) x 1 x x... x... que é cohecida como a série geométrica e, o osso caso, ela é uma das fuções geradoras defiidas a seguir. Algus textos de matemática para o Esio Médio (PAIVA,1995, p.45) apresetam a soma ifiita de uma PG de razão r com valor absoluto meor do que 1, isto é, se r x e se x 1 etão

27 27 U( x) 1 x x x x... x... 1 x No caso do uso de U( x ) como fuções geradora, ão estamos iteressados quato a covergêcia desta série mas apeas o seu aspecto formal (como se fosse um poliômio ifiito) e ão como uma fução a qual podemos substituir o valor de x por um úmero real qualquer Poliômios e Séries de Potêcias Esses coceitos, aqui, serão tratados de modo a dar subsídios para a formulação da teoria de fuções geradoras (GARCIA, 2013). Defiição : [...]. Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução a : N R que associa a cada úmero atural um úmero real a, chamado de -ésimo termo da sequêcia. Escrevemos a ( a1, a2, a3,..., a,...) ou ( ) a N, para idicar a sequêcia cujo -ésimo termo é a. 1 2, ou simplesmete ( a ) Observação [...]. A sequêcia ( a ) é diferete do cojuto { a, a,..., a,...} de seus termos. Por exemplo, a sequêcia (1, 1, 1, 1, 1) ão é o mesmo que o cojuto {1}; as sequêcias (0, 2, 0, 2,...) e (0, 0, 2, 0, 0, 2,...) são diferete mas o cojuto de seus termos é o mesmo, igual a {0, 2}. (GARCIA, 2013) Defiição : [...].Um poliômio de grau é uma expressão do tipo p( x) a a x a x a x... a x, ode a, são termos da sequêcia ( a1, a2, a3,..., a ) e x uma variável. (GARCIA, 2013) Defiição [...]. Uma série de potêcias é uma série ifiita da forma a a x a x a x ode a i, para i 0, 1, 2, 3,..., são reais e x é , uma variável. Desta forma um poliômio de grau em x é um caso particular de uma série de potêcias. De fato,

28 p( x) a a x a x a x... a x a a x a x a x... a x 0x 0 x ax 0 Quado tivermos iteressados em idetificar apeas os coeficietes a, a, a,..., a,..., da série de potêcias os termos a a x a x a x , x x x x 1,,,...,,... serão meros símbolos algébricos. Nesse caso, a série de potêcias é chamada formal. (GARCIA, 2013) Defiição : [...]. Se a a x a x a x e b b x b x b x são duas séries de potêcias, etão a soma destas duas séries é a série de potêcias a qual o coeficiete de a b x é e o produto destas duas séries é a série de potêcias a qual o coeficiete de x é a b a b a b... a b. (GARCIA, 2013) Como o caso dos poliômios, vamos usar aqui a propriedade de que duas séries de potêcias são iguais se, e somete se, todos os coeficietes de mesmo grau são iguais, isto é, dadas as séries S( x) a a x a x a x a x... a x... e T( x) b b x b x b x b x... b x etão: T( x) S( x) se, e só se, ak bk para todo k 0, 1, 2,... Vamos usar este resultado o caso da série geométrica, U( x) 1 x x x x... x... 1 x O professor pode escolher em usar a fução U( x ) como soma de uma PG ou simplesmete fazer uma soma e multiplicação formal das séries de potêcias. Como etão: xu x x x x x x ( )......

29 29 Se se 2 2 (1 ) ( ) (1 )(1... x U x x x x x ) 1 0x 0 x... 0 x... S( x) a a x a x a x a x... a x... é uma série de potêcias e S( x) a a x a x a x a x... a x... (1 x) U( x) 1 0 x... 0x etão a0 1, a1 0, a2 0,..., a 0, Poliômios de várias variáveis O coceito de poliômio de várias variáveis ão é um coteúdo do Esio Médio, mas julgamos que sua assimilação é bastate atural para os aluos que já estudaram grau de um moômio o Esio Fudametal. Usaremos os poliômios de várias variáveis para represetar de forma fiel as possibilidades combiatórias etre os objetos de um problema. Um poliômio de duas ou mais variáveis com coeficietes reais é dado por uma soma fiita P P x x x a x x x j1 j2 j ( 1, 2,..., ) i1... i j N k Segudo (MONTEIRO, 1969, p.318) a são os coeficietes, que o osso i1... i caso podem ser reais ou iteiros, x1, x2,..., xsão as idetermiadas e j1, j2,..., j iteiros positivos ou ulos são os expoetes das idetermiadas e a expressão x j x j x j é chamada de moômio. Esta defiição estede a defiição de poliômio de uma variável. j1 j2 j Cada parcela da soma do poliômio ai i x x x é chamada de termo do j1 j2 j poliômio e dizemos que o grau de ai i x x x é q (MONTEIRO, 1969, p.319) ode a soma j1 j2... j q. O grau do poliômio P é defiido como o maior grau de seus temos. Por exemplo P( x, x ) 3x x x x 1 é um poliômio de duas variáveis com coeficietes iteiros. Pela defiição acima o grau de 3x1x 2é dois, o grau de é três, o grau de x 2 é um e o grau de 1 é zero. Portato o grau de P( x1, x 2) é três. Como o poliômio de uma variável, o cojuto de poliômios de várias 3 x 1

30 30 variáveis estão defiidas as operações de adição e multiplicação Fuções Geradoras Apresetaremos de uma forma geral o coceito de fuções geradoras que são chamadas de ordiárias (SANTOS, 2007) que, o osso poto de vista, são as mais adequadas para serem usadas o Esio Médio. Existem sim outros tipos de fuções geradoras, as expoeciais, de Dirichlet que podem ser vistas os textos do (KNUTH, 1995) e (SANTOS, 2007). exemplos: Satos (2007) dá uma itrodução de fuções geradoras com os seguites Supohamos uma caixa cotedo quatro bolas, sedo duas amarelas, uma braca e uma ciza. Represetado, respectivamete, por a, b e c, as bolas de cor amarela, braca e ciza, vamos listar todas as possibilidades de tirarmos uma ou mais bolas desta caixa. Maeiras de tirar uma bola: a, b, c. Maeiras de tirar duas bolas: aa, ab, ac, bc. Maeiras de tirar três bolas: aab, aac, abc. Maeiras de tirar quatro bolas: aabc. Associamos o poliômio 2 2 1ax a x às bolas de cor amarela, e às de cor braca e ciza associamos, respectivamete, os poliômios 1 bx e 1 cx. Iterpretamos o poliômio 2 2 1ax a x da seguite forma: o termo ax sigifica que uma bola de cor amarela foi escolhida, o termo foram escolhidas e o termo costate 0 1 ( x ) 2 2 ax que duas que ehuma bola amarela foi escolhida. De forma aáloga, iterpretamos os poliômios 1 bx e 1 cx. Cada um destes poliômios cotrola, portato a preseça de bolas de uma determiada cor. Olhamos, agora, para o produto destes três poliômios: 2 2 (1 ax a x )(1 bx)(1 cx) ( a b c) x ( a ab ac bc) x ( a b a c abc) x a bcx. Como se pode observar esse produto os forece, diretamete a lista de possibilidades dada acima. O termo surgiu ao tomarmos 2 a, que aparece o coeficiete de 2 x, 2 2 ax o primeiro poliômio, o termo 1 (que sigifica ão

31 31 pegar b ) em 1 bx e o termo 1 ( que sigifica ão pegar c ) em 1 cx, isto é, devemos tomar duas bolas amarelas, ehuma bola braca e ehuma bola ciza. O termo 2 acx, que surgiu do produto ( ax)(1)( ) cx, sigifica a retirada de uma bola amarela ehuma braca e uma ciza. Observe que o expoete de x represeta o úmero de bolas retiradas e o coeficiete, a lista destas possibilidades. Caso estivéssemos iteressados, ão a listagem das diferetes escolhas possíveis, mas somete o úmero de tais diferetes escolhas, bastaria tomarmos, o produto dos três poliômios, a b c 1, obtedo: (1 x x )(1 x)(1 x) 1 3x 4x 3x 1x O qual os diz que existem 3 maeiras de retirarmos só uma bola, 4 de retirarmos 2 bolas, 3 de retirarmos 3 bolas, 1 de retirarmos as 4 bolas e 0 1 ( x ) de ão retirarmos ehuma bola. Dizemos que o poliômio x x x x é a fução geradora ordiária para o problema apresetado, uma vez que a sequêcia formada pelos seus coeficietes, 1, 3, 4, 3, 1, os forece as respostas para esse problema. Outro problema típico é o de ecotrar o úmero de soluções iteiras da equação x1 x2 x3 12, ode as variáveis x 1 e x 2 pertecem ao cojuto {2, 3, 4} e a variável x 3 pertece ao cojuto {5, 6, 7}. Defiimos três poliômios, um para cada variável x i, da seguite forma: p x x x p x x x p x x x Observe que os expoetes em p i são os elemetos do cojuto ao qual x i pertece. Como estamos procurado úmeros cuja soma seja 12 e que estejam cada um, um cojuto cujos elemetos são os expoetes dos poliômios acima, vamos cosiderar o produto px ( ) destes três poliômios: P x p p p x x x x x x x x x ( ) ( )( )( ) Mostramos a seguir que a resposta ao osso problema será o coeficiete de 12 x a expasão do referido produto. Como este produto é

32 32 igual a: ( x x x ) ( x x x ) x 3x 6x 7x 6x 3x x, A equação x1 x2 x3 12 possui 7 soluções iteiras com as restrições dadas. Um termo como x x x os forece a solução x1 3, x2 2 e x termo x x x os forece x1 4, x2 3 e x3 5. O que verificamos aqui é que cada solução deste problema correspode a exatamete uma maeira de se obter 12 x a expasão do produto dos poliômios em questão. Observamos que o poliômio x 3x 6x 7x 6x 3x x os forece também, a resposta para outros problemas. Como o coeficiete de. O 14 x é igual a 3, existem, com as restrições dadas, somete 3 soluções para a equação x1 x2 x3 14. Na realidade pelas razões apresetadas acima o poliômio gera o úmero de soluções para todas as equações x1 x2 x3 m, para m {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}, com as restrições impostas ás variáveis x i s. Defiição (SANTOS, 2007): Se a r, para r 1, 2, 3,..., é o úmero de soluções de um problema de combiatória, a fução geradora ordiária para este problema é a série de potêcias a a x a x a x , ou, de maeira geral, dada a sequêcia ( a r ), a fução geradora ordiária para está sequêcia é defiida como a série de potêcias a a x a x a x Chamamos ateção para o fato de que, apesar do ome, a fução geradora é dada por uma série formal, isto é, esta pode ão defiir uma fução o setido estrito, pois a série pode resultar um úmero ifiito se substituímos a variável x por um úmero real r, como o caso da série geométrica 2 1 x x... x p... que só resulta um úmero bem defiido se x 1. Em 2.8 provamos que o úmero de soluções iteiras e positivas de x1 x2... xr m é C. r 1 m 1 Note que este úmero coicide com o coeficiete de p r ( x x x x... x...) e o úmero de soluções iteiras e ão egativas de m x da fução geradora

33 33 x1 x2... xr m é e este úmero coicide com o coeficiete de C. r 1 m r 1 m x da fução geradora q x x x x x x p r ( ) ( ) 2.14 Relação de recorrêcia A relação de recorrêcia ão é um tópico comum os textos do Esio Médio, portato, o professor terá que explicar ates, com exemplos, o seu sigificado. A relação de recorrêcia é um tópico de fácil compreesão e é cetral as ideias matemáticas, achamos que este tipo de solução é pertiete para o Esio Médio, pelo meos para turmas ode se pode falar de tópicos especiais de matemática. O professor pode itroduzir estas ideias defiido o fatorial como uma relação de recorrêcia como:! ( 1)! Exemplo : Sabedo que 1! 1 calcule 5! pela relação de recorrêcia Pela relação de recorrêcia 5! 5.(4)!. Usado ovamete a relação de recorrêcia, passo a passo, temos 4! 4.(3)! ; 3! 3.(2)! ; 2! 2.(1)! e, por defiição, 1! 1 logo, fazedo as substituições temos 5! 5.(4).(3).(2).(1) 120. Outra situação que pode ser apresetada para os aluos como preparação para relações de recorrêcia mais complexas é apresetação da soma de uma progressão geométrica de razão r e termo iicial a0 1 como uma relação de recorrêcia Exemplo : Dada relação de recorrêcia calcular S (4). S( ) S( 1) r e S(0) 1 Neste caso, podermos calcular S (4) usado a fórmula de recorrêcia S(4) S(3) r 4, S(3) S(2) r 3, S(2) S(1) r 2, S(1) S(0) r e S(0) 1 por defiição.

34 34 Substituido os valores temos S(4) 1 r r r r No caso da soma de uma PG podemos obter uma fórmula chamada de fórmula fechada para cada dada por 1 r 1 S ( ), mas o caso do fatorial temos 1 r que fazer a multiplicação dos úmeros que é o mesmo processo de calcular o fatorial usado a relação de recorrêcia, isto é, multiplica-se o úmero pelo fatorial do úmero aterior. Estes dois exemplos são importates, pois são fuções cohecidas (coceitos estudados) pelo estudate do Esio Médio. O professor pode itroduzir outro exemplo famoso da matemática que é sequêcia de Fiboacci. Exemplo : A sequêcia de Fiboacci que é dada por uma relação de recorrêcia da ordem 2, isto é, o termo F ( ) é a soma dos dois termos ateriores da sequêcia. F( ) F( 1) F( 2) e F(1) 1 e F(2) 1 etão deste modo podemos calcular os termos sucessivos para 2, 3, 4,... F(3) F(2) F(1) 11 2 ; F(4) F(3) F(2) 2 1 3; F(5) F(4) F(3) 3 2 5, etc. O professor poderá iformar de que dada uma recorrêcia em sempre é possível achar uma fórmula fechada como o caso da soma de uma PG. Mas em algus casos podemos defiir uma fórmula fechada para a sequêcia de Fiboacci, (KNUTH, 1995): F etretato, a prova deste resultado ão é objeto do Esio Médio. Outra sugestão para mostrar uma relação de recorrêcia de seguda ordem e é cohecida dos estudates é a relação dos coeficietes combiatórios que os livros didáticos é chamada de relação de Stiefel com a qual podemos obter o triâgulo de Pascal que também é bastate divulgado os livros didáticos, (BARRETO, 2003), (IEZZI, 2010).

35 35 1 k 1 k1 k Para abordar o problema 4 utilizado-se relações de recorrêcia o professor poderá fazer um problema aálogo simplificado-o para ficar claro a forma com que se emprega a recorrêcia, exemplo: solução prelimiar:

36 36 CAPITULO 3 APLICANDO FUNCÕES GERADORAS NO ENSINO MÉDIO Como já dissemos ateriormete, a solução de problemas de cotagem e combiatória cosiste de um dos tópicos mais problemáticos de ser esiado o Esio Médio. As soluções de problemas de combiatória utilizado-se fuções geradoras são, em geral, estudadas a disciplia deomiada Matemática Discreta do Esio Superior, pois seu desevolvimeto geral evolve o cohecimeto da expasão de fuções em série de Taylor que ão é assuto do Esio Médio. Os textos destiados ao esio do biômio de Newto o Esio Médio utilizam a fórmula da combiação para calcular os coeficietes biomiais e esta é a úica ligação apresetada etre o desevolvimeto do biômio de Newto para expoetes positivos e a combiatória. Os aspectos da formação dos coeficietes biomiais como um sistema de cotagem, como é usado as fuções geradoras, como foi apresetado a itrodução deste trabalho ão é ressaltado o Esio Médio. O objetivo deste capítulo é apresetar algus problemas que podem ser apresetados o Esio Médio e cujas soluções evideciam a itegração etre o desevolvimeto poliomial do biômio de Newto e da série geométrica como uma forma de cotagem e que, poderão ser usados pelos professores o esio regular ou como tópicos extras de matemática, também é uma boa opção para o esio superior, para revisar coceitos e coteúdos de combiatória e soluções alterativas. Neste capítulo vamos selecioar algus problemas de combiatória e cotagem que estão presetes os textos do Esio Médio e vamos propor métodos de soluções que utilizam os coeficietes biomiais das fuções geradoras de alguma forma. Algus professores poderão os fazer a crítica de que a proposta complica a solução, pois se pode dar a resposta de modo mais rápido seguido os passos tradicioais. Etretato osso objetivo ão é resolver o problema de modo mais rápido, mas sim, mostrar outros modos de raciocíios que buscam mapear um problema de cotagem um problema de busca de coeficietes de poliômios (ou séries de potêcias) de forma vatajosa, pois estes mapeametos trasformam o

37 37 problema combiatório um problema algébrico de cálculo de coeficietes poliomiais. 3.1 Problema 1 O problema a seguir foi adaptado do livro (IEZZI, 1977), que traz a seguite questão: Um grupo tem 10 pessoas. Quatas comissões de o míimo 4 pessoas podem ser formadas, com as dispoíveis?. Segue etão osso problema: Um grupo tem 5 pessoas. Quatas comissões de o míimo 3 pessoas podem ser formadas, com as dispoíveis? Proposta de desevolvimeto: Iicialmete o professor pode propor aos aluos que costruam todas as comissões possíveis, por se tratar de um grupo relativamete pequeo de pessoas, a eumeração direta ão é um processo trabalhoso. Depois disso o professor pode pedir para os aluos resolverem o problema por meio de combiação simples. Logo a seguir trabalhamos outra forma de solucioar este problema, que é por meio das fuções geradoras, que tem o papel de mapear e itegrar outros coceitos de poliômios de uma ou mais variáveis aos problemas de combiatória. Solução 1- Solução descritiva: Sempre que houver tempo ecorajamos o professor a sugerir ao aluo que descreva todas as soluções omeado-se as pessoas de um modo sugerido pelos aluos. Por exemplo, o professor pode sugerir os omes A, B, C, D e E, etão, este caso podemos descrever explicitamete as comissões como { A, B, C}, { A, B, D}, { A, B, E}, { A, C, D}, { A, C, E}, { A, D, E}, { B, C, D } { B, C, E}, { B, D, E}, { C, D, E } comissões com 3 pessoas; { A, B, C, D}, { A, B, C, E}, { A, B, D, E}, { A, C, D, E}, { B, C, D, E }, comissões com 4 pessoas e { A, B, C, D, E } comissão com 5 pessoas. As dificuldades que os aluos vão ecotrar em ordear todas as comissões

38 38 de uma forma racioal como foi feito acima pode valorizar de modo istrutivo a solução por fução geradora que o professor vai apresetar. Fica aqui outra sugestão que pode facilitar a cotagem, iremos chamar de o pulo do gato. Nomear as pessoas por úmeros 1, 2, 3, 4, 5 e formar as comissões de 3, 4 e 5 pessoas com uma sequêcia 123 para desigar a comissão {1, 2, 3}. Assim {123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345} formam as 10 comissões com 3 pessoas e {1234, 1235, 1245, 1345, 2345} formam as comissões com 4 pessoas e {12345} a comissão com 5 pessoas formado um total de 16 comissões. Note que a ordeação dos úmeros as comissões pode ser uma prova de que ehuma comissão foi esquecida. Está é a idéia que iremos utilizar os poliômios para descrever todas as comissões. Solução 2: Solução tradicioal: O professor pode aida mostrar que uma comissão formada pelas pessoas A, B e C é igual a comissão formada pelas pessoas B, C e A, logo, podemos cocluir que em cada comissão a ordem das pessoas ão é importate. Como as comissões devem ter o míimo 3 pessoas temos que cosiderar comissões com 4 e com 5 pessoas também. Logo este problema pode ser resolvido com a soma das combiações simples das cico pessoas tomadas 3 a 3, 4 a 4 e 5 a 5. 5! 5! 5! !(5 3)! 4!(5 4)! 5!(5 5)! C C C Os aluos podem comparar, este caso, o modelo de solução descritiva com o resultado obtido esta solução. Solução 3: Descrevedo e cotado todas a soluções com poliômios. Se supormos que as pessoas são dadas pelas variáveis x1, x2, x3, x 4 e x 5 etão vamos obter a descrição de todas as comissões através de um poliômio com 5 variáveis da seguite maeira: As comissões compostas com apeas 1 pessoa também serão idetificadas por x1, x2, x3, x 4 e x 5. Note que se colocamos um sial de + etre as variáveis obtemos um poliômio de grau 1 com as 5 comissões de uma pessoa. p1 x1 x2 x3 x4 x5

39 39 Aalogamete o cojuto das comissões com duas pessoas x i e x j podem ser deotadas pelo cojuto { x1, x 2} ou pelo moômio do segudo grau xx 1 2. Deste modo o cojuto de todas as comissões com duas pessoas podem ser deotadas pelo poliômio p 2 de grau dois com 10 termos sedo que cada termo represeta uma comissão distita. p2 x1x 2 x1x 3 x1x 4 x1x5 x2x3 x2x4 x2x5 x3x4 x3x5 x4x5 O professor pode chamar a ateção de que a forma de eumeração escolhida segue uma ordem lógica dos ídices que aparecem, são úmeros a ordem crescete 12, 13, 14,..., 45. Deste modo podemos certificar que colocamos todas as comissões possíveis com duas pessoas. Aalogamete, as comissões com três pessoas podem ser dadas pelo poliômio p 3, as comissões com quatro pessoas pelo poliômio p 4 e as com cico pessoas pelo poliômio p 5, descritos a seguir: p3 x1x 2x3 x1x 2x4 x1x 2x5 x1x 3x4 x1x3 x5 x1x4 x5 x2x3x4 x2x3x5 x2x4x5 x3x4x5 p4 x1x 2x3x4 x1x 2x3x5 x1x 2x4x5 x1 x3x4 x5 x2x3 x4x5 p x x x x x Como o caso das comissões com duas pessoas, escolhemos colocar os termos dos poliômios de uma certa maeira de modo que os ídices apareçam uma ordem umérica crescete. Estes poliômios podem ser colocados também de uma forma mais sitética como um úico poliômio que é o produto de 5 biômios de grau 1 dados por: p (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 1 p p p p p O poliômio p descreve todas as comissões possíveis com cico elemetos, isto é, cada termo deste poliômio represeta uma comissão distita e a costate 1 pode ser iterpretada como associada à comissão vazia. Muito embora este poliômio descreva todas as comissões ele ão forece a resposta do problema proposto. Como cada poliômio pessoas etão se fizermos: p k descreve todas as combiações possíveis com k x x1 x2 x3 x4 x5

40 40 etão: 5 k k p( x) (1 x) C5 x 0k5, ou, p x x x x x x x (1 ) p x x x x x x A solução do problema é dada pela soma dos coeficietes dos termos de graus 3, 4 e 5 do poliômio px ( ) 5! 5! 5! !(5 3)! 4!(5 4)! 5!(5 5)! C C C e o poliômio px ( ) é chamado de fução geradora ordiária. Cometários: 1- Se o aluo tetou descrever todas as soluções sem aplicar uma sistemática de cotagem ele vai ter dificuldades em certificar-se de que ele descreveu todas as comissões possíveis. A solução tradicioal vai lhe forecer um úmero e ele poderá voltar ao problema e verificar se todas as combiações foram cotadas. A solução poliomial vai esiar ao estudate uma forma de sistematizar a cotagem das comissões a forma poliomial. 2- A substituição das variáveis x x1 x2 x3 x4 x5 que trasforma o poliômio descritor uma fução geradora pode ser usada para justificar que os coeficietes do Biômio de Newto ou Teorema Biomial são combiações pois, algus textos, (BARRETO, 2003), ão apresetam provas explicativas destes resultados. 3- Um dos mistérios do euciado do problema 1 está a expressão o míimo 3 pessoas que pode causar uma dificuldade de iterpretação para os aluos. O professor poderá propor como exercício o mesmo problema trocado a expressão o míimo 3 pessoas por o máximo 4 pessoas (podedo ou ão levar em cota a comissão vazia) ou aida, trocar pela expressão por o míimo 2 e o máximo 4 pessoas.

41 Problema 2 Existem 10 jogadores de futebol de salão, etre eles João, que por sial é o úico que joga como goleiro. Nestas codições, quatos times de 5 pessoas podem ser escalados? Proposta de desevolvimeto: Como o problema 1 pode-se primeiramete pedir aos estudates para costruir um quadro com todas as possibilidades para que estes teham uma resposta esperada. Eles irão otar que é uma costrução trabalhosa, etão, logo depois pode-se pedir para que eles resolvam o problema da forma apresetada a seguir, posteriormete faremos a solução por meio das fuções geradoras ordiárias que os darão assim todas as possíveis formações de grupos com pessoas etre as ove dispoíveis. Solução 1: Solução tradicioal: Observado que João, por ser o úico goleiro, já tem cofirmação garatida a escalação, devemos etão escolher mais quatro jogadores etre os ove dispoíveis, como o exemplo aterior devemos usar uma combiação simples para ecotrar o resultado, pois o professor pode mostrar aos aluos que este caso, a ordem das pessoas é irrelevate, etão o correto é: C 4 9! ! 9 4! O professor pode chamar a ateção dos aluos para mostrar que costruir uma tabela de possibilidades este caso, seria muito trabalhoso. 126 Solução 2: Aplicado os poliômios: Solucioar este problema utilizado fuções geradoras é dar um tiro de cahão para matar uma formiguiha.(teixeira, 2004, p. 22). Neste exercício ão utilizaremos os poliômios da fução geradora para mapear a situação, porque como já dissemos será um processo trabalhoso, etretato usaremos a fução geradora para articular outros coteúdos como os coeficietes biomiais, poliômios e combiação. Devemos lembrar que um jogador pode ser ou ão selecioado, daí para represetar uma pessoa usaremos o poliômio p (1 x ), claro que se utilizarmos 1 x, 1 x,..., 1 x para omearmos os jogadores, quado fizermos o produto deles descreveremos todas as