ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS

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1 Mestrado Profissioalizate em Esio de Física e de Matemática ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS Alua: Lucilee Oeig Saraiva Orietadora: Profª. Drª. Vailde Bisogi

2 INTRODUÇÃO OBJETIVOS ABORDAGEM METODOLÓGICA UNIDADES DE ENSINO REFERÊNCIAS INTRODUÇÃO O presete trabalho teve como objetivo aalisar as possibilidades que a metodologia de ivestigação matemática pode proporcioar ao esio e apredizagem dos coceitos e propriedades de sucessões uméricas. Os resultados obtidos permitiram costatar as dificuldades do grupo de formular hipóteses, argumetar e formalizar ideias matemáticas. Além disso, foi possível costatar que atividades ivestigativas desevolvidas a etapa de formação iicial podem icetivar seu uso a futura prática docete e permitir uma mudaça de cocepção sobre o esio de matemática e da postura do professor o trabalho de sala de aula.

3 INTRODUÇÃO OBJETIVOS ABORDAGEM METODOLÓGICA UNIDADES DE ENSINO REFERÊNCIAS OBJETIVO GERAL Aalisar as possibilidades que a metodologia da ivestigação matemática proporcioa a descoberta e apredizagem dos coceitos e propriedades de sucessões uméricas em uma turma do quarto ao de um curso de Liceciatura em Matemática.

4 INTRODUÇÃO OBJETIVOS ABORDAGEM METODOLÓGICA UNIDADES DE ENSINO REFERÊNCIAS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Desevolver um cojuto de atividades visado à costrução dos coceitos e propriedades de sucessões, mediados pela ivestigação matemática. Certificar, por meio das atividades, a apredizagem adquirida pelos aluos, quato à metodologia de ivestigação matemática. Verificar como os aluos evolvem-se com atividades que privilegiam a costrução de coceitos de sequêcias uméricas por meio da metodologia de ivestigação matemática. Verificar as dificuldades ecotradas pelos aluos acerca das atividades e de que maeira lidam com essas dificuldades.

5 INTRODUÇÃO OBJETIVOS ABORDAGEM METODOLÓGICA UNIDADES DE ENSINO REFERÊNCIAS ABORDAGEM METODOLÓGICA Esta pesquisa se caracteriza como qualitativa. Os istrumetos utilizados para a coleta de dados foram: Observação participate Diário de campo do pesquisador Diário de campo dos aluos Questioário

6 INTRODUÇÃO OBJETIVOS ABORDAGEM METODOLÓGICA UNIDADES DE ENSINO REFERÊNCIAS UNIDADES DE ENSINO Uidade de esio I Recohecedo sequêcias e descobrido coceitos Uidade de esio II Costruido o coceito de limites de sequêcia Uidade de esio III Sequêcias covergetes e divergetes

7 I UNIDADE DE ENSINO RECONHECENDO SEQUÊNCIAS E DESCOBRINDO CONCEITOS Objetivos: o Compreeder coceito de sequêcia; o Idetificar regularidades e compreeder a oção de termo geral de uma sequêcia umérica; o Desevolver a capacidade de trabalhar com vários tipos de represetações; o Traduzir, por escrito e oralmete, os raciocíios desevolvidos;

8 ATIVIDADES: As situações a seguir podem ser costruídas utilizado-se palitos de fósforo. 1) Defia matematicamete essas costruções e elabore um relatório, com o seu grupo de trabalho, o qual costem os passos de cada uma das ivestigações. Não esqueça, é a quatidade de palitos que importa!!! a) b) c) d) Uma sequêcia pode ter um úmero fiito de termos? Argumete. Solução

9 2) Tete ecotrar uma expressão para represetar: a) Os úmeros aturais; b) Os úmeros pares; c) Os úmeros ímpares; d) Os múltiplos de três; e) ,,,,, f) ( 2,0, 2,0, 2,... ) g) ,,,,,

10 3) Represete graficamete as sucessões (a), (e), (f) e (g). Quais cosiderações podem ser feitas com relação a eles? Solução 4) Que cojutos de úmeros estão represetados o eixo do x e do y? Fazedo uma aalogia à defiição de fução, como vocês defiem uma sequêcia? Solução

11 5) Cosidere as sequêcias: a) b) c) d) e) ( 5,10,15, 20, 25,... ) ( 1,0,1,0,1,... ) ( 4, 4, 4, 4, 4,... ) ,,,,, ( 1,1,2,2,3,3,... ) - Comparado os termos de cada uma das sequêcias,ateriores, isto é, 1º termo com o 2º termo; o 2º termo com o 3º termo e assim por diate, o que se pode cocluir em relação a cada sequêcia? Solução

12 6)A sequêcia: a = é crescete ou decrescete? Prove. Solução

13 Atividade complemetar 1)Verifique detre os seguites exemplos, quais represetem sequêcias. Justifique sua resposta. a) b) c) f: x y x y a f ( ) = d) e) ( 1,0, 1,0, 1,0, 1,... ) ( 1,3,5, 7,9) Solução

14 2) De quatas maeiras podemos dividir um polígoo de lados em triâgulos, ligado os vértices com segmetos de retas sem que estes se cruzem?

15 II UNIDADE DE ENSINO CONSTRUINDO O CONCEITO DE LIMITES DE SEQUÊNCIA Objetivos: Determiar se uma sequêcia é limitada; Idetificar o limite iferior e o limite superior das sequêcias; Costruir o coceito de limite de uma sequêcia; Compreeder a covergêcia e divergêcia de uma sequêcia; Traduzir, por escrito e oralmete, os raciocíios desevolvidos

16 ATIVIDADES 1) Cosiderado as sequêcias cujos termos gerais são: a = (15 ) 2 b = 2 c = 6 - Escrevam em seu cadero os dez primeiros termos, o 20º, 40º, 100º termo. Costruam os gráficos, observem estas sequêcias e escrevam suas cosiderações sobre cada uma delas. - Etre quais valores do eixo do y parecem estar os termos de cada sequêcia? Existe um valor limite iferior ou superior?

17 2) Fazedo associação com o limite de uma fução em um poto como vocês represetariam este valor limite de cada sequêcia? O que se pode cocluir sobre a covergêcia ou divergêcia de cada uma delas? Justifique. Dê exemplos de sequêcias que são covergetes e outras que são divergetes. 3) Leia com ateção o texto a seguir e após, com base as iformações tete respoder a questão apresetado uma justificativa. ( ) Se uma sequêcia a tem uma limite L quado etão podemos represetar graficamete, sobre uma reta, esta situaçãoorgaizado os termos ( a1, a2, a3, a4,..., an, a N ) sobre a mesma da seguite forma: Tome ε > 0, pequeo, etão existe N Ν > N tal que para os termos, a partir den ficam todos o itervalo ( L ε, L + ε ). Fazedo esta represetação temos,

18 ou

19

20 Agora cosidere a sequêcia cujo termo geral é: a =, 1 Qual é o limite da sequêcia? Determie N e faça a represetação geométrica sobre uma reta ou o plao cartesiao. 1 4) Cosidere a sequêcia cujo termo geral é a ( 1) =. Escreva os primeiros termos da sequêcia, represete graficamete os termos e aalise se a sequêcia coverge ou diverge. Argumete.

21 lima = 5) Escreva o que você etede por e escreva em liguagem simbólica esta represetação.

22 Atividade complemetar 1) Cosidere as seguites sequêcias: ( ) ( a ) = 1, 2,3,1, 2,3,1,2,3, ( b ) = 1,,,,,, ( ) ( c ) = 0, 1,1, 2, 2, 3,3, ( d ) = 2,,,,, ( ) ( e ) = 3, 6,9,12,15,18, ( g ) = 20,10,5,,,, ( h ) = 1,,,,,,, ( ) ( i ) = 1,2,3,2,5,2,7,2, ( j ) =,0,,0,,0,, ( f ) = 1,,,,,,

23 Complete o quadro abaixo, marcado com X as respostas corretas. Característica Crescete Decrescete Não mootoa Limitada Ilimitada Covergete Não covergete ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) ( g ) ( h ) ( i ) ( j )

24 III UNIDADE DE ENSINO PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA Objetivos: o Estudar a propriedade: Toda sequêcia moótoa e limitada é covergete.

25 ATIVIDADES 1) Ivestigue se a sequêcia cujo termo geral é a = é 5 moótoa e verifique se é limitada. A sequêcia é covergete? Se sim, qual é o seu limite? 1 2) Repita o mesmo para a sequêcia cujo termo geral é b = ) Escreva um exemplo de uma sequêcia de termos positivos que ão é moótoa mas é covergete.

26 4) Leia com ateção o texto que segue e tete, com base o que já estudou ateriormete, respoder as questões. ( ) - Cosidere a uma sequêcia crescete e limitada. Sedo crescete e limitada o cojuto S= { a 1} tem supremo L? Para respoder esta perguta cosulte o livro idicado pelo professor resposável pela disciplia, o coceito de supremo (e também de ífimo) de um cojuto limitado. - De acordo com a defiição de supremo tem-se que se L= sup s dado ε > 0, o elemeto L ε ão é uma cota superior para S e portato existe algum N tal que a N > L ε para algum iteiro N?

27 ( ) a -Sedo crescete é possível afirmar que a a para cada N N. Se isto é verdade etão a an > L ε e assim pode-se afirmar que 0 < L a < ε? - Além disso, pode-se afirmar que L a < ε sempre que > N? - Se isto é verdadeiro o que se pode cocluir sobre a covergêcia da sequêcia e de seu limite? ( ) a ( ) a - Se cosiderarmos uma sequêcia decrescete e limitada pode-se chegar a mesma coclusão? Argumete

28 5) Toda sequêcia que tem limite é limitada? E a recíproca é verdadeira? Justifique. Atividade complemetar 1) Coloque verdadeiro(v) ou falso (F) ( ) Toda sequêcia que coverge é limitada ( ) toda sequêcia limitada é covergete. ( ) Toda sequêcia covergete é moótoa. ( ) Toda sequêcia moótoa é covergete. ( ) Toda sequêcia moótoa e limitada coverge. ( ) Toda sequêcia costate coverge.

29 REFERÊNCIAS ÁVILA, G. S. de S. Aálise matemática para liceciatura. 3 ed. São Paulo: Blucher, BARRETO, B. F.; BARRETO, C. X. Matemática aula por aula. Volume úico, São Paulo: FTD, BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; BURIOL, C.; Atividades de ivestigação como alterativa metodológica para o esio de matemática. I: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Org.). Educação Matemática o Esio Superior: Pesquisa e debates. Recife: SBEM, 2009, p BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; CURY, H. N..Cohecimetos de professores da Educação Básica sobre o coceito de fução. I: Ecotro Nacioal de Educação Matemática, 2010, Salvador.: SBEM, BUENO, S. Miidicioário da lígua portuguesa. São Paulo: FTD, BRASIL. Miistério da Educação. Secretária de Educação Média e Tecológica. Parâmetros curriculares acioais para o esio médio PCN+ Orietações Educacioais Complemetares aos Parâmetros Curriculares Nacioais - Ciêcias Humaas e suas Tecologias. Brasília/D.F, 2002a.. Miistério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fudametal. Parâmetros Curriculares Nacioais para o Esio Fudametal, Brasília/D.F, 1998a.. Miistério da Educação e do Desporto. Diretrizes Curriculares Nacioais para o Esio Fudametal. Brasília/D.F, 1998b.. Miistério da Educação e do Desporto. Diretrizes Curriculares Nacioais para o Esio médio. Brasília/D.F, 1998c.. Miistério da Educação. Secretária de Educação Média e Tecológica. Parâmetros Curriculares Nacioais para o Esio Médio. Brasília/D.F, 1998d.

30 . Miistério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacioais. Diretrizes Curriculares Nacioais para a Formação de Professores da Educação Básica. Brasília/D.F, 2002b. BRAUMANN, C. Divagações sobre Ivestigação Matemática e o seu papel a apredizagem da Matemática. ENCONTRO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11, 2002, Coimbra. Aais Dispoível em: < Acesso em 20 mai CASTRO, J. F. Um estudo sobre a própria prática em um cotexto de aulas de ivestigativas de Matemática Dissertação (Mestrado Educação Matemática) Faculdade de Educação, Uiversidade Estadual de Campias, São Paulo, CRISTOVÃO, E. M. Aulas ivestigativas: Só mais um modismo? I: FIORENTINI, D.; CRISTOVÃO, E. M. (Org). Histórias e ivestigações de/em aulas de matemática, Campias, SP: Alíea, p DANTE, L. R. Matemática. 1 ed. São Paulo: Ática, ERNEST, P. Ivestigações, Resolução de Problemas e Pedagogia. I: ABRANTES, P.; LEAL, L.C; PONTE, J.P (Eds). Ivestigar para apreder Matemática, Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996, p FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Ivestigação em Educação Matemática: Percursos teóricos e metodológicos. Campias, SP: Autores Associados, FONSECA, H., BRUNHEIRA, L., PONTE, J. P. As actividades de ivestigação, o professor e a aula de Matemática. Actas do ProfMat 99. Lisboa: APM, Dispoivel em: < Acesso em 16 de maio de FRIEDMANN VALLADARES, C., LOZANO, A. Modelagem e modelos discretos: uma ecessidade do esio atual. I: BARBOSA, C. B., CALDEIRA, A. D., ARAÚJO, J. L. (Orgs). Modelagem a educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacioais. Recife: SBEM, 2007.

31 FROTA, M. C. R. Ivestigações a sala de aula de cálculo. REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 29º, 2006, Caxambu- MG. Aais. Dispoível em: < Acesso em: 22 ov FROTA, M. C. R. Práticas ivestigativas e experiêcia Matemática.ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DE OURO PRETO, 3, 2005, Ouro Preto. Aais. Dispoível em:< 0Acrobat.pdf>. Acesso em: 27 abr GIARDINETTO, J. R. B. Matemática escolar e matemática da vida cotidiaa. São Paulo: Autores Associados, GOMES, A, A, M. Aulas ivestigativas a educação de joves e adultos (EJA): o movimeto de mobilizar-se e apropriar-se de saber (ES) matemático (s) e profissioal (is) Dissertação (Mestrado em Educação) Uiversidade São Fracisco, Itatiba, 2007 GOMES, A. A. M.; NACARATO, A. M. Aulas Ivestigativas a Educação de Joves e Adultos (EJA): Possibilidades e Limites dessa Metodologia o Esio da Matemática. ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10, 2006, Mias gerais. Dispoível em: < Acesso em 27 set LEITHOLD, L. O cálculo com Geometria Aalítica. 3 ed. São Paulo: Harbra, v. 2 LIMA, E. L. (editor) Exame de Textos: aálise de livros de Matemática para o Esio Médio. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LOPES, J. de A. Livro didático de matemática: cocepção, seleção e possibilidades frete a descritores de aálise e tedêcia em educação matemática Tese (Doutorado em Educação Matemática) Faculdade de Educação, Uiversidade Estadual de Campias, São Paulo, LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordages Qualitativas. São Paulo: EPU, MICHEL, M. H. Metodologia e pesquisa cietífica em ciêcias sociais. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2009.

32 NUNES, M. N. F. Sequêcias uméricas: um estudo da covergêcia através de atividades Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Potifícia Uiversidade Católica de São Paulo, São Paulo, OLIVEIRA, H.; SEGURADO, M. I.; PONTE, J. P. Explorar, ivestigar e discutir a aula de matemática. I A. Roque & M. J. Lagarto (Eds.), Actas do ProfMat. Lisboa: APM, p PAIVA, M. R. Matemática. v. 2, São Paulo: Modera, PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departameto de Esio de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Paraá. 3 ed., Curitiba: SEED/DEPG, 2003.Versão eletrôica. PEREIRA, M. C. N. As ivestigações matemáticas o esio-apredizagem das sucessões: Uma experiêcia com aluos do 11º ao de escolaridade Dissertação (Mestrado em Esio da Matemática) - Uiversidade da Beira Iterior, Covilhã, PINTO, M. M. F. Re-visitado uma teoria: O desevolvimeto matemático de estudates em um primeiro curso de aalise real. I: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Org.). Educação Matemática o Esio Superior. Recife: Gráfica A Úica Ltda., 2009, v. 1, p PONTE, J. P; Explorar e ivestigar em matemática: Uma actividade o esio e a apredizagem. UNIÓN: Revista Iberoamericaa de Educació Matemática,. 21, p , marzo, PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Ivestigações Matemáticas a sala de aula. Belo Horizote: Autêtica, PONTE, J. P. Ivestigar, esiar e apreder. Actas do profmat. Lisboa: APM, 2003a, p PONTE, J. P. Ivestigação sobre ivestigações matemáticas em Portugal. Ivestigar em Educação, v.2, 2003b, p

33 PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H.; BRUNHEIRA, L.; VARANDAS, J. M.; FERREIRA, C. O trabalho do professor uma aula de ivestigação matemática. Quadrate, v.7. 2, p , SANTOS, M. B. dos. Saberes de uma prática iovadora: Ivestigação com egressos de um curso de Liceciatura Plea em Matemática Dissertação (Mestrado em Educação em Ciêcias e Matemática) Potifícia Uiversidade Católica do Rio Grade do Sul, Porto Alegre, SERRAZINA, L. A formação para o esio de matemática: perspectivas futuras. Educação Matemática em Revista, São Paulo, v. 10,. 14, p , ago STEWART, J. Cálculo. 4 ed. São Paulo: Pioeira Thompso Learig, V.2 TARDIF, M. Saberes docetes e formação profissioal, 5 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2002.

34 I - Solução atividade 1 a) A sequêcia formada é: (3, 5, 7, 9,...) Seu termo geral é idicado por a = 2 + 1, A sequêcia é crescete, pois 2+ 1< 2( + 1) + 1< Logo a< a + 1, para todo 1. Além disso, trata-se de uma progressão aritmética de razão 2. b) A sequêcia formada é: (4, 7, 10, 13,...) Seu termo geral é idicado por a = 3 + 1, A sequêcia é crescete, pois 3+ 1< 3( + 1) + 1< Logo a< a + 1, para todo 1. Além disso, trata-se de uma progressão aritmética de razão 3.

35 c) A sequêcia formada é: (4, 7, 10, 13,...) Seu termo geral é idicado por a = 10 A sequêcia é costate, ou ão-crescete, ou ão-decrescete. Além disso, trata-se de uma progressão aritmética de razão 0. d) Não, pois seu domíio é o cojuto dos úmeros aturais.

36 I - Solução atividade 2 a) a =, b) a = 2, c) a = 2 1, d) e) a a = 3, 1 =, f) a 1 1( 1) = +, ou g) a + 1 =, a 2, se par = 0, se ímpar

37 I - Solução atividade 3 a) e) f) g)

38 I - Solução atividade 4 Defiição de Sequêcia Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução a : com domíio o cojuto dos úmeros aturais e cotradomíio o cojuto dos úmeros reais tal que cadapertecete ao se associa a um úmero real a chamado -ésimo termos da sequêcia, que pode ser expressa por a, ( ) ou simplesmete. a

39 I - Solução atividade 5 Os termos gerais são a) b) c) d) e) a a a = a = = 1+ ( 1) =, 2 3+ ( 1,1,2,2,3,3,... ) Comparado os termos de cada uma das sequêcias temos que: a) Crescete b) Alterada c) Costate d) Decrescete e) Não-decrescete

40 Defiições Sequêcia crescete (estritamete crescete):uma sequêcia dita crescete se a, < a+ 1 ( ) Sequêcia decrescete (estritamete decrescete): uma sequêcia ( a é dita decrescete se, ) a > a+ 1 a é Sequêcia ão-crescete (decrescete): uma sequêcia dita ão-crescete se a, a+ 1 Sequêcia ão-decrescete (crescete): uma sequêcia dita ão-decrescete se a a, + 1 ( ) a ( ) a é é Sequêcia moótoa: uma sequêcia ( a ) é dita moótoa se for crescete, decrescete, ão-crescete ou ão-decrescete

41 I - Solução atividade 6 Devemos mostrar que + 5< + 6 segue que, Portato a > a, > a > a + 1 para todo 1 isto é, como: logo: 3 3 >

42 I Solução atividade complemetar 1 As alterativas (a), (c) e (d) represetam sequêcias, pois são fuções cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais. A alterativa (b) ão represeta uma sequêcia, pois temos um elemeto do domíio com duas images diferetes. Já a questão (e) ão represeta uma sequêcia, pois seu domíio é um cojuto limitado.

43 I Solução atividade complemetar 2 O úmero de maeiras diferetes que podemos dividir um polígoo em triâgulos, sem que os segmetos de reta se cruzem, forma a seguite sequêcia: ( 1,1, 2,5,14, 42,132, 429,1430,... ) Esta sequêcia é cohecida como Sequêcia de Catalam. Seus termos podem ser ecotrados utilizado-se o seguite termo geral: 2 2 C = com 1 1

44 II - Solução atividade 1 a) (7, 6.5, 6,5.5,5, 4.5, 4,3.5,3, 2.5, 2,...) a = 2.5; a = 12.5; a = b) c) (0.5,1,1.5, 2, 2.5,3,3.5, 4, 4.5,5,...) a = 10; a = 20; a = (6,3, 2,1.5,1.2,1, 0.86, 0.75, 0.66, 0.6,...) a = 0.3; a = 0.15; a = Temos a seguir represetação gráfica de cada uma das sequêcias.

45 a) b) c)

46 Os itervalos etre os quais parecem estar os termos das sequêcias, ou seja suas images são: a) b) c) ],7] [ 0.5, [ [ 0,6] A sequêcia apresetada a letra (a) tem o valor 7 como limite superior. Já a sequêcia apresetada a letra (b) possui limite iferior igual a 0,5. Por fim a sequêcia apresetada a letra (c) tem o valor 0 como limite iferior e o valor 6 como limite superior.

47 II - Solução atividade 2 ( ) a lim a = L L a Uma sequêcia tem limite L e escrevemos ou a quado. Se pudermos tomar os termos tão próximos de L quato quisermos ao tomar suficietemete grade. Deste modo temos que: lim (15 ) 2 = lim 2 = + 6 lim = 0 ; ; ; Deste modo temos que a e são divergetes, pois a medida b em que os valores de crescem os termos da sequêcia ão se aproximam de valor algum. Já a sequêcia c é covergete, pois os termos da sequêcia, a medida em que cresce, se aproximam de 0.

48 II - Solução atividade 3. 1 Temos que lim = 0, assim ε > 0, devemos ecotrar N tal que 1 0 < ε, N. Ou seja, devemos mostrar que existe 1 1 Como N segue que. N 1 seja, N=. ε N 1 ε tal que 1 < ε, N.(1)* 1 ε= N Comparado com (1)*, segue que, desde que, ou

49 Represetação gráfica a reta e o plao..

50 II - Solução atividade 4 Primeiramete observe que a sequêcia é limitada, pois seus termos ficam etre -1 e +1. a = ( 1,1, 1,1, 1,1, 1,1,...) Temos que o limite iferior da sequêcia é -1 e o limite superior é +1. como estes limite são diferetes a sequêcia é divergete. Graficamete temos:

51 II - Solução atividade 1 Sigifica que para cada úmero positivo M existe um iteiro N tal que se > N etão a > M. Isso sigifica que o limite da sequêcia ão existe, isto é e a sequêcia é divergete. lima =

52 II- Solução atividade complemetar 1. Característica Crescete X X X Decrescete ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) ( g ) ( h ) ( i ) ( j ) Não mootoa X X X X X X Limitada X X X X X X X Ilimitada X X X Covergete X X X X X X Não covergete X X X X X

53 III - Solução atividade 1 Ao calcularmos os termos da sequêcia temos: Devemos mostrar que a > a, isto é,., Como 5 5, segue que >. Portato a > a + 1 para todo 1 < a = 5 Seja a sequêcia tem se que = 0, devemos ecotrar N tal que. Ou seja, devemos mostrar que existe < ε, N lim ,,,, > tal que 1 < ε, N(1)* 5

54 1 1 Como N segue que Comparado com (1)* segue que 5 N 1 ε desde que 1 ε=, ou seja, 1 N=. 5 N ε Logo cocluímos que a sequêcia é covergete e coverge para o seu limite.

55 III - Solução atividade 2 Ao calcularmos os termos da sequêcia temos: Devemos mostrar que b b, isto é,. Como < + 1, segue que 1 1. Somado 1 em ambos os lados temos + > +. Portato b > b + 1 para todo 1. Seja a sequêcia tem se que, devemos ecotrar tal que ( + 1) 1 b = < ε, N 1 ( 2,1.5,1.3,1.25,1.2,... ) >, > ( + 1) > = N lim 1 1. Ou seja, devemos mostrar que existe 1 1 N tal que < ε, N(1)* Como N segue que.

56 Comparado com (1)* segue que ε desde que ε=, ou seja, 1 N= ε. Logo cocluímos que a sequêcia é covergete e coverge para o seu limite. 1 1 N

57 III - Solução atividade 3 a) ,0,,0,,0,,0, b) ,1 +,1 +,1 +,

58 III - Solução atividade 4 - Sim. Por que a sequêcia é limitada. Assim ela tem um limite iferior e um limite superior.

59 - Sim. De fato, sedo L o supremo e como L ε é meor que L, etão para algum N tem-se que ( ) é maior que L ε. a

60 - Sim. De fato, da desigualdade acima tem-se o resultado

61 - Sim. Porque L ε é positiva.

62 - Sim. Coclui-se que se a sequêcia for limitada e moótoa esta sempre será covergete e coverge para o SUPREMO.

63 ( ) a Cosidere uma sequêcia decrescete e limitada. Sedo ( a ) decrescete e limitada o cojuto S= { a / 1} tem ífimo L. De acordo com a defiição de ífimo tem se que L= if S, dado ε > 0, o elemeto L+ ε ão é uma cota iferior para S, portato existe N tal que a. N< L+ ε Sedo ( a ) decrescete temos que a a para cada N N. Assim a an< L+ ε e etão 0 < L a < ε. Logo L a < ε sempre que > N. Portato coclui-se que se a sequêcia for decrescete e limitada esta será covergete e coverge para o ÍNFIMO.

64 III - Solução atividade 5 - Toda sequêcia que tem limite é limitada, o etato a recíproca: Toda sequêcia limitada tem limite ou seja, toda sequêcia limitada é covergete, ão é verdadeira. Como exemplo, temos a sequêcia ( 1,0,1,0,1,0,... ) que é limitada superiormete por 1 e iferiormete por 0. Porém, como estes limites são diferetes a sequêcia é divergete, ou seja, ão possui limite.

65 III- Solução atividade complemetar 1. ( V ) Toda sequêcia que coverge é limitada ( F ) toda sequêcia limitada é covergete. ( F ) Toda sequêcia covergete é moótoa. ( F ) Toda sequêcia moótoa é covergete. ( V ) Toda sequêcia moótoa e limitada coverge. ( V ) Toda sequêcia costate coverge.