CE ANÁLISE MULTIVARIADA I

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1 CE-7 - ANÁLISE MULTIVARIADA I NOTAS DE AULA Estas otas de aula seguem, de muito erto, os livros refereciados a BIBLIOGRAFIA e que a verdade corresodem aos livros tetos deste Curso. Sugere-se a aquisição da bibliografia. De ehum modo estas otas substituem a BIBLIOGRAFIA e sua úica fialidade é facilitar o trabalho do aluo em sala de aula, ois ão terá ecessidade de aotar todo o coteúdo o cadero e, or outro lado, fica facilitado o trabalho do rofessor. Prof. Aselmo Chaves Neto BIBLIOGRAFIA Johso, R. A. & Wicher, D.W. Alied Multivariate Statistical Aalysis; 4ed.; Pretice Hall Ic, Uer Sadle River, N.J.; 998. Mardia, K. V. Ket, J. T. & Bibby, J.M. Multivariate Aalysis; Academic Press, New York; 979. Morriso, D.F. Multivariate Statistical Methods - McGraw Hill, New York Hair, J. F. Jr. et alii Multivariate Data Aalysis; 5ed., Pretice Hall Ic, Uer Sadle River, N.J. ; 998.

2 ÍNDICE. INTRODUÇÃO 3. - Coceitos Básicos 3. - Estatísticas Descritivas Distâcia 4. ÁLGEBRA MATRICIAL E VETORES ALEATÓRIOS 6. - Álgebra Matricial 6. - Matriz e Vetor Aleatório MATRIZ DE DADOS, VETOR DE MÉDIAS E MATRIZ DE COVARIÂNCIA 3.- Matriz de Dados 3.- Vetor de Médias Matriz de Covariâcia Amostral e Matriz de Correlação Amostral 4 4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA Itrodução A fução desidade de robabilidade da ormal -variada Desidade de robabilidade costate e estatísticas suficietes Desidade de robabilidade costate (cotours, curva de ível) Estatísticas suficietes Distribuição amostral de X e S Testes sobre os arâmetros de locação e de disersão de distribuições ormais multivariadas e regiões de cofiaça 9 5. COMPARAÇÃO ENTRE VETORES MÉDIOS Comaração etre dois vetores médios: teste T de Hotellig Comaração etre vários vetores médios: Maova 5 BIBLIOGRAFIA 7

3 ANÁLISE MULTIVARIADA. INTRODUÇÃO. - Coceitos Básicos ANÁLISE MULTIVARIADA é um cojuto de técicas estatísticas que tratam dos dados corresodetes a medidas de muitas variáveis simultaeamete. Basicamete, a Aálise Multivariada cosiste o estudo dos assutos estatísticos relacioados com: Iferêcias sobre médias multivariadas; Aálise da estrutura de covariâcia de uma matriz de dados; Técicas de classificação e agruameto. No estudo de variáveis, toma-se observações de cada variável. Assim, as medidas registradas são ij com i =,,..., e j =,,..., que odem ser agruadas a matriz de dados X, com lihas e coluas X = A matriz de dados X cotém observações do vetor aleatório -dimesioal X = [X,X,...,X ]. EXEMPLO : Uma amostra aleatória de quatro otas de vedas de livros de uma livraria foi obtida a fim de ivestigar-se a atureza dos livros vedidos. Cada ota fiscal esecifica, etre outras coisas, o úmero de livros vedidos e o valor de cada veda. Seja a ª variável o total vedido em reais e a ª variável o úmero de livros vedidos. Assim, seja o vetor aleatório X = [X X ] cujas comoetes são as v.a s X (valor da veda) e X (úmero de livros). A matriz de dados é 4 X =

4 . - Estatísticas Descritivas Muito da iformação cotida a matriz de dados ode ser dada elo cálculo de úmeros sumários cohecidos como estatísticas descritivas. vetor médio amostral : = [... ] com j = s s... s s s... s matriz de covariâcia amostral: S = s s... s i= ij j =,,..., ode s jj = s j = s jk = i= ( ij i= ( ij j )( i ik ) k ) é a variâcia amostral da v.a. X j j, k =,,..., é a covariâcia amostral etre X j e X k matriz de correlação amostral : R = r... r r... r r r... ode r jk = s s jj jk s kk EXERCÍCIOS ) Para os dados do eemlo, calcule: a) o vetor médio amostral; b) a matriz de covariâcia amostral S; c) a matriz de correlação amostral R. ) Você sabia que a correlação etre as v.a s X e Y é igual à covariâcia etre as v.a s X e Y adroizadas? Prove este fato..3 - Distâcia Várias técicas estatísticas são baseadas o coceito simles de distâcia. A distâcia Euclidiaa do oto P(,,..., ) até a origem O(0,0,..., 0) é a distâcia a liha reta d(po) dada de acordo com o Teorema de Pitágoras: d(po) = E, a distâcia de P ao oto Q(y,y,...,y ) é dada or 4

5 d(pq) = ( y ) ( y ) Cotudo, a distâcia Euclidiaa ão é satisfatória em várias roostas estatísticas orque cada coordeada cotribui igualmete ara o cálculo da distâcia. Quado as coordeadas são medidas de v.a s de diferetes magitudes (escalas), variabilidades fortemete difereciadas, é referível oderar as coordeadas de acordo com as variâcias. Isto roduz a chamada distâcia estatística. Na figura a seguir observamos que a variâcia da v.a o setido horizotal é maior que a variâcia da v.a o setido vertical V(X ) > V(X ) X X Na distâcia Euclidiaa adroiza-se as v.a s dividido-as elo desvio-adrão: * * = /s e = /s E a distâcia Euclidiaa etre P*(X,X ) e a origem O(0,0) é: d(p * O) = + que é cohecida como DISTÂNCIA ESTATÍSTICA. s s É fácil erceber que a difereça etre a distâcia Euclidiaa e a distâcia Estatística está os esos (iversos das variâcias) e que quado as variâcias são iguais usa-se a distâcia Euclidiaa. EXERCÍCIOS ) Um cojuto de ares de medidas (, ) de duas variáveis roduziu médias amostrais iguais a zero e variâcias s = 4 e s =. Suoha que X ão seja relacioada com X. a) Calcule a distâcia estatística do oto P(, ) à origem. b) Costrua o gráfico do lugar geométrico dos otos cuja distâcia estatística à origem é. c) Escreva também a equação deste lugar geométrico ara uma distâcia c e aida o gráfico esta situação geérica. ) Escreva a eressão da distâcia estatística do oto P de coordeadas s ao oto Q de coordeadas y s, ambos situados o R. Sabe-se que cada coordeada distita tem variâcia s i i =,,...,. 5

6 . ÁLGEBRA MATRICIAL E VETORES ALEATÓRIOS. - Álgebra Matricial Um arrajo de úmeros reais,,..., é chamado vetor e é escrito como = ou = [... ] (vetor trasosto).... Um vetor ode ter o seu módulo dimiuído ou aumetado quado é multilicado or uma costate c, c = [c c... c ] e a adição de vetores é feita somado-se os elemetos comoetes dos vetores (ordeadamete), z = + y = y + y y + y + = y + y O roduto itero dos vetores e y de dimesão é defiido or.y = y. = y = i= y i i (escalar) Comrimeto ou orma de um vetor -dimesioal é defiido como a raiz quadrada do roduto itero do vetor or ele mesmo, ou seja, = '. = Norma Quadrática de um vetor -dimesioal é o quadrado da orma do vetor, = i= i EXERCÍCIOS ) Sejam os vetores = [ ] e y = [y y ] R. a) Faça um deseho dos vetores suodo que i e y i i =, R + ; b) Determie o co-seo do âgulo itero dos vetores em fução das coordeadas; c) Escreva a geeralização do co-seo do âgulo etre dois vetores. ) Dados os vetores = [ 3 ] e y = [- -], ede-se: a) o vetor 3; b) o vetor soma + y; c) o comrimeto ou orma de cada um dos vetores; d) a orma quadrática de cada um dos vetores; 6

7 e) o âgulo etre os dois vetores; Vetores Liearmete Deedetes: Os vetores,,..., k de mesma dimesão são liearmete deedetes se eistem costates c, c,...,c k, em todas ulas, tal que c + c c k k = 0 e, ortato um vetor é C.L. dos outros. Em caso cotrário os vetores são chamados de liearmete ideedetes. Eercício : Verifique se = [4,, ], = [, 0, ] e 3 = [5,, ] são liearmete deedetes. Eercício : Verifique se = [,, 3] e = [4, 4, ] são liearmete ideedetes. Matriz: uma matriz A de ordem é um arrajo retagular de úmeros reais formado or lihas e coluas. Quado = a matriz é dita quadrada, a a... a a a... a A = a a... a Matriz Trasosta: a matriz trasosta, A, de A é formada quado se troca as lihas elas coluas, obtedo-se A de ordem. Matriz Simétrica: quado a matriz A é formada de modo que A = A, etão ela é chamada de simétrica. Matriz Iversa: a matriz quadrada A de ordem admite iversa reresetada or A - de ordem se eiste uma matriz A - tal que AA - = I, ode I é a matriz idetidade de ordem e com s a diagoal ricial e zeros fora dela. Assim, AA - = A - A = I A codição técica ara que a iversa eista é que as coluas da matriz sejam liearmete ideedetes. EXERCÍCIOS ) Verifique se os vetores = [ 3] e y = [4 4 ] são ideedetes. 3 ) Mostre que a matriz A = 4 admite iversa. Matriz Ortogoal: uma matriz quadrada A é chamada de ortogoal quado suas lihas cosideradas como vetores são mutuamete erediculares e têm comrimetos uitários, isto é: A A = I e coseqüetemete A = A -. 7

8 Autovalores e autovetores: uma matriz quadrada A é dita ter um autovalor λ (eigevalue) com corresodete autovetor e 0 (eigevector) se Ae = λe. RESULTADO. Uma matriz quadrada simétrica A de ordem k k tem k ares de autovalor e autovetor: (λ, e ), (λ, e ),...,(λ k, e k ). OBS. Os autovetores odem ser escolhidos de modo a terem o comrimeto igual a, ou seja, e.e =. RESULTADO. Seja A uma matriz quadrada de ordem k k e I a matriz idetidade de ordem kk, etão os escalares λ, λ,...,λ k satisfazedo a equação A - λi = 0 são os autovalores de A. EXERCÍCIOS: ) Determie os autovalores e autovetores da matriz 3 ) Verifique se realmete os autovetores ecotrados o eercício têm comrimeto igual a. 5 3) Dada a matriz A = 5 verifique se 6 e [/ -/ ] formam um dos ares de autovalor/autovetor de A. Formas Quadráticas: uma forma quadrática Q() as variáveis,,..., é defiida or Q( ) = A, ode = [,,..., ] e A é uma matriz quadrada de ordem simétrica. Note que a forma quadrática ode ser escrita como Q() = i= j= a ij i j EXERCÍCIO: ) Escrever a forma quadrática Q() = [ ] como um oliômio. Matriz ositiva defiida: a matriz A é ositiva defiida se A > 0 0. Matriz ositiva semi-defiida: a matriz A é ositiva semi-defiida se A 0 0. RESULTADO.3: Teorema da Decomosição Esectral Qualquer matriz simétrica A de ordem ode ser escrita como A = PΛP = λ i i= e i e i ode Λ é uma matriz diagoal formada com os autovalores de A e P é uma matriz ortogoal (P P=I) cujas coluas são os autovetores adroizados (ormalizados e i e i = e e i e j = 0 i j) de A. 8

9 EXERCÍCIOS: ) Escrever a forma quadrática Q() = [ ] 4 como oliômio. 3) Cosidere a matriz simétrica A = autovetores de A Determie os autovalores e 0 4) Mostre que a forma quadrática Q( ) = ode ser escrita a forma A. 3 5) Mostre que a matriz A = é defiida ão-egativa. 5 5A) Verifique se a matriz é defiida ão egativa. 5 Matriz raiz quadrada: a decomosição esectral ermite eressar a iversa de uma matriz quadrada em termos dos seus autovalores e autovetores e isto leva a uma matriz muito útil, que é a matriz raiz quadrada (eercício adiate). Matriz idemotete: a matriz quadrada A de ordem é chamada de idemotete se A A = A = A EXERCÍCIOS: 6) Seja uma matriz quadrada A, simétrica de ordem k k, determie a matriz raiz quadrada A / dada a matriz dos autovalores Λ e a matriz dos autovetores P (ortogoal) da matriz A. 6A) Calcule a matriz raiz quadrada de B = 4,8, 8. - Matriz e Vetor Aleatório DEF : Um esaço de robabilidade é um trio ( Ω,A, P) ode : a) Ω é um cojuto ão vazio (esaço amostral) ; b) A é uma σ-álgebra de subcojutos de Ω ; c) P é uma medida de robabilidade em A. DEF. : Um vetor X = (X, X,..., X ) cujas comoetes são variáveis aleatórias defiidas o mesmo esaço de robabilidade (Ω,A,P), é chamado vetor aleatório - dimesioal. DEF. 3: Fução de Distribuição de Vetor Aleatório 9

10 A fução de distribuição F = F = F de um vetor aleatório X = (X,,...,, X,..., X P P ) é defiida como F() = F(,,..., P ) = P(X, X,...,X ) (,,..., ) R P. F é também chamada fução de distribuição cojuta das variáveis aleatórias X, X,...,X P. EXEMPLO: Uma ura cotém três bolas umeradas,, 3. Duas bolas são retiradas sucessivamete da ura, ao acaso e sem reosição. Seja X o úmero da ª bola retirada e Y o úmero da ª. a) Escreva o esaço amostral Ω. b) Escreva a distribuição cojuta de (X, Y). c) Calcule a P(X<Y). d) Calcule a F(,). Etão, um vetor aleatório é o vetor cujos elemetos são v.a s e de modo semelhate uma matriz aleatória é a matriz cujos elemetos são v.a s. Seja X uma matriz aleatória de ordem, etão: EX ( ) EX ( )... EX ( ) EX ( ) EX ( )... EX ( ) E(X) = EX ( ) EX ( )... EX ( ) ode E(X ij ) = ij f ij ( ) d ij ij Proriedades: sejam X e Y matrizes aleatórias de mesmas dimesões e sejam A e B matrizes de costates (ão-aleatórias) de dimesões comatíveis com X e Y. Etão: a) E(X+Y) = E(X) + E(Y) b) E(AXB) = AE(X)B E se µ é E(X) = [µ µ... µ ] etão µ i é E(X i )= µ i. Matriz de Covariâcia: de um vetor aleatório X é defiida or, Σ = V(X) = E(X - µ)(x - µ) 0

11 EXERCÍCIOS (matriz de covariâcia e de correlação): 7) Costruir a matriz de covariâcias do vetor aleatório X a artir da defiição aterior. 8) Costruir a matriz de correlação do vetor aleatório X a artir da matriz de covariâcia. 9) Mostre o resultado V / ρv / = Σ, ode V / é a matriz desvio-adrão. 0) Dada a matriz de covariâcia a seguir, determie a matriz desvio-adrão V / e a matriz de correlação ρ. Σ = σ σ... σ σ σ... σ σ σ... σ ) Faça um quadro que coteha defiição, otação e eemlos triviais de: matriz escalar, vetor colua, vetor de uidades, matriz retagular, matriz quadrada, matriz diagoal, matriz idetidade, matriz simétrica, matriz de uidades, matriz triagular suerior, matriz triagular iferior, matriz assimétrica, matriz ula, matriz defiida ositiva, matriz defiida ão-egativa e matriz idemotete. ) Faça um quadro que coteha as defiições das seguites oerações com matrizes: adição, subtração, multilicação or escalar, roduto itero, multilicação, traço de uma matriz e determiate. 3) Dadas as matrizes abaio determie as oerações idicadas em seqüêcia: A = 3 4 a) A + B b) A - B c) A - B d) A + B e) (A+B) f) (3A - B) g) tr(a) h) tr(b) i) AB j) BC B = ) Calcule a matriz iversa de A = e C =

12 3 - MATRIZ DE DADOS, VETOR DE MÉDIAS E MATRIZ DE COVARIÂNCIA 3.- Matriz de Dados Uma matriz de dados com uidades observacioais e variáveis ode ser escrita a seguite forma: 0... j j uidades observacioais X = 0 i i i... ij... i j... i =,,..., j =,..., i j i j X = [,,.., ] ode (i) = (vetor liha) e (j) = (vetor colua) ij ij i j EXEMPLO : Matriz de dados com cico estudates como uidades observacioais e idade em aos a etrada ara a uiversidade, ota até 00 o eame de fim do º ao e seo como as variáveis, resectivamete, X, X e X 3. Variáveis X X X 3 Observações idade ota seo 8, , , , ,34 94 EXERCÍCIO: Para os dados do eemlo aterior escreva o vetor liha da 3ª uidade observacioal e o vetor colua da ª variável:

13 3.- Vetor de Médias Dada a matriz X = ( ij ), i =,..., ites e j =,..., variáveis, a média amostral da j- ésima variável é dada or: j = i= ij... j j... X = j X = e o vetor de médias amostral é dado or = [ gravidade dos otos amostrais sedo que amostra da variável X j. EXEMPLO : Para a matriz de dados do eemlo determie o vetor de médias: = [ 8,458 74,40 0,4 ] O vetor de médias ode ser escrito em otação matricial: = X i = ' i= EXERCÍCIOS: ) Verifique a afirmação aterior.... ] e rereseta o cetro de j rereseta o cetro de gravidade da ) Calcule o vetor de médias amostral ara a matriz de dados do eemlo, usado a otação matricial 3) Calcule o vetor de médias da matriz de dados seguite que mostra os esos de deósitos de cascas de 8 árvores em 4 direções (N, S, L, O). 3

14 N E S W N E S W Matriz de Covariâcia Amostral e Matriz de Correlação Amostral A variâcia amostral da j-ésima variável é: s jj = ( ij j) = s j j =,,..., variáveis i= A covariâcia amostral etre a j-ésima e a k-ésima variável é: s jk = ( ij j)( ik k ) = ( i= i= ij ik j k k,j =,,..., i =,,..., A matriz de ordem, S = (s jk ), com os elemetos dados elas eressões acima é chamada MATRIZ DE COVARIÂNCIA AMOSTRAL. EXERCÍCIOS: ) Para os dados do eemlo do item 3.: a) Estime as variâcias das variáveis X, X, X 3. b) Reita o item (a) matricialmete. c) Estime o coeficiete de correlação ρ etre as variáveis X e X, X e X 3. ) Para a matriz de dados do eercício 3 aterior, estime: a) As variâcias das quatro variáveis. Faça do modo tradicioal e cofirme usado o rocedimeto matricial. b) As covariâcias etre as quatro variáveis. Do modo tradicioal e em cofirmação elo rocedimeto matricial. c) A matriz de covariâcias das quatro variáveis. d) A matriz de correlação das quatro variáveis. 4

15 4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA 4. - Itrodução Dizemos que um vetor aleatório tem distribuição Normal Multivariada se ossui a mesma distribuição de uma trasformação afim de ormais adrões ideedetes. Isto sigifica que se X, X,..., X são i.i.d. N(0,), etão o vetor Y =[Y,Y,...,Y ], ode Y j = µ j + a j X + a j X a j X ara i,j =,,...,, com µ j e a i R ossui distribuição Normal -variada. Na forma matricial temos Y = A X + µ ode A é a matriz da trasformação, real, e µ é um vetor real -dimesioal. Etão dizemos que Y tem distribuição Normal -variada com média µ e matriz de covariâcias Σ = A A, ou seja, Y ~ N (µ, Σ). EXERCÍCIO a) Dada a equação Y = A X + µ faça os detalhes dessa equação esecificado os termos que a comõem. b) Esecifique a distribuição de Y j ; c) Determie a matriz de covariâcias de Y; 4. - A fução desidade de robabilidade da ormal -variada A desidade do vetor Y é dada or: f(y,y,...,y ) = e Σ é defiida ãoegativa. ( π ) Σ e ( y µ )' Σ ( y µ ) y R, µ R EXERCÍCIO a) Seja X ~ N(0,), determie a distribuição de Y = X ; b) Seja o vetor aleatório X = [X, X,...,X ] ode X i são v.a s i.i.d N(0,) e seja o vetor aleatório Y obtido ela trasformação Y = A X + µ ode A é a matriz da trasformação, real, e µ é um vetor real -dimesioal. Determie a f.d.. do vetor aleatório Y. c) Suoha que a situação do item aterior a matriz de trasformação A seja ortogoal, etão AA =I. Determie a matriz de covariâcias do vetor Y, o seu determiate e a f.d.. do vetor. 5

16 EXERCÍCIO 3 Seja o vetor aleatório Y =[Y,Y ] que tem uma distribuição N (µ,σ). a) Escreva a f.d.. do vetor; b) Determie as distribuições margiais: f Y (y ), de Y, e f Y (y ) de Y ; c) Determie a matriz da covariâcia do vetor Y. EXERCÍCIO 4 Sejam o vetor de médias µ =[0, 0] e a matriz de trasformação A = trasformação do vetor X = [X,X ] o vetor Y = [Y,Y ] com X i v.a s i.i.d N(0,). a) Escreva a equação da trasformação ara cada comoete do vetor Y; b) Quais as distribuições margiais de Y e de Y? c) Qual a distribuição de W = X +X e a de W = X -X? d) Qual a matriz de covariâcias de Y? e) Qual a f.d.. (cojuta) de Y? ara a EXERCÍCIO 5 Seja o vetor aleatório [Y, Y ] com distribuição Normal Bivariada com σ = σ. Escreva: a) A f.d.. do vetor Y; b) A matriz de covariâcias Σ; c) Determie as desidades margiais de Y e Y 4.3 -Desidade de robabilidade costate e estatísticas suficietes Desidade de robabilidade costate (cotours, curva de ível) Na eressão, a seguir, da Normal -variada é ossível ver que o lugar geométrico dos valores de y a uma altura costate o eio da f.d. (f(y) são elisóides cetrados em µ, ou seja, são elisóides defiidos or (y - µ) Σ - (y - µ) = c. Os eios de cada elisóide de desidade costate estão as direções dos autovetores de Σ - (e também de Σ) e seus comrimetos são roorcioais aos recírocos das raízes quadradas dos autovalores de Σ -. Assim cosiderado a eressão, f(y, y,...,y ) = ( π ) Σ e ( y µ )' Σ ( y µ ), os eios são ± λ i e i. 6

17 RESULTADO 4. Seja o vetor X ~ N (µ,σ) com Σ > 0. Etão: a) (X - µ) Σ - (X - µ) ~ χ (qui-quadrado com graus de liberdade) ; b) A N (µ,σ) assume robabilidade - α ara o elisóide (sólido) { ( - µ) Σ - ( - µ) < χ (-α)}, ode χ (-α) deota o 00(-α) ercetil da distribuição χ. Assim, o elisóide satisfazedo ( - µ) Σ - ( - µ) < χ (-α) tem robabilidade - α. (obs. veja e. 9) EXERCÍCIO 6 Para a situação do eercício 5, ede-se: a) Os autovalores de Σ; b) Os autovetores deσ; c) Determie os eios cosiderado o cotour (curva de ível) associado a f.d.. em c ; d) Determie o comrimeto de cada eio e o âgulo que o eio maior faz com o eio Y. e) Faça um esboço da figura gerada a solução do roblema. EXERCÍCIO 7 Suoha que Y ~ N (µ,σ) tal que µ =[5, 0] e σ = σ = 5 e ρ = 0,6. a) Escreva a eressão da f.d.. a forma vetorial e a forma clássica; b) Determie os autovalores de Σ; c) Determie os autovetores de Σ; d) Determie os eios de um cotour (curva de ível) associado a costate c ; e) Determie o comrimeto de cada eio da curva de ível do item aterior; f) Determie o âgulo que o eio maior faz com o semi-eio ositivo das abscissas; EXERCÍCIO 8 Em quais circustâcias a curva de ível do eercício aterior é um círculo? EXERCÍCIO 9 Seja o vetor Y ~ N (µ,σ) do eercício 7, determie: a) o valor de χ tal que P[(y - µ) Σ - (y- µ) < χ (-α)] = - α = 0.90; b) Descreva como a N (µ,σ) assume a robabilidade de 0.90 ara o elisóide sólido (cilidro elítico) e também faça o esboço do elisóide; c) Faça a iterretação geométrica dessa região tridimesioal; d) Faça a iterretação estatística dessa região tridimesioal; e) Escreva a equação da elise que gera o elisóide de 90% de cofiaça; 7

18 f) Cosiderado a equação da elise ecotrada o item aterior verifique quais dos otos seguites caem detro da elise de 90%: P (3, 5), P (0, 5), P 3 (9, 4.435), P 4 (, 8). EXERCÍCIO 0 Na situação do roblema aterior cosidere a trasformação tal que Y - µ = y e Y - µ = y, de modo que a equação da elise tora-se: [ y + y.y y = c. 6 ] a) Elique, geometricamete, o que ocorreu com essa trasformação; b) Cosiderado que a equação da elise de 90% é dada or + y.y y = faça um esboço da elise e marque os 4 otos do eercício aterior. y, EXERCÍCIO (Desidade Codicioal da Normal Bivariada) Seja o vetor Y ~ N (µ,σ), determie a f.d.. f(y y ), codicioal de Y dado Y = y. RESULTADO 4. Se Σ é defiida ositiva tal que Σ - eiste, Σe = λe imlica em Σ - e = (/λ)e de modo que ao ar de autovalor/autovetor (λ, e) de Σ corresode o ar de autovalor/autovetor (/λ, e) de Σ - e aida Σ - é defiida ositiva. EXERCÍCIO Prove o resultado aterior. RESULTADO 4.3 Dado a matriz B simétrica, ositiva defiida, de ordem e o escalar b > 0, tr( Σ B) / b b etão e (b) e ara toda matriz ositiva defiida Σ com a b b Σ B igualdade valedo somete ara Σ = B. b EXERCÍCIO 3 Prove o resultado aterior. RESULTADO 4.4 Seja X, X,...,X uma a.a. de uma oulação ormal -variada com média µ e matriz de covariâcia Σ. Etão, µˆ = X e Σˆ = S são resectivamete os estimadores de máima verossimilhaça dos arâmetros µ e Σ. EXERCÍCIO 4 Prove o resultado aterior. 8

19 4.3. Estatísticas suficietes Da eressão da fução desidade de robabilidade cojuta f(,,..., ) = (π ) Σ ' ' tr[ Σ ( ( j )( j ) + ( µ )( µ ) ] / j = e observa-se que a desidade cojuta deede do cojuto das observações somete através da média amostral X e da soma de quadrados e rodutos cruzados j= ( j )( j )' = (-)S. Isto sigifica que X e (-)S são estatísticas suficietes. Etão, dada a a.a. X, X,...,X de uma oulação ormal -variada com média µ e matriz de covariâcia Σ, as estatísticas X e S são estatísticas suficietes ara estimar aqueles arâmetros, resectivamete. 4.4 Distribuição amostral de X e S Seja a a.a. [X, X,...,X ] da v.a. X ~ N (µ,σ), etão a distribuição de X é determiada de forma aáloga ao caso uivariado e tem-se X ~ N (µ, Σ) e a distribuição amostral de ( )S segue a distribuição de Wishart. Resumido tem-se: X ~ N (µ, Σ) ( )S ~ Wishart com g.l s X e S são ideedetes. A distribuição de Wishart é defiida como a soma de rodutos ideedetes de vetores aleatórios ormais, ou seja, W m (. Σ) é a distribuição de Wishart com m g.l s do roduto m j= Z j Z ' j ode Z j ~ N (0, Σ). ( X - µ) ~& N (0, S) ( X - µ) S - ( X - µ) ~& χ EXERCÍCIO 5 Eucie o Teorema Cetral do Limite ara o caso multivariado. R. Seja [X,X,...,X ] observações ideedetes da v.a. X ~ N (µ, Σ). Etão ( X - µ) tem aroimadamete distribuição N (0, Σ) ara grade e aida a magitude de ode ser relativamete a Testes sobre os arâmetros de locação e de disersão de distribuições ormais multivariadas e regiões de cofiaça Testes da razão de verossimilhaça 9

20 A estratégia geral dos Testes da Razão de Verossimilhaça é maimizar a fução de verossimilhaça sob a hiótese H 0 e também maimizar a fução de verossimilhaça sob a hiótese alterativa H. Def. Se a distribuição do vetor aleatório X = [X, X,..., X ] deede do vetor de arâmetros θ e se H 0 : θ Θ 0 e H : θ Θ são as hióteses evolvidas o teste, etão a estatística da razão de verossimilhaça que testa H 0 cotra H é defiida or: λ() = L */L 0 * ode L i * é o maior valor que a fução de verossimilhaça assume a região Θ i i = 0,. Equivaletemete, ode ser usada a estatística: -log(λ()) = (l * - l 0 *) ode l i * = log(l i * ). No caso de hióteses simles, ode cada região Θ i i = 0, cotém somete um úico oto, as roriedades ótimas da estatística razão de verossimilhaça são rovadas elo bem cohecido Lema de Neyma-Pearso. De uma maeira geral decidiremos a favor de H quado a estatística da razão de verossimilhaça é alta e a favor de H 0 quado ela é baia. Assim, um teste baseado a estatística razão de verossimilhaça ode ser defiido da seguite forma: Def. O teste da razão de verossimilhaça de tamaho α ara testar H 0 cotra H tem região de rejeição R = { λ() > c} ode c é determiado tal que su P θ ( R ) = α (θ de H 0 ) Seja testar a hiótese H 0 : µ = µ 0 quado Σ é cohecida e X ~ N (µ,σ) -log(λ()) = (l * - l 0 *) = ( - µ 0 ) Σ - ( - µ 0 ) ~ χ (eata) Eemlo : Cosidere a estatística =[ ] obtida de uma a.a. com tamaho = 5 tomada de uma oulação N ( µ, Σ) com Σ = a) Teste a hiótese ula de que a distribuição (oulação) tem média µ 0 = [8 8]. Resosta: -log(λ()) = 4.3 < χ = 5.99 aceitamos H 0. b) Determie a região de cofiaça ara as médias µ e µ Resosta: 5( µ µ ) µ < 5.99 µ - 0

21 Seja testar a hiótese H 0 : µ = µ 0 quado Σ é descohecido e X ~ N (µ, Σ) Neste caso Σ deve ser estimado sob H 0 e sob H. Portato ambas as hióteses são comostas. Assim, -log(λ()) = (l * - l 0 *) = log(+( - µ 0 ) S - ( - µ 0 )) e [ ]( - µ0 ) S - ( - µ 0 ) ~ F,- Eemlo : Cosidere as estatísticas =[ ] obtido de uma a.a. com tamaho = tomada de uma oulação N ( µ, Σ) que também foreceu S = Teste a hiótese ula de que a distribuição (oulação) tem média µ 0 = [8 8]. Resosta: [(-)/]( - µ 0 ) S ( - µ 0 ) = (3/) [3.7.84] =.95 < F,3 (0.95)=3.44, logo aceitamos H Seja testar a hiótese H 0 : Σ = Σ 0 quado µ é descohecido e X ~N (µ,σ) Os estimadores de máima verossimilhaça de µ e Σ sob H 0 são, resectivamete, X e Σ 0. Sob H são X e S, ortato, -log(λ()) = ( l * - l * 0 ) = tr(σ - 0 S) log Σ - 0 S - E, esta estatística é fução dos autovalores de Σ 0 - S e tem-se, aida, que Σ 0 é aroimada or S quado -log(λ()) se aroima de zero. Etão, -log(λ()) = ( l * - l * 0 ) = tr(σ - 0 S) log Σ - 0 S - = [a log(g) ] ~. (assitótica). Ode, a é a média aritmética dos autovalores, g é a média geométrica e o úmero de graus de liberdade m é igual ao úmero de arâmetros ideedetes em Σ, ou seja, (+)/. Eemlo 3 Cosidere as estatísticas = [85,7 83,84] obtida de uma a.a. com tamaho = 5 9, 48 66,875 tomada de uma oulação N (µ, Σ) que também foreceu S = 66,875 96, 775. Teste χ m

22 a hiótese ula de que a distribuição (oulação) tem matriz de covariâcia Σ = , ou seja, H 0: Σ = Σ 0 = SOLUÇÃO: A matriz Σ - 0 S = 0,0 0 9, 48 66,875 0,948 0, ,0 66,875 96, 775 = 0, ,96775 tem autovalores iguais a λ =,6 e λ = 0,7. Etão, a = 0,943 e g = 0,669 e, coseqüetemete, -log(λ()) = 7,70. Comarado o valor da estatística com o escore χ 3 (0,95) = 7,8 rejeita-se a hiótese H 0 ao ível de 5% de sigificâcia. Isto é evidete devido a matriz aresetar forte correlação etre as variáveis. Eemlo 4 9, 48 66,875 Cosidere as estatísticas = [85,7 83,84] e S = 66,875 96, 775 obtidas de uma a.a. de tamaho = 5 tomada de uma oulação N (µ, Σ) com arâmetros descohecidos. Teste a hiótese ula de que a oulação tem matriz de covariâcia Σ = Σ 0 = 50 00, ou seja, H : Σ = Σ 0 = Reosta: a = 0,809, g = 0,764 e -log(λ()) = 3,9065; ortato, comarado com χ (0,95) = 7,8 aceitá-se H Região de Cofiaça do vetor de médias µ Seja θ o vetor de arâmetros oulacioal descohecido e Θ o esaço aramétrico de θ, ou seja, o cojuto de todos os ossíveis valores de θ. A região R(Χ), ode X é a matriz com as observações multivariadas da a.a. X = [X, X,..., X ], é dita ser uma região de cofiaça ao ível de cofiaça de ( - α) se, P[R(X) cobrir o verdadeiro θ] = - α A região de cofiaça ara o vetor de médias µ de uma oulação ormal - dimesioal é aquela que: ( ) P[( µ S ( µ ) ( α)] = α F )', ( ) quado os arâmetros µ e Σ são descohecidos e estimados or e S. EXERCÍCIO O Deartameto de Cotrole de Qualidade de uma idústria de foros de microodas recebeu a eigêcia do Govero Federal ara cotrolar a quatidade de radiação emitida quado as ortas dos foros são fechadas. Foram feitos 4 ares de observações da radiação emitida or = 4 foros escolhidos ao acaso, sedo º com a orta fechada e º com a orta aberta. Sejam X e X as variáveis medidas (com a orta fechada e com a

23 orta aberta). Assumido que essas variáveis seguem a distribuição Gaussiaa e que os dados corresodetes aos 4 ares de observações foreceram as estatísticas seguites: S = e X = [0,564;0,603] a) Calcule os autovalores e autovetores de S; b) Calcule a elise de 95% de cofiaça ara µ; c) Verifique se µ =[ ] está a região de cofiaça; d) Determie o comrimeto dos semi-eios ositivos da elise de 95% de cofiaça; e) Faça um esboço detalhado da elise de 95% Seja testar a hiótese de matrizes de covariâcias iguais, ou seja: H 0 : Σ = Σ =... = Σ g G. E. P. Bo em artigos de devolveu um teste ara a hiótese ula euciada acima. A estatística do teste é baseada em: M = S g i (i )/ [ ] i= S ode S i é a matriz de covariâcia do gruo i; S é a matriz de covariâcia cojuta (gruos); i é o úmero de observações do gruo i; é a dimesão do vetor X amostrado; g é o úmero de gruos. Alicado uma trasformação logarítmica em M tem-se como resultado a estatística com distribuição qui-quadrado adiate: ode g B = ( c){[ (i ) ] l S - i= g C = [ - g i= i i= + 3 ][ 6(+ )(g ) ( ) i g [(i ) l S i ] } ~ χ ( + )(g ) i= EXERCÍCIO Verifique or meio de um teste se a hiótese ula H 0 : Σ = Σ é verdadeira com base os dados seguites: g =, = 97 e = 83 S = 65,73 0,39 0, 39 0,369 e S = 65,73 0,39 0, 39 0,369 3

24 Verificação de Gaussiaidade ara distribuições bivariadas A suosição de Gaussiaidade é muito imortate em muitas roostas estatísticas. Por razões ráticas é usualmete suficiete ivestigar-se a Gaussiaidade das distribuições uivariadas e bivariadas. Se as observações foram geradas de uma distribuição ormal multivariada, cada distribuição bivariada ode ser ormal e as curvas de ível de desidade costate são elises. Assim, elo resultado 4., tem-se: (- µ) Σ - (- µ) < χ (-α) e é ossível eserar grosseiramete que a orcetagem de 00(-α)% das observações situem-se a elise de ível ( - α) de cofiaça quado usamos o modelo com os arâmetros estimados or e S, resectivamete. EXERCÍCIO 3 Verifique se os dados das variáveis X e X listados a tabela abaio seguem a distribuição ormal bivariada. emresa X (caital) X (red. líquido) EXERCÍCIOS 6 8 ) Suoha uma oulação ormal bivariada com matriz de covariâcias Σ = e que uma a.a. de = 5 observações foreceu um cetróide de [5.4, 9.9]. Teste a hiótese ula de que µ = [7, 0] ao ível de 5% de sigificâcia. ) Suoha uma a.a. [,,..., ] de uma distribuição ormal N (µ, Σ). a) Escreva a distribuição de ( µ ); b) Escreva a distribuição de ( µ )' S ( µ ); 8 9 4

25 5. COMPARAÇÃO ENTRE VETORES MÉDIOS 5.- Comaração etre dois vetores médios: teste T de Hotellig Sejam duas oulações P e P das quais foram tomadas amostras de tamaho e de P e P, resectivamete. Estas amostras foreceram as estatísticas que estimam os arâmetros oulacioais µ i e Σ i, ou seja,,, S e S. Para se testar a hiótese de que os vetores médios são iguais usaremos a estatística T = [( - ) - (µ - µ )] [(/ + / )S ] - [( - ) - (µ - µ )] com distribuição T ~ ( + ) + F, + EXERCÍCIO Ciqüeta barras de sabão são feitas de duas maeiras. Duas características: X (esuma) e X (bracura) são medidas. As estatísticas ara as barras roduzidas elos métodos e são: = [8, 4,], = [ 0, 3,9], S = 6 =,S 4, edese: a) A estimativa da matriz de covariâcias Σ (suodo comum a variâcia); b) Teste a hiótese de que os dois rocessos de fabricação estão cetrados o mesmo oto; c) Determie os autovalores e autovetores de S ; d) Costrua a elise de cofiaça de ível 95% e verifique se o oto µ - µ = 0 ertece à região de cofiaça. 5.- Comaração etre vários vetores médios: Maova Freqüetemete mais de duas oulações ecessitam ser comaradas. As a.a s coletadas das k oulações (k > ) forecem estatísticas usadas ara testar a hiótese de que as oulações ossuem mesmo oto médio. As suosições quato à estrutura dos dados são as seguites: As amostras aleatórias das diferetes oulações são ideedetes; Todas as oulações têm mesmas matrizes de covariâcia Σ; Cada oulação é Normal Multivariada, sedo que esta codição ode ser relaada quado os tamahos das amostras são grades (Teorema Cetral do Limite). EXERCÍCIO A artir da estrutura dos dados euciada acima escreva o modelo ara uma observação multivariada X ij, decomoha o vetor de observações e mote o quadro da MANOVA, icluido os valores de λ*, o lambda de Wilks, da distribuição eata de Wilks. Escreva aida a eressão de teste devido a M. S. Bartlett (938). 5

26 EXERCICIO 3 Cosidere as seguites amostras ideedetes das oulações, e 3, resectivamete, que são Normais Bivariadas com mesma matriz de covariâcia Σ. Po [9 3], [6 ], [9 7] Po [0 4], [ 0] Po3 [3 8], [ 9], [ 7] a) Calcule os vetores médios amostrais; b) Costrua a tabela da MANOVA; c) Calcule o lambda de Wilks; d) Calcule a estatística de teste da hiótese de médias iguais; e) Teste a hiótese H 0 de que as oulações têm mesmas médias (vetor) ao ível de sigificâcia de %. EXERCÍCIO 4 O Deartameto de Saúde e Serviços Sociais de certo estado subsidia os serviços restados or asilos de velhos (serviços de amaro à velhice). Esse deartameto desevolveu um cojuto de fórmulas ara avaliar o subsídio, baseadas em fatores como ível de cuidados, salário míimo e salário médio o Estado. As etidades odem ser classificadas com base o tio de estabelecimeto (rivado, úblico e sem fis lucrativos) e a qualidade dos serviços restados (SNF, ICF ou combiação SNF & ICF). Um estudo retede ivestigar os efeitos do tio de estabelecimeto ou qualidade dos serviços (ou ambos) os custos. Quatro desesas, calculadas or cliete/dia e em horas/cliete or dia, foram selecioadas ara aálise: X desesa com o trabalho X a dieta X 3 de oeração e mauteção do sistema X 4 doméstica e de lavaderia Um total de = 56 observações das = 4 variáveis foi tomado e um resumo das estatísticas está abaio: Privado = 7 = [,066 0,480 0,08 0,360] Sem lucro = 38 = [,67 0,596 0,4 0,48] Público 3 = 07 3 = [,73 0,5 0,5 0,383] e as três matrizes de covariâcia amostral são: S = 0, 9 0, 00 0, 0 0, 00 0, 000 0, 00 0, 00 0, 003 0, 000 0, 00 S = 0, 56 0, 0 0, 05 0, 00 0, 004 0, 005 0, 037 0, 007 0, 00 0, 09 6

27 S 3 = 0, 6 0, 030 0, 07 0, 003 0, 000 0, 004 0, 08 0, 006 0, 00 0, 03 a) Calcule o vetor médio amostral; b) Calcule a matriz da SQ etre os tratametos; c) Calcule a matriz da SQ residual; d) Costrua a tabela da MANOVA; e) Calcule o lambda de Wilks; f) Calcule a estatística de teste ara hiótese de oulações com mesma média; BIBLIOGRAFIA Johso, R. A. & Wicher, D.W. Alied Multivariate Statistical Aalysis; 4ed.; Pretice Hall Ic, Uer Sadle River, N.J.; 998. Mardia, K. V. Ket, J. T. & Bibby, J.M. Multivariate Aalysis; Academic Press, New York; 979. Morriso, D.F. Multivariate Statistical Methods - McGraw Hill, New York Hair, J. F. Jr. et alii Multivariate Data Aalysis; 5ed., Pretice Hall Ic, Uer Sadle River, N.J. ;