MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081
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- Margarida Cíntia Alcaide Azambuja
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE8 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Aula Número: 9
2 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear
3 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear (PNL Introdução Observações em relação aos problemas de Programação Não Linear: Grande parte dos problemas reais são não lineares Resolução mais diícil quando comparado com PL São inúmeros os métodos de resolução Podem ser classiicados como: PNL irrestrita e restrita
4 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear (PNL Introdução Eercícios,,, },, { },, { },, { : n m n mn m m n n n n n n b a a a b a a a b a a a a s c c c z Ma Formulação Geral de um Modelo de Programação Matemática Pelo menos a FOB ou uma das restrições é representada por uma unção NÃO LINEAR das variáveis de decisão. Programação Não Linear (PNL
5 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear ª Eemplo Ma z s.a : , Função Objetivo Linear Restrições Não Lineares
6 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Ma z s.a : , Pontos Etremos? (interseção entre as restrições Solução Ótima,83 3,44 Região Factível Solução Ótima não é um ponto etremo da região actível -PNL 6
7 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear ª Eemplo Ma z s.a : , Função Objetivo Não Linear Restrições Lineares
8 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Ma z s.a : , Circunerência de centro (5,5 z z 984 Pontos Etremos? Solução Ótima 3,9 3,38 FOB tangencia a Região actível 6 Região Factível 6 z 9,54 z 76 9
9 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear 3ª Eemplo Ma z s.a : , Função Objetivo Não Linear Restrições Lineares
10 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Ma z s.a : , z 39 z 4 Solução Ótima 3 z 45 centro (3,
11 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Compleidade CONCLUSÃO: Ao contrário dos problemas de PL, a solução ótima de um problema de PNL pode assumir qualquer valor dentro do conjunto de soluções actíveis. Esta característica aumenta a compleidade na obtenção da solução ótima
12 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade COMO IDENTIFICAR A CONVEXIDADE DE UMA FUNÇÃO?
13 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade
14 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade COMO IDENTIFICAR A CONVEXIDADE DE UMA FUNÇÃO? As técnicas de identiicação da conveidade de uma unção variam de acordo com o número de variáveis do modelo: Única Variável Duas Variáveis + de Duas Variáveis
15 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Propriedades: Se ( é convea, então todo mínimo local será sempre o mínimo global Se ( é estritamente convea, então possui somente um ponto de mínimo
16 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Propriedades: Se ( é côncava, então todo máimo local será sempre o máimo global Se ( é estritamente côncava, então possui somente um ponto de máimo
17 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Única Variável FUNÇÕES CONVEXAS E CÔNCAVAS COM UMA ÚNICA VARIÁVEL Como identiicar a conveidade de uma unção F( com uma única variável? Derivada Segunda de F( em relação a d ( d (
18 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade ª Situação d ( d S F( é CONVEXA ª Situação d ( d > S F( é ESTRITAMENTE CONVEXA
19 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade 3ª Situação d ( d S F( é CÔNCAVA 4ª Situação d ( d < S F( é ESTRITAMENTE CÔNCAVA
20 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Observações: Se F( é linear d ( d S F( é simultaneamente Côncava e Convea d ( d Se > ( d para alguns pontos e < d para outros, F(X não é côncava e nem convea
21 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Determine a conveidade das unções abaio: ( livre d ( d ( a (^+4 d ( d > Estritamente convea b (-^+6 d ( d < Estritamente côncava c (8+3 d ( d Côncava e convea
22 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade d (^3+4+ d ( d ou d ( d Nem côncava e nem convea d ( ( d
23 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade FUNÇÕES CONVEXAS E CÔNCAVAS COM DUAS VARIÁVEIS Determinante da Matriz Hessiana (H Como identiicar a conveidade de uma unção F( com duas variáveis? [ ], ( H Duas Variáveis
24 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade + OU + OU + OU OU - OU + OU - Diagonal principal de H - +
25 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Observações: Se F( é linear det( H ( F( é simultaneamente Côncava e Convea Se det( H < para alguns pontos, F( não é côncava e nem convea
26 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Múltiplas Variáveis FUNÇÕES CONVEXAS E CÔNCAVAS COM MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Como identiicar a conveidade de uma unção F( com múltiplas variáveis? Determinante das Submatrizes da Hessiana (H
27 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade
28 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Observação: Se F( é linear det,,.., n F( é simultaneamente Côncava e Convea Se nenhuma das condições or atendida, F( não é Côncava e nem Convea. Eemplo: A unção abaio é côncava, convea, estritamente côncava, estritamente, convea, convea e côncava simultaneamente ou nenhuma delas? (,,
29 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Resolução: (,, Matriz Hessiana (33 " $ $ $ H [ (,, 3 ] $ $ $ $ $ # % " $ $ $ # & 4 8 % &
30 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Calcula-se os determinantes das submatrizes da Hessiana Det [ 4] 4 " $ H $ $ # 4 8 % & " Det $ # 4 % 7 & " $ Det 3 $ $ # 4 8 % 54 &
31 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Conveidade Det [ 4] 4 " Det $ # 4 % 7 & " $ Det 3 $ $ # 4 8 % 54 &
32 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita Problemas de programação não linear sem restrições O modelo matemático em estudo é simplesmente descrito em termo da Função Objetivo (FOB, a qual deve ser uma unção não linear. min ou ma ( NÃO LINEAR
33 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita PNL IRRESTRITA COM UMA ÚNICA VARIÁVEL Objetivo: Determinar se a solução ótima é um ponto de máimo, mínimo ou inleão Derivada Positiva Derivada Negativa Derivada Nula
34 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita PNL IRRESTRITA COM UMA ÚNICA VARIÁVEL Valor de * que maimiza ou minimiza uma determinada unção Solução ótima deve satisazer a seguinte condição * d ( * ( d Máimo, Mínimo e Inleão Como identiicar? Derivadas.até que a derivada de ordem n (maior ordem tenha valor constante
35 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita Se o grau da derivada de maior ordem or um número par e: n ( * >, * mínimo n ( * <, * máimo Senão (grau ímpar: * inleão
36 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita EXERCÍCIO: Determine a solução ótima é identiique se a mesma é um ponto de máimo, mínimo ou de inleão: ( F( * inleão
37 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita EXERCÍCIO: Determine a solução ótima é identiique se a mesma é um ponto de máimo, mínimo ou de inleão: ( 4 F( * máimo
38 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear Irrestrita Métodos de Resolução PNL Irrestrita com uma única variável Métodos de Newton Método de solução que az uso de derivadas com o objetivo de estimar as raízes de uma unção não linear Método de Bisseção Método de Newton
39 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Método de resolução de equações não lineares através da linearização a partir de uma condição inicial arbitrária. Suponha a equação: (? Solução Procurada Contínua e Dierenciável Condição Inicial
40 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR.( ( ( ( + A linearização é eita através da epansão de pela série de Taylor até o termo: ( º termo º termo Manipulando a equação linearizada: (.( ( ( + Programação Não Linear - Método de Newton
41 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR (.( ( ( + ( ( ( + ( ( Solução Aproimada Programação Não Linear - Método de Newton
42 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Eemplo: Determine a raiz da unção: ( 4?
43 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ( 4 ( ( [( 4] Substituindo o Valor de ( 3 +,5,5 (
44 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ( 4 ( 3 +,5 (,5 Como melhorar a solução?
45 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Como melhorar a solução? Resposta: Nova linearização em torno desse novo valor ( e assim por diante. Ou seja : Processo Iterativo h+ h h ( h,,... ( h
46 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ( ( Solução Aproimada Solução Eata ( ( Δy ( ( Δy (erro ( ( Condição Inicial 3
47 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR.( ( ( ( +.( ( ( ( Δ Δy y Δ Δ. ( Δ + y Δ Δ ]. ( [ Sistema a ser resolvido Atualização da variável Linearização : Programação Não Linear - Método de Newton
48 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton h Contador de Iterações Δy ( ( h Erro inicial Enquanto Δy > tolerância aça ( h Derivada da Função Δ Δy h [ ( ] Δy Passo de convergência + Δ h + h h Atualização ( ( h+ Erro im
49 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ( 4? Condição inicial: h, tol,5
50 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ª Iteração: h calcular ΔY ( ( ( ( ( 3 ΔY ΔY ( ( ( 3 3 ΔY >,5? Sim: Inicia-se o Processo Iterativo
51 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton
52 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton calcular ( ( 4 ( (
53 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton
54 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton calcular ( ( 4 ( ( calcular Δ [ ( ]. ΔY ( ΔY 3 Δ Δ [],5.(3
55 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton
56 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton calcular ( ( 4 ( ( calcular Δ [ ( ]. ΔY ( ΔY 3 Δ Δ [],5.(3 atualização + Δ h ; ; Δ,5 +,5,5
57 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton
58 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton calcular ΔY ( ( ( 4 ( (,5,5 ΔY ( ( ΔY, 5 ΔY Sim >,5? Processo Iterativo Continua ª Iteração: h
59 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton ª Iteração: h calcular ( ( 4 ( (,5 5 calcular Δ [ ( ]. ΔY ΔY (,5 5,5 Δ Δ [5],45.(,5 atualização + Δ h ;,5; Δ,45,5,45,5
60 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton calcular ΔY ( ( ( 4 ( (,5,5 ΔY ΔY (,5 ( ΔY Não >,5? Fim do Processo Iterativo,5 OBS: Processo análogo para obtenção de
61 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Solução Gráica ( 4? ( Condição Inicial Erro Aceitável: Fim do Processo Iterativo (,5 (,5 (,5 (
62 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Implementação Método de Newton MATLAB Condição Inicial & Tolerância?
63 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Observações do Método de Newton TOLERÂNCIA PRECISÃO Nº DE ITERAÇÕES ( 4? Tolerância (erro Solução X Iterações h,5,5,5,6 3,5, 4
64 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Observações do Método de Newton (distante Condição Inicial (perto Solução Final + Iterações - ( 4?? Condição Inicial Solução X Iterações h ,5
65 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Observações do Método de Newton Não Convergência ( ( ( ( (
66 Disciplina Métodos de Otimização ENE8 Aula Número: 9 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Programação Não Linear - Método de Newton Observações do Método de Newton Não Convergência ( ( ( ( ( ( (
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