Material exclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 2008). Proibida a reprodução, sob pena da lei.

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Eliana Figueira Alencastre
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2 A função cúbica tem uma dispersão de pares (,) que se assemelha à curva do gráfico abaio. Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei.

3 Há muitas formas de associação entre duas variáveis (, ). Podemos citar algumas delas: linear, quadrática, cúbica, eponencial entre outras. O que foi visto até o momento foi a análise linear entre e. Nosso objetivo principal é o de analisar a disposição que os dados assumem em um gráfico de dispersão e, a partir dessa análise, assumir qual forma é aquela que deveremos obter para procurar a equação de ajuste. Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei.

4 Como eemplo, vamos analisar taas cambiais entre março de 00 e março de 005. Queremos calcular a taa para abril de 005 (ou para qualquer outro mês), com base na amostra etraída de um conjunto de taas de câmbio (em dados percentuais). Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei.

5 No gráfico abaio se pode notar que as taas flutuam mês a mês, assumindo o formato de uma curva característica da função cúbica. Distribuição das taas (%) % 16, ,5 15 1,5 1 1,5 1 1,5 1 MAR (00) ABR MAI JUN JUL AGO SET Mês OUT NOV DEZ JAN FEV MAR (005) Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 5

6 Função Cúbica d c b a d c b a d c b a d c b na 6 Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. Com isso, somos levados a resolver o seguinte sistema de equação.

7 Com essa equação, calculamos as projeções ou estimativas de: Taas de inflação Taas de câmbio Taas de desemprego, Volume de vendas, Volume de produção, etc. Podem ser calculadas, desde que os dados possam ser ajustados por uma função cúbica. Ŷabc d Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 7

8 Para simplificar os cálculos o valor do total de, e 5 serão zerados. Se a quantidade observada na amostra é impar e os dados estão em uma P.A. de razão 1, basta selecionarmos a mediana da distribuição e a zeramos. Os valores acima da mediana assumem valores negativos e os valores abaio da mediana assumem valores positivos em unidades que crescem de um em um. Se a quantidade observada na amostra é impar e os dados estão em uma P.G. de razão, os valores acima da mediana assumem valores negativos: -1, -, -5...; os valores abaio da mediana assumem valores positivos, 1,, 5... e assim sucessivamente (note que esses valores crescem em duas unidades). Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 8

9 A variável será o mês. A taa de câmbio será, pois a variação das taas depende do tempo em que ocorre. Veja o quadro abaio. Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 9

10 Coeficiente a Primeiro sistema de equações: na b c d a b c d 5 a Det a Det Substituindo por valores: 1a18c189,5 18a 550c 71,8 a na c c 1a 18a 18c 550c 189,5 71,8 Aplicando a regra dos determinantes: a 189,5 71, (( 189,5* 550) ( 71,8*18 )) (( 1* 550) ( 18*18) ) 1,059 Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 10

11 Coeficiente c Primeiro sistema de equações: na b c d a b c d 5 c Det c Det Substituindo por valores: 1a18c189,5 18a 550c 71,8 a na c c 1a 18a 18c 550c 189,5 71,8 Aplicando a regra dos determinantes: c ,5 71, (( 1* 71,8 ) ( 18*189,5) ) (( 1* 550) ( 18*18) ) 0,09 Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 11

12 Coeficiente b Primeiro sistema de equações: a b c d 5 a b c d 6 b Det Det b Substituindo por valores: 18b 550d - 550b 1d -659, b d 6 b d 18b 550b 550d 1d 659, Aplicando a regra dos determinantes: 550 b 659, (( *1) ( 659, * 550) ) (( 18 *1) ( 550 * 550) ) 0, Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 1

13 Coeficiente d Primeiro sistema de equações: a b c d 5 a b c d 6 d Det d Det Substituindo por valores: 18b 550d - 550b 1d -659, b d 6 b d 18b 550b 550d 1d 659, Aplicando a regra dos determinantes: d , (( 18* 659,) ( 550* ) ) (( 18*1) ( 550*550) ) 0,009 Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 1

14 Com os resultados obtidos, formamos a equação: Ŷ a b c d. Substituindo os valores encontrados, temos: Ŷ1,059(-0,185)(0,09 )(0,009 ) Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 1

15 Para o eemplo em questão o valor de é para abril de 005, logo seu valor é 7. Ŷ1,059(-0,185.7)(0,09.7 )(0,009.7 ) CALCULADO 16,169 A taa para abril de 005, com base na amostra etraída de um conjunto de taas de câmbio (em dados percentuais) é de 16,% Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 15

16 Cálculo do erro-padrão quadrático (EPQ) Para o eemplo em questão: Seq 77,71 (1,059 *189,5 ( 0,185* ( )) 0,09 * 71,8 0,009*( 659,) 1 SEQ0,0886 Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 16

17 Intervalo de Confiança: para amostra com menos de 0 elementos. mínimo calculado máimo calculado ( t * Seq) ( t * Seq) mínimo 16,169,50*0, ,990% (ou aproimadamente 15,9%) máimo 16,169,50*0, ,5009% (ou aproimadamente 16,50%) Quando assumimos que nossa escolha possui uma área de confiança de 99%, por eemplo, pela lei dos grandes números baseamos nossa epectativa no fato de que se repetirmos 100 vezes a seleção da mesma amostra aleatoriamente e sob as mesmas condições de seleção, em 99% dos casos o valor estimado na amostra ficará contido nesse intervalo de confiança. Em apenas 1% dos casos, esse valor não estará contido no intervalo. Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 17

18 Com a equação a b c d podemos estimar valores de taas que não são conhecidos, ou que, pelo menos, podem ser calculadas e comparadas posteriormente. Pelo gráfico abaio, percebe-se que nossas estimativas ficam bem próimas dos valores conhecidos. Esse é um bom sinal. Quanto mais próima a curva dos valores observados estiver da curva dos valores estimados, melhor é o ajuste da equação. A diferença entre valores observados e valores estimados é pequena. Esse é o sinal de que as estimativas podem ser consideradas confiáveis. Comparação das taas observadas e taas estimadas % 16, ,5 15 1,5 1 1,5 1 1,5 1 MAR (00) ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ JAN FEV MAR (005) Mês Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. Taas reais observadas Taas estimadas pela equação da função cúbica 18

19 Eercício Uma empresa de brindes apresentou seu histórico de vendas no período de outubro 008 até julho 009, em milhões de Reais.Estime as vendas futuras para os meses de agosto e setembro 009. Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 19

20 - Eercícios a) Utilize o quadro para cálculos dos coeficientes e monte a equação a b c d, calcule as estimativas para agosto e setembro de 009. b) Calcule a margem de erro c) Construa os intervalos mínimo e máimo para a estimativa (com 95% de confiança). Quadro completo para cálculos: Material eclusivo para o livro ESTATÍSTICA (São Paulo, Pleiade, 008). Proibida a reprodução, sob pena da lei. 0

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