UMA ABORDAGEM ANALÍTICA PARA DETECÇÃO DE PONTOS LIMITES E DE BIFURCAÇÃO

Transcrição

1 31 UMA ABORDAGEM ANALÍTICA PARA DETECÇÃO DE PONTOS LIMITES E DE BIFURCAÇÃO An anaytica approach for the detection of imit points and bifurcation points in structura systems Wiiam Tayor Matias Siva¹, María Paz Duque Gutiérrez²; Weington Andrade da Siva³ Recebido em 16 de fevereiro de 16; recebido para revisão em 3 de junho de 16; aceito em 19 de juho de 16; disponíve on-ine em 15 de agosto de 16. PALAVRAS CHAVE: Descrição Lagrangiana tota; Anáise não inear geométrica; Pontos de bifurcação; Pontos imite; Eementos de treiça pana. KEYWORDS: Tota Lagrangian formuation; Geometrica noninearty; Bifurcation points; Limit points; Pane truss eement; * Contato com os autores: RESUMO: Neste trabaho descreve-se anaiticamente de maneira detahada a detecção e a cassificação de pontos críticos na trajetória primária de equiíbrio de sistemas estruturais. Utiiza-se a Formuação Lagrangiana Tota para descrever a cinemática de um eemento de barra biarticuado D. Através desta formuação obtém-se o vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente que evam em conta os efeitos da não inearidade geométrica. Assume-se um modeo constitutivo inear eástico para o estado uniaxia de tensão-deformação, usando a deformação de Green-Lagrange e a tensão axia do segundo tensor de Pioa-Kirchhoff que são energeticamente conjugados. Como estudo de caso apresenta-se uma treiça pana hiperestática composta com 3 eementos biarticuados D e com dois graus de iberdade. Por fim, determinam-se as condições geométricas e físicas para a coaescência entre os pontos imites e de bifurcação. A principa contribuição deste trabaho é demonstrar a necessidade de compreender mehor os fenômenos não ineares para projetar sistemas estruturais mais seguros. ABSTRACT: Using an anaytica this paper describes in detai the detection and cassification of critica points in the primary equiibrium path of structura systems. The Tota Lagrangian formuation is empoyed to describe the kinematics of a D bar eement. With this formuation, the interna force vector and the tangent stiffness matrix incuding the geometric noninearity effects are obtained. An eastic inear constitutive mode is assumed for the uniaxia stress-strain state. Such mode uses the Green-Lagrange strain tensor and the second Pioa-Kirchhoff axia stress tensor which are energeticay conjugate tensors. As a study case, the artice presents a staticay inderminate pane truss discretized with three D bar eements. Finay, the geometrica and physica conditions for the coaescence between imit and bifurcation points are determined. The main contribution of this work is to demonstrate the need to better understanding the non inear phenomena. Such understanding is necessary for designing safer structura systems. 1 e-mai: tayor@unb.br ( W. T. M. Siva) Professor Doutor do Departamento de Engenharia Civi e Ambienta da Universidade de Brasíia UnB. e-mai: mpazduque@gmai.com ( M. P. D. Gutiérrez) Doutoranda em Estruturas e Construção Civi pea Universidade de Brasíia UnB. 3 e-mai: weington_andrade@ufg.br ( W. A. da Siva ) Professor Doutor da Universidade Federa de Goiás, Regiona Cataão - UFG. ISSN: D.O.I /reec.V1i REEC - Todos os direitos reservados.

2 3 1. INTRODUÇÃO Tornou-se quase imperativo, para o avanço da ciência, compreender e simuar os fenômenos não ineares em diversas áreas do conhecimento, tais como, biomecânica, mecânica dos fuídos, geotécnica, mecânica dos sóidos, engenharia de tecidos humanos, etc. Por exempo, nas indústrias aeronáutica, aeroespacia e petroífera a anáise não inear é imprescindíve no projeto de diferentes tipoogias estruturais apicadas nesses setores. Nas útimas décadas muitos autores têm pubicados ivros texto abordando diferentes tópicos da anáise não inear na área dos métodos numéricos apicados a engenharia, por exempo, recomenda-se a eitura das seguintes referências: Crisfied (1991), Crisfied (1997), Bathe (1996), Beytschko et a. (), Doye (1), Wriggers (), Borst et a (1), Bonet e Wood (8), Wriggers (8), Krenk (9). Decorre, daí a necessidade de difundir os conceitos básicos e fundamentais da anáise não inear através do método dos eementos finitos, imbuído deste espírito, o trabaho aqui apresentado, sem maiores pretensões teóricas, tem como objetivo apresentar uma anáise teórica e numérica da instabiidade estrutura que consiste na detecção e cassificação de pontos singuares na trajetória de equiíbrio primária. Propõe-se utiizar eementos de barra biarticuados por sua simpicidade teórica, o que permite descrever, facimente, a cinemática do movimento do eemento e obter o vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente anaiticamente, que são eementos imprescindíveis para uma anáise não inear em mecânica dos sóidos. Para simuar deformações eásticas finitas, assume-se um modeo constitutivo hipereástico para o estado uniaxia de tensão-deformação, utiizando a tensão axia do segundo tensor de Pioa- Kirchhoff e a deformação de Green-Lagrange, que formam um par energeticamente conjugado. Nos itens, 3 e 4 descrevem-se a cinemática do eemento biarticuado D adotando a Formuação Lagrangiana Tota (FLT), a obtenção do vetor de forças internas e a dedução da matriz de rigidez tangente, respectivamente. No item 5 faz-se uma abordagem anaítica detahada da detecção e cassificação dos pontos singuares presentes na trajetória primária de equiíbrio de uma treiça pana hiperestática discretizada por três barras biarticuadas D. Por útimo, apresentam-se as concusões finais e as referências bibiográficas utiizadas neste trabaho.. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA Seja um sistema de coordenadas gobais cuja base é ortonorma conforme mostra-se na Figura 1. Para expressar as variáveis cinemáticas na configuração indeformada utiizam-se as coordenadas materiais (X, Y), enquanto que, na configuração deformada as coordenadas espaciais (x, y). Na configuração indeformada as coordenadas nodais do eemento biarticuado D são dadas por X A = (X A, Y A ) e X B = (X B, Y B ), respectivamente. Sua posição e comprimento iniciais são dados pea Equação 1. FIGURA 1: Movimento do eemento biarticuado D. FONTE: Autoria Própria (16). AB = X = X B X A = X T X Eq.[1] Em que: AB ou X : vetor posição na configuração indeformada. : comprimento do eemento biarticuado D na configuração indeformada. Enquanto que na configuração deformada as coordenadas nodais do eemento biarticuado D são dadas por x A = (x A, y A ) e x B = (x B, y B ), respectivamente. Conforme mostra-se na Figura 1 a coordenada atua do nó A é dada por x A = X A + u A, enquanto que a coordenada atua do nó B se expressa como x B = X B + u B. Sendo que u A = (u A, v A ) é o desocamento do nó A e

3 33 u B = (u B, v B ) é o desocamento do nó B. Portanto, a posição atua do eemento é dada por meio da Equação. ab = x = x B x A ab = x = (X B + u B ) (X A + u A ) ab = x = (X B X A ) + (u B u A ) ab = x = X + u BA Eq.[] Em que: ab ou x: vetor posição na configuração deformada. Para obter o vetor de forças internas utiiza-se o Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV), portanto é necessário apicar uma variação virtua no campo de desocamentos na configuração de equiíbrio atua, conforme mostra-se na Figura 3, o que impica em uma variação virtua da deformação de Green-Lagrange que se escreve conforme a Equação 5. Sendo que as coordenadas do vetor posição atuais são dadas por x BA = x B x A e y BA = y B y A, respectivamente. u BA = u B u A é o vetor de desocamentos nodais reativos conforme mostra-se na Figura. Por outro ado, o comprimento atua se expressa por meio da Equação 3. FIGURA 3:Variação virtua dos desocamentos nodais. FONTE: Autoria Própria (16). δε G = 1 (X T δu BA + 1 δu BA T u BA + 1 u BA T δu BA ) FIGURA : Vetor de desocamentos nodais reativos. FONTE: Autoria Própria (16). δε G = 1 (X T δu BA + u BA T δu BA ) δε G = 1 (X + u BA ) T δu BA = 1 xt δu BA Eq.[5] = x T x = (X + u BA ) T (X + u BA ) Eq.[3] Neste trabaho adota-se a formuação Lagrangiana Tota para descrever o movimento do eemento biarticuado D, portanto serão usadas as coordenadas materiais (X, Y) e a configuração indeformada para definir a medida de deformação do eemento. Dentre agumas famíias de deformação descritas em coordenadas materiais existentes na iteratura técnica, adota-se neste trabaho, a medida de deformação de Green- Lagrange que compara os quadrados dos comprimentos atua e inicia do eemento é dada por meio da Equação 4. ε G = = 1 (X T u BA + 1 u BA T u BA ) Eq. [4] Em que: ε G : Deformação de Green-Lagrange. Note-se que esta medida de deformação possui termos quadráticos em reação aos desocamentos nodais reativos. Em que: δε G : Variação virtua da deformação de Green- Lagrange. Sendo que δu BA = δu B δu A é a variação virtua do vetor de desocamentos reativos. Note-se que a variação virtua da deformação de Green-Lagrange consiste na projeção da variação virtua do vetor dos desocamentos reativos sobre a posição atua do eemento definida peo vetor x e escaado por. 3. VETOR DE FORÇAS NODAIS Como mostra-se na Figura 4, seja f A = (f Ax, f Ay ) o vetor de forças do nó A, e f B = (f Bx, f By ) o vetor de forças do nó B, respectivamente. Para obter estes vetores de forças nodais apica-se o PTV na configuração indeformada pois se está utiizando a medida de deformação de Green-Lagrange, desta maneira expressa-se este princípio pea Equação 6.

4 34 f A = EA ε G x; f A = EAε G { x BA y BA f B = EA ε G x }; f B = EAε G { x BA y BA } Eq.[8] 4. MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE FIGURA 4: Vetor de forças nodais e a variação virtua dos desocamentos nodais. FONTE: Autoria Própria (16) δv = Nδε G ds f T A δu A f T B δu B = Eq.[6] Sendo que N é o esforço axia que atua no eemento e é dado por N = σ G A. Lembrando que a tensão axia σ G é energeticamente conjugada com a medida de deformação de Green-Lagrange e é uma das tensões normais do segundo tensor de tensões de Pioa-Kirchoff. Substituindo a Equação 5c na Equação 6, tem-se que (Equação 7). δv = δv = N xt δu BA ds f T A δu A f T B δu B = N xt (δu B δu A )ds f T A δu A f T B δu B = δv = δu T A ( N xds f A ) + δu T B ( N xds f B ) = f A = N x; f B = N x Eq.[7] Conforme mostra-se na Figura 4, por convenção, o sina do vetor de forças internas f A é negativo porque está no sentido contrario do vetor posição x, enquanto que o sina do vetor de forças internas f B é positivo porque possui o mesmo sentido do vetor x. Neste trabaho assume-se que σ G = Eε G, onde E é o móduo de easticidade ongitudina do materia, assim o esforço axia pode ser definido como N = EAε G e a Equação 7d pode ser reescrita conforme a Equação 8. Ao apicar um incremento infinitesima nos vetores de desocamentos nodais u A e u B na configuração deformada, obtém-se um incremento infinitesima dos vetores de forças internas f A e f B, respectivamente, através da matriz de rigidez tangente. Portanto, define-se a reação entre os incrementos infinitesimais dos vetores de forças internas e dos vetores de desocamentos nodais conforme a Equação 9. { df A df B } = K T { du A du B } Eq.[9] Sendo que K T é a matriz de rigidez tangente de ordem 4x4. Portanto, evando em conta a Equação (d) e diferenciando-se a Equação 7d em reação ao vetor de desocamentos reativos, obtém-se que (Equação 1) dq A = x dn N dx dq A = ( x dn + N I) d(u du BA B u A ) dq B = dq A Eq.[1] Sendo I a matriz identidade de ordem x. Por outro ado, diferenciando-se o esforço axia em reação ao vetor dos desocamentos reativos, e evando em conta as Equações d, 4 e 5, chega-se a Equação 11. dn du BA = EA dε G du BA = EA (X T + u BA T ) = EA xt Eq.[11] Por útimo, substituindo a Equação 11 na Equação 1b e evando em conta a Equação 1c, obtém-se que (Equação 1).

5 35 { dq A } = ( EA x x x x [ dq B x x x x ] 3 + N I I [ I I ]) {du A } du B Com (Equação 13) K M = EA x x x x 3 [ x x x x ] K σ = N I I [ I I ] x x = [ x BA x BA y BA x BA y BA y ] BA Eq.[1] Eq.[13] Sendo K M a matriz de rigidez materia, de ordem 4x4, que depende do vetor posição atua do eemento x cujas componentes são: x BA = x B x A e y BA = y B y A. K σ é a matriz de rigidez geométrica que depende do esforço axia N e é de ordem 4x4 e o símboo é o produto tensoria ou aberto. Portanto, a matriz de rigidez tangente se expressa como K T = K M + K σ. 5. FORMULAÇÃO ANALÍTICA Seja uma treiça pana com um grau de indeterminação estática conforme mostra-se na Figura 5a. Nesta figura mostram-se as propriedades geométricas e as condições de contorno, onde H é a atura e S é o vão. Considera-se que a rigidez axia de todas as barras da treiça é igua a EA, onde E é o móduo de easticidade ongitudina e A é área da seção transversa de cada barra indeformada. Discretiza-se a treiça com 3 eementos de barras biarticuado D conforme-se mostra-se na Figura 5a. O comprimento do terceiro eemento é βs, onde β é um parâmetro adimensiona. O nó está ivre para desocar-se nas direções dos eixos x e y, respectivamente. Os demais nós estão restringidos por apoios de segundo gênero. Na Tabea 1 detaham-se as conectividades adotadas para cada eemento da treiça. TABELA 1: Conectividades dos eementos. Eemento Nó inicia Nó fina [a] [b] FIGURA 5: Treiça pana hiperestática, sendo: [a] configuração indeformada e [b] configuração deformada. FONTE: Autoria Própria (16).

6 36 Neste item faz-se a anáise da estabiidade do equiíbrio da treiça pana hiperestática na configuração deformada como mostra-se na Figura 5b ao apicar-se uma carga λ na direção do eixo y. Estudam-se duas trajetórias de equiíbrio possíveis para este caso. A primeira condição refere-se à trajetória primária de equiíbrio onde o nó irá desocar-se somente na direção do eixo y devido à simetria geométrica e das propriedades mecânicas da treiça, aém de não haver carga apicada na direção do eixo x no nó. Considera-se tanto o fator de carga apicado quanto o desocamento vertica no sentido negativo do eixo y. Neste caminho de equiíbrio a treiça irá apresentar um fenômeno de instabiidade conhecido na iteratura técnica de snap-through que é a perda da capacidade portante da treiça quando a matriz de rigidez tangente da estrutura torna-se singuar para um vaor máximo de carga denominado de ponto imite. Na segunda condição de equiíbrio ocorre a fambagem da treiça no pano (x, y) ainda que a carga esteja apicada na direção do eixo y, o nó irá desocar-se na direção do eixo x, podendo ser no sentido positivo ou negativo deste eixo. Neste caso denomina-se caminho de equiíbrio secundário. Posteriormente, demonstra-se que estas trajetórias de equiíbrio interceptam-se em determinados pontos denominados de pontos de bifurcação. Ao impor o campo de desocamento (u, v) no nó da treiça, conforme mostra-se na Figura 5b, as barras irão desocar-se, aterar seus comprimentos e direções, sofrer deformações e estarem submetidas a esforços axiais. Na Tabea mostra-se a descrição cinemática, apresentada no item, de cada barra de maneira detahada. Para obter as trajetórias de equiíbrio primária e secundária é necessário montar o vetor de forças internas da treiça. Como somente o nó pode-se desocar, então basta montar o vetor de forças internas correspondente a este nó. Portanto evando em conta a Equação 8 monta-se o vetor de forças internas do nó com a contribuição dos esforços internos de cada barra da treiça conectada a este nó como (Equação 14). TABELA : Descrição cinemática dos eementos. Parâmetro geométrico Eemento 1 Eemento Eemento 3 a x = x BA = X BA + u BA S + u S u u βs a y = y BA = Y BA + v BA H + v H + v βs + v βs = X BA + Y BA S + H 4 S + H 4 βs = (X BA + u BA ) + (Y BA + v BA ) ( S + u) + (H + v) ( S u) + (H + v) u + (βs + v) ε G = Su + Hv + u + v Su + Hv + u + v u + βsv + v β S f (1)+()+(3) = N (1) { a x (1) (1) a } N() { a () x () y a } N(3) { a (3) x (3) y a } y f (1)+()+(3) = EA ε (1) G { a x (1) (1) a } EA ε () G { a () x () y a } EA ε (3) G { a (3) x (3) y a } y f (1)+()+(3) = EA 3 {u(s + u + 4Hv + v ) (H + v)(u + Hv + v ) } + EA β 3 S 3 { u(u + βsv + v ) (βs + v)(u + βsv + v ) } Eq.[14]

7 37 Note-se que o sina negativo nos dois útimos termos da Equação 14a é devido ao nó ser o nó inicia das barras e 3, respectivamente. Por outro ado, na equação 14c foram utiizados os vaores das deformações de cada barra dados na Tabea. Para que o nó esteja em equiíbrio é necessário que o vetor de forças internas seja igua ao vetor de forças externas apicadas neste nó, portanto obtém-se um sistema de duas equações não ineares que se expressam como (Equação 15). 5.1 TRAJETÓRIA PRIMÁRIA DE EQUILÍBRIO Para obter a trajetória primária de equiíbrio impõe-se que o desocamento horizonta do nó seja igua a zero, u =, no sistema de equações acima. Portanto, a primeira equação se anua e a segunda equação pode ser reescrita como a Equação 16. Trata-se de um poinômio de grau três em função dos desocamentos verticais do nó da treiça. Para obter o gráfico desta curva adotaram-se os seguintes vaores para as propriedades geométricas e mecânicas da treiça: E = 1, A = 1, S = e H = 3. Atribui-se a β os vaores 1., 1.5 e.. Desta maneira, obtém-se o gráfico de três trajetórias primárias de equiíbrio como mostra-se na Figura 6. Nota-se que essas curvas possuem dois pontos extremos conhecidos como pontos imites. Nos próximos itens discute-se em detahes a detecção e obtenção desses pontos. 5. TRAJETÓRIA SECUNDÁRIA DE EQUILÍBRIO Iniciamente a treiça permanece na trajetória de equiíbrio primária, mas para determinadas condições geométricas e mecânicas, poderá fambar o que impica no desocamento horizonta do nó. Para determinar essas condições imponhe-se no sistema de Equações 15 que u. Como consequência, a primeira equação daquee sistema deve cumprir que (Equação 17). Coocando em evidência o desocamento u na equação acima obtém-se que (Equação 18). EA 3 β 3 S { u(s + u + 4Hv + v )β 3 S 3 + u(u + βsv + v 3 ) 3 (H + v)(u + Hv + v )β 3 S 3 + (βs + v)(u + βsv + v 3 ) } = { λ } Eq.[15] λ p = EA 3 β 3 S 3 ((4H β 3 S 3 + β S 3 )v + (6Hβ 3 S 3 + 3βS 3 )v + (β 3 S )v 3 ) Eq.[16] FIGURA 6: Trajetórias primárias de equiíbrio. FONTE: Autoria Própria (16). (S + u + 4Hv + v )β 3 S 3 + (u + βsv + v ) 3 = Eq.[17] u = ± v (4Hβ3 S 3 + βs 3 ) (β 3 S ) β 3 S 5 v (β 3 S ) Eq.[18]

8 38 Que é váida para a seguinte restrição (Equação 19). v + (4Hβ3 S 3 + βs 3 ) (β 3 S ) β 3 S 5 v + (β 3 S ) < βs(hβ S + 3 ) (β 3 S < v ) λ s EA = 3 (β 3 S [(( 8βSH S ) + 4H + 4β S 3 ) β 3 S 5 ) v βs 3 (β S H + )] Eq.[] v < βs(hβ S + 3 ) (β 3 S ) Eq.[19] = βs (Hβ S + 3 ) βs 3 (β 3 S ) (β 3 S ) = (Hβ S + 3 ) βs 3 (β 3 S ) > Mostra-se na Figura 7 a reação entre os desocamentos vertica e horizonta do nó quando ocorre a fambagem da treiça dada pea Equação 18. Em todas as simuações a seguir assumem-se os seguintes dados para a treiça mostrada na Figura 5: (E = 1, A = 1, S = H = 3, β = 1, β = 1.5, β = ). Observa-se nesta figura que vaores crescentes de β impica em vaores crescentes de u e v, pois aumenta-se o comprimento da barra vertica 3 da treiça e diminui-se sua rigidez axia, o que confere uma maior fexibiidade ao desocamento do nó. Nota-se na Figura 7 que iniciamente o desocamento u é nuo, depois ocorre a bifurcação para a trajetória secundária quando o vaor de u é crescente até um certo vaor máximo para em seguida decrescer até zero quando a treiça retorna à trajetória primária. Observa-se nesta figura que do ponto de vista matemático o desocamento u pode ser no sentido positivo ou negativo do eixo x. A segunda restrição que surge para que ocorra a fambagem é que o discriminante da Equação 19d seja maior que zero. Note-se que essa restrição é essenciamente geométrica, portanto a ocorrência ou não da fambagem depende somente das características geométricas da treiça. Na Figura 8 mostra-se a partir de que vaores de H, para cada vaor de β, ocorre a bifurcação. Por fim, ao substituir a Equação 18 na Equação 16 obtém-se a trajetória secundária de equiíbrio em função do desocamento vertica que se escreve conforme a Equação. FIGURA 7: Projeção das trajetórias de equiíbrio secundárias no pano (u,v). FONTE: Autoria Própria (16). As trajetórias de equiíbrio dadas peas Equações 16 e estão em função do desocamento vertica do nó da treiça mostrada na Figura 5a. Nas Figuras 9a, 9b e 9c mostram-se as trajetórias de equiíbrio primária e secundária dadas peas Equações 16 e, respectivamente, obtidas para os diferentes vaores de β adotados neste trabaho. Notam-se nessas figuras os pontos de bifurcação onde ocorre a intersecção entre as trajetórias primária e secundária de equiíbrio. Podem ser observados também, que os pontos imites que representam os extremos das trajetórias de equiíbrio primária. Na Figura 9d mostram-se as trajetórias de equiíbrio em função dos desocamentos horizonta e vertica do nó, novamente, observa-se a intersecção entre as trajetórias primária e secundária de equiíbrio mostrada no pano (λ, v, u). Observa-se na Figura 9d que a trajetória de equiíbrio dada pea Equação é a projeção da trajetória de equiíbrio secundária no pano (λ, v). Por outro ado, a projeção das trajetórias de equiíbrio secundárias mostradas nesta figura no pano (v, u) é mostrada na Figura 7.

9 39 FIGURA 8: Vaores de H a partir dos quais pode ocorrer bifurcação. FONTE: Autoria Própria (16). 5.3 PONTOS CRÍTICOS condição Detectam-se os pontos imites ao apicar a dλ p dv = na trajetória primária de equiíbrio descrita na Equação 16. Este procedimento agébrico é descrito pea Equação. Por outro ado, detectam-se os pontos de bifurcação impondo a condição de u = na Equação 18, o que eva às Equações. Para cacuar os fatores de carga imite λ e de bifurcação λ b, substituem-se os vaores dados nas Equações 1 e, respectivamente, na Equação 16. Na Tabea 3 mostram-se os vaores dos pontos críticos obtidos para E = 1, A = 1, S = H = 3, β = 1., β = 1.5, β =.. λ p v = (6β3 S )v + (1Hβ 3 S 3 + 6βS 3 )v + (4H β 3 S 3 + β S 3 ) = (1Hβ 3 S 3 + 6βS 3 ) + (1Hβ 3 S 3 + 6βS 3 ) (4β 3 S )(4H β 3 S 3 + β S 3 ) v 1 = (1β 3 S ) Eq.[1] (1Hβ 3 S 3 + 6βS 3 ) (1Hβ 3 S 3 + 6βS 3 ) (4β 3 S )(4H β 3 S 3 + β S 3 ) v = (1β 3 S ) βs(hβ S + 3 ) + βs (Hβ S + 3 ) βs 3 (β 3 S ) v b 1 = (β 3 S ) Eq.[] βs(hβ S + 3 ) βs (Hβ S + 3 ) βs 3 (β 3 S ) v b = (β 3 S ) TABELA 3: Pontos críticos. β Pontos imites v 1 λ 1 v Pontos de bifurcação λ v 1 λ 1 v λ FONTE: Autoria Própria (16).

10 4 FIGURA 9: Trajetórias de equiíbrio. a) Trajetórias de equiíbrio para β=1.. b) Trajetórias de equiíbrio para β=1.5. c) Trajetórias de equiíbrio para β=.. d) Trajetórias de equiíbrio no pano (v,u,λ). FONTE: Autoria Própria (16). 5.4 FATORES DE CARGA CRÍTICOS Como mostra-se nas Figuras 9a, 9b e 9c, as trajetórias de equiíbrio primárias possuem quatros pontos críticos, dois pontos imites, L 1 e L, e dois pontos de bifurcação, B 1 e B. Nessas figuras também observou-se que os primeiros pontos de bifurcação B 1 ocorreram antes dos primeiros pontos imites L 1 para os casos de β = 1., β = 1.5 e β =.. O propósito deste item é discutir a sequência de ocorrência desses pontos críticos. Para isso estudam-se as variações dos fatores de cargas para os primeiros pontos críticos em função das variações das propriedades geométricas da treiça. Aqui em particuar propõe-se estudar a variação do fator de carga crítico em função da variação da atura da treiça, isto é, em função da variáve H. Ao substituir o desocamento vertica v 1 dado pea Equação (1a) na equação (16) obtém-se o fator de carga para o primeiro ponto imite λ 1. Este fator de carga estará em função das propriedades geométricas e mecânicas da treiça, isto é, λ 1 (E, A,, S, H, β). Por outro ado, ao substituir o desocamento vertica v 1 b dado pea Equação (a) na Equação (16) obtém-se o fator de carga para o primeiro ponto de bifurcação λ 1 b. Da mesma maneira, este fator de carga estará em função das propriedades geométricas e mecânicas da treiça, isto é, λ 1 b (E, A,, S, H, β). Portanto para obter as curvas do fator de carga crítico em função da atura da treiça assumem-se os seguintes vaores para as demais variáveis: E = 1, A = 1, S =, e os vaores 1, 1.5 e para o parâmetro β. Nas Figuras 1a, 1b e 1c mostram-se as curvas dos fatores de cargas críticos tanto para o ponto imite λ p max quanto para o ponto de bifurcação λ pb max para o intervao < H < 5 e para os diferentes vaores de β. Conforme mostra-se na Figura 1a para vaores de H < o ponto imite ocorre primeiro. Quando H acança o vaor ocorre a coaescência entre o ponto imite e o ponto de

11 41 bifurcação. Para H > o ponto de bifurcação ocorre primeiro. Ainda nesta figura observa-se que a carga de fambagem é muito menor que a carga imite e por fim mostra-se a capacidade portante máxima λ max da treiça evando em conta a possibiidade de perda de rigidez da estrutura ou a fambagem. As mesmas observações podem ser feitas para as Figuras 1b e 1c, com vaores diferentes de H, em reação a sequência de ocorrência dos pontos críticos bem como da capacidade portante máxima da treiça em reação à perda de rigidez e à fambagem. [a] [b] [c] FIGURA 1: Fatores de carga críticos. [a] Carga crítica para β=1.. [b] Carga crítica para β=1.5. [c] Carga crítica para β=.. FONTE: Autoria Própria (16).

12 4 6. CONLUSÕES De maneira sucinta pode-se dizer que neste trabaho foi descrito de forma objetiva, concisa e detahada a abordagem anaítica para a detecção, cassificação e sequência de ocorrência de pontos críticos na trajetória primária de equiíbrio de um sistema físico simpes. Determinou-se as condições geométricas e físicas para as quais ocorrem a coaescência entre os pontos imites e os pontos de bifurcação. A condição de coaescência de pontos críticos deve ser um requisito em estudos de otimização reativos à estabiidade estrutura. Portanto, é necessário evar em consideração a não inearidade geométrica na anáise da estabiidade de equiíbrio de sistemas estruturais. É importante destacar é que o principa objetivo deste trabaho foi demonstrar a necessidade de compreender mehor os fenômenos não ineares para projetar sistemas estruturais mais seguros. Wriggers P. Computationa contact mechanics, nd Edition. Springer, 518 p.. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BATHE, K.J., Finite eement procedures. Prentice-Ha, 137 p BELYTSCHKO T.; LIU W. K.; MORAN B. Noninear finite eements for continua and strucutures. John Wiey, 65 p.. BONET J.; WOOD R.D. Noninear continuum mechanics for finite eement anaysis. nd Edition, Cambridge University Press, 318 p. 8. BORST R., CRISFIELD M.A., REMMERS J.J.C.; VERHOOSEL C.V. Non-inear finite eement anaysis of soids and structures. nd Edition, Wiey, 516 p. 1. CRISFIELD M.A. Non-inear finite eement anaysis of soids and structures. Voume 1: Essentias. John Wiey, 345 p CRISFIELD M.A. Non-inear finite eement anaysis of soids and structures, Voume : Advanced Topics. John Wiey, 494 p DOYLE J.F. Noninear anaysis of thin-waed structures. Statics, Dynamics and Stabiity. Springer, 511 p. 1. KRENK, S. Non-inear modeing and anaysis of soids and structures. Cambridge University Press, 349 p. 9. WRIGGERS P. Noninear finite eement methods, Springer, 559 p. 8.