UM ALGORITMO VNS MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO COM ALOCAÇÃO DE TRABALHADORES

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1 UM ALGORITMO VNS MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO COM ALOCAÇÃO DE TRABALHADORES Guido Pantuza Jr. Instituto Federa de Minas Gerais IFMG Rua Minas Gerais, Governador Vaadares MG. guido.junior@ifmg.edu.br RESUMO O presente trabaho trata do probema de sequenciamento e aocação de trabahadores (SPWA). Para ta, propõem-se um agoritmo heurístico chamado de VNS-Mutiobjetivo baseado no método heurístico VNS. No SPWA, objetiva-se minimizar o número de trabahadores e o tempo tota gasto para executar todas as tarefas (makespan). Como os objetivos são confitantes entre si, o método proposto no VNS-Mutiobjetivo gera um conjunto de souções eficientes, cabendo ao gestor escoher qua a soução deve ser adotada. Portanto, este trabaho propõe um método para resoução de probemas mutiobjetivos, demostrando que é possíve utiizar um número reduzido de funcionários e terminar todas as tarefas em tempo hábi, utiizando assim, os recursos de uma empresa de forma otimizada. PALAVARAS CHAVE. Otimização Mutiobjetivo, VNS-Mutiobjetivo, SPWA. MH - Metaheurísticas OC - Otimização Combinatória ABSTRACT This paper deas with the probem of scheduing and aocation of workers (SPWA). To this, is proposed a heuristic agorithm caed the VNS-based Mutiobjective heuristic VNS. In SPWA, the objective is to minimize the number of workers and the tota time taken to perform a jobs (makespan). As the objectives are conficting, the proposed method in Mutiobjective VNSgenerates a set of efficient soutions, being the manager to choose which soution shoud be adopted. Therefore, this paper proposes a new method for soving mutiobjective probems, showing that you can use a sma number of empoyees and end a jobs in a timey manner, thereby using the resources of a company optimay. KEYWORDS. Mutiobjective Optimization, VNS-Mutiobjective, SPWA. MH - Metaheuristics OC - Combinatoria Optimization 2745

2 1. Introdução O mercado mundia está cada vez mais competitivo e exigente. Aém disso, as crises mundiais e a recessão na Europa ameaçam a saúde financeira das empresas. Diante deste cenário, as empresas necessitam reduzir o seu custo produtivo. Uma forma de reduzir este custo é através do uso otimizado dos fatores de produção. Entre os diversos fatores de produção, um dos que possuem maior impacto nos custos produtivos é a mão-de-obra. Segundo a FIESP (2011), a mão de obra, em 2009, foi responsáve, em média, por 32,4% do custo tota dos bens produzidos no Brasi. Trata-se do vaor mais ato de todos os países estudados (34 maiores economias) e 11% acima da média mundia que foi de 21,4%. Se comparado com outros países em desenvovimento temos: 14,7% em Taiwan, 17% na Argentina e Coréia do Su e 27% no México. Isto se deve ao fato dos recentes aumentos dos saários acima da infação, adicionados aos encargos sociais e benefícios. Por isso, as empresas procuram a redução do número de funcionários sem afetar os prazos de entrega e quaidade do produto fina. Esse probema enfrentado peas empresas é conhecido na iteratura como o probema de sequenciamento com aocação de trabahadores (Scheduing Probem with Worker Aocation SPWA). O probema consiste em aocar as tarefas aos trabahadores de uma empresa, minimizando o instante de término da útima tarefa executada (makespan) e o número de funcionários utiizados. Esse probema é composto por dois objetivos confitantes: minimizar o número de trabahadores e o tempo tota gasto. Dessa forma, não existe uma soução única que otimize todas eas ao mesmo tempo. Assim, adotamos o método de otimização mutiobjetivo. Esse método consiste na busca de um conjunto de souções eficientes, o que torna o sistema mais fexíve, uma vez que ee apresenta diversas souções diferentes. Ta fato permite que o gestor escoha a soução que for mais conveniente. Para a resoução de probemas mutiobjetivos, os métodos variam entre métodos exatos e heurísticos. Para a abordagem exata tem-se a certeza de uma soução ótima, mas, para probemas compexos, geramente o tempo despendido é superior ao tempo disponíve para a tomada de decisão. A utiização de métodos heurísticos é recomendada quando é procurada uma boa soução em tempo hábi. Entretanto, esse método não garante a otimaidade da soução para o probema. Segundo, Tan et a. (2009), o SPWA é um probema NP-difíci, ou seja, para instâncias com dimensões maiores, não é possíve encontrar a soução ótima goba em tempo computaciona hábi. Logo, o objetivo deste trabaho é propor um modeo heurístico mutiobjetivo baseado no agoritmo Variabe Neighborhood Search VNS apicado ao probema SPWA. Para tanto, este trabaho está organizado como segue. Na seção 2 descreve-se o probema em estudo. Na seção 3 o referencia teórico. Na seção 4, apresenta-se a metaheurística VNS apicada ao SPWA. A apresentação das instâncias testes e dos resutados são feitas na seção 5. A concusão é apresentada na seção Probema de Sequenciamento com Aocação de Trabahadores O probema de sequenciamento com aocação de trabahadores também é conhecido como Scheduing Probem with Worker Aocation (SPWA). O probema é composto por um conjunto de trabahadores, Worker, e um conjunto de tarefas, Job. Ee consiste em aocar as tarefas aos trabahadores e propor uma sequencia de execução, respeitando as restrições de quaificação. Ou seja, um trabahador só pode executar uma tarefa se ee for quaificado. Aém disso, cada trabahador, para executar uma mesma tarefa, necessita de tempos diferentes de acordo com suas habiidades. O objetivo do SPWA é minimizar, simutaneamente, o makespan e minimizar o número tota de funcionários utiizados. 2746

3 Neste trabaho consideramos as seguintes restrições: Todas as tarefas devem ser executadas. Não consideramos o tempo de desocamento dos funcionários ou o tempo de espera em fia. O horizonte de panejamento da aocação dos trabahadores é fixo. Cada tarefa é executada por apenas um único funcionário. O excesso de trabaho para os trabahadores não é considerado, ou seja, não consideramos que os trabahadores ficarão sobrecarregados com excesso de trabaho. Todas as tarefas tem o mesmo níve de esforço. Todos os funcionários possuem o mesmo custo (saário). Cada coaborador possui uma habiidade diferente, ou seja, cada um executa a mesma tarefa com um tempo diferente. Na iteratura encontramos aguns trabahos que abordam este probema. Iima e Sannomiya (2001), propuseram uma heurística para resoução do SPWA fundamentada no Agoritmo Genético chamada Modue Type Genetic Agorithm (MTGA). Iima e Sannomiya (2002), também utiizaram o MTGA, porém consideraram que cada trabahador possui o mesmo níve de quaificação para executar as diferentes tarefas. Osawa e Ida (2005), também utiizaram Agoritmo Genético, porém propuseram um novo método de seeção da popuação sobrevivente. Todos os trabahos citados anteriormente adotaram abordagens mono-objetivas. Ou seja, a cada iteração, as souções são avaiadas atribuindo-se pesos para cada objetivo. Nesta abordagem, o peso atribuído a cada objetivo é constante, ogo, agum objetivo pode ser priorizado em detrimento dos outros. Não é de conhecimento do autor deste trabaho uma abordagem mutiobjetivo para o SPWA. 3. Fundamentação Teórica O SPWA é composto por dois objetivos confitantes (minimizar o número de funcionários e o makespan). Assim, não existe uma soução única que otimize todas eas ao mesmo tempo. Por exempo, com um número reduzido de funcionários não é possíve executar todas as tarefas em tempo hábi. Probemas dessa natureza são chamados de probemas de otimização mutiobjetivo. Ees envovem minimização e/ou maximização simutânea de um conjunto de objetivos satisfazendo a um conjunto de restrições. Deve-se, assim, buscar um conjunto de souções eficientes. Neste caso, a tomada de decisão será de responsabiidade do gestor. Ee poderá escoher a soução que mehor se adapta às necessidades de produção dentre as souções eficientes. Segundo Fonseca e Feming (1995), a otimização mutiobjetivo diverge da otimização mono-objetivo, devido ao fato de raramente admitir uma simpes soução. Por isso, a soução é composta por uma famíia de souções Pareto-ótimas que devem ser consideradas equivaentes, em vista da ausência de informação referente à importância de cada objetivo. O conjunto de souções eficientes também é conhecido como souções Pareto-ótimas. Segundo Pareto (1896), o conceito de Pareto-ótimo constitui o objetivo da busca na otimização mutiobjetivo. Por definição, um conjunto de souções S é Pareto-ótimo se não existe outro conjunto de souções viáveis S* que possa mehorar agum objetivo, sem causar uma piora em peo menos outro objetivo. Em outras paavras, uma soução s pertence ao conjunto de souções * Pareto-ótimo S se não existe soução s que domine s. Considerando um probema de minimização, temos: * * * s domina s se, e somente se, s s e s < s para agum ; * s e s são indiferentes ou possuem o mesmo grau de dominância se, e somente * * se, s não domina s e s não domina s. Segundo Pantuza Jr. (2011), para otimizar os probemas de otimização mutiobjetivo NP-difíci, os métodos baseados em heurísticas parecem ser a mehor aternativa. Pois estes são fexíveis, eficientes e de fáci impementação. Entre os inúmeros trabahos reacionados à abordagem heurística mutiobjetiva, 2747

4 destacam-se como os mais utiizados, os Agoritmos Genéticos, os quais são baseados na teoria da evoução. Nos Agoritmos Genéticos Mutiobjetivos, a cada geração, ou iteração, tem-se um conjunto de indivíduos, ou souções-pais. Para gerar uma nova popuação (souções-fiho), os operadores genéticos (tais como recombinação e mutação) são apicados sobre as souções-pai. Dessa forma, obtêm-se uma nova popuação de souções formada peas souções-pai e souçõesfiho. No fina de cada iteração, os indivíduos mais aptos sobrevivem e o restante é descartado. Entre os inúmeros Agoritmos Genéticos Mutiobjetivos, destacamos: VEGA, MOGA, NPGA, SPEA e NSGA. No Vector Evauated Genetic Agorithm (VEGA), proposto por Schaffer (1985), a cada geração, um grupo de indivíduos que supera os demais de acordo com um dos n objetivos é seecionado, até que n grupos sejam formados. Então os n grupos são misturados conjuntamente e os operadores genéticos são apicados para formar a próxima geração. No Mutiobjective Genetic Agorithm (MOGA), proposto por Fonseca e Feming (1993), cada indivíduo i é cassificado em um níve de acordo com o número de indivíduos que esse indivíduo i domina. Todos os indivíduos não dominados são cassificados no níve 1. A aptidão de cada indivíduo é atribuída de acordo com uma interpoação entre o mehor e o pior níve. A aptidão fina atribuída a todos os indivíduos de um mesmo níve é a mesma e igua à média da aptidão do próprio níve. Dessa forma, todos os indivíduos do mesmo níve são indiferentes entre si. No Niche Pareto Genetic Agorithm (NPGA), proposto por Horn et a. (1994), a seeção dos indivíduos se dá através de um torneio baseado no conceito de dominância de Pareto. Dois indivíduos são seecionados e comparados com um subconjunto da popuação de souções, sendo seecionado para a próxima geração aquee que não for dominado. No agoritmo Non-dominated Sorting Genetic Agorithm (NSGA), proposto por Srivivas e Deb (1995), os indivíduos são cassificados em níveis de acordo com seu grau de dominância, ta como nos agoritmos anteriores. Entretanto, é atribuído um vaor de aptidão a cada indivíduo de acordo com seu níve e sua distância em reação às outras souções do mesmo níve, a chamada distância de mutidão. A seeção é feita através de torneios utiizando o vaor de aptidão até que todas as vagas para a próxima geração sejam preenchidas. No agoritmo Strength Pareto Evoutionary Agorithm (SPEA), proposto por Zitzer (1999), é utiizada a seeção baseada na reação de dominância para avaiar e seecionar as souções. Para avaiar essa reação de dominância e cassificar os indivíduos em níveis de dominância, o SPEA usa um conjunto adiciona da popuação. Porém, ao contrário dos agoritmos anteriores, os quais descartam os indivíduos não seecionados, ee utiiza os indivíduos não dominados da popuação da geração anterior para determinar a aptidão dos indivíduos da popuação corrente. Apesar de serem os mais utiizados, os Agoritmos Genéticos nem sempre são os mais recomendados (GUIMARÃES et a., 2007). Aém destes, também encontramos outras heurísticas para probemas Mutiobjetivos, tais como o procedimento Busca Tabu Mutiobjetivo (BTM) proposto por Arroyo (2002). Aém da heurística Busca Tabu, iniciamente proposta para probemas mono-objetivos, outras também podem ser utiizadas tais como os métodos heurísticos VNS e Variabe Neighborhood Descent (VND). O método heurístico VNS, exempificado pea Figura 1, proposto por Madenovic e Hansen (1997), é um método que consiste em exporar o espaço de souções por meio de trocas sistemáticas das estruturas de vizinhança. Contrariamente às outras metaheurísticas baseadas em métodos de busca oca, o método VNS não segue uma trajetória. Ee expora vizinhanças diferentes da soução corrente e focaiza a busca em torno de uma nova soução se e somente se um movimento de mehora é reaizado. O VNS também incui um procedimento de busca oca a ser apicado sobre a soução corrente. No presente trabaho adotou-se o método VND, exempificado pea Figura 2 para fazer a busca oca, também utiizado peo VNS origina. 2748

5 Procedimento VNS (f(.),n(.),r,s); 1 Seja s o uma soução inicia; 2 Seja r o número de estruturas diferentes de vizinhança; 3 s s o ; 4 Enquanto ( critério de parada não satisfeito ) faça 5 k 1; 6 Enquanto ( k r) faça 7 Gere um vizinho quaquer s N (k) (s); 8 s BuscaLoca (s ); se ( f(s ) < f(s) ) então s s ; k 1; 12 Senão 13 k k + 1; 14 Fim se 15 Fim-enquanto; 16 Fim-enquanto; 17 Retorne s; Fim VNS; Figura 1: Heurística VNS Procedimento VND (f(.),n(.),r,s); 1 Seja r o número de estruturas diferentes de vizinhança; 2 k 1 ; 3 Enquanto ( k r) faça Encontre um vizinho s N (k) (s); se ( f(s ) < f(s) ) então s s ; k 1; 8 Senão 9 k k + 1; 10 Fim se 11 Fim-enquanto; 12 Retorne s; Fim VND; Figura 2: Heurística VND O VND é uma técnica usada para o refinamento de souções iniciais. Isto é feito através da anáise da região de souções factíveis por meio de trocas sistemáticas nas estruturas da vizinhança de uma soução corrente. Este método aceita apenas as souções de mehora da soução corrente, retornando à primeira estrutura quando uma mehor soução é encontrada. 2749

6 4. Metodoogia Para uma gama de probemas, encontrar a soução ótima goba de instâncias de grande dimensão pode ser inviáve. Para probemas desta natureza, como o SPWA, o uso de métodos exatos se torna bastante restrito. Este é o motivo peo qua inúmeros trabahos concentram esforços na utiização de heurísticas para soucionar probemas desse níve de compexidade. Heurísticas podem ser definidas como sendo uma técnica que procura boas souções, ou seja, próximas do ótimo goba. Logo, também apresentamos um modeo heurístico mutiobjetivo baseado no agoritmo VNS exempificado pea Figura 1 na seção 3. O agoritmo proposto chamado de VNS-Mutiobjetivo (VNSM), exempificado pea Figura 3, começa sua execução partindo de um conjunto de souções iniciais S 0. Este conjunto é gerado através de um procedimento parciamente guoso, utiizando um torneio binário. O número de souções (NSo) do conjunto S 0 foi definido de forma empírica, considerando a compexidade do probema. Procedimento VNSM (f(.),n(.),r) 1 Seja S o um conjunto de souções iniciais; 2 Seja r o número de estruturas diferentes de vizinhança; 3 para ( < NSo ) faça 4 s s S 0 ; 5 it 0; 6 Enquanto ( it < It_SM) faça 7 k 1; 8 Enquanto ( k r) faça 9 Gere um vizinho quaquer s N (k) (s ); 10 s BuscaLoca (s ); 11 se ( f(s ) < f(s ) ) então 12 s s ; 13 k 1; 14 Senão 15 k k + 1; 16 it it+1; 17 Fim se 18 Fim-enquanto; 19 Fim-enquanto; 20 s S; 21 Fim-para 22 Retorne S; Fim VNSM Figura 3: heurística VNS-Mutiobjetivo Após esse passo, cada soução s S0 é avaiada segundo uma função de avaiação com pesos variáveis. O vaor do peso de cada objetivo varia a cada iteração, dessa forma a cada iteração um objetivo possui maior ou menor importância para determinar uma soução. Em seguida, a primeira soução, s 1, do conjunto S 0 é seecionada e seeciona-se aeatoriamente um vizinho s 1 dentro da vizinhança N (1) (s 1 ) da soução s 1 corrente. Esse vizinho s 1 é então submetido a um procedimento de busca oca retornando a soução s 1. Se a soução ótima oca, s 1, for mehor que a soução s 1 corrente, a busca continua de s 1 recomeçando da primeira estrutura de vizinhança N (1) ( s 1 ). Caso contrário, continua-se a busca a partir da próxima estrutura de vizinhança N (k+1) ( s ). Esta etapa é repetida até que se obtenha um número máximo de iterações sem mehora, It_SM, definido empiricamente. Ao fina desta etapa, a mehor 2750

7 soução encontrada é adicionada ao conjunto de souções finais S. Após o fina da etapa anterior, o procedimento retorna ao seu início, seecionando a próxima soução s do conjunto S 0 e repete-se todo o procedimento anterior. O agoritmo é repetido para todas as souções s i do conjunto de souções iniciais S Representação de uma soução Uma soução pode ser representada por uma matriz (s ) [Worker (Job+1)]. Dessa forma, os movimentos das estruturas de vizinhança se tornam mais simpes e naturais. Assim, o agoritmo torna-se menos compexo e a avaiação das souções é faciitada. O conjunto de souções S é formado pea união de todas as NSo (número de souções) matrizes s. A Figura 4 exempifica uma possíve soução s. A primeira couna apresenta os trabahadores. A couna Uti indica se o funcionário i reaiza uma tarefa j quaquer. As counas Tarefas indicam as tarefas aocadas a cada trabahador e sua respectiva sequência. No exempo da Figura 4, o vaor 1 da primeira inha (Trabahador 1) e couna Uti indica que o funcionário 1 está sendo utiizado. Os vaores das outras counas indicam que o funcionário 1 executará as tarefas 1, 3 e 4, nesta ordem. O vaor 0 na segunda inha (Trabahador 2), couna Uti indica que o trabahador 2 está ocioso. Logo ee não executará nenhuma tarefa. Para o trabahador 4 temos que ee executará as tarefas 2 e 5, nesta ordem. Uti Tarefas Figura 4: Representação de uma soução s. Trabahador 4.2 Geração da soução Inicia A soução inicia gera NSo matrizes s através de um procedimento parciamente guoso utiizando um torneio binário. Para cada matriz soução s, a cada iteração do procedimento, uma tarefa j é seecionada. Aém disso, dois funcionários também são escohidos aeatoriamente. Aquee funcionário que executar a tarefa j seecionada em menor tempo é escohido. Por exempo, para a tarefa 1 são escohidos os funcionários 2 e 4. O funcionário 2 executa a tarefa 1 em 3 horas e o funcionário 4 em 2 horas. Neste caso a tarefa j será executa peo funcionário 4. Este procedimento é executado até que todas as tarefas sejam atribuídas a agum funcionário i para todas as matrizes s S. 4.3 Avaiação de uma soução Uma soução s S é avaiada segundo a função de avaiação f( s ). Esta função busca minimizar o número de funcionários e o makespan através de penaidades. A função de avaiação f( s ) é exempificada pea Eq. (1). min w 1 w f( s) = σ( s) + τ( s) σ τ s S (1) Sendo: w : Penaidade da soução s. σ : makespan. 2751

8 τ : Número de trabahadores utiizado. σ : Fator de correção para o parâmetro σ. τ : Fator de correção para o parâmetro τ. O vaor de w é aterado a cada iteração do agoritmo VNSM para cada soução s avaiada. Iniciamente ee assume o vaor 1, e a cada iteração, para cada soução s, seu vaor é decrescido segundo a Eq. 2. Nesta equação, a cada iteração, o novo vaor de w é igua ao vaor da penaidade da iteração anterior, w 1, menos o vaor da divisão de 1 peo número de souções adotado. Dessa forma, a cada iteração, atera-se o espaço de busca priviegiando agum objetivo. 1 w = w 1 NSo (2) Na função de avaiação, Eq. 1, também adotamos fatores de correção,. Estes fatores garantem que as varáveis de decisão τ e σ estejam dentro da mesma ordem de grandeza. 4.4 Estruturas de vizinhança Para exporar o espaço de souções do probema, ou seja, para encontrar uma soução s, dita vizinha de s, foram utiizados dois movimentos apresentados a seguir: Movimento Reaoca Tarefa, N RT ( s ): Este movimento consiste em escoher aeatoriamente um trabahador i que está sendo utiizado. Em seguida, a útima tarefa j é seecionada e reaocada para outro trabahador escohido aeatoriamente. Na Figura 5, o trabahador 1 é seecionado e a tarefa 4 é reaocada para o trabahador 4. Uti Tarefas Uti Tarefas Figura 5: Movimento Reaoca Tarefa, N RT (s ) Trabahador Trabahador Movimento Trabahador, N T ( s ): Este movimento consiste em escoher aeatoriamente um trabahador i que está sendo utiizado e reaocar todas as suas tarefas para os demais trabahadores, aeatoriamente. Na Figura 6 o trabahador 1 é seecionado, a tarefa 3 é reaocada para o trabahador 4 e a tarefa 1 é reaocada para o trabahador

9 Uti Tarefas Uti Tarefas Figura 6: Movimento Trabahador, N T (s ) Trabahador Trabahador 4.5 Busca oca A busca oca é apicada a todas as souções s S. Ea consiste na apicação do VND (vide Fig. 2). Iniciamente, considera-se um conjunto de r = 2 vizinhanças distintas, cada qua definida por um dos tipos de movimentos definidos na seção 4.4. Na sequencia, a partir de uma soução s, um determinado número de vizinhos s da primeira vizinhança são anaisados. Em seguida, parte-se para a segunda estrutura de vizinhança. Novamente, um determinado número de vizinhos é anaisado. O vizinho s que apresentar maior mehora, em reação à s, segundo a função de avaiação da seção 4.3, é escohido, e encerra-se a busca oca. 5. Resutados Para testar o método proposto foram utiizadas 4 instâncias-teste. Eas podem ser encontradas em Eas diferem entre si peo número de trabahadores e de tarefas. A tabea 1 apresenta agumas características das instâncias. As counas #Worker e #Job mostram, respectivamente, o número de trabahadores e o número de tarefas que precisam ser executadas. Tabea 1: Características das instâncias-teste #Worker #Job Instância Instância Instância Instância O agoritmo VNSM proposto foi desenvovido na inguagem C, usando o compiador C++ Buider 5.0 da Borand. Ee foi testado em um PC Pentium Core 2 Duo, com 2,4 GHz e 4 GB de RAM sob pataforma Windows 7. Iniciamente o agoritmo proposto foi submetido a uma bateria preiminar de testes para caibrar os diversos parâmetros existentes. Tais parâmetros são: o número de iterações de cada execução (It_SM), número de souções (NSo), a penaidade da soução s ( w ) e o vaor dos σ τ fatores de correção ( e ). 2753

10 Após a determinação dos parâmetros, o agoritmo foi submetido a uma bateria de testes com 100 execuções para cada instância teste. A tabea 2 mostra o tempo gasto, em segundos, peo agoritmo proposto. Na inha Menor tem-se o menor tempo gasto entre as 100 execuções. Na inha Médio, mostra-se o tempo médio e na inha Maior tem-se o Maior tempo gasto peo agoritmo proposto. Tabea 2: Tempo de execução. Instância 1 Instância 2 Instância 3 Instância 4 Menor 5,5 78,5 61,4 146,7 Médio 5,8 101,8 146,8 211,7 Maior 6,8 136,5 265,7 277,3 O gráfico da Figura 7 mostra os resutados obtidos depois de 100 execuções do VNSM. O eixo das abscissas representa o tempo tota gasto para executar todas as tarefas. O eixo das ordenadas representa o número de trabahadores utiizados. O gráfico apresenta o mehor conjunto de souções encontrado entre as execuções do VNSM (Mehor). Ee também apresenta o conjunto de souções composto peos vaores médios cacuados (Médio). Para cacuar os vaores médios, a cada execução do VNSM, um conjunto de souções, S, é encontrado. A primeira soução, s 1, de cada execução do VNSM é coetada, e o vaor Médio, mostrado na Figura 7, corresponde à média dos vaores dos objetivos de todas as s 1 souções encontradas nas 100 execuções do VNSM. Este cácuo é repetido para todas as segundas souções s 2, e para as demais souções do conjunto S. Nota-se que com o aumento da compexidade da instância o tempo de execução do agoritmo aumenta e sua eficiência diminui. Como não é de conhecimento do autor outro trabaho adotando uma abordagem mutiobjetivo, e a resoução por método exato é inviáve computacionamente, ainda não há parâmetros para determinar o quanto são boas as souções encontradas. Figura7: Resutados do VNSM. 6. Concusões Este trabaho propôs um método de soução para o probema de sequenciamento com 2754

11 aocação de trabahadores (SPWA), adaptando o agoritmo heurístico mono-objetivo, VNS, para um agoritmo mutiobjetivo, VNSM. O objetivo deste probema é minimizar o número de funcionários e o tempo tota gasto para executar todas as tarefas. Ao contrário dos trabahos encontrados na iteratura, este trabaho tratou o SPWA como um probema mutiobjetivo, ou seja, um probema composto por vários objetivos confitantes entre si. Assim, apresenta-se ao fina da execução do agoritmo, um conjunto de souções eficientes, as quais ou priorizam aguma meta ou, então, estão equiibradas entre os diversos vaores dos objetivos. O gestor, responsáve pea tomada de decisão, torna-se responsáve pea escoha de qua aternativa mais se adapta à reaidade operaciona da empresa naquee instante. O agoritmo proposto, VNSM, baseado no agoritmo VNS, parte de uma soução inicia parciamente guosa através de um torneio binário. Para a busca oca utiiza o agoritmo VND e duas estruturas de vizinhanças para exporar o espaço de busca das souções. Dessa forma, procura-se um agoritmo fexíve simpes e eficiente que seja capaz de se adaptar a quaquer tipo de probema mutiobjetivo. Peos testes reaizados percebe-se que o agoritmo proposto é capaz de encontrar um conjunto de souções eficientes para o probema em estudo. O agoritmo gerou souções com vaores próximos uns dos outros na quase totaidade dos testes. Uma proposta para trabahos futuros é a utiização de novos movimentos para o SPWA e o teste do VNSM para outros probemas. Agradecimentos O autor agradece ao IFMG e à FAPEMIG, peo apoio financeiro para o desenvovimento deste trabaho de pesquisa. Referências Arroyo, J. E. C. (2002), Heurísticas e metaheurísticas para otimização combinatória mutiobjetivo. Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Eétrica, Unicamp, Campinas, SP. FIESP. Encargos trabahistas sobre foha de saários e seus impactos no Brasi e no mundo. Reatório Técnico. Fiesp/Decomtec. São Pauo SP, Fonseca, C. M. e Feming, P. J. (1993). Genetic agorithms for mutiobjective optimization: Formuation, discussion and generaization. Anais do Fifth Internationa Conference on Genetic Agorithms, p , San Mateo, USA, Fonseca, C. M. e Feming, P. J. (1995). An overview of evoutionary agorithms in mutiobjective optimization. Evoutionary Computation, v. 3, n. 1, p Guimarães, I. F.; Pantuza, G. e Souza, M. J. F. (2007). Modeo de simuação computaciona para vaidação dos resutados de aocação dinâmica de caminhões com atendimento de metas de quaidade e de produção em minas a céu aberto. Anais do XIV Simpósio de Engenharia de Produção - SIMPEP, 11 p. (CD-ROM), Bauru. Horn, J.; Nafpiotis, N. e Godberg, D. E. (1994). A niched pareto genetic agorithm for mutiobjective optimization. Anais do the First IEEE Conference on Evoutionary Computation, IEEE Word Congress on Computationa Inteigence, p , Piscataway, USA. Iima, H. e Sannomiya, N. (2001). Modue Type Genetic Agorithm for Modified Scheduing Probems with Worker Aocation. Anais do American Contro Conference. Arington, VA. Iima, H. e Sannomiya, N. (2002). Proposition of Modue Type Genetic Agorithm and Its Appication to Modified Scheduing Probems with Worker Aocation. IEEE Japan, v.122-c, p Madenovic, N. e Hansen, P. (1997). Variabe Neighborhood Search. Computers and Operations Research, n. 24 pp Osawa, A. e Ida, K. (2005). Scheduing Probem with Worker Aocation using Genetic Agorithm. Japan-Austraia workshop on inteigent and evoutionary systems, pp

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