OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO

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1 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO Adair Santa Catarina Curso de Ciência da Computação Unioeste Campus de Cascavel PR Fev/2018 Materiais de referência: PANTUZA Jr., G. Métodos de otimização multiobjetivo e de simulação aplicados ao problema de planejamento operacional em lavra em minas a céu aberto p. Dissertação (Mestrado em Engenheria Mineral) - Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto. PÉREZ, M. A. F. Um método heurístico para o problema de escalonamento multiobjetivo em vários ambientes de máquina p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) PUC-Rio, RJ.

2 Problemas de Otimização Multiobjetivo Problemas de Otimização Multiobjetivo (POM) são aqueles que consideram mais de um objetivo e que, às vezes, são conflitantes. 2

3 Problemas de Otimização Multiobjetivo O que se busca, neste exemplo, são aquelas configurações de computadores (soluções) que apresentam desempenho maior ou equivalente por um custo menor ou igual. Estas soluções que superam outras são conhecidas como soluções não-dominadas. Soluções que são superadas por pelo menos uma outra solução são conhecidas como soluções dominadas. Uma solução razoável para um POM é uma solução não-dominada por qualquer outra solução. Resultado melhor seria obter todo o conjunto delas. 3

4 Definição Formal de um POM Um POM com r 2 objetivos pode ser definido da seguinte forma: Dado um vetor de variáveis de decisão com dimensão n, x = {x 1, x 2,..., x n } no espaço de busca X, queremos encontrar um vetor x* Xque minimiza simultaneamente as r funções objetivo f(x*) = (f 1 (x*), f 2 (x*),..., f r (x*). Modelo geral de um POM de minimização (POM) Min f(x) = {f 1 (x), f 2 (x),..., f r (x)} s.a x X. 4

5 Soluções Pareto-ótimas Quando todas as funções objetivo são de minimização, pode-se escrever as soluções Paretoótimas, definidas formalmente por: Uma solução viável x domina outra solução viável yse e somente se f i (x) f i (y), para i = 1, 2,..., r e f i (x)<f i (y) para pelo menos uma função objetivo i. Uma solução é Pareto-ótima se não for dominada por nenhuma outra solução viável no espaço de busca. Uma solução Pareto-ótima não pode ser melhorada em relação a um objetivo sem a piora de ao menos um outro objetivo. 5

6 Soluções Pareto-ótimas O conjunto das soluções não-dominadas em Xé chamado de conjunto Pareto-ótimo, e sua imagem, no espaço dos valores dos objetivos é chamada Fronteira de Pareto. Min f(x) = x 2 Min g(x) = (x 1) 2 s.a x R 6

7 Métodos de Otimização Multiobjetivo Encontrar soluções viáveis que otimizem simultaneamente todos os objetivos. Na solução de problemas multiobjetivos, dois problemas podem ser identificados: 1) Busca de soluções 2) Tomada de decisões 1) Processo de otimização pelo qual se buscam as soluções viáveis, visando determinar o conjunto de soluções Pareto-ótimas. 2) Seleção de um critério apropriado para a escolha de uma solução do conjunto Pareto-ótimo (Decisor). 7

8 Métodos de Otimização Multiobjetivo Os métodos de otimização multiobjetivo podem ser classificados em três categorias: Método a prioriou tomada de decisão antes da busca. Método a posteriori ou tomada de decisão após a busca. Método iterativo ou tomada de decisão durante a busca. 8

9 Método A Priori O decisor participa da busca por soluções antes de resolver o problema, atribuindo elementos de preferência para os objetivos. Há duas configurações para atribuir preferências aos objetivos: 1) Combinam-se os objetivos em uma única função objetivo, explicitando a preferência dos mesmos através de pesos. Resolve-se o problema usando métodos tradicionais de otimização monoobjetivo. 9

10 Método A Priori 2) Ordenam-se os objetivos por preferência. Resolvese o problema para o primeiro objetivo na ordem de preferência, sem considerar os demais. A seguir resolve-se o segundo objetivo adicionando-se, como restrição, a função otimizada anteriormente, igualada ao seu valor ótimo. O processo segue até otimizar todas as funções objetivo. Nesta segunda configuração, vários problemas são resolvidos em sequência, até obtenção da solução final. Se as preferências mudarem ou algum novo aspecto for inserido ao problema, todo o processo de otimização deverá ser refeito. 10

11 Método A Posteriori A tomada de decisão é feita após a busca pelas soluções Pareto-ótimas. A busca é feita considerando que todos os objetivos do problema multiobjetivo possuem a mesma relevância para o problema. Possui alto custo computacional, devido a busca pelas soluções Pareto-ótimas. Entretanto, mudanças nas preferências não implicam em custo computacional. Assim este método é recomendado para problemas nos quais as preferências são relativas. 11

12 Método Interativo O decisor, antes de cada iteração, define as prioridades, norteando a busca na direção de regiões do espaço de busca onde se encontram soluções relevantes. A interação exaustiva entre o decisor humano e o otimizador (automático) pode tornar o método inapropriado para problemas multiobjetivo complexos. 12

13 Métodos Clássicos para POM Os métodos clássicos para resolver Problemas de Otimização Multiobjetivo aplicam uma escala (prioridades ou pesos) aos objetivos formando um objetivo único. Assim, transformam um POM em um Problema de Otimização Mono-objetivo. Os três métodos clássicos comumente utilizados são: 1) Método da soma ponderada; 2) Método ε-restrito; 3) Método de programação por metas. 13

14 Método da Soma Ponderada Converte um POM em Problema de Otimização Mono-objetivo atribuindo pesos para cada objetivo. A atribuição de diferentes pesos para cada objetivo gera uma nova função que representa uma relação linear entre todos os objetivos. minimizar f sujeito a: x X ( x) w f ( x) * r = i= 1 i i 14

15 Método da Soma Ponderada Este problema é resolvido iterativamente, considerando os pesos wdefinidos pelo decisor, de acordo com a importância dos objetivos. Para que os pesos w i reflitam a importância de cada objetivos, estes devem ser normalizados. Ou seja, os objetivos devem estar todos em uma mesma escala ou ordem de grandeza. f ( x) = ( * ( )) * f f x f f ( x) w ( ) * 1+ w * 2 f1 f2 f 1 e f 2 são os objetivos. f 1* e f 2* são as soluções ótimas para estes objetivos. w 1 e w 2 são os pesos. 15

16 Método da Soma Ponderada A principal desvantagem deste método é que ele não consegue encontrar todas as soluções Pareto-ótimas quando o espaço de busca não é convexo. O método da soma ponderada consiste em gerar diferentes retas suporte, ponderadas pelos pesos w i e, geralmente, nem todos os pontos Pareto-ótimos estarão sobre retas suporte. 16

17 Método da Soma Ponderada A solução alternativa é converter os objetivos em funções não-lineares. Para funções objetivo não-normalizadas: MinL i r s r s [ ( )] * = w izi Zi x, com wi = 1 i= 1 i= 1 1 Para funções objetivo normalizadas: MinL i = r i= 1 w i f i ( ) s max ( ) s r i x fi x ( ) ( ), com max min x f x f i 1 i= 1 w i = 1 17

18 Método do ε-restrito Consiste na otimização do objetivo mais importante sujeitando-se às restrições dos outros objetivos. Considerando um problema de otimização em que f 1 é o objetivo mais importante, temos: minimizar sujeito a : f f 1 ( x ) ( x) ε, i= 1,2, r i i, ε i é o limite superior do objetivo f i Para construir o conjunto de soluções Pareto-ótimas, varia-se o valor limite superior ε i. Se este limite não é adequado, o conjunto solução pode ser vazio. 18

19 Método de Programação por Metas Esta técnica é também conhecida por Goal Programming. Usando pesos convertem-se os múltiplos objetivos em um único objetivo. Os pesos ponderam variáveis de flexibilização ou desvios associados às variáveis de interesse. minimizar X = s. a: AX b d + i f, d i i X F ( X) d + i + d αd i 0, i= 1, 2,, n n i= 1 i = + i g + βd i i i, i= 1, 2,, n 19

20 Método de Programação por Metas 1) As variáveis x i X, d i+, d i- são as variáveis de decisão; 2) g i representa a meta a ser atingida no objetivo f i. 3) d i+ é o desvio positivo do recurso (ou exigência) i que quantifica o quanto a meta g i foi superada. 4) d i- é o desvio negativo do recurso (ou exigência) i que quantifica o quanto falta para atingir a meta g i. 5) α i, β i correspondem aos pesos associados aos desvios e, indiretamente, às próprias variáveis de decisão x i. 20

21 Vídeo-aulas Recomendadas Pesquisa Operacional Aula 21 Otimização multiobjetivo Pesquisa Operacional Aula 22 Programação por metas Goal Programming Prof. Aneirson Francisco Silva e Prof. José Roberto Dale Luche Introdução à otimização multiobjetivo Introdução à otimização multiobjetivo Parte 2 Prof. Aneirson Francisco Silva 21

22 Técnicas Heurísticas Multiobjetivo Há diversas técnicas heurísticas aplicas em otimização multiobjetivo. Estudaremos as Heurísticas Construtivas, as Heurísticas de Refinamento e as Meta-heurísticas, exclusivamente aquelas baseadas em Algoritmos Genéticos. 22

23 Heurísticas Construtivas São métodos com o objetivo de gerar uma solução partindo de uma solução vazia. Iterativamente, elemento a elemento, amplia-se a solução vazia até a solução completa. São métodos rápidos e, por isso, utilizados na construção de soluções iniciais, não necessariamente satisfatórias. As soluções podem ser refinadas posteriormente, por meio de heurísticas de refinamento ou meta-heurísticas. Devem ser utilizadas para se obter rapidamente uma aproximação inicial do conjunto Pareto-ótimo. 23

24 Heurísticas de Refinamento São métodos que utilizam a busca local para refinar uma solução inicial gerada por heurística construtiva ou aleatória. Em cada iteração, na vizinhança da solução inicial, definida por uma regra denominada movimento, buscam-se novas soluções que melhorem o valor da função de avaliação do problema. A eficiência deste método depende da solução inicial e do movimento (definição da vizinhança). Em POM este método pode ser utilizado para melhorar um conjunto de soluções dominantes. 24

25 Heurísticas de Refinamento Uma heurística de refinamento é o Método de Descida em Vizinhança Variável (Variable Neighborhood Descent - VND), a qual se baseia em diferentes estruturas de vizinhança. Inicialmente o VND considera um conjunto com r vizinhanças distintas, cada qual com seu movimento. A seguir parte do indivíduo corrente e analisa todos que estejam na primeira vizinhança, movendo-se para aquele que representar melhora na função de avaliação. 25

26 Heurísticas de Refinamento Repete-se o procedimento anterior enquanto houver indivíduo melhor avaliado. Se não houver indivíduo melhor, parte-se para a procura de um melhor indivíduo na 2 a vizinhança. Havendo melhora na segunda vizinhança, retorna-se para a primeira estrutura de vizinhança; caso contrário passa-se para a próxima vizinhança. O processo termina quando se encontra um indivíduo (solução) que não é melhorado em nenhuma de suas vizinhanças. Não garante solução no conjunto Pareto-ótimo. Armadilha do ótimo-local. 26

27 VND - Pseudocódigo 27

28 Meta-heurísticas aplicadas em POM Meta-heurísticas são métodos que visam encontrar boas soluções, eventualmente a ótima, combinando a busca local e global. Os objetivos de toda meta-heurística aplicada na resolução de POM são: Minimizar a distância do conjunto de soluções dominantes encontradas no conjunto Paretoótimo. Obter uma boa distribuição das soluções no conjunto dominante gerado. 28

29 Meta-heurísticas aplicadas em POM A grande maioria das meta-heurísticas para resolução de POM são baseadas em Algoritmos Genéticos. Esta preferência está fundamentada no fato de que os Algoritmos Genéticos utilizam um conjunto de soluções que podem conter informações sobre várias regiões do espaço de busca oferecendo, portanto, maiores possibilidades de encontrar o conjunto Pareto-ótimo ou uma aproximação. 29

30 Algoritmo Genético Multiobjetivo A principal diferença entre um AG mono-objetivo e um multiobjetivo está na forma como é avaliada a aptidão das soluções. Em AGs mono-objetivos a melhor solução é a mais apta. Nos AGs multiobjetivos as soluções dominantes são indiferentes, tornando necessária alguma estratégia para estimar a aptidão das soluções. O primeiro AG multiobjetivo foi o VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm), que avaliava cada objetivo separadamente. Este AG não permite diversidade adequada de soluções ao longo da fronteira de Pareto. 30

31 Algoritmo Genético Multiobjetivo Goldberg (1989) propôs outras abordagens para aplicar AGs na resolução de POM, como: Ordenar as soluções encontradas de acordo com o conceito de dominância de Pareto. A aptidão de uma solução é proporcional ao número de soluções que ela domina. Leva à perda da diversidade, pois as soluções mais aptas tendem a serem clonadas na lista de descendentes. Compartilhar indivíduos para manter a diversidade. A posição do indivíduo em relação à sua vizinhança (nicho) é computada na aptidão. Assim, indivíduos melhor espalhados na fronteira de Pareto passam a ter maior aptidão. 31

32 Algoritmo Genético Multiobjetivo Os AGs apresentam três grandes vantagens, em relação às técnicas tradicionais: Não introduzem parâmetros adicionais no problema. Trabalham diretamente com várias funções usando o conceito de dominância de Pareto. Um conjunto diversificado de soluções pode ser encontrado em um execução do Algoritmo Genético. O elitismo melhora as soluções encontradas pelos AGs para os POM. 32

33 AGs Propostos para resolução de POM VEGA (Vetor Evaluated Genetic Algorithm) Schaffel (1985) A cada geração, um grupo de indivíduos que supera os demais de acordo com um dos n objetivos é selecionado, até que n grupos sejam formados. Então os n grupos são misturados conjuntamente e os operadores genéticos são aplicados para formar a próxima geração. 33

34 AGs Propostos para resolução de POM MOGA (Multiobjective Genetic Algorithm) Fonseca e Fleming (1993) Cada indivíduo S (solução) é classificado em um nível de acordo com o número de soluções dominadas por S. Todos os indivíduos não dominados são classificados no nível 1. A aptidão de cada indivíduo é atribuída de acordo com uma interpolação entre o melhor e o pior nível. A aptidão atribuída a todos os indivíduos de um mesmo nível é a mesma e igual à média da aptidão do próprio Nível, tornando-os indiferentes entre si. 34

35 AGs Propostos para resolução de POM NPGA (Niche Pareto Genetic Algorithm) Horn et al. (1994) Utiliza um torneio baseado no conceito de dominância de Pareto para seleção dos indivíduos. Dois indivíduos são selecionados e comparados com um subconjunto da população de soluções, sendo selecionado para a próxima geração aquele que não for dominado. 35

36 AGs Propostos para resolução de POM NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) Srivivas e Deb (1995) Os indivíduos são classificados em níveis de acordo com seu grau de dominância Ni d. Entretanto, é atribuído um valor de aptidão a cada indivíduo de acordo com seu nível e sua distância em relação às outras soluções do mesmo nível, a chamada distância de multidão. A seleção é feita através de torneios utilizando o valor de aptidão até que todas as vagas para a próxima geração sejam preenchidas. 36

37 AGs Propostos para resolução de POM Há vários outros AGs Multiobjetivo propostos e explorados. ZITZLER, E. Evolutionary algorithms for multiobjective optimization: methods and applications. PhD thesis, Federal Institute of Technology Zurich, Swiss, KNOWLES, J. D. Local search and hybrid evolutionary algorithms for Pareto optimization. PhD thesis, University of Reading, UK, DEB, K.; AGRAWAL, S.; PRATAB, A.; MEYARIVAN, T. A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: Nsga-ii. Relatório técnico, Indian Institute of Technology

38 AGs Propostos para resolução de POM DEB, K.; PRATAP, A.; AGRAWAL, S.; MEYARIVAN, T. Fast elitist multi-objective genetic algorithm: Nsga-ii. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, v. 6, n. 2, p , COELLO, D. A.; Van VELDHUIZEN e LAMONT, G. B. Evolutionary algorithms for solving multiobjective problems. Relatório técnico, Kluwer Academic Publishers ARROYO, J. E. C. Heurísticas e metaheurísticas para otimização combinatória multi-objetivo. Tese de doutorado, Unicamp Campinas,

39 AGs Propostos para resolução de POM ARROYO, J. E. C.; ARMENTANO, V. A. Genetic local search for multi-objective flowshop scheduling problems. European Journal of Operational Research, v. 167, p , TAN, K.C.; CHEW, Y. H.; LEE, L. H. A hybrid multi- objective evolutionary algorithm for solving truck and trailer vehicle routing problems. European Journal of Operational Research, v. 172, p , DEB, K.; TIWARI, S. Omni-optimizer: A generic evolutionary algorithm for single and multi-objective optimization. European Journal of Operational Research, v. 185, p ,

40 Referências Bibliográficas ARROYO, J. E. C. Heurísticas e meta-heurísticas para otimização combinatória multiobjetivo Tese de doutorado Unicamp, Campinas. EHRGOTT, M.; GANDIBLEUX, X. A survey and annotated bibliography of multicriteria combinatorial optimization. Forthcoming: Willey, FONSECA, C. M.; FLEMING, P. J. Genetic algorithms for multiobjective optimization: Formulation, discussion and generalization. Anais do Fifth International Conference on Genetic Algorithms, p , GOLDBERG, D. E. Genetic algorithms in search, optimization & machine learning. Reading : Addison-Wesley, HORN, J.; NAFPLIOTIS, N. e GOLDBERG, D.E. A niched pareto genetic algorithm for multiobjective optimization. Anais do the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, p ,

41 Referências Bibliográficas HORN, J. Handbook of Evolutionary Computation, v.1. Oxford: Oxford University Press, KONAK, A.; COIT, D.; SMITH, A. Multi-objective optimization using genetic algorithms: a tutorial. Reliability Engineering & System Safety, v. 91, p , PANTUZA Jr., G. Métodos de otimização multiobjetivo e de simulação aplicados ao problema de planejamento operacional em lavra em minas a céu aberto p. Dissertação (Mestrado em Engenheria Mineral) -Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto. PÉREZ, M. A. F. Um método heurístico para o problema de escalonamento multiobjetivo em vários ambientes de máquina p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) PUC-Rio, Rio de Janeiro. 41

42 Referências Bibliográficas SCHAFFER, J. Multiple objective optimization with vector evaluated genetic algorithms. Genetic Algorithms and their Applications: Anais do First Internati-onal Conference on Genetic Algorithms, v. I, p , SRIVIVAS, N.; DEB, K.. Multiobjective optimization using nondominated sorting in genetic algorithms. Evolutionary Computation, v. 2, n. 3, p , TICONA, W. G. C. Algoritmos evolutivos multiobjetivo para a reconstrução de árvores filogenéticas Tese de doutorado ICMC/USP, São Carlos. ZITZLER, E.; DEB, K.; THIELE, L. Comparison of multiobjective evolutionary algorithms: Empirical results. Evolutionary Computation, v. 8, p ,