INFORMAÇÕES TRADE-OFF EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO

Transcrição

1 INFORMAÇÕES TRADE-OFF EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO Jesus Ossian da Cunha Silva, Programa de Engenharia de Sistemas e Computação-PESC, COPPE, UFRJ , Rio de Janeiro, RJ jossian@cos.ufrj.br. Paulo Roberto Oliveira, Programa de Engenharia de Sistemas e Computação-PESC, COPPE, UFRJ , Rio de Janeiro, RJ poliveira@cos.ufrj.br. RESUMO Em problemas de otimização multiobjetivo temos o objetivo definido por k funções, onde as funções componentes do objetivo são conflitantes entre si. O conjunto solução do pro-blemas de otimização multiobjetivo é desprovido de relação de ordem entre seus elementos, o que dificulta a determinação de uma solução desejável. Uma alternativa para se determinar uma melhor solução é o uso de taxas trade-off as quais expressam a real quantidade de ganho e perda quando mudamos de uma solução para outra. Os multiplicadores de Karush-Kunh-Tucker podem ser interpretados como taxas trade-off PALAVRAS CHAVE: Multiobjetivo. Trade-off. Karush-Kunh-Tucker. Programação Matemática. ABSTRACT In multiobjective optimization problems have the objective is defined by k functions, where the components of objective are conflicting with each other. The solution set of the problem of multiobjective optimization is devoid of relation of order between its elements, making it difficult to determine a desirable solution. An alternative to determine a better solution is the use of tradeoff rates which reflect the actual amount of gain and loss change when a solution to another. A multiplier of Karush-Tucker-Kunh can be interpreted as a rates trade-off. KEYWORDS: Multiobjective. Trade-off. Karush-Kunh-Tucker. Mathematical Programming. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2355

2 1 Introdução Definimos o problema o problema de otimização multiobjetivo. Problema 1 (POM) Minimizar (f 1 (x), f 2 (x),..., f k (x)), Sujeito a x S R n. onde S é denominado conjunto viável do problema. Consideremos o seguinte exemplo [3 de POM. Exemplo 1 minimizar ((x 1 3) 2 + (x 2 2) 2, x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 ) sujeito a x 1 0 x 2 0. Abaixo definimos o conjunto solução do POM. Definição 1 (Pareto ótimo) x é solução Pareto ótimo do POM se não existe outro x S tal que f i (x) f i (x ) para todo i = 1,..., k e f i (x) < f i (x ) para no mínimo um índice i. Definição 2 (Pareto ótimo fraco) x S é Pareto ótimo fraco se não existe outro x S tal que f i (x) < f i (x ) para todo i = 1,..., k. Definição 3 (Pareto ótimo próprio) x S é Pareto ótimo próprio se ele é Pareto ótimo e se existe um M > 0 tal que para cada f i e cada x S satisfazendo f i (x) < f i (x ), existe no mínimo um f j tal que f j (x) > f j (x ) e f i (x ) f i (x) f j (x) f j (x ) M para todo i, j = 1,..., k e i j. Uma solução que não é Pareto ótimo próprio é denominada solução Pareto ótimo impróprio. Em problemas de otimização escalar, não há, em geral, soluções globais, e a condição usual para a existência de tais soluções é a convexidade. Em otimização multiobjetivo temos situação semelhante. Podemos ainda caracterizar a solução do POM localmente em uma vizinhança B(x, r), r 0, x S, onde S é o conjunto Pareto ótimo. Teorema 1. Se o POM é convexo então toda solução de Pareto ótimo local é também Pareto ótimo global. Prova 1 Para prova veja teorema em [6. c.q.d XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2356

3 2 Método ɛ-restrição Em otimização multiobjetivo se utiliza métodos de escalarização durante o processo solução. Através de métodos de escalarização se transforma o POM em um problema de otimização escalar, o qual possui métodos de resolução bem desenvolvidos. Utilizaremos o método ɛ-restrição(pɛ) para resolver o POM. No método ɛ-restrição um componente do vetor objetivo é selecionado para ser otimizado e todos os outros componentes objetivos são convertidos em restrições com a determinação de um limite superior para cada um deles. Temos que o POM transforma-se no seguinte problema, Minimizar f l (x), Problema 2 (Pɛ) Sujeito a f j (x) ɛ j, j {1,..., k}, j l, x S R n. onde l {1,..., k}, S l (ɛ) = {x S f j (x) ɛ j, j l} e ɛ ε = { (ɛ 1,..., ɛ k ) T R k S l (ɛ) }. Para x ser viável ao problema P ɛ é necessário que x S S l (ɛ) Transformando o problema do exemplo 1 temos o seguinte Pɛ, Exemplo 2 [P 1 (ɛ) minimizar (x 1 3) 2 + (x 2 2) 2 sujeito a x 1 + x 2 ɛ 2 x 1 + 2x 2 ɛ 3 x 1 0 x 2 0 Figura 1: Gráfico do P 1 (ɛ) Graficamente temos que a função objetivo do P 1 (ɛ) define um círculo de centro no ponto (3, 2). Resolver esse problema é equivalente a se encontra um ponto viável o mais próximo do ponto (3, 2). De acordo com região viável determinada pelos limitantes ɛ 2 e ɛ 3 tem-se que x é uma solução do exemplo 2. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2357

4 Observe que o conjunto Pareto ótimo é determinado por pontos no interior e na fronteira do triângulo definido pelos pontos extremos (1, 0), (2, 0) e (3, 2) e o segmento entre (0, 0) e (1, 0). Em [2 e [6 podemos encontrar a caracterização da relação entre as soluções do Pɛ e as soluções Pareto do problema de otimização multiobjetivo através de teoremas. Uma grande dificuldade na formulação do Pɛ é a determinação do ɛ. Uma alternativa para determinação de ɛ adequado é o uso do conceito de solução utópica. Definição 4 (Solução utópica) Uma solução utópica f = (f1, f 2,..., f k como onde, f i = f i (x i ), i = 1,..., k x i = arg min x S f i (x) ) do POM é definida É necessário encontrar valores adequados a inicialização do vetor ɛ = (ɛ 1,..., ɛ k ). Resolvendo os k problemas mono-objetivos podemos obter valores ótimos individuais para cada objetivo f i, i = 1,..., k, os quais compõem o objetivo f correspondente à solução utópica do problema. Paralelamente quando f i está no seu ótimo individual podemos determinar os piores valores atingidos por cada objetivo f j, j = 1,..., k, j i, formando o vetor f 0 = (f 1, f 2,..., f k ). Em cada Pɛ os limites ɛ i das restrições referente a f i, i = 1,..., k são determinados através de um gerador de números aleatórios com distribuição de probabilidades uniforme atendendo à restrição f ɛ f 0. A geração dos ɛ j não é tarefa fácil, pois o ponto obtido pode não ser Pareto ótimo assim como os valores de ɛ j podem tornar o problema inviável. 3 Taxas trade-off e os multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker Definição 5. Sejam x 0, x S e as correspondentes imagens dos objetivos f(x 0 ) = (f 1 (x 0 ), f 2 (x 0 ),..., f k (x 0 )) e f(x ) = (f 1 (x ), f 2 (x ),..., f k (x )). Taxa trade-off entre x 0 e x envolvendo os objetivos f i e f j é definida como T ij (x 0, x ) = f i(x 0 ) f i (x ) f j (x 0 ) f j (x ) onde f j (x 0 ) f j (x ). É possível estender a definição 5 de trade-off para o caso onde f j (x 0 ) = f j (x ), para maiores detalhes veja por exemplo [2. Definição 6. T ij (x 0, x ) é chamada trade-off parcial envolvendo f i e f j entre x 0 e x se f l (x 0 ) = f l (x ) para todo l = 1,..., k e l j, i. Quando f l (x 0 ) f l (x ) para no mínimo um l {1,..., k}, T ij (x 0, x ) é chamada trade-off total envolvendo f i e f j entre x 0 e x. Definição 7. Dado x S. Suponha que exista uma direção viável d. Se o limite t ij (x, d) = lim α 0 T ij (x + αd, x ) = lim α 0 f i (x + αd) f i (x ) f j (x + αd) f j (x ) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2358

5 existe, denominamos t ij (x, d) taxa trade-off em x na direção d envolvendo os objetivos f i e f j. Se f i e f j são ambas de classe C 1 em x temos, t ij (x, d) = f i(x ) T d f j (x ) T d Também é possível estender a definição 7 de trade-off para o caso onde f j (x + αd) = f j (x ), para maiores detalhes veja por exemplo [2. Denotemos o conjunto das restrições do POM por S = {x x R n, g i (x) 0, i = 1,..., m}. O conjunto dos ɛ s R k 1 os quais satisfazem o problema ɛ-restrição sera denotado por ε. Associado ao Pɛ temos os multiplicadores Karush-Kuhn-Tucker λ lj os quais determinam soluções de acordo com as condições de otimilidade do Pɛ ([6). O conceito chave entre os multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker λ lj e taxa trade-off entre f l e f j em x S é a interpretação da sensibilidade entre os multiplicadores. Para detalhes veja Teorema da Sensibilidade ([5 e [3). Teorema 2. Suponha que x resolve Pɛ para algum ɛ ε, com 1. x sendo um ponto regular com respeito às restrições ativas do Pɛ, 2. as condições suficientes de segunda-ordem satisfeitas em x, e 3. todas as restrições ativas em x não-degeneradas. Assuma sem perda de generalidade que λ kj > 0 para todo j = 1,..., p e λ kj = 0 para todo j = p + 1,..., k 1. Então, a). Se ɛ j = f j(x ) para todo j = 1,..., k 1, então existe uma vizinhança B(x ; r) de x, r > 0 e uma função x() : R k 1 R n de classe C 1 definida em alguma vizinhança B(ɛ ; R) R k 1 de ɛ, R > 0 tal que S B(x ; r) x(b(ɛ ; R)) S (1) onde S é o conjunto Pareto ótimo no espaço decisão. b). Suponha p = k 1 e B(x ; r) são obtidos como em a). Sejam Z k = { (f 1,..., f k ) T f j = f j (x), j = 1,..., k, x S B(x ; r) } e Z k 1 = { (f 1,..., f k 1 ) T f j = f j (x), j = 1,..., k 1, x S B(x ; r) }. Então existe uma função f k de classe C 1 definida em Z k 1 tal que para cada (f 1,..., f k ) T Z, f k = f k (f 1,..., f k 1 ) T. Além disso para cada j = 1,..., k 1. f k f j (f 1 (x ),..., f k 1 (x )) = λ kj (2) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2359

6 c). Seja 1 p < k 1, onde Z ɛ = { (f 1,..., f k ) T f j = f j (x), j = 1,..., k, x x(b(ɛ ; R)) }. Então existem funções de classe C 1, f p+1,..., f k 1 e f k definidas em B(ɛ ; R) tais que para cada (f 1,..., f k ) T Z ɛ temos, f j = f j (f 1,..., f p, ɛ p+1,..., ɛ k 1 ), para todo j = p + 1,..., k. Além disso para cada i = 1,..., p temos f k f l ɛ=ɛ = λ kl = f k(x ) T d l f l (x ) T d l onde d é a direção x(ɛ ) ɛ l. Também temos que para cada j = p + 1,..., k 1, Prova 2. Para prova veja teorema 4.30 em [3. Aplicando o teorema 2 ao exemplo 2. f j f l ɛ=ɛ = f j(x ) T x(ɛ ) ɛ l (3) c.q.d Exemplo 3 Considere o problema P 1 (ɛ) do exemplo 2 onde ɛ = (ɛ 2, ɛ 3 ). Seja ɛ 2 = 2, 5 e ɛ 3 = 3. O ponto x 0 = (2; 0, 5) é solução do problema, já que x 0 é um ponto regular, os gradientes das restrições ativas f 2 (x 0 ) = (1, 1) T e f 3 (x 0 ) = (1, 2) T são linearmente independentes e as condições de Karush-Kuhn-Tucker são satisfeitas(figura 2). Em particular, f 1 (x 0 ) + λ 0 12 f 2 (x 0 ) + λ 0 13 f 3 (x 0 ) = 0 o que implica que λ 0 12 = 1 e λ0 13 = 1. Para este exemplo temos a seguinte função lagrangeana, L(x, λ, µ) = (x 1 3) 2 + (x 2 2) 2 + λ 12 (x 1 + x 2 ɛ 2 ) + λ 13 (x 1 + 2x 2 ɛ 3 ) µ 1 x 1 µ 2 x 2. Calculando gradiente e hessiana, L(x, λ, µ) = (2(x 1 3) + λ 12 + λ 13 µ 2, 2(x 2 2) + λ λ 13 µ 2 ), e H(x, λ, µ) = [ No ponto x 0 = (2; 0, 5) temos que L(x 0, λ, µ) = (0, 0) e H(x 0, λ, µ) é definida positiva. É possível obter vários valores para ɛ = (ɛ 1, ɛ 2 ) de forma que ainda assim conseguimos soluções Pareto ótimo para P 1 (ɛ). Temos que para B(ɛ 0 ; R) onde R > 0, existe uma função x : B(ɛ 0 ; R) R k definida pela regra: para cada ɛ B(ɛ 0 ; R), ɛ resolve P 1 (ɛ)(teorema 2). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2360

7 Figura 2: Solução para P 1 (2, 5; 3) Figura 3: Solução para P 1 (2, 51; 3) Após encontrar essa vizinhança calculamos x(ɛ), d 0 2 = x(ɛ0 ) e d 0 3 ɛ = x(ɛ0 ). 2 ɛ 3 Para algum ɛ B(ɛ 0 ; R), a solução única de P 1 (ɛ) é sempre um ponto na interseção das duas restrições, f 2 (x) ɛ 2 e f 3 (x) ɛ 3 (Figura 2). Assim para algum ɛ B(ɛ 0 ; R), temos que x(ɛ) é dado por, f 2 (x) = x 1 + x 2 = ɛ 2, f 3 (x) = x 1 + 2x 2 = ɛ 3. Calculando x(ɛ), x(ɛ) = [ x1 (ɛ) x 2 (ɛ) [ 2ɛ2 ɛ = 3 ɛ 3 ɛ 2. Calculando d 0 2 e d0 3 (Figura 2), [ d 0 2 = x(ɛ0 ) 2 = ɛ 2 1 d 0 3 = x(ɛ0 ) ɛ 3 = [ 1 1,. Em seguida examinamos f 1 (f 2, f 3 ). Para todo ɛ B(ɛ 0 ) as desigualdades f 2 ɛ 2 e f 3 ɛ 3 são sempre ativas na solução ótima x(ɛ) de P 1 (ɛ). Para cada ɛ B(ɛ 0 ; R) no caso de P 1 (ɛ 0 2, ɛ0 3 ), f 1 (x(ɛ)) = [ (2ɛ 0 2 ɛ 0 3) [ (ɛ 0 3 ɛ 0 2) 3 2, f1 (f 2, f 3 ) = [(2f 2 f 3 ) [(f 3 f 2 ) 3 2. Segue que, f 1 (x 0 ) f 2 = 2(2f 2 f 3 3)2 2(f 3 f 2 2) = 1 = λ XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2361

8 e f 1 (x 0 ) f 3 = 2(2f 2 f 3 3) 2(f 3 f 2 2) = 1 = λ O resultado acima possibilita mudarmos de ponto ao invés de ficar com o ponto x 0. Podemos decidir, por exemplo, permanecer no nível de f 3 e alterar o nível de f 2, por exemplo, aumentar f 2 por no máximo δɛ 2, onde 0 < δɛ 2 1. De acordo com essa decisão a melhor alternativa seria x 1 = x(ɛ 2 + δɛ 2, ɛ 3 ), onde e f 2 (x 1 ) = ɛ δɛ 0 2, f 3 (x 1 ) = ɛ 0 3. f 1 (x 1 ) = [ 2f 2 (x 0 ) f 3 (x 0 ) [ f3 (x 0 ) f 2 (x 0 ) 2 2, f 1 (x 0 ) + λ 12 δɛ 0 2 Movendo de x 0 para x 2 ocorre um movimento na direção d 0 2 no espaço decisão(figura 2). Por exemplo, se δɛ 0 2 = 0, 01, a nova solução Pareto ótimo é (Figura 3), [ x 2 1 (ɛ) x 2 2 (ɛ) [ 2ɛ 2 = 2 ɛ 2 3 ɛ 2 3 ɛ2 2 [ 2, 02 = 0, 49 com f 2 (x 2 ) = 2, 51, f 3 (x 2 ) = 3 e f 1 (x 2 ) = [ 2f 2 (x 2 ) f 3 (x 2 ) 3 2 [ + f3 (x 2 ) f 2 (x 2 ) 2 2 = 3, 2405 Assim a mudança de f 1 (x 0 ) = 3, 25 para f 1 (x 2 ) = 3, 2405 a qual é igual a f 1 (x 2 ) f 1 (x 0 ) = 0, 0095 unidades é dada por λ 0 12 δɛ0 2 0, 01 unidades, justificando o uso de λ0 12 como uma taxa trade-off aproximada em x 0. 4 Conclusão Em virtude do que foi mencionado é possível se resolver problemas de otimização multiobjetivo através de métodos de otimização escalar, por exemplo o método Pɛ. Após resolver o problema utiliza-se informações trade-off para decidir qual a melhor solução Pareto ótimo. Percebe-se que os multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker, ferramentas matemáticas de grande utilidade em otimização são utilizados nesse processo. Através da análise desses multiplicadores se chega a uma solução desejável. Os multiplicadores podem ser interpretados como taxas, as quais determinam o ganho em uma determinada variável objetivo com uma perda em outra, enquanto as outras permanecem inalteradas. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2362

9 Referências [1 Ferreira, Paulo Augusto Valente(1998), Otimização Multiobjetivo: Teoria e Aplicações, FEEC-UNICAMP. [2 Haimes, Yacov H. e Chankong, Vira (1979), Kuhn-Tucker Multipliers as Trade-Offs in Multiobjetive Decision-Making Analysis, Automatica, 15, [3 Haimes, Yacov H. e Chankong, Vira(1983), Multiobjective decision making: theory and methodology, Dover, Mineola, USA. [4 Hwang, C.L. e Masud, A.S.(1979), Multiple Objetive Decision Making - Methods and Aplications: A State-of-the-Art Survey, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 164, Spring-Verlang, Berlin, Heiderberg. [5 Luenberger, David E.(1984), Linear and Nonlinear Programming, Second Edition, Addison- Wesley, Reading, MA, USA. [6 Miettinen, Kaisa(1990), Nonlinear Multiobjective Optimization, International Series in Operations Research and Management Science, 12, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2363