Teoria da Decisão. Otimização Vetorial. Prof. Lucas S. Batista. lusoba

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1 Teoria da Decisão Otimização Vetorial Prof. Lucas S. Batista lusoba Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Graduação em Engenharia de Sistemas

2 Introdução Sumário 1 Otimização Vetorial Introdução Relações adicionais de dominância Métodos de decisão multiobjetivo 2 / 35

3 Introdução Problema de otimização multiobjetivo Problemas de otimização vetorial (ou multiobjetivo) são uma importante classe de problemas de decisão multiobjetivo. A solução do primeiro é a primeira etapa de solução do segundo. Do ponto de vista metodológico, problemas multiobjetivo são caracterizados pela otimização de uma função vetorial. Do ponto de vista do decisor, deseja-se escolher a ação que otimiza simultaneamente todas as funções objetivo. 3 / 35

4 Introdução Problema de otimização multiobjetivo Problemas de otimização multiobjetivo permitem uma modelagem mais flexível e realista do problema de otimização. Essa flexibilidade tem um preço: não há uma única solução definida, mas um conjunto de soluções de compromisso. A unidade de decisão deverá escolher entre o conjunto de alternativas aquela que se mostra mais interessante, segundo os critérios de decisão. Frequentemente, cada critério é derivado de um objetivo de otimização, modelado como c i (f i ( )) : A R. 4 / 35

5 Introdução Problema de otimização multiobjetivo Formulação geral de problemas de otimização multiobjetivo (POM): min x f(x) R m, x F g i (x) 0; i = 1,...,p F = h j (x) = 0; j = 1,...,q x X 5 / 35

6 Introdução Problema de otimização multiobjetivo m funções objetivo devem ser minimizadas simultaneamente. Como em geral são conflitantes (ou contraditórias), a melhora em um objetivo implica na piora de outro. Questões: 1 Como caracterizar as soluções de um POM? 2 Quais critérios utilizar para comparar e ordenar tais soluções? 6 / 35

7 Sumário 1 Otimização Vetorial Introdução Relações adicionais de dominância Métodos de decisão multiobjetivo 7 / 35

8 Definições Seja x 1, x 2 F, dizemos que x 1 Pareto domina (ou, simplesmente, domina) x 2 se f(x 1 ) f(x 2 ) e f(x 1 ) f(x 2 ), ou seja, em pelo menos um dos objetivos a desigualdade é atendida de forma estrita. Esta relação de dominância é escrita como f(x 1 ) f(x 2 ). Soluções incomparáveis Seja x 1, x 2 F, dizemos que os mesmos são não dominados entre si, ou incomparáveis entre si, se f(x 1 ) f(x 2 ) e f(x 2 ) f(x 1 ). 8 / 35

9 Definições Otimalidade local () O ponto x F X é localmente Pareto-ótimo em relação a f( ) : X Y se não existe x V ǫ (x ) F que domina x. Otimalidade global () O ponto x F X é globalmente Pareto-ótimo em relação a f( ) : X Y se não existe x F que domina x. 9 / 35

10 Definições Conjunto Pareto-ótimo Dado um problema de otimização multiobjetivo, o seu conjunto Paretoótimo global é definido como: P = {x F x F tal que f(x) f(x )} O conjunto Pareto-ótimo contém as soluções não dominadas em relação ao conjunto F. Este conjunto é também nomeado não-inferior, eficiente, ou nãodominado. 10 / 35

11 Definições Fronteira Pareto-ótima A fronteira Pareto-ótima global S do problema de otimização multiobjetivo corresponde à imagem do conjunto Pareto-ótimo global no espaço de objetivos, isto é, S = f(p): S = {y = f(x) : x P} A cardinalidade de P pode ser muito elevada ou mesmo igual a infinito. Do ponto de vista prático, é mais interessante estimar um conjunto de soluções eficientes de tamanho limitado, porém representativo de P. 11 / 35

12 Definições Conjunto Pareto-ótimo Aproximado Se o algoritmo de otimização empregado não garante convergência global, então obtém-se uma estimativa do conjunto Pareto-ótimo global, i.e., P. Fronteira Pareto-ótima Aproximada De forma análoga, obtém-se uma estimativa da fronteira Pareto-ótima global, i.e., S = f( P). 12 / 35

13 Ilustração dos conceitos Exemplo Obtenha o conjunto e a fronteira Pareto-ótimos do problema a seguir. Esboce as soluções eficientes nos espaços R n e R m. { f 1 (x) = x 1 min f 2 (x) = (x 3) s.a x 0, x R 13 / 35

14 Otimalidade Pareto O conjunto Pareto-ótimo pode ser definido de forma gráfica: Cone negativo Um cone negativo é definido em R m conforme: C = {y = f(x) R m : f(x) 0} C (ζ) = {y = f(x) R m : f(x) ζ} 14 / 35

15 Otimalidade Pareto Teorema do Contato Dado um problema de otimização multiobjetivo, a sua fronteira Paretoótima global é definida geometricamente como: S = {y = f(x ) : C (y ) f(f) = {y }} 15 / 35

16 Ordenação por dominância Pareto Exemplo Considere a tabela a seguir: Solução f 1 f 2 A 8 5 B 9 2 C 12 1 D 11 2 E 16 2 Tabela: Conjunto de soluções de um problema com dois objetivos. Compare as soluções usando o conceito de dominância Pareto. 16 / 35

17 Ordenação por dominância Pareto Algoritmo 1: Ordenação Pareto 1 N = N; 2 currentrank 1; 3 while N 0 do /* Há pontos a serem classificados */ 4 for i = 1 to N do 5 if y i é não dominado then rank(y i ) currentrank; 6 end 7 for i = 1 to N do 8 if rank(y i ) = currentrank then 9 Armazena y i em um conjunto temporário; 10 N N 1; 11 end 12 end 13 currentrank currentrank + 1; 14 N N; 15 end 17 / 35

18 Características da fronteira Pareto Ponto ideal ou solução utópica A solução utópica u corresponde ao ponto no espaço de objetivos cujas coordenadas são dadas por u j = f j (x j ), j = 1,...,m, com x j = argmin f j (x) : x F ou ainda u j = min{y j : y S} Ponto nadir ou solução antiutópica A solução antiutópica ũu corresponde aos piores valores para cada função-objetivo considerando apenas a fronteira Pareto-ótima, isto é: ũ j = max{y j : y S} 18 / 35

19 Características da fronteira Pareto Conjuntos convexos Seja o conjunto Q R n. Esse conjunto é dito convexo se, para todo x 1, x 2 Q e 0 λ 1, verifica-se que para z = λx 1 + (1 λ)x 2 tem-se z Q. Fronteiras Pareto-ótimas quando f(f) é convexo: minimize f 1, minimize f 2 ; minimize f 1, maximize f 2 ; maximize f 1, minimize f 2 ; maximize f 1, maximize f / 35

20 Características da fronteira Pareto Qual a forma da fronteira Pareto... quando a interseção entre f(f) e o hipercubo definido pelos pontos ideal e nadir é um conjunto convexo? quando a interseção entre f(f) e o hipercubo definido pelos pontos ideal e nadir não é um conjunto convexo? quando f(f) é desconexa? quando f(f) é multimodal? 20 / 35

21 Características da fronteira Pareto Relação de compromisso das soluções eficientes: Como caracterizar sua representatividade? Qual o seu efeito no processo de tomada de decisão? A estratégia de otimização do problema multiobjetivo influencia na qualidade das soluções obtidas? 21 / 35

22 Relações adicionais de dominância Sumário 1 Otimização Vetorial Introdução Relações adicionais de dominância Métodos de decisão multiobjetivo 22 / 35

23 Relações adicionais de dominância Introdução A relação de dominância Pareto não oferece muita flexibilidade: inclusão de preferências do decisor; tradeoff e resolução desejados pelo usuário. Por essa razão, várias relações adicionais foram propostas: 1 dominância lexicográfica; 2 dominância extrema ou extremo-dominância; 3 max-dominância; 4 cone dominância; 5 α-dominância; 6 ǫ-dominância; 7 Lorenz dominância; 8 Volume-dominância; 9 g-dominância; 10 r-dominância; / 35

24 Relações adicionais de dominância g-dominância Definição Antes de definir a relação g-dominância, define-se 1, se z g flag (z) = g 1, se g z 0, caso contrário com g, z R m. 24 / 35

25 Relações adicionais de dominância g-dominância Definição Essa função divide o espaço em 4 regiões: 25 / 35

26 Relações adicionais de dominância g-dominância Definição Sejam y 1, y 2 f(f), F X, f : X R n Y R m, e um ponto de referência g R m, dizemos que y 1 g-domina y 2 se e somente se 1 flag g (y 1 ) > flag g (y 2 ) ou 2 caso flag g (y 1 ) = flag g (y 2 ), se y 1 y 2. Essa relação é escrita como y 1 g y / 35

27 Relações adicionais de dominância g-dominância Essa relação de dominância prioriza soluções numa região próxima à solução de referência; Integra preferências do decisor; Pode ser utilizada em metaheurísticas baseadas em população ou trajetória, e em métodos interativos (progressivos); Pode ser considerada também como um critério adicional em um problema de tomada de decisão multicritério. 27 / 35

28 Relações adicionais de dominância r-dominância Definição (reference solution-based dominance) Seja uma população Y = {y i } f(f), F X, f : X R n Y R m, e um ponto de referência g R m, diz-se que y 1 r-domina y 2 sss 1 y 1 y 2 ou 2 y 1 e y 2 são não dominados mas D(y 1, y 2, g) < δ, δ [0, 1]. D(y 1, y 2, g) = d(y 1, g) d(y 2, g) d max d min d max = max d(z, g), z Y d min = min d(z, g), z Y d(z, g) = m ( ) 2 fi (z) f i (g) w i f i,max f i,min i=1 Essa relação é escrita como y 1 r y / 35

29 Relações adicionais de dominância r-dominância Essa relação de dominância prioriza soluções próximas à solução de referência; Integra preferências do decisor; Pode ser utilizada em metaheurísticas de população ou trajetória, e em métodos interativos (progressivos); Estabelece uma ordenação parcial estrita para soluções não dominadas; Estabelece pressão seletiva mais forte do que a relação de dominância usual. 29 / 35

30 Métodos de decisão multiobjetivo Sumário 1 Otimização Vetorial Introdução Relações adicionais de dominância Métodos de decisão multiobjetivo 30 / 35

31 Métodos de decisão multiobjetivo Métodos de decisão multiobjetivo O decisor pode articular suas preferências em diferentes momentos: Decisão a priori; Decisão progressiva; Decisão a posteriori. 31 / 35

32 Métodos de decisão multiobjetivo Métodos de decisão multiobjetivo Decisão a priori O decisor é consultado uma única vez, antes do início do processo de otimização. Emprega-se uma técnica de decisão que agrega as preferências em uma única função objetivo global. Obtém-se uma única solução final (baixo esforço computacional). Exige que o decisor articule melhor suas preferências. E se o decisor não possui uma ideia clara das possíveis soluções do problema? 32 / 35

33 Métodos de decisão multiobjetivo Métodos de decisão multiobjetivo Decisão progressiva O decisor é consultado repetidas vezes ao longo do processo de otimização. Ele pode rearticular suas preferências de forma interativa. Essas preferências guiam a busca em direção a uma solução mais satisfatória. Permite obter informações quanto ao conjunto de soluções possíveis antes da tomada de decisão. Exige maior esforço computacional que na decisão a priori. 33 / 35

34 Métodos de decisão multiobjetivo Métodos de decisão multiobjetivo Decisão a posteriori O decisor é consultado após a obtenção de um conjunto discreto de soluções eficientes. Os estágios de otimização e decisão são independentes. O decisor pode definir suas preferências conhecendo todas as alternativas. Normalmente requer um alto custo computacional. 34 / 35

35 Y. Collette and P. Siarry, Multiobjective Optimization: Principles and Case Studies, ser. Decision Engineering, Springer, V. Chankong, Y. Haimes, Multiobjective decision making: Theory and methodology, 1st ed., Dover Publications, K. Deb, Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms, Wiley, M. M. Kostreva, W. Ogryczak, A. Wierzbicki, Equitable aggregation and multiple criteria analysis, European Journal of Op. Res., 158, p , K. M. Miettinen, Nonlinear Multiobjective Optimization, International Series in Operations Research & Management Science, Springer, J. Molina, L. V. Santana, A. G. Hernández-Díaz, C. A. C. Coello, R. Caballero, g-dominance: reference point based dominance for multiobjective metaheuristics, European Journal of Operational Research, 197, p , L. B. Said, S. Bechikh, and K. Ghédira, The r-dominance: a new dominance relation for interactive evolutionary multicriteria decision making, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 14:5, p , October Inicio 35 / 35