Otimização Multiobjetivo. Estéfane G. M. de Lacerda DCA/UFRN Junho/2009

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1 Otimização Multiobjetivo Estéfane G. M. de Lacerda DCA/UFRN Junho/2009

2 Otimização Multiobjetivo Muitos problemas do mundo real envolve otimizar várias funções objetivo. Minimizar f 1 x, f 2 x,..., f n x Os objetivos podem ser conflitantes, de forma que otimizar uma função pode afetar as outras funções.

3 Exemplos Fulano que comprar um carro: Tamanho do carro; Consumo (km/l); Preço do carro. Sicrano procura emprego e considera os seguintes atributos: Sálario inicial Localização do trabalho Oportunidades associado ao trabalho

4 Exemplos Uma empresa tem que: minimizar taxa de acidentes; minimizar os custos. Outra empresa tem que maximizar o lucro; minimizar a taxa de poluição.

5 Simples x Múltiplos objetivos Otimização com simples objetivo. Uma única solução. Otimização com múltiplos objetivos. Múltiplas soluções. Nenhuma delas é melhor do que as demais com respeito a todos os objetivos.

6 Princípios de Otimização Multiobjetiva Relação de dominância entre soluções. Conjunto Pareto-ótimo. Fronteira de Pareto

7 Dominância Dizemos que uma solução x 1 domina uma solução x 2 se as seguintes condições se verificam: Condição 1: i : f i ( x1) fi ( x2) Condição 2: i : f i ( x1) < fi ( x2)

8 Exemplo 1 Um conjunto de soluções x f 1 (x) f 2 (x) As soluções não dominadas {1,2,4} x = 3 é dominado por x = 4 x = 5 é dominado por x =

9 Conjunto Pareto-ótimo Todas as soluções não-dominadas do espaço de busca S formam o conjunto Pareto-ótimo*: P = { xi S / x j S : xi é dominado por x j} (*) Homenagem a Vilfredo Pareto, renomado Economista ( ) e pioneiro em otimização multiobjetivo.

10 Fronteira de Pareto Dado um conjunto Pareto-ótimo P, a fronteira de Pareto é definida como: FP={F x = f 1 x, f 2 x,, f m x x P}

11 Exemplo 2 f 1 A Espaço das funções objetivo D C B E F Fronteira de Pareto f 2

12 Exemplo 2 A, D, B e E pertencem a fronteira de Pareto. Apesar de C não ser dominada por A e E, ela não pertence a fronteira de Pareto por que é dominada por D.

13 Exemplo 3 f 1 =x 2 f 2 = x 2 2

14 Exemplo 3 f 1 =x 2 f 2 = x 2 2 Conjunto Pareto-ótimo P={x: 0 x 2}

15 Exemplo 3 f 1 =x 2 f 2 = x 2 2 Fronteira de Pareto FP={ x 2, x 2 2 x P}

16 O Método da Somas Poderadas Soma ponderada das funções objetivos. n minimizar F = i=1 w i f i Onde w i é peso usado para dar mais relevância a uma função.

17 O Método da Somas Poderadas A principal desvantagem é a dificuldade de encontrar pesos adequados (muitas vezes isto é feito pela intuição do decisor).

18 O Método da Somas Poderadas É possível encontrar pontos do conjunto Pareto variando os pesos. Não podem encontrar múltiplas soluções em uma única rodada. Muitos métodos não podem manipular eficientemente problemas com variáveis discretas e com múltiplas soluções.

19 O Método Evolucionário (1/5) Procedimento de Ranking (Goldberg, 1989) Passo 1: Atribuir rank =1 para os indivíduos não dominados da população. Passo 2: Retirar os indivíduos de rank=1 da população e atribuir rank = 2 para individuos não dominados da população restante. Passo 3: Repetir o procedimento para rank=3, 4, 5... até esgotar a população.

20 O Método Evolucionário (2/5) Procedimento de Ranking (Fonseca e Fleming, 1993): Seja r i o número de indivíduos que dominam a solução x i Então o rank de x i é dado por: rank(x i ) = r i + 1

21 O Método Evolucionário (3/5) Procedimento de Ranking (Fonseca e Fleming, 1993)

22 O Método Evolucionário (4/5) AG's modernos usam técnicas especiais (e.g., nichos) para distribuir uniformemente as soluções sobre conjunto Pareto. AG sem nichos AG com nichos

23 O Método Evolucionário (5/5) AG sem nichos AG com nichos