DETERMINAÇÃO DA FRONTEIRA DE EFICIÊNCIA ATRAVÉS DA ESTRATÉGIA DE PARETO: APLICAÇÃO EM CARTEIRAS DE PROJETOS DE PETRÓLEO E GÁS

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1 DETERMINAÇÃO DA FRONTEIRA DE EFICIÊNCIA ATRAVÉS DA ESTRATÉGIA DE PARETO: APLICAÇÃO EM CARTEIRAS DE PROJETOS DE PETRÓLEO E GÁS Fabrício Broseghini Barcelos Departamento de Engenharia Industrial, PUC-RIO, Rua Marques de São Vicente 225, Rio de Janeiro fbb@rdc.puc-rio.br Marco Aurélio Pacheco Departamento de Engenharia Elétrica, PUC-RIO, Rua Marques de São Vicente 225, Rio de Janeiro. marco@ele.puc-rio.br Silvio Hamacher Departamento de Engenharia Industrial, PUC-RIO, Rua Marques de São Vicente 225, Rio de Janeiro. hamacher@rdc.puc-rio.br Resumo O desenvolvimento de campos de petróleo demandam vultosos investimentos. Assim sendo, métodos para administração de carteiras de campos (portfólios) e técnicas de otimização são cada vez mais importantes na industria de petróleo e gás. O objetivo deste artigo é investigar o desempenho de Algoritmos Genéticos na determinação da Fronteira de Eficiência, a fim de selecionar um conjunto de portfólios de produção de petróleo e gás. O algoritmo proposto foi testado em carteiras com 25 projetos e os resultados obtidos mostram que o Algoritmo Genético proposto é capaz de alcançar os objetivos do problema de seleção de portfólios. Palavras-chave: Algoritmos Genéticos, Markowitz, Fronteira de Eficiência, Estratégia de Pareto, Seleção de Carteiras de Projetos; Petróleo e Gás. Abstract Due to large investments to explore oil and gas fields, methods to manage and to optimize the portfolios of these fields are becoming more important in the oil industry. This article investigates the performance of Genetic Algorithms in the determination of the Efficient Frontier in order to select a set of oil and gas exploitation portfolios. The proposed algorithm has been tested in portfolios with 25 projects and the results showed the usefulness of the genetic algorithms in this problem. Keywords: Genetic Algorithm, Markowitz, Efficient Frontier, Pareto Strategy, Portfolio Selection, Oil and Gas. 1. INTRODUÇÃO Companhias de petróleo ou agência reguladoras estão constantemente enfrentando situações em que devem decidir onde o capital deve ser aplicado. Grandes projetos de desenvolvimento de campos de petróleo demandam vultosos investimentos. Assim sendo, a otimização dos projetos tem um grande impacto econômico na Petrobras e no setor petróleo/upstream de uma maneira geral. Esse impacto deve-se a possíveis reduções nos investimentos, aumentos na receita, diminuição do custo operacional, etc. Uma melhoria de 1% em qualquer um desses itens já significaria um ganho financeiro muito elevado. Devido ao grande número de novas oportunidades e novos projetos, o tomador de decisão muitas vezes se vê frente a uma difícil tarefa. Algoritmos de otimização podem simplificar este processo de planejamento. Uma classe destes algoritmos que tem alcançado bons resultados é a de Algoritmos Genéticos. Este algoritmo é basicamente uma máquina de busca guiada aleatoriamente. É indicado

2 para problemas robustos e complexos capazes de gerar boas soluções explorando características alternativas dos portfólios, incluindo medidas de risco e desempenho. Tradicionalmente, para avaliar cada alternativa de investimento num campo de petróleo, procura-se a alternativa com maior Valor Presente Líquido (VPL), sendo a melhor alternativa, aquela de maior VPL. A equação do VPL nesse caso pode ser descrita como: VPL = qpb D (1) onde q é qualidade econômica da reserva, P é o preço do petróleo, B é o tamanho estimado da reserva e D é o investimento para desenvolvimento. Esta fórmula é aplicável quando todos seus termos são conhecidos (valores determinísticos). Todavia, todos estes parâmetros apresentam incertezas associadas, o que torna o problema de difícil solução. Métodos históricos de alocação de capital avaliam os projetos isoladamente. Dessa forma, estes investimentos irão maximizar somente o valor individual de projetos. A fim de balancear o risco e a sinergia entre estes projetos, as decisões de investimentos devem ser feitas de forma coletiva. Rank and Cut é um destes métodos tradicionais para resolver tal tipo de problema. Ordena-se os projetos em ordem decrescente de valor (VPL) e inicia-se o método do topo para baixo até que encontre uma restrição financeira (geralmente um limite de gastos de capital). Infelizmente este método é raramente adequado, pois uma empresa geralmente irá medir seu desempenho sobre mais de um aspecto e vai ter tantas restrições quanto necessitar. Em outras palavras, uma vez adicionado um segundo objetivo, o método se torna inviável. O método é ilustrado abaixo com um exemplo extremamente simples. Projeto VPL (M$) Capital (M$) BOE (Mbbl) A B C Suponha que estamos interessados em maximizar o VPL, que não podemos gastar mais do que M$ 20 e que tenhamos que produzir pelo menos 60 Mbbl. Seguindo a metodologia Rank and Cut, adiciona-se o projeto A e depois o B até completar os 20 M$ disponíveis em capital. Porém, fica evidente que esta solução não atende a restrição de produção BOE. A solução obvia seria a selecionar os projetos A e C. O presente artigo aborda a questão da obtenção de carteiras com maior Valor Presente Liquido (VPL) sob incerteza. Seu objetivo principal é analisar e desenvolver algoritmos genéticos para determinar um conjunto de carteiras (portfólios) eficientes, compostos por uma seleção de projetos de produção de petróleo. O artigo organiza-se da seguinte forma: No item 2, apresenta-se a teoria sobre seleção de portfolios. No item 3, faz-se um breve esclarecimento da importância de se formar portfólios. No item 4, é descrito o problema a ser tratado. No item 5, propõe-se uma possível solução para o problema. Esta solução associa algoritmos genéticos a um método de otimização multi-critério, denominado Estratégia de Pareto. No item 6, apresenta-se a síntese dos resultados do testes realizados e conclusões. 2. SELEÇÃO DE PORTFÓLIOS

3 Nem sempre está claro o que significa ser um portfólio ótimo para uma empresa. Uma grande quantidade de elementos que compõe o portfólio deve ser considerada: Qual portfólio proporciona o maior retorno (VPL)? Ele é viável? Atende as metas de produção? Satisfaz as restrições de desenvolvimento? Estas considerações, dentre outras, tornam não-trivial a determinação do que é um portfólio ótimo. Levam a uma série de outras indagações relacionadas ao tratamento que se dispensará ao risco: Qual a definição de valor? O custo do projeto é realmente conhecido? Pode-se determinar quanto o projeto irá produzir? Valor é independente ao risco? O que é risco? (McVean, 2000). A última pergunta é a mais difícil de ser respondida, pois requer julgamento pessoal. Algumas pessoas vêem risco e incerteza como sinônimos. Outras vêem somente o limite inferior da incerteza como risco. Outras ainda medem risco em termos de probabilidade, como por exemplo, a probabilidade de perder dinheiro. Reconhecer esta ambigüidade é importante para entender como a definição de risco pode afetar na seleção de portfólios. A moderna teoria de carteiras surgiu quando Harry Markowitz publicou seu primeiro trabalho na década de 50, o artigo Portfolio Selection (Markowitz, 1952). Esta teoria apresenta 3 importantes idéias: Um investidor racional irá preferir maior retorno e menor risco possível; Um portfólio poderá ter um valor maior ou menor do que a soma das partes, dependendo de como os projetos interagem entre si; Existe mais do que um portfólio ótimo, pois é possível ter um retorno maior aceitando maior risco. Sua grande inovação consistiu em relacionar o retorno, dado pelo retorno esperado, e o risco, medido pelo desvio padrão de cada carteira de títulos, considerando o infinito número de combinações possíveis de títulos que poderiam compor uma carteira e, a partir daí, traçar a curva do conjunto das combinações eficientes de carteiras (Fronteira de Eficiência). Um portfólio é dito na Fronteira de Eficiência ou dominante se: Para um dado retorno (VPL), não existe nenhum outro portfólio com menor risco; ou Para um dado risco, não existe outro portfólio com maior retorno. A análise de portfólios através da fronteira de eficiência considera o equilíbrio entre risco e retorno, ou seja, carteiras de alto risco devem apresentar também elevado retorno para serem viáveis. A Figura 1 ilustra a Fronteira de Eficiência e relaciona uma medida de retorno com uma medida de risco. Figura 1: Portfólios Eficientes e Dominantes.

4 Na Figura 1, podemos observar 6 portfólios, A,B,C,D,E e F. Comparando os portfólios D e F, pode se observar que o portfólio D é dominante sobre F, pois para o mesmo valor de retorno, o portfólio D tem menor risco do que F. Similarmente, o portfólio B é dominante sobre o E, pois para um mesmo risco B possui maior retorno. Não há dominância entre as carteiras A, B, C e D. Estas carteiras formam a Fronteira Eficiente, ou seja, não existe nenhum portfólio que tenha ao mesmo tempo maior retorno e menor risco do que aqueles portfólios presentes na Fronteira Eficiente. 3. POR QUE FORMAR PORTFÓLIOS? Neste item procura-se fazer um breve esclarecimento da importância de se formar portfólios, não tratando os projetos de desenvolvimento de campos de petróleo de maneira individual. Fazendo uma analogia como o mercado financeiro, temos: Mercado Financeiro Ações Carteira composta por ações individuais Indústria de Petróleo e Gás Projetos Portfólio composto por projetos de desenvolvimento de campos de petróleo Por que tanto no mercado financeiro quanto na indústria de petróleo e gás devemos agrupar os componentes? A resposta é porque a variabilidade do conjunto não reflete a variabilidade média de seus componentes. Em outras palavras, mesmo uma pequena diversificação pode permitir uma redução substancial da variabilidade. A diversificação funciona porque diferentes componentes não variam exatamente da mesma forma. Num dado instante de tempo, o declínio do retorno de um projeto é compensado pelo aumento do outro. Isso significa que os investidores sensatos não põem todos os seus ovos no mesmo cesto: reduzem o risco através da diversificação. Dessa forma, o valor de um pacote diversificado deverá ser maior do que a soma das partes. O risco do portfólio deverá ser menor do que o somatório do risco dos projetos pertencentes a esta carteira. Para ilustrar a importância da diversificação, considere o exemplo abaixo apresentado por (Merritt, 2000). Projeto Investimento U$ 1,000 VPL - U$ 1,000 POS Retorno - U$ 1,000 A % B % Onde: POS = Probabilidade de sucesso; Retorno = VPL * POS Investimento * (1 POS); Definindo o risco dos projetos como sendo a probabilidade falha (1 - POS), vemos que o projeto A é melhor do que o projeto B, pois para o mesmo retorno apresenta menor risco. Porém, se consideramos um investimento de 50% em A e 50% em B, temos: Possibilidades A B POS Retorno - U$ 1,000 Retorno Total U$ 1,000 1 Sucesso Sucesso 0, Sucesso Falha 0, Falha Sucesso 0, Falha Falha 0, Total

5 Onde: POS = POS A * POS B; Retorno = [50% * (0 ou 1) * VPL A] + [50% * (0 ou 1) * VPL B] (0 = Falha; 1 = Sucesso) [50% INVESTIMENTO A + 50% INVESTIMENTO B] (no caso de falha) Retorno Total = POS AB * Retorno AB Observando o quadro acima, vemos que o Retorno Total deste investimento diversificado é ainda Entretanto, o risco é agora menor. No quarto caso, a probabilidade dos dois projetos falhar é 52%, e mesmo assim, é menor que a probabilidade de A falhar = 60%. Conseqüentemente, a diversificação manteve o retorno, enquanto reduziu o risco. Por outro lado, diferentemente das carteiras de ações, os projetos de petróleo e gás não podem ser efetuados mais de uma vez, ou seja, a decisão a ser tomada é investir somente uma vez num projeto ou não investir nele. Isto significa que o espaço de soluções dos portfólios factíveis para uma companhia de petróleo é uma coleção de pontos discretos. Deve ser observado que não existe nenhum critério definitivo para avaliar o risco. Um portfólio eficiente mediante uma definição de risco não precisa necessariamente ser eficiente em outra definição. 4 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA Devido a questões de confidencialidade dos dados da companhia estudada, o problema aqui descrito é baseado em valores teóricos ao invés de dados reais. Neste problema procura-se formar portfólios de projetos de petróleo e gás, onde cada portfólio pode ser formado por até n projetos. O número de portfólios que podem ser gerados a partir de n projetos é (2 n 1) portfólios. Assim sendo, para o caso de 25 projetos temos: (2 25 1) = diferentes combinações de portfólios O problema consiste em selecionar uma população deste total, segundo o critério de dominância, a fim de gerar a fronteira de eficiência. Em outras palavras, deseja-se mostrar ao tomador de decisão um conjunto de portfólios, para que ele possa decidir de acordo com o seu perfil, qual o melhor portfólio para um dado risco. É relevante observar que não estamos preocupados em gerar uma solução ótima, pois isto tornaria o problema subjetivo, dado que dependemos de julgamento pessoal de diferentes investidores que estão dispostos a aceitar diferentes riscos. Pode-se ainda definir algumas restrições ao problema, tais como, dispêndio máximo de capital e quantidade mínima de petróleo produzido (BOE). Neste caso, deseja-se projetos que possuam ao mesmo tempo maior média e menor variância. A Figura 2 ilustra a Fronteira de Eficiência Média VPL x Variância VPL.

6 Figura 2: Fronteira de Eficiência Média x Variância 5. DESCRIÇÃO DA SOLUÇÃO Problemas de otimização complexa/combinatorial que precisam considerar uma série de restrições são problemas típicos para aplicação de Algoritmos Genéticos (AG). Uma carteira de projetos (portfólio) deve ser selecionada dentro de uma infinidade de combinações de possíveis portfólios que podem ser formados. Alguns autores como Fichter (2000) e McVean (2000) propõem algoritmos genéticos para a solução deste tipo de problema. Os trabalhos de Fonseca e Fleming (1995) e Horn (1997) mostram a possibilidade de associar modelos de otimização multi-critério aos algoritmos genéticos. O presente artigo propõe o desenvolvimento de um Algoritmo Genético para solucionar o problema da seleção de portfólios associado a um método multi-critério. Para fins de simplificação do problema, foi considerado neste trabalho que para cada carteira, o retorno é dado pela média, e o risco, medido pela variância do VPL. Dessa forma, tanto a média quanto a variância da carteira são calculados somando-se as respectivas médias e variâncias de cada projeto pertencente a esta carteira. 5.1 Estrutura do Cromossomo: Utiliza-se um cromossomo binário para representar cada portfólio. Cada posição (gene) do cromossomo corresponde ao número de um projeto. Se o valor do gene for igual a 1, então o projeto pertence à carteira. Caso contrário, se o valor do gene for igual a zero, então o projeto não pertence à carteira. A Figura 3 mostra que para este determinado cromossomo (portfólio), serão selecionados os projetos 2,3,6,7,..., 24. A escolha da representação binária deve-se ao fato de não se saber a priori quantos projetos compõem uma carteira Figura 3: Representação do Cromossomo

7 5.2 Algoritmo a seguir: 1. Obter o valor da média e variância do VPL de cada projeto; 2. Representar os portfólios geneticamente; 3. Calcular o valor da média e variância do VPL de cada portfólio; 4. Avaliar os portfólios; 5. Ordenar os portfólios de modo que nas primeiras k posições estejam os portfólios dominantes e a seguir os dominados; 6. Selecionar os pais dando prioridade para os indivíduos dominantes, ou seja, selecionar com probabilidade p de ser do conjunto dominantes e probabilidade (1-p) de ser do conjunto de dominados; 7. Evoluir geneticamente criando novos filhos através de crossover e mutação; 8. Voltar para 3; 9. Repetir até atingir o critério de parada (n.º gerações = MAXGENS). 5.3 Função de Avaliação: O GA neste problema têm como objetivo: Maximizar a Média do VPL da Carteira. Minimizar a Variância do VPL da Carteira. O critério de avaliação a ser seguido pelo GA, segue a Estratégia de Pareto, onde para um dado portfólio (i) num problema de minimização, temos: Avaliação : ( i)( Vi Ui) ( i)( Vi < Ui) Onde, Vi e Ui são os respectivos critérios do problema, neste caso, média e variância. Note que a avaliação não é dada de forma quantitativamente, e sim, qualitativamente, onde pelo menos um dos dois conjuntos criados (dominantes ou dominados) explica toda a população de portfólios. Assim sendo, o algoritmo faz a seguinte pergunta: é dominado? Se sim, então o portfólio (i) pertence ao conjunto de dominados. Caso contrario, então portfólio (i) pertence ao conjunto de dominantes. 6. SÍNTESE DOS RESULTADOS E CONCLUSÕES Foram feitos testes com dados de 25 projetos e população de 5000 indivíduos para 0 e 22 gerações. A Figura 4 refere-se a população inicial aleatoriamente criada pelo algoritmo, ou seja 5000 indivíduos antes da evolução (geração 0). Observa-se graficamente a avaliação dos portfólios segundo os critérios de media e variância. Deseja-se obter indivíduos com maior média possível e menor variância, ou seja, aqueles que se encontram na parte inferior da nuvem de pontos. A figura 5 mostra que dos 5000 indivíduos inicialmente criados, 199 são dominantes. A figura 6 refere-se ao resultado obtido após 22 gerações. É relevante observar que para este tamanho de população, não é necessário um número maior de evoluções, pois todos os indivíduos encontrados pelo algoritmo já pertencem ao conjunto de dominantes. Em outras palavras, a convergência do algoritmo foi encontrada na 22. a geração. Os resultados mostraram também uma convergência rápida, com tempo de execução inferior a 20 segundos (Pentium III). Na Tabela abaixo são apresentados os parâmetros do Algoritmo Genético proposto.

8 Tamanho da População 5000 Número de Gerações 22 Taxa de Crossover 65% Taxa de Mutação 0,8% Parâmetros do AG Geracao Pontos Iniciais Variancia Media Figura Indivíduos Iniciais na geração 0

9 Geracao Individuos Dominantes Variancia Media Figura 5 Indivíduos Dominantes na geração 0 Geracao Individuos Dominantes Variancia Media Figura 6 Evolução do algoritmo Indivíduos Dominantes na geração 22

10 6. CONCLUSÕES Neste artigo foram utilizados algoritmos genéticos como uma forma de representação e avaliação de seleção de carteiras de campos de produção de petróleo e gás sob incerteza. Além disso, foi usado o Estratégia de Pareto para a avaliação dos critérios de otimização. Avaliações de projetos feitos de forma isolada irão maximizar somente o valor individual de cada projeto. A fim de balancear o risco e a sinergia entre estes projetos, as decisões de investimentos devem ser feitas de forma coletiva. A diversificação pode reduzir o risco sem diminuir o retorno. A definição de risco pode afetar significativamente a seleção de portfólios. Além disso, obtemos diferentes resultados quando utilizamos diferentes definições de risco. Segundo Merritt, a técnica da fronteira eficiente tem melhor aplicabilidade na industria de petróleo do que no mercado financeiro. Os resultados mostraram uma convergência rápida, com tempo de execução inferior a 20 segundos (Pentium III). 7. BIBLIOGRAFIA Fichter, D. P.: Application of Genetics Algorithms in Portfolio Optimization for the Oil and Gas Industry, Society of Petroleum Engineers, SPE 62970, Fonseca, C.; Fleming P.J.: An Overview of Evolutionary Algorithms in Multi-Objective Optimization, Evolutionary Computation, MIT Press, vol. 3, n.º 1, pp. 1-16, Horn, J.: Multi-Criterion Decision Making, Handbook of Evolutionary Computation, IOP Publishing Ltd. and Oxford University Press, Markowitz, Harry M.: Portfolio Selection, The Journal of Finance, vol. VII, n.º 1, pp , Markowitz, Harry M.: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Yale University Press, Markowitz, Harry M.: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Blackwell, Cambridge, 2 nd ed., McVean, J. R.: The Significance of Risk Definition on Portfolio Selection, Society of Petroleum Engineers, SPE 62966, Merritt, D.; San Miguel, A.: Portfólio Optimization using Efficient Frontier Theory, Society of Petroleum Engineers, SPE 59457, 2000.