FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA - UNIFOR Centro de Ciências Tecnológica - CCT

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1 FUDAÇÃO EDSO QUEIROZ UIVERSIDADE DE FORTALEZA - UIFOR Centro de Ciências Tecnológica - CCT RESUMO DA TEORIA DA DECISÃO E SISTEMAS DE APOIO A DECISÃO Francisco Thibério Pinheiro Leitão

2 Fortaleza, 10/04/ Introdução Problemas de decisão surgem quando é necessário fazer uma escolha entre um conjunto de alternativas que resolvem um problema. A melhor alternava quase sempre não é obvia, pois cada alternativa tem suas qualidades e defeitos. A teoria da decisão serve como metodologia para ajudar a escolher a melhor alternativa para seus propósitos. o dia-dia nós fazemos isso de forma inconsciente, pois os problemas na maioria das vezes são simples e a melhor escolha é óbvia. Contudo, conforme os parâmetros necessários para resolver o problema ficam mais complexos a escolha da melhor alternativa pode se tornar muito complicada, principalmente quando muitas pessoas estão envolvidas no processo de domada de decisão. 2. Metodologia Um bom processo de tomada de decisão pode ser resumido por um conjunto de passos ou metodologia. Abaixo segue uma possível ordem e um diagrama dos passos mínimos que devem estar presentes é uma boa tomada de decisão: 1. Definir o problema 2. Determinar os requerimentos mínimos 3. Determinar os objetivos a serem alcançados 4. Determinar o conjunto de alternativas que satisfazem os requerimentos mínimos 5. Determinar os critérios que serão utilizados como seleção 6. Escolha do Método a ser utilizado no processo 7. Aplicar o método escolhido 8. Verificar a solução do problema

3 Esses passos então representados pelo seguinte diagrama: 2.1 Definir o problema É o passo principal, pois é ele que vai gerar os processos seguintes, logo deve estar sempre bem definido para não gerar imprecisões que se propaguem no decorrer do problema. Para determina-lo, é preciso entender o problema e qual o estado final almejado na sua solução. Uma boa definição do problema geralmente também causa a determinação dos requerimentos e objetivos a serem alcançados.

4 2.2 Definir Requerimentos São as condições que toda solução para o problema deve satisfazer. Devem servir como uma pré-seleção para as possíveis alternativas (Soluções) para o problema. 2.3 Definir Objetivos Desejados São condições desejáveis que devem ser adicionadas aos requerimentos. São definidos em forma de sentença como algo que alguma coisa deve fazer e formam a base para determinação dos critérios de seleção e medidas de desempenho das alternativas. 2.4 Definir Alternativas Com base nos dados levantados nas etapas anteriores, devem-se escolher as alternativas que satisfaçam todos os requerimentos mínimos e o máximo de objetivos possíveis. Geralmente as alternativas diferem na forma de satisfazerem o os requerimentos e objetivos (Desempenho). 2.5 Definir os Critérios de Seleção ormalmente nenhuma alternativa é a melhor para satisfazer todos os objetivos, requerendo que sejam as alternativas sejam comparadas entre si. A melhor alternativa será aquela que tiver melhor desempenho ao satisfazer os objetivos. Para estabelecer a forma como as alternativas satisfazem os objetivos, definem-se critérios de seleção que servem como forma de medir como as alternativas se desempenham com relação aos objetivos. Logo todo objetivo deve gerar pelo menos um critério. 2.6 e 2.7 Escolha e Aplicação dos métodos Dentre os vários métodos existentes, recomenda-se a utilização dos métodos abaixo, na ordem crescente de complexidade no processo de utilização: a) Kepner-Tregoe Decision Analysis (K-T) b) Multi-Attribute Utility Theory Analysis (MAUT) c) Analytic Hierarchy Process (AHP)

5 Eles diferenciam-se principalmente devida a forma como os julgamentos são realizados, a escala de atribuição de pesos, julgamentos e as equações utilizadas durante o processo de calculo. 2.8 Verificação do Resultado Verificar junto à equipe se o resultado obtivo está de acordo com os objetivos, requerimentos e problema estabelecido no começo. 3. Breve Descrição dos Métodos 3.1 Kepner-Tregoe Decision Analysis (K-T) Método no qual os pesos são estabelecidos proporcionais a sua importância, para cada critério e depois estabelece-se julgamentos do desempenho de cada alternativa com relação a cada critério. Os pesos para os critérios variam entre 1-10, de modo que 10 é o critério mais importante e 1 o critério menos importante. Primeiramente deve-se estabelecer o critério mais importante e com relação a ele, definir os pesos dos outros critérios. Os julgamentos das alternativas variam entre 1-10, de modo que 10 é quando a alternativa satisfaz plenamente um determinado critério e 1 quando ele está longe de satisfaze-lo. Primeiramente escolhe-se um critério e define-se a alternativa que melhor satisfaz ele, depois as alternativas são julgadas com relação a este critério com base na alternativa de melhor desempenho. A pontuação é determinada pela soma dos produtos entre pesos dos critérios e julgamentos com relação aos mesmos. 3.2 Multi-Attribute Utility Theory Analysis (MAUT) Assim como no método K-T os pesos são definidos de acordo com sua importância, contudo o processo de julgamento é completamente diferente. Os julgamentos são calculados através de funções pré-definidas que exprimem a forma de como cada desempenho deve ser calculado para cada critério. Logo cada critério deve ter uma função associada a ele. Geralmente são funções que maximizam ou minimizam um determinado conjunto de valores.

6 De acordo com os valores das alternativas para cada critério, eles são transformados para uma escala de desempenho (ou performance) entre a-b, de modo que b represente a alternativa que possui melhor performance com relação a um determinado critério e a quando possuir menor performance com relação a um critério. Depois é utilizada uma função de utilidade final, para pontuação, que transforma os desempenhos para uma escala adimensional entre 0-1. Finalmente é necessário calcular o valor normalizado dos pesos e então a pontuação então é calculada da mesma forma do Método K-T. 3.3 Analytic Hierarchy Process (AHP) É um método no qual os pesos e desempenhos das alternativas, com relação aos critérios, são feito através de comparações relativas entre os possíveis pares. Isso significa que as atribuições são feitas através de comparações relativas entre os critérios, para atribuir os pesos, e comparações entre alternativas, para atribuir os desempenhos. De modo que é feito todas as comparações entre os pares. Com as comparações entre os critérios, obtém-se quanto um determinado critério é mais importante que outro. Do mesmo modo comparamos as alternativas, relativo a cada critério, para determinar quanto uma alternativa é mais importante que outra relativa a um determinado critério. Um importante fato é que as matrizes formadas pelo método AHP são sempre simétricas, isso significa que se nós conhecemos o valor A ij das matrizes de julgamento podemos calcular A ji. Logo só é necessário que o usuário digite uma parte da matriz e o computador calcula a outra parte. Mais precisamente, o número de entradas de dados necessários é dado por: ºJulgamentos = ( 1) 2 Considerando que valores simétricos não são digitados, ou seja, não se deve entrar com os valores A ij e A ji ao mesmo tempo. Isso pode ser feito facilmente se o usuário decidir entrar com os dados da matriz triangular superior ou inferior, mas não obrigatoriamente deve ser feito desse modo. a maioria dos programas, essa restrição é imposta de modo a não complicar o uso do programa, mas no nosso caso demos mais liberdade ao usuário.

7 A escala utilizada para comparações entre os pares varia entre 1-9, de acordo com a tabela abaixo: Os valores normalizados (Pesos e Desempenhos) são obtidos fazendo a média geométrica dos valores e dividindo pela soma de todas as médias geométricas. Esse processo é repetido para todas as tabelas de comparações, obtendo-se os pesos normalizados dos critérios e os desempenhos normalizados das alternativas para cada critério. O modo de calcular a pontuação é igual ao K-T.

8 4. Escalas de Atribuições de Pesos e Julgamentos 4.1 Kepner-Tregoe Para atribuir os pesos, deve-se utilizar uma escala de valores entre 1 e 10, de modo que primeiramente deve ser atribuído o critério de maior importância. Depois, os pesos dos outros critérios são atribuídos em comparação ao critério de maior importância. Para atribuir os julgamentos (ou desempenhos), deve-se utilizar a mesma escala e mesma metodologia, ou seja, primeiro escolhe-se a alternativa que tem o melhor desempenho. Depois, os desempenhos das outras alternativas são atribuídos em comparação à alternativa de maior desempenho. 4.2 MAUT este método normalmente adota-se uma escala entre 1 e 5 para fazer-se as atribuições dos pesos e os cálculos dos julgamentos. Uma ultima função de utilidade é necessária para transforma os julgamentos de 1-5 na escala 0-1. Para atribuir os pesos, segue-se a mesma metodologia do método de Kepner-Tregoe. Contudo, os julgamentos podem ser gerados automaticamente através das funções de utilidade AHP A escala de atribuição de julgamentos relativos para este método é fixa entre 1 e 9. De acordo com a tabela citada acima. Primeiramente deve-se fazer os julgamentos relativos para os critérios, obtendo-se os pesos normalizados. Depois faz-se os julgamentos relativos entre as alternativas, com respeito a cada critério, para obter assim os desempenhos normalizados de cada alternativa com relação a cada critério Pesos ormalizados no AHP o calculo dos pesos normalizados, primeiramente faz-se a média geométrica dos pesos relativos para cada critério e depois divide cada média geométrica pelo soma das médias. Considerando a notação abaixo:

9 I j k : Importancia do critério j comparado com critério k MG j : Média geometrica do critério j Teremos que: n MG j = I j k k=1 Logo o peso normalizado para o critério j é definido como: P j = MG j MG j j=1 5. Equações para pontuação Considerando as seguintes notações para os parâmetros utilizados durante o processo de cálculo: P j Peso do Critério J P j Peso ormalizado do Critério J J j i : Julgamento da Alternativa I relativo ao Critério J F: Função de utilidade para pontuação J j i : Julgamento ormalizado da Alternativa I relativo ao Critério J P(A i ): Pontuação da Alternativa I

10 5.1 Kepner-Tregoe o caso em que temos critérios, a pontuação de uma alternativa qualquer é dada pela fórmula: P(A i ) = P j J j i j=1 5.2 MAUT o caso em que temos critérios, a pontuação de uma alternativa qualquer é dada pela fórmula: 5.3 AHP P(A i ) = P j F(J j i ) j=1 P(A i ) = P j J j i j=1 ota-se que a maior diferença entre os métodos é principalmente devido à forma de calculo dos pesos e julgamentos. os métodos AHP e MAUT são utilizados pesos normalizados enquanto que no método K-T é utilizado pesos atribuídos. o método K-T os julgamentos são atribuídos diretamente pelo usuário. o método AHP os julgamentos são cálculos através de comparações entre as alternativas relativas a cada critério. o método MAUT os julgamentos são cálculos através de funções de maximização e minimização de valores.

11 6. Análise Gráfica Para construir a analise gráfica, temos que considerar o peso de um critério como variável. Para cada possível peso que um critério pode ter, temos que calcular as pontuações das alternativas e assim obter os dados para fazer o gráfico. Teremos então que no eixo x fica o peso relativo a um critério e no eixo y a pontuação das alternativas. Para construir tal função, temos que modificar as funções anteriores de modo a permitir que o peso de um terminado critério seja variável. 6.1 Kepner-Tregoe Considerando a analise gráfica para um Critério K, teremos que: i i P(A i, P k ) = P j J j + P k J k j=1,j k Em que a variável pode assumir os valores: P k = 1,2,, MAUT Considerando a analise gráfica para um Critério K, teremos que: P(A i, P k ) = P j F(J i j ) + P k F(J i k ) j=1,j k Em que a variável pode assumir os valores: P k = a, 2,, b. 6.3 AHP Considerando a analise gráfica para um Critério K, teremos que: i i P(A i, P k ) = P j J j + P k J k j=1,j k Em que a variável pode assumir os valores: P k = 1,2,,9.

12 Substituindo os respectivos valores e calculando a pontuação das alternativas obteremos os pontos necessários para construir o gráfico da pontuação da Alternativa I vs Peso Critério K. Importante notar que as funções serão retas, pois a função de pontuação é linear em relação as pesos. 7. Funções de Utilidade para calculo de Julgamentos São funções que tem como objetivo interpretar um conjunto de dados através de informações pré-definidas. As duas funções básicas fornecem aproximações razoáveis que são a de maximização e minimização lineares de valores. Como são funções lineares, são necessários apenas dois pontos para fazer a interpolação e eles são obtidos diretamente através da matriz de valores. Depois que os pontos são obtidos, aplica-se a formula de interpolação de Lagrange para calcular os outros valores. Considerando a seguinte notação: V i j : Valor da alternativa i para o critério j L j : Função de Interpolação para o critério j Maior(V j i ): Maior valor da matriz para o critério j(linha j da matriz) Maior(V j i ): Menor valor da matriz para o critério j(linha j da matriz) Teremos que, para funções as funções lineares: x Maior(V i j ) L j (x) = a ( Maior(V i j ) Menor(V i j ) ) x Menor(V i j ) + b ( Maior(V i j ) Menor(V i j ) ), para função de maximização x Maior(V i j ) L j (x) = b ( Maior(V i j ) Menor(V i j ) ) x Menor(V i j ) + a ( Maior(V i j ) Menor(V i j ) ), para função de minimização

13 Os julgamentos são interpolados de acordo com seus valores e funções de interpolação: J j i = L j (V j i ) 8. Extensão ós poderíamos pensar em um caso mais complexo de decisão, em que é necessário a separação dos critérios em grupos. Isso pode ocorrer quando determinados critérios são difíceis de ser comparados com outros. Para este caso, teríamos que agrupar os critérios em grupos e cada grupo, adicionalmente, cada grupo deve ter sua importância medida, ou seja, devem ser determinados os pesos dos grupos. Depois de feito esse processo, o calculo da pontuação é feito através da soma de pontuação de cada grupo individualmente. Ou seja, aplicamos o processo anterior para cada grupo e depois somamos a pontuação parcial de cada grupo. Considerando adicionalmente que: PG k : Peso do Grupo K P k j Peso do Critério J, para o grupo K P j k Peso ormalizado do Critério J, para o grupo K k i J j : Julgamento da Alternativa I relativo ao Critério J, para o grupo K F: Função de utilidade para pontuação k Jj i : Julgamento ormalizado da Alternativa I relativo ao Critério J, para o grupo K P(A i ): Pontuação da Alternativa I P(A i, k): Pontuação parcial da Alternativa I, relativo ao grupo k É visível que devido o acrescimento de agrupamentos no processo de tomada de decisão, as quantidades aumentaram em uma dimensão, ou seja, escalaras para vetores, vetores para

14 matrizes e matrizes para um conjunto de matrizes. Devido a esse aumento no grau de complexidade, somente será considerado um level de hierarquia. Será proposta essa extensão para o método de Kepner-Tregoe e MAUT, pois a extensão do método AHP já existe. Esta é chamada de Analytic etwork Process(AP) e foi desenvolvida por Thomas Saaty. 8.1 Kepner-Tregoe este caso, teremos M grupos e cada grupo terá critérios. O que precisamos fazer é considerar um grupo isolado e calcular a pontuação da alternativa relativa a esse grupo e depois repetir esse processo para cada um dos grupos. o final, teremos que reunir a pontuação de cada grupo em uma pontuação final, isto é feito através dos pesos dados para cada grupo. Teremos que: P(A i, k) = P j k Será a pontuação da alternativa(i) relativo ao grupo(k). O segundo passo é determinado por: j=1 k i J j M P(A i ) = PG k P(A i, k) k=1 Basicamente nos dividimos um problema complexo em um grupo de problemas simples e depois agrupamos os resultados através de uma função. Essa estratégia é bastante comum em problemas de engenharia e métodos científicos em geral. O mesmo processo pode ser feito para os outros métodos, como será mostrado logo abaixo. Para provar que está formula engloba também o caso simples, basta considerar que temos apenas um grupo, k = 1, e que o peso dele é unitário: P(A i ) = PG 1 P(A i, 1) = P(A i ) = P j J j i j=1

15 8.2 MAUT Seguindo o mesmo raciocínio anterior, teremos que: P(A i, k) = P j k F( M j=1 k J i j ) P(A i ) = PG k P(A i, k) k=1 Seguindo as mesmas hipóteses anteriores, um grupo com peso unitário, vamos obter a equação simplificada. 9. Analise dos Métodos Comparando os processos envolvidos durante a pontuação dos três métodos, fica claro que o método MAUT é o mais simples quando a necessidade de entrada de dados. ele é preciso apenas selecionar os critérios e alternativas, colocar os valores numéricos dos critérios para cada alternativa em uma tabela e selecionar se é necessário maximizar ou minimizar um determinado critério. O programa automaticamente calcula os julgamentos e pontuação a partir desses dados. Contudo, é possível o usuário modificar um determinado julgamento se ele achar necessário, isso entre na parte subjetiva do assunto e que pode ser cometido erros. Como nos métodos AHP e KT é necessário fazer julgamentos relativos as alternativas e seus respectivos desempenhos para cada critério, são mais sujeitos a erros de interpretação. Isso pode fazer com que os resultados sejam mais ou menos precisos, depende das pessoas que estão fazendo julgamento. Isso leva a conclusão que, se possível, deve-se começar a analise de uma problema de escolha pelo MAUT, pois ele exige menos entrada de dados e calcula automaticamente os julgamentos, ajudando na compreensão sobre o problema. Caso os analistas não fiquem satisfeitos com o resultado do MAUT eles devem partir para o método de Kepner-Tregoe, pois ele é segundo mais complexo e exige menos interpretação de

16 dados do que método AHP. E a cada nível que você sobe na escala de complexidade, você já possui o conhecimento obtido anteriormente, facilitando a analise do problema. Finalmente, caso os analistas ainda não estejam satisfeitos, deve-se fazer a analise pelo método AHP, que exige muitas comparações subjetivas e muita entrada de dados é necessário. O conhecimento obtido na solução pelos métodos MAUT e K-T deve ajudar bastante a fazer os julgamentos corretamente para obter resultados mais precisos. Esse tipo de analise é Hierárquico no sentido de a complexidade da analise aumenta conforme cada método que é escolhido. 10. Conclusão Desenvolvemos aqui os passos e cálculos necessários para o estudo de um problema de tomada de decisão através dos métodos Kepner-Tregoe, MAUT e AHP. Com base nisso, estamos desenvolvendo na UIFOR programas de computador para auxiliar e facilitar o processo de tomada de decisão. Até o momento foram desenvolvidos programas para os três métodos, baseados na linguagem de programação C++, explicados neste artigo, seguindo toda a teoria e metodologia aqui explicada. Os aplicativos contam também com uma interface gráfica, desenvolvidos pelo framework QT, para facilitar a entrada e saída de dados durante a execução do programa. Referências Bakes, Dennis. Bridges, Donald. Guidebook to decision-making methods. December Fülöp, János. Introduction to Decision Making Methods. Forman, Ernest. Decision By Objectives. O Método AHP Analytic Hierarchy Process. PUC-Rio, Certificação Digital /CA. Silva, Aneirson. AHP. Disponível em:< acessado em 09/01/2013.

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