Risco de Carteira. O Desvio Padrão de uma carteira constituída por dois ativos (X e Y) pode ser obtido a partir de:

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1 1 Risco de Carteira O risco de uma carteira depende não somente do risco de cada elemento que a compõe e de sua participação no investimento total, mas também da forma como seus componentes se relacionam (covariam) entre si. Relacionando ativos com baixa correlação (ou covariância inversa) é possível reduzir o risco total da carteira. O Desvio Padrão de uma carteira constituída por dois ativos (X e Y) pode ser obtido a partir de: Equação 1 Desvio Padrão de uma carteira constituída por dois ativos. σ = (W σ ) + W σ + 2 W W COV, Onde: σ = desvio padrão do portfólio; W, W = participação do ativo X e do ativo Y no portfólio; σ, σ = variância dos retornos dos ativos X e Y; COV, = covariância entre os ativos X e Y. Para três ativos: Equação 2 Desvio Padrão de uma carteira constituída por três ativos. σ = [(W σ ) + (W σ ) + (W σ ) + +2 W W COV, + +2 W W COV, + +2 W W COV, ] A expressão geral do cálculo do Desvio Padrão de uma carteira contendo n ativos, conforme Harry Markowitz é a seguinte: Equação 3 Desvio Padrão de uma carteira constituída por n ativos. σ = W W COV, A covariância pode ser calculada a partir da correção de dois ativos e seus desvios padrões através da seguinte equação: Equação 4 Covariância de dois ativos. COVx,y x,y x y Onde: COV x, y = covariância entre os ativos X e Y; x,y = coeficiente de correlação dos ativos X e Y; x, y = desvio padrão dos retornos dos ativos X e Y.

2 2 No Quadro 1 se pode observar o resumo da rentabilidade dia-a-dia de 16 títulos negociados na Bovespa entre janeiro e agosto de No quadro seguinte foram destacados o retorno médio diário, o desvio padrão, o coeficiente de variação e a correlação entre os títulos. Quadro 1 Rentabilidade dia-a-dia de 16 títulos negociados na Bovespa jan./ago

3 3 Quadro 2 Retorno médio diário, desvio padrão, coeficiente de variação e correlação títulos negociados na Bovespa jan./ago

4 4 Tomando como exemplo os títulos da Guarani (ordinária), ACGU3, e Ambev (preferencial), AMBV4, pode-se observar os dados calculados abaixo: Tabela 1 Retorno, risco, correlação e covariância ACGU3 e AMBV4 jan./ago Retorno Risco Correlação Covariância Km σ Corr Covar ACGU3 0,6981% 3,9680% AMBV4 0,1971% 1,5061% 0, , Aplicando a equação do desvio padrão de portfólio para diversas participações dos dois títulos, obtém-se a tabela abaixo: Tabela 2 Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação 0,0419 jan./ago ACGU3 AMBV4 K W K W Kp DPp 0 100% 0,1971% 1,5061% 5% 95% 0,2221% 1,4527% 10% 90% 0,2472% 1,4283% 11,52% 88,48% 0,2548% 1,4268% 15% 85% 0,2722% 1,4342% 20% 80% 0,2973% 1,4703% 25% 75% 0,3223% 1,5343% 30% 70% 0,3474% 1,6229% 35% 65% 0,3724% 1,7324% 40% 60% 0,3975% 1,8590% 0,6981% 45% 55% 0,4225% 1,9996% 0,1971% 50% 50% 0,4476% 2,1514% 55% 45% 0,4726% 2,3122% 60% 40% 0,4977% 2,4802% 65% 35% 0,5227% 2,6541% 70% 30% 0,5478% 2,8327% 75% 25% 0,5728% 3,0153% 80% 20% 0,5979% 3,2012% 85% 15% 0,6229% 3,3898% 90% 10% 0,6480% 3,5806% 95% 5% 0,6730% 3,7735% 100% 0% 0,6981% 3,9680% Pode-se perceber que a carteira formada por 11,52% de ações da Guarani e 88,48% de ações da Ambev proporcionam o menor desvio padrão do portfólio. Essa proporção pode ser calculada a partir da equação do mínimo desvio padrão: Equação 5 Proporção de portfólio para mínimo desvio padrão W x 2 y COVx,y COV x y Tomando os extremos da correlação +1 e -1 pode-se calcular o desvio padrão do portfólio. Observe as Tabelas 3 e 4. x,y

5 Análise de Risco 11 Tabela 3 Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação +1 jan./ago ACGU3 BEES3 K W K W Kp DPp 0% 100% 0,1971% 1,506% 5% 95% 0,2221% 1,629% 10% 90% 0,2472% 1,752% 15% 85% 0,2722% 1,875% 20% 80% 0,2973% 1,998% 25% 75% 0,3223% 2,122% 30% 70% 0,3474% 2,245% 35% 65% 0,3724% 2,368% 40% 60% 0,3975% 2,491% 45% 55% 0,4225% 2,614% 0,6981% 50% 0,1971% 50% 0,4476% 2,737% 55% 45% 0,4726% 2,860% 60% 40% 0,4977% 2,983% 65% 35% 0,5227% 3,106% 70% 30% 0,5478% 3,229% 75% 25% 0,5728% 3,353% 80% 20% 0,5979% 3,476% 85% 15% 0,6229% 3,599% 90% 10% 0,6480% 3,722% 95% 5% 0,6730% 3,845% 100% 0% 0,6981% 3,968% Tabela 4 Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação -1 jan./ago ACGU3 BEES3 K W K W Kp DPp 0% 100% 0,1971% 1,506% 5% 95% 0,2221% 1,232% 10% 90% 0,2472% 0,959% 15% 85% 0,2722% 0,685% 20% 80% 0,2973% 0,411% 25% 75% 0,3223% 0,138% 27,51% 72,49% 0,3349% 0,000% 30% 70% 0,3474% 0,136% 35% 65% 0,3724% 0,410% 40% 60% 0,3975% 0,684% 0,6981% 45% 55% 0,4225% 0,957% 0,1971% 50% 50% 0,4476% 1,231% 55% 45% 0,4726% 1,505% 60% 40% 0,4977% 1,778% 65% 35% 0,5227% 2,052% 70% 30% 0,5478% 2,326% 75% 25% 0,5728% 2,599% 80% 20% 0,5979% 2,873% 85% 15% 0,6229% 3,147% 90% 10% 0,6480% 3,421% 95% 5% 0,6730% 3,694% 100% 0% 0,6981% 3,968%

6 Análise de Risco 12 Os 27,51% de ações da Guarani e 72,49% de ações da Ambev proporcionam um desvio padrão zero, ou seja, risco nulo. Essa relação foi obtida a partir da equação 5. Baseando-se nos resultados obtidos para as correlações 0,0419, +1 e -1 pode-se montar a Figura 1. Figura 1 Conjunto de combinações da carteira ACGU3 e AMBV4 jan./ago ,80% 0,70% 0,60% ρ x,y = -1 K Ativo X Retorno 0,50% 0,40% -1 < ρ x,y < +1 0,30% 0,20% ρ x,y = +1 0,10% K Ativo Y 0,00% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% Desvio Padrão É denominada Fronteira Eficiente a parte superior da curva que vai do ponto de mínimo desvio padrão até 100% do ativo de maior retorno. Fronteira Eficiente Ao se analisar três ativos A, B e C podem ser constituídos: Três carteiras com um só ativo de cada (A, B e C); Três carteiras de dois ativos cada (AB, AC e BC); Uma carteira com os três ativos. Considerando uma carteira com mais de dois ativos verifica-se a presença de um número quase infinito de alternativas de investimento. De qualquer forma, todas as combinações possíveis de ativos encontram-se identificadas dentro da área sombreada da Figura 2. Cada ponto identificado na área sombreada representa uma carteira que demonstra certo retorno esperado e risco. Não é possível identificar carteiras em outras áreas do gráfico, devendo o investidor tomar sua decisão com base no conjunto de oportunidade descrito.

7 Análise de Risco 13 A construção de um conjunto eficiente de carteiras de investimentos construídas com vários ativos é possível de se efetuar. Contudo, sugere-se a utilização de softwares específicos. Figura 2 Fronteira eficiente Fonte: Assaf Neto, 2012, p Referências ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. 6ª ed. São Paulo: Atlas, BMFBOVESPA. Empresas listadas. Disponível em: < cias-listadas/empresas-listadas/buscaempresalistada.aspx?idioma=pt-br>. Acesso em: 01 ago MARKOWITZ, H. Portfolio selection. The Journal of Finance. Cambridge, 1952, vol. 7, iss. 1.