SELEÇÃO DE UMA CARTEIRA EFICIENTE DE AÇÕES NO MERCADO DE CAPITAIS BRASILEIRO. Palavras-chave: Risco; Seleção de Ativos; Modelo de Markowitz.

Transcrição

1 SELEÇÃO DE UMA CARTEIRA EFICIENTE DE AÇÕES NO MERCADO DE CAPITAIS BRASILEIRO Renan Correia de Sousa RESUMO O investimento em ações negociadas em bolsas de valores tem retorno variado, e o investidor pode acabar por não conseguir o retorno esperado inicialmente. Este artigo é um estudo que tenta, através do método descrito por Markowitz em seu artigo Portfolio Selection (1952) e com auxilio de planilhas eletrônicas, minimizar o risco a esses investidores. Para este estudo foi montada, no inicio de 2014, uma carteira teórica de ações com participação de cada ativo determinada pelo modelo de Markowitz e ao final do ano foi verificado se o método conseguiu diminuir o risco da carteira em comparação com uma carteira teórica em que as participações dos ativos são divididas igualmente. O modelo de Markowitz contribuiu para auxiliar a tomada de decisão do investidor quanto de alocação de seus recursos em diferentes ativos, mostrando ser mais eficiente que uma distribuição igualitária de participações. Palavras-chave: Risco; Seleção de Ativos; Modelo de Markowitz. 1- INTRODUÇÃO Para um investidor comum, um modo simples de obter redução dos riscos é a aplicação em uma carteira de ativos, em que a própria diversificação do portfólio já é suficiente para, diminuir sensivelmente o risco da aplicação (SILVA, 2008). Para Markowitz Graduando do Curso Superior em Administração de Empresas pela Universidade Federal Fluminense Volta Redonda.

2 2 (1952) uma carteira só é realmente eficiente quando o seu risco é o menor possível, dado o nível médio de retorno que se almeja. Através dos históricos de retornos médios e variâncias do retorno desses ativos o investidor pode adequar a carteira ao seu perfil. No seu artigo de 1952, intitulado Portfolio Selection, Markowitz estabeleceu as premissas que vieram a fundamentar a Moderna Teoria de Mercado de Capitais, criando um modelo matemático para a seleção de carteiras eficientes (MINOZZO et al., 2008). O objetivo desde artigo é verificar se a carteira que teve a participação de cada um de seus ativos determinada através do modelo matemático de Markowitz com base nos retornos dos ativos do ano de 2013, obteve no ano de 2014 um nível de risco menor que uma carteira teórica com os mesmo ativos, porem nesta, a participação de cada ativo na carteira é determinada de forma igualitária e fixada em 10%. Para tal, irá através da coleta dos retornos mensais do ano de 2013 dos ativos listados no Índice Bovespa elaborar uma carteira eficiente e compara-la com uma carteira com valores percentuais iguais desses mesmos ativos nos anos de 2013 e Este trabalho se justifica por apresentar de forma pratica como minimizar o risco de uma carteira de ações, auxiliando na decisão do investidor de quanto investir em cada ativo.

3 3 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 O Retorno O retorno é o ganho ou perda total sofrido por um investimento em certo período. É comumente medido pela soma dos proventos durante o período com a variação de valor, em termos de porcentagem do valor do investimento no início do período (GITMAN, 2004). A expressão matemática para calculo do retorno de um ativo no período t, t-1, é definida como: = taxa observada; = fluxo de caixa recebido com o investimento no ativo no período de t 1; = preço (valor) do ativo na data t; = preço (valor) do ativo na data t 1; 2.2 O Risco Para Cantu e Menezes (2009) o risco esta presente no nosso cotidiano e é a possibilidade de um evento não desejado ocorrer, dependendo do contexto da pessoa que está avaliando. Em finanças há uma necessidade de uma medição quantitativa do nível de risco, e ele é normalmente medido pelo desvio-padrão ou pela variância dos retornos com relação a média. A equação a seguir mostra a formula matemática para o calculo da variância de um ativo: = número de períodos; = média; = preço (valor) do ativo na data ; Silva (2008) relaciona dois tipos de risco nas aplicações em renda variável: o risco não diversificável e o risco diversificável. O risco não-diversificável é aquele que tem origem nas flutuações do sistema econômico como um todo, suas principais causas são variações nas taxas de juros, inflação e a situação politica. O risco diversificável é aquele que pode ser reduzido através da diversificação. Para Gitman (2004) os administradores tem diferentes atitudes com relação ao risco, por isso é importante delimitar um nível aceitável de risco, porém em sua maioria os

4 4 administradores seriam supostamente avessos ao risco, sendo assim para assumir maiores riscos também exigiriam maiores retornos. 2.3 Modelos de Markowitz Para Markowitz (1959) objetivo da análise de portfólios é encontrar as carteiras que melhor se adéquam aos objetivos do investidor, visando alcançar esse objetivo Markowitz elaborou um método de seleção de carteiras baseado em dados estatísticos de média e variância que tem a função de auxiliar na tomada de decisão dos investidores dando a eles uma perspectiva futura dos ativos. No que diz respeito às ponderações, pode-se afirmar que elas são os percentuais aplicados em cada ativo individual. O risco de uma carteira, por sua vez, é mensurado através da variância ou do desvio padrão dos retornos dos ativos que fazem parte do portfólio (ALMEIDA et al., 2009). O modelo de Markowitz então pode ser definido matematicamente como: Retorno da Carteira: Variância da Carteira: E V i 1 i 1 j 1 Restrição que as somas das participações dos ativos tem que ser igual a 1: n i 1 Restrição que não existe venda de ações, participações negativas: n n Xi i n Xi 1 Xi 0 XiXj ij onde: Xi = participação de cada ativo; μi = retorno de cada ativo; σij = covariância entre o par de ativos se (i) diferente (j) e variância de (i) igual (j); Nesse sentido Fama e French (2007) explicam, que no modelo de Markowitz, um investidor escolhe uma carteira em um momento que produza um retorno aleatório em um momento seguinte. O modelo admite que os investidores sejam avessos ao risco e que, ao escolherem entre carteiras, preocupam-se apenas com a média e a variância do retorno de seu

5 5 investimento de um período. Com isso, os investidores escolhem carteiras eficientes em média-variância desde que as carteiras: 1) minimizem a variância do retorno da carteira dado o retorno esperado e, 2) maximizem o retorno esperado dado a variância. Assim, a abordagem de Markowitz é frequentemente chamada de modelo de média-variância. Leone et al. (2009) pontua que a metodologia de avaliação do risco através de sua variância não distingue variações negativas de positivas, tendo isso em vista os referidos autores propõem que seja incorporada a essa avaliação uma função de utilidade que tem o objetivo de atribuir maior peso as oscilações negativas do que as positivas, tal estudo baseiase da ideia de que supostamente os investidores sentiriam mais intensamente as variações negativas do que as positivas. Aplicando-se a proposta aos ativos negociados na BOVESPA Leone et al. (2009) concluiu que os resultados do estudo indicam que a metodologia proposta é mais conservadora que a avalição pela variância dos retornos, pois para todos os casos estudados indicou um maior numero de ativos classificados como agressivos de acordo com os critérios propostos pelos autores. 3 MATERIAIS E METODOS Foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre o Modelo de Markowitz e suas características 3.1 Coleta de Dados Para a elaboração de uma carteira eficiente é necessário obter os rendimentos mensais dos ativos, a fim de selecionar aqueles que apresentam um retorno interessante ao investidor, os dados das rentabilidades mensais dos ativos foram retirados do site Investing.com, que é um site com informações destinadas aos investidores. Foram coletados todos os retornos mensais dos anos de 2013 e 2014 dos 69 ativos constantes na carteira teórica de ações do índice Ibovespa 1 valida para o dia 15/06/ Seleção dos Ativos Optou-se por elaborar a carteira com os dez títulos que apresentassem maior rentabilidade média em Os ativos BBSEGURIDADE e SMILES embora tenham ficado entre os dez ativos com maior rentabilidade, não foram utilizadas no estudo, isso se deve ao fato delas terem sido criadas durante o ano de 2013 e não apresentarem um histórico completo de rentabilidade durante o ano. Elas foram substituídas pelas ações que apresentavam a decima primeira e decima segunda maior rentabilidade média do ano de 2013 são elas: EMBRAER e FIBRIA respectivamente, o resultado da seleção pode ser visto no Quadro 1. 1 O Ibovespa (Índice Bovespa) é o principal índice de ações da Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros de São Paulo (BM&FBOVESPA). Este índice tem por objetivo refletir o desempenho médio das cotações das ações mais negociadas e mais representativas do mercado acionário brasileiro. (ADVFN.COM. Disponível em:-- Acesso em 03 Mar. 2016)

6 6 Quadro 1- Ações do Ibovespa com maior rentabilidade média mensal em 2013 Código Ação Rentabilidade Média em 2013 KROT3 KROTON 4,86% BRKM5 BRASKEM 4,62% JBSS3 JBS 3,75% TIMP3 TIM PART S/A 3,58% ESTC3 ESTACIO PART 3,52% CIEL3 CIELO 3,17% CSNA3 SID NACIONAL 2,82% SUZB5 SUZANO PAPEL 2,72% EMBR3 EMBRAER 2,53% FIBR3 FIBRIA 2,04% 3.3 Análise dos Dados Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com. Através do software Microsoft Excel foram analisadas as rentabilidades dos ativos quanto, a sua variância e seu desvio padrão. Foram usadas as seguintes funções: VARP.A para o calculo da variância e DESVPAD.A para o calculo do desvio padrão, essas funções foram aplicadas nos retornos mensais dos ativos selecionados. A participação de cada ativo nesta carteira foi distribuída de forma igualitária, cada ativo teve sua participação fixada em 10%. O resultado pode ser visto na Tabela 1. Tabela 1- Dados de variância e desvio padrão dos ativos em MÊS/CÓDIGO KROT3 BRKM5 JBSS3 TIMP3 ESTC3 CIEL3 CSNA3 SUZB5 EMBR3 FIBR3 Dez-13-0,73% 0,95% 4,33% 6,85% 1,96% -3,08% 20,74% 8,71% 4,65% -0,50% Nov-13 19,86% 4,65% 4,39% 1,05% 15,68% -0,37% 0,42% -6,39% 10,40% -4,34% Out-13 5,04% 11,99% 3,91% 11,09% 0,47% 13,42% 25,37% 3,77% -8,25% 14,06% Set-13-1,53% 1,12% 5,21% 9,59% -1,95% 4,56% 12,35% -6,91% -8,80% -7,65% Ago-13-1,27% -0,18% 15,53% 10,61% -0,29% 3,87% 32,18% 20,82% 0,93% 8,58% Jul-13 5,18% 6,74% -1,56% 4,82% 10,08% 0,46% 10,02% -5,70% -5,61% 2,63% Jun-13-1,75% -1,43% -7,50% -0,74% -3,88% 1,82% -12,41% 6,59% 4,96% 5,32% Mai-13 12,88% -3,94% 9,48% -3,44% 5,29% 3,62% -16,33% 7,65% 11,85% 10,12% Abr-13 8,15% 27,45% -5,10% -1,86% 8,66% 6,97% -9,82% -6,01% -2,94% -12,54% Mar-13 0,88% -6,41% -0,89% -0,58% -9,47% 2,43% -12,40% 15,04% 7,91% 8,78% Fev-13 5,94% -2,84% -10,03% -1,70% 9,93% 5,53% -6,98% -8,90% 1,40% -8,07% Jan-13 5,73% 17,27% 27,21% 7,32% 5,76% -1,16% -9,36% 3,99% 13,84% 8,11% Participação 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% Variância 0,43% 0,98% 1,06% 0,29% 0,50% 0,19% 2,79% 0,92% 0,60% 0,73% Desvio Padrão 6,55% 9,89% 10,31% 5,37% 7,05% 4,35% 16,72% 9,61% 7,75% 8,54% Retorno Médio 4,86% 4,62% 3,75% 3,58% 3,52% 3,17% 2,82% 2,72% 2,53% 2,04% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com

7 7 A análise da carteira como um todo segue a mesma metodologia de análise dos ativos individuais, mas para verificar a rentabilidade da carteira a cada período é preciso ponderar a rentabilidade de cada ação no período por sua participação e soma-las. Feito isso é possível calcular a variância, o desvio padrão e a média dos retornos da carteira, como mostra a Tabela 2. Tabela 2 - Dados de variância e desvio padrão da carteira de ativos selecionados em Mês Rentabilidade Mensal Dez-13 4,39% Nov-13 4,54% Out-13 8,09% Set-13 0,60% Ago-13 9,08% Jul-13 2,71% Jun-13-0,90% Mai-13 3,72% Abr-13 1,30% Mar-13 0,53% Fev-13-1,57% Jan-13 7,87% Variância 0,128% Desvio Padrão 3,58% Retorno Médio 3,36% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com 3.4 Montando Uma Carteira Eficiente Com os dados analisados, podemos averiguar que o risco da Carteira de Ativos Selecionados é de 3,58% e seu retorno médio é de 3,36%, para que essa carteira se torne eficiente devemos correr o menor risco possível para uma rentabilidade média de 3,36%, com a ajuda do recurso SOLVER 2 do Microsoft Excel podemos minimizar o risco mantendo o seu retorno médio. 2 O Solver faz parte de um pacote de programas algumas vezes chamado de ferramentas de teste de hipóteses (análise hipotética: um processo de alteração dos valores em células para saber como essas alterações afetam o resultado das fórmulas na planilha. Por exemplo, variar a taxa de juros usada em uma tabela de amortização para determinar o valor dos pagamentos.). Com o Solver, você pode encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula (fórmula: uma sequência de valores, referências de células, nomes, funções ou operadores em uma célula que juntos produzem um novo valor. Uma fórmula sempre começa com um sinal de igual (=).) em uma célula chamada célula de objetivo conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha. (Definir e resolver um problema usando o Solver. Disponivel em: bb6d-078f96d1652c- Acesso em: 05 Mar. 2016)

8 8 O SOLVER vai resolver a equação que minimiza o risco com as seguintes restrições: nenhum ativo pode ter participação negativa, o retorno médio tem que ser igual ou superior a 3,36% e a soma das participações das ações tem que ser igual a 100%, com as restrições devidamente colocadas no software, selecionamos para que ele minimize o desvio padrão variando as células referentes às participações de cada ação, que por sua vez estão relacionadas com a média de retorno ponderada de cada período que são usadas para o calculo do desvio padrão, com todas as informações relacionadas no software ele será capaz de testar cada hipótese de variação das participações dos ativos e escolher aquela que tem o menor desvio padrão dadas as restrições, o resultado é visto na Tabela 3. Tabela 3 - Carteira Eficiente. MÊS/CÓDIGO KROT3 BRKM5 JBSS3 TIMP3 ESTC3 CIEL3 CSNA3 SUZB5 EMBR3 FIBR3 Dez-13-0,73% 0,95% 4,33% 6,85% 1,96% -3,08% 20,74% 8,71% 4,65% -0,50% Nov-13 19,86% 4,65% 4,39% 1,05% 15,68% -0,37% 0,42% -6,39% 10,40% -4,34% Out-13 5,04% 11,99% 3,91% 11,09% 0,47% 13,42% 25,37% 3,77% -8,25% 14,06% Set-13-1,53% 1,12% 5,21% 9,59% -1,95% 4,56% 12,35% -6,91% -8,80% -7,65% Ago-13-1,27% -0,18% 15,53% 10,61% -0,29% 3,87% 32,18% 20,82% 0,93% 8,58% Jul-13 5,18% 6,74% -1,56% 4,82% 10,08% 0,46% 10,02% -5,70% -5,61% 2,63% Jun-13-1,75% -1,43% -7,50% -0,74% -3,88% 1,82% -12,41% 6,59% 4,96% 5,32% Mai-13 12,88% -3,94% 9,48% -3,44% 5,29% 3,62% -16,33% 7,65% 11,85% 10,12% Abr-13 8,15% 27,45% -5,10% -1,86% 8,66% 6,97% -9,82% -6,01% -2,94% -12,54% Mar-13 0,88% -6,41% -0,89% -0,58% -9,47% 2,43% -12,40% 15,04% 7,91% 8,78% Fev-13 5,94% -2,84% -10,03% -1,70% 9,93% 5,53% -6,98% -8,90% 1,40% -8,07% Jan-13 5,73% 17,27% 27,21% 7,32% 5,76% -1,16% -9,36% 3,99% 13,84% 8,11% Participação 0,0% 0,0% 0,0% 23,7% 11,9% 39,4% 0,0% 1,5% 23,5% 0,0% Variância 0,43% 0,98% 1,06% 0,29% 0,50% 0,19% 2,79% 0,92% 0,60% 0,73% Desvio Padrão 6,55% 9,89% 10,31% 5,37% 7,05% 4,35% 16,72% 9,61% 7,75% 8,54% Retorno Médio 4,86% 4,62% 3,75% 3,58% 3,52% 3,17% 2,82% 2,72% 2,53% 2,04% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com Como se pode perceber na Tabela 3 os dados de variancia, desvio padrão e retorno médio não se alteraram por que eles são referentes as rentabilidades de cada ativo individualmente. Depois do processo de otimização foi recalculada com as participações determinadas pelo SOLVER a rentabilidade da Carteira de Ativos Selecionados por mês em 2013, pela ponderação de novas participações, o resultado é apresentado na Tabela 4.

9 9 Tabela 5. Tabela 4 - Dados de variância e desvio padrão da Carteira Eficiente Mês Rentabilidade Mensal Dez-13 1,87% Nov-13 4,31% Out-13 6,09% Set-13 1,66% Ago-13 4,54% Jul-13 1,11% Jun-13 1,35% Mai-13 4,15% Abr-13 2,55% Mar-13 1,79% Fev-13 3,14% Jan-13 5,27% Variância 0,028% Desvio Padrão 1,68% Retorno Médio 3,36% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com A comparação entre as duas carteiras é feita da diferença do risco como mostra a Tabela 5 - Dados da Carteira de Ativos Selecionados e da Carteira Eficiente em Carteira de Ativos Selecionados Carteira Eficiente Mês Rentabilidade Mensal Mês Rentabilidade Mensal Dez-13 4,39% Dez-13 1,87% Nov-13 4,54% Nov-13 4,31% Out-13 8,09% Out-13 6,09% Set-13 0,60% Set-13 1,66% Ago-13 9,08% Ago-13 4,54% Jul-13 2,71% Jul-13 1,11% Jun-13-0,90% Jun-13 1,35% Mai-13 3,72% Mai-13 4,15% Abr-13 1,30% Abr-13 2,55% Mar-13 0,53% Mar-13 1,79% Fev-13-1,57% Fev-13 3,14% Jan-13 7,87% Jan-13 5,27% Variância 0,128% Variância 0,028% Desvio Padrão 3,58% Desvio Padrão 1,68% Retorno Médio 3,36% Retorno Médio 3,36% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com

10 10 A Carteira Eficiente em comparação com a Carteira de Ativos Selecionados tem um risco menor, 1,68% contra 3,58%, o modelo reduziu o risco em mais de 50%. 3.5 Monitoramento das Carteiras O investidor com posse dos históricos dos ativos poderia montar uma carteira eficiente para o ano de 2013, mas não poderia auferir tal rentabilidade, pois o ano de 2013 já teria acabado, então esses dados só serviriam de base se eles espelhassem acontecimentos futuros. Pensando desta forma o investidor apura uma carteira de 2013 para monta-la em 2014, com a esperança que as ações repitam o feito do ano anterior, dito isso, foi averiguado como foi o despenho dessas carteiras em 2014, o resultado é apresentado na Tabela 6.. Tabela 6- Dados da Carteira de Ativos Selecionados e da Carteira Eficiente em 2014 Carteira de Ativos Selecionados Carteira Eficiente Mês Rentabilidade Mensal Mês Rentabilidade Mensal Dez-14-5,34% Dez-14-4,12% Nov-14-0,73% Nov-14 0,77% Out-14 7,48% Out-14 3,08% Set-14-0,10% Set-14 0,48% Ago-14 4,45% Ago-14 2,39% Jul-14 2,77% Jul-14-3,90% Jun-14 4,92% Jun-14 7,79% Mai-14 4,68% Mai-14 4,50% Abr-14-4,29% Abr-14 3,51% Mar-14 3,46% Mar-14 5,77% Fev-14-0,82% Fev-14 2,58% Jan-14-5,31% Jan-14-1,81% Variância 0,189% Variância 0,134% Desvio Padrão 4,34% Desvio Padrão 3,67% Retorno Médio 0,93% Retorno Médio 1,75% Fonte: Elaboração própria, com dados disponíveis no site Investing.com Em 2014 a Carteira Eficiente se mostrou uma alternativa melhor de investimento do que a Carteira de Ativos Selecionados embora o seu retorno não tenha sido de 3,36% como em 2013 ela ficou a frente da Carteira de Ativos Selecionados com retorno médio de 1,75% contra 0,93%, e seu risco também foi menor, sugerindo a eficiência proposta pelo modelo de Markowitz

11 11 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste estudo foi avaliado o modelo Markowitz para otimização de carteiras, com o objetivo de reduzir o risco ao investidor de renda variável para os ativos presentes no Índice Bovespa. Para tal, o modelo Markowitz foi aplicado com o uso de planilhas eletrônicas, que tornaram o calculo da participação dos ativos da carteira eficiente mais simples, facilitando a tomada de decisão do investidor. Nos dois períodos observados o modelo foi eficiente para reduzir o risco da carteira, em 2013, como estamos olhando para o passado dos ativos, pode-se dizer que a carteira elaborada é dita eficiente para o período, enquanto em 2014 a ela não é dita eficiente, levando em consideração que pode haver outras carteiras de mesmo retorno que tenham um risco menor que a carteira elaborada. O modelo mostrou-se eficaz em reduzir o risco no ano de 2014, pois valores percentuais definidos pelo modelo de média-variância de Markowitz produziram uma carteira superior em retorno e inferior em variância em comparação com a carteira diversificada em valores percentuais iguais no ano de Vale lembrar que a abordagem apresentada neste trabalho é puramente quantitativa e baseada em um modelo matemático, essa abordagem não consegue analisar profunda e qualitativamente os ativos investigados ou os setores nos quais eles estão inseridos. Futuramente poderia ser interessante investigar a correlação entre a saúde financeira ou outro fatores relevantes da empresa e o risco de seus ativos, objetivando que esse fator também seja levado em consideração na hora de avaliar o risco do investimento. Por fim o modelo de Markowitz foi adequado para atingir os objetivos deste artigo e se mostrou capaz de minimizar o risco do investimento em ações para o investidor

12 12 5- BIBLIOGRAFIA ADVFN.COM. Disponível em:-- IBOV/cotacao- Acesso em 03 Mar ALMEIDA, N. S; SILVA, R. F; RIBEIRO, K. C. S. Aplicação do Modelo de Markowitz na Seleção de Carteiras Eficientes: Uma Análise de Cenários no Mercado de Capitais Brasileiro. In: XIII - SEMEAD - Seminários em Administração FEA-USP, 2010, São Paulo. Anais... Sustentabilidade Ambiental nas Organizações, 2010 BM&FBOVESPA: a nova bolsa. Disponível em: Acesso em: 08 Jun CANTÚ, V. Z; MENEZES, E. A. Seleção de um portfólio eficiente através da diversificação de ativos financeiros. In: IX Semana de Engenharia de Produção Sul-Americana (IX SEPROSUL), 2009, Piriápolis - Uruguay. Anais... Piriapolis - Uruguay: Universidad de La Republica Uruguay, p , FAMA, E.; FRENCH, K. O modelo de precificação de ativos de capital: teoria e evidências. Revista de Administração de Empresas, v. 47, n. 2, p , 2007 GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. Tradução técnica Antonio Zoratto Sanvincente. 10 ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, p. 184, INVESTING.COM. Disponivel em: Acesso em: 08 Jun LEONE, Rodrigo, et al. Proposta de mensuração de risco baseado em utilidade. Rev. contab. finanç. [online]. 2007, vol.18, n.44, pp Disponivel em:-- Acesso em: 08 Mar MARKOWITZ, H. M. Portfólio Selection. The Journal Finance. New York, The American Finance Association, 7 N 1, p , 1952

13 13 Definir e resolver um problema usando o Solver. Disponivel em: 9ed03c9f-7caf-4d99-bb6d-078f96d1652c- Acesso em: 05 Mar MARKOWITZ, H M. Portfolio Selection: efficient diversification of investments. Journal of Finance, n.7, 1959 MINOZZO, C. P., MENEZES E. A., GIACOMELLI, J. R.. Comparação de carteiras na fronteira eficiente utilizando Multiplicadores de Lagrange. In: XV Simped, 2008, Bauru, SP. Anais... Bauru: editora,2008. p. SILVA, C. A. G. Gerenciamento de risco da carteira otimizada. In: XXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO., 2008, Rio de Janeiro. Anais Rio de janeiro: ENEGEP,2008 p. Disponível em: < Acesso em: 13 Jun